SOLUÇÕES
AEPTM12V2-10
SOLUÇÕES
PREPARAR OS TESTES
SOLUÇÕES TESTES GLOBAIS
TESTE GLOBAL 5 | PÁG. 132-134
1.ª Parte
1. B
2. D
5. B
6. B
3. A
7. D
TESTE GLOBAL 6 | PÁG. 135-137
1.ª Parte
1. D
2. B
5.1. B
5.2. C
4. C
2.ª Parte
1.1.
4. C
2.ª Parte
1.1. – i
11π
œ2
w cis }}
12
1 2
1.3. z2 – 2z + 17 = 0
1.2.
11π
19π
w2 = œ2
w cis }} ; w3 = œ2
w cis }}
12
12
2.1.
A (– 3; 5,5) e B(3; 14,5)
1.3.
|z – 1 – i| = œ2
w
2.2.
y = 10
2.1.
g é contínua em R
2.3.
– 0,24; este limite é a derivada da função f
no ponto de abcissa 9 e representa geometricamente o declive da recta tangente ao
gráfico de f no referido ponto.
2.2.
y = 0 (x → – `)
3.1.
Aproximadamente 7 tarefas
2.4.
3.2.
3.3.
3.4.
4.
5.
1 2
3.2.
14,5
A
O
3
1 2
f(t)
15
y
12
O
x
O número de refrigerantes vendidos
quando se iniciou a campanha publicitária
era de 10 000, já que N(0) = 10. Com o
efeito da campanha, o número de refrigerantes vendidos aumentou, tendo atingido o máximo de 14 500 ao fim de 3 meses, uma vez que a função N tem um
máximo absoluto igual a 14,5 para x = 3. A
partir daí, o número de refrigerantes vendidos decresceu, tendo, à medida que o
referido período de 24 meses decorria, estabilizado em torno do valor 10 000, que
era precisamente o valor do início da campanha.
© AREAL EDITORES
3. D
6. C
4.1.
4.3.
5.1.
t
8
O operário conseguiu realizar 12 encadernações diárias ao fim de dez semanas de experiência, mas não atingiu o segundo objectivo.
5π
h tem um máximo relativo para x = – }} e
π 6
tem um mínimo relativo para x = – }}.
6
1
3π
4.4. }}
}}
6
4
2880
2
5.2. }}
21
TESTE GLOBAL 7 | PÁG. 138-140
w) cm
(6 + 2œ3
π
f é estritamente crescente em 0, }} , pelo
2
que não tem extremos relativos.
π
x = }}
6
1
}}
1320
4 3
1.ª Parte
1. B
2. A
5. A
6. B
2.ª Parte
1.1. 3600
2.1. 2 œ2
w
Há 6 bolas verdes e 6 amarelas.
159
3. C
7. A
1
1.2. }}
35
4. C
MATEMÁTICA 12
PREPARAR OS TESTES
TESTE GLOBAL 3 | PÁG. 126-128
1.ª Parte
1. D
2. B
5. D
6. B
3. A
7. B
2.2.
A função g é estritamente crescente em ]– `, 0[
e em ]0, + `[, mas não é estritamente crescente em R\ {0}, pelo que a afirmação é
falsa.
3.1.
k = 1,66 (2 c.d.)
4. D
2.ª Parte
4 3
1
3.2.2. t [ 0, }}
3
3.2.1. t = 1 s
9
1.2. }}
41
1.1. 0,41
4.1.
375 coelhos, aproximadamente
2.1.
Os zeros são – 9, – 7, – 5, – 3, – 1 e 1.
4.2.
10 anos
2.2.
4.1.
x=0
π
x = }}
4
169 lebres
4.3.1. O número mínimo de coelhos na referida
reserva foi de 200 e ocorreu ao fim de 8,2
anos, ou seja, em Março de 1999.
4.2.
Agosto de 2001
4.3.
96 lebres por mês, aproximadamente.
6
4.4.
3000; num futuro distante, o número de lebres na reserva irá estabilizar em torno
deste valor.
4
2
5.1.
w – 32 i
– 32 œ3
O
5.2.
11π
23π
35π
z = cis }} › z = cis }} › z = cis }}
18
18
18
3.2.
4.3.2.
1 2
1 2
5.3.
1 2
-V√2
O
Re(z)
-V√2
5.1.
TESTE GLOBAL 4 | PÁG. 129-131
y = 3,1
3. A
7. C
œw
3
1
z2 = 2 – }} + }} i
2
2
1
2
Im(z)
2
4. C
X = xi
0
1
2
3
4
p(X = xi)
0,179
0,384
0,311
0,111
0,015
1.2.
