Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
Área de Concentração: Matemática
SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE ATIVIDADES
O ESTUDO GRÁFICO DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS, EXPLORANDO
SECÇÕES TRANSVERSAIS, NA PERSPECTIVA DA HABILIDADE DE
VISUALIZAÇÃO, COM O SOFTWARE WINPLOT
Professora Janine Freitas Mota
Professor Doutor João Bosco Laudares
Este caderno de atividades é um produto decorrente de uma pesquisa de Mestrado em Ensino
de Ciências e Matemática da PUC-Minas.
O objetivo geral é propor atividades que possibilitem ao estudante dos cursos de ciências
exatas desenvolver a habilidade de visualização por meio da representação de planos, cilindros e
quádricas, utilizando as mídias “lápis e papel” e recursos computacionais.
A metodologia utilizada na elaboração das atividades contempladas na sequência didática,
com suporte teórico de Zabala (1998), explorou a construção da habilidade de visualização.
Foi utilizado o software Winplot, que é um programa gratuito, o qual permite uma dinâmica de
rotação e translação de figuras, facilitando a visualização geométrica em espaços tridimensionais
com múltiplas representações. As sequências didáticas de atividades foram organizadas com o
seguinte conteúdo, assim organizado:
1 planos;
2 cilindros (quádricos e não quádricos);
3 quádricas;
3.1 elipsoide / esferoide / esfera;
3.2 paraboloide elíptico;
3.3 hiperboloide de uma folha / hiperboloide de duas folhas;
3.4 cone quádrico;
3.5 paraboloide hiperbólico (sela).
São propostas três sequências didáticas de atividades que privilegiam o tratamento gráfico,
utilizando secções transversais e curvas de níveis. Há uma articulação entre teoria e prática pela
investigação, exploração, visualização e construção das superfícies em estudo, que possibilitam o
desenvolvimento do pensamento geométrico.
As atividades foram especialmente preparadas dentro de uma linha metodológica definida e
testadas durante o processo de aplicação a estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática,
com ênfase na integração da equação (álgebra) e a figura (geometria) de forma a promover uma
abordagem entre Álgebra e Geometria, que é o foco da Geometria Analítica.
Os autores.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS - UNIMONTES
1º PERÍODO LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE ATIVIDADES
O ESTUDO GRÁFICO DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS, EXPLORANDO
SECÇÕES TRANSVERSAIS, NA PERSPECTIVA DA HABILIDADE DE
VISUALIZAÇÃO, COM O SOFTWARE WINPLOT
Prezado(a) Acadêmico(a),
Esta atividade deve ser realizada, gradativamente, ao longo da disciplina Geometria
Analítica e numa sequência didática para o ensino dos tópicos: planos, cilindros e quádricas.
Propomos realizar atividades que possibilitem o desenvolvimento do pensamento
geométrico pela visualização e representação dos planos, cilindros e das superfícies
quádricas, utilizando intersecções (cortes) de planos com essas superfícies por meio da
análise da equação algébrica dessas figuras.
As atividades serão (ou deverão ser) desenvolvidas em dupla, em sala de aula e no
laboratório de informática, e de forma a articular a mídia “lápis e papel” com ferramentas
informatizadas, utilizando o aplicativo Winplot.
É importante salientar que você será avaliado(a) pelo grau de interesse, participação
e esforço ao longo das atividades – fatores que contribuirão, decisivamente, para um bom
aprendizado dos tópicos relacionados.
Enfim, as atividades foram construídas na expectativa de uma grande motivação e
curiosidade para a construção do seu conhecimento nos tópicos da Geometria Analítica.
Os autores
1 OBJETIVOS
Ÿ Analisar a constituição e os parâmetros da equação geral do plano: ax + by + cz + d = 0
Ÿ Fazer observações sobre as equações.
Ÿ Analisar a variação dos parâmetros:
Ÿ explorar o parâmetro d para equações homogêneas (d=0) e equações não homogêneas (d ¹ 0);
Ÿ Trabalhar com equações não completas;
Ÿ Um coeficiente nulo e d ¹ 0;
Ÿ Dois coeficientes nulos e d ¹ 0;
Ÿ d = 0.
Ÿ Traçar gráficos (manual e computacionalmente):
Ÿ identificar pontos sobre os eixos coordenados;
Ÿ identificar pontos sobre os planos coordenados;
Ÿ identificar pontos sobre os octantes;
Ÿ Manipular comandos no aplicativo Winplot.
Ÿ Trabalhar com famílias dos planos.
Considerações iniciais para atividades
Para esboço manual do gráfico:
Ÿ usar apenas o 1º. octante para esboço do gráfico;
Ÿ linhas ocultas devem estar pontilhadas;
2 CONTEÚDO ABORDADO
Ÿ Planos:
Ÿ Equações geral e reduzida dos planos;
Ÿ Análise das equações;
Ÿ Traçado dos planos;
Ÿ Traçado de figuras tridimensionais compostas pelos planos.
3 METODOLOGIA
Inicialmente, trabalhamos com um exercício para familiarização com o espaço cartesiano,
no que se refere à identificação dos octantes e ainda, trabalhamos com exercício para
familiarização com a equação do plano.
As atividades se constituem de uma sequência didática de exercícios para melhor
desenvolvimento dos tópicos a serem trabalhados: parte-se da reta real para chegar à representação
tridimensional.
O aluno deverá esboçar os gráficos no papel e, em seguida, fazer plotagem desses no
aplicativo computacional Winplot. Durante a execução das atividades, o aluno deverá fazer
observações, conjecturas e conclusões a respeito dos temas tratados.
03
ATIVIDADE 1: PLANOS
1 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO / REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Todo plano é representado por uma equação do tipo: ax + by + cz + d = 0 com a, b, c e d reais.
1.1 Identifique as variáveis da equação.
______________________________________________________________________________
1.2 Identifique os parâmetros da equação.
______________________________________________________________________________
1.3 Que características gerais podem descrever essa equação?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
1.4 Se o parâmetro d for nulo (d=0), tem–se que tipo de equação?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
1.5 Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
a )( )5 x + 2 y + 3 z - 5 = 0
e)( )7 x 2 + 10 y - z - 10 = 0
1
b)( ) x - 5 y + 4 z - 10 = 0
2
c)( )7 xy + 4 z + 3 = 0
f )( )5 x + 4 y = 0
g )( ) - 4 x + 2 z - 3 y + 10 = 2
2
h)( ) z - 10 y + 4 x = 6
3
d )( )3 y - 2 z + 2 = 0
1.6 O espaço tridimensional é dividido por três planos coordenados (x0y, x0z, y0z) em 8 partes
denominadas octantes.
O 1º. octante é limitado pelos planos xy, xz, yz.
O cubo desenhado abaixo está no 1º Octante.
Dessa forma, os quatro primeiros octantes são adquiridos fazendo uma rotação no sentido anti-horário.
z
(0.00,0.00,3.00)
y
x
(3.20,3.20,0.00)
04
a) Complete, utilizando as variáveis x, y, z, de acordo com o gráfico anterior:
Ÿ 1º octante é limitado pelos planos xy, xz, yz.
Ÿ 2º octante é limitado pelos planos ___________________________________
Ÿ 3º octante é limitado pelos planos ___________________________________
Ÿ 4º octante é limitado pelos planos ___________________________________
b) Os outros quatro octantes, relativos aos 4 primeiros respectivamente, são obtidos abaixo. Assim:
Ÿ 5º octante é limitado pelos planos ___________________________________
Ÿ 6º octante é limitado pelos planos ___________________________________
Ÿ 7º octante é limitado pelos planos ___________________________________
Ÿ 8º octante é limitado pelos planos ___________________________________
2 VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS
A equação reduzida é obtida através da equação geral, quando algum dos parâmetros é anulado.
