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Alunos/investigadores no ensino superior
no século XIX
Helmuth Malonek
Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
[email protected]
Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
[email protected]
Teresa Costa
Escola Secundária de Montejunto
[email protected]
Nos Estatutos da Universidade de 1772 são definidos com muito detalhe quais os
trabalhos a realizar pelos alunos na sala de aula. Em particular os “exercícios
escritos” deveriam incluir uma “dissertação”:
Haverá todos os Mezes hum Exercicio Geral. Para elle determinaráõ os
Lentes hum assumpto tal, que peça discussão, e dê materia a huma breve
Dissertação. (Liv. III, Part. II, Tit. V, Cap. IV)
Este tipo de trabalho manteve-se até aos princípios do século XX, conforme
várias “dissertações” hoje ainda existentes mostram. Falaremos de algumas dessas
“dissertações” e mostraremos como, no caso de Gomes Teixeira, ainda aluno,
deram origem a um trabalho de investigação de alto nível, muito elogiado por
Daniel da Silva.
A avaliação na reforma pombalina
Os Estatutos de 1772 são não apenas uma organização genérica dos estudos
universitários e das estruturas universitárias, mas também um inventário muito
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Helmut Malonek, Jaime Carvalho Silva e Teresa Costa
detalhado das matérias a ensinar, da metodologia do ensino, da avaliação da
aprendizagem e dos níveis a atingir. Por exemplo, aí é apontada a criação dos
“Gremios das Faculdades“ e da “Congregação Geral das Sciencias para o
adiantamento, progresso e perfeição das Sciencias Naturaes“1 de modo a “que os
descubrimentos, que se fizerem, e approvarem na Congregação Geral das
Sciencias, passem logo a transfundir-se nas Lições, reduzidos a huma fórma
elementar; e que os Estudantes (principalmente os Ordinarios) se criem desde o
principio no espirito da mesma Congregação; para depois se fazerem habeis a
entrar nella (...) e para continuarem o fio das mesmas indagações.”2
No que diz respeito à avaliação é regulamentada tanto a avaliação dentro de
cada disciplina, como a dos exames finais de cada ano, a dos de licenciatura e a dos
de doutoramento.
A avaliação de cada disciplina compreendia os “Exercicios Vocaes, Práticos e
por Escrito”3. Note-se que a aprovação em cada ano dependia apenas do exame
final pelo que esta avaliação da disciplina não era feita tendo em vista o exame
final mas sim “dous objectos igualmente importantes. O Primeiro he, fazer que os
Discipulos fixem bem na memoria as verdades Elementares das Lições; e entendam
perfeitamente as Demonstrações. O Segundo, que evolvam todas as forças do
engenho, para combinarem por si mesmos as ditas verdades; procurarem novos
usos dellas; e indagarem outras verdades desconhecidas”4. Nota-se aqui um
afastamento do ensino tradicional em que os alunos se limitavam a repetir o que o
mestre afirmava. Além da memorização das “verdades Elementares das Lições”
era também necessário compreender a Matemática ao ponto de os alunos
“indagarem outras verdades desconhecidas”. Os Estatutos de 1772 são na
realidade bastante ambiciosos, mas como seria atingido tal objectivo?
Os “Exercicios Vocaes” são regulamentados detalhadamente em 13
parágrafos podendo ser “Diarios, Semanarios, e (…) todos os Mezes”. Os Estatutos
preocupam-se em particular em determinar que aproveitamento deve o professor
fazer dos sucessos e insucessos dos alunos nesses exercícios. Uma das indicações
responde parcialmente à questão levantada de como se ensinam os alunos a
“indagarem outras verdades desconhecidas”. Dizem o seguinte os Estatutos:
“Cuidaraõ tambem muitos os Lentes, em que os Discipulos se ponham no caminho
dos Inventores: Presentando-lhes para isso algumas materias pelos passos, que se
deram, ou podiam dar, até se chegar ao descubrimento das verdades, que nellas se
contém: Mostrando-lhes os indicios, por onde se suspeita, e conjectura primeiro o
que se poderá achar; e os meios, e tentativas, que se applicam para o descubrir: E
dando-lhes huma idéa circumstanciada da evolução dos descubrimentos
Mathematicos, e de como por degráos se passou de huns aos outros: Porque este
assumpto merece particulares reflexões; em razão de servir de exemplo a quem
pertende empregar-se utilmente nestas Sciencias”5.