87,4%
2.1.
x = 0, y = 0 (x → + `) e y = 5 (x → – `)
x
6,8 9,6
5.2.
1.ª Parte
1. D
2. B
5. A
6. B
2.ª Parte
1.1.
f
Recorrendo à ferramenta “Intersect”, pode-se determinar as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de f com a recta de equação
y = 3,1. As abcissas desses pontos são 6,8 e 9,6
(valores arredondados com uma casa decimal).
Pretende-se determinar os valores de x para os
quais o gráfico de f está abaixo da referida recta,
que são os que estão compreendidos entre 6,8
e 9,6. Assim, foi aproximadamente entre Outubro de 1997 e Agosto de 2000 que o número
de coelhos foi inferior a 310.
Im(z)
-3 -V√2
y
-2
-1
1
1
2
O
-1
-2
158
V√3
2
2 Re(z)
© AREAL EDITORES
SOLUÇÕES TESTES GLOBAIS
SOLUÇÕES
PREPARAR OS TESTES
SOLUÇÕES TESTES GLOBAIS
5p
39.2. œ2
w cis }}
4
40.1.
TESTE GLOBAL 2 | PÁG. 123-125
1 2
œ2
w
p
}} cis 1}}2
2
4
40.2. n = 3
11 1
41. – }} + }} i
4 4
42. 24 u.a.
Im(z)
1.ª Parte
1. D
2. D
5. A
6. D
3. C
7. A
2.ª Parte
1.1. 100 1.2. 144
1.3. 135
4. D
14
2. }}
55
A
3. 7,9 3 1017 J
O
C
Re(z)
© AREAL EDITORES
2.ª Parte
30
1.1. }}
49
6
1.2. }}
19
2.
8 vezes
3.1.
1206 (0 c.d.)
3.2.
2,8 anos, aproximadamente
3.3.
74 peixes por mês.
4.
x = 0, y = – x – 3 (x → – `) e
y = – x + 1 (x→ + `)
5.2.
1– }2}, – }4}2, (0,0) e 1}2}, }4}2
6.1.
z61 = 512i
6.2.
w – 8 + 10 œ3
wi
z = – 2œ3
6.3.
π
7π
z = 2 cis }} › z = 2 cis }} ›
12
12
2
1
2
O gráfico de f tem a concavidade voltada
π π
para cima em – }}, }} e voltada para baixo
3 3
π
π
em – π, – }} e em }}, π ; as abcissas dos
3
3
π π
pontos de inflexão são – }} e }}.
3 3
4. D
5π π π 5π
– }}, – }}, }} e }}
6
6 6 6
π
9,8 meses, aproximadamente
5.3.
5.1.
π
4.2.
1
TESTE GLOBAL 1 | PÁG. 120-122
3. B
7. B
11 890; 6614
π
5.1. π – 3; é a derivada de f no ponto de abcissa }}.
2
π2
π
w = (π – 3) x – }}
5.2. y – }} + 3 œ2
4
2
B
1.ª Parte
1. B
2. A
5. B
6. C
4.1.
4
4
3
4
3 3
5.4.
O declive da recta tangente no ponto pedido de abcissa x0 é dado por f'(x0). Como a
citada recta é paralela à recta de equação
y = – x + 3, então tem declive igual a – 1, pelo
que se tem de resolver graficamente a equação f'(x0) = – 1.
Ora, f'(x0) = – 1 ⇔ x0 = 2,1 (1 c.d.)
6.1.
n = 3; w = 16 + 16i
6.2.
|z + 2 – 2i| # 3 ‹ |z + 2 – 2i| # |z| ‹ Im (z) # 0
π π
1 2
1 2
13π
19π
› z = 2 cis 1}}2 › z = 2 cis 1}}2
12
12
157
MATEMÁTICA 12
PREPARAR OS TESTES
z13 + 2
15.1. }
} = 6i
i
π
31.2. i w
w = 5 cis }} – a
2
œ3
w
33.1. – 1 – }} i
3
1
31.1. – 24 – 5i
π 11π
15.2. |z| , 2 ‹ arg z [ }}, }}
3 15
4
3
œ2
w
π
32.1. }} cis }}
2
4
33.2.
‹ z≠0
12
16.1. z2 = – 4i ; z3 = – 3 ; z4 = 3
2
Im(z)
16.2. z = 2 – i
17.1. 6 + 8i
O
3π
w cis }} .
17.2. O inverso de w não é œ2
4
18.1. 2 + i
Re(z)
1
1 2
19.2. 8 u.a.
