Mat 9
Números Reais
460955058223
84
7093
. . π . . .3.1415
8
4
1
2
5
192
7
68
93
39
5
0
6
6
9
16
59
52
2-
58
10123
3-
1
16
7
47
8
546
19
85
44
4
34
38
718
8
8
24
5
0
0
2
8
4
0212223242
81
1
4
1
4
40
88
75
899
105
57
3
.
80
53637383
9
4
1112131
62 089986280348
04 628
253
42
997 899100. . . 12 . . 117
.2
6
, 0 067
50 9
354
1525 5556 5 8
3. . .
343
Números
Reais
910
. .-
4849505
091929394959
749445923078
8209
16
Cláudia Maria Diegues Araújo
3589793238462643
265
38
13233
9
2
374757677787 795
727
0
9
2
68697071
17
81
5940
253
664
30
82
φ.
32
√2 . . .
1
.
65
8
..
667
0
656
05
48
64
3
05
6
303
05
62
29
61
28
7
2
78
56
1/23
Mat 9
Números Reais
Números
Os números surgiram da necessidade que as pessoas tinham
de contar objectos e coisas.
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/23
Mat 9
Números Reais
Números
Os números surgiram da necessidade que as pessoas tinham
de contar objectos e coisas.
Nos primeiros tempos da humanidade, usavam-se para contar,
dedos, pedras, nós feitos numa corda . . .
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/23
Mat 9
Números Reais
Alguns sistemas de numeração . . .
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/23
Mat 9
Números Reais
Antigo Egipto
Os sı́mbolos usados pelos egı́pcios para representar quantidades
eram:
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
|
2
3
4
5
6
7
Por exemplo, o número 5304 é representado por
Cláudia Maria Diegues Araújo
444
44
||
333||
4/23
Mat 9
Números Reais
Os Babilónios
Os sı́mbolos usados pelos babilónios para representar quantidades
eram:
1
1
Cláudia Maria Diegues Araújo
2
2
10
3
20
4
100
5
5/23
Mat 9
Números Reais
Os Maias
Os sı́mbolos usados pelos maias para representar quantidades eram:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Cláudia Maria Diegues Araújo
6/23
Mat 9
Números Reais
Os Romanos
Os sı́mbolos usados pelos romanos para representar quantidades
eram:
1
I
5
V
10
X
50
L
100
C
500
D
1000
M
Por exemplo, o número 3576 é representado por MMMDLXXVI
Cláudia Maria Diegues Araújo
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Mat 9
Números Reais
Os Hindus
Os sı́mbolos usados pelos hindus para representar quantidades
eram:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Cláudia Maria Diegues Araújo
8/23
Mat 9
Números Reais
Se quiseres saber mais:
G www.prof2000.pt/users/hjco/numerweb/index.htm
G upf.tche.br/∼pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
G matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm
Cláudia Maria Diegues Araújo
9/23
Mat 9
Números Reais
Os conjuntos que já conheces . . .
Cláudia Maria Diegues Araújo
10/23
Mat 9
Números Reais
Números Naturais
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
Exemplo:
5∈N
-3 ∈
/N
Cláudia Maria Diegues Araújo
0∈
/N
11/23
Mat 9
Números Reais
Números Naturais
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
Exemplo:
5∈N
-3 ∈
/N
0∈
/N
Números Inteiros
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Exemplo:
5∈Z
-3 ∈ Z
Cláudia Maria Diegues Araújo
0∈Z
1
∈
/Z
3
4
∈Z
2
11/23
Mat 9
Números Reais
Subconjuntos de Z
Z− = {. . . , −3, −2, −1}
Z+ = {1, 2, 3, . . .}
Inteiros negativos
Inteiros positivos
Z+
0 = {0, 1, 2, 3, . . .} = N0
Inteiros não negativos
Z−
0 = {. . . , −3, −2, −1, 0}
Inteiros não positivos
Cláudia Maria Diegues Araújo
12/23
Mat 9
Números Reais
Números Racionais
Q = Z ∪ {números fraccionários}
Nota:
Um número fraccionário é um número não inteiro que pode ser escrito
a
como a razão de dois números inteiros com b 6= 0.
b
Cláudia Maria Diegues Araújo
13/23
Mat 9
Números Reais
Números Racionais
Q = Z ∪ {números fraccionários}
Nota:
Um número fraccionário é um número não inteiro que pode ser escrito
a
como a razão de dois números inteiros com b 6= 0.
b
Exemplo:
0, 5 é um número fraccionário, pois pode ser escrito sob a forma de uma
fracção, 12 .
