INTRODUÇÃO AO USO DO
MINITAB
NAS DISCIPLINAS DE ESTATÍSTICA
DO CURSO DE
GRADUAÇÃO EM ZOOTECNIA
DA FZEA/USP
Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima
E_mail: [email protected]
Para uso nas aulas das disciplinas:
ZAB 230 - Estatística I, ZAB 216 - Estatística II e
ZAB 050 - Utilização de pacotes estatísticos na análise de dados experimentais
PIRASSUNUNGA - SP
Março / 2004
1
1. INTRODUÇÃO
O MINITAB consiste de uma planilha de dados diversos comandos e subcomandos usados
para executar operações matemáticas e diversas análises estatísticas. Uma planilha pode conter:
• colunas de dados denotadas por C1, C2,...,
• constantes denotadas por K1, K2, ...
• matrizes numéricas de dados, denotadas por M1, M2,...
Na apresentação dos comandos/subcomandos, a letra E pode denotar tanto uma constante, quanto
uma coluna ou matriz.
Na janela principal do Minitab encontramos uma régua que disponibiliza os grupos de
comandos e subcomandos usados para manipulação de arquivos – File; edição de dados – Edit;
manipulação de dados − Manip; cálculos envolvendo colunas − Calc; cálculos de estatísticas e de
diversos tipos de análises estatísticas − Stat; contrução de gráficos − Graph; um editor de comandos − Editor; um controlador das janelas de trabalho − Window, além de uma boa tela de auxílio −
Help.
•
•
•
•
As quatro janelas de trabalho são apresentadas como:
Session: que é usada para digitarmos os comandos e visualizarmos a saída dos resultados;
Data: que é a planilha de dados;
History: que guarda uma cópia de todos os comandos usados numa sessão, e
Info: que apresenta informações sobre as colunas, as constantes e as matrizes definidas numa
sessão.
As colunas e as constantes podem ter nomes, devendo-se evitar o uso de acentos. Por exemplo: para nomearmos a coluna C1 com o nome “Tratamento”, a coluna C2 com o nome “Producao”
e a constante K2 com o nome “ProducaoMedia” utilizamos o seguinte comando:
MTB > NAME C1 'Tratamento' C2 'Producao' K1 'ProducaoMedia'
Os comandos e subcomandos podem ser digitados em letras maiúsculas e/ou minúsculas,
não havendo necessidade de entrarmos com mais do que as suas quatro primeiras letras. Por
exemplo, para calcular a menor das produções e colocar o resultado em K2, podemos usar os
comandos:
MTB > Let K2 = Minimum(C2)
ou
MTB > Let K2 = Mini(C2)
que os resultados serão idênticos. Ao invés do número da coluna – C2 – também pode ser usado o
seu nome:
MTB > Let K2 = Mini(Producao)
Os dados da planilha podem ser digitados diretamente na planilha Data, copiados de um
outro programa e colados na planilha ou lidos de arquivos já existentes. As colunas com valores
numéricos apresentam seus valores colados à direita e as colunas com valores alfanuméricos, além
de indicar essa coluna com uma letra – T, apresentam seus valores colados à esquerda.
A seguir, apresentamos algumas informações sobre o uso efetivo do Minitab em alguns
pontos relevantes do curso de Estatística II:
a) revisão de estatística descritiva, visando a obtenção de medidas de tendência central e de dispersão, além de gráficos e tabelas;
Introdução ao uso do MINITAB®
2
b) simulações e cálculo de probabilidades;
c) intervalos de confiança para a média e para a proporção;
d) testes de hipóteses para a média de uma população, comparação de médias e de variâncias de
duas populações;
e) correlação e análise de regressão.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – REVISÃO DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Entre com os dados das variáveis C1: Idade, C2: Peso e C3: Altura, na janela Data.
Idade
22
19
17
17
19
21
19
17
19
18
20
20
19
19
17
18
21
26
20
19
18
18
17
18
19
18
18
20
Peso
70
85
48
72
89
76
62
68
49
71
54
52
70
76
73
55
93
51
45
57
65
92
69
56
54
75
71
75
Altura
1.75
1.88
1.63
1.80
1.82
1.72
1.85
1.80
1.64
1.80
1.75
1.64
1.77
1.80
1.75
1.70
1.80
1.65
1.53
1.70
1.78
1.83
1.75
1.64
1.70
1.83
1.81
1.78
Siga corretamente as instruções e tente “traduzir” as saídas.
1) Para visualizar os dados na tela: Manip > Display data e
selecionar em Columns, constants and matrices to display,
as colunas C1, C2 e C3. Como alternativa, na janela Session,
entrar com:
MTB > print c1 c2 c3
ou
MTB > print 'Idade' 'Peso' 'Altura'
2) Para obter estatísticas descritivas das variáveis: Stat > Basic
Statistics > Describe Statistics... e selecionar as colunas
C1, C2 e C3. Como alternativa, entrar com o comando:
MTB > Desc c1 c2 c3
3) Para obter essas estatísticas para as variáveis C2: Peso e C3:
Altura, para cada um dos valores de C1: Idade: Stat > Basic
Statistics > Describe Statistics... selecionar as colunas C2 e
C3 e selecionar em By variables: a coluna C1. Como
alternativa, usar:
MTB > Desc c2 c3;
SUBC> by c1.
4) Para construir um histograma dos dados da variável C2:
Peso: Graph > Histogram.. e escolher C2 em Graph
variables. Alternativa:
MTB > Histo c2
5) Para construir o histograma de C2 definindo os limites (cutpoints) das classes: Graph >
Histogram... escolher C2 em Graph variables, entrar em Options..; em Type of Intervals
clicar em Cutpoint; em Definition of Intervals, clicar em Midpoint/Cutpoint positions: e
entrar com os valores 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00, com espaços entre os números.
6) Para visualizar a relação entre as variáveis C2: Peso e C3: Altura: Graph > Plot.. e escolher C2
como Graph variables: Y e C3 como Graph variables: X. Como alternativa, usar:
MTB > plot c2*c3
Introdução ao uso do MINITAB®
3
7) Para construir um box-plot dos dados de C3: Altura: Graph > Boxplot.. e escolher em Graph
variable: Y, a coluna C3. Ou então, usar:
MTB > boxplot C3
8) Para obter uma distribuição de freqüências da variável discreta C1: idade: Stat > Table > Tally,
escolher como Variables: a coluna C1 e marcar Counts e Percents em Display. Como alternativa, usar:
MTB > Tally 'Idade';
SUBC> Counts;
SUBC> Percents.
9) Para obter uma tela com diversas estatísticas descritivas, distribuição de freqüências, box-plot,
teste de normalidade dos dados de C2: Peso, além de intervalos de confiança para a média e para
a mediana:
MTB> %Describe c2 ou
MTB> %Describe 'Peso'
2. AS OPÇÕES DA BARRA STAT
O MINITAB oferece diversas opções para análise descritiva e inferencial de dados experimentais. Praticamente todas as opções aparecem no menu Stat da barra principal do programa:
A seguir, apresentaremos alguns detalhes de cada uma das opções deste menu. Maiores informações
sobre as opções podem ser obtidas em Help, no botão , ou usando a tecla F1, Menu Commands
e Stat Menu.
• Basic Statistics (Stat Menu > Basic Statistics)
Permite calcular diversas estatísticas descritivas, executar testes de hipóteses, calcular a correlação e covariâncias entre variáveis numéricas e testar a normalidade dos dados. Os principais comandos são:
Display Descriptive Statistics: produz uma tabela com estatísticas descritivas: número de
valores (N); média (Mean); mediana (Median); tri-média (TrMean);desvio padrão (StDev);
erro padrão da média (SE Mean); menor valor (Minimum); maior valor (Maximum);1o quartil
(Q1) e 3o quartil (Q3). Também produz gráficos como o histograma (Histogram); gráfico de
pontos (Dotplot), boxplot (BoxPlot) e um gráfico resumo (Graphical summary) com diversas
estatísticas descritivas, intervalos de confiança para a média, mediana e desvio padrão e um
teste de normalidade dos dados (Anderson-Darling Normalitty Test).
Introdução ao uso do MINITAB®
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Store Descriptive Statistics: calcula diversas estatísticas descritivas e grava os resultados na
planilha.
1-Sample Z: calcula um Intervalo de Confiança e executa o teste de hipótese para a média de
uma população normal com variância populacional conhecida (z-test).
1-Sample t: calcula um Intervalo de Confiança e executa o teste de hipótese para a média de
uma população normal com variância populacional é desconhecida (t-test).
2-Sample t: calcula um Intervalo de Confiança e executa o teste de hipótese para comparar as
médias de duas populações normais (t-test) de variâncias iguais ou não.
Paired t: testa a diferença entre médias quando os dados estão pareados.
1 Proportion: calcula um intervalo de confiança e executa um teste para a proporção.
2 Proportions: calcula um intervalo de confiança e executa um teste para a diferença entre
duas proporções.
2 Variances: executa um teste para a igualdade (homogeneidade) de variâncias de duas
populações usando os testes F e de Levene.
Correlation: calcula o coeficiente de correlação de Pearson entre variáveis numéricas e o
nível descritivo do teste H0: ρ = 0 vs. H1: ρ ≠ 0. Opcionalmente, grava os resultados numa
matriz de correlações.
Covariance: calcula a covariância entre variáveis numéricas e grava os seus valores numa
matriz de covariâncias.
Normality Test: testa a normalidade dos dados (Testes de Anderson-Darling, Ryan-Joiner e
Kolmogorov-Smirnov) e apresenta um gráfico normal de probabilidades (normal probability
plot).
• Regression (Stat > Regression)
Permite executarmos análises de regressão simples, polinomial e múltipla com os mecanismos
stepwise, forward e backward de seleção de variáveis e regressão logística. Produz gráficos para
análise de resíduos e ajusta alguns modelos de regressão logística.
• ANOVA (Stat > ANOVA)
Permite executarmos a análise de variância, testar a homogeneidade de variâncias e gerar diversos gráficos. Os principais comandos são:
Oneway: executa a análise de variância com um fator (one way), com as respostas em uma
coluna e os índices em outra. Também possibilita a comparação das médias através dos testes
de Tukey, Dunnett etc.
Oneway (Unstacked): executa a análise de variância para o modelo com um fator (One way),
com as respostas de cada tratamento colocadas em colunas diferentes.
Twoway: executa a análise de variância para o modelo com dois fatores (Two way) e dados
balanceados.
Analysis of Means: mostra um gráfico de Análise de Médias e uma tabela resumo para dados
normais, binomiais e de Poisson.
