8.2- Volume de Sólidos de Revolução
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido:
a)
A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito
de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.
b) S é uma região limitada.
Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)
8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco
Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira:
Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R.
Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução.
S
R
l
l
Área plana 1
Sólido gerado pela Rotação.
Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:
y
y = f(x)
a
b
r=f(x)=y
dV = πr2 dx
dV = π[f(x)]2 dx
x
b
V = π ∫ [f ( x )]2 dx
a
Área plana 2
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Cálculo do elemento de volume
141
Exercícios
1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a
função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].
y
(2,8)
(2,8)
y = x3
(1,1)
(1,1)
r
R
x
1
x
2
Área plana 3
Elemento de volume
2
2
2
1
1
1
V=π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ x 3 ] 2 dx =π ∫ x 6 dx =π
 27 17  127
x7 2
−  =
π =18,143π=56,99(unid vol)
= π 
7 
7 1
7
 7
2) Achar o volume gerado pela função f(x) =
a 2 − x 2 em [-a, a]
y
y=
-a
a
a2 − x2 = r
x
Sólido gerado pela rotação do
semi-círculo
Semi-círculo em rotação
a
a
2

x3  a
V = π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ] 2 dx =π ∫ [ a 2 − x 2 ] dx =π a 2 x −

3  − a

1
−a
−a

a3  
a 3  
= π a 3 −  − − a 3 +   = π
3  
3  

 3 a 3
a 3 
+ a3 −
a −
 =π
3
3 

 3 2a 3 
 2a −

3 

 6 a 3 − 2a 3  4 3
=π 
 = πa
3

 3
que é o volume da esfera gerada!!!
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142
Uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x, e novamente um sólido de revolução
será gerado.
y
y
b
r = x = g(y)
x = g(y)
R
dy
dV
x
a
x
Área plana girando em y
Sólido de revolução da área plana em torno
de y
b
b
2
2
V = π ∫ [g ( y)] dy = π ∫ r dy
a
a
que é o volume do sólido
Exercícios
1) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].
y
y
4
y = x2
0
x= y
x
x
2
Sólido gerado pela Parábola de revolução
Seção plana parábola girando em y
b
b
4
4
a
a
0
0
V = π ∫ [ g( y )] 2 dy = π ∫ r 2 dy = π ∫ [ y ] 2 dy = π ∫ ydy =
πy 2 4
π 42
=
− 0 = 8π
2
2 0
V = 8π = 25,13 unid. de vol.
O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando a
área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x∈[a,b].
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143
y
f(x)
y
Anel projetado
dx
g(x)
g(x)
x
a
b
x
f(x)
dV
Área plana em revolução
Sólido gerado pela revolução
O elemento de volume do anel é dado por:
dV = π [f(x)]2dx - π [g(x)]2dx = π { [f(x)]2 - [g(x)]2} dx
de forma que o volume todo é dado por:
V=
b
b
a
a
{
}
2
2
∫ dV = π ∫ [ f ( x )] − [ g( x )] dx
Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.
Exercício
1) Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação da região entre y = x2 e y
= x + 2.
y
y
(2,4)
y = x +2
(-1,1)
R
x
x
Área entre parábola e reta em revolução.
Sólido de revolução
2
Sol: Faço f(x) = x + 2 e g(x) = x (pois f(x) > g(x))
Pontos de Intersecção: f(x) = g(x) → x2 = x + 2, isto é:
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144
x2 - x - 2 = 0 (x' = -1 e x'' = 2) e
V=
[
b
2
a
2
−1
(y' = 1 e y'' = 4)
]
2
2 2
∫ dV = π ∫ ( x + 2 ) − ( x ) dx = π
∫ [( x
2
2
]
+ 4x + 4 ) − ( x4 )
−1
 x3 4x2
x 5  2
== π ∫ [ x 2 + 4 x + 4 − x 4 ] dx = π 
+
+ 4x −
=
2
5  − 1
 3
−1
 2 3
25
= π 
+ 2.2 2 + 4.2 −
5
 3
  ( −1 ) 3
( −1 ) 5
−
+ 2( −1 ) 2 + 4( −1 ) −
  3
5
 