π
7π
20.1. cis }} e cis }}
6
6
12
1 2
-V√3
20.2. 2 + 2 œ3
wi
21.1. z41 = z42; logo, z1 e z2 são duas raízes de índice
quatro do complexo – 4.
π
w cis – }}
34.1. œ2
4
1 2
w) u.c.
21.2. (2 + 2 œ2
3π
34.2. Área = }} u.a.
16
π
22.1. w ≠ z1 porque arg w = }} (≠ arg z1) ; w ≠ z2
4
porque |w| = œ2
w (≠ |z2|)
w + 2i
22.2. z2 = – 2 œ3
Im(z)
5π
23.2. a = }}
4
23.1. b = – 2 e c = 2
24.1. 3
4
3
25.1. cis π
25.2. n = 3
26.1. 2i
w
26.2. |z – 2 + 2i| = 3œ2
12
35.2. z = œ3
w+i
4
π
7π 4
13π
w cis }} ; œ2
w cis }} ; œ2
w cis }} ;
28.1. œ2
12
12
12
4
19π
w cis }}
œ2
12
Im(z)
1 2
1 2
1 2
1 2
29.
O
1 2
O
x
1
p
36.2. a = }}
6
Re(z)
3p
37.1. Arg (– z2) = }} + a
2
37.2. z2 = 48 + 12i
Se z = r cis q com
π
B
com q å 0, }} ,
2
3π
então z3 = r3 cis(3q) com 3q å 0, }} .
2
Logo, a imagem geométrica de z3 pertence
ao 1.º, 2.º ou 3.º quadrantes.
4 3
A
B
5π
w cis }}
2œ2
4
-2
30.
y
1
A
28.2. z = – 2 + 4i
Re(z)
π
35.1. 25 cis }}
7
27.1. 3i
4
1
1
2
O
3π
24.2. Como arg(z1.z2) [ π, }} , a imagem geo2
métrica de z1. z2 pertence ao 3.º quadrante.
4
38.1. (– z1)3 = z2
3
38.2. A (1, – œ3
w); B (– 1, œ3
w); w
AB
w=4
4 2
39.1. }} – }} i
5 5
156
© AREAL EDITORES
SOLUÇÕES NÚMEROS COMPLEXOS
SOLUÇÕES
PREPARAR OS TESTES
SOLUÇÕES NÚMEROS COMPLEXOS
5.1.
EXAMES NACIONAIS | ESCOLHA MÚLTIPLA | 104-110
1. B
5. A
9. D
13. D
17. B
21. A
25. A
29. A
33. B
37. C
2. B
6. A
10. A
14. A
18. B
22. B
26. D
30. D
34. B
38. C
3. B
7. B
11. A
15. B
19. C
23. C
27. B
31. A
35. D
39. A
5.3.
4. A
8. B
12. A
16. B
20. B
24. C
28. C
32. C
36. A
Im(z)
1
-3 -2 -1 O
-1
2
6.1.
1 ; 1 + œ3
w i ; 1 – œ3
wi
6.2.
w – œ2
wi
œ2
7.2.
π
5π
w # |z| # 2 œ2
w ‹ }} # arg (z) # }}
œ2
4
3
4
8.2.
O
1
2
Im(z)
4
Re(z)
3
-1
2
1
-2
2.1.
3π
4œ2
w cis }}
4
-2 -1 O
-1
3π
2.2. a = }} + kπ, k [ Z
8
1 2
2.3.
9.1.
3
2
1
-2 -1 O
1
2
3 Re(z)
-2
3.2.
3.3.
4.2.
-3
–3+i
π
x = }} + 2kπ › x = π + 2kπ, k [ Z ‹ y = – 2
2
n=8
1
œ2
w
10.2. |z| = }}
2
11.2. z1 = œ3
w+i
12.1. – 11 – 2 i
π
12.2. 5 cis }} + 2a
2
1
-1 O
-1
2
-2
2
2
1
1
2
Re(z)
Essa linha é um arco de circunferência correspondente à quarta parte de uma circunferênπ
cia de raio 1 u.c. Logo, o perímetro é }} u.c.
2
1
© AREAL EDITORES
|z| < 1 ‹ Re(z) < 0 ‹ Im(z) > 0
Im(z)
3
1
Re(z)
3
2
2
-2 -1 O
-1
2
13.1. |z| = 2
13.2. w = – œ3
w–i
œ2
w œ2
w
14.1. }} – }} i
2
2
14.2.
Im(z)
-1
3.1.
1
-2
Im(z)
-3
Re(z)
2
-3
8.1.
-1
1
-2
1
-2
Im(z)
2
EXAMES NACIONAIS | RESPOSTA ABERTA | 111-117
1.2.
