Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos. Analogias Eletromecânicas
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Modelagem Matemática de
Sistemas Elétricos.
Analogias Eletromecânicas
1 INTRODUÇÃO
Os sistemas elétricos são componentes essenciais de muitos sistemas dinâmicos complexos. Por exemplo,
um controlador de um driver de disco de um computador ou o controlador da velocidade de um automóvel
necessitam de certos circuitos elétricos para funcionar. Usaremos os termos sistemas elétricos e
circuitos elétricos como sinônimos. Tendo em vista que existe no currículo uma disciplina de Circuitos
Elétricos, onde o estudo é feito com muito mais profundidade, aqui faremos apenas uma abordagem que
seja suficiente para a compreensão das analogias que existem entre certos sistemas dinâmicos (analogias
eletromecânicas, eletro-hidráulicas, eletro-pneumáticas, eletrotérmicas, etc.), assim como dos sistemas
eletromecânicos a serem estudados posteriormente.
2 ELEMENTOS ELÉTRICOS PASSIVOS
Para modelar um sistema elétrico precisamos conhecer os seus componentes elétricos passivos.
As relações elementares de voltagens são:
Resistor (Lei de Ohm)
(1)
eA – eB = R iR
Indutor
(2)
Capacitor
(3)
eA - eB = L
diL
dt
t
1
eA - eB =
i dt
C C
∫
0
onde R, L e C são a resistência, a indutância e a capacitância, respectivamente.
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2
As relações elementares de correntes são:
Resistor (Lei de Ohm)
(4)
eA - eB
R
iR =
Indutor
t
iL =
(5)
1
(eA − eB )dt
L
∫
0
Capacitor
(6)
iL = C
d(eA − eB )
dt
3 MODELAGEM DE CIRCUITOS ELÉTRICOS. LEIS DE KIRCHHOFF
A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei
dos Nós e/ou a Lei das Malhas.
Modelagem Matemática pelo Método dos Nós
Aplica-se a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico:
A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual à
soma das correntes que saem do mesmo nó
Exemplo 1
No circuito da fig. 1, o interruptor S é fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemático, sendo E a
entrada e as tensões eA e eB as saídas.
Considerar:
2R1 = R2 = R3
R3C = 1
E = 12 v
Fig. 1
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3
Solução
Referência para voltagem:
no nó D Î eD = 0
Lei dos Nós aplicada ao nó A:
(a)
i1 = i 2 + i 3
Usando as equações das correntes:
i1 =
E − eA
R1
eA − eD
i2 =
R2
=
eA
R2
i3 =
eA − eB
R3
Levando essas três últimas equações na eq. (a):
E − eA eA eA − eB
=
+
R1
R2
R3
(b)
Por outro lado, temos no ponto B:
i3 = C
logo
(c)
d( eB − eD )
dt
=C
eA − eB = R3 C
deB
dt
deB
dt
Substituindo os dados do enunciado na eq. (b), chegamos a
(d)
4eA – eB = 24
Analogamente, levando na eq. (c):
(e)
.
eB = eA − eB
Eliminando eA nas eqs. (d) e (e), chegamos à EDOL de primeira ordem
(f)
.
eB + 0,75eB = 6
Assim, o modelo matemático é composto pela EDOL (f) e pela equação algébrica (d).
Modelagem Matemática pelo Método das Malhas
Aplica-se a Lei dos Malhas a cada malha do circuito elétrico:
A soma das quedas de voltagem em uma malha de um circuito elétrico é igual à
soma das voltagens que são introduzidas na mesma malha
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Exemplo 2
No circuito RL série da fig. 2 o interruptor S é fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemático,
sendo E a entrada e i(t) a saída.
Fig. 2
Solução
Lei das Malhas:
eL + eR = E
Usando as equações das voltagens, chegamos a
(a)
L
di
+ Ri = E
dt
Vemos que se trata de uma EDOL de primeira ordem bastante simples.
4 ANALOGIAS ELETROMECÂNICAS
Até agora, estudamos os sistemas mecânicos e os sistemas elétricos, apresentando suas modelagens
matemáticas. Vamos, a seguir, estabelecer certas características comuns aos dois tipos de sistemas, o
que permite definir o que chamamos analogia eletromecânica.
Dois sistemas físicos são análogos (duais) quando são descritos pelo mesmo modelo matemático, ou
seja, pelo mesmo conjunto de equações diferenciais ou pela mesma função de transferência.
