Escola Secundária de Albufeira
2008/09
ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBUFEIRA
Matemática A
TEMA 1 – ANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADES
COMPOSIÇÃO MATEMÁTICA
(CONDICIONADA)
1. Considera os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 . Escolhe-se, ao acaso, dois
algarismos.
Sejam A e B os acontecimentos:

A: « os números são ambos ímpares»

B: « a soma dos números é par»
Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indica o valor
de p  A | B  e, numa pequena composição (cerca de dez linhas), justifica a
tua resposta.
Sugestão: Começa por indicar o significado de p  A | B  , no contexto da
situação descrita
2. p  A | B  Indica a probabilidade de sair dois números ímpares, sabendo
que a soma é par.
Das várias maneiras de conjugar dois números. temos
1, 2
1, 3
Mas as situações em que a soma é par são quatro.
1, 5
2, 4
3
p
4
3,5
Destas situações apenas três são números ímpares
1, 3
1, 4
1, 5
2 ,3
2,4
2 ,5
3, 4
3, 5
Assim pela regra de Laplace a probabilidade de sair dois números
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1
3
4
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ímpares, sabendo que a soma é par.
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2. Lançam-se dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6.
Sejam A e B os acontecimentos:

A: « a soma dos números saídos é superior a 8»

B: « pelo menos num dos dados saiu face 4»
Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indica o valor
de p  A | B  e, numa pequena composição (cerca de dez linhas), justifica a
tua resposta.
Sugestão: Começa por indicar o significado de p  A | B  , no contexto da
situação descrita
p  A | B  indica a probabilidade da soma dos números saídos ser superior
a oito, sabendo que em pelo menos um dos dados saiu face quatro.
Listando todos os resultados possíveis do lançamento concluímos que:


pelo menos num dos dados saiu face quatro, ocorre em 11 situações.
Destas (11 situações) em apenas 4 a soma dos números saídos é
superior a oito.
Assim pela regra de Laplace a probabilidade de soma dos números saídos
ser superior a oito, sabendo que em pelo menos um dos dados saiu face
4
11
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2
quatro é
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3. Considera duas caixas: caixa A e caixa B
Caixa A
Caixa B
A caixa A contém duas bolas verdes e cinco amarelas.
A caixa B contém seis bolas verdes e uma amarela.
Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair
face 1, tira-se ao acaso uma bola da caixa A. Caso contrário, tira-se ao
acaso, uma bola da caixa B.
Considera os acontecimentos:
 X: «sair face par no dado»
 Y: «sair bola verde»
Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indica o valor
de p  Y | X  e, numa pequena composição (cerca de dez linhas), justifica a
tua resposta.
Sugestão: Começa por indicar o significado de p  Y | X  , no contexto da
situação descrita

p  Y | X  significa a probabilidade de sair bola verde sabendo
que saiu face par no lançamento do dado.

Se saiu face par, isso significa que não saiu face 1, e vamos
fazer a extracção da caixa B.

Mas a caixa B contém 7 bolas das quais 6 são verdes.

A probabilidade de sair bola verde sabendo que saiu face par
no lançamento do dado, utilizando a regra de Laplace,
6
.
7
Página
3
é pois de
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4.Considera:

Uma caixa com seis bolas, todas brancas;

Seis bolas pretas, fora da caixa;

Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
Lança-se duas vezes o dado.
Tiram-se, da caixa, tantas bolas brancas quanto o número saído no
primeiro lançamento.
Colocam-se, na caixa, tantas bolas pretas quanto o número saído no
segundo lançamento.
4.1.
Qual é a probabilidade de a caixa ficar com seis bolas?
Apresenta o resultado na forma de fracção irredutível.
4.2.
Sejam A e B os acontecimentos:
A - «Sai face 5 no primeiro lançamento do dado.»
B - «Ficam, na caixa, menos bolas brancas do que pretas.»
Indica, justificando, o valor da probabilidade condicionada
P  B | A  . Apresenta o resultado na forma de fracção irredutível.
4.1. A caixa ficará com seis bolas se o número de bolas que entram for
igual ao número de bolas que saqem.
Isto só acontece se o número saído no segundo lançamento do dado for
igual ao número saído no lançamento do primeiro dado.
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
A probabilidade de a caixa ficar com seis bolas é pois igual à probabilidade
de serem iguais os números saídos nos dois lançamentos.
4
6 1

36 6
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P
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4.2.
P  B | A  designa a probabilidade de ficarem na caixa menos bolas brancas
do que pretas, sabendo que saiu face5 no primeiro lançamento.
Se saiu face 5 no primeiro lançamento, ficou apenas uma bola branca na
caixa.
Para que fiquem, na caixa, menos bolas brancas do que pretas, terá de sair
face 2 ou face 3, ou face 4 ou face 5 ou face 6 no segundo lançamento.
5
6
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5
Assim a probabilidade pedida é P  B | A  
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