Balanced ANOVA: analisa dados uni ou multivariados, balanceados, através de modelos
mistos com fatores cruzados e hierárquicos.
General Linear Model: executa a análise de variância para dados uni ou multivariados e
desbalanceados com fatores cruzados e hierárquicos e covariáveis. Executa também a análise
de variância multivariada.
Fully Nested ANOVA: executa a análise de variância para modelos hierárquicos (nested) e
estima componentes de variância para cada variável resposta.
Introdução ao uso do MINITAB®
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Balanced MANOVA: executa a análise de variância multivariada de delineamentos balanceados (todas as combinações de níveis de fatores devem ter o mesmo número de repetições).
General MANOVA: executa a análise de variância multivariada de delineamentos balanceados ou desbalanceados, ou que envolve covariáveis.
Test for Equal Variances: executa os testes F, de Bartlett e de Levene para a homogeneidade
de variâncias.
Interval Plot...: produz um gráfico de grupos de médias com barras de erro padrão ou de
intervalos de confiança das médias.
Main Effects Plot: gera um gráfico de médias dos níveis dos fatores.
Interactions Plot: gera um gráfico da interação dos níveis dos fatores (ou matriz de gráficos)
• DOE (Design of Experiments) (Stat > DOE)
Disponibiliza diversas opções para criação e análise de delineamentos experimentais ortogonais.
• Control Charts (Stat > Control Charts)
Disponibiliza diversos tipos de gráficos para o controle de qualidade para dados numéricos ou
não.
• Quality Tools (Stat > Quality Tools)
Disponibiliza diversas técnicas para construção de gráficos de qualidade e checa a acurácia e a
precisão de um sistema de medidas.
• Reliability/Survival (Stat > Reliability/Survival)
Disponibiliza alguns comandos para analisar dados de tempos de falha e ferramentas para estimar a variabilidade de funções que descrevem tais distribuições. Possibilita também a análise de
tabelas de sobrevivência.
• Multivariate (Stat >Multivariate)
Proporciona a execução de análises multivariadas, como a de Componentes Principais (PCA),
Análise de Fatores ou Fatorial, Análise Discriminante etc.
• Time Series (Stat > Time Series)
Disponibiliza a análise de séries temporais e diversas técnicas de análise descritiva de tais
conjuntos de dados.
• Tables (Stat > Tables)
Imprime tabelas de contingência com uma ou duas entradas para variáveis associadas e executa
uma análise de Qui-quadrado.
Cross Tabulation: imprime tabelas de contingência e tabelas de estatísticas para variáveis
associadas.
Tally: imprime tabelas de freqüência absolutas e percentuais de variáveis numéricas.
Chisquare Test: executa a análise de Qui-quadrado de tabelas de contingência.
• Nonparametrics (Stat > Nonparametrics)
Permite a execução de diversos testes não paramétricos, como os Testes dos sinais, de Wilcoxon,
Mann-Whitney, Kruskal-Wallis etc., além da construção de intervalos de confiança para a
mediana.
• EDA (Exploratory Data Analysis) (Stat > EDA)
Disponibiliza diversas ferramentas para fazer uma análise exploratória de dados, como os
gráficos de ramos e folhas (stem-and-leaf), boxplot etc. Tais métodos são utilizados antes dos
métodos tradicionais de análise, ou para examinar os resíduos de um modelo. Também são úteis
Introdução ao uso do MINITAB®
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para identificar observações discrepantes e examinar a violação de suposições de modelos, como
a não linearidade dos resíduos ou a heterocedasticidade das variâncias.
3. USANDO O MINITAB PARA SIMULAÇÕES E CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Vamos explorar a capacidade do MINITAB de simular distribuições de probabilidades de
variáveis aleatórias discretas (Bernoulli, Binomial, Poisson etc.) e contínuas (Exponencial, Normal,
Qui-quadrado, t-Student, F-Snedecor etc.), que pode ser feito através do comando random, disponível em Calc > Random Data.
Além disso, o MINITAB também tem recursos para o cálculo de probabilidades, com os
comandos: PDF (probability distribution function) e CDF (cumulative distribution function), que
estão disponíveis em Calc > Probability Distributions.
A seguir serão apresentados alguns detalhes de aplicação desses comandos em exemplos
bastante comuns nos estudos já desenvolvidos nas aulas de Estatística I e que voltarão a ser necessários nas aulas do curso de Estatística II e Estatística Experimental.
COMANDO PDF (probability distribution function): Permite calcular probabilidades (distribuições discretas) ou densidades (distribuições contínuas). O nosso propósito é o de calcular probabilidades para variáveis discretas. Por exemplo: para a distribuição Binomial, X ~B(n, p), é possível usar este comando com dois propósitos diferentes:
i) Construir uma distribuição de probabilidades completa para a Binomial, com parâmetros n e p.
Por exemplo, para n = 7 e p = 0,3:
MTB > PDF;
SUBC> BINOMIAL 7 0.3.
gera a seguinte saída:
Probability Density Function
Binomial with n = 7 and p = 0.300000
x
P( X = x)
0
0.0824
1
0.2471
2
0.3177
3
0.2269
4
0.0972
5
0.0250
6
0.0036
7
0.0002
ii) Calcular a probabilidade de que a v.a. X ~ B(n = 7 e p = 0.3) assuma o valor k = 4, ou seja,
calcular P(X = 4).
MTB > PDF 4;
SUBC> BINOMIAL 7 0.3.
Probability Density Function
Binomial with n = 7 and p = 0.300000
x
P( X = x)
4.00
0.0972
Introdução ao uso do MINITAB®
7
COMANDO CDF (cumulative distribution function): permite calcular a probabilidade acumulada até um valor k fixado, ou seja, calcular F(k) = P(X ≤ k). Para uma distribuição binomial com
n = 7 e p = 0.3, podemos calcular P(X ≤ 4) utilizando os resultados já calculados anteriormente,
fazendo:
P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= 0,0824 + 0,2471 + 0,3177 + 0,2269 + 0,0972
= 0,9712
Porém, este resultado pode ser obtido mais facilmente utilizando o comando CDF:
MTB > CDF 4;
SUBC> BINOMIAL 7 0.3.
Cumulative Distribution Function
Binomial with n = 7 and p = 0.300000
x
P( X <= x)
4.00
0.9712
ou seja: a probabilidade de encontrarmos até 4 sucessos, quando X ~ B(7; 0,3) é igual a 0,9712.
Podemos estar interessados também, em calcular probabilidades acumuladas para diversas
distribuições associadas a variáveis contínuas, como a normal, qui-quadrado, F-Snedecor, t-Student
etc. Por exemplo: para calcular a probabilidade de uma variável normal reduzida, N(µ = 0; σ2 = 1),
assumir valores iguais ou inferiores a 1, P(Z ≤ 1), usamos o comando:
MTB > CDF 1;
SUBC> NORMAL 0 1.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 0 and standard deviation = 1.00000
x
P( X <= x)
1.0000
0.8413
OBS: Quando usamos uma variável normal reduzida, não precisamos indicar quais são os valores da média e do desvio padrão, ou seja, basta usar os comandos:
MTB > CDF 1;
SUBC> NORMAL.
A probabilidade da variável aleatória "X = altura dos calouros 99", que tem distribuição
normal com média 1,70m e variância 0,01m2 (e desvio padrão 0,10m), assumir valores iguais ou
inferiores a 1,85, P(X ≤ 1,85), pode ser obtida com o comando:
MTB >
SUBC>
CDF 1.85;
NORMAL 1.70 0.10.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 1.70000 and standard deviation = 0.100000
x
P( X <= x)
1.8500
0.9332
ou seja, 93,3% dos calouros 99 têm altura igual ou inferior a 1,85 metros.
Introdução ao uso do MINITAB®
8
COMANDO INVCDF ( inverse cumulative distribution function): Faz o papel inverso do comando CDF, ou seja, calcula o número x , que deixa à sua esquerda a probabilidade indicada. Deste
modo, o comando:
MTB >
SUBC>
INVCDF 0.95;
NORMAL.
Inverse Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 0 and standard deviation = 1.00000
P( X <= x)
x
0.9500
1.6449
ou seja, o valor 1,6449 ≅ 1,65, da normal reduzida, deixa à sua esquerda uma área igual a 95%,
ou ainda: P(X ≤ 1,65) = 0,95.
Outro exemplo: “Qual é a altura, acima da qual estão 28% dos calouros de 99?”. Para tanto,
basta usar o comando:
MTB >
SUBC>
INVCDF 0.72;
NORMAL 1.70 0.10.
Inverse Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 1.70000 and standard deviation = 0.100000
P( X <= x)
x
0.7200
1.7583
ou seja, abaixo de 1,76m estão 72% dos calouros 99, ou então, acima de 1,76m estão 28% dos
calouros de 99.
COMANDO RANDOM: Permite gerar amostras aleatórias de distribuições teóricas associadas a
variáveis discretas ou contínuas. Por exemplo: estamos interessados em estudar um experimento
que consiste em contar o "número de eleitores favoráveis a um certo candidato A" numa amostra
de 10 eleitores, supondo que a porcentagem de eleitores favoráveis a este candidato tenha sido
estimada em 0,70. (Perceba nesta descrição que a variável envolvida tem distribuição binomial
de parâmetros n=10 e p=0,70). Assim os comandos:
MTB > RANDOM 15 C1;
SUBC > BINOMIAL 10 0.7.
MTB > PRINT C1
simulam (e mostram) os resultados de 15 experimentos binomiais com n = 10 eleitores e p =
0,70, colocando-os na coluna C1:
Data Display
C1
8
7
6
5
7
8
8
8
6
7
8
7
4
6
6
Como sabemos que a média de uma variável com distribuição binomial, X ~ B(n; p) é igual a
E(X) = np e a variância é igual a Var(X) = np(1-p), temos que E(X) = 7 e Var(X) = 2,1 (e desvio
padrão = 1,4491). Para verificar se a amostra é representativa dessa população, usamos:
MTB >
DESCRIBE C1
Introdução ao uso do MINITAB®
9
Descriptive Statistics
Variable
C1
N
15
Mean
6.733
Median
7.000
Tr Mean
6.846
Variable
C1
Min
4.000
Max
8.000
Q1
6.000
Q3
8.000
StDev
1.223
SE Mean
0.316
e podemos perceber que a amostra representa razoavelmente bem a referida população, já que a
média e o desvio padrão amostrais foram iguais a 6,733 e 1,2223, respectivamente.