5.2. n = 4
–3–4i
3 Re(z)
155
MATEMÁTICA 12
PREPARAR OS TESTES
33.2. V(x) = 300 § x = 3,4 rad
33.3. 98 m3
34.
41.1. y = 2x
41.2. 0,2 u.a.
33.4. B
y1 = d(t); y2 = 10
y
20,4
12
10
O
13,3
52,8 58,7 x
27,3
A Rita deve ser apurada para a final.
35.1. 6 vezes
35.2. 3,4 cm (1 c.d.)
36.2. A(x) = 4,5π § x = 0,42 rad
42.1. As distâncias, máxima e mínima da Terra ao
Sol são, aproximadamente, 152,1 e 147,1 milhões de quilómetros, respectivamente.
42.2.1.Quando o ângulo é de π radianos, o tempo
que decorre desde a passagem da Terra pelo
periélio até ao ponto correspondente ao ângulo π (ponto da órbita da Terra mais afastado do Sol) é metade do tempo que a Terra
demora a descrever uma volta completa.
42.2.2. 147,7 milhões de quilómetros
A(x)
9p
2
O
0,42
p
2
x
37.2. x = π; x = 2π
œ3
w
38.1. }} m
38.2. 0,5 s
2
39. a = 3,37 e b = 0,63
44.
x = 0; y = 0
45.
a = 1,36 e b = 4,61
46.
π
q = }}
3
40.1. 4
π
3π π
40.2. g é crescente em 0, }} e em }}, }} ; é de8
8 2
π 3π
crescente em }}, }} .
8 8
g tem um mínimo relativo igual a 1 para
3π
x = }} e tem um máximo relativo igual a 3
8
π
para x = }}.
8
4 3
4 3
4
3
154
© AREAL EDITORES
SOLUÇÕES TRIGONOMETRIA
SOLUÇÕES
PREPARAR OS TESTES
SOLUÇÕES TRIGONOMETRIA
y
24.2.
1
28.1.1. y = }}
3
28.1.2. x = ln(3e)
28.2. {0, 1, 4, 5, 6}
O 0,25
0,5
0,75
x
3
3
y
1
f admite quatro zeros em }}, + ` .
4
25.2. lim – f(x) = 4. Quando x se aproxima de
f
x → }p}
2
12
π
}}, o ponto E aproxima-se do ponto B e o
2
ponto F aproxima-se do ponto D. Assim, o
quadrilátero [CEAF] aproxima-se do quadrado [ABCD], pelo que o seu perímetro
tende para o perímetro do quadrado que é
igual a 4.
O
3,4
x
g
29.1. 0,1875 km
π
29.4. O alcance máximo é de 0,5 km para α = }}.
4
30.2. A(0) = 4. Para x = 0, os pontos C, D e E coincidem, correspondendo o polígono [ABEG] ao
triângulo [ADG] cuja área é 4.
π
π
A }} = 4. Para x = }}, os pontos E e F coinci2
2
dem, bem como os pontos B e C, correspondendo o polígono [ABEG] ao quadrado
[ABFG] cuja área é 4.
25.3. f é estritamente crescente.
26.1.
1,4
lim f(x) = 1
x→+`
12
26.2. Uma vez que a calculadora apenas nos fornece informação sobre um número finito
de imagens de x (através de um gráfico ou
de uma tabela), os resultados obtidos nunca
poderão ser conclusivos para a determinação de lim f(x).
30.3. x = 0,2; x = 1,4
x→+`
Assim, seria necessário verificar que, segundo a definição de limite de uma função
num ponto, a toda a sucessão de objectos
tendendo para + ` corresponde uma sucessão de imagens tendendo para 1. As limitações da calculadora não permitem fazer tal
verificação, pois para além de existir um número infinito de sucessões naquelas condições, cada uma delas tem infinitos termos.
27.1.1. 2
27.1.2. O gráfico de f tem a concavidade voltada
π 5π
para baixo em }}, }} e para cima em
6 6
3 4
π
5π
3– π, }6}4 e em 3}6}, π4. Há dois pontos de
31.1. 1
31.2. a = 1 e b = – 4
π 5π
inflexão de abcissas }} e }}.
6 6
27.2. –1,03 (2 c.d.)
32.1. 2
32.2. O gráfico de f tem a concavidade voltada
para baixo em [0, π] e voltada para cima em
π
3π
– }}, 0 e em π, }} . Os pontos (0, 0) e
2
2
(π, π) são pontos de inflexão do gráfico de f.