Ÿ Serão analisados a seguir, os casos em que os coeficientes da equação geral de um plano se
anulam:
2.1 Planos paralelos aos eixos coordenados:
Um dos coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 é nulo, sendo d ¹ 0
2.1.1 Considere a equação x + y - 2 = 0
.
a) Como será a representação gráfica dessa equação considerando o  2 (plano xy)?
______________________________________________________________________________
05
Faça o esboço do gráfico.
x
y
b) Essa equação é uma equação de plano. Dê os valores dos parâmetros e um ponto pertencente ao
plano:
______________________________________________________________________________
3
c) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no dessa equação  Siga os passos:
c.1) Complete a equação introduzindo a variável z.
______________________________________________________________________________
c.2) Dê as coordenadas das intersecções da reta com os eixos x e y no sistema tridimensional.
______________________________________________________________________________
c.3) Esboce o gráfico, abaixo, usando os interceptos.
z
x
y
06
d) Plote o gráfico acima no Winplot.
Abra o Winplot. Acione a opção JANELA Õ 3-Dim
Use a opção EQUAÇÃO Õ PLANO e informe os parâmetros a, b e c e um ponto pertencente ao plano
(k, m, n).
Altere os valores t mín: -4 ; t máx: 4 ; u mín: -4 ; u máx: 4
e) Quanto ao esboço do gráfico do plano de equação x + y - 2 = 0, responda:
e.1) Quais são as coordenadas que apresentam valores fixos nos eixos?
______________________________________________________________________________
e.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
e.3) O plano proposto está contido em quais octantes?
______________________________________________________________________________
e.4) O plano proposto está paralelo a quais eixos?
______________________________________________________________________________
e.5) O plano proposto intercepta quais eixos?
______________________________________________________________________________
f) Plote, também, no Winplot, os seguintes planos:
1) x + y + 7 = 0
2) x + y - 5 = 0
3) x + y - 10 = 0
f.1) O que se pode observar sobre as representações gráficas desses planos?
______________________________________________________________________________
f.2) Pode-se dizer que os gráficos representam famílias de planos? Por quê?
______________________________________________________________________________
g) Dê a equação geral dos planos que tiverem as mesmas características que o plano de equação
x+y-2=0
______________________________________________________________________________
h) Plote os seguintes planos e descreva o que foi observado:
1) 2x + y - 3 = 0
2) x + 3y - 5 = 0
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
07
2.1.2 Usando a mesma metodologia, plote os gráficos abaixo no papel e em seguida, usando o
aplicativo Winplot.
a) 2y + 3z - 6 = 0
z
x
b) x + z - 3 = 0
y
z
x
y
c) Plote no Winplot alguns outros planos da mesma família do plano considerado na letra a e do plano
considerado na letra b.
Você poderá usar a opção:
EQUAÇÃO Õ EXPLÍCITA (Digite a equação do plano, isolando a variável z)
08
Registre as equações:
Planos da mesma família do plano a):
______________________________________________________________________________
Planos da mesma família do plano b):
______________________________________________________________________________
d) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e, em seguida, as características gerais de
cada um deles.
Plano a): _______________________________________________________________________
Plano b): _______________________________________________________________________
2.2 Planos paralelos aos planos coordenados:
Dois coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são nulos d ¹ 0
2.2.1 Considere a equação 4x - 8 = 0.
a) Como será a representação gráfica dessa equação, considerando: (responda e faça o esboço do
gráfico)
2
a.2) o  :________________________
a.1) o  :________________________
b) Esboce o gráfico da equação.
09
c) Complete a equação de acordo com a forma geral de plano.
______________________________________________________________________________
c.1) Dê os valores dos parâmetros:
______________________________________________________________________________
c.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
d) O plano proposto passa pela origem do plano cartesiano?
______________________________________________________________________________
e) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no Â3 Siga os passos:
e.1) Verifique que pontos pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado.
______________________________________________________________________________
e.2) Faça o esboço do gráfico, considerando os interceptos.
Observe a reta que está contida no plano e as variáveis livres
z
x
y
f) Quanto ao esboço do gráfico, responda:
f.1) O plano intercepta um dos eixos cartesianos. Qual deles?
______________________________________________________________________________
10
f.2) O plano é paralelo a qual (is) plano(s) coordenado(s)?
______________________________________________________________________________
g) Dê a equação geral do plano esboçado.
______________________________________________________________________________
h) Plote o gráfico usando o aplicativo Winplot e registre as observações:
Use a opção: EQUAÇÃO IMPLÍCITA - Após digitar a equação e dar OK, você deverá clicar em
NÍVEIS Õ AUTO Õ MANTER MUDANÇAS
Ou use a opção EQUAÇÃO Õ PLANO e informe os parâmetros a, b e c e um ponto pertencente ao
plano (k, m, n).
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.2.2 Plote 4 (quatro) planos da mesma família do plano proposto. Registre suas equações.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.2.3 Plote, no Winplot, os seguintes planos e descreva o que foi observado:
a) y - 3 = 0
b) z - 4 = 0
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um deles
Plano a):
______________________________________________________________________________
Plano b):
______________________________________________________________________________
2.3 Planos que contém um dos eixos coordenados
Dois coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são nulos, sendo um deles o termo
independente d = 0
2.3.1 Considere a equação y - 2x = 0.
a.1) Como será a representação gráfica dessa equação, considerando o  2 (plano xy).
11
a.2) Esboço o gráfico da equação.
y
x
b) Complete a equação de acordo com a forma geral de plano.
______________________________________________________________________________
b.1) Dê os valores dos parâmetros.
______________________________________________________________________________
b.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
c) O plano proposto passa pela origem do plano cartesiano?
______________________________________________________________________________
d) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no Â3 Siga os passos:
d.1) Verifique quais pontos pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado.
______________________________________________________________________________
d.2) Faça o esboço do gráfico, considerando os interceptos.
Observe a reta que está contida no plano e as variáveis livres.
z
x
y
12
e) Visualizando o esboço do gráfico, responda?
e.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados?
______________________________________________________________________________
e.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados?
______________________________________________________________________________
e.3) Qual a posição do plano em relação aos octantes?
______________________________________________________________________________
e.4) O plano contém um dos eixos. Indique-o.
______________________________________________________________________________
f) Plote o gráfico no Winplot.
g) Dê a equação geral dos planos que tiverem essas mesmas características.
______________________________________________________________________________
2.3.2 Plote 4 (quatro) planos da mesma família do plano proposto. Registre suas equações.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.3.3 Plote, no Winplot, os seguintes planos e, em seguida, descreva o que foi observado:
a) z - 2y = 0
b) z - 2x = 0
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um deles.
Plano a): _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Plano b): _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2.4 Planos que contém a origem e dois eixos coordenados
Três coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são nulos, sendo um deles o termo
independente (d = 0).
13
2.4.1 Considere a equação 2x = 0.
a) Como será a representação gráfica desta equação considerando:
a.2) O Â 2 :________________________
a.1) O Â :________________________
a.3) Esboce o gráfico da equação.
b) Complete a equação de acordo com a forma geral de plano.
______________________________________________________________________________
b.1) Dê os valores dos parâmetros.
______________________________________________________________________________
b.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
______________________________________________________________________________
c) O plano proposto passa pela origem do plano cartesiano?
______________________________________________________________________________
d) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no Â3 Siga os passos:
d.1) Verifique quais pontos pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado.
______________________________________________________________________________
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d.2) Faça o esboço do gráfico, considerando os interceptos.
Verifique a reta que está contida no eixo coordenado e no plano. Verifique as variáveis livres
z
x
y
e) Visualizando o esboço do gráfico, responda?
e.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados?
______________________________________________________________________________
e.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados?
______________________________________________________________________________
e.3) Qual a posição do plano em relação aos octantes?
______________________________________________________________________________
f) Plote o gráfico no Winplot
g) Dê a equação geral dos planos que tiverem essas mesmas características que esse.
