UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
SETOR DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
Curso de Eletroeletrônica
para a Engenharia de Materiais
(prof. Lucas Máximo Alves)
Ponta Grossa
2010
Índice
Capítulo – I ................................................................................................................................. 6
A NATUREZA DA ELETRICIDADE ...................................................................................... 6
RESUMO .................................................................................................................................. 6
1. 1 – Objetivos do capítulo........................................................................................................ 6
1. 2 - Noções preliminares (propriedades elétricas) ................................................................... 7
1. 3 - Conceito de carga elétrica, força elétrica e campo elétrico,.............................................. 7
1. 4 – Princípios de Eletrostática ................................................................................................ 9
Capítulo – II.............................................................................................................................. 11
FUNDAMENTOS DE CORRENTE CONTÍNUA.................................................................. 11
RESUMO ................................................................................................................................ 11
2. 1 – Objetivos do capítulo...................................................................................................... 11
2. 2 – Princípios de eletrodinâmica: tensão elétrica ou voltagem e corrente elétrica............... 12
2. 3 - Lei de Ohm...................................................................................................................... 16
2. 4 - Potência de circuitos elétricos ......................................................................................... 19
2. 5 – Leis de Kirchhoff............................................................................................................ 20
2.5.1 - 1a Lei – Lei da Corrente de Kirchhoff (conservação das cargas elétricas) .......... 21
2.5.2 - 2a Lei – Lei da Voltagem de Kirchhoff (conservação da energia) ....................... 22
2.5.3 - Método prático de como aplicar as leis de Kirchhoff .......................................... 23
2.5.4 - Exercícios ............................................................................................................. 24
2. 6 - Circuitos elétricos de corrente contínua .......................................................................... 25
2. 7 - Circuito puramente resistivo ........................................................................................... 26
2. 8 - Resistores e associação de resistores............................................................................... 27
2.8.1 - Em Série ............................................................................................................... 27
2.8.2 - Em Paralelo .......................................................................................................... 28
2. 9 – Geradores e fontes de corrente contínua (força eletromotriz) ........................................ 31
2. 10 – Associação de geradores de corrente contínua ............................................................. 33
2.10.1 - Associação em Série: ......................................................................................... 33
2.10.2 - Associação em Paralelo...................................................................................... 33
2. 11 –Receptores (força contra-eletromotriz- fcem) ............................................................... 35
2.11.1 - Exercícios ........................................................................................................... 35
2. 12 - Fontes de Eletricidade ................................................................................................... 37
2.12.1 - Efeito Eletroquímico: ......................................................................................... 37
2.12.2 - Efeito Termiônico: ............................................................................................. 37
2.12.3 - Efeito Termoelétrico: ......................................................................................... 38
2.12.4 - Efeito Fotovoltaico:............................................................................................ 38
2.12.5 - Efeito Fotoelétrico.............................................................................................. 39
2.12.6 - Efeito Piezelétrico .............................................................................................. 40
2.12.7 - Efeito Magneto-hidrodinâmico .......................................................................... 40
2.12.8 - Efeito Eletro-Mecânico ...................................................................................... 41
2. 13 – Teorema de Thevenin ................................................................................................... 43
2. 14 – Teorema de Norton....................................................................................................... 44
2.14.1- Como utilizar os Teoremas de Thevenin e Norton ............................................. 44
2. 15 - Teorema da Superposição ............................................................................................. 45
2. 16 - Ponte de Wheatstone ..................................................................................................... 46
2.16.1 - Aplicação da Ponte de Wheatstone .................................................................... 50
2. 17 - Capacitores .................................................................................................................... 51
2. 18 - Circuito puramente capacitivo e associação de capacitores.......................................... 55
2.18.1 - Em paralelo: ....................................................................................................... 55
2.18.2 - Em série:............................................................................................................. 56
2. 19 – Indutores, Circuito puramente indutivo e associação de indutores .............................. 58
2.19.1 - Em série:............................................................................................................. 58
2.19.2 - Em Paralelo ........................................................................................................ 59
2. 20 - Transientes de corrente contínua em circuitos, RC, RL, LC e RLC em série e em
paralelo ................................................................................................................................ 62
2.20.1 - Transiente de Circuito RC.................................................................................. 62
2.20.2 - Constante de tempo de um circuito RC.............................................................. 67
2.20.3 - Transiente de Circuito RL.................................................................................. 67
2.20.4 - Constante de tempo de um circuito RL.............................................................. 72
2.20.5 - Transiente de Circuito LC .................................................................................. 73