Alunos/investigadores no ensino superior no séc. XIX
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Nos “Exercicios Práticos” recomenda-se veementemente (em 6 parágrafos)
que se junte a teoria e prática em cada um dos anos do curso de Matemática.
Nos “Exercicios por Escrito” os alunos tinham de realizar trabalhos escritos
durante as aulas, tanto para exercícios relativos a problemas “que não requerem
discussão alguma, mas tão somente uma resolução breve, e elegante, ainda que
sejam muito difficultosos”6, como para um assunto “que peça discussão” e sobre o
qual os alunos deviam elaborar uma pequena dissertação.
Em que medida esta ideia de avaliação foi praticada? Os dados são escassos,
mas sabemos, através da controvérsia entre Monteiro da Rocha e Anastácio da
Cunha, que pelo menos uma parte das determinações dos Estatutos não era
concretizada. Escreve Anastácio da Cunha: “O mestre repetia ou pelo livro ou de
cór litteralmente as proposições da lição; e no dia seguinte cada estudante
satisfazia repetindo de cór a proposição que lhe perguntavam. Nem se mostrava o
uso das proposições, nem se resolviam problemas; ninguem ainda viu o lente do 1º
anno no campo ensinando as praxes que os Estatutos mandam. Debalde solicitei os
instrumentos necessarios: não me consta que a Universidade tenha ainda nem uma
prancheta.“7
José Anastácio da Cunha pode ter exagerado na sua ira contra Monteiro da
Rocha e certos hábitos universitários conimbricences. Mas pelo menos num ponto
tem razão: apenas na Acta da Congregação da Faculdade de Matemática de 17 de
Fevereiro de 1807 aparece uma referência a uma diligência para que o material de
Geometria fosse comprado, 35 anos depois da Reforma Pombalina…
As dissertações
De acordo com os Estatutos o exame final era realizado por um júri de quatro
professores. O aluno era interrogado primeiro sobre uma “Dissertação, que deverá
ter composto sobre algum assumpto relativo às Lições do mesmo Anno; e
semelhante aos que os Lentes hão de passar para os Exercícios de todos os
Mezes”8. O resto do exame incidia sobre pontos tirados à sorte 24 horas antes do
exame (estes pontos eram considerados o assunto principal do exame).
O tema da dissertação era escolhido pelo aluno mas devia ter a aprovação do
professor. O professor corrigia ainda uma primeira versão do texto da dissertação e
no exame o tempo dedicado à análise da dissertação não podia ser inferior a um
quarto de hora.
Depois de terem feito o exame do quarto ano os alunos eram considerados
Bachareis. Mas apenas com um exame suplementar eram considerados “formados”
(com a categoria de Bacharel Formado). Neste exame de formatura os estudantes
eram interrogados sobre a matéria de cada um dos anos do curso e tinham ainda
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Helmut Malonek, Jaime Carvalho Silva e Teresa Costa
de apresentar uma “Dissertação no ponto, que bem lhes parecer, relativo a
qualquer das partes do Curso Mathematico”9.
Estas dissertação fizeram, pelo menos parcialmente, parte da prática
pedagógica até aos princípios do século XX. No espólio de Sidónio Pais10
encontram-se vários trabalhos de alunos, realizados em diferentes anos lectivos
para cadeiras de matemática, que entram nas duas categorias acima referidas:
“Achar o quarto differencial total de θ = f (u,v,w) “ (3 pp., s/d), “Verificar na
theoria de numeros inteiros de Helmholtz a lei commutativa da addição, partindo
do axioma de Grassmer”(3 pp., 1899), “Lei commutativa a+b = b+a” (3 pp., 1899),
“Verificar que a lei commutativa tem logar para a somma” (3 pp., 1899) (ver figura
4
2
1), “Exercício: Decompor a função racional fraccionária x − 2x + x − 1 em fracções
2
(x + x + 1)(x − 4)
simples” (12 pp., 1902), que entram na primeira categoria, e dissertações maiores
como “Integral definido simples. Critérios de integrabilidade. Funções integráveis”
(43 pp., 1900), “Integração das equações ás derivadas parciaes de primeira ordem
lineares” (32 pp., 1900), “Integral intermedio” (6 pp. 1899), ou “Integral intermedio
geral das equações ás derivadas parciaes de 2ª ordem”(9 pp., 1899), que entram na
segunda categoria visto se tratarem de pequenas dissertações sobre um assunto
“que peça discussão” (podem também ser dissertações usadas na avaliação final).
