Prova-Modelo de Matemática
PROVA 5
3.º Ciclo do Ensino Básico
7 Páginas
DURAÇÃO DA PROVA: 90 minutos | TOLERÂNCIA: 30 minutos
Cotações
A Laura precisou de recolher alguns dados para a disciplina de Matemática. Para isso,
(12)
registou o número de calçado de cada um dos seus colegas de turma e elaborou o seguinte gráfico:
1
1.1
Qual a média do número de calçado dos alunos da turma da Laura?
4
Mostra como chegaste à resposta.
Resposta:
1.2
_______________________________________________________________________
Qual das seguintes opções corresponde à moda do número de calçado dos alunos
3
da turma da Laura?
12
1.3
39
36 e 40
2
Escolheu-se, ao acaso, um aluno da turma da Laura. Sabendo que esse aluno calça
mais do que 37, qual a probabilidade de calçar 40?
Apresenta o resultado na forma decimal, arredondada às décimas.
Resposta:
_______________________________________________________________________
34
5
Cotações
2
Na escola da Laura estão a construir um muro
(9)
com blocos de cimento, com a forma de prismas quadrangulares, cujo comprimento é o
triplo da largura. Esses blocos estão a ser colocados como mostra a figura. Sabe-se, ainda,
que cada bloco de cimento tem 81 dm3 de
volume.
2.1
Se o muro a construir tiver 10,8 m de comprimento e 1,5 m de altura, quantos
5
blocos de cimento serão necessários e quantas filas como as da figura serão construídas?
Resposta:
2.2
_______________________________________________________________________
Os blocos foram feitos à base de uma massa que leva água, areia e cimento. Por
4
cada porção de água e por cada porção de cimento juntam-se três porções de
areia. Qual das seguintes expressões ilustra a relação entre a quantidade de cimento (c) e a quantidade de areia utilizada (a), ambas em kg?
3
c = 3a
a=
c×a=6
3a + c = 1
c
3
–x + y 5 2
Considera o sistema de equações: • x
+ y 5 –2
3
Qual o par ordenado (x, y) que é solução deste sistema?
Mostra como obtiveste a tua resposta.
Resposta:
_______________________________________________________________________
35
(7)
Cotações
4
5x – 3 1 + 5x
–
< 4.
2
3
Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o conjunto-solução na
Resolve a inequação
(7)
forma de um intervalo de números reais.
Resposta:
5
6
(4)
Qual das opções seguintes apresenta dois números irracionais?
3
1 π
"8 ; π0
"–64 ; π
;
Ä 16 π
Escreve o número
Resposta:
7
_______________________________________________________________________
3
"3;
2
π
1
na forma de uma potência de base 2.
8
(3)
_______________________________________________________________________
Na figura está representada uma circunferência de centro O,
(6)
A
em que:
• A, B, C e D são pontos da circunferência;
O
• [AC ] é um diâmetro;
B
• a amplitude do arco CD é metade da amplitude do arco BC;
២
• BA = 117°.
C
D
Determina a amplitude do arco BAD, justificando convenientemente a resposta.
Resposta:
_______________________________________________________________________
36
Cotações
8
Diz a lenda que a construção geométrica da estrela de nove pontas, ou eneagrama, foi
(13)
conseguida pela primeira vez por Pitágoras, que, segundo reza a tradição, fundou por
volta do ano 525 a. C. uma misteriosa Irmandade fundamentada em alguns princípios.
O eneagrama é um antigo sistema de sabedoria, que descreve a queda e a ascensão possível da consciência humana, segundo nove padrões. Assim, cada pessoa pode possuir
traços dos nove pontos do eneagrama, mas possui apenas um tipo, que não muda, no entanto, há evolução dentro de cada tipo, nos seus diferentes níveis de desenvolvimento e
consciência. A figura é uma representação de um eneagrama desenhado pela Laura.
J
8.1
Qual a amplitude do arco AI ?
Resposta:
8.2
_______________________________________________________________________
Determina a amplitude do ângulo BJI.
Resposta:
8.3
2
3
_______________________________________________________________________
Indica para que ponto se desloca o ponto C após uma rotação de centro O e am-
2
plitude +200°.
Resposta:
8.4
_______________________________________________________________________
Calcula a área do eneágono [ABCDEFGHI], supondo que o raio da circunferência
é 6 cm e o lado do polígono regular mede 4 cm.
Indica o resultado arredondado às unidades, conservando três casas decimais
nos cálculos intermédios.