2.20.6 - Constante de tempo de um circuito LC .............................................................. 73
2. 21 - Geradores e Motores de Corrente Contínua.................................................................. 74
2. 22 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 77
2. 23 – Referências Bibliográficas............................................................................................ 78
Capítulo – III ............................................................................................................................ 79
FUNDAMENTOS DE CORRENTE ALTERNADA .............................................................. 79
RESUMO ................................................................................................................................ 79
3. 1 –Objetivos do Capítulo...................................................................................................... 80
3.2 – Introdução........................................................................................................................ 80
3.3 – Sinais Elétricos: Tensão, Corrente Potência................................................................... 81
3.4 - Propriedades magnéticas e eletromagnéticas ................................................................... 84
3.5 - Princípios de corrente alternada ....................................................................................... 86
3.6 - Método dos Vetores Girantes........................................................................................... 89
3.7 – Característica V x I e os componentes elétricos............................................................... 90
3.8 – Medidas dos Sinais Elétricos: Valor Médio e Eficaz ...................................................... 91
3.9 – Resistência em C.A., e circuitos puramente resistivos .................................................... 94
3.9.1 - Elementos Dissipativos (Resistores). ................................................................... 94
3.10 – Indutância em C.A., reatância indutiva e circuitos puramente indutivos ...................... 95
3.10.1 - Dispositivos que armazenam energia magnética (Indutores)............................. 95
3.11 – Capacitância em C. A., reatância capacitiva e circuitos puramente capacitivos ........... 98
3.11.1 - Dispositivos que armazenam energia elétrica (Capacitor)................................. 98
3.12 – Método Geométrico..................................................................................................... 100
3.12.1- Resistor.............................................................................................................. 102
3.12.2 - Indutor .............................................................................................................. 102
3.12.3 - Capacitor .......................................................................................................... 102
3.13 – Soluções de Circuitos Elétricos pelo Método Geométrico .......................................... 104
3.14 - Fasores e o Método do Complexo................................................................................ 105
3.15 – Soluções de Circuitos Elétricos pelo Método dos Complexos .................................... 107
3.16 – Circuitos de Corrente Alternada .................................................................................. 108
3.16.1 - Circuito RC em série:....................................................................................... 108
3.16.2 - Circuito RL em série: ....................................................................................... 112
3.16.3 - Circuito LC em série ........................................................................................ 113
3.16.4 - Circuito RLC em série: .................................................................................... 114
3.16.5 - Circuito RC em paralelo: ................................................................................. 115
3.16.6 - Circuito RL em paralelo:.................................................................................. 116
3.16.7 - Circuito LC em paralelo................................................................................... 118
3.16.8 - Circuito RLC em paralelo: ............................................................................... 119
3.17 - Conversão Série para Paralelo ..................................................................................... 120
3.18 - Conversão Paralelo para Série ..................................................................................... 121
3.19 – Potência e a Energia de uma Corrente Alternada ........................................................ 123
3.20 - Correção do Fator de Potência ..................................................................................... 127
3.20.1 - A Solução pelo Método Geométrico................................................................ 127
3.20.2 - A Solução pelo Método Complexo .................................................................. 129
3.21 - Circuitos monofásicos .................................................................................................. 131
3.21.1 - Circuito Diferenciador...................................................................................... 131
3.21.2 – Aplicações do circuito diferenciador ............................................................... 132
3.21.3 – Funcionamento do circuito diferenciador........................................................ 132
3.21.4 – Circuito Integrador .......................................................................................... 134
3.22 - Geradores e Motores de corrente alternada.................................................................. 136
3.22.1 - Motor Assíncrono ou de Indução ..................................................................... 136
Vantagens do motor assíncrono............................................................................ 136
Desvantagens do motor assíncrono. ..................................................................... 137
Aplicações do motor assíncrono........................................................................... 137
Principio de funcionamento do motor assíncrono. ............................................... 137
Construção Mecânica de um Motor de Indução................................................... 138
3.22.2 - Motor Comutador............................................................................................. 139
Ação do comutador em um motor de C.C. ........................................................... 139
Reação do Induzido .............................................................................................. 139
Conseqüências do Desvio do Plano Neutro.......................................................... 140
Neutralização do Plano Neutro............................................................................. 140
Pólos de Comutação, Interpólos ou Pólos Auxiliares .......................................... 141
Vantagens Dos Pólos De Comutação ................................................................... 142
3.22.3 - Motor Série....................................................................................................... 142
3.22.4 - Motores Monofásicos....................................................................................... 144