Figura 1. Primeira página do exercício de um aluno
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No espólio de Francisco Miranda de Costa Lobo11 encontramos, também,
uma colecção de dissertações de alunos de cursos entre 1870 e 1899 (ver figura 2)
(as dissertações são todas escritas à mão com grande exactidão e carinho,
encadernadas com fitas azuis)12. Entre elas encontram-se as de Almeida Garret, do
próprio Costa Lobo, e duas que se distinguem por razões diferentes. A dissertação
da primeira mulher que estudou na Universidade de Coimbra, referimo-nos a
Domitilla Hormizinda Miranda de Carvalho13 (figura 3) e, a de Francisco Gomes
Teixeira escrita já em 1871 e intitulada “Cálculo das variações” e elaborada no fim
do segundo ano do Curso de Matemática (ver figura 9).
Figura 2.
No mesmo ano, em 1871, Gomes Teixeira escreveu o seu primeiro trabalho
de investigação, a que deu o título “Desenvolvimento das funções em fracção
contínua”, impresso na tipografia da Universidade e dedicado a Antonio de
Almeida Soeiro de Gamboa.
O número de dissertações que permaneceu no espólio de Sidónio Pais é
interessante por revelar que o trabalho exigido aos alunos tinha um carácter
sistemático. Não se sabe como e quando este hábito terá desaparecido, mas
convém recordar que os primeiros quinze anos da Universidade de Coimbra no
século XX foram particularmente agitados.
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Helmut Malonek, Jaime Carvalho Silva e Teresa Costa
Figura 3. Primeira página da dissertação de Domitila de Carvalho
Olhemos um pouco para a dissertação intitulada “Integral definido simples.
Critérios de integrabilidade. Funções integráveis”(43 pp., 1900), feita pelo aluno
Eusébio Barbosa Tamagnini que mais tarde foi Ministro da Educação.
Esta dissertação apresenta uma capa manuscrita em que as páginas são
unidas com fitas atadas com dois laços com as cores da Faculdade de Matemática,
branco e azul (figura 4). Tal como o título indica, o trabalho divide-se em três
partes e é apresentado de forma argumentada desde a definição de integral
definido e sucessivas generalizações até às condições de integrabilidade de várias
classes de funções. Trata-se provavelmente de uma dissertação apresentada para
exame devido à data (16 de Junho de 1900) e devido ao facto de conter inúmeras
anotações a lápis, com observações, correcções e perguntas como, por exemplo, se
pode ver logo na página 2 aqui reproduzida (figura 5). A quantidade e o detalhe
das anotações faz pensar que a discussão do exame não deveria ser superficial.
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Figura 4. Capa da dissertação de
Eusébio Barbosa Tamagnini (1900)
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Figura 5. Página 2 da dissertação de
Eusébio Barbosa Tamagnini (1900)
A capa da dissertação de José Marques Pereira Barata reforça a ideia de as
dissertações serem um hábito sistemático, visto estarmos em presença de uma capa
impressa; o facto de haver um espaço para indicar o nome da Faculdade significa
em particular que o mesmo hábito existiria para outras Faculdades (ver figura 6).
Esta ideia é reforçada por uma dissertação da Faculdade de Filosofia
(Natural) que, além do mais, dá uma ideia do modo como decorriam os exames
(ver figura 7). O aluno (não referido pois a dissertação não tem nome nem data)
tirou dois pontos à sorte na 7ª cadeira da Faculdade, Geologia, e na 8ª cadeira,
Antropologia. O exame desse aluno (um exame de ano e não de cadeira) deve
então ter incluído os dois temas referidos nos pontos e a discussão da dissertação.