Se estivermos interessados em gerar uma amostra de tamanho n = 40 da variável X = "pesos
corporais de frangos da linhagem Hubbard, aos 42 dias de idade", sabendo-se que esta variável
tem distribuição normal N(µ = 1,80; σ2 =0,01), usamos o comando:
MTB >
SUBC>
RANDOM 40 C5;
NORMAL 1.80 0.10.
Para imprimir os dados simulados de C2 e as estatísticas descritivas correspondentes, usamos:
MTB >
PRINT C5
Data Display
C5
1.88368
1.85025
1.70791
1.84269
1.60558
MTB >
1.90070
1.95905
1.98492
1.74938
1.79857
1.74597
1.70512
1.77098
1.74669
1.66694
1.65488
1.82874
1.67058
1.61301
1.87760
1.74494
1.86497
1.84883
1.84342
1.75625
1.60249
1.96199
1.80105
1.61336
1.70891
1.78853
1.81543
1.84905
1.84578
1.83445
StDev
0.1770
SE Mean
0.0280
1.75199
1.71719
1.73582
1.84137
1.72964
DESCRIBE C2
Descriptive Statistics
Variable
C1
N
40
Mean
1.7807
Median
1.7747
Tr Mean
1.7841
Variable
C1
Min
1.3367
Max
2.1235
Q1
1.6640
Q3
1.9001
OBS: dificilmente os pesos que você obteve utilizando esses mesmos comandos serão idênticos
a esses. Lembre-se que o Minitab gera amostras aleatórias...
Se estivermos interessados em arredondar para duas casas decimais os pesos dos frangos
que estão em C5 e colocá-los em C6, usamos o comando round da seguinte maneira:
MTB > LET C6 = 0.01*ROUND(100*C5)
MTB > PRINT C6
Data Display
C3
1.88
1.71
1.85
1.85
1.90
1.83
1.80
1.84
1.75
1.86
1.85
1.61
1.65
1.96
1.74
1.80
1.74
1.82
1.84
1.67
1.60
1.72
1.75
1.88
1.79
1.71
1.75
1.76
1.75
1.98
1.61
1.71
1.85
1.77
1.84
1.83
1.96
1.67
1.61
1.73
Introdução ao uso do MINITAB®
10
COMANDO SAMPLE: Possibilita sortear amostras com ou sem reposição de alguma população
conhecida. Como exemplo, podemos utilizar os dados de peso da coluna C3 como sendo a população da qual queremos sortear uma amostra aleatória de tamanho 10. Isto pode ser feito de duas
maneiras:
i) sem reposição:
MTB > SAMPLE 10 C3 C10
coloca em C10 os dez valores de C3 (peso de frangos aos 42 dias) sorteados ao acaso e sem
reposição.
ii) com reposição:
MTB >
SUBC>
SAMPLE 10 C3 C11;
REPLACE.
coloca em C11 os dez valores de C3 sorteados ao acaso e com reposição.
4. INTERVALOS DE CONFIANÇA
O objetivo principal deste material é apresentar os comandos do Minitab que podem ser
usados para a construção de intervalos de confiança para a média (µ) de uma população com distribuição normal e para a proporção p de uma variável dicotômica.
4.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO COM DISTRIBUIÇÃO NORMAL
CASO 1: I.C. (µ
µ) quando a variância populacional (σ
σ2) é conhecida
Usar o caminho Stat > Basic Statistics > 1-Sample z, ou o comando ZINTERVAL:
MTB > ZINTERVAL [coeficiente de confiança] sigma Ci
Comentários:
• Esse comando permite calcular o I.C.(µ) a partir dos dados amostrais de uma variável Ci que
tem distribuição normal com desvio padrão σ = sigma, conhecido.
• Se não informarmos o valor do desvio padrão, o Minitab assumirá sigma = 1;
• Se não informarmos qual o valor do coeficiente de confiança, o Minitab assumirá γ = 95%;
Exemplo: Calcular o I.C. para a média das idades dos alunos de Estatística I da turma de 1997,
que tem distribuição normal e desvio padrão σ = 1, baseado na seguinte amostra de n = 10
alunos: {19; 17; 19; 18; 17; 20; 18; 19; 20; 18}. Após colocarmos os dados na coluna C7,
usamos o comando:
MTB > NAME C7 'Idade'
MTB > ZINTERVAL 95 1 C7
Introdução ao uso do MINITAB®
11
Confidence Intervals
The assumed sigma = 1.00
Variable N
Idade
10
Mean
18.500
StDev
1.080
SE Mean
0.316
95.0 % CI
(17.880, 19.120)
ou seja: o I.C.(µ; γ = 95%) = [17,88; 19,12] anos contem o verdadeiro valor da idade média dos
alunos de Estatística I, com 95% de confiança. Se quisermos um I.C.(µ) com uma confiança γ =
99%, basta trocarmos no comando acima, o valor 95 por 99.
CASO 2: I.C.(µ
µ) quando a variância populacional (σ
σ2) é desconhecida
Usar o caminho: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t ou o comando TINTERVAL:
MTB > TINTERVAL [coeficiente de confiança] Ci
• Permite calcular o I.C. para a média µ de uma variável Ci (ou mais variáveis) com distribuição
normal e variância populacional (σ2) desconhecida;
• O Minitab se incumbe de estimar a variância, já que ela é desconhecida.
Exemplo: calcular o I.C. γ = 95%, para a média das idades dos alunos de Estatística I, que tem
distribuição normal, baseado na seguinte amostra de n = 10 alunos: {19; 17; 19; 18; 17; 20; 18;
19; 20; 18}.
MTB > TINTERVAL 95 C1
Confidence Intervals
Variable
N
Mean
Idade
10
18.500
StDev
1.080
SE Mean
0.342
95.0 % CI
(17.727, 19.273)
Ou seja: o intervalo [17,727; 19,273] anos, contem o verdadeiro valor da média das idades dos
alunos do curso de Estatística I, com γ = 95% de confiança.
4.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO (p)
Para calcularmos o I.C.(p) podemos entrar com os dados numa coluna (Ci) ou indicar o
tamanho da amostra e o número de sucessos.
Exemplo: numa amostra de n = 100 elementos, temos 42 sucessos e 58 fracassos, então devemos
criar uma coluna (C8, por exemplo) com 42 números “1” e 58 números “0”, de modo que a média
desta coluna seja igual a 42/100 = 0.42, que coincide com a proporção de sucessos. No Minitab,
isso é feito com o comando:
MTB > set c8
DATA> 42(1) 58(0)
DATA> end
Introdução ao uso do MINITAB®
12
CASO 1: Amostras grandes
Como neste caso o intervalo de confiança é baseado na distribuição normal, usar o caminho Stat
> Basic Statistics > 1 Proportion... e escolher C8 em Samples in columns: e em Options
marcar Use test and interval based on normal distribution, ou o comando:
MTB > POne c8;
SUBC> UseZ.
resultando em:
Test and CI for One Proportion: C8
Test of p = 0.5 vs p not = 0.5
Success = 1
Variable
C8
X
42
N
100
Sample p
0.420000
95.0% CI
(0.323264; 0.516736)
Z-Value
-1.60
P-Value
0.110
e podemos afirmar que o intervalo [0,32; 0,52] contem a verdadeira proporção de sucessos com
uma confiança de 99%.
Note que este comando também executa um teste de hipóteses para a proporção, cujos resultados
serão comentados quando tratarmos desse assunto.
CASO 2: Amostras pequenas (usa a distribuição binomial)
Em Stat > Basic Statistics > 1 Proportion... escolher C8 em Samples in columns: ou o comando:
MTB > Pone c8
resultando em:
Test and CI for One Proportion: C8
Test of p = 0.5 vs p not = 0.5
Success = 1
Variable
C8
X
42
N
100
Sample p
0.420000
95.0% CI
(0.321986; 0.522881)
Exact
P-Value
0.133
OBS: Vale observar que esse intervalo tem uma amplitude maior que o do intervalo de confiança
baseado na distribuição normal.
Ao invés de entrarmos com os dados na coluna C8 podemos especificar em Stat > Basic
Statistics > 1 Proportion... > Summarized data, o número de tentativas (Number of trials) igual a
100 e o número de sucessos (Number of successess) igual a 42. A seguir devemos escolher se o IC
será baseado na distribuição normal (Use test and interval based on normal distribution) ou não.
Introdução ao uso do MINITAB®
13
5. TESTES DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL E PARA A PROPORÇÃO
µ) QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL É CONHE5.1. TESTE PARA A MÉDIA (µ
CIDA
Usar o caminho Stat > Basic Statistics > 1-Sample z ou o comando ZTEST, cuja sintaxe é:
MTB > ZTEST [µ0] [sigma] C;
SUBC> ALTERNATIVE [k].
• Executa o teste de hipótese: H0: µ = µ0 vs. H1: µ < µ0 (ou H1: µ ≠ µ0 ou H1: µ > µ0) quando a
variância é conhecida.
• Se não informarmos os valores de µ0 e sigma, o Minitab assume os valores 0 e 1, respectivamente.
• Para a hipótese alternativa H1: µ < µ0 devemos escolher k = –1; para H1: µ ≠ µ0, usar k = 0 e
para H1: µ > µ0, usar k = +1.
• Se o valor de k for omitido, o programa assume k = 0;
Exemplo: Testar a hipótese de que a idade média dos alunos de Estatística I é igual a 18 anos,
admitindo que σ2 = 1, baseado na amostra de n = 10 alunos: {19; 17; 19; 18; 17; 20; 18; 19; 20;
18}. Após digitarmos os dados na coluna C1, usamos o comando:
MTB > ZTEST 18 1 C1;
SUBC> ALTERNATIVE 0.
Ou então: Stat > Basic Statistics > 1-Sample z, escolhemos C1 em Variables, colocamos o
valor 18 em Test mean, escolhemos not equal em Alternative e digitamos o valor 1.0 em
Sigma. Em ambos os casos, o resultado é o seguinte:
Z-Test
Test of mu = 18.000 vs mu not = 18.000
The assumed sigma = 1.00
Variable
N
Mean
Idade
10
18.500
StDev
1.080
SE Mean
0.316
Z
1.58
P
0.11
que apresenta uma descrição das hipóteses envolvidas no teste, o valor do desvio padrão (σ = 1),
o tamanho da amostra (n = 10), o valor da média amostral ( x =18,50), o desvio padrão amostral
(s = 1,080), o erro padrão da média (s( x ) = 0,316), o valor da estatística Z (zcalc = 1,58) e o nível
descritivo do teste ( α̂ = P = 0,11), ou seja, para rejeitarmos H0 precisamos assumir um nível de
significância igual ou superior a 11%.