© AREAL EDITORES
3
4
33.1. 503 m3
153
3
4
PREPARAR OS TESTES
MATEMÁTICA 12
17.1.1. O gráfico de f tem a concavidade voltada
para cima em ]1, + `[.
π
π
8.2.2. f }} = 1. Para a = }}, o trapézio [ABCD] é um
2
2
quadrado de lado 1, cuja área é 1 u.a.
5π œ3
w
9.2. P2 }}, – }}
6
2
π
9.3. 0 # x # }} ‹ g(x) # y # f(x)
3
10.2. [ABC] é um triângulo rectângulo em C.
12
1
11.3.
lim
n→+`
17.2. 0,5 (1 c.d.)
2
18.1.1. h é descontínua no ponto de abcissa 0; porém, h é contínua à direita do referido ponto.
18.2. A(0,7; 0,5)
19.2.
An = π = área do círculo. À medida
lim – A(x) = + `. À medida que x se
x → }p}
2
π
12
que o número de lados do polígono inscrito
aproxima de }}, a área total da pirâmide
2
aumenta, a área do polígono aproxima-se
aumenta indefinidamente.
da área do círculo.
5π – 6œ3
w
20.1.2. }}, 2π + 2
6
3
12.1. O pôr-do-sol ocorreu às 18h50min.
12.2.
4
y
20.2.
C
A
B
O
3,8
x
A abcissa do ponto C é 3,8 (1 c.d.)
21.1. x = – π e x = π
1
21.2. f(0) = }} é o máximo de f.
2
5π
21.3. }}
36
π
22.1. x = }}
2
π π
22.2. f é decrescente em }}, }} e crescente em
4 2
π
0, }} ;
4
O tempo que decorreu entre o nascer e o
pôr-do-sol é superior a 14,7 horas durante
38 dias, aproximadamente.
13.1. f é contínua em R \ {0}
4
13.2. f(– 2) = 1 + }} é o único máximo de f, em R.
e
13.3. f(x) = 1 ⇔ x = kπ, k [ Z+0 . Assim, conclui-se
que existem infinitos pontos de intersecção
da recta r com o gráfico de f.
14.1.2031 km
3 4
14.2. 229 °(0 c.d.)
3 3
f admite um mínimo relativo para x = 0 e um
π
máximo relativo para x = }}.
4
π
π
23.2. f }} = 0. Para x = }}, a região sombreada re4
4
duz-se a um ponto, que é a intersecção das
15.1.1. x = 0
15.1.2. f(– 1) = – e é o máximo de f em ]– `, 0[.
π π 5π
15.1.3. }}, }} e }}
2 6 6
15.2. – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 e 4
12
16.2. Como f'(x) > 0, ∀ x [ R, f é estritamente
crescente em R e, por isso, f é injectiva, pelo
que o zero é único.
24.1.1. y = x
16.3. 8 u.a. (0 c.d.)
24.1.2. y = x + 1
diagonais do quadrado.
152
© AREAL EDITORES
SOLUÇÕES TRIGONOMETRIA
SOLUÇÕES
PREPARAR OS TESTES
SOLUÇÕES TRIGONOMETRIA
55.2.530 dias após a fundação da associação.
EXAMES NACIONAIS | RESPOSTA ABERTA | 88-103
56. A(– 0,3; – 2,3) e B(2,3; 0,3)
1.1 5 cm
1
1.2 O pêndulo passa no centro de }} de segundo
4
1
em }} de segundo.
4
1.3 44,4 cm/s
1.4
d(t)
5
1
O
3
1
8
1
4
3 4
3
8
3 4
t
1
2
4
1
5 7
11 1
1.5 t [ 0, }} < }}, }} < }}, }}
24
24 24
24 2
57.1.34h 39min
58. O gráfico correcto é o 2.
π
2.2. u = }}
4
2.5. (k = 1 ‹ a = 3) › (k = 1 ‹ a = – 3)
60.2.g(x) = 2x, x å ] 0, 2]; A(0,3; 0,6)
4.1. 7 m
d(t)
4.2.
12
7
5
2
O
3 3
5
61. S = }}, 2
3
62.1. lim C(t) = 0. Com o decorrer do tempo, a
15
75 t
45
O Manuel demora 60 segundos a dar uma
volta completa.
t → +`
concentração do medicamento no sangue
tende para zero.
4.3. d(t) = 9,5 ⇔ t = 5 + 60k › t = 25 + 60k, k [ Z;
ao fim de 5 segundos.
62.2.A concentração máxima ocorreu 3 horas e
20 minutos depois da primeira administração, isto é, às 12 horas e 20 minutos.