 8
 8
32   1
1 
32   1
1 
= π  + 8 + 8 −  −  − + 2 − 4 +  = π  + 16 −  −  − − 2 + 
3
5
3
5
3
5
3
5
 

 



 40 + 240 − 96   − 5 − 30 + 3 
 184   − 32 
216 72
= π 
= π
−
 = π 
−
 = π
15
15
15
15
15
5
 

 



logo V =
72π
= 45,2389 (unid. de vol.)
5
Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções x = F(y) e x = G(y), tem-se:
dV = π { [F(y)]2 - [G(y)]2} dy
de forma que o volume todo é dado por:
y
y
x=g(y)
dy
x=f(y)
dV
x
x
Sólido gerado pela área em revolução
Área entre curvas, em
revolução
V=
b
b
a
a
{
}
2
2
∫ dV = π ∫ [ F ( y )] − [ G( y )] dy
As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser paralelo a "x" ou a "y". O
método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do giro.
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145
Exercícios
Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x = 6. R é limitada pelos
gráficos de y2 = 4x e x = 4.
6-
y2
4
(6 – y2/4 )
(4,4)
6
dV
dy
R
x
2
x=y /4
y2 = 4x
(-4,4)
6
Parábola girando em torno de um eixo
externo
2
Parabolóide gerado pela rotação
y2
4
Também temos: se x = 4 → y2 = 4.4 → y2 = 16→ y = ± 4
Sol: Para isolarmos x fazemos: y2 = 4x → x =
Obs: rE = raio externo = 6 y =4
V=
∫
y = −4
4
(
y2
4
e rI = raio interno = 2
)
dV = ∫ π rE2 − rI2 dy
−4
2
4
4


4
2 


 4

y
 − 2 2 dy = π 36 − 3 y 2 + y − 4 dy = π  y − 3 y 2 + 32dy
V = π ∫  6 −
∫
∫



4 
16



 16
−4
−4 
−4 

4
 y5
 4
− y 3 + 32 y 
=π
=π 
 80
 − 4
 4 5
  ( −4 )5
 
− 4 3 + 32 × 4  − 
− ( −4 )3 + 32( −4 ) 

 80
  80
 
 384  − 384  768
−
=π 
π = 153,6π = 482,548 (unid. vol.)
 =
5
 5  5 
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146
2) Dados os gráficos y = x3 e x = 2, determine o volume da região, para o caso da área plana girar em y.
y
y
y=x3
dy
dV
x=2
0
2
x
x
x
o
Curva do 3 grau girando em y
2
Casca cilíndrica gerada
De y = x3 → x = y1/3
Sejam:
F(y) = 2
rE=2
(raio externo)
r I = x = y1/3
(raio interno)
G(y) = y1/3
8
2
8
2 


3 5 3

85 3 
y5 3  8
 1  
V= π ∫ 4 −  y 3  dy = π ∫ 4 − y 3 dy = π 4 y −
 = π  4 .8 −
 − 0 = π 32 − 8 
5 3 
5 3  0
 
5




 
0

0
Mas
8 5 3 = 3 8 5 = 3 8 3 8 2 = 8 3 8 2 = 8 3 ( 2 3 ) 2 = 8 3 2 6 = 8.2 6 3 =8.4 = 32
3
64
3




= 12,8π = 40,212 (unid. vol.)
Então V = π 32 − 8 5 3  = π 32 − × 32 = π
5
5
5




8.2.2- Método do Invólucro Cilíndrico
Este método usa cascas cilíndricas ao invés de discos.
x
x
dx
h
dV
Cilindro
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Casca cilíndrica
147
2πx = comprimento da casca
V = πx2h
dV = 2πhxdx → V = 2π ∫ xhdx
Se a área plana de revolução estiver limitada pelas funções y = f(x) e y = g(x), no intervalo a ≤ x ≤ b,
conforme mostra a figura:
dV
y
dx
y
x
h
y=f(x)
y=g(x)
dx
a
b
x
x
Área plana entre curvas, em
Revolução e em torno de y
Sólido gerado pela área em revolução.
Obs: temos: h = f - g
b
V = 2π ∫ x[f ( x ) − g ( x )]dx
a
Exercícios
1) Calcular o volume de revolução em torno de y limitado por y = x3/2, y = 1, em x∈[1,3]
(3,33/2)
y
y
y=x3/2
0
1
dx
h = y-y0 = x3/2 -1
3
x
Área girando em y
x
Casca cilídrica que gera
o volume elementar
Sejam f(x) = x3/2 e g(x) = 1
b
3
3
 x7 / 2 x 2  3
 =
−
V = 2π ∫ x [ f ( x ) − g( x ) ] dx = 2π ∫ x [ x 3 2 − 1 ] dx = 2π ∫ [ x 5 2 − x ] dx = 2π 
1
7
/
2
2


a
1
1
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148


 37 / 2 3 2   17 / 2 12 



−
 = 2π  2 .27 3 − 9  −  2 − 1  = 2π  108 3 − 63  −  − 3 
= 2π 
−
−
  14 
2   7 / 2 2 
2   7 2 
14

 7 / 2
 7


 108 3 60 
= 2π 
−  = 2π(9,075825) = 18,1516π = 57,025 (unid vol.)
14 
 14
2) Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume gerado pela rotação da área R em torno de y = 2. R é limitada pelos gráficos de y =
x , y = 1 e x = 4.
h= 4-x
y
y= x
2
y
y
dy
1
r
0
1
x
x
4
-2
x
-2
Área plana girando em
Torno do eixo y=-2
Se y =
x → x = y2
Sólido gerado
Para y = 1 → x = 1
Para x = 4 → y = 2
r = y - (-2) = y + 2
h = 4 - x = 4 - y2
dV = 2π r h dy → dV = 2π(y + 2)(4 - y2)dy = 2π(4y - y3 + 8 - 2y2)
2
 y4 2y3
2
−
+ 2 y 2 + 8 y
V = 2π ∫ [ − y 3 − 2 y 2 + 4 y + 8 ] dy = 2π −
3
 4
 1
1
 2 4 2.2 3
  14 2.13
 
V = 2π −
−
+ 2.2 2 + 8.2 − −
−
+ 2.12 + 8.1 
3
3
 4
  4
 

16
  1 2

+ 8 + 16  − − − + 2 + 8   =
V = 2π − 4 −
3
  4 3



16
1 2
 14 1


 − 56 + 3 + 120  67
V = 2π − 4 −
+ + 10  =2π 
+ 8 + 16 + + − 2 − 8   = 2π −
= π
3
4
3
12
3
4



 6


67
V=
π = 35,081 (unid. vol.)
6
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149
3) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y = x2, x = 2 e o eixo
x.
y
y = x2
2
V = π ∫ ( x 2 ) 2 dx
0
2
V = π ∫ x 4 dx
0
2
2
 x5 
V =π 
 5  0
32.π
V=
u .v.
5
x
x=2
4) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 = 2.x, eixo x e x
= 2.
y
y 2 = 2x
y = ± 2x
2
V =π∫
2
( 2 x ) dx
0
2
x
V = π ∫ 2 xdx
0
V = π x2
2
0
V = 4πu .v.
x=2
5) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 = 2x e y
= x.
y
y=x
y = 2x
0
x
2
y 2 = 2x
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150
- Pontos de interseção
- Volume
( )
2
y 2 = 2x
y=x
V = π ∫  2 x

0
x 2 − 2x = 0
2
2
(
− x 2 dx

)
V = π ∫ 2 x − x 2 dx
x = 0

x = 2
0
2x 2 x 3
V =π
−
2
3
2
0
8

V = π 4 − 
3

4π
V=
u .v.
3
8.3- Comprimento de Arcos de Curvas
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
y
∆yi
P2
Li
y = f (x)
P1
a
b
x
∆xi
n
 ∆y
L ≅ ∑  i
i =1  ∆x i
Li 2 = ∆y i 2 + ∆x i 2
Li = ∆y i 2 + ∆xi 2
 ∆y
Li =  i
 ∆xi
2
L = lim