Os sistemas análogos caracterizam-se por apresentarem a mesma forma de resposta quando
submetidos a excitações do mesmo tipo. Esse fato é de extrema importância, pois permite, nas fases de
análise e projeto, trabalhar experimentalmente com o circuito elétrico (mais barato) análogo do sistema
mecânico que está sendo projetado, antes da implementação do protótipo do sistema mecânico (muito
mais caro). O dimensionamento do circuito elétrico análogo é feito com base na Teoria da Análise
Dimensional e Semelhança.
O conceito de sistemas análogos é bem mais amplo: podemos ter analogias eletro-hidráulica,
eletrotérmica, eletropneumática, etc.
No que diz respeito à analogia eletromecânica, temos dois tipos: a analogia força-corrente, com base na
Lei de Kirchhoff dos nós, e a analogia força-voltagem, amparada na Lei de Kirchhoff das malhas.
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5 ANALOGIA FORÇA-VOLTAGEM
Vamos considerar o sistema mecânico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistema elétrico
resistor-indutor-capacitor série, mostrados na fig. 3:
Sistema mecânico
Circuito elétrico
Fig. 3
Os modelos matemáticos dos dois sistemas, conforme já vimos, são:
Sistema Mecânico
(a)
Sistema translacional:
..
.
m x + c x + kx = f( t )
(b)
Sistema Elétrico
L
ou, como
di
1
+ Ri +
dt
C
i =
Sistema rotacional:
..
.
J θ + C θ + Kθ = T (t)
0
2
..
dq
di
d q
⇒
=
= q
2
dt
dt
dt
⇒
então
t
∫ idt = e(t )
..
t
∫ idt = q
0
.
Lq+ Rq+
1
q = e( t )
C
Examinando os modelos matemáticos dos sistemas mecânico e elétrico, verificamos que os mesmos são
compostos pelas mesmas equações diferenciais, a menos dos símbolos utilizados. Pela posição que ocupam
nas equações, podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas:
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6
Sistema Mecânico
Sistema Elétrico
Força f (ou Torque T)
Massa m (ou Inércia J)
Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)
Rigidez k (ou K)
Deslocamento x (ou θ)
Voltagem e
Indutância L
Resistência R
Inverso da Capacitância 1/C
Carga elétrica q
Corrente elétrica i
Variação di/dt
.
,
Velocidade x ou θ
..
,.
Aceleração x ou θ
6 ANALOGIA FORÇA-CORRENTE
Vamos considerar, agora, o mesmo sistema mecânico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistema
elétrico resistor-indutor-capacitor paralelo, mostrados na fig. 4:
Sistema mecânico
Circuito elétrico
Fig. 4
Semelhantemente ao caso anterior, podemos ter os dois modelos matemáticos:
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Sistema Mecânico
(a)
Sistema Elétrico
Sistema translacional:
..
i C + i R + iL = i
de
e
1 t
+
+
C
edt = i
dt
R
L 0
dψ
ou, como e =
onde ψ = fluxo magnético
dt
t
de ..
edt= ψ
e
⇒
=ψ
∫
0
dt
..
1 . 1
então C ψ + ψ + ψ = i(t)
R
L
∫
.
m x + c x + kx = f( t )
(b)
Sistema rotacional:
..
.
J θ + C θ + Kθ = T (t)
Analogamente, podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas:
Sistema Mecânico
Sistema Elétrico
Força f (ou Torque T)
Massa m (ou Inércia J)
Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)
Rigidez k (ou K)
Deslocamento x (ou θ)
Corrente elétrica i
Capacitância C
Inverso da Resistência 1/R
Inverso da Indutância 1/L
Fluxo magnético ψ
Voltagem e
Variação de/dt
,
.
Velocidade x ou θ
,.
..
Aceleração x ou θ
Portanto, podemos concluir que:
sistemas análogos
⇒
mesma equação diferencial
mesma função de transferência
7 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO POR INSPEÇÃO
Comparando as figuras anteriores, podemos observar que:
(1) Analogia força-voltagem:
k e c em paralelo Æ análogos C e R em série
k e c em série Æ análogos C e R em paralelo
(2) Analogia força-corrente:
k e c em paralelo Æ análogos 1/L e 1/R em paralelo
k e c em série Æ análogos 1/L e 1/R em série
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Os fatos acima permitem construir o circuito elétrico análogo a um dado sistema mecânico simplesmente
por inspeção.
