Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
1
MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Quando um inseto se move à noite a alguns centímetros de um escorpião,
imediatamente o escorpião detecta-o e o mata para comer. O escorpião faz isto sem ver ou
ouvir o inseto. Como o escorpião é capaz de detectar o inseto?
1 – Ondas e Partículas
Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física. Estes dois conceitos são
bastante diferentes. A palavra partícula sugere uma pequena concentração de matéria capaz de
transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande
distribuição de energia no espaço por onde ela passa.
Ondas Mecânicas
Uma bandeira tremulando devido ao vento é tão comum, que quando os astronautas
(http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde não tem vento.
Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulações para dar a
impressão que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na água e na Terra.
Estas ondas são denominadas de ondas mecânicas. A principal característica destas ondas é
que elas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se
propagarem.
Ondas Eletromagnéticas
A onda eletromagnética mais comum para nós é a luz visível, porém convivemos com
várias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem não fez ainda uma radiografia?),
microondas (forno) e as ondas de radio e de televisão que recebemos em nossas casas.
Fisicamente, é um campo elétrico perpendicular a um campo magnético. Voltaremos a este
assunto em Física 3. Ao contrário das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não
requerem um meio material para sua propagação.
2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais
As ondas transportam energia e momento através do espaço, sem, porém transportar
matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio.
Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas
transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1).
As ondas de gravidade na atmosfera são exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam
para cima e para baixo). Veja uma interessante animação no seguinte endereço:
http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html .
As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação
(Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do
líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja
uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html .
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Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal.
2
Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal.
Pulsos Ondulatórios (Função de Onda)
A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante t = 0 . A forma da onda, neste
instante, pode ser representada por uma função y′ = f ( x´) . Num instante posterior o pulso
avançou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O’, que avança com a mesma
velocidade do pulso, este pulso é estacionário.
Fig. 3 – Pulso ondulatório que move sem alterar sua forma. O valor de x´ não é fixo.
As coordenadas nos dois sistemas estão relacionadas por:
x = x´+vt ⇒ x ′ = x − vt .
(1)
Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avançando para direita é:
y = f ( x − vt ) .
(2)
No caso de uma onda avançando para esquerda teremos:
y = f ( x + vt ) .
(3)
Nas duas expressões anteriores, v é a velocidade de propagação da onda. A função
y = f ( x − vt ) é a função de onda. No caso de ondas numa corda, a função de onda representa o
deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acústicas no ar, a função de onda
pode representar o deslocamento longitudinal das moléculas do ar, ou então a pressão.
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3
Velocidade das Ondas
A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas não depende do
movimento da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do movimento ondulatório.
Para ondas numa corda, quanto maior for a tensão na corda, mais rápida será a propagação
das ondas. Além disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa
corda pesada, ambas sujeitas à mesma tensão.
A velocidade (v) de propagação de uma onda numa corda, como mostraremos depois, é
dada por:
v=
F
µ
(4)
onde F é a tensão na corda e µ a densidade linear de massa (massa por unidade de
comprimento).
No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou a água, a velocidade (v ) de
propagação é da por:
B
(5)
ρ
onde B é o módulo de compressibilidade (já estudado no Capítulo de Fluidos) e ρ é a
densidade do meio.
Em geral, a velocidade das ondas depende da propriedade elástica do meio (tensão nas
cordas e módulo de compressibilidade, nas ondas acústicas) e de uma propriedade inercial do
meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar).
Mostraremos mais na frente que a velocidade (v ) do som num gás é dada por:
v=
γRT
M
(6)
onde T é a temperatura absoluta em kelvins (K), γ depende da espécie do gás. Nos gases de
moléculas diatômicas O2 e N2, γ tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído
por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R é a constante dos gases ideais e
vale 8,314 J/mol.K
Demonstração da equação (4)
Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se
a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tensão F será
aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com
velocidade v para direita, o pulso está estacionário e a corda se desloca com velocidade v . A
Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento ∆S . Num certo instante,
o segmento tem velocidade v numa trajetória circular e, por isso, tem uma aceleração
2
centrípeta v .
R
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4
Corda
FR
FR
R
θ/2
θ/2
F
F
θ/2
Considere um seguimento de corda tensionado com a presença de uma onda (pulso) propagando
com uma velocidade v. Sejam os seguintes parâmetros necessários para obtenção da relação de
velocidade da onda e tensão:
µ = Densidade linear de massa;
F = Tensão na corda;
Fr = Componente radial da tensão;
R = Raio do arco de circunferência (seguimento da corda);
As componentes horizontais das forças não serão consideradas porque elas serão anuladas. Veja
que estas componentes têm sentidos opostos.
A partir da figura acima podemos escrever que:
⎛θ ⎞ F
⎛θ ⎞
tan⎜ ⎟ = R ⇒ FR = F tan⎜ ⎟ .