Motor de fase auxiliar ou de fase dividida ........................................................... 144
Enrolamento monofásico...................................................................................... 145
Disposição relativa dos enrolamentos .................................................................. 145
3.22.5 - Motores de Repulsão....................................................................................... 146
Motor com partida por repulsão e acionamento por indução: .............................. 146
Motor de repulsão propriamente dito: .................................................................. 146
Motor de repulsão-indução:.................................................................................. 146
3.22.6 - Motor de Indução Polifásico ............................................................................ 146
Gaiola de esquilo .................................................................................................. 147
Motor de rotor bobinado....................................................................................... 149
Velocidade e Escorregamento .............................................................................. 150
Freqüencia do Rotor ............................................................................................. 151
Torque................................................................................................................... 151
3.23 – Transformadores.......................................................................................................... 152
3.233.1 - Perdas ............................................................................................................. 152
3.23.2 - Tipos de transformadores:................................................................................ 153
Transformador de alimentação: ............................................................................ 153
Transformador de áudio: ...................................................................................... 153
Transformador de distribuição: ............................................................................ 153
Transformadores de potencial: ............................................................................. 153
Transformador de corrente: .................................................................................. 153
Transformador de RF: .......................................................................................... 154
Transformadores de pulso: ................................................................................... 154
3.24.3 - Autotransformadores........................................................................................ 154
3.24 - Sistemas polifásicos (trifásicos) ................................................................................... 156
3.25 - Circuitos magnéticos .................................................................................................... 156
3.26 - Instalações elétricas e industriais ................................................................................. 156
3.27 - Medidas elétricas e magnéticas .................................................................................... 156
3.28 - Potência de circuitos eletrônicos .................................................................................. 156
3.29 – Exercícios e Problemas................................................................................................ 157
3.30 – Referencias Bibliográficas........................................................................................... 158
Capítulo – IV .......................................................................................................................... 159
PROJETOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS.......................................................................... 159
RESUMO .............................................................................................................................. 159
4. 1 – Objetivos do Capítulo................................................................................................... 159
4.2 – Introdução...................................................................................................................... 160
4.3 - Instalações Elétricas Industriais ..................................................................................... 161
4.4 - Fornos elétricos e fontes de calor................................................................................... 169
4.4.1 - Cálculo e Dimensionamento de um Forno Elétrico á Resistência .................... 169
4.4.2 - Escolha do elemento de aquecimento: ............................................................... 169
4.4.3 - Temperatura máxima admissível: ...................................................................... 169
4.4.4 - A carga de superfície:......................................................................................... 170
4.4.5 - Dimensionamento do elemento de aquecimento: .............................................. 171
4.4.6 - Escolha do comprimento e do diametro do fio: ................................................. 174
4.4.7 - Espirais de fio:.................................................................................................... 175
4.4.8 - Cálculo da Potência útil do forno:...................................................................... 178
4.4.9 - Cálculo das Caracteristicas Elétricas do forno:.................................................. 180
4.5 – Exercícios e Problemas.................................................................................................. 182
4.6 – Referências Bibliográficas............................................................................................. 183
Capítulo – I
A NATUREZA DA ELETRICIDADE
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções básicas da eletricidade, desde o ponto de
vista da estrutura atômica
Palavras Chave: Carga Elétrica; Campo Elétrico; Corrente Elétrica; Tensão Elétrica; Lei de
Ohm.
PACS números:
1. 1 – Objetivos do capítulo
i) Entender a natureza da Força Elétrica de Coulomb, do Campo Elétrico
ii) Entender as diferentes formas de obtenção da Eletricidade e a sua natureza em si.
1. 2 - Noções preliminares (propriedades elétricas)
A matéria é constituída de átomos e estes por sua vez possuem uma estrutura de
cargas (Figura - 1. 1) que permite a condução dos seus elétrons no seio do seu material. Isto
acontece quando uma diferença de potencial é produzida nas extremidades de um corpo.
Para se produzir uma diferença de potencial é preciso deslocar cargas elétricas
umas em relação a outras. Por exemplo, se na extremidade de um corpo houver um acúmulo
maior de cargas negativas ou positivas em relação ao outro extremo, deste mesmo material,
então uma corrente elétrica poderá surgir procurando restabelecer o equilíbrio das cargas.
Em termos termodinâmicos a união de cargas opostas é mais favorável do que a separação
delas. Este princípio é anunciado como Lei de Du Fay de atração das cargas. Portanto, cargas
iguais se repelem e cargas opostas se atraem.
Figura - 1. 1. A estrutura atômica da matéria
1. 3 - Conceito de carga elétrica, força elétrica e campo elétrico,
De acordo com a Lei de Coulomb a força entre cargas elétricas é dada por:

qQ
F  k 2 rˆ
r
(1. 1)
Considerando-se a situação ideal de uma carga, Q, isolada, conforme mostra a
Figura – 1.2, observa-se que ao seu redor existe um campo elétrico radial cuja intensidade em
função da distância radial, r, do centro da carga até um ponto, P, é dada por:

F
E  lim rˆ
q e q
onde e  1.602  10
19
(1. 2)
C é a carga elementar (carga de um elétron).
E
1 Q
4 o r 2
(1. 3)
onde o é permissividade elétrica do vácuo e r.
Na prática o isolamento de uma carga absoluta é muito difícil, mesmo porque esta
tende sempre a ser atraída por campos vizinhos. O que realmente acontece é que materiais
eletrizados podem apresentar excesso de carga positiva ou negativa pela retirada de seus
elétrons de valência ou de condução da sua banda de energia.
Figura - 1. 2. Campo elétrico radial ao redor de uma carga positiva.
O eletromagnetismo é a ciência dos estudos das carga elétricas e do seus efeitos e
ela se divide em eletrostática, eletrodinâmica, magnetostática e magnetodinâmica.
1. 4 – Princípios de Eletrostática
O fluo de um campo elétrico é dado por:
 
   E.dA
(1. 4)
logo para uma carga central tem-se:
   
  E. dA  E. A
(1. 5)
Q 
Q
.dA  k 2 4 r 2  4 kQ
2
r
r
(1. 6)
e
  k
para uma distribuição continua de cargas temos de forma geral que:
  4 kQ  4 k   dV
(1. 7)
igualando ( ) com ( ) temos o teorema de Gauss para a eletrostática:
 
   E.dA  4 k   dV
(1. 8)
como k  4 /  0 temos:
  1
E
 .dA   0   dV
(1. 9)
Tomando a derivada em relação ao volume dos dois lados temos:
d   1 d
E.dA 
 dV
dV 
 0 dV 
(1. 10)
Mas o lado esquerdo de ( ) é a própria definição de divergente então:
 d  
.E 
E.dA
dV 
(1. 11)
 1
.E  
0
(1. 12)
Portanto,
Mas o campo elétrico é derivado de uma força e esta é o gradiente de um
potencial de um campo conservativo, onde:

E  
(1. 13)
Substituindo ( ) em ( ) temos a seguinte equação:
.   
1

0
(1. 14)
ou
 2  
1

0
(1. 15)
Esta é a equação de Poisson. Para o caso de cargas neutras no interior de um corpo temos
  0 e:
 2  0
Esta é a equação de Laplace.
(1. 16)
Capítulo – II
FUNDAMENTOS DE CORRENTE CONTÍNUA
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções básicas da eletricidade, pela aplicação das
leis do eletromagnetismo em circuitos elétricos de corrente contínua, tais como a Lei de Ohm
e as Leis de Kirchhoff. O objetivo deste capítulo é proporcionar ao estudante o conhecimento
de equações básicas para o cálculo de circuitos elétricos de corrente contínua como também
conhecer quais são as principais fontes de eletricidade existente hoje em dia.
Palavras Chave: Carga Elétrica; Campo Elétrico; Corrente Elétrica; Tensão Elétrica; Lei de
Ohm.
PACS números:
2. 1 – Objetivos do capítulo
i) Entender o significado da Lei de Ohm
ii) Aprender a aplicar as leis de Kirchhoff em um circuito elétrico
iii) Resolver circuitos elétricos de Corrente Contínua-C.C.
2. 2 – Princípios de eletrodinâmica: tensão elétrica ou voltagem e
corrente elétrica
Uma vez que um material é constituído de átomos a reunião deles em um material
dá origem e uma estrutura de bandas de energia que permite ou não a condução dos seus
elétrons. Portanto, ao percorrerem um material passando de átomo por átomo uma corrente
elétrica é estabelecida de forma análoga a um fluido em um condutor. A quantidade total
destas cargas que flui, ou que atravessa uma secção de área A, na unidade de tempo, é
chamada de fluxo ou densidade de corrente elétrica, J, dada por:
J
d  dQ 


dA  dt 
(2. 1)
conforme mostra a Figura - 2. 1.
Figura - 2. 1. Fluxo de corrente elétrica, J, que atravessa uma área A, na unidade de tempo, t.
Como as cargas elétricas são particulas discretas, pode-se escrever de uma forma alternativa
que:
J e
d  dN 


dA  dt 
(2. 2)
Contudo, uma corrente só se estabelece quando há uma diferença de potencial
elétrico entre dois pontos de um condutor. Esta d.d.p. é dada por:
B
V 
e

W
F 
  .d l
q
q
A
(2. 3)
B

V   E .d l
(2. 4)
A


onde E é o vetor campo elétrico e dl é o elemento infinitesimal do caminho que liga os dois
pontos de um condutor. Para um condutor retilíneo homogêneo isotrópico a equação (2. 4)
torna-se:
V  El (Volt  Joule C oulomb )
(2. 5)
Onde V é a diferença de potencial (d.d.p.) entre os pontos A e B do material e sua unidade é
o Volt (V = J/C) que corresponde a energia de 1 Joule (J) por Coulomb (C), l é a extensão
linear entre estes pontos A e B do material.
Figura - 2. 2. Condutor cilíndrico isotrópico, de comprimento, l, e secção transversal de área, A.
A diferença de potencial pode ser pensada como sendo proporcional ao acúmulo
de cargas elétricas em um ponto de um material, ou seja:
V 
Q
C
(2. 6)
Onde C é a capacitância do meio, ou seja, a capacidade de armazenar cargas elétricas.
Fazendo-se uma analogia com “caixas d’água” a diferença de potencial é análoga
a altura das caixas d’água e a capacitância é análoga ao seu volume, conforme mostra a Figura
- 2. 3.
Figura - 2. 3. Análoga entre “caixas d’água” e a d.d.p. entre dois pontos de um condutor.
Mecânica dos Fluidos
Eletromagnetismo
Massa, M   M V
Carga, Q   qV
Volume, V = A.h
Volume, V = A.l
Altura, h
Posição, l
Secção transversal do tubo, A
Secção transversal do condutor, A
Densidade volumétrica de massa,
Densidade volumétrica de carga,
M 
dM
dV
q 
dQ
dV
Diferença de massa, M  M A  M B
Diferença de carga, Q  Q A  QB
M   M Ah
Q   q Al
M   M (V A  VB )
Q   q (V A  V B )
M   M A(h A  hB )
Q   q A(l A  l B )
Diferença de Volume
Diferença de Volume,
V 
1
(M A  M B )
M
V 
1
(Q A  QB )
q
Campo gravitacional, g
Campo elétrico, E
Vg = g.h
Tensão, Ve = E.l
Diferença de Potencial Gravitacional,
Diferença de Potencial Elétrico,
V g 
E g
m
 g ( h A  hB )
Densidade potencial de massa,
CM 
dm
dV g
Ve 
E e
 E (l A  l B )
Q
Densidade potencial de carga (Capacitância),
Cq 
dQ
dVe
V g 
1
(m A  m B )
CM
Ve 
1
(Q A  QB )
Cq
M  C M (V gA  V gB )
Q  C q (VeA  VeB )
M  C M g (h A  hB )
Q  C q E (l A  l B )
M  C M gh
Q  CEl
Reescrevendo-se a relação (2. 6) como sendo:
V 
t Q
C t
(2. 7)
e chamando de intensidade de corrente elétrica a grandeza
I
Q dQ

t
dt
( Ampere  Coulomb segundo)
Cuja unidade é o Ampére (A = C/s)
(2. 8)
que corresponde a um Coulomb (C) de carga
transportado em 1 segundo (s). Logo a equação (2. 8) fica
V  t
I
C
(2. 9)
Chamando-se de resistência a passagem de corrente elétrica a grandeza:
R
t [V ]
Volt
J /C
=


 Ohm
C [ I ] Ampére C / s
(2. 10)
cuja unidade é o Ohm ( = J.s/C2), tem-se:
(2. 11)
V  RI
Definindo-se uma grandeza chamada de “permitância” como sendo o inverso da
“capacitância” a equação (2. 10) fica:
2
R  pt (Ohm  Joule.segundo Coulomb )
(2. 12)
Definindo-se a “condutância” como sendo o inverso da resistência tem-se:
S
C
t
(2. 13)
Observe com isso que a condutância é a taxa capacitância na unidade de tempo, t.
2. 3 - Lei de Ohm
Ohm percebeu que havia uma relação linear entre o campo elétrico e a densidade
de corrente elétrica, J, em um material cujo coeficiente ele chamou de condutividade elétrica,
fazendo de (2. 7)
J
1 Q
A t
(2. 14)
E
1 Q V C