Cláudia Maria Diegues Araújo
13/23
Mat 9
Números Reais
Números Racionais
Q = Z ∪ {números fraccionários}
Nota:
Um número fraccionário é um número não inteiro que pode ser escrito
a
como a razão de dois números inteiros com b 6= 0.
b
Exemplo:
0, 5 é um número fraccionário, pois pode ser escrito sob a forma de uma
fracção, 12 .
0, (6) também pode ser escrito sob a forma de uma fracção, 23 , então
0, (6) é um número fraccionário.
Cláudia Maria Diegues Araújo
13/23
Mat 9
Números Reais
A qualquer número racional corresponde uma dı́zima.
1
2
= 0, 5
1
3
= 0, 333 . . .
Cláudia Maria Diegues Araújo
3
2
= 1, 5
2
9
63
25
= 2, 52
= 0, 2222 . . .
4
33
5 = 5, 0
= 0, 121212 . . .
14/23
Mat 9
Números Reais
A qualquer número racional corresponde uma dı́zima.
1
2
= 0, 5
1
3
= 0, 333 . . .
3
2
= 1, 5
2
9
63
25
= 2, 52
= 0, 2222 . . .
4
33
5 = 5, 0
= 0, 121212 . . .
No primeiro caso obtivemos dı́zimas finitas, no segundo caso
obtivemos dı́zimas infinitas periódicas.
Cláudia Maria Diegues Araújo
14/23
Mat 9
Números Reais
Às dı́zimas infinitas periódicas está sempre associado um perı́odo,
que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir
de uma certa ordem.
Cláudia Maria Diegues Araújo
15/23
Mat 9
Números Reais
Às dı́zimas infinitas periódicas está sempre associado um perı́odo,
que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir
de uma certa ordem.
0, 121212 . . . = 0, (12) é uma dı́zima infinita periódica de
perı́odo 12
Cláudia Maria Diegues Araújo
15/23
Mat 9
Números Reais
Às dı́zimas infinitas periódicas está sempre associado um perı́odo,
que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir
de uma certa ordem.
0, 121212 . . . = 0, (12) é uma dı́zima infinita periódica de
perı́odo 12
0, 35666 . . . = 0, 35(6) é uma dı́zima infinita periódica de
perı́odo 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
15/23
Mat 9
Números Reais
Às dı́zimas infinitas periódicas está sempre associado um perı́odo,
que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir
de uma certa ordem.
0, 121212 . . . = 0, (12) é uma dı́zima infinita periódica de
perı́odo 12
0, 35666 . . . = 0, 35(6) é uma dı́zima infinita periódica de
perı́odo 6
A qualquer número racional corresponde uma
dı́zima finita ou dı́zima infinita periódica.
Cláudia Maria Diegues Araújo
15/23
04 58
6 8 3 4 3 6 5 63 81 17 72 03 091
79
4 8 4 7 5 4 0 8 8 0 7 5 3 8 6 8 91
80 5
7 62
21
75
006
86
21354
11 3 7
07 7 . . .
39
8
189
φ
48 2
0 7 20
338622235369317931 7204
0 4 6 2 8 1 8 9 0 24 4 97
48
266
7052 6
16/23
89
62 2
033988749
18
1.6
48
79
8 7 2 4 2 0 9 69 80 78 56 96 718
7 5 37
7 3 5 0 1 3 8 4 6 2 3 0 9 1 2 2 97
694
49
02
71 0 . . .