Resposta:
_______________________________________________________________________
37
6
Cotações
9
Resolve a equação seguinte:
(7)
x(x – 3) = 4 a 1 –
1
xb
3
Apresenta os cálculos que efetuares.
Resposta:
10
_______________________________________________________________________
Nas férias da Páscoa a Laura foi passar uma semana à Turquia. O Templo de Ártemis
foi construído no século VI a. C. para a deusa grega Ártemis, da caça e dos animais selvagens. Hoje apenas restam destroços desse templo.
A
C
B
D
Supondo que no triângulo isósceles [ACD] [AB ] mede 8,5 m e [CD ] mede 30 m, determina a amplitude do ângulo ADB.
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
Resposta:
_______________________________________________________________________
38
(6)
Cotações
11
A figura é constituída por um quadrado cujo lado mede x, um círculo inscrito nesse quax
drado e um círculo de diâmetro , interior ao círculo maior e tangente a este e ao qua2
drado no ponto O.
(13)
P
O
Q
11.1 Determina uma expressão simplificada que permita determinar a área da zona
4
não pintada.
Resposta:
_______________________________________________________________________
11.2 Considerando a redução, qual a razão de semelhança entre as áreas dos dois cír-
5
culos?
Resposta:
_______________________________________________________________________
11.3 Pode afirmar-se que PÔQ é aproximadamente igual a:
90º
126º
60º
39
4
54º
Cotações
12
O pai da Laura é eletricista. A expressão seguinte relaciona o preço cobrado pelo pai da
(9)
Laura, C, em euros, e as horas de trabalho, t :
C (t) = 5 + 7,50t
12.1 Quanto pagou um cliente por uma hora e meia de trabalho?
Resposta:
4
_______________________________________________________________________
12.2 Um outro cliente pagou 27,50 € pelos serviços do eletricista. Quantas horas tra-
5
balhou ele?
Resposta:
13
_______________________________________________________________________
A figura abaixo representa um dos mosaicos que a mãe da Laura tem na sua cozinha.
Um dia de manhã, a Laura, enquanto tomava o pequeno-almoço, reparou num dos mosaicos e começou a associá-lo à matéria das isometrias que tinha estudado nas aulas
de Matemática.
A
B
C
E
F
D
Colocando letras na figura, qual a isometria que corresponde à transformação do triângulo [ABC ] no triângulo [DEF ]?
Rotação.
Simetria seguida de translação.
Rotação seguida de simetria.
Translação.
40
(4)
# Propostas de Resolução
§
y=2+x
–12
4
——————
x = –3
§
y=2–3
x=
§
§
——————
——————
y = –1
D
§
x
x
+ y = –2
+ 2 + x = –2
3
3
——————
——————
§
§
x + 6 + 3x = –6
4x = –6 – 6
8 = 6 + x § 8x = 4(6 + x) § 8x – 4x = 24
x
4
§ 4x = 24 § x = 6 m
—
R.: FE = 6 m.
13.2
–x + y = 2
13.1 Como os triângulos são semelhantes:
—
—
AC = CB
—
—
DF FE
3.
13.
x = –3
R.: (x, y) = (–3, –1).
4m
4. 5x – 3 – 1 + 5x < 4 § 15x – 9 – 2 – 10x < 24
2
3
F
3m
§ 15x – 10x < 24 + 9 + 2 § 5x < 35 § x < 35
5
§x<7
E
R.: x å ]–∞; 7 [.
( )
ˆ = 3 § DFG
ˆ = cos–1 3
cos(DFG)
4
4
5. R.: 3√∫3; 2 .
p
ˆ ≈ 41o
§ DFG
1
1
=
= 2–3.
8 23
—
—
7. CD = x; BC = 2x
6. R.:
ˆ = 180o – 41o = 139o.
Então, DFC
ˆ
R.: DFC = 139o.
117o + 2x = 180o § 2x = 180o – 117o
§ x = 31,5o
២
AD = 180o – 31,5o = 148,5o
២
Então, BAD = 148,5o + 117o = 265,5o.
PROVA 5 | (págs. 34-40)
1.
1.1 —x = 36 ¥ 2 + 37 ¥ 3 + 38 ¥ 5 + 39 ¥ 12 + 40 ¥ 2 + 41 ¥ 1
4
§—
x = 962 § —
x = 38,48
25
R.: A amplitude do arco BAD é 265,5o.
8.
