As quatro operações
Profª Odete Inês Nava Spricigo
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OS ALGORÍTMOS MATEMÁTICOS
Um pouco de história

Há séculos atrás, houve grande rivalidade entre
abacistas e algoristas.
Como era bastante difícil fazer cálculos com
algarismos romanos, os abacistas utilizavam o
ábaco para calcular e apenas registravam o
resultado nesses algarismos. Já os algoristas,
adotavam os símbolos indo-arábicos e técnicas
operatórias que lhes permitiam utilizar esses mesmos
algarismos nos cálculos.

Venceram os algoristas, e, até hoje, utilizamos as
mesmas técnicas operatórias surgidas naquela época.
A superioridade de tais técnicas operatórias deve-se
à sua mecanização, o que simplifica os cálculos.


No entanto, para que os alunos compreendam essas
técnicas operatórias, é fundamental que, ao
ensiná-los, as mesmas sejam justificadas através das
propriedades que estão sendo utilizadas a cada
passo.

Compreender o que se esta fazendo e por que se
pode fazer alguma coisa desta ou daquela maneira é
motivador e estimulante. Ao lidar com um algoritmo,
isso também é verdade. Se a criança percebe por
que “vai um” numa adição, por que "empresta um”
numa subtração etc., ela começa a sentir melhor o
significado das operações no sistema de numeração
decimal e a valorizar mais o importante papel dos
algoritmos, isso é, para a criança algo como achar o
"fio da meada".

Ao contrário, a apresentação dos algoritmos
unicamente nas suas formas finais, acabadas e
compactas, parece inibir a compreensão e a
curiosidade da criança. A apresentação da origem
dos algoritmos, ou seja, da sua gênese, pode ser
feita "em espiral" , isto é, de forma recorrente, a
partir das primeiras séries do 1º grau. Pode-se
avançar, de cada vez, até onde o desenvolvimento
cognitivo da criança o permita, e retomar as etapas
anteriores sempre que se voltar ao assunto.
DANTE, Luiz Roberto. Algoritmos e suas Implicações Educativas.
In:Revista do Ensino de Ciência, São Paulo, FUNBEC, 1985, v.12, p. 29
Cálculo mental

Em geral, no ensino escolar,
não se prioriza o cálculo
mental. Algumas pessoas
praticam o cálculo mental
porque desde pequenas
foram estimuladas para isto,
ou porque têm necessidade
de calcular sem lápis e
papel, usando um algoritmo
próprio. É o caso de
comerciantes, caixas
bancários, feirantes, etc . ....

Na vida prática, lidamos com números ou cálculos
com números o tempo todo: no dinheiro que usamos,
na medida das coisas que compramos (1 litro de
óleo, ½ quilo de açúcar, 1 dúzia de laranjas, etc.) nos
índices, nas taxas, etc. De algum modo próprio,
aprendemos a lidar com esta série de informações
numéricas de uma maneira diferente daquela que
utilizamos na escola, pois muitas vezes somos
obrigados a fazer cálculos rápidos e mentalmente
devido à necessidade de tomar decisões.

Grande parte das crianças de nosso país, em seu
dia-a-dia, utiliza o cálculo mental para resolver
situações concretas. Seu processo de descoberta, a
partir de tentativas, de erros e acertos, é, em
essência, o mesmo dos algoritmos tradicionais
ensinados na escola.

“Se essas crianças
não aprendem na
escola não é por
incapacidade de
compreender
matemática".
Na Vida Dez na Escola Zero, Terezinha
Carraher, São Paulo, Cortez, 1990.
AS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS

“Todo trabalho de iniciação matemática pressupõe o
conhecimento,por parte do educador, da gênese do
número na criança,etapa prévia para a compreensão
dos mecanismos que estão na base das operações”.
Angel Diego Márques
Um pouco de história...
A palavra aritmética deriva da palavra grega
arithmos, que significa número. Aritmética é a
parte da Matemática que estuda as propriedades dos
números e as operações que se possam realizar
sobre esses números, nos diferentes conjuntos
numéricos.