⎝2⎠ F
⎝2⎠
(7)
Igualando o somatório de FR a força centrípeta e considerando o ângulo bem pequeno (tan θ ≅ θ),
obtemos:
2
mv 2
⎛ θ ⎞ mv
2 FR = 2 F ⎜ ⎟ =
⇒ Fθ =
(8)
R
R
⎝2⎠
Mas a massa no segmento de corda é dada por:
m = µ l = µ Rθ .
O que leva a seguinte equação:
(9)
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Fθ =
µ Rθ v 2
R
F
⇒ v=
µ
5
(10)
.
A Equação de Onda
A equação de onda relaciona as derivadas espaciais de y ( x, t ) às derivadas temporais. A
Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos
verticais, a força resultante na direção vertical será:
∑ F = F senθ
2
− F sen θ1 .
(11)
Como os ângulos são pequenos podemos fazer sen θ ≈ tan θ , assim podemos escrever a Eq. (11)
da seguinte forma:
∑ F = F (senθ
2
− sen θ1 ) ≈ F (tan θ 2 − tan θ 1)
(12)
Fig. 5 – Segmento de corda tensionada.
A tangente entre a corda e a horizontal é a inclinação (coeficiente angular) da curva
descrita pela corda. A derivada de y ( x,t ) ) em relação a x , com t constante é dada por esta
inclinação (S ) . A derivada parcial de y em relação a x é dada por ∂y . Assim, teremos:
∂x
∂y
(13)
S = tan θ =
∂x
portanto
(14)
∑ F = F (S2 − S1 ) = F∆S
Aplicando a segunda lei de Newton temos:
∂2 y
∆S
∂2 y
F∆S = ma = µ∆x 2 → F
=µ 2
∂t
∆x
∂t
(15)
No limite de ∆x → 0 , teremos:
∆S ∂S
∂ ⎛ ∂y ⎞ ∂ 2 y
=
= ⎜ ⎟= 2
∆x → 0 ∆x
∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
lim
(16)
onde substituímos S pela Equação (13). Assim a Equação (15) pode ser escrita da seguinte
forma:
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∂2 y µ ∂2 y
.
=
∂x 2 F ∂t 2
6
(17)
A Equação (17) é a equação de onda de uma corda tensionada. É fácil mostrar que a
equação de onda tem como solução qualquer função do tipo y ( x − vt ) , assim, podemos
generalizar e escrever a equação de onda geral da seguinte forma:
∂2 y 1 ∂2 y
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
(18)
2 – Ondas Harmônicas Numa Corda
Uma onda que pode ser representada por uma senóide ou cossenóide é denominada de
onda harmônica (veja Figura 6).
Fig. 6 – Onda harmônica em um dado instante. A abscissa é dada em termos de x expresso em função do
comprimento de onda ou em termos de número de ondas.
Numa corda, à medida que a onda se propaga, cada ponto da corda se desloca para
cima e para baixo, perpendicularmente à direção de propagação, descrevendo um movimento
harmônico simples, cuja a freqüência f é denominada freqüência da onda. Durante um
intervalo de tempo (período da onda) T = 1 , a onda avança de uma distância λ denominada
f
de comprimento de onda. Desta forma velocidade da onda será dada por:
λ
= fλ
T
A função seno que descreve o deslocamento (para cima e para baixo) é:
v=
y ( x) = A sen(kx + δ )
(19)
(20)
onde A é amplitude (deslocamento máximo), k é o número de onda (quantas ondas existem em
circunferência de raio igual a um metro* ou numa distância de 2π m), e δ é a constante de fase
(deslocamento para x = 0 ).
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7
Consideremos um ponto x1 separado de outro x2 por comprimento de onda (λ ) , de modo
que x2 = x1 + λ . Os deslocamento nos dois pontos são iguais, ou seja, y ( x1 ) = y ( x2 ) , assim
sen (kx1 ) = sen (kx2 ) = sen k ( x1 + λ ) = sen (kx1 + kλ ) ,
(21)
esta igualdade trigonométrica só ocorre se kλ = 2π Uma volta completa no círculo
trigonométrico). Assim, podemos definir o número de onda angular como sendo o número de
ondas que se tem em um metro de comprimento:
2π
k=
.
(22)
λ
Comprimento de onda
1m
2m
2πm
Número de onda
2 π m-1
π m-1
1 m-1
Consideremos agora a onda avançando para direita com velocidade v , a variável x na
equação (21) passa a ser x − vt . Tomando a fase como zero podemos escrever:
y ( x, t ) = A sen k ( x − vt ) = A sen (kx − kvt )
ou
y ( x, t ) ) = A sen (kx − ωt )
(23)
onde fizemos ω = kv , freqüência angular, e está relacionada com a freqüência f e o período T
2π
. Note que a equação (23) tem duas variáveis. Veja uma interessante
por ω = 2πf =
T
animação sobre a relação ω = 2πf no link abaixo:
http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01A.html
Energia das Ondas Numa Corda
A Figura 7 mostra uma rolha de cortiça dentro da água quando é interceptada por uma
onda. A onda transfere energia para rolha. Esta energia aparece como um aumento na energia
potencial da rolha
Fig. 7 – Rolha de cortiça elevada por uma onda.