 + 1 ⋅ ∆x i


n →∞
b
n
∑
i =1
2

 + 1 ⋅ ∆x i


 ∆y i

 ∆x
 i
2

 + 1 ⋅ ∆x i


2
 dy 
L = ∫   + 1 ⋅ dx
dx 
a 
Seja x = f (y) y = a e y = b.
y
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b
L
151
b
L=∫
a
2
 dx 
  + 1 ⋅ dy
 dy 
Exercícios
2
1) Determinar o comprimento do arco da curva
27
L=
∫
8
f ( x ) = x 3 entre os pontos P1 (8, 4) e P2 (27, 9).
2
 dy 
  + 1 ⋅ dx
 dx 
2
•y = x3
1
dy 2 − 3
•
= x =
dx 3
2
 dy 
•  =
 dx 
2
1
3.x 3
4
2
9.x 3
2
2
 dy 
•   +1 =
 dx 
4
+1 =
2
9.x 3
L=
1 1
⋅
6 3
2
 4 + 9.x 3
∫

2

 4 + 9.x 3
1
18 

1
2



⋅x
−
1
3
1
27 
8
2
9x 3
2

4 + 9x 3

2
 dy 

•   +1 =
3
 dx 
L=
4 + 9x 3
 2 −1
 ⋅ x 3 ⋅ 6 ⋅ dx


27
3
2
 ⋅2
 3

8
L=
 3
 85 2
1
27 

3
− 40 2




2) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.
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152
y
y
x 2 + y2 = r2
x = 0 até x = r
y = ± r2 − x2
r
x
-r
y = r2 − x2
L = 4.L1
r
y = r2 − x2
x
r
0
-r
r
2
(
)
 dy 
L1 = ∫   + 1 ⋅ dx
dx 
0 
• y = r 2 − x2
•
1
2
(
dy 1 2
= r − x2
dx 2
)
−
1
2
⋅ (− 2 x ) =
−x
(r
2
− x2
)
1
2
2
x2
 dy 
•  = 2
r − x2
 dx 
2
x2
x2 + r 2 − x2
r2
 dy 
1
•  +1 = 2
+
=
=
r − x2
r 2 − x2
r 2 − x2
 dx 
2
 dy 
•   +1 =
 dx 
r
L1 = ∫
0
r
r 2 − x2
r
r 2 − x2
r
dx = r ∫
0
dx
r 2 − x2
= r . arcsen
x
r
r
0
π
 rπ
L1 = r  − 0  =
2
 2
4πr
L = 4.L1 =
2
L = 2.π .r
8.4- Área de Superfície de Revolução
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
153
y
Li
yi = f (xi)
y = f (x)
b
a
x
xi
Si = 2πf ( x i )Li
 ∆y
S i = 2πf ( x i )  i
 ∆x i
2

 + 1 ⋅ ∆x i


 ∆y
S = lim ∑ 2πf ( x i )  i
n →∞
 ∆x i
i =1
n
a
2

 + 1 ⋅ ∆dx


b
2
 dy 
S = ∫ 2πf ( x )   + 1 ⋅ dx ou S = 2π ∫ y
 dx 
a
b
do eixo x.
( f `( x ))2 + 1 ⋅ dx
→ Superfície gerada pela revolução
Seja x = f (y).
y
x = f (y)
b
yi
Li
a
xi = f (yi)
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x
154
b
2
 dx 
S = 2π ∫ x   + 1 ⋅ dy
 dy 
a
→ Superfície gerada pela revolução em torno do eixo y.
Exercícios
1) Determinar a área da superfície obtida pela revolução da curva y = x , entre x = 1 e x = 4 em torno do
eixo x.
2
4
 dy 
S = 2π ∫ y   + 1 ⋅ dx
 dx 
1
1
• y = x = x2
dy 1
•
=
dx 2
1
−
2
x
=
S=
1
2.x
−
1
2
2
1
 dy 
•  =
4x
 dx 
2
1
1 + 4x
 dy 
•  +1 =
+1 =
4x
4x
 dx 
2
1 + 4x
1 + 4x
 dy 
•   +1 =
=
4x
2 x
 dx 
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S=
2π
2
π
4
4
4
∫
1
x . 1+ 4x
x
⋅dx
1
∫ (1 + 4 x ) 2 .4.dx
1
3 2
π
S = (1 + 4 x ) 2 ⋅
4
3
3
3
π  2
S=
17 − 5 2
6

4
1




155