5.2. TESTE PARA A MÉDIA QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL É DESCONHECIDA
Usar o caminho: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t ou o comando TTEST, cuja sintaxe é:
MTB > TTEST [µ0] C;
SUBC> ALTERNATIVE [k].
Introdução ao uso do MINITAB®
14
• É usado quando queremos realizar um teste de hipótese para a média de uma população normal e desconhecemos a variância populacional σ2.
• Sua sintaxe é bastante similar à do comando ZTEST .
Exemplo: Para testar a hipótese de que idade média dos alunos de Estatística I é igual a 18 anos,
usamos o comando:
MTB > TTest 18 C1;
SUBC> Alternative 0.
Ou seguimos o caminho: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t, escolhemos C1 em Variables,
colocamos o valor 18 em Test mean e escolhemos not equal em Alternative. O resultado é o
seguinte:
T-Test of the Mean
Test of mu = 18.000 vs mu not = 18.000
Variable
Idade
N
10
Mean
18.500
StDev
1.080
SE Mean
0.342
T
1.46
P
0.18
Como o valor do nível descritivo do teste é relativamente grande ( α̂ = P = 0,18), podemos
assumir que os alunos de Estatística I, em média, não têm idade diferente de 18 anos.
5.3. TESTE PARA A PROPORÇÃO
Usar o caminho: Stat > Basic Statistics > 1 Proportion ou o comando Pone. Quando os
dados já estiverem digitados em numa coluna (Ci) e utilizarmos a distribuição normal (caso de
grandes amostras), devemos usar os comandos:
MTB >
SUBC>
SUBC>
SUBC>
POne Ci;
Test [p];
Alternative [k];
UseZ.
Se não optarmos pela aproximação normal, devemos excluir o subcomando da última linha. Outra
possibilidade consiste em indicarmos o número de elementos da amostra (Number of trials) e o número de casos favoráveis (Number of successes) em Summarized data.
Exemplo: Precisando saber se um candidato vai se reeleger como prefeito de Pirassununga, foi feita
uma pesquisa com 180 eleitores, dentre os quais, 95 são favoráveis à reeleição. Ao nível α = 5%
podemos concluir que a proporção de eleitores favoráveis à reeleição é superior 50%?
Seguimos o caminho: Stat > Basic Statistics > 1 Proportion, em Summarized data, digitamos
180 como Number of trials: e 95 em Number of successes. A seguir, em Options, indicamos em
Test proportion o valor 0.50, em Alternative: greater then e usamos a opção Use test and
interval based on normal distribution. Como alternativa, digitamos:
MTB > POne 180 95;
SUBC>
Test .50;
SUBC>
Alternative 1;
SUBC>
UseZ.
Introdução ao uso do MINITAB®
15
Test and CI for One Proportion
Test of p = 0.5 vs p > 0.5
Sample
X
N Sample p
1
95
180 0.527778
95.0% Lower Bound
0.466572
Z-Value
0.75
P-Value
0.228
e podemos concluir que a hipótese H0: p = 0,50 não deve ser rejeitada, pois o nível descritivo do
teste é muito alto ( α̂ = P = 0,228), ou seja, a reeleição do candidato A não está garantida.
6. COMPARAÇÕES ENTRE AS MÉDIAS DE DUAS DISTRIBUIÇÕES NORMAIS
Para compararmos as médias de duas populações normalmente distribuídas e independentes,
ou seja, Ho: µi = µj versus H1: µi ≠ µj (ou H1: µi > µj ou ainda H1: µi < µj), quando as variâncias
populacionais são desconhecidas, seguimos o caminho Stat > Basic Statistics > 2-Sample t ou usamos o comando:
MTB > TWOSAMPLE [coeficiente de confiança] Ci Cj
• Ci e Cj identificam as colunas onde estão inseridos os valores amostrais das duas populações.
• Se as variâncias populacionais forem consideradas iguais, usamos também o subcomando
POOLED.
• Se o coeficiente de confiança (γ) for omitido, será calculado um I.C. para a diferença entre as
médias populacionais assumindo γ = 95%.
Exemplo: Utilizando os dados do exemplo da seção 4.1e assumindo que uma outra amostra de idades foi retirada da turma de 1998, cujos resultados foram {18; 19; 19; 19; 18; 18; 17; 18; 19; 18},
desejamos testar se as idades médias das turmas de 1997 e 1998 podem ser consideradas iguais.
C1
1997
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
19
17
19
18
17
20
18
19
20
18
C2
1998
18
19
19
19
18
18
17
18
19
18
C3
Amostra
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C4
Idade
19
17
19
18
17
20
18
19
20
18
18
19
19
19
18
18
17
18
19
18
Os dados das amostras podem estar colocados em colunas diferentes (C1 e C2, respectivamente) ou empilhadas na coluna C4, mas com a
coluna C3 indicando o número da amostra correspondente, de acordo com a figura abaixo:
Para empilharmos os dados das colunas C1
(1997) e C2 (1998) na coluna C4, colocando em
C3 um índice associando o número da amostra,
usamos o comando:
MTB > Stack (c1 c2) c4;
SUBC> Subscripts c3.
Como já sabemos, antes de compararmos as
médias, devemos saber se podemos admitir que as
variâncias das idades das duas turmas podem ser
consideradas iguais ou não.
Para compararmos as variâncias das duas
turmas, que consiste em testar H0: σ12 = σ22 versus
H1: σ12 ≠ σ22 , usamos:
Introdução ao uso do MINITAB®
16
MTB > %Vartest C4 C3;
SUBC> Confidence 95.0.
Resultando em:
Test for Equal Variances
Response
Factors
ConfLvl
Idade
Amostra
95.0000
Bonferroni confidence intervals
Lower
Sigma
Upper
0.706534
1.08012
2.17499
0.441500
0.67495
1.35911
for standard deviations
N Factor Levels
10
1
10
2
F-Test (normal distribution)
Test Statistic: 2.561
P-Value
: 0.177
Levene's Test (any continuous distribution)
Test Statistic: 2.939
Ou seja, pelos testes F e de Levene, a igualdade das variâncias foi aceita, pois o nível descritivo
associado às estatísticas foi igual ou superior a 0,104 (valor que pode ser considerado alto!).
Após a decisão sobre a igualdade (ou não) das variâncias, podemos comparar as médias populacionais, usando o teste t-Student conveniente.
CASO 1. AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS FORAM CONSIDERADAS IGUAIS
Seguimos o caminho: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t, em > Samples in different
columns indicamos C1 em First e C2 em Second. A seguir escolhemos Alternative: not equal e
clicamos em Assume equal variances. Alternativamente, usamos o comando:
MTB > TWOSAMPLE 95 c1 c2;
SUBC> Alternative 0;
SUBC> pooled.
Two-Sample T-Test and CI: Amostra 1; Amostra 2
Two-sample T for Amostra 1 vs Amostra 2
Amostra1
Amostra2
N
10
10
Mean
18.50
18.300
StDev
1.08
0.675
SE Mean
0.34
0.21
Difference = mu Amostra 1 - mu Amostra 2
Estimate for difference: 0.200
95% CI for difference: (-0.646; 1.046)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value= 0.50 P-Value= 0.626 DF= 18
Both use Pooled StDev = 0.901
Observe que são apresentados:
• a média (mean), o desvio padrão (StDev) e o erro padrão da média (SE Mean) de cada uma das
amostras;
Introdução ao uso do MINITAB®
17
• um intervalo de confiança para a diferença das médias, com γ = 95%;
• o valor da estatística t-Student (T=0.50), o nível descritivo do teste ( α̂ = P = 0.626) e o número
de graus de liberdade (DF=18);
• o valor do desvio padrão comum (Both use Pooled StDev) é 0,901 e é usado no teste porque
assumimos que as variâncias podem ser consideradas iguais.
• Como o nível descritivo do teste foi alto ( α̂ = P = 0,63), não temos motivos para rejeitar a hipótese H0 e concluímos que as idades médias das turmas de 1997 e 1998 são iguais.
Podemos também realizar o teste com os dados que estão empilhados em C3 e C4, usando os
comandos:
MTB > TWOT 95 C4 C3;
SUBC> Alternative 0;
SUBC> Pooled.
Ou usando o caminho: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t e indicamos C4 em Samples in the
column > Samples e C3 em Subscripts. A seguir escolhemos Alternative: not equal e clicamos em Assume equal variances.
CASO 2. AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS FORAM CONSIDERADAS DIFERENTES
Para desejamos comparar as médias de duas populações normalmente distribuídas e com
variân-cias desconhecidas e diferentes, usamos o caminho: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t,
em > Samples in different columns indicamos C1 em First e C2 em Second. A seguir escolhemos
Alternative: not equal, mas não selecionamos Assume equal variances.
Quando não usamos a opção Assume equal variances, o Minitab faz a comparação das
médias usando a estatística t-Student aproximada, com número de graus de liberdade calculados
pela fórmula de Sattertwait. Alternativamente, podemos usar o comando:
MTB > TWOSAMPLE C1 C2
Two Sample T-Test and Confidence Interval
Two sample T for Amostra1 vs Amostra2
N
Mean
StDev
SE Mean
Amostra1 10
18.50
1.08
0.34
Amostra2 10
18.300
0.675
0.21
95% CI for mu Amostra1 - mu Amostra2: ( -0.66, 1.06)
T-Test mu Amostra1 = mu Amostra2 (vs not =): T=0.50 P=0.63
DF=15
Ou seja: como o nível descritivo do teste foi alto (0,63), não temos motivos para rejeitar a hipótese H0 e então, concluímos que as médias dos dois grupos de idades são iguais.
Introdução ao uso do MINITAB®
18
7. COMPARAÇÃO DE MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES DEPENDENTES –
DADOS PAREADOS.
Outro problema bastante comum consiste em compararmos as médias de duas populações
normais que não são independentes, ou seja, os dados são pareados.