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Seja ∆x o comprimento do segmento de uma corda e µ∆x a respectiva massa (∆m ) . O
deslocamento em relação à posição de equilibro é dado pela função de onda y = A sen(kx − ωt ) .
A velocidade é dada por dy . Assim, a energia cinética do segmento será:
dt
1
1
⎛ dy ⎞
∆K = (∆m )v y2 = (µ∆x )⎜ ⎟
2
2
⎝ dt ⎠
2
(24)
Calculando a derivada em separado obtemos:
dy d ( A sen (kx − ωt ))
=
= ωA cos(kx − ωt )
dt
dt
(25)
Agora podemos escrever energia cinética da seguinte forma:
∆K =
1
µω 2 A 2 ∆x cos 2 (kx − ωt )
2
(26)
A energia potencial de um segmento é o trabalho realizado na elongação da corda e
depende da inclinação dy . No caso de pequenas inclinações, pode-se demonstrar que a
dx
energia potencial, a inclinação e a tensão F estão relacionadas por (ver Problema 123, Tipler,
volume 1, 4a edição):
2
1 ⎛ dy ⎞
∆U ≅ F ⎜ ⎟ ∆x
2 ⎝ dx ⎠
(27)
Calculando a derivada em separado temos:
dy d ( A sen (kx − ωt ))
=
= kA cos(kx − ωt )
dx
dt
A tensão pode ser escrita como F = µv 2 (utilizando a equação 4), ou F = µω
usamos v = ω .
k
A energia potencial será:
1 ⎛ µω 2
∆U = ⎜⎜ 2
2⎝ k
⎞ 2 2
1
⎟⎟k A ∆x cos 2 (kx − ωt ) = µω 2 A 2 ∆x cos 2 (kx − ωt )
2
⎠
(28)
2
k2
onde
(29)
A Equação (29) da energia potencial coincide exatamente com a Equação (26) da
energia cinética. A energia total será soma destas duas energias:
∆E = ∆K + ∆U = µω 2 A 2 ∆x cos 2 (kx − ωt )
(30)
Calculando a energia média obtemos:
∆E med =
1
µω 2 A 2 ∆x .
2
(31)
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Este resultado é obtido, pois o valor médio de cos 2 (kx − ωt ) é igual a ½ . A equação (30)
também nos mostra que a energia de um segmento da corda varia com o tempo e que ela
coincide com o resultado da energia média de um corpo de massa µ∆x oscilando com
movimento harmônico simples preso numa mola.
__________
Obs. A média de uma função num período T (=2π/ϖ) é dada por:
fm =
1 T
f (t )dt
T ∫o
__________
Potência média de uma onda
Consideremos que uma onda em uma corda atinja um ponto p1 no instante t1 . A parte da
corda à esquerda de p1 tem energia devido ao movimento harmônico simples dos seus
segmentos, no entanto, a parte da corda à direita de p1 não tem energia, pois seus segmentos
estão em repouso (veja Figura 8a). Depois de um tempo ∆t a onda avançou para direita uma
distância v∆t (veja Figura 8b).
Fig. 8 – a) onda numa corda, direita de p1 sem energia. b) onda na corda, direita de p1 com energia.
A energia média que passou pelo ponto p1 durante o intervalo de tempo ∆t é a energia
média em ∆x = v∆t , ou seja,
1
∆Emed = µω 2 A2 v∆t
(32)
2
A potência média transmitida é dada pela taxa temporal de transmissão de energia:
dE
1
(33)
Pmed = med = µω 2 A2 v
2
dt
A equação (33) mostra que a energia e a potência média são proporcionais ao quadrado
da amplitude.
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Ondas Sonoras Harmônicas
As ondas sonoras harmônicas podem ser geradas, no ar, por um diapasão
(http://www.ciagri.usp.br/~svcex/diapas.htm), por uma pessoa falando, ou por um alto-falante
que esteja vibrando com movimento harmônico simples. A fonte de vibração provoca a
oscilação das moléculas com suas vizinhanças em torno de um ponto de equilíbrio. Os choques
entre moléculas vizinhas provocam oscilações semelhantes. Podemos descrever uma onda
sonora através de uma função s ( x, t ) que representa o deslocamento das moléculas em relação
ao equilíbrio:
s ( x, t ) = s0 sen(kx − ωt )
(34)
Os deslocamentos estão orientados na direção do movimento da onda e provocam
variações na densidade e na pressão no ar. Figura 9 mostra a variação, com x, do
deslocamento das moléculas.
Como a pressão de um gás é proporcional a sua densidade, a variação de pressão (pois
está superposta uma pressão de equilíbrio) é máxima quando a variação de densidade for
também máxima. A Figura 9 mostra que a variação de densidade (ou pressão) está defasada do
deslocamento de 90°. Quando o deslocamento é nulo, a variação de densidade (ou pressão) é
máxima ou mínima. Quando o deslocamento é máximo ou mínimo, a variação de densidade (ou
pressão) é nula. Dessaa forma, podemos representar uma onda sonora por uma onda de pressão
dada por:
p = p0 sen k x − ω t − π
(35)
2
(
)
onde p é variação de pressão em relação á pressão de equilíbrio, p0 é o máximo (quando a
função seno é igual um) desta variação de pressão. A amplitude da variação de pressão p0 está
relacionada com a amplitude do deslocamento s0 por:
p0 = ρωvs0
(36)
onde v é a velocidade de propagação e ρ a densidade do gás no equilíbrio.
Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 HZ até cerca de 20.000
HZ. Um ouvido humano normal consegue ouvir sons (dentro do limiar de audição) entre 3x10-5
e 30 Pa.
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Fig. 9 – Gráfico do deslocamento das moléculas de ar num dado instante. Veja uma interessante animação com
esta figura no seguinte endereço: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=50.
Energia de Ondas Sonoras
A energia média de uma onda sonora harmônica, num elemento de volume ∆V , é dada
pela equação (31):
1
∆E med = µω 2 A 2 ∆x
2
Por analogia podemos substituir A por s0 e ∆m = µ∆x ou ∆m = ρ∆V , tomando ρ
como a densidade média do meio. Dessa forma:
1
ρω 2 s02 ∆V
2
A energia média por unidade de volume é a densidade de energia média (ηmed ) :
∆Emed =
ηmed =
∆Emed 1
= ρω 2 s02
∆V
2
(37)
(38)
3 – Ondas em Três Dimensões
Estas ondas são geradas por uma fonte puntiforme que oscila com movimento harmônico
simples. O comprimento de onda é a distancia entre cada superfície esférica (concêntricas)
sucessiva. Cada superfície esférica é uma frente de onda.
O movimento das frentes de onda pode ser representado por raios que são retas
perpendiculares às frentes de onda.
À distâncias muito grandes de uma fonte, uma pequena parte da frente de onda pode ser
representada por um plano (ondas planas).
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Fig. 10 – Frente de ondas esféricas divergindo de uma fonte puntiforme.
Intensidade das Ondas
A potência média por unidade de área perpendicular à direção de propagação é a
intensidade da onda e é dada por:
P
I = med .
(39)
A
Fig. 11 – Determinação da intensidade de uma onda num certo ponto.
A uma distância r de uma fonte puntiforme, que emite uniformemente em todas as
direções, a intensidade é:
P
(40)
I = med2 .
4πr
A intensidade de uma onda varia com o inverso do quadrado da distância. A unidade da
Intensidade no SI é watts/m2.
A Figura 12 mostra uma onda esférica que atingiu uma distancia r1 . O volume dentro da
esfera de raio r1 contém energia, pois, nesta região, as partículas estão oscilando
harmonicamente.
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Fig. 12 – Volume da casca = A v∆t . Onde A é a área da casca esférica de raio r1.
A região fora da esfera de raio r1 não contém energia porque a onda ainda não atingiu
esta região. Após um intervalo ∆t a onda avançou uma distancia ∆r = v∆t . A energia média na
casca esférica de área A , espessura v∆t e volume ∆V é dada por:
∆Emed = ηmed ∆V = ηmed Av∆t
(41)
A potência média que entra na casca será dada por:
Pmed =
∆Emed ηmed Av∆t
=
= ηmed Av
∆t
∆t
Assim, a intensidade será:
I=
Pmed ηmed Av
=
= ηmed v
A
A
(42)
(43)
A equação (43) mostra que a intensidade de uma onda é igual ao produto da densidade
média de energia pela velocidade de fase da onda.
Utilizando a equação (38) determinamos à intensidade de uma onda sonora:
I = η med v =
onde fizemos s0 =
p0
1
1 p02
ρω 2 s02 v =
,
2
2 ρv
(44)
ρωv . Este resultado é geral para qualquer tipo de onda, ou seja, a
intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude.
Fig. 13 - O ouvido humano consegue ouvir um som cuja intensidade mínima é de 1x10-12W/m2. A intensidade
máxima, em que o ouvido sente dor, é de 1W/m2.
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Nível de Intensidade e Sonoridade
A sensação psicológica de sonoridade (volume do som) varia aproximadamente com o
logaritmo da intensidade e não com a própria intensidade. Para descrever o nível de intensidade
de uma onda sonora, adota-se uma escala logarítmica β . A unidade de medida é o decibel (dB),
definido por:
I
β = 10 log
(45)
I0
onde I é a intensidade do som e I o é o limiar da audibilidade (10-12 W/m2)
Nesta escala teremos:
I0
⎧
⎪⎪ Limiar da audibilidade → β = 10log I = 0 dB
0
⎨
⎪Sensação de dor → β = 10 log 1 = 10 log 1012 = 120 dB
⎪⎩
10 −12
( )
__________
Obs.1) Se y = log (x), então x = 10 y.