______________________________________________________________________________
2.4.2 Plote, no Winplot, alguns planos pertencentes à mesma família desse plano. Registre suas
equações.
______________________________________________________________________________
2.4.3 Plote, no Winplot, os seguintes planos e descreva o que foi observado.
a) 3y = 0
b) 5z = 0
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
15
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um
deles.
Plano a): _______________________________________________________________________
Plano b): _______________________________________________________________________
2.5 A equação geral do plano ax + by + cz + d = 0 tem apenas o termo independente nulo (d = 0):
2.5.1 Considere a equação do plano - x - y + z = 0.
a) Identifique os pontos que pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado.
______________________________________________________________________________
b) Para representar graficamente o plano, siga a seguinte sequência:
b.1) Considerando a variável x = o, tem-se que tipo de figura plana?
______________________________________________________________________________
b.2) E para y = 0?
______________________________________________________________________________
b.3) E para z = 0?
b.4) Faça o esboço dos gráficos dessas equações nos planos coordenados a partir da origem do
sistema cartesiano.
______________________________________________________________________________
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c) Vamos fazer a representação tridimensional desse plano.
3
c.1) Esboce as retas nos planos coordenados considerando o espaço Â
c.2) Tome um ponto qualquer da reta z = y.
c.3) Tome um ponto qualquer da reta z = x.
c.4) Trace o plano usando os 2 pontos destacados e a origem do sistema cartesiano.
c.5) Para visualizar o plano, trace um cubo no 1º octante. Trace o plano considerando o cubo obtido.
z
x
y
d) Visualizando o esboço do gráfico, responda:
d.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados?
______________________________________________________________________________
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d.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados?
______________________________________________________________________________
d.3) Qual a posição do plano em relação aos octantes?
______________________________________________________________________________
e) Plote o gráfico no Winplot.
f) Dê a equação geral dos planos que tiverem essas mesmas características que esse.
______________________________________________________________________________
g) Plote, no Winplot, alguns planos pertencentes à mesma família desse plano. Registre suas
equações.
2.5.2 Plote os gráficos abaixo usando o aplicativo Winplot.
a) 2x + 3y + z = 0
b) -3z + 2x + 4y = 0
c) Dê a equação geral para cada um dos planos plotados, e as características gerais de cada um.
Plano a): _____________________________________________
Plano b): _____________________________________________
2.6 Todos os coeficientes da equação geral ax + by + cz + d = 0 são não nulos.
2.6.1 Considere o plano de equação 2x + 3y + z - 6 = 0.
a) Este plano passa pela origem do sistema cartesiano? ________________
b) Para traçar o plano, determinamos os interceptos com os eixos coordenados. Identifique os pontos
que pertencem aos eixos coordenados e ao plano dado, fazendo:
y=0, z=0 Õ x= __________ Ponto pertencente ao eixo x: ________________________________
x=0, z=0 Õ y= __________ Ponto pertencente ao eixo y: ________________________________
x=0, y=0 Õ z= __________ Ponto pertencente ao eixo z: ________________________________
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c) Trace, no papel os interceptos do plano com os eixos x, y, z, evidenciando a porção do plano
formado pertencente ao 1º octante.
z
x
y
d) Plote o gráfico no Winplot e, visualizando o gráfico plotado, responda:
d.1) Qual a posição do plano em relação aos planos coordenados?
______________________________________________________________________________
d.2) Qual a posição do plano em relação aos eixos coordenados?
______________________________________________________________________________
d.3) O plano intercepta que eixos? Em que pontos?
______________________________________________________________________________
d.4) O plano passa por quais octantes?
______________________________________________________________________________
2.6.2 Plote os gráficos abaixo no Winplot.
a) 3x - y + z - 3 = 0
b) x - y + z - 2 = 0
c) - x - y + 2z - 6 = 0
d) Dê as características gerais dos planos plotados:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
19
2.7 Nesse item, vamos traçar figuras geométricas em três dimensões limitadas por planos no
1º octante.
Ÿ Faça o esboço dos gráficos no papel.
Ÿ Plote os gráficos no Winplot.
Para montar as figuras no 1º octante utilize a opção: BOX Õ DIMENSÔES DO BOX Õ Altere as
dimensões e clique em TRAVAR POSIÇÃO Õ OK
a) x = 1; y = 1; z = 1
b) x + y = 2; z = 5
c) z = x + y; x = 2; y = 2; z = 5
d) x = 1; z = 3; y = 1; y = 3; x = 3
20
1 OBJETIVOS
Ÿ Estudar a constituição do cilindro, analisando sua definição e seus elementos: diretriz, geratriz.
Ÿ Verificar a classificação dos cilindros quanto à sua forma a partir da:
Ÿ geratriz: cilindros retos e oblíquos;
Ÿ diretriz: cilindros parabólicos, elípticos, circulares, hiperbólicos e outros;
Ÿ equação: cilindros quádricos e não quádricos.
Ÿ Traçar gráficos (manual e computacionalmente):
Ÿ identificar representação da equação diretriz no plano;
Ÿ identificar representação do cilindro no espaço;
Ÿ identificar variáveis livres;
Ÿ gerar figuras com forma de cilindros e com limitação de planos.
Ÿ Manipular comandos no aplicativo Winplot.
Considerações iniciais para atividades
Ÿ Linhas ocultas devem estar pontilhadas.
2 CONTEÚDO ABORDADO
Ÿ Cilindros:
Ÿ Definição;
Ÿ Elementos;
Ÿ Classificação;
Ÿ Equação;
Ÿ Traçado dos cilindros;
Ÿ Traçado de figuras geométricas a partir de cilindros com limitação de planos.
3 METODOLOGIA
Primeiramente, trabalharemos com atividades que proporcionarão ao estudante o
entendimento dos conceitos iniciais sobre cilindro, como sua definição, elementos e classificação. A
partir daí, apresentaremos as equações de cilindros retos para que o estudante faça o esboço dos
gráficos manualmente, seguindo passos orientados.
As atividades se constituem de uma sequência didática para melhor desenvolvimento dos
tópicos a serem trabalhados: parte-se das definições iniciais, passa-se pela representação
bidimensional das curvas que geram o cilindro e chega-se à representação tridimensional.
O estudante deverá esboçar gráficos no papel e fazer plotagem no aplicativo computacional
Winplot.
Durante a execução das atividades, o aluno deverá fazer observações, conjecturas e suas
validações.
21
ATIVIDADE 2: CILINDROS
1. CONHECENDO O CILINDRO
3
O Cilindro é uma superfície em  gerada por uma reta que se move ao longo de uma curva
plana, de tal forma que permanece sempre paralela a uma reta fixa, não situada no plano da
curva dada.
d: diretriz – curva percorrida.
g: geratriz - reta móvel que percorre a
curva, paralela à reta r.
Os cilindros podem ser classificados, quanto à forma da reta geratriz, como:
Ÿ Reto: As geratrizes são perpendiculares ao plano da curva.
Ÿ Oblíquo: As geratrizes são obliquas à curva.
Trabalharemos em nossas atividades com cilindros retos.
22
1.1 Denominaremos o cilindro como: parabólico, elíptico, circular, hiperbólico, dentre outros,
conforme a figura definida pela curva diretriz. Assim, temos como exemplo:
I) Cilindro Parabólico
II)
Cilindro Circular
III) Cilindro Hiperbólico
1.2 Caso o cilindro tenha a diretriz como uma das cônicas (circunferência, elipse, parábola, hipérbole)
será chamado Cilindro Quádrico. Classifique os cilindros como quádricos e não quádricos.
I)
II)
I)______________________
III)
II) _____________________
III) _______________________
Tradicionalmente, entende-se como cilindro apenas aqueles gerados por uma
circunferência – o que não é correto pela definição.