4.4. 5 m
2π
π
5.1. 0, }} e π
5.2. x = }}
3
2
π
6.3. }}
4
7.2. g(0) = 12. Quando x = 0, o ponto P coincide
com o ponto M e o comprimento da canalização é de 12 km.
63.1.h é contínua em R.
63.2. y = 0
65.1. 2,47 ha (2 c.d.)
65.2. 6,05 ha (2 c.d.)
EXAMES NACIONAIS | ESCOLHA MÚLTIPLA | 83-88
© AREAL EDITORES
5
1.1. B
4. D
8. C
12. C
16. A
20. A
24. B
28. A
32. A
1.2. D
5. D
9. A
13. A
17. A
21. A
25. D
29. D
2. D
6. C
10. D
14. A
18. A
22. D
26. A
30. C
F
3. B
7. C
11. B
15. D
19. D
23. C
27. C
31. D
4 km
A
7.3.
8.1. 0
151
π
}}
6
P≠M
8 km
B
SOLUÇÕES
PREPARAR OS TESTES
SOLUÇÕES INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II
20.2.x ) 0,2 ou x ) 12,2
A(t + 1)
26.1.}
} ) 1,1. Por cada hora que passa, a área do
A(t)
crude espalhado sobre o oceano aumenta 10%.
26.2.A mancha de crude atingiu a costa às 22 h e
38 min do dia a seguir ao do acidente.
27.2.40 minutos
28.2.100 watts por metro quadrado
30.1.1. 0,05 miligramas por litro de sangue
30.1.2. As concentrações voltam a ser iguais 2 h e
19 min após terem sido administradas.
31.2.A área total da embalagem é mínima para
3
x = œ2
w.
21.1.f é estritamente crescente em [0,+ `[ ; y = 5.
Com o decorrer do tempo o número de pessoas que tomou conhecimento do acidente é
cada vez maior, e tende a aproximar-se dos 5
milhares.
32.1.A quantidade de aromatizante reduz-se a
metade ao fim de cerca de 7 minutos.
MastiBom
Pastilha X
32.2.
22.1. 35 gramas
MastiBom
Pastilha Y
22.2. M é estritamente decrescente em R+0 ; y = 0
Com o decorrer do tempo, a massa de açúcar
não dissolvido vai diminuindo, uma vez que a
função é decrescente. Como lim M(t) = 0,
t→+`
pode-se concluir que o açúcar tende a dissolver-se na totalidade.
23.1.1. x = 0
23.1.2. Dado que a função é decrescente em
40, }3}4 e crescente em 3}3} , + `3,
2
f 1}}2 é o único mínimo de f.
3
2
2
MastiBom
Pastilha Z
23.2.
y
7
6
5
4
3
2
1
O
Pastilha X
y
7
6
5
4
3
2
1
O
Pastilha Y
y
7
6
5
4
3
2
1
O
15 t
15 t
3,4
Pastilha Z
15 t
x = 2,3 (1 c.d.)
© AREAL EDITORES
25.1. 33 kg (aprox.)
34.1.0,8 mg/’
25.2.A(2p) – A(p) ) 0,38. Se o peso de um rapaz é
o dobro do peso do outro, a diferença entre
as suas alturas é, aproximadamente, 0,38 m,
ou seja, 38 cm.
34.2. 1h 43min
35.1.g não é contínua no ponto de abcissa 0 pois
lim g(x) ≠ g (0).
x→0
36.1.5,4 m
149
PREPARAR OS TESTES
MATEMÁTICA 12
3.1. k = – 2
1 2
14
7.4. A = 28 e B = ln }}
13
8.1. 22,2 m
3.3. Para se obter um lucro superior a um milhar
de euros tem de se produzir no mínimo 901
peças.
1
4.1. r(0) = }} e lim r(t) = 4
2 t→+`
8.2. 10 m
9.2. A amplitude do sismo será de 9,1.
r(0) é o comprimento, em cm, do raio da nó-
10.2.A concentração do medicamento foi máxima
às 12 h e 20 min.
doa no instante em que foi detectada;
lim r(t) é o valor em torno do qual tende a
11.2.Entre a 6.ª hora e a 11.ª hora a altura da água
no reservatório desceu, em média, 0,2 metros
por hora.
t→+`
estabilizar o comprimento do raio da nódoa,
com o decorrer do tempo.
12.2.32
4.2.
13.2.Como v'(t) > 0, ∀ t [ [0,160], v é estritamente
crescente nesse intervalo e, consequentemente, v(160) = 3,2 km/s (1 c.d.) é o seu valor
máximo.