Exemplo (Apostila de Estatística II) Com o objetivo de testar (α = 5%) se a suplementação de
alfafa aumenta o ganho médio de peso de coelhos em mais de 0,10kg, foram utilizados 8 pares de
coelhos. Os resultados foram os seguintes:
Par no
X (com)
Y (sem)
1
0,72
0,32
2
0,90
0,49
3
0,67
0,51
4
0,83
0,45
5
0,67
0,70
6
0,93
0,52
7
0,80
0,35
8
0,75
0,60
Para fazermos a comparação de médias proposta, precisamos criar as três colunas de dados: C5,
C6 e C7, que é obtida:
MTB > Let c7 = c5 - c6
1
2
3
4
5
6
7
8
C5
Com
C6
Sem
C7
D=Com-Sem
0.72
0.90
0.67
0.83
0.32
0.49
0.51
0.45
0.40
0.41
0.16
0.38
0.67
0.93
0.70
0.52
-0.03
0.41
0.80
0.75
0.35
0.60
0.45
0.15
Após a criação da coluna C7, para testarmos
H0: µD = 0,10 vs H1: µD > 0,10, seguimos o
caminho: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t,
escolhemos C7 em Variables, colocamos o valor
0.10 em Test mean e escolhemos greater than
em Alternative. Uma maneira alternativa, comsiste em entrar com o comando:
MTB > ttest 0.10 C7;
SUBC> alternative 1.
Resultado em:
T-Test of the Mean
Test of mu = 0.1000 vs mu > 0.1000
Variable
D=COM-SEM
N
8
Mean
0.2913
StDev
0.1746
SE Mean
0.0617
T
3.10
P
0.0087
Como o nível descritivo do teste é muito pequeno (p = 0.0087) rejeitamos a hipótese H0 e comcluímos que a suplementação de alfafa aumenta o ganho médio de peso de coelhos em mais de
0,10 kg.
Outra alternativa de executar o teste consiste em utilizar os comandos:
MTB > Paired 'Com' 'Sem';
SUBC>
Test .10;
SUBC>
Alternative 1.
ou o caminho: Stat > Basic Statistics > Paired t..., indicando C5 como First sample e C6 em
Second sample. Resultando em:
Introdução ao uso do MINITAB®
19
Paired T-Test and CI: Com; Sem
Paired T for Com - Sem
N
Mean
Com
8
0.7837
Sem
8
0.4925
Difference
8
0.2912
StDev
0.0988
0.1240
0.1746
SE Mean
0.0349
0.0438
0.0617
95% lower bound for mean difference: 0.1743
T-Test of mean difference = 0.1 (vs > 0.1): T-Value = 3.10
P-Value = 0.009
8. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
A seguir veremos como usar o Minitab para estudar o relacionamento entre duas variáveis
quantitativas, calculando o coeficiente de correlação linear (de Pearson) entre elas e ajustando uma
reta que relaciona uma variável Y (variável resposta ou dependente) e outra variável X (também
chamada de covariada, variável explanatória ou independente).
8.1. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON
Exemplo (da Apostila de Estatística II) Com o objetivo de estudar a relação entre o peso médio
de coelhos ao abate (Y), em quilogramas, e o tamanho de ninhada (X), foram coletados na granja do
Campus os dados apresentados a seguir.
X: Tamanho da ninhada
Y: Peso médio ao abate
4
2,125
8
1,980
6
2,270
1
2,300
7
1,880
3
2,320
7
1,860
5
2,050
Vamos colocar os dados das variáveis X e Y nas colunas C8 e C9.
1
2
3
4
5
6
7
8
C8
Ninhada
4
8
6
1
7
3
7
5
C9
Peso
2.125
1.980
2.270
2.300
1.880
2.320
1.860
2.050
Para visualizarmos a possível relação entre as variáveis:
Ninhada e Peso ao Abate, seguimos o caminho: Graph > Plot
e em Graph variables escolhemos C9 em Y e C8 em X, por
exemplo. Ou então, digitamos:
MTB > plot C9*C8
(note que os valores da coluna C9 vão aparecer no eixo-y e os
valores da coluna C8, no eixo-x)
• Pode-se observar no gráfico que, à medida que o tamanho da ninhada aumenta, ocorre uma
diminuição do peso ao abate, indicando uma correlação negativa entre as duas variáveis.
Introdução ao uso do MINITAB®
20
2.35
Peso
2.25
2.15
2.05
1.95
1.85
1
2
3
4
5
6
7
8
Ninhada
Gráfico de dispersão dos pesos ao abate (kg) e tamanhos de ninhada de coelhos
Para calcularmos o coeficiente de correlação linear de Pearson entre as colunas C8 e C9 seguimos o caminho: Stat > Basic statistics > Correlation... e escolhemos C8 e C9 como Variables.
Ou então, digitamos:
MTB > Correlation C8 C9
Correlations: Ninhada; Peso
Pearson correlation of Ninhada and Peso = -0.776
P-Value = 0.024
• confirmada a correlação negativa (–0,776) entre o tamanho da ninhada e o peso ao abate. A hipótese H: ρ(X, Y) = 0 foi rejeitada, pois o nível descritivo do teste (P-Value= 0,024) foi pequeno. Concluimos então que existe uma dependência entre X: tamanho da ninhada e Y: peso ao
abate de coelhos.
8.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Exemplo (Apostila de Estatística II) Determinar a reta que relaciona a Absorbância (Y) com a
concentração de nitrito (X, em mg/100ml) em amostras de mortadela. Os dados experimentais são:
X: nitrito
Y: Absorbância
0,5
0,040
1,0
0,078
2,0
0,145
3,0
0,215
4,0
0,300
5,0
0,340
6,0
0,395
7,0
0,460
8,0
0,560
9,0
0,715
Antes de realizarmos os cálculos, é importante visualizarmos a (possível !) relação linear entre as
variáveis X: Nitrito e Y: Absorbância. Isso pode ser feito através do comando:
MTB > plot C11*C10
Introdução ao uso do MINITAB®
21
Colocando os dados de X: Nitrito e Y: Absorbância nas colunas C10 e C11, respectivamente, a
análise de regressão é feita da seguinte maneira: Stat > Regression > Regression... e escolhemos C11 como Response, e C10 como Predictors. Ou então, usamos o comando:
MTB > Regress C11 1 C10
The regression equation is
Y:Absorbância = - 0.0044 + 0.0724 X:Nitrito
Predictor
Constant
X:Nitrit
Coef
-0.00439
0.072350
SE Coef
0.01975
0.003698
S = 0.03271
R-Sq = 98.0%
(5)
Analysis of Variance
Source
Regression
Residual Error
Total
DF
1
8
9
SS
0.40947
0.00856
0.41803
(1)
T
-0.22
19.56
P
0.830
0.000
R-Sq(adj) = 97.7%
MS
0.40947
0.00107
F
382.69
(2)
(3)
(4)
P
0.000
(6)
Unusual Observations
Obs
X:Nitrit
Y:Absorb
Fit
SE Fit
Residual
10
9.00
0.7150
0.6468
0.0194
0.0682
R denotes an observation with a large standardized residual
St Resid
2.59R
Onde podemos identificar:
(1) A equação da reta ajustada: Y:Absorbância = –0.0044 + 0.0724 X:Nitrito.
(2) A estimativa do intercepto ( â = –0,00439), o seu erro padrão (0,01975), o valor da estatística
para o teste H0: a = 0 vs. H1: a ≠ 0 é T = –0,22 e o nível descritivo do teste é P = 0,830.
(3) A estimativa da inclinação ( b̂ = 0,072350), o seu erro padrão (0,003698), o valor da estatística para o teste H0: b = 0 vs. H1: b ≠ 0 é T = 19,56 e o nível descritivo do teste é P = 0,000.
(4) A estimativa do desvio padrão é s = 0,03271, o coeficiente de determinação (R2) é R-Sq =
98,0% e o coeficiente de determinação ajustado (R2ajust) para o número de parâmetros é RSq(adj) = 97,7%
(5) O quadro da análise de variância para a regressão, indicando que o modelo de regressão
linear foi significativo (isto é, explica bem o relacionamento entre Y e X), já que a fonte de
variação associada ao modelo (Regression) é significativa (P = 0.000)
(6) Indica que a décima observação (X = 9 e Y = 0,7150) apresenta um grande residuo padronizado, sendo uma séria candidata a outlier.
Comentários: o intercepto pode ser retirado do modelo, pois a hipótese H0: a = 0 não foi rejeitada; o coeficiente angular da reta (inclinação) não é nulo, pois a hipótese H0: b = 0 foi rejeitada; o
valor alto do coeficiente de determinação (R2) indica uma boa qualidade do ajuste.
Para solicitarmos a construção de um gráfico dos resíduos do modelo em função da variável X:
Nitrito, após definirmos o modelo de regressão linear, vamos para Graphs > Residuals for
Plots > Regular e em Residuals versus the variables: escolhemos C10. O gráfico resultante
sugere a não existência de aleatoriedade dos resíduos e a presença de um outlier.
Introdução ao uso do MINITAB®
22
Residuals Versus X:Nitrit
(response is Y:Absorb)
outlier
Residual
0.05
0.00
-0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X:Nitrit
Se quisermos que o modelo de regressão não contenha o intercepto, fazemos: Stat > Regression
> Regression..., como Response escolhemos a coluna C11 e como Predictors, a coluna C10 e
em Options desmarcamos a opção Fit intercept. Ou então, utilizamos o comando:
MTB > Regress 'Y:Absorbancia' 1 'X:Nitrito';
SUBC> NoConstant;
The regression equation is
Y:Absorbancia = 0.0716 X:Nitrito
Predictor
Noconstant
X:Nitrito
Coef
SE Coef
T
P
0.071649
0.001832
39.12
0.000
SS
1.4644
0.0086
1.4730
MS
1.4644
0.0010
F
1530.18
S = 0.03094
Analysis of Variance
Source
DF
Regression
1
Residual Error
9
Total
10
Unusual Observations
Obs
X:Nitrit
Y:Absorb
10
9.00
0.71500
Fit
0.64484
SE Fit
0.01648
P
0.000
Residual
0.07016
St Resid
2.68R
• Dos resultados apresentados, temos que a estimativa da inclinação da reta que passa pela origem
é 0,071649, um pouco inferior à do modelo com intercepto (0.072350).
• Mais uma vez, o Minitab indica que a décima observação é candidata a valor discrepante.
Sugestão: retirar este par de valores (X=9, Y=0,7150) do conjunto de dados e refazer a análise.
• Como exercício, faça isso e verifique que o problema da presença de outlier fica resolvido e as
conclusões sobre o modelo não se alteram.
Introdução ao uso do MINITAB®
23
9. TABELAS DE CONTINGÊNCIA
•
•
•
•
No módulo Stat > Tables encontramos as ferramentas para construção de tabelas, como:
Cross tabulation: constrói tabelas de contingência para uma, duas ou mais variáveis categóricas. As suas células podem conter contagens, porcentagens e estatísticas descritivas tais como a
média e o desvio padrão, associadas a variáveis numéricas. Também disponibiliza o teste de
Quiquadrado testar a associação de variáveis.