R.: A média do número de calçado é 38,48.
1.2 R.: 39.
1.3 R.: P = 2 = 0,1.
20
2.
2.1 x ¥ x ¥ 3x = 81
§ 3x3 = 81
§ x3 = 27
២
២
8.1 AI = 360o : 9 § AI = 40o
២
R.: AI = 40o.
២ ២
‹
‹
200° + 80°
CH + IB
8.2 B J I =
§ BJ I =
2
2
‹
280°
§ BJ I =
2
‹
§ B J I = 140°
‹
R.: B J I = 140°.
§ x = 3√∫2∫7
8.3 200o : 40o = 5
§x=3
R.: Desloca-se para o ponto H.
A largura do bloco é 3 dm = 0,3 m e o comprimento
é 9 dm = 0,9 m.
8.4 Calculando o apótema, vem que:
62 = 22 + x2 § x2 = 62 – 22 § x = ± √∫3∫2
10,8 : 0,9 = 12
1,5 : 0,3 = 5
± x ≈ 5,657 cm
12 ¥ 5 = 60
R.: São necessários 60 blocos de cimento, 5 filas de
12 blocos.
A = 36 ¥ 5,657 § A ≈ 102 cm2
2
R.: A área do enxágono é de, aproximadamente,
102 cm2.
2.2 R.: c = 3a.
88
9.
(
Então:
)
x(x – 3) = 4 1 – 1 x
3
r=
§ x2 – 3x = 4 – 4 x
3
px2
16
= 4 = 1
16 4
px2
4
§ 3x2 – 9x – 12 + 4x = 0
§ 3x2 – 5x – 12 = 0
R.: A razão de semelhança é
§ 3x2 – 5x – 12 = 0
11.3
2 ∫ ∫ ∫¥∫ 3
∫ ∫¥
∫ ∫ ∫(∫–∫1∫2∫)
§ x = –(–5)± √∫(∫–∫5∫)∫ ∫ –∫ ∫ 4
2¥3
§ x = 5± √∫1∫6∫9
6
10.
{
x
§ y = tg–1(2) § y ≈ 63
x
2
P ÔQ ≈ 180o – 2 ¥ 63o § P ÔQ ≈ 54o
)
R.: PÔQ ≈ 54o.
5 ± 13
§x=
6
8
4
§x=–
› x=3§x=–
› x=3
6
3
R.: C.S. =
(
tgy =
1
.
4
12.
12.1 C(1, 5) = 5 + 7,50 ¥ 1,5 = 16,25 €
R.: O cliente pagou 16,25 €.
}
– 4 ;3 .
3
12.2 5 + 7,50t = 27,50 § 7,50t = 27,50 – 5
§ 7,50t = 22,50 § t = 22,50 § t = 3
7,50
A
R.: O eletricista trabalhou 3 horas.
8,5 m
13. R.: Simetria seguida de translação.
B
D
15 m
PROVA 6 | (págs. 41-48)
( )
tg(AD̂B) = 8,5 § AD̂B = tg–1 8,5
15
15
§ AD̂B
1. R.: 15 rifas
≈29,5o
(
)
1 ¥ 300 = 15 .
20
2. Ordenando os dados tem-se:
R.: A amplitude do ângulo ADB é de, aproximadamente, 29,5o.
12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14 (14 ou 15) 15
6 anos
11.
R.: A Clara poderá ter 14 ou 15 anos.
11.1 Aquadrado = x2
Acírculo menor = p ¥
2
()
x
4
2
= px
16
3.
Aregião não pintada = x2 –
(
px2 = x2 1 – p
16
16
)
)
)
3 = x § x = 3 ¥ 10,5 § x = 0,7
45 10,5
45
R.: x = 0,7 e y = 2.
4.
R.: A área da região não pintada é dada pela expressão x
(
(
4 ¥ 8 = y ¥ 16 § y = 4 ¥ 8 § y = 2
16
Então:
2
6 anos
(
4.1 (d(0) = –80 ¥ 0 + 960 = 0 + 960 = 960)
)
1– p .
16
R.: A Clara mora a 960 m da escola.
11.2 Acírculo menor = p ¥
Acírculo maior = p ¥
x
4
(
2
= px
16
4.2 d(t) = 0 § –80t + 960 = 0 § –80t = –960
§t=
2
()
x
2
2
()
=
px2
4
–960
§ t = 12
–80
)
R.: A Clara demorou 12 minutos a chegar à escola.
89