14.2.A altura do tabuleiro da ponte é f(0) + 6 = 24
metros. Como 27 > 24, a ponte ficaria totalmente submersa.
r(t) – r(0) 7
4.3. lim }} = }} e representa a velocidade
t
4
t→0
de crescimento do raio da nódoa no instante
15.1.1,5 decigramas por litro de sangue
em que foi detectada.
16.1.y = x
4.4. 5,7 segundos
16.2.O gráfico de f tem a concavidade voltada
para cima em ]– `, – 4] e em [– 1, + `[ e voltada para baixo em [– 4, 1]. O gráfico de f
tem dois pontos de inflexão de abcissas – 4
e – 1.
5.1. y = x – 1
5.2. f é contínua em x = 1 pois f' (1) = 1 e toda a
função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto.
16.3.y = 0
5.3. O gráfico de f tem a concavidade voltada
para cima em ]0, 1[ e a concavidade voltada
para baixo em ]1, + `[ ; (1, 0) são as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico da função.
17.1.f é estritamente decrescente em ]– `, 1[ e em
]1, 2] e estritamente crescente em [2,+ `[ ;
f tem um mínimo relativo para x = 2.
17.2.2 é solução da equação.
6.1. 70 °C
17.3.x = 1 e y = 0
6.2. y = 20 ; f é estritamente crescente em [0, + `[.
O gráfico de f tem a concavidade voltada
para cima.
18.1.76 kPa
18.2.x = 5,8 km (1 c.d.)
A um aumento de 5,8 km em altitude corresponde uma redução da pressão atmosférica
para metade.
6.3. 20 °C
6.4. A taxa de variação média da função f, em
qualquer intervalo do seu domínio, é negativa, pois f é estritamente decrescente.
19.1.209 parsec
20.1.1. x = 0
6.5. 2 min 38 s
20.1.2. Como f é estritamente crescente em ]0, e] e
estritamente decrescente em [e, + `[,
1
f(e) = }} é o valor máximo de f.
e
7.1. R é estritamente decrescente, ∀ t [ R+0 ; y = 0
1
R(t)
7.2. }} = – }} (constante), logo R e R' são direcB
R'(t)
tamente proporcionais.
148
© AREAL EDITORES
SOLUÇÕES INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II
SOLUÇÕES
PREPARAR OS TESTES
SOLUÇÕES INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II
39.1. 2592
39.2. 0,0015 (4 c.d.)
40.1. 604 800
6
41. }}
7
42.1. 57,9%
40.2. 2400
43.1. 48
43.2. 480
46.1.
42.2. 44%
X = xi
0
1,5
2
p(X = xi)
2
}}
5
8
}}
15
1
}}
15
1
46.2. }}
7
1
47.1. }}
3
9
49.1. }}
22
50.1.1. 72
50.2.
13. D
17. B
21. A
25. A
29. C
33. D
37. B
41. D
45. C
49. D
53. A
57. D
61. B
65. B
69. B
73. A
77. D
81. C
85. A
89. C
93. A
97. C
101. A
105. A
109. A
113. B
117. D
121. C
125. C
129. B
133. D
137. C
141. A
145. C
149. D
153. C
157. B
47.2. 11,6%
1
49.2. }}
22
50.1.2. 16
X = xi
0
1
p(X = xi)
5
}}
7
2
}}
7
51.1.60
1
51.2. }}
11
52. 11 bolas pretas
81
54.1.}}
253
55. 0pção 4
2
54.2. }}
9
56.1.A e B são independentes
16
58. }}
49
60.1. 0,24
57. 0,68
8
59.2.}}
15
62.2. 0,74
63.
X = xi
2
3
4
p(X = xi)
1
}}
7
4
}}
7
2
}}
7
© AREAL EDITORES
16. A
20. A
24. C
28. C
32. D
36. A
40. C
44. B
48. A
52. D
56. C
60. A
64. A
68. B
72. B
76. D
80. A
84. B
88. D
92. B
96. C
100. C
104. D
108. B
112. A
116. B
120. A
124. B
128. C
132. A
136. C
140. A
144. D
148. C
152. C
156. D
3. C
7. D
11. B
1.1. 10
1.2. 26 meses
2.1. 30 g
2.2. 2,026 min
2.3. q é estritamente decrescente em R+0 .
Inicialmente foram colocados 30 gramas do
produto solúvel no recipiente com água.
Com o decorrer do tempo, o produto foi-se
dissolvendo e a quantidade de produto não
dissolvido na água foi tendendo para zero.