Tally: constrói tabelas com freqüências absolutas, percentuais e percentuais acumuladas para os
valores distintos das variáveis.
Chi-Squared Test: faz o teste de Quiquadrado de uma tabela de contingência.
Multiple Correspondence Analysis: executa a análise de correspondência para três ou mais
variáveis categóricas.
Para exercitar o uso de alguns desses comandos, vamos utilizar os dados da tabela com
características da turma de Estatística II de 1997.
1) Para construir uma distribuição de freqüências da variável Idade, seguimos o caminho Stat >
Tables > Tally..., selecionamos a variável Idade e todas as opções de Display, ou digitamos:
MTB > Tally 'Idade';
SUBC>
Counts;
SUBC>
CumCounts;
SUBC>
Percents;
SUBC>
CumPercents.
Tally for Discrete Variables: Idade
Idade Count CumCnt Percent CumPct
18
5
5
16.13 16.13
19
9
14
29.03 45.16
20
8
22
25.81 70.97
21
6
28
19.35 90.32
22
1
29
3.23 93.55
23
2
31
6.45 100.00
N=
31
2) Será que a maioria dos alunos que fizeram escola pública (2o grau) também fez cursinho?
Para ajudar a responder essa pergunta, vamos construir uma tabela de contingência das variáveis:
Escola pública? e Cursinho? usando: Stat > Tables > Cross tabulation..., escolhendo as
variáveis: Escola pública? e Cursinho? e selecionando como Display: Counts e Row percents,
ou digitamos:
MTB > Table 'Escola Pública?' 'Cursinho?';
SUBC>
Counts;
SUBC>
RowPercents.
Introdução ao uso do MINITAB®
24
Rows: Escola Pública?
Columns: Cursinho?
não
sim
All
não
10
40.00
15
60.00
25
100.00
sim
1
16.67
5
83.33
6
100.00
All
11
35.48
20
64.52
31
100.00
Cell Contents -- Count
% of Row
onde podemos perceber que 83,33% dos alunos que fizeram o 2o em Escola Pública precisaram
fazer cursinho; dentre os alunos de escola particular, essa porcentagem cai para 60%.
Para testarmos se existe alguma relação entre essas duas variáveis categóricas, podemos
solicitar o teste de Quiquadrado para as hipóteses
H0: Cursinho? é independente de Escola Pública?
H1: Cursinho? é dependente de Escola Pública?
usando os comandos:
MTB > Table 'Escola Pública?' 'Cursinho?';
SUBC> Chisquare.
Rows: Escola Pública?
não
sim
All
Columns: Cursinho?
não
sim
All
10
1
11
15
5
20
25
6
31
Chi-Square = 1.151; DF = 1; P-Value = 0.283
2 cells with expected counts less than 5.0
• como o nível descritivo é alto (P-value=0,283) não rejeitamos H0 e concluímos que as duas
variáveis classificatórias são independentes.
3) Construir uma tabela com estatísticas básicas da variável C4: peso, por C2: sexo e por C13:
Fuma?, mais o teste de Quiquadrado para verificar se o ato fumar independe do sexo:
MTB > table c2 c13;
SUBC> stats c4;
SUBC> chisq.
Introdução ao uso do MINITAB®
25
Rows: Sexo
F
M
Columns: Fuma?
não
10
56.380
6.050
10
sim
3
62.333
15.373
3
All
13
57.754
8.582
13
15
80.267
16.241
15
3
79.000
13.077
3
18
80.056
15.414
18
All
25
6
31
70.712
70.667
70.703
17.614
15.693
17.007
25
6
31
Chi-Square = 0.199; DF = 1; P-Value = 0.656
2 cells with expected counts less than 5.0
Cell Contents -Peso:N
Mean
StDev
Count
4) Para construir uma tabela com três variáveis classificatórias C2: Sexo, C10: Alojamento? e C12:
Esporte?, podemos usar o comando
MTB > table c2 c10 c12
Control: Esporte? = não
Rows: Sexo
Columns: Alojamen
F
M
All
não
sim
All
1
4
5
2
1
3
3
5
8
Control: Esporte? = sim
Rows: Sexo
Columns: Alojamen
F
M
All
não
sim
All
1
6
7
9
7
16
10
13
23
Cell Contents -Count
Se trocarmos a ordem das colunas no comando, mudamos a disposição das variáveis na tabela.
Podemos também alterar a apresentação dos resultados na tabela, para evidenciar alguma relação
ou para compactar a saída dos resultados, utilizando o subcomando layout.
Introdução ao uso do MINITAB®
26
Neste mesmo exemplo, onde temos 3 variáveis classificatórias, se quisermos que a tabela apresente uma variável nas linhas e duas variáveis nas colunas, devemos usar:
MTB > table c2 c10 c12;
SUBC> layout 1 2.
Rows: Sexo
Columns: Alojamen / Esporte?
não
-------------não
sim
F
M
All
1
4
5
1
6
7
sim
-------------não
sim
2
1
3
9
7
16
All
----All
13
18
31
Cell Contents -Count
Se quisermos ainda, que seja apresentada a porcentagem de alunos por sexo nas diversas classes
e a média de C14: Estatística I, usamos:
MTB >
SUBC>
SUBC>
SUBC>
table c2 c10 c12;
layout 1 2;
rowpercents;
mean C14.
Rows: Sexo
Columns: Alojamen / Esporte?
não
-------------não
sim
sim
-------------não
sim
All
----All
F
7.69
6.0000
7.69
8.4000
15.38
2.9500
69.23
4.3667
100.00
4.5846
M
22.22
6.5250
33.33
3.5500
5.56
4.4000
38.89
5.6000
100.00
5.0556
All
16.13
6.4200
22.58
4.2429
9.68
3.4333
51.61
4.9063
100.00
4.8581
Cell Contents -% of Row
Estat-I: Mean
Onde podemos notar:
• que a porcentagem de alunas que praticam esporte é maior dentre aquelas que moram no alojamento;
• essa característica também se mantém entre os alunos, mas de forma menos sensível;
• dentre os alunos de ambos os sexos que não moram no alojamento, a média em Estatística I
foi maior entre aqueles que não praticam qualquer tipo de esporte.
Introdução ao uso do MINITAB®
27
INTRODUÇÃO AO USO DO MINITAB
 NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
(COM EXEMPLOS)
EXEMPLO 1. DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)
Com o objetivo de avaliar a utilização do farelo bruto realizou-se um experimento com duração de
28 dias, envolvendo 4 tratamentos (0, 10, 20 e 30% de substituição) e 5 repetições por tratamento.
Cada parcela foi constituída de 50 pintos de um dia de idade da linhagem "Ross", sendo 25 machos
e 25 fêmeas. Os resultados dos ganhos de peso médio, em kg, de cada parcela são:
% de substituição por farelo bruto
0%
10%
20%
30%
0.60
0.82
0.79
0.82
0.62
0.85
0.83
0.81
0.61
0.78
0.82
0.79
0.64
0.79
0.81
0.80
0.63
0.80
0.82
0.79
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C1
Farelo
0
0
0
0
0
10
10
10
10
10
20
20
20
20
20
30
30
30
30
30
C2
Repet
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
C3
GP
0.60
0.62
0.61
0.64
0.63
0.82
0.85
0.78
0.79
0.80
0.79
0.83
0.82
0.81
0.82
0.82
0.81
0.79
0.80
0.79
• A criação de uma planilha (Worksheet) com esses dados
envolve a digitação dos dados em três colunas: a
primeira (C1) de nome Farelo, indicando os níveis de
tratamento; a segunda (C2) de nome Repet, com o
número da repetição dentro de cada tratamento e a
terceira (C3) de nome GP, com os correspondentes
ganhos de peso.
• Para exibir esses dados no monitor, usamos o mouse e
clicamos em Manip > Display data... A seguir selecionamos as colunas C1, C2 e C3 com um clique duplo
sobre seus nomes e depois clicamos em Ok. Uma forma
alternativa consiste em entrar com o seguinte comando
na janela Session:
MTB > print c1-c3
• Para calcular algumas estatísticas descritivas da coluna
de ganhos de peso, usamos:
Descriptive Statistics
Variable Farelo N
Mean
GP
0
5 0.62000
10
5 0.80800
20
5 0.81400
30
5 0.80200
Variable
GP
Farelo
0
10
20
30
Min
0.60000
0.78000
0.79000
0.79000
MTB > describe c3;
Resultando em:
Median
0.62000
0.80000
0.82000
0.80000
Max
0.64000
0.85000
0.83000
0.82000
Tr Mean
0.62000
0.80800
0.81400
0.80200
Q1
0.60500
0.78500
0.80000
0.79000
StDev
0.01581
0.02770
0.01517
0.01304
SE Mean
0.00707
0.01240
0.00678
0.00583
Q3
0.63500
0.83500
0.82500
0.81500
Introdução ao uso do MINITAB®
28
Se quizermos calcular somente a média e o desvio padrão de GP de cada um dos tratamentos, podemos fazer: Stat > Table > Cross Tabulation, escolher como Classification variables a
coluna C1 Farelo; em Summaries escolher C2 GP como Associated variables: e marcar no
Display os nomes Means e Standard deviations. Como alternativa, entramos com o comando:
MTB > table c1;
SUBC> mean c3;
SUBC> stdev c3.
Rows: Farelo
Ganho
Mean
1
0.62000
2
0.80800
3
0.81400
4
0.80200
All 0.76100
Ganho
StDev
0.01581
0.02775
0.01517
0.01304
0.08540
Se quisermos testar a homogeneidade das variâncias dos tratamentos, devemos clicar em Stat >
ANOVA > Homogeneity of variance e a seguir, escolher em Response a coluna C3 GP e em
Factors a coluna C1 Farelo. Ou então usar o comando:
MTB > %Vartest
c3 c1
O resultado consiste de um gráfico com intervalos de confiança para os desvios padrões dos tratamentos e os resultados dos testes de Bartlett e de Levene. Vale lembrar que podemos assumir que
as variâncias são iguais se o P-value (nível descritivo do teste) for superior a 5% (mais comum!)
ou a 10%.
