ESTATÍSTICA
Prof. Ari Antonio, Me
Ciências Econômicas
Unemat Sinop 2012
1. Probabilidades
• Diz respeito a experiências aleatórias:
- Lançamento de uma moeda
- Lançamento de um par de dados
- Retirada de uma carta do baralho.
• Serve para modelar fenômenos de resultados imprevisíveis
mas com certo tipo de regularidade.
- Ex: peças com ou sem defeito; estados de funcionamento de sistemas;
qualidade de alimentos; etc.
• Experiências Aleatórias e Espaços Amostrais:
- Resultados positivos ocorridos em um experimento de A (n)
- Conjunto de todos os resultados possíveis para A (Espaço Amostral (S)
• Probabilidade de ocorrência de um evento simples (A):
P(A) = n/S
1.1. Propriedades
a) Se A é um evento, então: 0 ≤ P(A) ≤ 1;
b) Se dois eventos A e B forem mutuamente exclusivos,
P( A  B)  P( A)  P( B);
c) Se dois eventos A e B não forem mutuamente exclusivos,
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
d) Se os eventos A e B forem independentes, então
P ( A  B )  P ( A) xP ( B );
e) Se
A  B  P( A)  P( B)
1.1. Propriedades
f) Se for evento impossível, então P(Ǿ) = 0.
(Não há casos favoráveis)
g) Se todos os casos favoráveis (evento certo): P(A) = 1
h) Se P(A) é a probabilidade de um evento A ocorrer, então a
probabilidade de não ocorrer A é
P( A )  1  P( A)
i) P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B) 
P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C )
1.2. Exemplos
a) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o
nº 5? Sair um nº par? Dar um resultado menor que 5?
b) Calcule a probabilidade de se retirar uma bola preta em
uma urna que tem 20 bolas brancas e 10 bolas pretas.
c)
Qual a probabilidade de se obter uma única cara em um
lançamento de 3 moedas? (K = cara e C = coroa)
d) Qual a probabilidade de se obter o total de 6 pontos na
jogada de dois dados honestos?
e) Qual a probabilidade de se retirar uma carta de um
baralho comum de 52 cartas e ser um ás ou ser do naipe
espadas?
1.2. Exemplos
f)
Em uma disputa final de torneio de tiro ao alvo, a probabilidade de
Dino acertar o alvo é de ½ e a de Bart acertar o mesmo alvo é de
3/5. Qual a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atiram ao
mesmo tempo
g) A probabilidade de que Pedro resolva um problema é de 1/3 e de
que Paulo o resolva é de 1/4. Se ambos tentarem resolver
independentemente o problema, qual a probabilidade do problema
ser resolvido.
h)
Um empresa importadora tem 25% de chance de vender com
sucesso um produto A e tem 40% de chance de vender com
sucesso um produto B. Se essa empresa importar os dois produtos
A e B, qual a probabilidade de ela ter sucesso na venda ou do
produto A ou do produto B?
i)
Jogando-se uma única vez quatro moedas honestas, qual a
probabilidade de se obter coroa, em três das moeda e cara na
quarta moeda?
1.3 Probabilidade Condicional
• Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter
acontecido, é definida por: P(B/A), a ocorrência de um evento está
vinculada à ocorrência de outro, daí o nome probabilidade condicionada.
• Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0 , então
1.3 Probabilidade Total
Teorema de Bayes ou Teorema da Probabilidade Total
• Sabemos que
P( A)   P( Bi ).P( A | Bi )
P( A  B)  P( A).P( Bi | A)...log o...
P( Bi | A)  P( A  Bi ) / P( A)
• então substituindo teremos:
P( Bi / A)  P( Bi ).P( A | Bi ) /  P( Bi ).P( A | Bi )
que é a fórmula de Bayes.
• Ex1:Certo professor 4/5 das vezes vai trabalhar usando um fusca e usando um
•
carro importado nas demais vezes. Quando ele usa o fusca, 75 % das vezes ele
chega em casa antes das 23 horas e quando usa o carro importado só chega em
casa antes das 23 horas em 60% das vezes. Ontem o professor chegou em
casa após às 23 horas. Qual a probabilidade de que ele, no dia de ontem, tenha
usado o fusca ?
Ex2: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça,
calcule: a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa. b) a probabilidade de
essa peça não ser defeituosa.
Exercicios
1 – Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros de 1 a 15. Se o
número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o numero 6?