EXAMES NACIONAIS | ESCOLHA MÚLTIPLA | 34-65
2. A
6. D
10. A
15. C
19. C
23. D
27. C
31. B
35. B
39. C
43. C
47. C
51. D
55. B
59. C
63. B
67. B
71. B
75. A
79. C
83. B
87. C
91. A
95. D
99. A
103. B
107. C
111. A
115. D
119. C
123. A
127. C
131. D
135. D
139. C
143. D
147. A
151. A
155. C
EXAMES NACIONAIS | RESPOSTA ABERTA | 66-82
O valor mais provável que x pode tomar é 3.
10
64. 210
65.1. }}
19
67.1.15840
1. D
5. B
9. A
14. C
18. D
22. C
26. A
30. C
34. B
38. A
42. D
46. B
50. C
54. B
58. A
62. D
66. D
70. C
74. C
78. B
82. A
86. C
90. A
94. C
98. B
102. C
106. B
110. A
114. D
118. C
122. B
126. B
130. A
134. C
138. A
142. C
146. B
150. D
154. B
4. D
8. B
12. A
100 3
2.4. x = }} In }} ; y = 0 ; y = – 20
9
5
147
MATEMÁTICA 12
PREPARAR OS TESTES
15.1. 70
15.2. 51% (0 c.d.)
2
16.1. 72
16.2. }}
9
17.1.1. 3 628 800 17.1.2. 103 680
1
17.2. }}
15
1
19.1. 110 880
19.2. }}
165
EXAMES NACIONAIS | ESCOLHA MÚLTIPLA | 4-17
1. D
5. A
9. C
13. A
17. C
21. B
25. C
29. B
33. D
37. B
41. C
45. C
49. B
53. C
57. D
61. C
65. C
69. A
73. C
77. B
81. C
85. C
89. C
93. D
2. B
6. B
10. D
14. B
18. A
22. C
26. B
30. D
34. D
38. B
42. B
46. D
50. A
54. C
58. D
62. C
66. A
70. C
74. B
78. A
82. A
86. C
90. A
94. C
3. C
7. A
11. B
15. D
19. A
23. C
27. C
31. B
35. A
39. C
43. B
47. D
51. A
55. B
59. C
63. A
67. D
71. D
75. B
79. D
83. C
87. D
91. D
95. C
4. A
8. A
12. C
16. A
20. D
24. A
28. B
32. C
36. D
40. D
44. D
48. B
52. B
56. B
60. D
64. A
68. C
72. D
76. C
80. A
84. B
88. D
92. B
21.1. 0,134
16
22.2. }}
17
1.2. 6
2.1. 60%
2
3. }}
9
4.1. 7685
2.2. 25%
5.1. 4845
5.2. 6% (0 c.d.)
26.2.Como p(A > B) = 12,5%, conclui-se que o
acontecimento “a bola é amarela e tem o número 1” é possível e que, portanto, a bola
amarela com o número 1 está no saco.
1
5
27.1.}}
27.2. }}
6
6
28.1.1656
28.2.1. 10 350
13
3
28.2.2. }}
29. }}
23
49
30.1.
1
1.3. }}
28
4.2. 0,45 (2 c.d.)
6.1. É maior a probabilidade do produto ser ne5
gativo p = }} .
9
6.2. Não; neste caso, os acontecimentos são equiprováveis.
1
7.
2
20%
9
9. }}
55
11.1.75 075
8. 0,2% (1 c.d.)
2
10.2. }}
21
11.2. 0,114 (3 c.d.)
12.1.2916
12.2. 0,504
yi
0
1
2
p(Y = yi)
1
}}
16
3
}}
8
9
}}
16
30.2. 3 bolas brancas e 9 bolas pretas
7
32.2.1. }}
32.2.2. 64 084 800
12
33.1.1. 6% (0 c.d.)
33.1.2. 0,006
35. É mais provável nunca sair o número 6.
1
36.1. 0,336
36.2. }}
17
37. 10%
5
38.2. }}
38.3. 0,12
12
13. 3% (0 c.d.)
14.1. 120
22.3. 4% (0 c.d.)
2
23.1. }}
5
23.2.Sabendo que o produto dos números das duas
bolas é um número ímpar (isto é, sabendo que
se verifica B), então os dois números saídos são
necessariamente ímpares. Logo, as duas bolas
são azuis, e, portanto, são da mesma cor, ou
seja, verifica-se A. Logo, p(A / B) = 1.
1
1
25.1.1. 35% 25.1.2. }}
25.2. }}
3
15
26.1.0,0000079
EXAMES NACIONAIS | RESPOSTA ABERTA | 18-33
1.1. 210
1
20.2. }}
24
20.1. 630
1
14.2. }}
3
146
© AREAL EDITORES
SOLUÇÕES PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA