Módulo 2
Aplicações da Integral
%¶NEWNQFG¶TGCFGWOCTGIKºQNKOKVCFCGHGEJCFC
A partir deste momento
passaremos a examinar
Nesta seção vamos abordar uma das aplicações
as aplicações do conteúdo
GDLQWHJUDOGHÀQLGD&RPHoDUHPRVFRPDDSOLFDomR
estudado na Unidade anterior.
TXH PRWLYRX D GHÀQLomR GHVWH LPSRUWDQWH FRQFHLWR
matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que
estudamos na Unidade 7.
9DPRV FRQVLGHUDU VHPSUH D UHJLmR TXH HVWi HQWUH RV JUiÀFRV GH
GXDVIXQo}HV6XSRQKDPRVHQWmRTXH f (x) e g(x) sejam funções conWtQXDVQRLQWHUYDORIHFKDGR •– a, b —˜ e que f (x) * g(x) para todo x em
•– a, b —˜ . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo por
y g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela reta x b , conforPHLOXVWUDDÀJXUDDEDL[Rpb
A
0 f (x) < g(x) dx .
a
327
Curso de Graduação em Administração a Distância
y
f(x)
A
g(x)
0
[
a
]
b
x
Figura 8.1
4XDQGRDUHJLmRQmRIRUWmRVLPSOHVFRPRDGDÀJXUDpQHFHVViULDXPDUHÁH[mRFXLGDGRVDSDUDGHWHUPLQDURLQWHJUDQGRHRVOLPLWHV
de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos
seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.
Passo 1.9RFrID]RJUiÀFRGDUHJLmRSDUDGHWHUPLQDUTXDOFXUYDOLPLWD
acima e qual limita abaixo.
Passo 2.9RFrGHWHUPLQDRVOLPLWHVGHLQWHJUDomR2VOLPLWHVa e b serão
as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x)
e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz
f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x.
Passo 3.&DOFXOHDLQWHJUDOGHÀQLGDSDUDHQFRQWUDUDiUHDHQWUHDVGXDV
curvas.
Observação &RQVLGHUHPRVDJRUDDiUHDGDÀJXUDSODQDOLPLWDGDSHOR
JUiÀFRGH f (x) , pelas retas x a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma
função contínua sendo f (x) ) 0 , para todo x em •– a, b —˜ , conforme
ÀJXUDDVHJXLU
328
Módulo 2
y
a
b
0
x
A
f(x)
Figura 8.2
O cálculo da área A é dado por:
b
0 f (x) dx
A ,
a
RXVHMDEDVWDYRFrFDOFXODUDLQWHJUDOGHÀQLGDHFRQVLGHUDURPyGXOR
RXYDORUDEVROXWRGDLQWHJUDOGHÀQLGDHQFRQWUDGD
Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas:
Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas:
y f (x) x 6 e y g(x) x 2 .
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região
y
10
8
6
4
2
−2
−1
0
1
2
3 x
Figura 8.3
329
Curso de Graduação em Administração a Distância
Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos
f (x) g(x) , isto é, x 6 x 2 ou x 2 x 6, que fornece
x 2 < x < 6 0 3HODIyUPXODGH%KDVNDUDHQFRQWUDPRVDVUDt]HV
da equação acima, x <2 e x 3 , que serão os limites de integração. Observe, pelo JUiÀFRDFLPDTXH x 6 * x 2 , para todo
x em •– <2, 3—˜ .
Passo 3. Calculando a área da região limitada por:
y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em •– <2, 3—˜ temos :
b
A
0 f (x) < g(x) dx
a
3
= 0 •– x 6 < x 2 —˜ dx <2
3
0 x 6 < x
<2
2
dx
3
£ x2
x3 ¥
=²
6x < ´
3¦
¤ 2
<2
2
£3
33 ¥ £ (<2)2
(<2)3 ¥
= ² 6 = 3< ´ < ²
6 = (<2) <
3¦ ¤ 2
3 ´¦
¤ 2
£9
¥ £4
<8 ¥
= ² + 18 < 32 ´ < ² < 12 < ´
3¦
¤2
¦ ¤2
£9
¥ £
8 ¥
= ² + 18 < 9´ < ² 2 < 12 + ´
3 ¦
¤2
¦ ¤
£9
¥ £
8 ¥ £ 9 18 ¥ £ <30 8 ¥
<
² 9´ < ² <10 ´ ²
´¦
3
3 ¦ ¤ 2 ´¦ ²¤
¤2
¦ ¤
=
27 <22 27 22 81 + 44 125
<
=
u.a.
2
6
3
2
3
6
Portanto, a área limitada por
125
y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em •– <2, 3—˜ é
6
unidades de área.
Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por
y f (x) 4 e y g(x) x 2 .
330
Módulo 2
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
5
4
3
2
1
−2
−1
0
1
2
x
Figura 8.4
Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo
f (x) g(x) ,temos,4 x 2 ou x 2 = 4.Logo,x ( 4 = ( 2,ouseja,
x1 <2 e x2 2. Assim, a <2 e b 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x 2 ,
em •– <2, 2 —˜ será:
b
A
0 f (x) < g(x) dx
a
2
2
£
x3 ¥
= 0 4 < x dx ² 4x < ´
3¦
¤
<2
<2
3
£
( < 2)3 ¥
2 ¥ £
= ² 4 = 2 < ´ < ² 4 = ( < 2) <
3¦ ¤
3 ´¦
¤
£
<8 ¥ £
8¥ £
8¥
8¥ £
= ² 8 < ´ < ² <8 < ´ ² 8 < ´ < ² <8 + ´
3¦ ¤
3¦ ¤
3¦
3¦ ¤
¤
2
8
8
8
16
+ 8 < = 16 < 2 =
= 16 <
3
3
3
3
48 < 16 32
=
u.a.
3
3
= 8<
Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x 2 em
32
•– <2, 2 —˜ é
unidades de área.
3
331
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por
y f (x) 8 < x 2 e g(x) x 2 .
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
8
7
6
5
4
3
2
1
−2
0
−1
1
2
x
Figura 8.5
Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos
f (x) g(x) , isto é, 8 < x 2 x 2 , que fornece 8 2 x 2 e
x1 <2 e x2 2 . Assim, a <2 e b 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 < x 2 e g(x) x 2
será:
b
A
0
f (x) < g(x) dx =
0
<2
0 8 < x
2
<2
a
2
2
< x 2 dx
2
£
x3 ¥
8 < 2 x dx ² 8 x < 2 ´
3¦
¤
<2
2
£
( < 2)3 ¥
23 ¥ £
= ² 8 = 2 < 2 = ´ < ² 8 = ( < 2) < 2 =
3¦ ¤
3 ´¦
¤
£
<8 ¥
8¥ £
= ² 16 < 2 = ´ < ² <16 < 2 = ´
3¦
3¦ ¤
¤
332
Módulo 2
= 16 <
16
16
16
+ 16 <
= 32 < 2 =
3
3
3
= 32 <
32 96 < 32 64
=
u.a.
3
3
3
Portanto, a área limitada por y f (x) 8 < x 2 e g(x) x 2 em
64
•– <2, 2 —˜ é
unidades de área.
3
Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x 2 < 5x ,
o eixo x e as retas x 1 e x 3.
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região.
y
1
1,5
2
2,5
3
0
x
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Figura 8.6
Passo 2. Os limites de integração são a 1 e b 3.
Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x 2 < 5x o eixo x
e as retas x 1 e x 3, será:
333
Curso de Graduação em Administração a Distância
3
A
0
1
3
£ x3
x2 ¥
x < 5x dx ² < 5 = ´
2¦
¤ 3
1
2
£ 33
32 ¥ £ 13
12 ¥
= ² <5= ´ < ² <5= ´
2¦ ¤ 3
2¦
¤3
£ 27
9¥ £ 1
1¥
= ²
<5= ´ < ² <5= ´
2¦ ¤ 3
2¦
¤ 3
£
45 ¥ £ 1 5 ¥ £ 18 < 45 ¥ £ 2 < 15 ¥
<
= ²9 < ´ < ² < ´ ²
2 ¦ ¤ 3 2 ¦ ¤ 2 ´¦ ²¤ 6 ´¦
¤
£ <27 ¥ £ <13 ¥
<27 13
<²
= ²
´
´
2
6
¤ 2 ¦ ¤ 6 ¦
=
<81 + 13 <68 < 34 34
u.a.
6
6
3
3
Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x 2 < 5x , o eixo x
34
unidades de área.
e as retas x 1 e x 3 é
3
Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva
y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2/ .
Resolução: 9RFrWHPRVVHJXLQWHVSDVVRV
Passo 1. Esboço da região:
y
1
0
1
Figura 8.7
334
2
2
x
Módulo 2
Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo
JUiÀFRDFLPDQRLQWHUYDOR •–0 , / —˜ , f (x) sen x * 0 e no intervalo •–/ , 2/ —˜ , f (x) sen x ) 0 .
Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo
eixo x de 0 até 2/ será:
2/
/
A 0 sen x dx 0
0 sen x dx < c os x
/
/
0
2/
< cos x /
= <cos / < ( < cos 0) + <cos 2/ < ( < cos /
= <( < 1) < ( < 1) + <1 < <( < 1)
= 1 + 1 + <1 < 1 = 2 + <2 = 2 + 2 = 4 u.a.
Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo
x de 0 até 2/ é 4 unidades de área.
&KHJRXDKRUDGHSRUHPSUiWLFD
RTXHYRFrDSUHQGHXQHVWDVHomR
5HVSRQGDRVH[HUFLFLRVHFDVRWHQKD
dúvidas, busque orientação junto ao
6LVWHPDGH$FRPSDQKDPHQWR
Exercícios propostos – 1
&DOFXODUDiUHDGDUHJLmRHVSHFLÀFDGDHPFDGDH[HUFtFLR
a)
y
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
Figura 8.8
335
Curso de Graduação em Administração a Distância
Onde y f (x) x 1 .
y
b)
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
Figura 8.9
Onde y f (x) x .
2)
Determinar a área da região limitada por:
y f (x) x e y g(x) x 2 < x .
3)
Determinar a área da região limitada por y f (x) < x 1, o eixo
x e as retas x <2 e x 0 .
4)
Determinar
a
área
2
da
região
limitada
por
2
y f (x) x e y g(x) < x 4x .
5)
Calcular a área da região limitada por y f (x) as retas x 1 e x 4 .
1
x
, o eixo x e
Volume de sólido de revolução
2YROXPHGHXPVyOLGRGHVHPSHQKDXPSDSHOLPSRUWDQWHHPPXLWRVSUREOHPDVQDVFLrQFLDVItVLFDVWDLVFRPRGHWHUPLQDomRGHcentro de
massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de
um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam
formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução.
336
Módulo 2
Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do plaQRHPWRUQRGHXPDUHWDFKDPDGDeixo de revolução, contida no plano.
Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada
por y f (x) , o eixo x , x a e x b em torno do eixo x . Então o
volume V deste sólido é dado por:
V /0
b
a
2
f (x) dx.
3RGHPRVSURYDUDIyUPXODDFLPDXWLOL]DQGRDUJXPHQWRVVHPHOKDQtes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas
QmRIDUHPRVHVWHHVWXGR1HVWHWUDEDOKRGDUHPRVDSHQDVDIyUPXOD
*UDÀFDPHQWH
y
y = f(x)
a
0
b
x
Figura 8.10
337
Curso de Graduação em Administração a Distância
y
x
Figura 8.11
Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a fronteira da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e
y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por
V /0
d
c
2
g y dy.
y
d
x = g(y)
0
c
Figura 8.12
338
x
Módulo 2
f x * g x * 0 para todo x D •– a,b —˜ . Então o volume do sólido
Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo •– a,b —˜ e suSRQKDmos que
de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , da região limitada
pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por:
b
V / 0 •³ f x
a –
2
2
< g x —µ˜ dx.
*UDÀFDPHQWH
y
y = f(x)
y = g(x)
a
0
b
x
Figura 8.13
y
x
Figura 8.14
339
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x 2 , o eixo x e as retas
x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixo x . Encontre o
volume do sólido de revolução gerado.
Resolução: ,QLFLDOPHQWH FRQVWUXtPRV R JUiÀFR GD FXUYD GDGD
SHODÀJXUD
y
y = f(x)
4
1
0
1
2
x
Figura 8.15
Temos:
b
V /0 f x
a
2
2
2
dx / 0 x dx
2
1
2
x5
/
/
32 < 1
5 1 5
31
/ , unidades de volume (u.v.).
5
Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por y x 3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y .
340
Módulo 2
Resolução: ,QLFLDOPHQWHFRQVWUXtPRVRJUiÀFRGDVFXUYDVGDGDV
y
2
y = x3
1,5
1
0,5
−1
0
−0,5
0,5
1
1,5
2
x
−0,5
−1
Figura 8.16
De y x 3 temos x y1/ 3 . Logo, o volume do sólido obtido pela
revolução em torno do eixo y é dado por
V /0
d
c
2
1
dy / 0 y
g y
0
2/ 3
dy
3/ 5/ 3 1 3/
y
u.v.
0
5
5
Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por x 2 y < 2 , 2y < x < 2 0 , x 0 e x 1em torno
do eixo x .
341
Curso de Graduação em Administração a Distância
Resolução:9HMDDÀJXUDDEDL[RUHSUHVHQWDQGRDUHJLmR
y
5
x² = y−2
4
3
2y−x−2 = 0
2
1
0
−2
2
4
x
−1
Figura 8.17
(a) Volume do sólido em torno do eixo x . Neste caso, temos
b
V / 0 •³ f x
a –
2
2
< g x —µ˜dx
2
•
2
£1
¥ —
2
/ 0 ³ x 2 < ² x 1´ µdx
0
¤2
¦ µ
³–
˜
1
1£
¥
15
/ 0 ² x 4 x 2 < x 3´ dx
0¤
4
¦
1
£ x 5 5x 3 x 2
¥
/² <
3x ´
4
2
¤ 5
¦0
£ 1 5 1 ¥ 79/
/ ² < 3´ u.v.
20
¤5 4 2 ¦
342
Módulo 2
Exercícios propostos – 2
1)
2)
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em
torno do eixo x , de região limitada por:
a)
y 2x 1, x 0, x 3 e y 0.
b)
y x 2 1, x 1, x 3 e y 0.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação
em torno do eixo y , de região limitada por: y ln x, y <1, y 3
e x 0.
3)
Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada
pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado:
a)
y 2x 2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dos x .
b)
y x 2 < 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dos x .
c)
y 2 2x , x 0 , y 0 e y 3; em torno do eixo dos y .
d)
y 2x < 1, x 0 , x 3 e y 0 ; em torno do eixo dos x .
343
Curso de Graduação em Administração a Distância
Comprimento de arco
A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva
plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no inWHUYDORIHFKDGR[a,b] &RQVLGHUHPRVRJUiÀFRGDIXQomR y f (x) .
y
B = (b,ƒ(b))
y = ƒ(x)
A = (a,ƒ(a))
a
b
x
Figura 8.18
Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) .
ª GRJUiÀFRGDGDIXQomR y f (x) .
Seja s o comprimento da curva AB
Então, s é dado por
s
0
b
a
1 f '(x)
2
dx.
A seguir, apresentaremos alguns exemplos.
Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y 0 ) x ) 3.
Resolução: Temos,
y
344
x
1
1‰ y' .
2
2
x
1,
2
Módulo 2
Logo,
s
0
0
b
a
3
0
1 f '(x)
1
2
dx
1
dx
4
5 3 3
x 5.
0
4 0 2
x
Portanto, o comprimento de f (x) 1, para 0 ) x ) 3 é dada
2
3
por s 5 u.c.
2
0
3
5
dx 4
Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x 4 48
de x 2 a x 4
Resolução: Temos,
24xy x 4 48
1 3 2
‰y
x 24
x
2
3x
2 x 4 < 16
‰ y' <
.
24 x 2
8x 2
Agora,
s
0
b
a
0
4
2
0
4
2
1
y'
1
2
dx 0
2
£ x 4 < 16 ¥
1
²
´ dx
2
¤ 8x ¦
4
2
1
x 8 256 < 32x 4 dx
4
64x
x 8 32x 4 256
dx
64x 4
(x 4 16)2
0
dx 2
(32x 2 )2
4
4 £ x 16 ¥
0 ²
´ dx
2
2
¤ 8x ¦
4
0
4
2
(x 4 16)2
dx
(32x 2 )2
4
1 4 2
1 • x 3 16 —
<2
0 x 16x dx ³ < µ
8 2
8– 3 x ˜
2
— 1 • 56
— 17
1 • 64
8
³ < 4 < 8µ ³ 4 µ u.v.
8– 3
3 ˜ 8– 3
˜ 6
345
Curso de Graduação em Administração a Distância
9DPRVYHULÀFDUVHYRFr
compreendeu estas importantes
DSOLFDo}HVGDLQWHJUDOGHÀQLGD
e para isto tente resolver os
exercícios propostos a seguir. Se
WLYHUG~YLGDVSURFXUHHVFODUHFr
las antes de seguir adiante.
Exercícios propostos – 3
%
Determine o comprimento das curvas dadas por:
1)
2)
3)
4)
5)
x2 1
< ln x, 2 ) x ) 4 .
2 4
1
3
y ln 1 < x 2 de x a x .
4
4
1 4
1
y x 2 de x 1 a x 2 .
4
8x
/
/
y 1 < ln sen x de x a x .
6
4
1 x
<x
y e e de x 0 a x 1.
2
y
Saiba Mais...
Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:
— FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron
Books, 1992.
— LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed.
São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1.
— KWWSSHVVRDOVHUFRPWHOFRPEUPDWHPDWLFDVXSHULRUVXSHULRUKWP
— KWWSZZZFHSDLIXVSEUHFDOFXOR
346
Módulo 2
RESUMO
1HVWD 8QLGDGH YRFr HVWXGRX DSOLFDo}HV GD LQWHJUDO
GHÀQLGDHPFiOFXORGDiUHDGHXPDUHJLmRSODQDHOLPLWDGD
HVWXGRXDSOLFDo}HVGDLQWHJUDOGHÀQLGDHPFiOFXORGHYROXPH
do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva
utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.
347
Curso de Graduação em Administração a Distância
RESPOSTAS
• Exercícios propostos – 1
1)
a) 12 unidades de área.
2)
4
unidades de área.
3
3)
4 unidades de área.
4)
8
unidades de área.
3
5)
2 unidades de área.
b)
16
unidades de área.
3
• Exercícios propostos – 2
b)
1016
/ u.v.
15
2500/ u.v.
b)
243
/ u.v.
20
/
u.v.
30
d)
21/ u.v.
57/ u.v.;
1)
a)
2)
/£ 6 1¥
e < 2 ´ u.v.;
2 ²¤
e ¦
3)
a)
c)
• Exercícios propostos – 3
348
1)
1
6+ ln 2 6,173u.c.
4
2)
£ 21¥ 1
ln ² ´ < u.c.
¤ 5¦ 2
4)
1
ln 2 < ln 2 2 ln 2 3 u.c.
2
5)
1 2
e < 1 u.c.
2e
3)
123
u.c.
32