149
32
38 4
62 64
3 3 8 3 2 7 9 50 28 84 19 71 693
9
70 6 7
9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 06
9 37 5
64
81 3 . . .
11
940
1 05
82
80
7
31766
15 7 2
70
01 68
64
09749
48 8
2
50
√
2 4 7 8 4 6 2 1 0 70 3 88
09
5
342
π
6 4 0 6 2 8 6 2 0 89 9 86
5 0 38
360558507372126441 7534
2
2 8 03
446095505822317253 4825
248
9907 3
327
938
3078 1
592653589
41
3.1
59 2
73 7
213562373
14
1.4
Cláudia Maria Diegues Araújo
44
79
Outros números . . .
Números Reais
Mat 9
Mat 9
Números Reais
Números irracionais
Por volta do ano 600 a.C., Pitágoras e os seus discı́pulos,
estudavam as propriedades dos números inteiros, através de
construções geométricas.
Cláudia Maria Diegues Araújo
17/23
Mat 9
Números Reais
Números irracionais
Por volta do ano 600 a.C., Pitágoras e os seus discı́pulos,
estudavam as propriedades dos números inteiros, através de
construções geométricas.
Até essa data, os pitagóricos acreditavam que tudo no
universo estava relacionado com os números inteiros, ou
então, razões de números inteiros (que conhecemos hoje,
como o conjunto dos números racionais).
Cláudia Maria Diegues Araújo
17/23
Mat 9
Números Reais
A sua crença foi abalada, quando descobriram que havia
segmentos de recta cuja medida não podia ser expressa por
um número racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado
de lado 1.
√
2
1
1
Cláudia Maria Diegues Araújo
18/23
Mat 9
Números Reais
A sua crença foi abalada, quando descobriram que havia
segmentos de recta cuja medida não podia ser expressa por
um número racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado
de lado 1.
√
2
1
1
A esta nova classe de números, chamamos números
irracionais.
Cláudia Maria Diegues Araújo
18/23
Mat 9
Números Reais
A sua crença foi abalada, quando descobriram que havia
segmentos de recta cuja medida não podia ser expressa por
um número racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado
de lado 1.
√
2
1
1
A esta nova classe de números, chamamos números
irracionais.
Um número irracional não pode ser expresso, como uma razão
de números inteiros, ou seja, não pode ser escrito na forma ab .
Cláudia Maria Diegues Araújo
18/23
Mat 9
Números Reais
Um número irracional é todo o número que não pode
exprimir-se por uma dı́zima finita, ou infinita periódica.
São exemplos de números irracionais:
√
Cláudia Maria Diegues Araújo
2;
π;
√
− 5;
√
1+ 5
φ=
2
19/23
Mat 9
Números Reais
Qualquer número irracional pode ser
representado por uma dı́zima infinita não
periódica.
Exemplos:
√
2 = 1, 41421356 . . . ;
Cláudia Maria Diegues Araújo
π = 3, 14159265 . . . ;
φ = 1, 61803398 . . .
20/23
Mat 9
Números Reais
Números Reais
Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto Q
(racionais), criou-se um novo conjunto de números:
Cláudia Maria Diegues Araújo
21/23
Mat 9
Números Reais
Números Reais
Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto Q
(racionais), criou-se um novo conjunto de números:
o conjunto dos números reais.
Cláudia Maria Diegues Araújo
21/23
Mat 9
Números Reais
Números Reais
Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto Q
(racionais), criou-se um novo conjunto de números:
o conjunto dos números reais.
R = Q ∪ {números irracionais}
Cláudia Maria Diegues Araújo
21/23
Mat 9
Números Reais
Q
N
Assim,
Cláudia Maria Diegues Araújo
R
Z
N⊂Z⊂Q⊂R
22/23
Mat 9
Números Reais
Números Reais
Racionais
dı́zimas finitas
Cláudia Maria Diegues Araújo
dı́zimas infinitas periódicas
Irracionais
dı́zimas infinitas
não periódicas
23/23