1.3 No Â3, uma equação a duas variáveis representa um cilindro de geratrizes paralelas ao eixo
correspondente à variável ausente. O cilindro quádrico terá pelo menos uma das variáveis do 2º grau.
Exemplo: Observe gráfico do cilindro parabólico de equação x = y esboçado abaixo.
2
Veja que este tem geratrizes paralelas ao eixo z (variável ausente da equação).
01
23
Representação no plano
Representação no espaço
x = y2
x = y2
y
x
x
Observação Importante: A reta diretriz estará paralela ao eixo da variável ausente.
2. TRAÇANDO OS GRÁFICOS DAS SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS
2.1 Cilindro Circular
No plano xy a circunferência de centro na origem e raio r tem equação do tipo x2 + y2 = r2 .
2.1.1 Esboçar, no papel, o cilindro circular com geratrizes paralelas a z:
a) Esboce o gráfico da curva de equação x2 + y2 = 4 no plano xy
y
x
Que curva essa equação representa?
______________________________________________________________________________
24
b) No Â3 esboce o cilindro, usando a curva dada no item anterior. Observe que teremos como variável
livre a variável z
z
x
y
Que equações representam o cilindro gerado?
______________________________________________________________________________
c) Plote no aplicativo Winplot o cilindro esboçado anteriormente.
Use as opções: EQUAÇÃO Õ IMPLÍCITA Õ (Aumente as dimensões do BOX.) Õ OK
Clique em NÍVEIS Õ AUTO Õ MANTER MUDANÇAS.
d) Observando o cilindro traçado no Winplot, registre no papel os seguintes gráficos, no 1º octante:
d.1) Trace a porção do cilindro limitada pelo plano z = 6, no 1º octante. (Hachure a figura)
z
x
y
25
d.2) Variando o valor de z, que tipo de figura obter-se nos planos paralelos a xy?
______________________________________________________________________________
Observação: As curvas obtidas são denominadas de curvas de níveis.
d.3) Trace as curvas de níveis observadas.
z
x
y
d.4) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com o plano z = 6. (Hachure
com cores diferentes os contornos visíveis das superfícies).
z
x
y
26
d.5) Plote o gráfico correspondente à questão anterior no aplicativo Winplot. Para isso:
Ÿ Altere na caixa Dimensões do BOX os valores das coordenadas x, y, z, para que o gráfico do
cilindro fique no 1º octante e seja limitado pelo plano z = 6: 0 £ x £ 2; 0 £ y £ 2; 0 £ z £ 6 .
Ÿ Plote os planos z=6 e z=0, utilizando a opção: EQUAÇÃO Õ CILÍNDRICA Õ
Altere: RAIO MÍNIMO (r mín) = 0
t mín = 0
RAIO MÁXIMO (r máx) = 2
t máx = pi/2
Ÿ Plote os planos x = 0 e y = 0, utilizando a opção EQUAÇÃO Õ PLANO.
Defina: t min = -6; t máx = 6 e u mín = -6; u máx = 6. Altere as dimensões do BOX.
2.1.2 Obter cilindros circulares com geratrizes paralelas aos outros 2 eixos (eixo x e eixo y):
A equação geral do cilindro circular com geratrizes paralelas ao eixo z é: x2 + y2 = a2
a) Dê as equações gerais dos cilindros com geratrizes paralelas ao eixo x e geratrizes paralelas ao
eixo y, considerando um raio a e uma constante k para a variável livre:
Cilindro com geratriz paralela ao eixo x:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Cilindro com geratriz paralela ao eixo y:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
b) Esboce, no papel, dois cilindros com geratrizes paralelas aos eixos x e y, respectivamente. Siga os
mesmos passos utilizados no esboço do cilindro com geratrizes paralelas ao eixo z, conforme
orientado anteriormente:
Esboce a curva no plano.
ª Esboce o cilindro no Â3 , considerando a variável livre.
ª
Cilindro com geratriz paralela ao eixo x
Equação:
z
x
y
27
Cilindro com geratriz paralela ao eixo y
Equação:
z
x
y
c) No Winplot:
c.1) Plote os cilindros esboçados anteriormente.
c.2) Plote a porção de cada um dos cilindros no 1º octante, limitado por um plano paralelo aos planos
coordenados. Registre as equações.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
c.2) Trace o sólido resultante de cada um dos cilindros, no 1º octante, da intersecção do cilindro com
um plano qualquer e os planos coordenados.
2.2 Cilindro Elíptico
No plano xy a elipse de centro na origem tem equação do tipo
2.2.1 Esboçar o cilindro elíptico com geratrizes paralelas a z.
a) Esboce o gráfico da equação
x2 y2
+
= 1 no plano xy .
9
4
28
x2 y2
+
= 1 , sendo a ¹ 0, b ¹ 0 .
a2 b2
b) Que curva esta equação representa?
______________________________________________________________________________
c) Trace o cilindro no Â3
z
x
y
d) Trace a porção desse cilindro limitado no primeiro octante pelo plano z = 5.
z
x
y
e) No Winplot, trace o sólido resultante, no 1º. Octante, da intersecção do cilindro com os planos
coordenados e o plano z=5.
29
2.2.2 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot, para a obtenção de cilindros com
geratrizes paralelas ao eixo y e outros cilindros com geratrizes paralelas ao eixo x. Em
seguida, dar as equações dos cilindros plotados.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.3 Cilindro Parabólico
No plano xy :
2
A parábola de vértice na origem e eixo de simetria y, tem equação do tipo x = ky onde k Î Â
A parábola de vértice na origem e eixo de simetria x, tem equação do tipo x2 = kx onde k Î Â
2.3.1 Esboçar o cilindro parabólico de geratrizes paralelas a z de equação y = 2x2
a) Esboce o gráfico da equação y = 2x2 no plano xy .
y
x
b) Trace a curva diretriz no espaço:
z
x
y
30
c) As geratrizes desse cilindro são paralelas a qual eixo coordenado?
____________________________________________________________________________
d) Trace o cilindro, considerando o Â3 .
z
x
y
e) Plote, no aplicativo Winplot, o cilindro esboçado anteriormente.
f) Observação: Em toda equação de parábola, uma variável é do 2º grau e a outra é do 1º grau, sendo
que esta corresponde ao eixo de simetria da parábola.
Assim, qual é o eixo de simetria do cilindro esboçado? ____________________________________
g) Observando o cilindro traçado no Winplot, registre no papel os seguintes gráficos, no 1º octante:
g.1) Trace a porção do cilindro limitada pelo plano z = 6 e y = 5, no 1º octante. (Hachure a figura.)
z
x
y
31
g.2) Quais são as curvas de níveis?
______________________________________________________________________________
g.3) Trace as curvas de nível observadas:
z
x
y
g.4) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com os planos z=6 e y=5 e os
planos coordenados. (Hachure com cores diferentes os contornos visíveis das superfícies.)
z
x
y
g.5) Plote o gráfico correspondente à questão anterior no aplicativo Winplot.
2.3.2 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com
geratriz paralela ao eixo y e outros cilindros com geratriz paralela ao eixo x. Em seguida, dar as
equações dos gráficos plotados no Winplot.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
32
2.3.3 Considerar o cilindro de equação: x = 2y
2
a) Trace o cilindro no espaço tridimensional.
z
x
y
b) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com os planos z=6 e x=8
z
x
y
c) Quais são as curvas de níveis? ____________________________________________
d) Qual é o eixo de simetria do cilindro? _________________________________________
33
2.3.4 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com
geratrizes paralelas ao eixo y e outros cilindros com geratriz paralela ao eixo x. Em seguida,
dar as equações dos gráficos dos cilindros plotados.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
2.4 Cilindro Hiperbólico
No plano xy:
A hipérbole de eixo real x e imaginário y tem equação do tipo
x2 y2
= 1 com a ¹ 0, b ¹ 0
a2 b2
A hipérbole de eixo real y e imaginário x tem equação do tipo -
x2 y2
+
= 1 com a ¹ 0, b ¹ 0
a2 b2
2.4.1 Esboçar o cilindro hiperbólico de geratrizes paralelas a z:
2
2
a) Esboce o gráfico da equação x - y = 1 no plano xy
4
9
y
x
b) Trace a curva diretriz no espaço.
z
x
y
34
c) As geratrizes do cilindro são paralelas a qual eixo coordenado?