Homogeneity of Variance Test for GP
95% Confidence Intervals for Sigmas
Factor Levels
0
Bartlett's Test
Test Statistic: 2.705
10
20
P-Value
: 0.439
Levene's Test
Test Statistic: 0.731
P-Value
: 0.548
30
0.00
0.05
0.10
Para fazer a análise de variância dos dados desse experimento, cujo delineamento é o inteiramente casualizado com 5 repetições/tratamento, comparar as médias através do teste de Tukey
Introdução ao uso do MINITAB®
29
(α= 5%) e calcular os resíduos (e gravar em C5) para, posteriormente, verificarmos se os erros
têm distribuição normal, devemos clicar em Stat > ANOVA > Oneway, escolher em Response a
coluna C3 GP, em Factor a coluna C1 Farelo, em Comparisons a opção Tukey, family error
rate: 5 e clicar no quadro Store residuals. Ou então, entrar com o comando:
MTB > oneway c3 c1 c4;
SUBC> Tukey 5.
Analysis of Variance for Ganho
Source
Farelo
Error
Total
DF
3
16
19
Level
1
2
3
4
N
5
5
5
5
Pooled StDev =
SS
0.132900
0.005680
0.138580
(1)
MS
0.044300
0.000355
Mean
0.62000
0.80800
0.81400
0.80200
StDev
0.01581
0.02775
0.01517
0.01304
0.01884
Tukey's pairwise comparisons
F
124.79
P
0.000
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
(2)
----+---------+---------+---------+-(--*-)
(-*--)
(-*--)
(--*-)
----+---------+---------+---------+-0.630
0.700
0.770
0.840
(3)
Family error rate = 0.0500
Individual error rate = 0.0113
Critical value = 4.05
Intervals for (column level mean) - (row level mean)
1
2
2
-0.22213
-0.15387
3
-0.22813
-0.15987
-0.04013
0.02813
4
-0.21613
-0.14787
-0.02813
0.04013
3
-0.02213
0.04613
Comentários sobre os resultados:
(1) no quadro da análise de variância podemos verificar a significância do fator Farelo (p<0,0001),
ou seja, podemos afirmar que existe pelo menos um efeito não nulo do fator Farelo sobre o GP,
ou que pelo menos duas das médias do fator Farelo são diferentes entre si, quanto ao GP.
(2) o número de observações, a média e o desvio padrão de cada nível do fator Farelo, além de
intervalos de confiança para as médias, podendo-se observar que os animais que receberam os
níveis 10, 20 e 30 tiveram um GP similar entre si e superior ao nível 0 (zero).
(3) resultados da comparação das médias do fator Farelo utilizando o teste de Tukey (5%). São
apresentados intervalos de confiança para a diferença entre as médias dos diversos níveis.
Diferenças significativas entre médias podem ser identificadas nos intervalos onde os limites
(inferior e superior) têm o mesmo sinal. Pode-se perceber que as comparações envolvendo o
nível “0” são significativas e que as comparações envolvendo outras duas médias não são
significativas. A tabela seguinte, resume esses resultados:
Introdução ao uso do MINITAB®
30
Farelo
0
10
20
30
Média
0.62000
0.80800
0.81400
0.80200
a
b
b
b
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: como o fator Farelo é uma variável quantitativa, não é indicado o uso de qualquer método de comparação múltipla para avaliar as possíveis diferenças
entre as médias desse fator. Neste caso, é indicado um estudo de regressão, para estudarmos a
relação entre os níveis do fator Farelo e os ganhos de peso dos animais.
Com o Minitab, podemos visualizar o comportamento das respostas médias fazendo: Stat >
ANOVA > Main Effects plot.. e escolhendo C3 GP como Responses: e C1 Farelo como Factors:.
Do gráfico resultante pode-se perceber uma tendência quadrática de resposta de Y (ganho de peso)
em função de X (% de substituição por farelo bruto). Para ajustar uma equação do segundo grau,
fazemos Stat > Regression > Fitted Line Plot... e escolhemos C3 GP como Response (Y) e C1
Farelo como Predictor (X) e finalmente, escolhemos Quadratic em Type of Regression Model.
O resultado é um gráfico de dispersão com o desenho da curva ajustada, sua equação é GP =
0.6282 + 0.02052 Farelo - 0.0005 Farelo**2, uma estimativa do desvio padrão dos dados é S =
0,0270120, o coeficiente de determinação R-Sq = 91.0 % e o coeficiente de determinação ajustado
R-Sq(adj) = 90.0 %, indicando um ótimo ajuste do modelo.
A partir da equação de regressão ajustada, podemos estimar a porcentagem de substituição
de farelo que proporciona o maior ganho de peso. Para tanto, igualamos a zero a derivada primeira
de GP em relação a X (Farelo):
0,02052
d (GP)
= 0,02052 – 0,0010X = 0 ⇒ X =
= 20,52
dx
0,0010
e obtemos o ponto de resposta máxima é Farelo = 20,52% e GP = 0,84 kg no intervalo de 28 dias.
Introdução ao uso do MINITAB®
31
Se os dados de GP dos tratamentos 0, 10, 20 e 30% estivessem digitados nas colunas C5,
C6, C7 e C8, respectivamente:
1
2
3
4
5
C5
0%
0.60
0.62
0.61
0.64
0.63
C6
10%
0.82
0.85
0.78
0.79
0.80
C7
20%
0.79
0.83
0.82
0.81
0.82
C8
30%
0.82
0.81
0.79
0.80
0.79
A mesma análise pode ser feita clicando-se em Stat > ANOVA > Oneway (Unstacked) e, a seguir,
escolher em Responses (in separate columns) as colunas C5 a C8, ou entrar com o comando:
MTB > aovoneway C5-c8
Com esta opção, somente serão mostrados os quadros (1) e (2), não havendo possibilidade de se
comparar os pares de médias através do teste de Tukey.
Para testar a normalidade dos erros podemos clicar em Stat > Basic Statistics > Normality
test e a seguir escolher em Variable a coluna C5 RESI1 e em Tests for Normality, escolher um
dos testes disponíveis (Anderson-Darling, Ryan-Joiner ou Kolmogorov-Smirnov).
O resultado do teste de Anderson-Darling permite concluir que os erros do modelo (estimados pelos resíduos gravados em C5 RESI1) têm distribuição normal, pois o teste forneceu um nível
descritivo muito alto (P-Value = 0,909). Um modo mais rápido de executar esse teste consiste em
usar o comando:
MTB > %NormPlot c5
Normal Probability Plot
.999
.99
Probability
.95
.80
.50
.20
.05
.01
.001
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
RESI1
Average: 0
StDev: 0.0172901
N: 20
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared: 0.176
P-Value: 0.909
Comentários:
a) neste tipo de análise ainda podemos utilizar alguns gráficos, como por exemplo, o dotplot e o
boxplot, para avaliar a distribuição, a variabilidade, a assimetria, a presença de valores discrepantes nos dados originais, além do histograma, normal plot etc. dos resíduos para avaliar a sua distribuição.
b) se a variável que define o fator é quantitativa, sempre devemos optar por uma análise de regressão para estudar o comportamento das respostas em função dos níveis desse fator.
Introdução ao uso do MINITAB®
32
EXEMPLO 2. DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO - EXPERIMENTO
FATORIAL
No setor de suinocultura do Campus foi feito um estudo sobre o consumo diário de ração,
em kg/dia, em suínos no período de crescimento/ acabamento, envolvendo três tipos de ração (R1:
farelada; R2: granulada e R3: peletizada) e duas formas de arraçoamento (A1: à vontade e A2:
controlada) e utilizando 4 animais/tratamento. Os dados experimentais resultantes estão apresentados na tabela abaixo:
Arraçoamento
Ração
Farelada
2.63
Granulada
2.19
Peletizada
2.31
2.64
2.21
2.30
2.65
2.22
2.30
2.70
2.20
2.28
2.28
2.32
2.19
2.26
2.30
2.18
2.23
2.31
2.16
2.20
2.30
2.21
À vontade
Controlada
A planilha com os dados é construída de modo similar à do Exemplo 1: nas três primeiras
colunas estão as informações sobre o tipo de ração (C1), o tipo de arraçoamento (C2) e o número
da repetição (C3); em C4 estão os dados do consumo diária de ração, em kg/dia. Uma parte da
planilha está apresentada a seguir. Vale notar que a letra -T nas colunas C1 e C2 indica que elas não
são numéricas.
1
C1-T
Racao
Farelada
C2-T
C3
C4
Arracoamento Repet Consumo
A vontade
1
2.63
2
Farelada
A vontade
2
2.64
3
Farelada
A vontade
3
2.65
4
Farelada
A vontade
4
2.70
5
Farelada
Controlada
1
2.28
6
Farelada
Controlada
2
2.26
7
Farelada
Controlada
3
2.23
8
Farelada
Controlada
4
2.20
continua...
Uma tabela com as médias de consumo, por tipo de ração e tipo de arraçoamento é obtida
com os comandos:
MTB > table c1 c2;
SUBC > means c4.
Introdução ao uso do MINITAB®
33
Rows: Racao
Columns: Arracoam
À vontad Controla
Farelada
Granulad
Peletiza
All
2.6550
2.2050
2.2975
2.3858
2.2425
2.3075
2.1850
2.2450
All
2.4488
2.2563
2.2413
2.3154
Cell Contents -Consumo:Mean
Podemos inverter a disposição das variáveis classificatórias fazendo:
MTB > table c2 c1;
SUBC > means c4.
Rows: Arracoam
Columns: Racao
Farelada Granulad Peletiza
À vontad
Controla
All
2.6550
2.2425
2.4488
2.2050
2.3075
2.2563
2.2975
2.1850
2.2413
All
2.3858
2.2450
2.3154
Cell Contents -Consumo:Mean
Para testar a homogeneidade de variâncias clicamos em Stat > ANOVA > Homogeneity of
variance e a seguir, escolhemos em Response a coluna C4 Consumo e em Factors as colunas C1
Racao e C2 Arracoam. Ou então, podemos usar o comando:
MTB > %vartest c4 c1 c2
Introdução ao uso do MINITAB®
34
Da figura, podemos perceber que pelos testes de Bartlett (P-Value = 0,225) e de Levene (P-Value =
0,265) a homogeneidade das variâncias foi aceita, e podemos realizar análise de variância.
IMPORTANTE: Se a homogeneidade das variâncias for rejeitada, a análise de variância não deve
ser utilizada para comparar os tratamentos, já que isso pode interferir nos resultados finais. Soluções
para este problema envolvem a busca de uma transformação da variável resposta ou o uso de métodos de análise não paramétricos.