2) É possível uma pessoa escutar um som com nível de intensidade abaixo de 0 dB!!??
__________
Exemplo
Ao ladrar, um cachorro emite cerca de 1 mW de potência. a) Se esta potência estiver
uniformemente distribuída em todas as direções, qual o nível de intensidade do latido a uma
distância de 5 m? b) Qual seria o nível de intensidade se dois cachorros estivessem latindo ao
mesmo tempo, cada um emitindo 1 mW de potência?
Solução:
Calculamos o de intensidade utilizando a equação I = P
intensidade estão relacionados por β = 10 log I
I0
.O nível de intensidade e a
4πr 2
. Assim, a intensidade para r = 5m será:
−3
P
10
=
= 3,18 x10 −6 W / m 2
2
2
4πr
4π (5)
Agora podemos calcular o nível de intensidade:
I=
3,18 x10 −6
I
= 10 log
= 10 log(3,18 X 10 6 ) = 65dB
−12
I0
10
Se considerarmos I 1 a intensidade do latido de um cachorro, a intensidade para os dois
será I 2 = 2 I 1 . Desta forma, o nível de intensidade para os dois cachorros será:
I
2I
I
β 2 = 10 log 2 = 10 log 1 = 2 log 2 + 10 log 1 = 10 log + β = 68dB
Io
I0
I0
β = 10 log
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este exercício mostra que se a potência estiver distribuída uniformemente e se a intensidade for
duplicada o nível de intensidade aumenta de 3 dB. Veja uma simulação da variação de 3 dB em
relação a um nível de referencia no endereço: http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/15-5/
Nota: Se o cachorro estivesse no chão, poderíamos dizer que o som propagaria uniformente num
hemisfério (metade de uma esfera). Neste caso, a área deve ser dada por 2πr2.
A sensação de sonoridade depende da freqüência e também da intensidade do som. A
Tabela 1 mostra a intensidade em dB de algumas fontes sonoras. A Figura 14 mostra a
intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência.
Tabela 1 – Fontes sonoras e suas respectivas intensidades
Fonte
I
Respiração normal
Folhas sussurrantes
Murmúrios (a 5 cm)
Biblioteca
Escritório tranqüilo
Conversação normal (a 1 m)
Tráfego pesado
Escritório barulhento; fábrica comum
Caminhão pesado (a 15 m)
Trem de metrô
Construção civil (a 3 m)
Concerto de rock com amplificadores
(a 2 m; decolagem de jato (a 60 m)
Martelo pneumático; metralhadora
Decolagem de jato (nas vizinhanças)
Motor de foguete de grande porte (nas
vizinhanças)
dB
Descrição
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Limiar da audibilidade
Quase inaudível
1010
1011
1012
100
110
120
1013
1015
1018
130
150
180
I0
Muito silencioso
Silencioso
Exposição constante prejudica a
audição
Limiar de audição dolorosa
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Fig. 14 – Gráfico mostrando a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência.
Note que o ouvido humano é mais sensível, em todos os níveis de intensidade, aos sons com freqüências aproximada
de 4 kHz.
4 – Ondas Sonoras Encontrando Obstáculos
0 comportamento de uma onda sonora ao atingir uma superfície é semelhante àquele que
ocorre com uma onda luminosa ao incidir, por exemplo, num vidro ou num espelho. Ou seja, ela
sofre reflexão e/ou transmissão na interface destes dois meios. O ângulo que uma onda
luminosa é transmitida e/ou refletida depende dos índices de refração destes meios (este assunto
é melhor estudado num curso de Ótica); no caso de uma onda sonora, as velocidades das ondas
nestes meios, mais especificamente, é quem vai dizer o comportamento do raio transmitido e do
refletido. Em três dimensões, a fronteira entre duas regiões onde as velocidades são diferentes é
uma superfície. A Figura 15 mostra um raio incidindo sobre uma superfície.
v1
v2
Fig. 15 – Onda atingindo a fronteira de dois meios nos quais a velocidade da onda é diferente. Parte da onda é
refletida e parte da onda é transmitida. A mudança na direção do raio transmitido é a refração.
Quando uma onda sonora incide sobre uma fronteira que separa duas regiões onde as
velocidades da onda são diferentes, esta onda pode ter uma parte refletida e outra transmitida.
Reflexão – dizemos que ocorreu reflexão quando a onda (ou parte dela) é refletida.
Refração – dizemos que ocorreu refração quando a onda (ou parte dela) é transmitida.
