Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS
Capítulo I
ANÁLISE DESCRITIVA DE MECANISMOS
Curso de Licenciatura em Engenharia Biomédica
Departamento de Engenharia Mecânica
Escola de Engenharia
UNIVERSIDADE DO MINHO
J.C.Pimenta Claro
[e-version: 2005]
Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
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1.1 INTRODUÇÃO
DEFINIÇÕES GERAIS
A ciência dos mecanismos estuda os movimentos dos diversos componentes que constituem uma
máquina ou equipamento, assim como as forças que esses componentes transmitem.
Um movimento fica integralmente definido através do conhecimento do deslocamento, velocidade e
aceleração.
Máquina define um único, ou vários, mecanismos associados a uma fonte de energia.
Mecanismo define um conjunto de corpos rígidos de tal modo interligados que o movimento de um
dos seus componente provoque o movimento dos restantes componentes desse mecanismo.
Num Mecanismo, os componentes susceptíveis de transmitirem força designam-se por Ligações.
1.2 PARES CINEMÁTICOS
A transmissão de movimento, fim básico de um mecanismo, implica a ligação dos diferentes
componentes entre si. O conjunto de duas superfícies que estabelecem o contacto entre dois
componentes designa-se por Par Cinemático.
Os Pares podem classificar-se quanto à Forma, tipo de Contacto e Movimento relativo permitido.
Sendo a trajectória de todos os pontos de um componente perfeitamente definida, relativamente a
outro a que se encontra ligado, então o par denomina-se Fechado. Caso contrário, o par diz-se Aberto
sendo, neste caso, necessária uma actuação exterior para manter um contacto de carácter permanente
entre os dois componentes.
Quanto ao contacto, os pares podem ser Superiores ou Inferiores, conforme seja pontual (ou linear)
ou superficial.
Quanto ao movimento relativo permitido, os pares designam-se como:
rotóides - permitindo a rotação ou oscilação num plano (também designados como Articulações)
esféricos - permitindo rotação ou oscilação em qualquer plano (também referidos como Rótulas)
deslizantes - permitindo a translacção rectilínea (o componente fixo toma a designação de Guia e
o componente móvel a designação de Corrediça)
Na Fig.1.1 encontram-se esboçados alguns Pares Cinemáticos típicos em construção mecânica.
Outras definições podem ser estabelecidas, e são usuais em mecânica, tais como:
ligação binária - se possui apenas dois componentes de par cinemático
ligação ternária - se possui três componentes de par cinemático
manivela - ligação que roda ou oscila em torno de um eixo fixo
biela - orgão que estabelece a ligação entre duas manivelas ou entre uma manivela e uma
corrediça
componente motor - ligação que, num mecanismo, recebe o movimento que se pretende
transformar
componente movido - ligação cujo movimento se pretende utilizar
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mecanismos equivalentes - designa equivalência cinemática, isto é, em que componentes motor e
movido(s) têm o mesmo movimento
fixe - ligação que, num mecanismo, se considera fixa
a) chumaceira radial de escorregamento de 360o
par rotóide inferior fechado
d) chumaceira axial de escorregamento, cónica
par rotóide superior aberto
b) chumaceira radial de escorregamento ≤ 180o c) chumaceira de rolamentos de esferas ou rolos
par rotóide inferior aberto
par rotóide superior fechado
e) chumaceira axial de escorregamento, cilíndrica
par rotóide inferior aberto
f) cilíndro com êmbolo
par deslizante inferior fechado
h) came com forquilha
par deslizante superior fechado
i) rótula
par esférico inferior fechado
g) came com prato
par deslizante superior aberto
j) parafuso de transmissão
par helicoidal inferior fechado
l) navalha
par rotóide superior aberto
Figura 1.1 - Exemplos típicos de Pares Cinemáticos
1.3 MOVIMENTOS
Os mecanismos podem realizar três tipos de movimentos:
1 - movimento plano
2"
helicoidal
3"
esférico
No movimento plano temos a considerar três tipos básicos:
1.1 - movimento de translação
1.2 "
de rotação
1.3 "
misto de translação e rotação
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No movimento de translação há ainda a considerar:
1.1.1 - translação rectilínea
1.1.2 "
curvilínea
No movimento de translação rectilínea todos os pontos de uma ligação descrevem trajectórias rectas
e paralelas. Como exemplo, temos o movimento da 'corrediça', num sistema biela-manivela - Fig.1.2.
Figura 1.2 - Translação rectilínea
No movimento de translação curvilínea as trajectórias descritas pelos pontos de uma ligação são
linhas curvas paralelas entre si. Como exemplo, pode tomar-se o movimento da ligação que une as
rodas motoras de uma locomotiva - Fig.1.3
Figura 1.3 - Translação curvilínea
No movimento de rotação, cada ponto de uma ligação que descreve um movimento plano
permanece a uma distância constante, relativamente a um eixo fixo normal ao plano do movimento.
Se a rotação for alternada, dentro de um certo ângulo limíte, é denominada Oscilante. Na Fig.1.4 a
rotação da barra 2 implica a oscilação da barra 4, dentro do ângulo [B"O4 B'].