A análise de variância do experimento fatorial 3x2 (3 tipos de ração e 2 tipos de arraçoamento) em um delineamento inteiramente casualizado com r = 4 repetições, considerando os fatores
de efeito fixo, é feita clicando-se em Stat > ANOVA > Twoway, escolher em Response a coluna
C4 Consumo, em Row factor a coluna C1 Racao, em Column factor a coluna C2 Arracoam Store,
além de clicar em Display means e Store residuals.
Two-way ANOVA: Consumo versus Racao; Arracoamento
Analysis of Variance for Consumo
Source
DF
SS
MS
Racao
2 0.214233 0.107117
Arracoam
1 0.119004 0.119004
Interaction
2 0.267633 0.133817
Error
18 0.009125 0.000507
Total
23 0.609996
Racao
Farelada
Granulad
Peletiza
Mean
2.4488
2.2563
2.2413
Arracoam
À vontad
Controla
Mean
2.3858
2.2450
F
211.30
234.75
263.97
P
0.000
0.000
0.000
Individual 95% CI
----------+---------+---------+---------+(--*--)
(--*--)
(--*-)
----------+---------+---------+---------+2.2800
2.3400
2.4000
2.4600
Individual 95% CI
----+---------+---------+---------+------(--*--)
(--*--)
----+---------+---------+---------+------2.2500
2.3000
2.3500
2.4000
Como o número de repetições é o mesmo para todos os tratamentos, uma alternativa para
realizar a análise, consiste em utilizar a opção Balanced Anova... Escolhemos então Stat >
ANOVA > Balanced Anova...; em Responses C4 Consumo; em Model escrevemos Racao
Arracoam Racao*Arracoam e em Storage marcamos Residuals. Em Options... > Display means
corresponding to the terms escrevemos Racao Arracoam Racao*Arracoam. Ou então, entramos
com o comando:
MTB > anova c4 = c1 c2 c1*c2;
SUBC > means c1 c2 c1*c2;
SUBC > residuals c4.
Introdução ao uso do MINITAB®
35
ANOVA: Consumo versus Racao; Arracoamento
Factor
Racao
Arracoam
Type Levels Values
fixed
3
Farelada Granulada Peletizada
fixed
2 A vontade Controlada
Analysis of Variance for Consumo
Source
DF
SS
Racao
2
0.21423
Arracoam
1
0.11900
Racao*Arracoam
2
0.26763
Error
18
0.00912
Total
23
0.61000
MS
0.10712
0.11900
0.13382
0.00051
F
211.30
234.75
263.97
P
0.000
0.000
0.000
Means
Racao
Farelada
Granulada
Peletizada
N
8
8
8
Arracoam
À vontade
Controlada
N
12
12
Racao
Farelada
Farelada
Granulada
Granulada
Peletizada
Peletizada
Consumo
2.4488
2.2563
2.2413
Consumo
2.3858
2.2450
Arracoam
À vontade
Controlada
À vontade
Controlada
À vontade
Controlada
N
4
4
4
4
4
4
Consumo
2.6550
2.2425
2.2050
2.3075
2.2975
2.1850
Comentários:
• a interação Racao*Arracoam foi significativa (P < 0,001), indicando que o consumo dos animais
que receberam um certo tipo de ração (farelada, granulada ou peletizada) depende do tipo de
arraçoamento (à vontade ou controlada) ou vice-e-versa.
• os efeitos individuais de Ração (P < 0,001) e de Arraçoamento (P < 0,001) foram significativos,
mas esses resultados não tem grande importância porque a interação foi significativa.
•
A interação pode ser melhor entendida analisando-se os gráficos apropriados que são obtidos
em Stat > ANOVA > Interactions plot , escolhendo a coluna C4: Consumo em Responses:,
em Factors, as colunas C1: Racao e C2: Arracoam e selecionando Display full interaction plot
matrix. De forma alternativa, pode-se utilizar o comando
MTB > %Interact c1 c2;
SUBC> Response c4;
SUBC> Full.
Introdução ao uso do MINITAB®
36
Interaction
Plotada- Data Meansde for Consumo
a
ad
da
la
re
a
F
l
nu
ra
G
e
el
P
tiz
A
a
nt
vo
C
da
la
tro
n
o
2.6
Racao
Peletizada
2.4
Granulada
2.2
Farelada
2.6
Arracoamento
Controlada
2.4
2.2
A vontade
Exemplo 3. DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS E EXPERIMENTO EM
PARCELAS SUBDIVIDIDAS
Para estudar o efeito de três níveis de adubação (A) e de dois espaçamentos (E) na altura
(em centímetros) de certo tipo de plantas, planejou-se um experimento em parcelas subdivididas
num delineamento em blocos casualizados. Os tratamentos principais correspondem a três níveis de
adubação (A0, A1 e A2) e os tratamentos secundários a dois espaçamentos (E1 e E2). Os blocos (I, II,
III, IV) controlam a fertilidade do solo. Os dados são apresentados a seguir:
A0
Bloco
A1
A2
I
E1
58
E2
44
E1
85
E2
59
E1
66
E2
54
II
77
59
90
68
93
75
III
38
30
73
45
67
53
IV
52
34
77
55
64
48
A planilha com os dados é construída de modo similar à dos exemplos anteriores: nas três
primeiras colunas estão as informações sobre os níveis de adubação (C1: Adubacao), os dois espaçamentos (C2: Espacamento) e os blocos (C3: Bloco); em C4 estão as alturas em centímetros (C4:
Altura).
Se os quadros auxiliares de totais forem necessários para o cálculo de somas de quadrados
da interação entre Adubação e Espaçamento, podemos utilizar os comandos
MTB > table c1 c2;
SUBC> sums c4.
resultando em:
Introdução ao uso do MINITAB®
37
Tabulated Statistics
Rows: Espacame
Columns: Adubacao
A0
A1
A2
All
E1 225.000 325.000 290.000 840.000
E2 167.000 227.000 230.000 624.000
All 392.000 552.000 520.000 1464.000
Cell Contents -Altura:Sum
Para testar a homogeneidade das variâncias, podemos (verifique!) utilizar o comando:
MTB > %Vartest
C4 C1 C2
e, como os níveis descritivos dos testes de Bartlett (P = 0.883) e de Levene (P= 0.953) são muito
altos podemos aceitar a hipótese de homogeneidade das variâncias. (Verifique!!!)
Para realizar a análise de variância deste experimento em parcelas subdivididas num delineamento em blocos casualizados, consideraremos os níveis do fator C1: Adubacao aplicados às parcelas e os níveis de C2: Espacamento, aplicados às subparcelas, ambos de efeito fixo. Para que os
testes F de significância sejam feitos corretamente, devemos considerar o fator Bloco como de
efeito aleatório.
Daí utilizarmos a seqüência: Stat > ANOVA > Balanced Anova... e inserimos as informacões necessárias como apresentado na figura seguinte. Em Storage marcamos Residuals e em
Options... > Display means corresponding to the terms escrevemos: Adubacao Espacamento
Adubacao*Espacamento. De modo alternativo, podemos entrar com o comando:
MTB >
SUBC>
SUBC>
SUBC>
anova c4 = c3 c1 c1*c3 c2 c1*c2;
random c3;
residuals c5;
means c1 c2 c1*c2;
Resultando em:
Introdução ao uso do MINITAB®
38
ANOVA: Altura versus Bloco; Adubacao; Espacamento
Factor
Type Levels Values
Bloco
random
4
I
Adubacao fixed
3
A0
Espacame fixed
2
E1
II
A1
E2
III
A2
IV
Analysis of Variance for Altura
Source
Bloco
Adubacao
Bloco*Adubacao
Espacame
Adubacao*Espacame
Error
Total
DF
3
2
6
1
2
9
23
SS
2352.00
1792.00
320.00
1944.00
127.00
57.00
6592.00
MS
784.00
896.00
53.33
1944.00
63.50
6.33
F
14.70
16.80
8.42
306.95
10.03
P
0.004
0.003
0.003
0.000
0.005
Means
Adubacao
A0
A1
A2
N
8
8
8
Altura
49.000
69.000
65.000
Espacame
E1
E2
N
12
12
Altura
70.000
52.000
Adubacao
A0
A0
A1
A1
A2
A2
Espacame
E1
E2
E1
E2
E1
E2
N
4
4
4
4
4
4
Altura
56.250
41.750
81.250
56.750
72.500
57.500
Vale notar que os testes de significância da ANOVA foram realizados corretamente: para
testar o efeito de Bloco e de Adubação, que estão relacionados à variação entre parcelas, foi
utilizado o QM da interação Bloco*Adubacao, que corresponde ao QMResiduo(a); nos demais
testes relacio-nados à variação entre subparcelas, foi utilizado o QM do Error, que corresponde ao
QMResiduo(b).
Como a interação entre os fatores Adubacao e Espacamento foi significativa, podemos estudá-la
através dos gráficos apropriados: Stat > ANOVA > Interactions plot, escolhendo em Factors C1
Adubacao e C2 Espacamento, em Raw response data in: a coluna C4 Altura e clicando em
Display full interaction plot matrix.
Introdução ao uso do MINITAB®
39
Se quisermos que também sejam calculadas as E(QM) e as estimativas dos componentes de
variâncias dos fatores de efeito aleatório, que são muito úteis no melhoramento animal, basta selecionarmos em Options... o item Display expected mean squares, ou incluirmos o subcomando
SUBC> EMS;
no comando ANOVA. O resultado é o seguinte:
Source
1
2
3
4
5
6
Variance Error Expected Mean Square for Each Term
component term (using unrestricted model)
Bloco
121.778
3
(6) + 2(3) + 6(1)
Adubacao
3
(6) + 2(3) + Q[2;5]
Bloco*Adubacao
23.500
6
(6) + 2(3)
Espacame
6
(6) + Q[4;5]
Adubacao*Espacame
6
(6) + Q[5]
Error
6.333
(6)
CONSIDERAÇÕES FINAIS:
• o MINITAB não executa testes de comparações de médias dos níveis de fatores envolvidos na
interação
• Para obtermos algumas informações sobre o comportamento das médias dos níveis de um fator
dentro dos níveis do outro fator, podemos utilizar os gráficos Interactions plot..., no caso de um
experimento fatorial ou em parcelas subdivididas.
• A opção Stat > ANOVA > Balanced ANOVA... deve ser utilizada na análise de experimentos
oneway ou de experimentos mais complexos, desde que o conjunto de dados seja balanceado
(mesmo número de repetições).
•
No caso de experimentos mais complexos ou desbalanceados deveremos utilizar a opção Stat
> ANOVA > General Linear Model, cujos detalhes não serão apresentados nesta apostila.
Introdução ao uso do MINITAB®