A t
A t
(2. 15)
Retornando-se (2. 5) em (2. 14) tem-se:
1 Q El C

A t
A t
Usando a definição
(2. 16)
Erro! Fonte de referência não encontrada. e o fato de que a
resistência, R, e a condutividade elétrica, , é dada por:
J
I
V

A
l
(2. 17)

Cl C
 v
At A
(2. 18)
I l
A
(2. 19)

I
nˆ  E
A
(2. 20)
onde
E
V 
Ou
Em (2. 16) tem-se que:


J  E
(2. 21)
Esta é a lei de Ohm escrita de uma forma genérica. Contudo, para um condutor de
formato cilíndrico de comprimento, l, e secção transversal de área, A, pode-se definir a
resistividade elétrica como sendo:

1 A t A 1


 C l C v
(2. 22)
Usando-se (2. 10) tem-se que:
R
l
A
(2. 23)
S 
A
l
(2. 24)
Ou
Imaginemos um circuito composto por uma fonte de tensão ou corrente elétrica
(um gerador de energia elétrica), um resistor, um fio de cobre longo e um amperímetro,
montado conforme o esquema da Figura - 2. 4.
Figura - 2. 4. Circuito elétrico linear de corrente contínua.
Se variarmos a diferença de potencial entre os extremos do fio por intermédio do
gerador, observaremos que a corrente também varia. Se mantivermos a temperatura sempre
constante, obteremos o gráfico mostrado Figura - 2. 5.
Figura - 2. 5. Gráfico da Tensão, V, versus a corrente, I, no resistor, R, que atravessa um circuito
mostrado na Figura - 2. 4.
2. 4 - Potência de circuitos elétricos
A potência dissipada sobre um resistor é dada por:
P
como V
W W q

