Aula 23
Área entre Curvas.
Volumes.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Área entre Curvas
Rb
Vimos que a integral a f (x)dx de uma função não-negativa
fornece a área abaixo da curva y = f (x), a ≤ x ≤ b.
No caso geral, tem-se o seguinte resultado:
Definição 1
A área entre as curvas y = f (x) e y = g(x) e as retas x = a e
x =bé
Z
b
|f (x) − g(x)|dx.
A=
a
Exemplo 2
Encontre a área da região limitada por y = ex e y = x, e x = 0
e x = 1.
Exemplo 2
Encontre a área da região limitada por y = ex e y = x, e x = 0
e x = 1.
Resposta: A = e − 3/2.
Exemplo 3
Encontre a área da região entre as parábolas y = x 2 e
y = 2x − x 2 .
Exemplo 3
Encontre a área da região entre as parábolas y = x 2 e
y = 2x − x 2 .
Resposta: A = 1/3.
Exemplo 4
Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x e
y = cos x, x = 0 e x = π/2.
Exemplo 4
Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x e
y = cos x, x = 0 e x = π/2.
√
Resposta: A = A1 + A2 = 2 2 − 2.
Exemplo 5
Encontre a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela
parábola y 2 = 2x + 6.
Exemplo 5
Encontre a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela
parábola y 2 = 2x + 6.
Resposta: A = 18.
Definição 6
Seja S um sólido que está definido entre x = a e x = b. Se a
área da secção transversal de S no plano Px , passando por x
e perpendicular ao eixo x, é A(x), em que A é uma função
contínua, então o volume de S é
V = lim
n→∞
n
X
i=1
Z
A(xi )∆x =
b
A(x)dx.
a
Exemplo 7
Mostre que o volume de uma esfera de raio r é V = 43 πr 3 .
Exemplo 8
Encontre o volume do sólido obtido
√ pela rotação em torno do
eixo x da região sob a curva y = x de 0 a 1. Ilustre a
definição esboçando um cilindro aproximante típico.
Exemplo 8
Encontre o volume do sólido obtido
√ pela rotação em torno do
eixo x da região sob a curva y = x de 0 a 1. Ilustre a
definição esboçando um cilindro aproximante típico.
Resposta: V = π/2.
Exemplo 9
A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x 2 , é girada em
torno do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante.
Exemplo 9
A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x 2 , é girada em
torno do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante.
Resposta: V = 2π/15.
Exemplo 10
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R
do exemplo anterior em torno da reta y = 2.
Exemplo 10
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R
do exemplo anterior em torno da reta y = 2.
Resposta: V = 8π/15.
Exemplo 11
Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com
lado L e cuja altura é h.
Exemplo 11
Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com
lado L e cuja altura é h.
Resposta: V = L2 h/3.
Exemplo 12
Uma cunha é cortada de um cilindro circular de raio 4 por dois
planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro
intercepta o primeiro com um ângulo de 30o ao longo de um
diâmetro. Encontre o volume da cunha.
Exemplo 12
Uma cunha é cortada de um cilindro circular de raio 4 por dois
planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro
intercepta o primeiro com um ângulo de 30o ao longo de um
diâmetro. Encontre o volume da cunha.
√
Resposta: V = 128/3 3.