É comum a criança, ao tentar resolver um problema,
ir perguntando: "é pra somar?", "é pra dividir?", etc.
Isso mostra claramente que ela não conseguiu
identificar no problema quais as idéias envolvidas e
não associou logicamente a essas idéias as operações
a serem realizadas. A capacidade de fazer estimativas
acerca do resultado de uma determinada
situação-problema está intimamente ligada à
compreensão das operações a serem realizadas na
resolução de tal situação-problema.
As operações e seu significado


As operações matemáticas surgiram das
necessidades sociais dos povos, os quais realizavam
operações matemáticas sem sistematização do que
estavam fazendo.
Segundo o livro “As Matemáticas“ Tartaglia usou a
primeira letra da palavra italiana piu (mais) a fim de
indicar a soma. Empregamos, provavelmente o sinal
(+), abreviatura da conjunção latina et . O sinal
menos foi usado entre os gregos por Diofante e o de
multiplicação x, baseado na cruz de Santo André. No
século XVIII, na França Gallimard usou o D invertido
para indicar a divisão.


Sabemos que as operações aritméticas fundamentais
são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Mas o
que são operações?
Em sentido amplo, sempre que agimos sobre os
objetos, estamos realizando uma operação. Quando
um bebê movimenta seus braços e pernas, ou
quando empurra um objeto ou executa ações como
bater, puxar, etc., está realizando operações sobre ele
próprio e sobre os objetos. Quando um médico opera
um paciente, está realizando ações como cortar,
costurar, entre outras, cuja finalidade é transformar o
doente em uma pessoa sadia. Operar, enfim, é
agir sobre os objetos e, de alguma maneira,
realizar transformações.


Num processo de interação com as operações físicas
estão as que construímos durante nosso
desenvolvimento: as operações intelectuais ou
operações mentais. E aqui não se trata de operar
o cérebro: estamos falando de ações mentais.
Muitos autores defendem a idéia de que todo o
pensamento depende das ações. Piaget é um deles.
Para ele, o pensamento se dá nas relações que o
sujeito cria a partir de suas ações com os objetos e
que não dependem dos objetos em si. Vimos como
isso acontece com o conceito de número, que não
depende da qualidade do objeto mas é elaborado a
partir dele.

"De acordo com Piaget, uma criança comum pode,
por volta de seu segundo ano de vida, imaginar como
irá fazer alguma coisa, antes de fazê-la, desde que a
situação seja simples e conhecida. Ela pode
representar para si mesma os resultados de suas
ações, antes de sua ocorrência. Este é o começo do
verdadeiro pensamento, já que as ações se tornaram
'internalizadas'. Esta é uma habilidade que, tanto
quanto podemos julgar, raramente é conseguida pelo
mais esperto dos animais."
KURT LOVELL


Nós "internalizamos" nossas ações e pensamos. Mas
veja quantos tipos de ações diferentes podemos
realizar. Por exemplo: coloco um lápis em cima de
uma mesa e posso também tirá-lo de lá. Essa é uma
ação reversível no espaço, mas não o é no tempo.
Não podemos voltar o tempo atrás e por isso todas
as ações são irreversíveis em relação a ele.
Outro exemplo: se tenho um ovo e eu o frito, não
posso depois disso transformá-lo novamente num
ovo cru dentro de sua casca. Essa é uma ação
irreversível no espaço e no tempo.

Mas, no pensamento,
qualquer ação pode ser
feita e refeita. No
pensamento, temos a
capacidade de retornar
ao ponto de partida de
qualquer ação. Esta é
uma habilidade que
construímos no decorrer
de nossa vida.
Algumas ações que realizamos são, por convenção,
denominadas operações diretas, pois elas possuem
a propriedade de transformar uma situação
considerada inicial. Outras são denominadas
operações inversas, pois têm a propriedade de
desfazer as operações diretas e voltar à situação
inicial. Por exemplo:
 Algumas ações que realizamos são operações que
têm a propriedade de não depender da ordem em
que foram realizadas. Por exemplo:
• calçar os sapatos e vestir o casaco
• colocar o relógio e pôr o chapéu. Dizemos que essas
ações têm a propriedade comutativa, pois
comutar é trocar, e podemos trocar a ordem dessas
ações sem alterar o resultado.

Outras ações dependem de uma determinada ordem
para serem realizadas e, se esta ordem for alterada,
o resultado será completamente diferente. Por
exemplo:
• calçar meias e sapatos

• descascar uma banana e comê-la.
O ALGORÍTMO DA ADIÇÃO
A adição está ligada a situações que envolvem as
ações de reunir, juntar ou acrescentar. No entanto,
quando reunimos, concretamente, conjuntos de
objetos, não estamos efetuando a operação
matemática de adicionar; para tal, é necessário que
deixemos de pensar nas coleções de objetos em si e
passemos a considerar apenas a quantidade de
objetos que estamos reunindo.

