Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO Quando um inseto se move à noite a alguns centímetros de um escorpião, imediatamente o escorpião detecta-o e o mata para comer. O escorpião faz isto sem ver ou ouvir o inseto. Como o escorpião é capaz de detectar o inseto? 1 – Ondas e Partículas Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física. Estes dois conceitos são bastante diferentes. A palavra partícula sugere uma pequena concentração de matéria capaz de transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande distribuição de energia no espaço por onde ela passa. Ondas Mecânicas Uma bandeira tremulando devido ao vento é tão comum, que quando os astronautas (http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde não tem vento. Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulações para dar a impressão que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na água e na Terra. Estas ondas são denominadas de ondas mecânicas. A principal característica destas ondas é que elas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se propagarem. Ondas Eletromagnéticas A onda eletromagnética mais comum para nós é a luz visível, porém convivemos com várias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem não fez ainda uma radiografia?), microondas (forno) e as ondas de radio e de televisão que recebemos em nossas casas. Fisicamente, é um campo elétrico perpendicular a um campo magnético. Voltaremos a este assunto em Física 3. Ao contrário das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não requerem um meio material para sua propagação. 2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais As ondas transportam energia e momento através do espaço, sem, porém transportar matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio. Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1). As ondas de gravidade na atmosfera são exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma interessante animação no seguinte endereço: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html . As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação (Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html . Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal. 2 Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal. Pulsos Ondulatórios (Função de Onda) A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante t = 0 . A forma da onda, neste instante, pode ser representada por uma função y′ = f ( x´) . Num instante posterior o pulso avançou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O’, que avança com a mesma velocidade do pulso, este pulso é estacionário. Fig. 3 – Pulso ondulatório que move sem alterar sua forma. O valor de x´ não é fixo. As coordenadas nos dois sistemas estão relacionadas por: x = x´+vt ⇒ x ′ = x − vt . (1) Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avançando para direita é: y = f ( x − vt ) . (2) No caso de uma onda avançando para esquerda teremos: y = f ( x + vt ) . (3) Nas duas expressões anteriores, v é a velocidade de propagação da onda. A função y = f ( x − vt ) é a função de onda. No caso de ondas numa corda, a função de onda representa o deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acústicas no ar, a função de onda pode representar o deslocamento longitudinal das moléculas do ar, ou então a pressão. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 3 Velocidade das Ondas A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas não depende do movimento da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do movimento ondulatório. Para ondas numa corda, quanto maior for a tensão na corda, mais rápida será a propagação das ondas. Além disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa corda pesada, ambas sujeitas à mesma tensão. A velocidade (v) de propagação de uma onda numa corda, como mostraremos depois, é dada por: v= F µ (4) onde F é a tensão na corda e µ a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento). No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou a água, a velocidade (v ) de propagação é da por: B (5) ρ onde B é o módulo de compressibilidade (já estudado no Capítulo de Fluidos) e ρ é a densidade do meio. Em geral, a velocidade das ondas depende da propriedade elástica do meio (tensão nas cordas e módulo de compressibilidade, nas ondas acústicas) e de uma propriedade inercial do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). Mostraremos mais na frente que a velocidade (v ) do som num gás é dada por: v= γRT M (6) onde T é a temperatura absoluta em kelvins (K), γ depende da espécie do gás. Nos gases de moléculas diatômicas O2 e N2, γ tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R é a constante dos gases ideais e vale 8,314 J/mol.K Demonstração da equação (4) Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tensão F será aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com velocidade v para direita, o pulso está estacionário e a corda se desloca com velocidade v . A Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento ∆S . Num certo instante, o segmento tem velocidade v numa trajetória circular e, por isso, tem uma aceleração 2 centrípeta v . R Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 4 Corda FR FR R θ/2 θ/2 F F θ/2 Considere um seguimento de corda tensionado com a presença de uma onda (pulso) propagando com uma velocidade v. Sejam os seguintes parâmetros necessários para obtenção da relação de velocidade da onda e tensão: µ = Densidade linear de massa; F = Tensão na corda; Fr = Componente radial da tensão; R = Raio do arco de circunferência (seguimento da corda); As componentes horizontais das forças não serão consideradas porque elas serão anuladas. Veja que estas componentes têm sentidos opostos. A partir da figura acima podemos escrever que: ⎛θ ⎞ F ⎛θ ⎞ tan⎜ ⎟ = R ⇒ FR = F tan⎜ ⎟ . ⎝2⎠ F ⎝2⎠ (7) Igualando o somatório de FR a força centrípeta e considerando o ângulo bem pequeno (tan θ ≅ θ), obtemos: 2 mv 2 ⎛ θ ⎞ mv 2 FR = 2 F ⎜ ⎟ = ⇒ Fθ = (8) R R ⎝2⎠ Mas a massa no segmento de corda é dada por: m = µ l = µ Rθ . O que leva a seguinte equação: (9) Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo Fθ = µ Rθ v 2 R F ⇒ v= µ 5 (10) . A Equação de Onda A equação de onda relaciona as derivadas espaciais de y ( x, t ) às derivadas temporais. A Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos verticais, a força resultante na direção vertical será: ∑ F = F senθ 2 − F sen θ1 . (11) Como os ângulos são pequenos podemos fazer sen θ ≈ tan θ , assim podemos escrever a Eq. (11) da seguinte forma: ∑ F = F (senθ 2 − sen θ1 ) ≈ F (tan θ 2 − tan θ 1) (12) Fig. 5 – Segmento de corda tensionada. A tangente entre a corda e a horizontal é a inclinação (coeficiente angular) da curva descrita pela corda. A derivada de y ( x,t ) ) em relação a x , com t constante é dada por esta inclinação (S ) . A derivada parcial de y em relação a x é dada por ∂y . Assim, teremos: ∂x ∂y (13) S = tan θ = ∂x portanto (14) ∑ F = F (S2 − S1 ) = F∆S Aplicando a segunda lei de Newton temos: ∂2 y ∆S ∂2 y F∆S = ma = µ∆x 2 → F =µ 2 ∂t ∆x ∂t (15) No limite de ∆x → 0 , teremos: ∆S ∂S ∂ ⎛ ∂y ⎞ ∂ 2 y = = ⎜ ⎟= 2 ∆x → 0 ∆x ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x lim (16) onde substituímos S pela Equação (13). Assim a Equação (15) pode ser escrita da seguinte forma: Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo ∂2 y µ ∂2 y . = ∂x 2 F ∂t 2 6 (17) A Equação (17) é a equação de onda de uma corda tensionada. É fácil mostrar que a equação de onda tem como solução qualquer função do tipo y ( x − vt ) , assim, podemos generalizar e escrever a equação de onda geral da seguinte forma: ∂2 y 1 ∂2 y = ∂x 2 v 2 ∂t 2 (18) 2 – Ondas Harmônicas Numa Corda Uma onda que pode ser representada por uma senóide ou cossenóide é denominada de onda harmônica (veja Figura 6). Fig. 6 – Onda harmônica em um dado instante. A abscissa é dada em termos de x expresso em função do comprimento de onda ou em termos de número de ondas. Numa corda, à medida que a onda se propaga, cada ponto da corda se desloca para cima e para baixo, perpendicularmente à direção de propagação, descrevendo um movimento harmônico simples, cuja a freqüência f é denominada freqüência da onda. Durante um intervalo de tempo (período da onda) T = 1 , a onda avança de uma distância λ denominada f de comprimento de onda. Desta forma velocidade da onda será dada por: λ = fλ T A função seno que descreve o deslocamento (para cima e para baixo) é: v= y ( x) = A sen(kx + δ ) (19) (20) onde A é amplitude (deslocamento máximo), k é o número de onda (quantas ondas existem em circunferência de raio igual a um metro* ou numa distância de 2π m), e δ é a constante de fase (deslocamento para x = 0 ). Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 7 Consideremos um ponto x1 separado de outro x2 por comprimento de onda (λ ) , de modo que x2 = x1 + λ . Os deslocamento nos dois pontos são iguais, ou seja, y ( x1 ) = y ( x2 ) , assim sen (kx1 ) = sen (kx2 ) = sen k ( x1 + λ ) = sen (kx1 + kλ ) , (21) esta igualdade trigonométrica só ocorre se kλ = 2π Uma volta completa no círculo trigonométrico). Assim, podemos definir o número de onda angular como sendo o número de ondas que se tem em um metro de comprimento: 2π k= . (22) λ Comprimento de onda 1m 2m 2πm Número de onda 2 π m-1 π m-1 1 m-1 Consideremos agora a onda avançando para direita com velocidade v , a variável x na equação (21) passa a ser x − vt . Tomando a fase como zero podemos escrever: y ( x, t ) = A sen k ( x − vt ) = A sen (kx − kvt ) ou y ( x, t ) ) = A sen (kx − ωt ) (23) onde fizemos ω = kv , freqüência angular, e está relacionada com a freqüência f e o período T 2π . Note que a equação (23) tem duas variáveis. Veja uma interessante por ω = 2πf = T animação sobre a relação ω = 2πf no link abaixo: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01A.html Energia das Ondas Numa Corda A Figura 7 mostra uma rolha de cortiça dentro da água quando é interceptada por uma onda. A onda transfere energia para rolha. Esta energia aparece como um aumento na energia potencial da rolha Fig. 7 – Rolha de cortiça elevada por uma onda. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 8 Seja ∆x o comprimento do segmento de uma corda e µ∆x a respectiva massa (∆m ) . O deslocamento em relação à posição de equilibro é dado pela função de onda y = A sen(kx − ωt ) . A velocidade é dada por dy . Assim, a energia cinética do segmento será: dt 1 1 ⎛ dy ⎞ ∆K = (∆m )v y2 = (µ∆x )⎜ ⎟ 2 2 ⎝ dt ⎠ 2 (24) Calculando a derivada em separado obtemos: dy d ( A sen (kx − ωt )) = = ωA cos(kx − ωt ) dt dt (25) Agora podemos escrever energia cinética da seguinte forma: ∆K = 1 µω 2 A 2 ∆x cos 2 (kx − ωt ) 2 (26) A energia potencial de um segmento é o trabalho realizado na elongação da corda e depende da inclinação dy . No caso de pequenas inclinações, pode-se demonstrar que a dx energia potencial, a inclinação e a tensão F estão relacionadas por (ver Problema 123, Tipler, volume 1, 4a edição): 2 1 ⎛ dy ⎞ ∆U ≅ F ⎜ ⎟ ∆x 2 ⎝ dx ⎠ (27) Calculando a derivada em separado temos: dy d ( A sen (kx − ωt )) = = kA cos(kx − ωt ) dx dt A tensão pode ser escrita como F = µv 2 (utilizando a equação 4), ou F = µω usamos v = ω . k A energia potencial será: 1 ⎛ µω 2 ∆U = ⎜⎜ 2 2⎝ k ⎞ 2 2 1 ⎟⎟k A ∆x cos 2 (kx − ωt ) = µω 2 A 2 ∆x cos 2 (kx − ωt ) 2 ⎠ (28) 2 k2 onde (29) A Equação (29) da energia potencial coincide exatamente com a Equação (26) da energia cinética. A energia total será soma destas duas energias: ∆E = ∆K + ∆U = µω 2 A 2 ∆x cos 2 (kx − ωt ) (30) Calculando a energia média obtemos: ∆E med = 1 µω 2 A 2 ∆x . 2 (31) Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 9 Este resultado é obtido, pois o valor médio de cos 2 (kx − ωt ) é igual a ½ . A equação (30) também nos mostra que a energia de um segmento da corda varia com o tempo e que ela coincide com o resultado da energia média de um corpo de massa µ∆x oscilando com movimento harmônico simples preso numa mola. __________ Obs. A média de uma função num período T (=2π/ϖ) é dada por: fm = 1 T f (t )dt T ∫o __________ Potência média de uma onda Consideremos que uma onda em uma corda atinja um ponto p1 no instante t1 . A parte da corda à esquerda de p1 tem energia devido ao movimento harmônico simples dos seus segmentos, no entanto, a parte da corda à direita de p1 não tem energia, pois seus segmentos estão em repouso (veja Figura 8a). Depois de um tempo ∆t a onda avançou para direita uma distância v∆t (veja Figura 8b). Fig. 8 – a) onda numa corda, direita de p1 sem energia. b) onda na corda, direita de p1 com energia. A energia média que passou pelo ponto p1 durante o intervalo de tempo ∆t é a energia média em ∆x = v∆t , ou seja, 1 ∆Emed = µω 2 A2 v∆t (32) 2 A potência média transmitida é dada pela taxa temporal de transmissão de energia: dE 1 (33) Pmed = med = µω 2 A2 v 2 dt A equação (33) mostra que a energia e a potência média são proporcionais ao quadrado da amplitude. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 10 Ondas Sonoras Harmônicas As ondas sonoras harmônicas podem ser geradas, no ar, por um diapasão (http://www.ciagri.usp.br/~svcex/diapas.htm), por uma pessoa falando, ou por um alto-falante que esteja vibrando com movimento harmônico simples. A fonte de vibração provoca a oscilação das moléculas com suas vizinhanças em torno de um ponto de equilíbrio. Os choques entre moléculas vizinhas provocam oscilações semelhantes. Podemos descrever uma onda sonora através de uma função s ( x, t ) que representa o deslocamento das moléculas em relação ao equilíbrio: s ( x, t ) = s0 sen(kx − ωt ) (34) Os deslocamentos estão orientados na direção do movimento da onda e provocam variações na densidade e na pressão no ar. Figura 9 mostra a variação, com x, do deslocamento das moléculas. Como a pressão de um gás é proporcional a sua densidade, a variação de pressão (pois está superposta uma pressão de equilíbrio) é máxima quando a variação de densidade for também máxima. A Figura 9 mostra que a variação de densidade (ou pressão) está defasada do deslocamento de 90°. Quando o deslocamento é nulo, a variação de densidade (ou pressão) é máxima ou mínima. Quando o deslocamento é máximo ou mínimo, a variação de densidade (ou pressão) é nula. Dessaa forma, podemos representar uma onda sonora por uma onda de pressão dada por: p = p0 sen k x − ω t − π (35) 2 ( ) onde p é variação de pressão em relação á pressão de equilíbrio, p0 é o máximo (quando a função seno é igual um) desta variação de pressão. A amplitude da variação de pressão p0 está relacionada com a amplitude do deslocamento s0 por: p0 = ρωvs0 (36) onde v é a velocidade de propagação e ρ a densidade do gás no equilíbrio. Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 HZ até cerca de 20.000 HZ. Um ouvido humano normal consegue ouvir sons (dentro do limiar de audição) entre 3x10-5 e 30 Pa. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 11 Fig. 9 – Gráfico do deslocamento das moléculas de ar num dado instante. Veja uma interessante animação com esta figura no seguinte endereço: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=50. Energia de Ondas Sonoras A energia média de uma onda sonora harmônica, num elemento de volume ∆V , é dada pela equação (31): 1 ∆E med = µω 2 A 2 ∆x 2 Por analogia podemos substituir A por s0 e ∆m = µ∆x ou ∆m = ρ∆V , tomando ρ como a densidade média do meio. Dessa forma: 1 ρω 2 s02 ∆V 2 A energia média por unidade de volume é a densidade de energia média (ηmed ) : ∆Emed = ηmed = ∆Emed 1 = ρω 2 s02 ∆V 2 (37) (38) 3 – Ondas em Três Dimensões Estas ondas são geradas por uma fonte puntiforme que oscila com movimento harmônico simples. O comprimento de onda é a distancia entre cada superfície esférica (concêntricas) sucessiva. Cada superfície esférica é uma frente de onda. O movimento das frentes de onda pode ser representado por raios que são retas perpendiculares às frentes de onda. À distâncias muito grandes de uma fonte, uma pequena parte da frente de onda pode ser representada por um plano (ondas planas). Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 12 Fig. 10 – Frente de ondas esféricas divergindo de uma fonte puntiforme. Intensidade das Ondas A potência média por unidade de área perpendicular à direção de propagação é a intensidade da onda e é dada por: P I = med . (39) A Fig. 11 – Determinação da intensidade de uma onda num certo ponto. A uma distância r de uma fonte puntiforme, que emite uniformemente em todas as direções, a intensidade é: P (40) I = med2 . 4πr A intensidade de uma onda varia com o inverso do quadrado da distância. A unidade da Intensidade no SI é watts/m2. A Figura 12 mostra uma onda esférica que atingiu uma distancia r1 . O volume dentro da esfera de raio r1 contém energia, pois, nesta região, as partículas estão oscilando harmonicamente. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 13 Fig. 12 – Volume da casca = A v∆t . Onde A é a área da casca esférica de raio r1. A região fora da esfera de raio r1 não contém energia porque a onda ainda não atingiu esta região. Após um intervalo ∆t a onda avançou uma distancia ∆r = v∆t . A energia média na casca esférica de área A , espessura v∆t e volume ∆V é dada por: ∆Emed = ηmed ∆V = ηmed Av∆t (41) A potência média que entra na casca será dada por: Pmed = ∆Emed ηmed Av∆t = = ηmed Av ∆t ∆t Assim, a intensidade será: I= Pmed ηmed Av = = ηmed v A A (42) (43) A equação (43) mostra que a intensidade de uma onda é igual ao produto da densidade média de energia pela velocidade de fase da onda. Utilizando a equação (38) determinamos à intensidade de uma onda sonora: I = η med v = onde fizemos s0 = p0 1 1 p02 ρω 2 s02 v = , 2 2 ρv (44) ρωv . Este resultado é geral para qualquer tipo de onda, ou seja, a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude. Fig. 13 - O ouvido humano consegue ouvir um som cuja intensidade mínima é de 1x10-12W/m2. A intensidade máxima, em que o ouvido sente dor, é de 1W/m2. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 14 Nível de Intensidade e Sonoridade A sensação psicológica de sonoridade (volume do som) varia aproximadamente com o logaritmo da intensidade e não com a própria intensidade. Para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora, adota-se uma escala logarítmica β . A unidade de medida é o decibel (dB), definido por: I β = 10 log (45) I0 onde I é a intensidade do som e I o é o limiar da audibilidade (10-12 W/m2) Nesta escala teremos: I0 ⎧ ⎪⎪ Limiar da audibilidade → β = 10log I = 0 dB 0 ⎨ ⎪Sensação de dor → β = 10 log 1 = 10 log 1012 = 120 dB ⎪⎩ 10 −12 ( ) __________ Obs.1) Se y = log (x), então x = 10 y. 2) É possível uma pessoa escutar um som com nível de intensidade abaixo de 0 dB!!?? __________ Exemplo Ao ladrar, um cachorro emite cerca de 1 mW de potência. a) Se esta potência estiver uniformemente distribuída em todas as direções, qual o nível de intensidade do latido a uma distância de 5 m? b) Qual seria o nível de intensidade se dois cachorros estivessem latindo ao mesmo tempo, cada um emitindo 1 mW de potência? Solução: Calculamos o de intensidade utilizando a equação I = P intensidade estão relacionados por β = 10 log I I0 .O nível de intensidade e a 4πr 2 . Assim, a intensidade para r = 5m será: −3 P 10 = = 3,18 x10 −6 W / m 2 2 2 4πr 4π (5) Agora podemos calcular o nível de intensidade: I= 3,18 x10 −6 I = 10 log = 10 log(3,18 X 10 6 ) = 65dB −12 I0 10 Se considerarmos I 1 a intensidade do latido de um cachorro, a intensidade para os dois será I 2 = 2 I 1 . Desta forma, o nível de intensidade para os dois cachorros será: I 2I I β 2 = 10 log 2 = 10 log 1 = 2 log 2 + 10 log 1 = 10 log + β = 68dB Io I0 I0 β = 10 log Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 15 este exercício mostra que se a potência estiver distribuída uniformemente e se a intensidade for duplicada o nível de intensidade aumenta de 3 dB. Veja uma simulação da variação de 3 dB em relação a um nível de referencia no endereço: http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/15-5/ Nota: Se o cachorro estivesse no chão, poderíamos dizer que o som propagaria uniformente num hemisfério (metade de uma esfera). Neste caso, a área deve ser dada por 2πr2. A sensação de sonoridade depende da freqüência e também da intensidade do som. A Tabela 1 mostra a intensidade em dB de algumas fontes sonoras. A Figura 14 mostra a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência. Tabela 1 – Fontes sonoras e suas respectivas intensidades Fonte I Respiração normal Folhas sussurrantes Murmúrios (a 5 cm) Biblioteca Escritório tranqüilo Conversação normal (a 1 m) Tráfego pesado Escritório barulhento; fábrica comum Caminhão pesado (a 15 m) Trem de metrô Construção civil (a 3 m) Concerto de rock com amplificadores (a 2 m; decolagem de jato (a 60 m) Martelo pneumático; metralhadora Decolagem de jato (nas vizinhanças) Motor de foguete de grande porte (nas vizinhanças) dB Descrição 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Limiar da audibilidade Quase inaudível 1010 1011 1012 100 110 120 1013 1015 1018 130 150 180 I0 Muito silencioso Silencioso Exposição constante prejudica a audição Limiar de audição dolorosa Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 16 Fig. 14 – Gráfico mostrando a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência. Note que o ouvido humano é mais sensível, em todos os níveis de intensidade, aos sons com freqüências aproximada de 4 kHz. 4 – Ondas Sonoras Encontrando Obstáculos 0 comportamento de uma onda sonora ao atingir uma superfície é semelhante àquele que ocorre com uma onda luminosa ao incidir, por exemplo, num vidro ou num espelho. Ou seja, ela sofre reflexão e/ou transmissão na interface destes dois meios. O ângulo que uma onda luminosa é transmitida e/ou refletida depende dos índices de refração destes meios (este assunto é melhor estudado num curso de Ótica); no caso de uma onda sonora, as velocidades das ondas nestes meios, mais especificamente, é quem vai dizer o comportamento do raio transmitido e do refletido. Em três dimensões, a fronteira entre duas regiões onde as velocidades são diferentes é uma superfície. A Figura 15 mostra um raio incidindo sobre uma superfície. v1 v2 Fig. 15 – Onda atingindo a fronteira de dois meios nos quais a velocidade da onda é diferente. Parte da onda é refletida e parte da onda é transmitida. A mudança na direção do raio transmitido é a refração. Quando uma onda sonora incide sobre uma fronteira que separa