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Helmut Malonek, Jaime Carvalho Silva e Teresa Costa
Figura 6. Capa da dissertação de
José Marques Pereira Barata
Figura 7. Dissertação para a Cadeira de
Phisica sobre Sons resultantes
Francisco Gomes Teixeira enquanto aluno já investigador
Figura 8. Gomes Teixeira
“Nesse caso tire-se à sorte” disse Gomes Teixeira pai. E a sorte destinou Gomes
Teixeira para Matemática.14
Na verdade, era vontade de seu pai que seguisse uma carreira eclesiástica,
contudo um primo aconselha o pai a mandá-lo estudar Matemática. Inquirido
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sobre a sua preferência Gomes Teixeira responde ser-lhe indiferente uma ou outra
carreira, seguiria o que o pai quisesse.
A sorte parece ter sido feliz, Gomes Teixeira desde muito cedo se destacou
como um notável investigador em Matemática.
Ainda como aluno, Francisco Gomes Teixeira elaborou uma dissertação no
fim do segundo ano do Curso de Matemática, intitulada Calculo das variações (ver
figura 9).
É notório o rigor com que expõe os assuntos, sempre associado a
preocupações de carácter pedagógico. O autor define o cálculo de variações,
realçando as suas aplicações. Na exposição dos assuntos utiliza figuras para
facilitar a sua compreensão, apresentando ao mesmo tempo, um desenvolvimento
detalhado dos assuntos que pretende tratar (ver figura 10).
Sem queremos entrar em muito pormenor, convém realçar que, no início da
sua dissertação, Gomes Teixeira mencionou alguns matemáticos bem conhecidos,
como Lagrange e Euler. Podemos concluir que consultava os textos originais dos
fundadores do cálculo das variações, apesar de ser apenas um aluno do segundo
ano do Curso de Matemática.
Figura 9. Primeira página da dissertação de
Francisco Gomes Teixeira
Figura 10. Algumas equações
apresentadas na dissertação
de Gomes Teixeira
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Helmut Malonek, Jaime Carvalho Silva e Teresa Costa
A dissertação de Gomes Teixeira divide-se em seis partes:
I. Muito breve introdução histórica, onde (apenas) são citados os nomes de
Euler, dos Bernoullis e de Lagrange. Referência às muitas aplicações,
citando a mais importante
“determinar a curva, em que um integral dado é máximo ou mínimo,
relativamente as outras curvas.”
II. Definição de variação segundo Euler.
III. Os princípios fundamentais (do cálculo das variações; o único
subtítulo).
1º A variação da differencial de uma quantidade é igual à differencial
da variação.
2º A variação do integral é igual ao integral da variação.
IV. Exposição do calculo das variações. Dedução da condição para que o
integral seja maximo ou minimo.
V. Dedução das condições entre os límites designados.
1º Se os limites são fixos.
2º Se os limites são independentes.
VI. Dedução da relação entre as variáveis independentes e dependentes
para que o integral seja um máximo ou mínimo.
Merece ainda particular atenção o facto de, no decorrer do mesmo ano, 1871,
Gomes Teixeira ter escrito o seu primeiro trabalho de investigação, a que deu o
título de Desenvolvimento das funções em fracção contínua. Nele o autor apresenta
fórmulas para desenvolver as funções em fracções contínuas e transforma, em
seguida, estas em fracções ordinárias, aplicando as fracções contínuas ao cálculo
integral e à determinação das raízes das equações, observando que por este
método se obtêm resultados mais convergentes do que pelos métodos de Newton e
de Lagrange15.
Podemos concluir que o génio de Gomes Teixeira se manifestou desde tenra
idade e o próprio considerou que
A paixão pelo estudo das sciências matemáticas, que foi em mim assaz
desordenado pelo excesso, desde muitos anos se tem reduzido às
proporções modestas de amor platónico.
(...)
Restou-me, porêm, das ruínas do meu passado scientífico a afeição
admirativa, o vivo interêsse de simpatia que me ligam sempre àqueles que
se distinguiram dum modo notável na sciência, objecto das minhas
predilecções. Dizer, pois, que estimo desde lá cordialmente o autor da
mémória que recebi, é muito mais que um cumprimento epistolar: é o
simples enunciado duma condição inevitável da minha organização.
Alunos/investigadores no ensino superior no séc. XIX
Figura 11.
Figura 13.
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Figura 12.
Figura 14.
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Helmut Malonek, Jaime Carvalho Silva e Teresa Costa
Francisco Gomes Teixeira continuou a ter interesse em problemas
relacionados com o desenvolvimento de funções em série (série de Lagrange) e,
desde muito cedo foi notório a determinação da sua área de especialização bem
como, uma grande abertura para o mundo e interesse na divulgação de trabalhos
na área da Matemática em Portugal, o que foi conseguido através de um jornal
científico que viria a fundar16.
Conclusão
Apesar de todo este historial, no ensino superior em Portugal não temos
presentemente nada que se lhe assemelhe na área da Matemática (excepto, muito
parcialmente, o programa da Fundação Calouste Gulbenkian “Novos Talentos em
Matemática”).
Não deixa de ser curioso que muitos matemáticos que se debruçaram sobre a
problemática do ensino da matemática em Portugal tenham chamado a atenção
para estas questões. Por exemplo Hugo Ribeiro criticou vigorosamente a situação
do ensino da Matemática em Portugal nos anos 50 e defendeu um certo número de
princípios para a formação de matemáticos e professores de Matemática:
O objectivo deve ser contribuir para melhorar a qualidade do futuro
ensino através duma melhor formação matemática dos professores. O
método deve ser o trabalho de seminário (…) de nível adaptado a cada
caso individual ou de pequenos grupos - com o fim de desenvolver ou
criar hábitos de estudo correctos e fazer viver a experiência de obtenção de
resultados próprios em problemas das fronteiras do conhecimento.
Sebastião e Silva não podia ser mais claro, no guia de apoio a um dos
manuais que escreveu para o ensino secundário17:
Os alunos não precisam, em geral, de ser investigadores, mas precisam de
ter espírito de investigação.
Tudo isto não nos deveria fazer reflectir e levar a repensar a situação actual a
nível do ensino superior?
Notas
1
Lemos, F., Relação Geral do Estado da Universidade (1777), Coimbra, 1980, p. 107.
2
Estatutos (1772), liv. III, Parte II, tít. VIII, Cap. I, § 4.
3
Idem, liv. III, Parte II, tít. V, Cap. I, § 3.
Alunos/investigadores no ensino superior no séc. XIX
4
Idem, ibidem.
5
Idem, liv. III, Parte II, tít. V, Cap. II, § 12.
6
Estatutos (1772), liv. III, Parte II, tít. V, Cap. IV, § 4.
181
Cunha, J. A., “Factos contra calumnias”, in Ferraz, M. L., Rodrigues, J. F., & Saraiva, L.
(Orgs.), Anastácio da Cunha - 1744/1787 - o matemático e o poeta, INCM, Lisboa, 1990, p. 387.
7
8
Estatutos (1772), liv. III, Parte II, tít. VI, Cap. I, § 3.
9
Idem, liv. III, Parte II, tít. VI, Cap. II, § 2.
10
Agradecemos ao Dr Armando Malheiro da Silva ter facultado acesso a este espólio.
Agradecemos ao Professor Jubilado Manuel Leal da Costa Lobo, neto de Francisco
Miranda de Costa Lobo, o facto de nos ter facultado o acesso a estes documentos.
11
12 R. Fueter (1880 – 1950) menciona no seu artigo sobre Coimbra este tipo de trabalhos e,
podemos mesmo estabelecer um paralelo com as ainda praticadas monografias, nos nossos
cursos universitários, 100 anos depois.
Domitila de Carvalho matriculou-se na Faculdade de Matemática no ano lectivo 1891/1892
e, pensa-se que realizou a referida dissertação em 1894.
13
Conclusão do curso:
Exame de licenciado a 8 de Janeiro de 1875
Acto de conclusões magnas a 30 de Junho de 1875
Dissertação inaugural apresentada a esse acto: Integração das equações às derivadas
parciais de segunda ordem
18 de Julho de 1875 – doutoramento; FGT não foi classificado como licenciado, só como
doutorado.
14
15 Gomes Teixeira pretendia completar o seu primeiro trabalho no ano seguinte que foi
apresentado por Daniel da Silva a Academia das Sciências de Lisboa em 1 de Maio de 1872:
Aplicação das fracções contínuas à determinaçâo das raízes das equações (publ. no jornal da
1ª classe, 1ª série t.IV (1872-1873) pp. 89-94)
16
Referimo-nos ao jornal de Sciencias matemáticas e astronómicas.
Silva, J. S. (1965-66). Guia para a utilização do Compêndio de Matemática (2º vol., pp. 107-111).
Lisboa: GEP.
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