Assim, na figura do sistema mecânico colocamos um ponto (P, Q, S, etc.) em cada um dos seguintes locais:
massas, pontos de aplicação de forças e pontos de ligação entre elementos flexíveis (molas e
amortecedores). A quantidade de pontos assim definidos nos informa a quantidade de GDL do sistema
mecânico.
Para a construção do circuito elétrico levamos em conta que a quantidade de GDL do sistema mecânico é
igual à quantidade de malhas do circuito elétrico e que cada ponto do sistema mecânico (P, Q, S, etc.)
corresponde a uma malha do circuito elétrico.
Com essas informações, podemos construir o circuito elétrico análogo, conforme ilustram os exemplos das
figs. 5 e 6:
Exemplo 3 (fig. 5):
Fig. 5
Exemplo 4 (fig. 6):
Fig. 6
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8 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Mostraremos a seguir, através de um exemplo, uma maneira mais rigorosa de obter o circuito elétrico
análogo a um dado sistema mecânico, a partir do modelo matemático desse último.
Exemplo 5
Usando a analogia força-voltagem, obter o circuito elétrico análogo do sistema mecânico da fig. 7.
Fig. 7
Solução
Inicialmente, vamos achar o modelo matemático do sistema mecânico. Para isso, construímos o diagrama
de corpo livre (fig. 8) e aplicamos a Segunda Lei de Newton:
Fig. 8
.
.
.
..
massa m1:
k2 (x2 − x1 ) + c2 (x 2 − x 1 ) − k1 x1 − c1 x 1 = m1 x 1
massa m2:
− k2 (x2 − x1 ) − c2 (x 2 − x 1 ) = m2 x 2
Ordenando:
.
..
.
.
.
.
..
m1 x 1 + c1 x 1 + k1 x1 + c2 (x 1 − x 2 ) + k2 (x1 − x2 ) = 0
..
.
.
m2 x 2 + c2 (x 2 − x 1 ) + k2 (x2 − x1 ) = 0
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Usando a analogia força-voltagem, obtemos as equações do circuito elétrico análogo:
Vemos, nas equações acima, que o termo de acoplamento, i1 - i2, está presente nas duas equações. Logo,
ele deve pertencer simultaneamente às duas malhas do circuito elétrico, ou seja, deve estar presente no
ramo comum a ambas as malhas. Assim, podemos construir o circuito elétrico análogo:
Fig. 9
Comparando as figs. 7 e 9, podemos comprovar que a cada grau de liberdade no sistema mecânico
corresponde uma malha no circuito elétrico.
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EXERCÍCIOS
1
Representar o modelo matemático do Exemplo 1 do texto pelas funções de transferência
E (s)
E (s)
G1 (s) = A
e G2 (s) = B
E(s)
E(s)
2
Dado o circuito RLC série da figura, determinar:
(a) modelo matemático;
(b) freqüência natural;
(c) fator de amortecimento;
(d) função de transferência EC(s)/E(s),
onde eC(t) é a saída (tensão no capacitor)
e(t) é a entrada.
Resp.: (a)
d2i
dt
2
(c) ς =
3
+
1
2
R di
1
1 de
+
i=
L dt LC
L dt
2
R C
L
(b)
(d)
ωn =
1
LC
EC (s)
1
=
R
1
E(s)
2
LC(s + s +
)
L
LC
Dado o circuito da figura, deduzir o modelo matemático e obter as funções de transferência
I1(s)/E(s) e I2(s)/E(s).
Resp.: Modelo matemático:
1
(i1 −i2 )dt = E
C∫
di
1
L 2 + R2i2 + ∫ (i2 −i1 )dt = 0
dt
C
R1i1 +
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4
Obter o circuito elétrico análogo do sistema
mecânico da figura, usando a analogia
força-voltagem e as equações diferenciais
do sistema mecânico (a serem deduzidas previamente).
5
Resolver o Exercício 4 por inspeção. Deu o mesmo resultado?
6
Obter o circuito elétrico análogo do sistema
mecânico da figura, usando a analogia
força-voltagem e as equações diferenciais
do sistema mecânico (a serem deduzidas previamente).
7
Resolver o Exercício 6 por inspeção. Deu o mesmo resultado?
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