t
q t
 W / q e I  q / t
(2. 25)
temos:
P  VI
(2. 26)
Utilizado a lei de Ohm dada em (2. 11) tem-se:
P  RI 2
(2. 27)
V2
P
R
(2. 28)
Ou ainda
Para se calcular a potência em um circuito utilizando-se as duas leis de Kirchhoff
onde:
n
PT   Pi
(2. 29)
i 1
Ou
n
PT   Ri I i2
i 1
(2. 30)
2. 5 – Leis de Kirchhoff
À mais de dois séculos atrás, Gustav Kirchoff desenvolveu duas leis de circuitos
elétricos que fundamentam os equacionamentos das malhas. As duas leis de Kirchhoff são
equivalentes a lei da conservação da energia em uma malha ou circuito elétrico. Elas são
utilizadas no cálculo de quaisquer circuitos.
Figura - 2. 6. Exemplo de circuito para utilização das Leis de Kirchhoff
Nó – é o ponto de concorrência de três ou mais braços. Exemplo: pontos A e B.
Braço ou ramo – é uma porção de circuito que liga dois nós consecutivos, e onde
todos os elementos que nele figuram estão em série. Exemplo: AaB, AbB, AcB.
Circuito fechado ou malha – é quando todos os elementos estão em série.
Exemplo:
Figura - 2. 7.
2.5.1 - 1a Lei – Lei da Corrente de Kirchhoff (conservação das cargas elétricas)
A somatória (soma algébrica) das correntes que chegam em um nó é igual a
somatória das correntes que dele saem, de tal forma que, a somatória total das correntes que
se aproximam (ou chegam) e se afastam (ou saem) de um nó é igual a zero (nula conservação das cargas):
n
I
i
0
(2. 31)
i 1
Figura - 2. 8. Correntes que chegam e partem de um nó.
I1  I 4  I 2  I 3  I 5
(2. 32)
I1  I 2  I 3  I 4  I 5  0
(2. 33)
ou
2.5.2 - 2a Lei – Lei da Voltagem de Kirchhoff (conservação da energia)
A somatória das tensões (f.e.m.) ao longo de um circuito fechado é igual soma
algébrica das f.e.m. aplicadas e das quedas de tensão naquele circuito (conservação da
energia) de tal forma que:
n
V
i
0
(2. 34)
i 1
Considera-se normalmente dois sentidos diferentes para a corrente elétrica, a
saber: i) o sentido eletrônico; do pólo negativo para o pólo positivo [(-)  (+)] ou o sentido
convencional; do pólo positivo para o pólo negativo [(+)  (-)].
Figura - 2. 9. Diferentes tensões em uma malha
E  IR1  IR2  0
(2. 35)
E  IR1  IR2
(2. 36)
Ou
2.5.3 - Método prático de como aplicar as leis de Kirchhoff
Na resolução de problemas com auxílio destas leis, devemos estabelecer sistemas
de equações para diversas correntes e tensões.
“b” = número de braços
“n” = número de nós
Numero de equações da 1a Lei: n –1.
Número de equações da 2a Lei: b – n +1
Para obtenção das equações referentes a 2a Lei (relativa às tensões), há
necessidade de seguir as regras abaixo:
1) Associar arbitrariamente um sentido para a corrente em cada ramo ou braço (sentido
arbitrário).
2) Adotar um sentido de percurso para cada circuito fechado ou, de preferência, um sentido
comum para todos os circuitos fechados. Colocando uma corrente para cada loop fechado.
3) Marcar as polaridades de cada elemento (resistor, etc) em cada loop dando um sinal
negativo a toda f.e.m. e a todo produto IR em que o sentido da corrente estiver em oposição ao
sentido do percurso adotado.
4) Aplicar a lei da voltagem de Kirchhoff em cada loop e a lei da corrente em (NL-1) nós,
onde NL é o número de loops independentes, de tal forma que se em um resistor houver mais
de uma corrente, a corrente resultante é a soma algébrica das correntes.
5) Resolver o sistema de equações.
OBSERVAÇÃO: Quando aplicamos as leis de Kirchhoff e encontramos um resultado
negativo para uma corrente, entendemos que o sentido arbitrado, para dar início à resolução
do problema, não era o verdadeiro, o valor encontrado, porém, é o real, isto é, o sentido
adotado é o contrário do verdadeiro.
Exemplo:
Figura - 2. 10.
2.5.4 - Exercícios
Associa-se dois resistores em série, um deles de 60 circulando uma corrente de
1,2Amperés. Quando associado um outro resistor de 100 a corrrente elétrica cai para 0,6A.
Calcular: a) a f.e.m. da bateria, considere R interna nula, b) O valor do resistor desconhecido.
2. 6 - Circuitos elétricos de corrente contínua
Um circuito elétrico é formado pela associação em série e/ou em paralelo de
diferentes componentes elétricos, tais como, geradores, resistores, fontes de luz, fontes de
calor, motores, etc.
Um exemplo de circuito elétrico é mostrado na Figura - 2. 11.
Figura - 2. 11. Circuito elétrico genérico de corrente contínua.
Os diferentes tipos de circuitos elétricos são mostrados mais adiante:
2. 7 - Circuito puramente resistivo
Estes circuitos são também chamados de circuitos passivos
Figura - 2. 12. Circuito resistivo com um interruptor
2. 8 - Resistores e associação de resistores
Resistor é o elemento eletro-eletrônico que dificulta a passagem de uma corrente
elétrica, produzindo uma d.d.p. entre suas extremidades. O seu símbolo é:
Figura - 2. 13. Símbolo de um resistor em um esquema de um circuito elétrico ou eletônico.
Um resistor é um dispositivo elétrico-eletrônico linear porque a relação entre
tensão (voltagem) e a corrente que o atravessa é determinada pela lei de Ohm dada em (2. 11).
2.8.1 - Em Série
A associação de resistores pode ser feita de duas formas básicas: em série e em
paralelo, conforme mostra a Figura - 2. 14.
Figura - 2. 14. Associação de resistores em série
Se vários componentes elétricos são conectados (como os resistores, por exemplo)
de forma que a corrente que passa em cada um, seja a mesma, diz-se que eles formam um
circuito em série. Ao passar em todos os resistores uma única corrente, I, pela lei de Ohm, a
d.d.p. entre as partes A e B é dada por:
V AB  Req I
(2. 37)
como
n
V AB   Vi
i 1
(2. 38)
temos:
n
V AB   Vi  Req I
(2. 39)
i 1
Sendo válida a lei de Ohm em cada resistor, ou seja,
Vi  Ri I
(2. 40)
tem-se:
n
V AB   Ri I  Req I
(2. 41)
i 1
Logo
n
Req   Ri
(2. 42)
i 1
Portanto, a resistência equivalente de uma associação em série de n resistores é
dada pela soma das resistências parciais dos resistores presentes no circuito.
2.8.2 - Em Paralelo
Figura - 2. 15. Associação de resistores em paralelo
De acordo com a Figura - 2. 15 associação de resistores em paralelo produz uma
única d.d.p. entre os pontos A e B de tal forma que:
V AB  Req I
(2. 43)
como:
n
I   Ii
(2. 44)
i 1
Tem-se:
n
V AB  Req  I i
(2. 45)
i 1
Logo
n
Ii