duas regiões onde as velocidades da onda são diferentes, esta onda pode ter uma parte refletida e outra transmitida. Reflexão – dizemos que ocorreu reflexão quando a onda (ou parte dela) é refletida. Refração – dizemos que ocorreu refração quando a onda (ou parte dela) é transmitida. Veja duas interessantes simulações nos endereços a seguir: http://surendranath.tripod.com/Twave/TwaveRefTran/TwaveRefTran.html http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/propagation/propagation.html Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 17 O raio (linha reta perpendicular a frente de onda) transmitido aproxima-se ou afasta-se da normal conforme a velocidade da onda no segundo meio seja menor ou maior do que a velocidade no meio inicial. À medida que o ângulo de incidência aumenta (Figura 16), o ângulo de refração também aumenta, até que se atinge um ângulo de incidência crítico para qual o ângulo de refração é de 90°. Se o ângulo de incidência for maior do que este ângulo crítico, não ocorrerá mais refração, e ocorrerá um fenômeno denominado de reflexão total. Este fenômeno é utilizado na fabricação de fibras óticas. Fig. 16 – Variação do ângulo de incidência. Veja uma interessante simulação no endereço abaixo: http://people.deas.harvard.edu/~jones/cscie129/applets/optics/java/totintrefl/index.html Difração- Quando uma onda incide sobre uma barreira provida de uma pequena abertura, passa através da abertura propagando-se como uma onda esférica ou circular. Veja uma um interessante applet sobre difração no endereço: http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap13/cd372.htm Embora as ondas que encontram uma abertura sempre se difratem, a difração depende de o comprimento de onda ser pequeno ou grande em relação ao tamanho da abertura. Se o comprimento de onda for muito maior do que a abertura os efeitos da difração são notáveis, caso contrário não ocorre difração. A difração estabelece um limite na exatidão da localização de pequenos corpos por reflexão de ondas sonoras. As ondas sonoras com freqüências acima de 20.000 Hz são os ultra-sons. Os morcegos, por exemplo, emitem e percebem ultras com freqüências da ordem de 120.000 Hz (correspondendo a comprimento de onda de 2,8 mm). Na medicina, os ultra-sons são usados no levantamento de diagnóstico. Veja interessante applet sobre este assunto nos seguinte endereço: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=43 5 – O Efeito Doppler Quando uma fonte de ondas e o receptor estão em movimento relativo, a freqüência observada não coincide com a freqüência emitida. Quando a fonte e o receptor se aproximam um do outro, a freqüência observada é maior do que a freqüência emitida. Quando os dois se Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 18 afastam um do outro, a freqüência observada é menor do que a emitida. Exemplo bem comum é o da variação da altura do som de um carro quando se aproxima de um observador. Considere uma fonte de freqüência f 0 em movimento com velocidade u s em relação ao meio. As ondas na direção para frente da fonte estão comprimidas, e as emitidas para trás estão mais espaçadas (veja figura 17). Seja v a velocidade das ondas em relação ao meio. Esta velocidade depende exclusivamente das propriedades do meio e não do movimento da fonte. Num intervalo de tempo ∆t , a fonte emite N ondas, onde N = f 0 ∆t , pois f 0 é o número de onda por unidade de tempo f 0 = N . ∆t ( ) us Fig. 17 – Frentes de ondas sucessivas emitidas por uma ponte puntiforme que move para direita com velocidade us . Veja uma interessante simulação sobre o efeito Doppler no endereço: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=45 A primeira frente de onda avança de uma distância v∆t , enquanto a fonte cobre a distância us ∆t . O comprimento λ´ de onda na frente da fonte será a distância ocupada pelas ondas (v − us )∆t , dividida pelo número de ondas: λ´= (v − us )∆t N Atrás da fonte temos: λ´= = (v − us )∆t f o ∆t = v − us f0 v + us f0 (46) (47) Outra situação é aquela em que a fonte está parada e o receptor move-se com velocidade ur. Se vr é a velocidade relativa entre as ondas (v) e o receptor, o número de ondas que passam pelo receptor no tempo ∆t é igual ao número de ondas na distância vr ∆t (veja Figura 18): N= vr ∆t (v ± u r ) = ∆t , λ´ λ´ (47) Valendo o sinal negativo para frente da fonte (receptor se aproximando da fonte) e o negativo para trás (receptor se afastando da fonte). Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 19 Fig. 18 – O número de ondas que passam por uma receptor estacionário, durante o intervalo de tempo ∆t , é igual ao número de ondas na distância v∆t ( v é a velocidade da onda). Se o receptor se aproxima da fonte com velocidade ur , passa também pelo número extra de ondas na distância . A freqüência observada é o número de ondas dividido pelo intervalo de tempo: N = f ´= ∆t (v ± ur )∆t ∆t λ´ = (v ± ur ) λ´ (48) Se o receptor estiver parado temos ur = 0 , a freqüência será: f ´= v v v 1 f0 = f0 = = u λ´ (v ± us ) (v ± us ) 1± s v fo (49) A Equação (49) é válida para a fonte em movimento e o receptor estacionário. Quando a fonte está em movimento aproximando-se do receptor, a freqüência aumenta e vale o sinal negativo da Equação (49), caso contrário a freqüência diminui e vale o sinal positivo. Se a fonte estiver estacionária, λ´= λ0 = v , a freqüência observada será: f0 f ´= v ± ur v ± ur ⎛ u ⎞ f 0 = ⎜1 ± r ⎟ f 0 = v v v⎠ ⎝ f0 (50) Combinando as Equações (46-48) podemos obter uma equação geral: f ´= 1 ± ur v v ± ur v ± ur v ± ur = = f0 f0 = v ± us us λ´ v ± us 1± f0 v (51) O sinal (negativo ou positivo) é determinado a partir do movimento relativo entre fonte e receptor. Por exemplo, se a fonte se move na direção do receptor e este também se move na direção da fonte, o sinal positivo vale no numerador e o negativo no denominador. Lembrando que a freqüência aumenta quando fonte e receptor se aproximam e diminui quando se afastam. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 20 Pode-se mostrar que, se us e ur forem muito menores do que a velocidade da onda v , o deslocamento de freqüência é dados, aproximadamente, por: u ∆f ≈± f0 v (u << v ) , (52) onde u = u s ± u r é a velocidade relativa entre a fonte e o receptor. E o meio estiver em movimento, por exemplo o ar com uma corrente de vento, a velocidade da onda é substituída por v´= v ± u w , em que u w é velocidade do vento. Exemplo A freqüência de uma buzina de carro é de 400 Hz. Calcular a) o comprimento de onda do som e b) a freqüência observada se o carro estiver com a velocidade de us = 34 m/s (cerca de 122 km/h) em relação ao ar tranqüilo esse aproxima de um receptor estacionário. Tomar como 340 m/s a velocidade do som no ar. c) calcular a freqüência observada se o carro estiver estacionário e o receptor se mover com a velocidade de us = 34 m/s na direção da buzina. Solução: a) As ondas da frente estão comprimidas então adotamos o sinal negativo na equação (46). v − u s 340 − 34 λ= = = 0,765m fo 400 b) Calculamos a freqüência utilizando a seguinte equação: v 340 f ´= = = 444 Hz λ´ 0,765 c) Para o receptor em movimento, a freqüência observada é dada pela equação (50). Neste caso o comprimento não se altera, porém um maior número de ondas passa pelo receptor num certo intervalo de tempo. O sinal desta equação é tomado positivo, pois a freqüência aumenta. ⎛ u f ´= f 0 ⎜1 + r v ⎝ 34 ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ = 400⎜1 + ⎟ = 400(1,1) = 440 Hz ⎝ 340 ⎠ ⎠ Ondas De Choque Se a fonte se desloca com velocidade maior do que a velocidade da onda, não haverá ondas na frente da fonte. Ao contrário, as ondas se acumulam atrás da fonte e constituem uma onda de choque. No caso de ondas sonoras, esta onda de choque se manifesta como um estrondo sônico (veja Figura 19). Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 21 Fig. 19 – Ondas de choque de um veículo supersônico Na Figura 20 uma fonte está no ponto P1 , movendo-se para direita com velocidade u . Depois de um certo tempo t , a onda emitida do ponto P1 avançou a distância vt . A fonte avançou a distância ut e estará np ponto P2 . A reta que passa pela nova posição da fonte e é tangente à frente da onda em P1 faz um ângulo θ com a trajetória da fonte e se tem sen θ = vt v = ut u (52) Fig.20 – Fonte com velocidade u maior do que a velocidade da onda v. A envoltória das frentes de onda é uma superfície cônica com vértice na posição da fonte. A onda de choque fica confinada num cone cuja abertura diminui à medida que a velocidade da fonte aumenta. O número de Mach é definido como sendo a razão entre a velocidade da fonte e a velocidade da onda. Numero de Mach = u v (53) Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 22 Exercícios 1) A função de onda de uma onda harmônica numa corda é y ( x, t ) = 0,03 sen( 2,2 x − 3,5t ) , x está em metros e t em segundos. a) Em que direção a onda avança e qual a sua velocidade? b) Calcular o comprimento de onda, a freqüência e o período da onda. c) Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento da corda? d) Qual a velocidade máxima de qualquer segmento da corda? 