______________________________________________________________________________
d) Trace o cilindro no espaço tridimensional.
z
x
y
e) Trace a porção desse cilindro limitado no primeiro octante pelos planos z=5 e x=5.
z
x
y
35
f) Trace as curvas de níveis que definem o cilindro.
z
x
y
g) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da intersecção do cilindro com os planos x=5 e z=5 e os
planos coordenados. (Hachure com cores diferentes os contornos visíveis das superfícies.)
z
x
y
2.4.2 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com
geratriz paralela ao eixo y e outros cilindros com geratriz paralela ao eixo x. Em seguida dar as
equações dos gráficos plotados.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
36
2
2
2.4.3 Esboçar, no Winplot, o cilindro: y - x = 1
9
4
2.4.4 Fazer a mesma atividade, usando o aplicativo Winplot na obtenção de cilindros com
geratrizes paralelas ao eixo y e outros cilindros com geratrizes paralelas ao eixo x. Em seguida
dar as equações dos gráficos plotados.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2.5 Dar as equações gerais para os diversos tipos de cilindros quádricos, completando a
tabela:
Considere um raio a.
Tipo de cilindro
Geratrizes
paralelas ao:
Eixo z
CIRCULAR
x +y =a
2
Eixo y
Eixo x
Eixo z
ELÍPTICO
Eixo y
Eixo x
Eixo z
PARABÓLICO
Eixo y
Eixo x
Eixo z
HIPERBÓLICO
Equação Geral
Eixo y
Eixo x
37
2
2
2.6 Outros tipos de cilindros
Pela definição, qualquer curva plana pode originar um cilindro. Vamos agora trabalhar
com cilindros gerados por curvas diretrizes que não são cônicas.
Esses cilindros são denominados de CILINDROS NÃO QUÁDRICOS.
2.6.1 Traçar o cilindro z = x3 .
a) Trace a curva diretriz no plano determinado.
y
x
b) Identifique a curva diretriz no espaço.
z
x
y
38
c) Trace o cilindro no espaço tridimensional.
z
x
y
d) Trace o sólido resultante, no 1º octante da intersecção do cilindro com os planos coordenados e os
planos z=5 e y=5.
z
x
y
2.6.2 Plotar o gráfico esboçado no Winplot.
2.6.3 Considerar a equação geral z = kx .
Variar o valor de k e analise o que acontecer com a superfície.
3
a) digite a equação z = kx3 na forma explícita e altere o parâmetro K utilizando a opção ANIM Õ
PARÂMETROS A-W.
b) Escolha parâmetro K e movimente na barra de rolagem.
c) Registre o que foi observado.
______________________________________________________________________________
39
2.6.4 Plotar no Winplot os cilindros de equações:
a) z = ey
b) z = senx
d) z = |x|
c) z = logx
Observação: Utilize a opção EQUAÇÃO Õ EXPLÍCITA. Deve-se digitar sin(x) em lugar de senx;
abs(x) em lugar de |x|.
2.6.5 Plotar outros 3 cilindros diferentes no Winplot e registrar as equações.
______________________________________________________________________________
2.7 Atividades Complementares: Criando Superfícies Cilíndricas
Objetivo: Criar duas figuras com no mínimo três tipos de superfícies, entre Planos e Cilindros.
2.7.1 Esboçar o gráfico de uma superfície gerada por cilindros e planos:
a)
ì x 2 + y 2 = 1, z Î Â
ï 2
2
í x + z = 1, y Î Â
ï x = 1, y = 3, z = 3
î
b) ì x 2 + y 2 = 4, z Î Â
ï 2
2
í x + y = 16, z Î Â
ï z = 0, z = 6
î
Sólido no 1º octante.
z
x
y
40
c) Monte a sua superfície Õ Escreva a equação e faça o esboço do gráfico (manualmente e no
Winplot).
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
z
x
y
2.7.2 Traçar cilindros quádricos obtidos por uma cônica transladada.
a) (x - 2)2 + y2 = 4
z
x
y
41
b) y2 = 4(x - 2)
z
x
y
42
1 OBJETIVOS
Ÿ Analisar a constituição e os parâmetros da equação geral das quádricas.
Ÿ Fazer observações sobre as equações.
Ÿ Analisar a variação dos parâmetros:
Ÿ verificar as formas das equações, identificando as quádricas cêntricas e não cêntricas;
Ÿ identificar os tipos de quádricas a partir de suas equações:
Ÿ elipsóide;
Ÿ hiperbolóide (1 folha, 2 folhas);
Ÿ cone quádrico;
Ÿ parabolóide (elíptico e hiperbólico).
Ÿ Traçar gráficos (manual e computacionalmente):
Ÿ identificar pontos sobre os eixos coordenados;
Ÿ identificar pontos sobre os planos coordenados;
Ÿ identificar pontos sobre os octantes.
Ÿ Manipular comandos no aplicativo Winplot
Considerações iniciais para atividades
Para esboço manual do gráfico:
Ÿ usar apenas o 1º. octante para esboço do gráfico;
Ÿ linhas ocultas devem estar pontilhadas;
2. CONTEÚDO ABORDADO
Ÿ Quádricas:
Ÿ equações geral e reduzida das quádricas;
Ÿ análise das equações;
Ÿ traçado das superfícies;
Ÿ traçado de figuras tridimensionais compostas.
Ÿ Tipos de quádricas:
Ÿ elipsóide;
Ÿ hiperbolóide (1 folha, 2 folhas);
Ÿ cone quádrico;
Ÿ parabolóide (elíptico e hiperbólico).
3 METODOLOGIA
Inicialmente, trabalharemos com um exercício para familiarização com as equações.
O aluno deverá esboçar os gráficos no papel e fazer plotagem desses no aplicativo
computacional Winplot. Durante a execução das atividades, o aluno deverá fazer observações,
conjecturas e conclusões a respeito dos temas tratados.
43
ATIVIDADE 3: QUÁDRICAS
1. CONHECENDO AS QUÁDRICAS
Quádricas são superfícies no espaço constituídas por cônicas (parábolas, elipses, hipérboles)
DEFINIÇÃO: Uma quádrica ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço
tridimensional, cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação polinomial do segundo
grau com, no máximo, três variáveis:
(I) Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
em que pelos menos um dos coeficientes A , B , C , D , E e F é não-nulo.
Observação: Se o termo independente J da equação acima for nulo, a quádrica passa pela
origem (0,0,0), pois as coordenadas desse ponto validam a equação.
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano.
Neste texto, serão trabalhadas as quádricas na sua equação reduzida: Ax2 + By2 + Cz2 = D
44
1.1 Das equações abaixo, identifique as que representam quádricas:
a )( ) x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 6 y - 10 z + 13 = 0
2
f )( ) x 2 + 2 xy + z = 0
2
x
y
+
=2
9 25
c)( ) 3 x 3 + y 3 - 3 xy - 8 = 0
b)( )
x2 y2 z 2
+
+ =4
9 25 16
h)( ) x 2 + y 2 + z 2 = 1
g )( )
d )( ) x 2 + y 2 - 4 x + 4 z = 0
i )( ) 2 x 2 + 6 y 2 = z 2
e)( ) 3 x + 4 y - 5 z + 2 = 0
A intersecção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos
paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a intersecção pode ser uma reta, duas
retas, um ponto ou não terá intersecção.