Sendo a, b e c números naturais quaisquer, a
sentença matemática que traduz esta operação é:
a + b = c onde, a e b são parcelas da adição e c é
a soma




A técnica operatória ou algoritmo da adição sugere
que se escrevam as parcelas uma abaixo da outra e
que se adicione da direita para a esquerda. Veja o
algoritmo da adição cujas parcelas são 1265 e 1324:
É bastante comum a opinião de que, primeiro, a
criança deve aprender a contar e escrever os
números para então, só depois, aprender as
operações. Esta concepção só em parte é verdadeira.
Observe que na própria maneira de representar os
números está presente a adição. Lembra-se do
principio aditivo?


O nome de um número, em geral, traz embutida a
idéia da adição.
Note que na formação da seqüência numérica usada
na contagem está presente a idéia de somar um:
1, 1+1=2; 2+1=3; 3+1=4,...

Não é verdade, portanto, que primeiro aprendemos
os números para então, só depois, aprender a somar.
Estas idéias intuitivas (de juntar, reunir, acrescentar),
que adquirimos na vida e levamos conosco para a
escola, constituem o ponto de partida para o
aprendizado da adição e, como vimos, já estão
presentes na própria noção de número e na
construção do sistema de numeração decimal. É claro
que, para o aprofundamento progressivo do estudo
da adição e das demais operações, então sim, é
necessário que, antes, o aluno tenha construído a
noção de número e compreendido as regras básicas
do sistema de numeração decimal. Sem esta
compreensão fica mais difícil entender, por exemplo,
como funcionam os processos de cálculo que usamos
habitualmente.
O ALGORÍTIMO DA SUBTRAÇÃO
A idéia de tirar (separar ou decompor) é aquela que
as crianças identificam mais facilmente com a
subtração. No entanto, a idéia de tirar não é a única
associada à subtração. As idéias de completar e de
comparar precisam ser trabalhadas, pois ao que
parece, não é tão imediato para a criança perceber
que a subtração resolve problemas desse tipo. Esses
três tipos que devem ser trabalhados, correspondem
a:
1º tipo:
Quanto fica?
2º tipo:
Quanto há a mais quê? Ou, quanto há a
menos quê?
3º tipo:
Quanto é preciso para?


Vamos exemplificar cada uma destas três situaçõesproblema:
Problema que envolve o ato de retirar
“Quando Oswaldo abriu a papelaria pela manhã havia
56 cadernos na prateleira. Durante o dia vendeu 13.
Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na
prateleira?”
Ao resolver este problema pensamos assim: dos 56
cadernos tiramos 13. Para saber quantas ficaram
fazemos uma subtração: 56 – 13 = 43. Havia 43
cadernos na prateleira.
Problema que envolve comparação
“João tem 36 quilos de peso e Luís pesa 70 quilos.
Quantos quilos Luís tem a mais que João?”
Esta pergunta envolve uma comparação: ao constatar
que Luís é mais pesado que João, queremos saber
quantos quilos a mais ele tem. Responderemos a
pergunta efetuando uma subtração: 70 – 36 = 34.
Luís tem 34 quilos a mais que João.
Problema que envolve a idéia de completar
“O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43.
Quantas faltam?”
Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar
o álbum logo pensamos numa subtração: 60 – 43 =
17. Faltam 17 figurinhas.
O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação escondida
 Se conhecemos o preço de uma lata de óleo, para
saber o preço de seis latas podemos efetuar uma
multiplicação.
 Nesta situação usamos a multiplicação
conscientemente. Entretanto, às vezes, a
multiplicação está presente e a gente nem percebe.
Assim por exemplo, ao ler o número 467 dizemos
quatrocentos e sessenta e sete. Quatrocentos
significa quatro vezes cem; sessenta corresponde a
seis grupos de dez, isto é, seis vezes dez. A
multiplicação comparece em nossa maneira de
escrever os números e nem sempre temos
consciência disto.

3
x
7 =
7
+
7
+
7
=
multiplicador multiplicando 3 vezes o produto

21


O multiplicador indica o número de vezes que
o multiplicando será adicionado.
ALGORITMO OPERAÇÕES REALIZADAS
34
x 21
A ESCRITA DEVE SER FEITA:
Na forma horizontal, onde a leitura é feita da
esquerda para a direita.
Por exemplo: duas vezes três é igual a seis (dois
conjuntos de três bolinhas são seis bolinhas).
O primeiro fator é o contador de conjuntos
2x3=6
O segundo fator é o número de elementos de cada
conjunto
Na forma vertical, onde a leitura é feita de baixo para
cima.
Por exemplo: duas vezes três é igual a seis (dois
conjuntos de três bolinhas são seis bolinhas)
As multiplicações em que um dos fatores é zero deverá
ser trabalhada como soma de parcelas iguais para
que a criança entenda o fato.
3 x 0 = 0, pois 3 x 0 = 0 + 0 + 0
0 x 0 = 0, pois nenhuma vez o três é zero.
O ALGORÍTMO DA DIVISÃO



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A divisão encerra duas idéias a de medir e a de
repartir em partes iguais.
Por exemplo: Vinte crianças estão no pátio.
Situação de medir: Quantos grupos de cinco crianças
podemos formar?
Situação de repartir: A professora coloca-as em seis
grupos diferentes. Quantas ficam em cada
grupo? Quantas sobram?

No dia-a-dia as pessoas e as crianças em particular,
dividem, repartem, distribuem coisas. Essas
experiências constituem o ponto de partida para o
trabalho com a divisão. Precisamos compreender,
entretanto, que na vida cotidiana e, principalmente
para a criança, dividir não significa, necessariamente,
dividir em partes iguais. É importante perceber
também que, em nossa língua, a palavra dividir é
empregada com muitos sentidos diferentes. Veja
estes exemplos:



“O corpo humano divide-se em três partes:
cabeça, tronco e membros.”
“A notícia dividiu os moradores da cidade”.
“O rio Uruguai divide vários países”.


A escolha de critérios para dividir
Nas séries iniciais do E.F., ao trabalhar com a divisão,
pretendemos que a criança compreenda o que
significa, na matemática, dividir um número por
outro. Para que ela atinja essa compreensão, é
preciso realizar um trabalho cujo ponto de partida,
como vimos, são as experiências com situações em
que ela, espontaneamente, reparte, divide, distribui.
Precisamos estar atentos para as divisões que as
crianças realizam nas atividades, jogos e
brincadeiras, ou na hora de repartir o chocolate ou o
lanche. Em cada oportunidade devemos discutir com
elas o critério que usaram para dividir: a divisão foi
em partes iguais ou não? Não se trata, neste
momento, de classificar essas divisões como
certas ou erradas. A finalidade das discussões é
fazê-las compreender que uma divisão sempre
envolve a escolha de critérios para dividir. Vejamos
algumas questões que propiciam essa discussão.


"Repartir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas".
Não foi exigido que a divisão fosse feita em partes
iguais. Temos muitas maneiras de fazer a
distribuição:
3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola;
2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 bolas;
as 4 pessoas recebem duas bolas cada uma e ficam
sobrando 2 bolas;
cada pessoa recebe 1 bola e ficam sobrando 6 bolas; -3
pessoas com 2 bolas e 1 pessoa com 4 bolas; etc.

"Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de
modo que todas recebam a mesma quantidade de
bolas".
Neste caso temos 2 possibilidades: - cada pessoa
recebe 1 bola e sobram 6 bolas; - cada pessoa
recebe 2 bolas e sobram 2 bolas.

"Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de
modo que todas recebam a mesma quantidade de
bolas e sobre o menor número de bolas.”
Neste caso só há um modo de repartir: 2 bolas para
cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas.

"Repartir 9 bolas entre 3 pessoas de modo que elas
recebam o mesmo números de bolas e este número
seja o maior possível."

Cada pessoa deve receber 3 bolas.


Devemos lembrar que a divisão está associada a
descoberta do fator desconhecido de uma
multiplicação. Esse fato deve ser bastante explorado
pelo professor em exercícios em que peça a escrita
de uma multiplicação e uma divisão para situações
apresentadas.
Ex. 136:6


O conhecimento consiste em parte de informação e
em parte da destreza; habilidade em lidar com
informações, usá-las para um dado propósito;um
apanhado de atitudes mentais apropriadas, e
em última análise a habilidade para trabalhar
metodicamente.
Em Matemática, é a habilidade para resolver
problemas, construir demonstrações, e
examinar criticamente soluções e
demonstrações. E, Matemática, é muito mais
importante de que a mera posse de informações.


Portanto, o mandamento seguinte é de especial
importância para o professor de Matemática: Dê aos
seus alunos não apenas informações, mas,
atitudes mentais, o hábito de trabalho
metódico.
O mais importante em Matemática do que
informação, é a maneira como você ensina pode ser
mais importante nas aulas de Matemática do que
aquilo que você ensina.