2) Uma onda de comprimento de onda de 35 cm e amplitude de 1,2 cm desloca-se ao longo de uma corda de 15 m, cuja massa é de 80 g e sujeita a uma tensão de 12 N. (a) Qual a velocidade e a freqüência angular da onda? b) Qual a energia total média da onda na corda. 3) Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 Hz até cerca de 20.00 Hz. Se a velocidade do som no ar for de 340 m/s, que comprimentos de onda correspondem a estas freqüências. 4) O diafragma de um alto-falante tem 30 cm de diâmetro e vibra a 1 kHz com a amplitude de 0,020 mm. Admitindo que a amplitude das moléculas de ar nas vizinhanças do diafragma seja também de 0,020 mm, calcular a) a amplitude da variação de pressão na região vizinha e à frente do diafragma, b) a intensidade do som na frente do diafragma e c) a potência acústica irradiada pelo diafragma. d) Se a irradiação do som for uniforme no hemisfério frontal ao diafragma, calcular a intensidade do som a 5 m do alto-falante. 5) Um absorvedor acústico atenua de 30 dB o nível de intensidade sonora. Qual o fato de decréscimo da intensidade? 6) Um trem, a 90 km/h, aproxima-se de uma estação onde está um ouvinte e faz soar a sua buzina, cuja freqüência é de 630 Hz. (a) Qual o comprimento de onda das ondas na frente do trem? b) Qual a freqüência do som percebido pelo ouvinte? Use a velocidade do som como 340 m/s. 7) Num instante t=0, um avião supersônico está na vertical do ponto P e avança para leste a uma altitude de 15 km. O estrondo sônico é ouvido em P quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual a velocidade do avião? 8) Sobrevoando um poço do inferno, um demônio observa que os gritos de um condenado em queda com a velocidade terminal variam de freqüência de 842Hz a 820Hz. a) Calcular a velocidade terminal do condenado; b) os gritos do condenado refletem-se no fundo do poço. Calcular a freqüência do eco percebido pelo condenado em queda; c) calcular a freqüência do eco percebido pelo demônio. (Tipler 4a Ed., problema 15-115) Solução: Se o condenado em queda está sobre o demônio, então este o escuta com a freqüência de 842Hz(fonte se aproximando). Ao passar pelo demônio, este escuta-o com uma freqüência de 820Hz (fonte se afastando). Em termos de equações, temos: ur = 0, pois o demônio está parado. Usando a Equação 51, obtemos: f0 u ⎞ ⎛ ⇒ 820 * ⎜1 + s ⎟ = f 0 (fonte se afastando) (1) us ⎝ 340 ⎠ 1+ v f0 u ⎞ ⎛ ⇒ 842 * ⎜1 − s ⎟ = f 0 (fonte se aproximando) (2) 842 = u ⎝ 340 ⎠ 1− s v 820 = resolvendo as equações acima, obtemos que a freqüência emitida pelo condenado é f0 = 830,9 Hz e sua velocidade terminal (us) é igual a 4,5m/s. b) O som emitido pelo condenado e que se propaga em direção ao fundo do poço tem uma freqüência de 842Hz. Esta é a freqüência que irá ser refletida( pois o fundo do poço está parado). Neste caso, o fim do poço é uma fonte estacionária emitindo nessa freqüência. Assim, se o condenado se move em direção a uma fonte (fim do poço) que emite uma freqüência de 842Hz, este perceberá o som na seguinte freqüência (Equação 51 com us=0m/s e f0 = 842Hz): feco = (1 + 4,5/340)*842 = 853Hz. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 23 c) O eco percebido pelo demônio é igual ao som refletido pois o demônio está parado com relação a fonte que também está parada. Ou seja, 842Hz. 9) Um apito que emite continuamente a 500Hz descreve um círculo de 1 m de raio a 3 rev/s. Qual a freqüência máxima e a mínima percebida pelo ouvinte no plano do círculo, a 5 m do centro do círculo? (Tipler 4a Ed., problema 15-104) O apito gira no sentido anti-horário (suponha), assim, a seta inferior do círculo indica que o som se propaga na direção do ouvinte. Logo, neste caso a freqüência percebida aumenta. A distância entre o apito e o receptor não influencia no resultado. apito Freqüência maior: antes é necessário calcular a velocidade escalar do apito, ou seja: v=w.r ⇒ v = 3.2.π .1 ⇒ v = 6π m/s. Da Equação 51, temos: f ´= 1 ± ur v 500 f0 ⇒ f ′ = = 529 Hz. us 6π 1± 1− v 340 Para a situação em que o apito move se afastando do receptor, temos: f ´= 1 ± ur v 500 f0 ⇒ f ′ = = 474 Hz. u 6π 1± s 1+ v 340 Se você fosse o ouvinte, você escutaria uma variação na freqüência do som do apito a medida que ele se afastasse ou se aproximasse de você. Exercícios para casa Vide o livro 4 a edição (capítulo 15) De 1 a 8, 23 a 27, 33 a 38, 39 e 40, 51 e 52,68 a 72