As cônicas que aparecem nas intersecções dão nomes às superfícies quádricas, com a seguinte
classificação:
Ÿ Cilindro quádrico
Ÿ Elipsoide
Ÿ Esferoide
Ÿ Esfera
Ÿ Hiperboloide
Ÿ 1 folha
Ÿ 2 folhas
Ÿ Cone Quádrico
Ÿ Paraboloide
Ÿ Elíptico
Ÿ Hiperbólico (sela)
1.2 Exemplos de superfícies quádricas:
I) Hiperboloide
II) Elipsoide
45
III) Cilindro Quádrico
IV) Esfera
IV) Paraboloide Elíptico
V) Paraboloide Hiperbólico
2 ELIPSOIDE
É uma superfície representada pela equação da forma:
2.1 Esboçar o elipsóide de equação:
x2 y2 z 2
+
+ = 1 com a, b, c reais e a > 0, b > 0, c > 0
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
+
+ =1 :
4
9
1
a) Esboce as intersecções da superfície com os planos coordenados xy (z = 0); yz (x = 0); xz (y = 0), de
forma a obter as cônicas nos respectivos planos:
Para x = 0
Para y = 0
Equação:
2
Para z = 0
Equação:
Equação:
Gráfico no plano:
Gráfico no plano;
2
y
z
+ =1
9
1
Gráfico no plano:
y
z
y
2
1
x
x
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
-2
Cônica
Cônica
elipse
46
Cônica
b) Com essas intersecções denominadas secções transversais, será identificado o sólido no
espaço. Esboce as mesmas elipses anteriores, referentes às secções transversais em um mesmo
sistema de coordenadas.
z
x
y
c) Dê as coordenadas de intersecção da superfície com os eixos coordenados:
Eixo x: P1= (__,__,__)
Eixo y: P3= (__,__,__)
Eixo z: P5= (__,__,__)
P2= (__,__,__)
P4= (__,__,__)
P6= (__,__,__)
Simetria: A simetria existe em relação aos planos, aos eixos e à origem, basta verificar que na
equação as 3 (três) variáveis são do 2º. grau.
d) Plote o gráfico no Winplot:
d.1) Use a opção EQUAÇÃO Õ IMPLÍCITA Õ (Digite a equação) Õ OK
d.2) Configure DIMENSÕES DO BOX: -4 < x < 4; -4 < y < 4; -4 < z < 4 Õ Travar posição Õ OK
d.3) Clique em: Valores de nível para x Õ AUTO Õ VER TODAS
Que tipo de curva pode ser observada e como essas curvas se apresentam?
______________________________________________________________________________
d.4) Faça o mesmo para Valores de nível para y e para z.
Que tipo de curva pode ser observada e como essas curvas se apresentam?
______________________________________________________________________________
47
d.5) Clique em MANTER MUDANÇAS.
e) Que secções transversais se obtêm fazendo intersecções do elipsóide com o plano x = 1?
______________________________________________________________________________
e.1) Plote esse plano no Winplot: Use EQUAÇÃO Õ PLANO Õ Configure adequadamente os valores
dos parâmetros a, b, c e os valores para o ponto (k,m,n) pertencente ao plano. Altere os intervalos de t
e u para (-3,3).
e.2) E para os planos y = 1 e z = 1?
______________________________________________________________________________
f) A que conclusão pode-se chegar quanto às formas e posição das curvas encontradas na questão
anterior?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
g) Esboce cortes do elipsoide com os eixos coordenados, fazendo x = 0, y = 0, z = 0.
Num arquivo novo do Winplot:
g.1) Plote o elipsoide de equação
x2 y2 z 2
+
+ =1
4
9
1
Mude as dimensões do BOX para 0 < x < 4 ;
0< y<4 ; 0< z<4 .
g.2) Plote de novo os níveis (clique em NÍVEIS Õ AUTO) observando, detalhadamente, os
níveis plotados para cada eixo, separadamente.
48
g.3) Esboce manualmente o gráfico.
z
x
y
2.2 Caso Particular do Elipsoide
Se na equação
x2 y2 z 2
+
+ = 1 , tivermos dois parâmetros iguais, teremos um caso particular do
a2 b2 c2
elipsoide que é denominado ESFEROIDE.
2.2.1 Dê valores iguais para dois dos parâmetros a, b ou c para a equação geral e, em seguida, plote o
gráfico no Winplot.
Registre as equações e responda: Como serão as secções transversais? (Verifique as curvas de
níveis).
______________________________________________________________________________
Se na equação
x2 y2 z 2
+
+ = 1 , tivermos três parâmetros iguais, teremos um outro caso particular
a2 b2 c2
do elipsoide, que é denominado ESFERA.
2.2.2 Dê exemplos de equações, plotando os gráficos no Winplot.
O que se pode dizer sobre as secções transversais? (Analise as curvas de níveis).
______________________________________________________________________________
49
2.2.3 Faça o esboço manual de um dos exemplos citados acima:
z
x
y
3 SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
Superfície de revolução é uma superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de
uma reta fixa no plano da referida curva. A curva plana rotacionada é chamada geratriz e a reta
fixa é o eixo de revolução da superfície.
3.1 Faça a rotação de algumas curvas planas no Winplot. Para isso. Siga as orientações:
Ÿ Abra o aplicativo Winplot na opção JANELA Õ 2 Dim (duas dimensões).
a) Plote a reta de equação explícita Õ f ( x) = x
b) Use a opção UM Õ SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Õ Clique em EIXO X Õ VER SUPERFÍCIE
Exiba os eixos, movimente a figura e observe o gráfico.
Feche a janela do gráfico.
c) Use a opção UM Õ SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Õ Clique em EIXO Y Õ VER SUPERFÍCIE
Exiba os eixos, movimente a figura e observe o gráfico.
Feche a janela do gráfico.
50
d) O que foi observado?
_______________________________________________________________________________
2
e) Em um arquivo novo, plote a parábola de equação explícita Õ f ( x) = x . Repita as operações e
veja a superfície de revolução gerada.
3
f) Em um arquivo novo, plote o gráfico da função Õ f ( x) = x . Veja a superfície de revolução gerada.
g) Em um arquivo novo, plote a reta de equação explícita Õ f ( x) = 4 . Veja a superfície de revolução
gerada.
Algumas quádricas podem ser superfícies de revolução, para isso basta que exibam uma simetria
em relação a algum eixo. Algebricamente, isso ocorre quando, pelo menos, dois dos três
parâmetros a, b ou c são iguais.
3.2 Trace no Winplot, utilizando a janela 3-Dim, a superfície representada pela equação:
x2 y2 z 2
+
+ =1
4
4
9
a) O que se observa na equação quanto aos seus parâmetros?
______________________________________________________________________________
b) Quais são as secções transversais obtidas pelos planos z = 0, z = 2, z = 6? (Plote os planos
usando equações explícitas.)
______________________________________________________________________________
Observação: Toda esfera ou esferóide são superfícies de revolução
c) Na esfera, as secções transversais são de que tipo?
______________________________________________________________________________
d) Das equações abaixo, quais representam superfícies de revolução?
a )( ) 4 x 2 + y 2 + z 2 = 1
d )( ) 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1
b)( ) x 2 + y 2 - 8 z 2 = 2
e)( ) x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 = 25
c)( ) z = x 2 + y 2
f )( ) x 2 + y 2 + z 2 = 16
e) Plote os gráficos acima no Winplot, observando as curvas de níveis. Registre suas observações:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
51
4. PARABOLOIDE ELÍPTICO
As equações dos paraboloides elípticos são representadas da forma:
x2 y2 z
+
=
a2 b2 c
;
x2 z 2 y
+ =
a2 c2 b
;
y2 z2 x
+ =
b2 c2 a
com a, b, c reais e a > 0, b > 0, c ¹ 0
Tais equações têm como característica possuir um termo com variável do 1º. grau. A orientação
da parábola é estabelecida de acordo com o coeficiente que aparece no 1º. grau, que pode ser
positivo ou negativo. Pela sua própria denominação, a superfície é constituída de elipses e
parábolas.
x2 y2 z
+
=
4
9 1
4.1 Traçar o parabolóide de equação
a partir de suas secções transversais:
a) Esboce as seguintes parábolas nos planos coordenados:
a.1) z = y
a.2) z = x
2
2
z
x
z
x
y
52
y
b) Esboce a elipse de equação
x2 y2
+
= 1 no plano z = 5
4
9
z
x
y
c) Com as secções transversais dadas, monte o parabolóide num mesmo sistema de coordenadas.
z
x
y
Simetria: A variável do 1º grau corresponde ao único eixo de simetria.
53
d) Plote o gráfico no Winplot:
Õ Use a opção: EQUAÇÃO Õ EXPLÍCITA para digitar a equação
x2 y2 z
+
=
4
9 1
Õ
z=
x2 y2
+
4
9
Õ Altere os intervalos de x mín e x máx e y mín e y máx para (-10,10) .
e) Use a opção: UM Õ FATIADOR. Altere o Valor Usual de x e Valor Usual de y alterando a posição
dos botões das barras de rolagem dessa janela.
Observe que serão apresentadas parábolas como intersecção dos planos com o parabolóide.
Estas parábolas estarão em planos paralelos a que plano(s) coordenado(s)?
______________________________________________________________________________
f) Observando o gráfico plotado e levando em consideração sua equação:
x2 y2 z
, responda:
+
=
4
9 1
f.1) O que a variável com expoente do 1º grau representa na superfície?
______________________________________________________________________________
f.2) A partir da equação da superfície, para que se tenham as secções transversais em forma de
parábolas, qual variável deve assumir valores constantes?
______________________________________________________________________________
f.3) Que variável se anula para que se tenha uma parábola com vértice na origem?
______________________________________________________________________________
g) Usando a mesma tela onde está plotado o parabolóide, plote o plano de equação explícita z = 4.
Altere os intervalos de x mín e x máx e y mín e y máx para (-10,10)
g.1) A intersecção (corte) do plano com o parabolóide resulta em que tipo de figura?
______________________________________________________________________________
g.2) Altere a equação do plano para z = a.
Use a opção: ANIM Õ PARÂMETROS A-W Õ Altere o valor do parâmetro a, usando a barra de
rolagem disponível na janela.
O que pode ser observado?
______________________________________________________________________________
g.3) Plote também outros planos que possibilitem visualizar as secções transversais em forma de
parábola.
g.4) Plote a porção dessa superfície apenas no 1º octante.
Use a opção: BOX e deixe apenas valores maiores que zero para x, y, z.
Clique em TRAVAR POSIÇÃO Õ OK
Registre suas conclusões:
______________________________________________________________________________
54
g.5) Faça o esboço do gráfico plotado anteriormente, limitado pelo plano z = 4.
z
x
y
4.2 Plote o paraboloide: z = x2 + y2
a) Plote também os seguintes planos de intersecção: x = 3; y = 4; z = 5.
b) Preencha a tabela abaixo, descrevendo a forma das intersecções dos planos com as superfícies e
as equações dessas intersecções:
Paraboloide: z = x2 + y2
Intersecção com os planos
Forma das intersecções
Equação
x=3
y=4
z=5
c) Observe que esse paraboloide é uma superfície de revolução. Que equação(ões) das parábolas
são as geratrizes?
______________________________________________________________________________
4.3 Plote os seguintes paraboloides:
a) x = y 2 + z 2
b) y = x 2 + z 2
c) z = 2 x 2 + y 2
d ) y = 4x2 + z 2
55
5 HIPERBOLOIDE ELÍPTICO DE UMA FOLHA
É uma superfície representada pela equação da forma:
x2 y2 z 2
x2 y2 z 2
1
;
+
=
+ =1
a2 b2 c2
a2 b2 c2
; -
x2 y2 z 2
+
+ =1
a2 b2 c2
com a, b, c reais e a > 0, b > 0, c > 0
Essa equação reduzida tem a mesma forma da equação do elipsoide, variando apenas um sinal,
que é negativo, precedendo um dos termos.
5.1 Traçar o hiperboloide de equação
x2 y2
+
- z 2 = 1 a partir de suas secções transversais.
4
9
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
Para x = 0
Equação:
y
9
2
2
z
1
-
Para y = 0
Equação:
Equação:
Gráfico no plano:
Gráfico no plano:
= 1
Gráfico no plano:
4
Para z = 0
z
z
y
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
x
1
2
3
4
5
-1
6
7
y
-2
Para z = 2
Para z = -2
Equação:
Equação:
Gráfico no plano:
Gráfico no plano:
56
b) Com essas secções transversais, identificaremos o sólido no espaço. Esboce as secções
transversais anteriormente esboçadas em um mesmo sistema de eixos coordenados.
z
x
y
Simetria: Existe em relação aos planos, aos eixos e a origem do sistema de coordenadas.
c) Plote o gráfico no Winplot.
Õ Digite a equação implícita
x2 y2
+
- z 2 = 1 Altere as dimensões do BOX para o intervalo [-3,3].
4
9
Õ Verifique as secções transversais através das curvas de níveis plotadas. Que tipo de curvas podem
ser observadas?
______________________________________________________________________________
d) Nessa superfície o eixo z é chamado de eixo imaginário e não intercepta o hiperboloide. O que se
pode perceber ao comparar essa informação com a equação da superfície?
______________________________________________________________________________
e) Os termos positivos correspondem aos eixos reais transversos no hiperboloide. No hiperboloide
plotado acima, qual são os eixos reais transversos?
______________________________________________________________________________
5.2) Plote os seguintes hiperboloides, observe e registre o eixo imaginário de cada um deles.
a)
x2 y2
+
- z2 = 1
9 25
b) - x 2 +
c)
y2 z2
+ =1
4
9
x2 y2 z 2
+ =1
9
4 16
Eixo Imaginário: ______________________
Eixo Imaginário: ______________________
Eixo Imaginário: ______________________
57
5.3) Considerando ainda o hiperboloide de equação
x2 y2
+
- z2 = 1 :
4
9
a) identifique a família de curvas geradas pelos planos paralelos ao plano coordenado xy.
Equação
Para z = 0
Para z = 1
Para z = -1
Para z = 2
Para z = -2
b) Plote o plano z = a, sobre o hiperboloide considerado. Use a opção: ANIM Õ PARÂMETROS A-W
Õ Altere o valor do parâmetro a, usando a barra de rolagem disponível na janela e observe as
intersecções com os planos.
Se na equação de um hiperboloide de uma folha, tivermos os coeficientes correspondentes
aos termos precedidos de sinal positivos iguais, teremos um hiperboloide de uma folha
de revolução.
x2 y2
+
- z 2 = 1 Verifique que este hiperboloide
5.4) Plote o gráfico do hiperboloide de equação
25 25
é de revolução.
5.5) Dê a equação e plote outro hiperboloide de uma folha de revolução.
______________________________________________________________________________
58
6 HIPERBOLOIDE ELÍPTICO DE DUAS FOLHAS
É uma superfície representada pela equação da forma:
x2 y2 z 2
x2 y2 z 2
=
+ =1
1
;
a2 b2 c2
a2 b2 c2
; -
x2 y2 z 2
+
- =1
a2 b2 c2
com a, b, c reais e a > 0, b > 0, c > 0
Essa equação reduzida tem dois sinais negativos precedendo os termos quadrados que
correspondem aos eixos imaginários ou não transversos da superfície.