Figura 1.4 - Movimento oscilante
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No movimento misto (de translação e rotação) os pontos de uma ligação têm simultaneamente as
características dos movimentos de translação e de rotação. Na situação ilustrada na Fig.1.3, os pontos
das ligações 2 e 4 descrevem uma translação curvilínea em simultâneo com um movimento de rotação.
No movimento helicoidal os pontos de uma ligação movem-se com rotação em torno de um eixo
fixo e translação paralela a esse eixo. É o caso do movimento descrito por um ponto pertencente a uma
porca, enquanto esta é apertada num parafuso ou perno.
No movimento esférico cada ponto da ligação mantem-se a uma distância constante de um ponto
fixo.
1.4 CICLO, PERÍODO E FASE DO MOVIMENTO
Quando os diversos componentes de um mecanismo partem de uma posição inicial, descrevem um
determinado movimento e retornam à posição inicial para, deste modo, recomeçarem a mesma
trajectória cinemática, diz-se que o mecanismo completou um ciclo, com a duração de determinado
período de tempo, tendo assumido fases, ou seja, várias posições instantâneas relativas, durante o
ciclo.
1.5 INVERSÃO DE UM MECANISMO
Se, num mecanismo, libertarmos a ligação fixa e fixarmos uma ligação anteriormente livre, dizemos
que o mecanismo foi invertido.
A inversão do mecanismo não modifica o movimento relativo entre as ligações, mas modifica o
movimento absoluto de cada ligação em relação a um referencial fixo.
Assim, e por exemplo, para o sistema biela-manivela representado na Fig.1.5, o facto de ter quatro
ligações faz com que disponha de três inversões possíveis, correspondentes à fixação das ligações 2, 3
ou 4. Estas inversões estão representadas(na Fig.1.6.
Figura 1.5 - Sistema biela-manivela
1.6 CLASSIFICAÇÃO DOS MECANISMOS
Os mecanismos podem classificar-se em dois grandes grupos, conforme o tipo de movimento do
componente movido, ou seja, do tipo de 'saída' que se obtem. Assim, temos mecanismos de:
- movimento contínuo
"
intermitente
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a)
b)
c)
Figura 1.6 - Inversões do sistema biela-manivela
1.7 TRANSMISSÃO DO MOVIMENTO
A transmissão de movimento entre duas ligações de um mecanismo pode ser efectuada de três
formas diferentes, a saber:
- por contacto directo, como nos casos das cames e das engrenagens
- por ligação intermédia, como no caso da biela do sistema biela-manivela
- por ligação flexível, caso das transmissões por correia e por corrente
1.7.1 Transmissão por Contacto Directo
Na Figura 1.7 a ligação 2 é motora e a ligação 3 movida. O contacto dá-se no ponto P, no instante
aqui representado.
O valor de [PM2] - velocidade da ligação 2 no ponto P, ou seja, a velocidade do ponto P - é
determinável através do conhecimento da velocidade angular da ligação 2 [ω2] e da distância [PO2].
Por sua vez [PM2] pode ser decomposto segundo as direcções normal e tangencial.
Considerando as ligações como rígidas, estas não poderão interpenetrar-se. Por outro lado, supondo
que as duas superfícies não perdem o contacto, a componente normal da velocidade no ponto P,
enquanto pertencente à ligação 2, será igual à componente normal da velocidade desse mesmo ponto,
enquanto pertencente à ligação 3.
Conhecida a componente normal, e como a direcção de [PM3] é conhecida (perpendicular a [O3P],
podemos conhecer o valor de [PM3]. Assim, torna-se possível determinar o valor da velocidade de
rotação da ligação 3, (ω3).
A velocidade de escorregamento é também, neste caso, determinável. Este valor é dado pela
diferença entre as componentes tangenciais, no ponto de contacto, e corresponde à distância [t2t3], uma
vez que a componente [Pt3] tem direcção oposta à componente [Pt2].
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Figura 1.7 - Transmissão por contacto directo
a linha [NN'] é a normal comum a 2 e a 3, no ponto P,
designada como linha de acção ou de transmissão
a linha [TT'] é a tangente comum a 2 e a 3, no ponto P
o vector [PM2] é a velocidade da ligação 2, no ponto P
o vector [PM3] é a velocidade da ligação 3, no ponto P
Se o ponto P estiver segundo a linha de centros [O2O3] as componentes tangenciais têm o mesmo
valor e sentido, ou seja, nessa situação a velocidade de escorregamento é nula, sendo o movimento de
rolamento puro. Assim, a condição de rolamento puro é que o ponto de contacto se situe na linha de
centros.
Geometricamente é também possível relacionar [ω2] com [ω3]. Para isso a traçagem de paralelas à
linha de acção, passando pelos centros de rotação das ligações 2 e 3, definem os pontos e e f por
intercepção com a normal comum, e sabendo que:
ω2 = [PM2]/[PO2]
e que:
ω3 = [PM3]/[PO3]
donde:
ω3/ω2 = [PM3] · [PO2] / [PM2] · [PO3]
Como os triângulos [PM2 n] e [PO2 e] são semelhantes, então:
[PM2]/[PO2] = [Pn]/[O2e]
Sendo igualmente semelhantes os triângulos [PM3n] e [PO3f], temos que:
[PM3]/[PO3] = [Pn/O3f]
donde:
ω3/ω2 = [Pn]/[O3f] · [O2e]/[Pn] = [O2e]/[O3f]
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Dada a semelhança entre os triângulos [O2ke] e [O3kf], vem ainda:
[O2e]/[O3f] = [O2k]/[O3k]
Substituindo, obtem-se finalmente:
ω3/ω2 = [O2k]/[O3k]
Assim, e para um par de superfícies curvas em contacto directo, as respectivas velocidades
angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros pela normal
comum.
Conclui-se, portanto, que para dois corpos em contacto directo terem razões de velocidade
constante, a normal comum deve interceptar a linha de centros num ponto fixo - isso acontece, por
exemplo, nas rodas dentadas.
1.7.2 Transmissão por Ligação Intermédia
Através de um método análogo ao anterior, podemos determinar a relação de velocidades angulares
entre ligação motora e movida.
No exemplo da Fig.1.8 pode concluir-se que:
ω3/ω2 = [O2k]/[O4k]
Figura 1.8 - Transmissão por ligação intermédia
1.7.3 Transmissão por Ligação Flexível
Considerando a transmissão por correia, ilustrada na Fig.1.9, temos que:
va = vb => ω4·[O4b] = ω2·[O2a] => ω4/ω2 = [O2a]/[O4b]
Como os triângulos [kO2a] e [kO4b] são semelhantes,
[O2a]/[O2k] = [O4b]/[O4k]
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Substituíndo, vem então:
ω4/ω2 = [O2k]/[O4k]
Verifica-se, assim, que a relação de transmissão é independente da distância entre-eixos [O2O4].
Figura 1.9 - Transmissão por ligação flexível
1.8 NOÇÃO DE GRAU DE LIBERDADE
CONSTRANGIMENTOS
Um corpo livre tem, por definição, possibilidade de movimentos de translação e de rotação livres,
em relação aos três eixos coordenados do espaço carteziano. Cada uma destas possibilidades designase por grau de liberdade. Portanto, num espaço tri-dimensional, um corpo dispõe de seis graus de
liberdades.
O número de graus de liberdade pode ser reduzido, por introdução de constrangimentos. Assim,
um corpo deslocando-se livremente num plano possui apenas três graus de liberdade: translacção
segundo os dois eixos coordenados do plano e rotação em torno de um eixo normal ao plano.
Aqui, nesta disciplina, vamos restringir-nos aos movimentos planos, uma vez que constituem a
grande maioria dos casos típicos empregues em máquinas e mecanismos usuais.
Considerando um grupo de quatro ligações movendo-se livremente no espaço - Fig.1.10
Figura 1.10 - Graus de liberdade
e, de acordo com o referido atrás, o conjunto possui doze graus de liberdade. Para que estas quatro
ligações constituam um sistema com apenas um grau de liberdade, é necessário remover onze graus de
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liberdade, o que se consegue constrangendo as ligações - unindo-as entre si e fixando uma delas ao
plano que constituirá o fixe, por exemplo.
A união entre ligações consegue-se por intermédio dos pares cinemáticos.
Se uma ligação é unida a um corpo fixo através de um par rotóide, como no caso da Fig.1.11a),
poderá apenas rodar. Um par rotóide retira, assim, dois graus de liberdade.
Na Fig.1.11b) está esquematizada a união entre duas ligações livres, através de um par rotóide. Os
movimentos possíveis são os de translacção conjunta e, para cada uma das ligações, o de rotação
relativamente à outra. Assm, os graus de liberdade foram restringidos de seis para quatro.
Generalizando, temos que quatro ligações unidas por quatro pares rotóides possuem quatro graus de
liberdade e, se unirmos uma delas ao fixe, são suprimidos mais três graus de liberdade. O resultado é
um sistema articulado com um único grau de liberdade - o sistema representado na Fig.1.12 designa-se
por quadrilátero articulado ou mecanismo de quatro barras.
a)
b)
Figura 1.11 - União por par rotóide
Figura 1.12 - Mecanismo de quatro barras
Várias referências foram já feitas a pares rotóides (superiores ou inferiores). A Fig.1.13 contém
outros tipos de uniões:
a)
b)
Figura 1.13 - Outros exemplos de pares cinemáticos
a) par deslizante inferior - retira dois graus de liberdade
b) par deslizante superior - retira um grau de liberdade
(permite translacção linear e rotação em torno da aresta de apoio)
c) par rolante superior - retira dois graus de liberdade
(excluindo a possibilidade de deslizamento, apenas permite rotação)
c)
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Pode igualmente concluir-se que um par esférico (rótula) retira ao sistema três graus de liberdade e
que um par cilíndrico retira quatro graus de liberdade, este último permitindo somente uma rotação e
uma translacção.
1.8.1 Determinação do Número de Graus de Liberdade
Critério de Grübler
O número de graus de liberdade de um mecanismo pode ser determinado, com algumas restrições,
pelo denominado Critério de Grübler que se baseia no excesso de incógnitas (coordenadas dos pontos
das ligações) relativamente ao número de equações de ligação passíveis de ser estabelecidas entre
aquelas.
Na Fig.1.14 está representado um mecanismo de quatro barras, antes e depois da introdução dos
pares cinemáticos que promovem a união entre as ligações.
Figura 1.14 - Aplicação do Critério de Grübler
A posição de cada ligação pode ser determinada pelas coordenadas cartezianas dos seus pontos
extremos (quatro por ligação). Considerando as ligações com um carácter rígido, podemos estabelecer,
para cada uma, uma equação. Assim:
(AoDo)2 = (xDo - xAo)2 + (yDo - yAo)2
(A1B1)2 = (xB1 - xA1)2 + (yB1 - yA1)2
(B2C2)2 = (xC2 - xB2)2 + (yC2 - yB2)2
(C3D3)2 = (xD3 - xC3)2 + (yD3 - yC3)2
Se fixarmos a ligação [AoDo], retirando-lhe todos os graus de liberdade, teremos para cada uma das
restantes ligações uma equação e quatro incógnitas. ou seja, um excesso de três incógnitas
relativamente ao número de equações. Teremos assim (3 x 3) = 9 graus de liberdade para o sistema.
Em conclusão, para um sistema com L ligações, sendo uma fixa, teremos um número de graus de
liberdade X, dado por:
X = 3⋅(L-1)
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Quando, na Fig.1.14 b), as ligações são unidas através de quatro pares cinemáticos, podem
estabelecer-se mais oito equações (duas por cada par):
xAo = xA1
xB1 = xB2
xC2 = xC3
xD3 = xDo
yAo = yA1
yB1 = yB2
yC2 = yC3
yD3 = yDo
Então a expressão - critério de Grübler - que dá o número de graus de liberdade, X, para um
sistema com L ligações, sendo uma fixa, unidas por P pares rotóides será:
X = 3⋅(L - 1) - 2⋅P
No caso de as uniões entre as ligações serem promovidas não só por pares cinemáticos primários,
que retiram dois graus de liberdade (como os rotóides) mas também por pares secundários, que retiram
apenas um grau de liberdade, a expressão toma um carácter mais geral. Assim, e designando os pares
primários por P1 e os pares secundários por P2, vem:
X = 3⋅(L -1) - 2⋅P1 - P2
1.8.1 Restrições ao Critério de Grübler
Existem algumas restrições na aplicação deste método. Assim:
- quando (n) ligações se encontram unidas ao mesmo par, este deve ser contado (n-1) vezes;
- o critério não é aplicável se uma das ligações tiver sómente dois pares deslizantes paralelos, uma
vez que assim não é possível impedir a ligação de se mover independemente do resto do
mecanismo - ver Fig.1.15 a);
- o critério não é aplicável a certas estruturas transformáveis mediante alteração nas relações entre
os seus componentes - ver Fig.1.15 b);
- surgem dificuldades em certos sistemas com ligações independentes; assim, por exemplo, os
sistemas das Fig.1.15 c) e d) têm o mesmo número de ligações mas (c) é uma estrutura e (d) um
mecanismo;
- o critério não é aplicável no caso do sistema ter apenas um par rotóide, sendo os restantes pares
deslizantes - ver Fig.1.15 e);
- o critério não é aplicável a um sistema com duas ligações interligadas, unidas aos restantes
componentes por pares deslizantes, não contendo pares rotóides. - ver Fig.1.15 f).
- quando aplicado a sistemas contendo (F) ligações independentes, a expressão do critério de
Grübler toma a forma:
X = 3⋅(L -1) - 2⋅P + F
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
Fig.1.15 - Restrições ao Critério de Grübler
1.9 MECANISMOS DE MOVIMENTO CONTÍNUO
1.9.1 Quadrilátero Articulado
É o mecanismo articulado mais simples, constituído por quatro barras: uma fixa, outra motora, uma
intermédia e uma movida.
Consoante as ligações motora e movida tenham movimento de rotação ou de oscilação, assim se
designam por manivelas ou barras oscilantes.
1.9.1.1 Classificação. Regra de Grashof
O quadrilátero articulado pode ser classificado tendo em consideração a relação entre a soma dos
comprimentos das ligações maior e menor e a soma dos comprimentos das outras duas ligações.
A regra de Grashof diz que, quando a soma dos comprimentos das barras maior e menor é inferior
ou igual à soma dos comprimentos das outras duas barras, então a barra mais curta pode rodar de 360o
em relação às outras.
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Os quadriláteros articulados que verificam esta condição - como o representado na Fig.1.16 a) - são
chamados mecanismos de Grashof. Os que não verifica a regra dizem-se não-Grashof - tal como os
representados na Fig.1.16 b).
a)
b)
Figura 1.16 - Quadriláteros articulados
1.9.1.2 Fases de ponto-morto e ângulo de transmissão
Na Fig.1.17 encontra-se representado um mecanismo não-Grashof, designado por sistema
duplamente oscilante, uma vez que ligações motora e movida apenas podem oscilar.
As quatro fases limíte encontram-se representadas a traço interrompido.
O ponto A move-se ao longo do arco [A', A""] enquanto B se move ao longo do arco [B', B""].
Como se pode constatar, quando A se encontra nas posições A' ou A"" as ligações 3 e 4 são
colineares. Neste caso a rotação da ligação A não tende a fazer rodar a ligação 4, ficando o sistema
numa fase de instabilidade uma vez que, a partir desta posição, a barra 4 poderá rodar num ou noutro
sentido, indiferentemente. Estas fases são designadas como fases de ponto-morto.
Figura 1.17 - Sistema duplamente oscilante
As fases de ponto-morto correspondentes à ligação 4, isto é, considerando esta ligação como
motora, verificam-se para o ponto A nas posições A'' e A'''.
Supondo ser a ligação 2 a motora, a transmissão de uma determinada potência sujeitará a ligação 3 a
uma carga de tracção ou de compressão. Supondo ainda os sentidos marcados na Fig.1.18 para os
momentos [T2] e [T4], poder-se-ão esquematizar os diagramas de corpo livre das várias ligações.
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Figura 1.18 - Diagrama de corpo livre
Para que a ligação 4 esteja em equilíbrio (desprezando as forças de inércia) a soma dos momentos
no ponto C deve ser nula, pelo que:
F3,4 = T4/h = T4/(CB·sen γ)
em que [F3,4] é o módulo da força exercida pela ligação 3 sobre a ligação 4. Pela equação anterior
pode constatar-se que, para um dado binário resistente [T4], a força em A, B e ao longo da ligação 3
será mínima quando γ=90o e aumentará à medida que [γ] decresce, tornando-se infinita para γ=0o.
O ângulo [γ], medido entre a linha de acção da força na ligação movida [F3,4] e a linha definida
pela ligação movida, é denominado ângulo de transmissão.
Voltando à Fig.1.17, verifica-se que o ângulo de transmissão se anula quando o mecanismo se
encontra numa fase de ponto-morto. Assim, excepto no caso de o mecanismo se destinar a fornecer
uma força estremamente elevada (como, por exemplo, no caso do mecanismo denominado de alavanca
articulada), as fases de ponto-morto são de evitar, de forma a minimizar os esforços nas barras e
articulações e a assegurar sempre a transmissão do movimento.
Na prática, não é aconselhável que o ângulo de transmissão seja inferior a 40o nem superior a 140o.
O valor deste ângulo pode ser determinado através de relações geométricas simples. Assim, e para o
mecanismo da Fig.1.19:
α
Figura 1.19 - Ângulo de transmissão
sendo:
z2 = r12 + r22 - 2⋅r1⋅r2⋅cos θ
bem como:
z2 = r32 + r42 - 2⋅r3⋅r4⋅cos α
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vem que:
cos α = (r12 + r22 - r32 - r42 - 2⋅r1⋅r2⋅cos θ)/(-2⋅r3⋅r4)
sendo o ângulo de transmissão:
γ = 180º - α
1.9.1.3 Mecanismo de Grashof
Na Fig.1.20 encontram-se representados dois mecanismo em que a ligação fixa é adjacente à ligação
de menor comprimento.
O mecanismo (a) é idêntico ao (b), excepto no comprimento da ligação 1 [CD] - no caso (b) a soma
dos comprimentos das ligações maior e menor iguala a soma dos comprimentos das outras duas
ligações, enquanto no caso (a) isso não se verifica.
Ambos os mecanismos se designam por sistemas manivela-barra oscilante, uma vez que a uma
rotação completa da ligação motora corresponde uma oscilação da ligação movida.
No entanto, enquanto o mecanismo (a) não tem fases de ponto-morto, considerando a ligação 2
como motora, o mecanismo (b) tem uma fase de ponto-morto, na posição A", B", quer a ligação
motora seja a 2 ou a 4.
a)
b)
Figura 1.20 - Exemplos de mecanismo de Grashof
Um caso de aplicação usual, em que a soma dos comprimentos das ligações maior e menor iguala a
soma das restantes, é o da ligação entre as rodas motoras de um veículo de tracção - Fig.1.21.
Figura 1.21 - Ligação de rodas motoras
Neste mecanismo, quando A e B estão nas posições A' e B' nenhuma das rodas consegue mover a
outra. Para ultrapassar este problema (ponto-morto) é usual promover a ligação do outro par de rodas
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desfazado de 90o (A'B' de um lado e A"B" do outro). A utilização de contra-pesos é também uma
medida preventiva desta situação, muito embora traga problemas de desiquilíbrio dinâmico das rodas.
Outro exemplo é o da máquina de desenhar, representado na Fig.1.22.
Figura 1.22 - Máquina de desenhar
Na Fig.1.23 está representado ainda um outro mecanismo de Grashof, mas em que a ligação fixa é a
mais curta.
Este mecanismo é designado por dupla manivela e apresenta algumas características particulares.
Assim:
- não tem pontos-mortos;
- ambas as ligações, 2 e 4, são rotativas;
- qualquer das ligações, 2 ou 4, pode ser motora ou movida;
- a uma entrada (motora) a velocidade constante corresponde uma saída (movida) a velocidade não
constante.
Figura 1.23 - Sistema de dupla manivela
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Esta última característica - velocidade de saída não constante - pode ser demonstrada da seguinte
maneira:
- quando o ponto C se move ao longo de [C'CC"], equivalente a uma rotação de 180o da ligação 4,
a ligação 2 roda de um ângulo [α] > 180o;
- quando C descreve o arco [C"C], descrevendo a ligação 4 os restantes 180o até ao ponto inicial, a
ligação 2 roda de um ângulo [β ] < 180o.
Esta característica é, muitas vezes, empregue em equipamentos em que a parte útil do ciclo de
operação se dá apenas numa direcção, utilizando-se o movimento inverso do ciclo para aquilo que,
geralmente, se designa por retorno rápido.
1.9.2 Sistema Biela-Manivela
Formalmente, a consideração de um comprimento infinito para a ligação movida de um mecanismo
de quatro barras, faz com que o par que une a ligação intermédia à ligação movida tenha um
movimento rectilíneo de vai-vem. Na prática, a ligação movida toma a designação de corrediça (ou
pistão), sendo constrangida por guias (ou cilíndro) - de forma a mover-se segundo uma linha recta - e
a ligação com movimento rotativo é designada por manivela. A ligação intermédia toma o nome de
biela.
Este mecanismo é amplamente utilizado como forma de transformação de movimento de rotação
em movimento linear (como, por exemplo, no compressor alternativo) ou vice-versa (como por
exemplo, no motor de combustão interna). Os dois pontos mortos, nas posições extremas do pistão, são
ultrapassados com a instalação de um volante de inércia, no eixo da manivela.
Figura 1.24 - Sistema biela-manivela
A partir da Fig.1.24, pode ser deduzida a equação do deslocamento do pistão:
x4 = R2 + L3 - R2⋅cos θ2 - L3⋅cos φ3
ou ainda:
x4 = R2⋅(1-cos θ2) + L3⋅(1-cos φ3)
pelo que:
x4 = R2⋅(1-cos θ2) + L3⋅{1-[1-(R2/L3)2⋅sin2θ2]½}
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Sabendo que o desenvolvimento em série de uma raiz quadrada é da forma:
B2
B4
1⋅3⋅B6
1⋅3⋅5⋅B8
2
½
(1 ± B ) = 1 ±  -  ±  -  ± ...
2
2⋅ 4
2⋅4⋅6
2⋅4⋅6⋅8
tomando B = R/L⋅sin θ, e sendo uma solução suficientemente aproximada a consideração apenas dos
dois primeiros termos da série, vem que:
[1-(R2/L3)2⋅sin2θ2]½ = 1 - ½⋅(R2/L3)2⋅sin2θ2
pelo que, finalmente:
x4 = R2⋅(1 - cos θ2) + R22/(2⋅L3) ⋅ sin2θ2
1.9.3 Par Senoidal ou
Mecanismo de Stotch-Yoke
Partindo do mecanismo da Fig.1.24 e expandindo o par cinemático C, de modo a englobar o par B,
obtemos o sistema representado na Fig.1.25.
Isto corresponde a um mecanismo biela-manivela em que a biela tenha um comprimento infinito.
Este mecanismo pode ser utilizado em motores, bombas, sistemas vibracionais, etc., em que a
compacidade, isto é, o reduzido atravancamento e consequente economia de espaço, é importante. O
facto da potência (velocidade e binário) ser transmitida por escorregamento entre as ligações 3 e 4,
limita, no entanto, a sua aplicação a pequenos equipamentos com cargas relativamente modestas.
O factor mais notório deste mecanismo é a capacidade de transformação de um movimento de
rotação a velocidade constante num movimento de vai-vém harmónico simples.
Figura 1.25 - Mecanismo de Scotch-Yoke
Da análise à geometria em causa, pode deduzir-se a equação do deslocamento da corrediça 4:
x4 = R2⋅(1 - cos θ2)
que, como se pode constatar, é equivalente à equação atrás apresentada para o sistema biela-manivela,
considerando L3 = ∞.
Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
19
1.9.4 Mecanismos de Retorno Rápido
Estes sistemas são vulgarmente utilizados em máquinas-ferramentas e outros dispositivos, em que
se pretende realizar um movimento de trabalho (mais lento) numa direcção e um retorno ao ponto de
partida (mais rápido) à custa de um movimento motor de velocidade angular constante.
A sua característica fundamental é a designada razão de tempo, que traduz a relação entre o tempo
de avanço e o tempo de recuo. Obviamente, haverá todo o interesse em que esta razão seja maior que a
unidade.
Considerando a velocidade angular como constante, a razão de tempo pode ser expressa pelo
quociente entre o ângulo de avanço, ou de trabalho, (α), e o ângulo de recuo, ou de retorno, (β ).
Apresentam-se a seguir alguns exemplos de mecanismos deste tipo, entre os mais comuns.
1.9.4.1 Mecanismo de Avanço
Este mecanismo - Fig.1.26 - deriva do sistema de dupla manivela, sendo a ligação 2 motora,
rodando com velocidade constante.
Figura 1.26 - Mecanismo de avanço
Este sistema é o único, dentre os de retorno rápido, em que não há pares cinemáticos deslizantes (de
escorregamento) entre as ligações básicas.
De notar também que a velocidade da corrediça 6 é aproximadamente constante, na maior parte da
extensão do percurso de avanço.
1.9.4.2 Mecanismo de Whitworth
Este mecanismo - Fig.1.27 - deriva da inversão de um sistema de biela-manivela, por fixação da
manivela, sendo frequentemente utilizado em máquinas-ferramentas e noutras máquinas,
especialmente nas aplicadas à indústria textil.
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Figura 1.27 - Mecanismo de Whitworth
1.9.4.3 Mecanismo do Limador
É uma variação do mecanismo anterior, em que a rotação da manivela 2 é convertida em
movimento rectilíneo da corrediça 6 - Fig.1.28.
Figura 1.28 - Mecanismo do limador
Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
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1.9.4.4 Manivela Deslocada
Igualmente baseado no sistema biela-manivela, este sistema obtem-se por deslocação do eixo da
manivela para fora da linha de deslizamento da corrediça - Fig.1.29.
As razões de tempo (α/β ) que se conseguem, por este meio, são relativamente pequenas. A sua
aplicação impõe-se, sobretudo, pela simplicidade e reduzido atravancamento.
Figura 1.29 - Manivela deslocada
1.9.5 Alavanca Articulada
Este mecanismo aplica-se quando é necessário superar uma grande resistência à custa de uma
diminuta força motriz. Utiliza-se, por exemplo, em prensas, máquinas de rebitar, britadoras,
embraiagens, dispositivos de fixação de peças a maquinar, etc.
Fig.1.30 - Alavanca articulada
À medida que o mecanismo biela-manivela (ligações 4, 5 e 6) se aproxima do ponto-morto, há uma
rápida subida da relação entre a força útil [Q] e a força de accionamento [P].
Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
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Se as ligações 4 e 5 tiverem o mesmo comprimento, verifica-se que:
Q/P = cos α/(2⋅sen α) = 1/(2⋅tan α)
sendo que, enquanto as ligações 4 e 5 tendem para a colinearidade, o ângulo (α) tende a diminuir pelo
que [Q] tende para infinito.
1.10 MECANISMOS DE MOVIMENTO INTERMITENTE
É comum, em mecânica, a necessidade de converter movimento contínuo (de rotação) em
movimento intermitente. Exemplos disso são os mecanismos de comando de operações e de
alimentação de peças, em máquinas-ferramentas, e a relojoaria.
1.10.1
Mecanismos Geradores de Rectas
Trata-se de mecanismos em que se pretende que uma ligação tenha movimento alternativo, segundo
uma trajectória rectilínea, evitando os problemas de atrito apresentados por sistemas de corrediça
guiada, como o de biela-manivela, por exemplo.
Alguns destes mecanismos não são capazes de proporcionar um movimento exactamente recto, pelo
menos em pontos da trajectória mais afastados do ponto médio, apresentando assim limitações de
curso útil.
1.10.1.1 Mecanismo de Scott-Russel
Esquematizado na Fig.1.31, tem como elemento motor a manivela [AB], que oscila num ângulo (θ)
para cada lado do ponto médio. As barras [AB], [BC] e [BE] têm o mesmo comprimento.
Figura 1.31 - Mecanismo de Scott-Russel
Caso o deslocamento do ponto C fosse rigorosamente ao longo do eixo xx, então E deslocar-se-ia
segundo o eixo yy. Como C oscila em torno de D, a trajectória de E não será rectilínea, apenas
coincidindo com o eixo yy nos pontos E, A e E1 e desviando-se do eixo yy nos pontos intermédios.
Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
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Pode verificar-se que este desvio será tanto menor quanto maior for o comprimento de [CD] e
menor o ângulo (θ) descrito pela manivela [AB].
Variantes deste sistema são, por exemplo, aquela em que [BE] é maior que [AB] - não passando
então a trajectória de E pelo ponto A - e aquela em que, fazendo [BC] meio proporcional a [AB] e
[BE] - isto é, em que (AB/BC) = (BC/BE) - se consegue uma substancial aproximação à
rectilinearidade.
1. 10.1.2 Mecanismo de Watt
O mecanismo da Fig.1.32 foi criado por James Watt, para permitir uma maquinagem
suficientemente rectilínea das guias dos pistões das primeiras de máquinas a vapor produzidas
industrialmente.
Fig.1.32 - Mecanismo de Watt
O comprimento dos segmentos [BP] e [CP], da ligação 3, é inversamente proporcional aos
comprimentos das ligações adjacentes. Assim:
BP/CP = CD/AB
pelo que o ponto P descreve uma trajectória em 8 (a traço interrompido, na figura), sendo uma parte
apreciável da estensão percorrida aproximadamente recta.
A maximização deste efeito consegue-se posicionando A e D de modo a que, ao paralelismo das
ligações 2 e 4, corresponda a perpendicularidade relativa da ligação 3.
1. 10.1.3 Mecanismo de Robert
Básicamente, trata-se de um quadrilátero articulado em que as ligações [AB] e [DC] têm igual
dimensão e a ligação [BC] tem metade do comprimento das outras duas - Fig.1.33.
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Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
Fig.1.33 - Mecanismo de Robert
O mecanismo fica completo com uma extensão da ligação [BC] na sua perpendicular e com um
comprimento tal que o ponto P fique sobre o ponto médio de [AD], quando [BC] se encontrar paralelo
a [AD]. O movimento de rotação das manivelas [AB] e [CD] é limitado, para um e outro lado, à sua
co-lineariedade com [AD].
O ponto P passa pelo ponto médio de [AD] - posição da figura - e, próximo dos extremos do
percurso, passa por A e por D, segundo uma trajectória aproximadamente recta.
O comprimento de [AB] e de [CD] deve ser, pelo menos, igual a 60% de [AD] e quanto maior for
esta relação mais rectilínea, e próxima de [AD], será a trajectória de P.
1. 10.1.4 Mecanismo de Chebyshev
Outra variação do quadrilátero articulado - Fig.1.34 - tem as seguintes proporções:
AD = 4
BC = 2
AB = CD = 5
Figura 1.34 - Mecanismo de Chebyshev
Do seu funcionamento, temos que:
- na posição em que B está em B1, na perpendicular a [AD] que passa por D, os pontos C e P
estarão em C1 e P1, respectivamente, e sobre a mesma linha perpendicular;
- na posição em que B está em B2, similarmente, os pontos C e P estarão em C2 e P2, sobre a
perpendicular a [AD] que passa por A.
Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
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Assim, o ponto P encontra-se-á, em três posições distintas, sobre a recta [P1P2] paralela a [AD],
seguindo uma trajectória aproximadamente recta.
1. 10.1.5 Mecanismo de Peaucellier
Neste mecanismo - Fig.1.35 - o ponto P traça rectas exactas, tendo aplicação prática em sistemas de
controlo, registadores, aparelhos de leitura e seguimento, etc.
Geometricamente, devem ser obedecidas as seguintes proporções:
- o comprimento da ligação 2 deve ser igual à distância [AB];
- as ligações 3 e 4 devem ter igual comprimento;
- as ligações 5, 6, 7 e 8 devem ter igual comprimento.
Fig.1.35 - Mecanismo de Peaucellier
1.10.2
Pantógrafo
Trata-se de um quadrilátero articulado, tal como esquematizado na Fig.1.36.
Fig.1.36 - Pantógrafo
Opção V – MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos
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A demonstração do seu funcionamento pode ser feita, supondo, por exemplo, o movimento do
ponto F para F1. Assim:
- a nova posição do quadrilátero será A1, B1, C1, D1;
- sendo o ponto H definido pelo cruzamento da linha imaginária [FE] com a ligação [BC] então H1
será definido pelo cruzamento de [F1E] com [B1C1].
Tratando-se de um quadrilátero, então a ligação [FD] é, por definição, paralela a [HC]. Logo os
triângulos [FED] e [HEC] dão semelhantes, pelo que:
FD/HC = DE/CE = FE/HE
e, de igual modo:
mas como:
F1D1/H1C1 = D1E/C1E = F1E/H1E
DE/CE = D1E/C1E
então pode concluir-se que:
donde, como:
FD/HC = F1D1/H1C1
FD = F1D1
⇒
HC = H1C1
se prova que o ponto H é um ponto 'fixo' que pertence à ligação [BC].
Por sua vez, da semelhança dos triângulos [FED] e [HEC] também resulta que:
FE/HE = F1E/H1E
ou seja, que os triângulos [FEF1] e [HEH1] também são semelhantes e, portanto, que [FF1] é paralelo
a [HH1].
Finalmente, para provar que os deslocamentos são proporcionais às suas distâncias ao ponto fixo E,
basta considerar que, por semelhança dos triângulos [FEF1] e [HEH1], se verifica que:
FF1/HH1 = FE/HE
Assim, a rotação do mecanismo em torno de E provoca o deslocamento de todos os seus pontos
(como acima demonstrado para F e H), levando-os a descrever trajectórias quaisquer - rectilíneas ou
curvilíneas - sempre paralelas e semelhantes entre si, sendo os seus comprimentos proporcionais à
relação de distâncias desses pontos ao ponto E.
Este mecanismo, nomeadamente utilizando os pontos F e H como motor e movido, ou vice-versa, é
frequentemente utilizado na redução ou ampliação de desenhos, à escala e sem distorções, e no
comando de máquinas-ferramentas com leitura óptica (corte de chapa, por exemplo). Neste último caso
é frequentemente empregue um pantógrafo com um factor de escala de ampliação de 1:10, entre
desenho e peça executada.
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