2 – Uma pessoa tem dois automóveis velhos. Nas manhãs frias, há 20% de
chance de um deles não pagar e 30% de chance do outro não pegar.
Qual a probabilidade de, em uma manhã fria apenas um pegar.
3 – Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 30%, 40% e 30%
do total de peças de uma fábrica. As percentagens de produção
defeituosa dessa máquinas são respectivamente, 2%, 3% e 4%. Uma
peça selecionada aleatoriamente é defeituosas. Encontra a
probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina C.
TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
•
Discretas → este tipo de variável ocorre quando o número de valores
assumidos por X (FINITO ou INFINITO) é constituído apenas por
NÚMEROS INTEIROS.
•
Continua → O número de valores assumidos por X é formado pelos
números de pontos de um SEGMENTO DE RETA.
•
Quais são DISCRETAS e quais são CONTÍNUAS ?
- Número de dias chuvosos em um mês
- Precipitação diária medida no pluviômetro
- Número de alunos presentes na sala de aula
- Vazão em uma dada seção do rio
- Idade dos alunos de uma sala
- Peso dos alunos desta sala
- Número de disciplinas cursadas por aluno
- Evaporação mensal de um açude
- Velocidade do vento
CONCEITO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISCRETA - VAD
Ex: Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um
produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em
fábrica diferentes (A e B), e a montagem consistirá em juntar as duas partes e
pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e
a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso só poderá
ser verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade de seu
empreendimento, o empresário quer ter uma ideia da distribuição do lucro por
peça montada.
Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, longo ou
curto, conforme sua medida esteja dentro da especificação, maior ou menor
que a especificada, respectivamente. Foram obtidos dos fabricantes o preço
de cada componente ($ 5,00) e as probabilidades de produção de cada
componente com as características Bom (B), Longo (L) e Curto (C).
Se o produto final apresentar algum componente com característica C (curto)
ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata a preço de
$ 5,00; e a cada componente L (longo) poderá ser recuperado a um custo
adicional de $ 5,00. Se o preço de venda de cada unidade for de $ 25,00,
como seria a distribuição de frequências da variável X: lucro por conjunto
montado.
Distribuição da produção das fábricas A e B,
de acordo com as medidas das peças
produzidas
Produto
Fábrica A
Cilindro
Fábrica B
Esfera
Dentro das
Especificações
(B)
0,80
0,70
Maior que as
Especificações
(L)
0,10
0,20
Menor que as
especificações
(C)
0,10
0,10
Como os
componentes
vêm de fábricas
diferentes,
supõem-se
que a classificação
dos cilindros e
esferas, segundo
suas características
sejam eventos
independentes.
Distribuição de Probabilidade das possíveis composições
das montagens
Cilindro
0,80 (B)
0,10 (L)
0,10 (C)
Esfera
Probabilidade
Lucro por
Montagem (X)
0,70 (B)
0,56
15
0,20 (L)
0,16
10
0,10 (C)
0,08
-5
0,70 (B)
0,07
10
0,20 (L)
0,02
5
0,10 (C)
0,01
-5
0,70 (B)
0,07
-5
0,20 (L)
0,02
-5
0,10 (C)
0,01
-5
Distribuição da v.a. X:
Probabilidade Associada de cada um dos eventos.
x
p(x)
15
0,56
10
0,23
15, para o evento A1 = {B,B};
5
0,02
10, para A2 = {BL, LB};
-5
0,19
Total
1,00
Vemos que X pode assumir
um dos seguintes valores:
5, se A3 = {LL};
-5, para o evento A4 = {BC,
LC CB, CL, CC}
A função (x, p(x)) é a
Função de Probabilidade
da v.a, X.
Função distribuição de Probabilidade
• Definição: chama-se função distribuição de
probabilidade (fdp) da v.a. discreta X, que
assume os valores x1, x2, ..., xn, ... a função {(x,
p(x)), i = 1, 2, ...}, que a cada valor de xi associa
a sua probabilidade de ocorrência, isto é,
p(xi) = P(X = xi, i = 1, 2, ...
Exercícios
1 – Ainda do problema anterior, se considerarmos
Y como sendo a variável “custo de recuperação
de cada conjunto produzido”, como ficará a
distribuição?
2 - Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três
vermelhas(V). Suponha que sejam sorteadas
duas bolas ao acaso, sem reposição. Qual a
probabilidade dos resultados conjuntos? Defina
a v.a. X: nº de bolas vermelhas obtidas nas duas
extrações.