6.1 Traçar o hiperboloide de duas folhas de equação
transversais.
x2 y2 z 2
- = 1 a partir de suas secções
4 16 9
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
Para x = 0
Equação:
Para z = 0
Equação:
2
2
x
y
=1
4 16
Para y = 0
Equação:
Não há intersecção do plano xz Gráfico no plano:
com o hiperboloide. (verifique a
equação)
Gráfico no plano:
y
4
y
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
-2
-3
-4
59
Equação:
Gráfico no plano:
Para x = 4
Equação:
Gráfico no plano:
z
x
Para x = -4
z
x
y
y
b) Com estas secções transversais, identifique o sólido no espaço. Para isso, esboce as secções
transversais anteriormente esboçadas em um mesmo sistema de eixos coordenados.
z
x
y
6.2) Plote o gráfico no Winplot.
a) Como se apresentam as curvas de nível?
______________________________________________________________________________
Simetria: Existe em relação aos planos, aos eixos e a origem do sistema de coordenadas.
60
6.3) Plote também os seguintes hiperboloides de duas folhas:
x2 y2 z 2
- =1
9
4 16
x2 y2 z 2
- =1
b) - +
4
9 16
a)
c) -
x2 y2 z 2
+ = 1 Õ Experimente plotar essa superfície usando a opção EQUAÇÃO Õ EXPLÍCITA
4
9 16
æ æ x2 y2 ö ö
+ ÷÷ ÷÷
no Winplot. Para isso, você deve isolar a variável z: z = ±çç1 - çç
4
9 øø
è è
æ æ x2 y2 ö ö
Digite separadamente a equação z = ±ç1 - çç
+ ÷÷ ÷÷
ç
4
9 øø
è è
1
2
1
2
da seguinte forma:
z=(16*(1+xx/4+yy/9))^(1/2) e z=-(16*(1+xx/4+yy/9))^(1/2) – Altere as dimensões do BOX.
Se na equação de um hiperboloide de duas folhas tivermos os coeficientes correspondentes
aos termos precedidos de sinal negativos iguais, teremos um hiperboloide de duas folhas de
revolução.
2
2
2
6.4) Plote o gráfico de equação x - y - z = 1 . Verifique que este hiperboloide é de revolução.
6.5) Plote e dê a equação de outros hiperboloides de revolução.
______________________________________________________________________________
7 CONE QUÁDRICO
É uma superfície representada pela equação da forma:
x2 y2 z 2
x2 y2 z 2
0
;
+
=
+ =0
a2 b2 c2
a2 b2 c2
; -
x2 y2 z 2
+
+ =0
a2 b2 c2
com a, b, c reais e a > 0, b > 0, c > 0
Na equação, dois termos são positivos e um deles é negativo, o que corresponde ao eixo para o
qual se desenvolve o cone. A equação dessa superfície se assemelha à equação do
hiperboloide de uma folha, sendo que o segundo membro da equação é nulo.
61
7.1 Traçar o cone quádrico de equação
x2 y2
+
- z 2 = 0 a partir de suas secções transversais.
4
9
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
Para z = 1
Equação:
Equação:
Gráfico no plano:
Para z = -1
Gráfico no plano:
y
y
x
x
Para y = 0
Para x = 0
Equação:
Equação:
2
y
y
- z2 = 0 ® z = ±
9
3
Gráfico no plano:
Gráfico no plano:
3
z
z
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
-1
-2
62
b) Com essas secções transversais, identifique o sólido no espaço. Para isso, esboce as secções
transversais anteriormente esboçadas em um mesmo sistema de eixos coordenados.
z
x
y
c) Plote o gráfico no Winplot.
Verifique as secções transversais através das curvas de níveis plotadas. Que tipo de curvas podem
ser observadas?
______________________________________________________________________________
7.2) Plote também os seguintes cones quádricos:
x2 y2
+
- z2 = 0
4
9
2
x
z2
2
b) - y + = 0
4
9
2
2
x
y
c) - +
+ z2 = 0
4
9
a)
2
2
2
7.3) Plote o cone quádrico de equação x + y - z = 0 Verifique que esse cone é de Revolução.
7.4) Plote e dê as equações de outros cones quádricos de revolução.
______________________________________________________________________________
Simetria: Existe em relação aos planos, aos eixos e a origem do sistema de coordenadas.
63
7.5) Dado o cone quádrico de equação
x2 y2
+
- z2 = 0
4
9
a) Identifique a família de curvas geradas pelos planos paralelos:
z=0
z = 1 e z = -1
z = 2 e z = -2
b) Faça um esboço dessas curvas.
z
x
y
c) Trace, no winplot, outros planos paralelos aos outros eixos coordenados, constatando se também
há simetria com esses planos.
Quando o termo negativo se anular, se tem um ponto.
Seja o cone quádrico de equação
x2 y2
x2 y2
+
- z 2 = 0 Quando z = 0 temos:
+
= 0 . Então,
4
9
4
9
se x = 0 e y = 0, logo teremos o ponto (0,0,0) que corresponde ao vértice do cone quádrico.
64
8 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (SELA)
É uma superfície representada pela equação da forma:
x2 y2 z
y2 x2 z
=
=
ou
a2 b2 c
b2 a2 c
com
c > 0 ou c < 0
x2 z 2 y
z 2 x2 y
=
=
ou
a2 c2 b
c2 a2 b
com
b > 0 ou b < 0
y2 z2 x
z2 y2 x
=
=
ou
b2 c2 a
c2 b2 a
com
a > 0 ou a < 0
com a, b, c reais e não-nulos.
A equação dessa superfície se assemelha à equação do paraboloide elíptico, sendo que irá
aparecer um sinal negativo precedendo um dos termos quadrados. Com as variações do
parâmetro de 1º grau é possível encontrar 12 (doze) equações que representam o paraboloide
hiperbólico.
As secções pelos planos paralelos aos coordenados são hipérboles ou parábolas, como sugere a
própria denominação da superfície.
z = y2 - x2
8.1 Esboçar o paraboloide hiperbólico de equação
transversais.
a partir de suas secções
a) Observe as intersecções dessa superfície com os planos coordenados:
Para x = 0
Equação: z = y
Gráfico no plano:
Gráfico no espaço:
z
2
1
-1
2
1
2
y
65
Para y = 0
Equação: z = -x2
Gráfico no plano:
Gráfico no espaço:
z
z
x
x
y
b) Esboce as parábolas traçadas anteriormente no mesmo espaço cartesiano:
z
x
y
66
c) Atribua para a variável z os valores 4 e -4 e esboce os respectivos gráficos.
Para z = 4
x2 y2
4 = -x + y ® - +
=1
4
4
2
Equação:
Gráfico no plano:
2
Gráfico no espaço:
Obs.: Como z=4, a figura plana deve ser desenhada
sobre esse plano.
4
y
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
Para z = -4
Equação:
Gráfico no plano:
Gráfico no espaço:
Obs.: Como z=-4, a figura plana deve ser desenhada
sobre esse plano.
.
67
d) Esboce as hipérboles traçadas anteriormente no mesmo espaço cartesiano:
z
x
y
Tomando as hipérboles e as parábolas no mesmo sistema de eixos tridimensionais, estaremos
gerando a sela. Esboce no mesmo sistema as parábolas e hipérboles traçadas anteriormente.
z
x
y
68
Verifique a figura, plotando-a no Winplot. Identifique as parábolas e as hipérboles traçadas
anteriormente.
Use no Winplot a opção EQUAÇÃO Õ EXPLÍCITA.
Atribua os valores: x mín = -1, x máx = 1; y mín = -1; y máx = 1.
Clique em UM Õ FATIADOR, movimente a barra de rolagem e observe as parábolas que
constituem a sela.
Clique em NÍVEIS Õ AUTO Õ VER TODAS e veja as curvas de níveis que constituem a
superfície.
Essa superfície nunca poderá ser de revolução, pois não possui secções circulares, isto é, os
termos ao quadrado da equação têm sinais contrários (positivo e negativo).
O eixo que corresponde à variável do 1º grau é o eixo de simetria da superfície.
69