Veja duas interessantes simulações nos endereços a seguir:
http://surendranath.tripod.com/Twave/TwaveRefTran/TwaveRefTran.html
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/propagation/propagation.html
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
17
O raio (linha reta perpendicular a frente de onda) transmitido aproxima-se ou afasta-se
da normal conforme a velocidade da onda no segundo meio seja menor ou maior do que a
velocidade no meio inicial. À medida que o ângulo de incidência aumenta (Figura 16), o ângulo
de refração também aumenta, até que se atinge um ângulo de incidência crítico para qual o
ângulo de refração é de 90°. Se o ângulo de incidência for maior do que este ângulo crítico, não
ocorrerá mais refração, e ocorrerá um fenômeno denominado de reflexão total. Este fenômeno é
utilizado na fabricação de fibras óticas.
Fig. 16 – Variação do ângulo de incidência.
Veja uma interessante simulação no endereço abaixo:
http://people.deas.harvard.edu/~jones/cscie129/applets/optics/java/totintrefl/index.html
Difração- Quando uma onda incide sobre uma barreira provida de uma pequena
abertura, passa através da abertura propagando-se como uma onda esférica ou circular. Veja
uma um interessante applet sobre difração no endereço:
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap13/cd372.htm
Embora as ondas que encontram uma abertura sempre se difratem, a difração depende
de o comprimento de onda ser pequeno ou grande em relação ao tamanho da abertura. Se o
comprimento de onda for muito maior do que a abertura os efeitos da difração são notáveis,
caso contrário não ocorre difração.
A difração estabelece um limite na exatidão da localização de pequenos corpos por
reflexão de ondas sonoras.
As ondas sonoras com freqüências acima de 20.000 Hz são os ultra-sons. Os morcegos,
por exemplo, emitem e percebem ultras com freqüências da ordem de 120.000 Hz
(correspondendo a comprimento de onda de 2,8 mm). Na medicina, os ultra-sons são usados no
levantamento de diagnóstico. Veja interessante applet sobre este assunto nos seguinte endereço:
http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=43
5 – O Efeito Doppler
Quando uma fonte de ondas e o receptor estão em movimento relativo, a freqüência
observada não coincide com a freqüência emitida. Quando a fonte e o receptor se aproximam
um do outro, a freqüência observada é maior do que a freqüência emitida. Quando os dois se
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
18
afastam um do outro, a freqüência observada é menor do que a emitida. Exemplo bem comum é
o da variação da altura do som de um carro quando se aproxima de um observador.
Considere uma fonte de freqüência f 0 em movimento com velocidade u s em relação ao
meio. As ondas na direção para frente da fonte estão comprimidas, e as emitidas para trás estão
mais espaçadas (veja figura 17). Seja v a velocidade das ondas em relação ao meio. Esta
velocidade depende exclusivamente das propriedades do meio e não do movimento da fonte.
Num intervalo de tempo ∆t , a fonte emite N ondas, onde N = f 0 ∆t , pois f 0 é o número de
onda por unidade de tempo f 0 = N
.
∆t
(
)
us
Fig. 17 – Frentes de ondas sucessivas emitidas por uma ponte puntiforme que move para direita com velocidade
us . Veja uma interessante simulação sobre o efeito Doppler no endereço:
http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=45
A primeira frente de onda avança de uma distância v∆t , enquanto a fonte cobre a
distância us ∆t . O comprimento λ´ de onda na frente da fonte será a distância ocupada pelas
ondas (v − us )∆t , dividida pelo número de ondas:
λ´=
(v − us )∆t
N
Atrás da fonte temos:
λ´=
=
(v − us )∆t
f o ∆t
=
v − us
f0
v + us
f0
(46)
(47)
Outra situação é aquela em que a fonte está parada e o receptor move-se com velocidade ur. Se
vr é a velocidade relativa entre as ondas (v) e o receptor, o número de ondas que passam pelo
receptor no tempo ∆t é igual ao número de ondas na distância vr ∆t (veja Figura 18):
N=
vr ∆t (v ± u r )
=
∆t ,
λ´
λ´
(47)
Valendo o sinal negativo para frente da fonte (receptor se aproximando da fonte) e o
negativo para trás (receptor se afastando da fonte).
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
19
Fig. 18 – O número de ondas que passam por uma receptor estacionário, durante o intervalo de tempo ∆t , é igual
ao número de ondas na distância v∆t ( v é a velocidade da onda). Se o receptor se aproxima da fonte com
velocidade ur , passa também pelo número extra de ondas na distância .
A freqüência observada é o número de ondas dividido pelo intervalo de tempo:
N
=
f ´=
∆t
(v ± ur )∆t
∆t
λ´ = (v ± ur )
λ´
(48)
Se o receptor estiver parado temos ur = 0 , a freqüência será:
f ´=
v
v
v
1
f0 =
f0
=
=
u
λ´ (v ± us ) (v ± us )
1± s
v
fo
(49)
A Equação (49) é válida para a fonte em movimento e o receptor estacionário. Quando a
fonte está em movimento aproximando-se do receptor, a freqüência aumenta e vale o sinal
negativo da Equação (49), caso contrário a freqüência diminui e vale o sinal positivo.
Se a fonte estiver estacionária, λ´= λ0 = v , a freqüência observada será:
f0
f ´=
v ± ur v ± ur
⎛ u ⎞
f 0 = ⎜1 ± r ⎟ f 0
=
v
v
v⎠
⎝
f0
(50)
Combinando as Equações (46-48) podemos obter uma equação geral:
f ´=
1 ± ur v
v ± ur
v ± ur
v ± ur
=
=
f0
f0 =
v ± us
us
λ´
v ± us
1±
f0
v
(51)
O sinal (negativo ou positivo) é determinado a partir do movimento relativo entre fonte e
receptor. Por exemplo, se a fonte se move na direção do receptor e este também se move na
direção da fonte, o sinal positivo vale no numerador e o negativo no denominador. Lembrando
que a freqüência aumenta quando fonte e receptor se aproximam e diminui quando se afastam.
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
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Pode-se mostrar que, se us e ur forem muito menores do que a velocidade da onda v , o
deslocamento de freqüência é dados, aproximadamente, por:
u
∆f
≈±
f0
v
(u << v ) ,
(52)
onde u = u s ± u r é a velocidade relativa entre a fonte e o receptor.
E o meio estiver em movimento, por exemplo o ar com uma corrente de vento, a
velocidade da onda é substituída por v´= v ± u w , em que u w é velocidade do vento.
Exemplo
A freqüência de uma buzina de carro é de 400 Hz. Calcular a) o comprimento de onda do som e
b) a freqüência observada se o carro estiver com a velocidade de us = 34 m/s (cerca de 122
km/h) em relação ao ar tranqüilo esse aproxima de um receptor estacionário. Tomar como 340
m/s a velocidade do som no ar. c) calcular a freqüência observada se o carro estiver
estacionário e o receptor se mover com a velocidade de us = 34 m/s na direção da buzina.
Solução:
a) As ondas da frente estão comprimidas então adotamos o sinal negativo na equação (46).
v − u s 340 − 34
λ=
=
= 0,765m
fo
400
b) Calculamos a freqüência utilizando a seguinte equação:
v
340
f ´= =
= 444 Hz
λ´ 0,765
c) Para o receptor em movimento, a freqüência observada é dada pela equação (50). Neste caso
o comprimento não se altera, porém um maior número de ondas passa pelo receptor num certo
intervalo de tempo. O sinal desta equação é tomado positivo, pois a freqüência aumenta.
⎛ u
f ´= f 0 ⎜1 + r
v
⎝
34 ⎞
⎞
⎛
⎟ = 400⎜1 +
⎟ = 400(1,1) = 440 Hz
⎝ 340 ⎠
⎠
Ondas De Choque
Se a fonte se desloca com velocidade maior do que a velocidade da onda, não haverá
ondas na frente da fonte. Ao contrário, as ondas se acumulam atrás da fonte e constituem uma
onda de choque. No caso de ondas sonoras, esta onda de choque se manifesta como um estrondo
sônico (veja Figura 19).
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
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Fig. 19 – Ondas de choque de um veículo supersônico
Na Figura 20 uma fonte está no ponto P1 , movendo-se para direita com velocidade u .
Depois de um certo tempo t , a onda emitida do ponto P1 avançou a distância vt . A fonte
avançou a distância ut e estará np ponto P2 . A reta que passa pela nova posição da fonte e é
tangente à frente da onda em P1 faz um ângulo θ com a trajetória da fonte e se tem
sen θ =
vt v
=
ut u
(52)
Fig.20 – Fonte com velocidade u maior do que a velocidade da onda v. A envoltória das frentes de onda é uma
superfície cônica com vértice na posição da fonte.
A onda de choque fica confinada num cone cuja abertura diminui à medida que a
velocidade da fonte aumenta. O número de Mach é definido como sendo a razão entre a
velocidade da fonte e a velocidade da onda.
Numero de Mach = u
v
(53)
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
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Exercícios
1) A função de onda de uma onda harmônica numa corda é y ( x, t ) = 0,03 sen( 2,2 x − 3,5t ) , x está em
metros e t em segundos. a) Em que direção a onda avança e qual a sua velocidade? b) Calcular o
comprimento de onda, a freqüência e o período da onda. c) Qual o deslocamento máximo de qualquer
segmento da corda? d) Qual a velocidade máxima de qualquer segmento da corda?
2) Uma onda de comprimento de onda de 35 cm e amplitude de 1,2 cm desloca-se ao longo de uma corda de
15 m, cuja massa é de 80 g e sujeita a uma tensão de 12 N. (a) Qual a velocidade e a freqüência angular
da onda? b) Qual a energia total média da onda na corda.
3) Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 Hz até cerca de 20.00 Hz. Se a velocidade
do som no ar for de 340 m/s, que comprimentos de onda correspondem a estas freqüências.
4) O diafragma de um alto-falante tem 30 cm de diâmetro e vibra a 1 kHz com a amplitude de 0,020 mm.
Admitindo que a amplitude das moléculas de ar nas vizinhanças do diafragma seja também de 0,020 mm,
calcular a) a amplitude da variação de pressão na região vizinha e à frente do diafragma, b) a intensidade
do som na frente do diafragma e c) a potência acústica irradiada pelo diafragma. d) Se a irradiação do
som for uniforme no hemisfério frontal ao diafragma, calcular a intensidade do som a 5 m do alto-falante.
5) Um absorvedor acústico atenua de 30 dB o nível de intensidade sonora. Qual o fato de decréscimo da
intensidade?
6) Um trem, a 90 km/h, aproxima-se de uma estação onde está um ouvinte e faz soar a sua buzina, cuja
freqüência é de 630 Hz. (a) Qual o comprimento de onda das ondas na frente do trem? b) Qual a
freqüência do som percebido pelo ouvinte? Use a velocidade do som como 340 m/s.
7) Num instante t=0, um avião supersônico está na vertical do ponto P e avança para leste a uma altitude de
15 km. O estrondo sônico é ouvido em P quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual a velocidade
do avião?
8) Sobrevoando um poço do inferno, um demônio observa que os gritos de um condenado em queda com a
velocidade terminal variam de freqüência de 842Hz a 820Hz. a) Calcular a velocidade terminal do
condenado; b) os gritos do condenado refletem-se no fundo do poço. Calcular a freqüência do eco
percebido pelo condenado em queda; c) calcular a freqüência do eco percebido pelo demônio. (Tipler 4a
Ed., problema 15-115)
Solução: Se o condenado em queda está sobre o demônio, então este o escuta com a freqüência de 842Hz(fonte se
aproximando). Ao passar pelo demônio, este escuta-o com uma freqüência de 820Hz (fonte se afastando). Em
termos de equações, temos:
ur = 0, pois o demônio está parado. Usando a Equação 51, obtemos:
f0
u ⎞
⎛
⇒ 820 * ⎜1 + s ⎟ = f 0 (fonte se afastando) (1)
us
⎝ 340 ⎠
1+
v
f0
u ⎞
⎛
⇒ 842 * ⎜1 − s ⎟ = f 0 (fonte se aproximando) (2)
842 =
u
⎝ 340 ⎠
1− s
v
820 =
resolvendo as equações acima, obtemos que a freqüência emitida pelo condenado é f0 = 830,9 Hz e sua velocidade
terminal (us) é igual a 4,5m/s.
b) O som emitido pelo condenado e que se propaga em direção ao fundo do poço tem uma freqüência de 842Hz.
Esta é a freqüência que irá ser refletida( pois o fundo do poço está parado). Neste caso, o fim do poço é uma fonte
estacionária emitindo nessa freqüência. Assim, se o condenado se move em direção a uma fonte (fim do poço) que
emite uma freqüência de 842Hz, este perceberá o som na seguinte freqüência (Equação 51 com us=0m/s e f0 =
842Hz):
feco = (1 + 4,5/340)*842 = 853Hz.
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo
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c) O eco percebido pelo demônio é igual ao som refletido pois o demônio está parado com relação a fonte que
também está parada. Ou seja, 842Hz.
9) Um apito que emite continuamente a 500Hz descreve um círculo de 1 m de raio a 3 rev/s. Qual a
freqüência máxima e a mínima percebida pelo ouvinte no plano do círculo, a 5 m do centro do círculo?
(Tipler 4a Ed., problema 15-104)
O apito gira no sentido anti-horário (suponha), assim,
a seta inferior do círculo indica que o som se propaga
na direção do ouvinte. Logo, neste caso a freqüência
percebida aumenta.
A distância entre o apito e o receptor não influencia
no resultado.
apito
Freqüência maior:
antes é necessário calcular a velocidade escalar do apito, ou seja: v=w.r ⇒ v = 3.2.π .1 ⇒
v = 6π m/s.
Da Equação 51, temos:
f ´=
1 ± ur v
500
f0 ⇒ f ′ =
= 529 Hz.
us
6π
1±
1−
v
340
Para a situação em que o apito move se afastando do receptor, temos:
f ´=
1 ± ur v
500
f0 ⇒ f ′ =
= 474 Hz.
u
6π
1± s
1+
v
340
Se você fosse o ouvinte, você escutaria uma variação na freqüência do som do apito a medida que ele se afastasse
ou se aproximasse de você.
Exercícios para casa
Vide o livro 4 a edição (capítulo 15)
De 1 a 8, 23 a 27, 33 a 38, 39 e 40, 51 e 52,68 a 72