1
 i 1
Req V AB
(2. 46)
Mas VAB = V1 = V2 = V3 = ....= Vi, portanto
n
I
1
 i
Req i 1 Vi
(2. 47)
Considerando que a lei de Ohm é valida para cada resistor tem-se que:
Vi  Ri I i
(2. 48)
Substituindo-se (2. 48) em (2. 47) tem-se:
n
1
1

Req i 1 Ri
(2. 49)
Observe que no caso particular em que R1 = R2 = R3 = ....= Ri, resistências iguais tem-se:
1
n

Req R
Logo
(2. 50)
Req 
R
n
(2. 51)
E ainda para o caso de dois resistores apenas pode-se escrever:
1
1
1


Req R1 R2
(2. 52)
1
R  R2
 1
Req
R1 R2
(2. 53)
R1 R2
R1  R2
(2. 54)
Ou
Portanto
Req 
2. 9 – Geradores e fontes de corrente contínua (força eletromotriz)
De uma forma geral os equipamentos que utilizam a eletricidade podem se
classificar em dois tipos os geradores e os receptores. Como a energia não pode ser criada
nem destruída, existem dispositivos que transformam outras formas de energia em energia
elétrica, estes são os Geradores. Exemplo pilhas, baterias (energia química), nas usinas
hidrelétricas é a energia mecânica da água que é transformada em elétrica.
Figura - 2. 16. Representação esquemática de um gerador elétrico de corrente contínua
A ddp U de um gerador só existe quando por ele passa uma corrente elétrica, I.
Contudo, a força eletromotriz (E), existe quando o circuito está aberto. Devido aos condutores
internos com resistência elétrica, haverá perdas de energia no interior do gerador quando por
ele passa corrente. Assim, nos terminais do gerador, a ddp será um valor U menor que a f.e.m.
E. Se r é a resistência interna do gerador, a queda de tensão será:
U = E – U
(2. 55)
U = rI.
(2. 56)
U = E – rI
(2. 57)
onde
Logo
que é a equação do gerador
Note que o sentido da corrente I é do pólo negativo para o pólo positivo do
gerador, isto é, recebe a corrente em seu potencial mais baixo, levando-a para o potencial
mais alto. Na equação do gerador, podemos substituir a ddp U por RI, de acordo com a lei de
Ohm, U = RI, obtendo, assim, a expressão que exprime a Lei de POUILLET:
RI = E – rI
ou
(2. 58)
E = (R + r)I
(2. 59)
2. 10 – Associação de geradores de corrente contínua
A associação de geradores acontece conforme a necessidade de se obter maior
tensão ou maior corrente a partir de um numero n de geradores de tensões e correntes
individuais menores.
2.10.1 - Associação em Série:
Utiliza-se esta associação quando se deseja obter uma tensão maior.
ES = E1 + E2 + E3 + ...+ EM
(2. 60)
rS = r1 + r2 + r3 + ... + rN
(2. 61)
e
Figura - 2. 17. Associação de geradores em série
2.10.2 - Associação em Paralelo
Utiliza-se esta associação quando se deseja obter uma corrente maior. Só há
interesse em associar, em paralelo, geradores iguais,
EP = E
(2. 62)
rP = r/n
(2. 63)
e
Figura - 2. 18. Associação de geradores em paralelo
2. 11 –Receptores (força contra-eletromotriz- fcem)
Estes dispositivos transformam parte da energia elétrica recebida em outras
formas de energia que não seja calor – são os RECEPTORES. Exemplo: Motores Elétricos
(recebem energia elétrica e a transformam em energia mecânica).
Figura - 2. 19.
Um receptor necessita para seu funcionamento, de uma ddp U maior que a sua
força contra eletromotriz devido a energia consumida por seus elementos internos. A equção
do receptor é dada por:
U = E´ + r´I
(2. 64)
Portanto ligando-se um gerador a um receptor tem-se:
Ug = Ur
(2. 65)
U =E – rI = E´ + r´I
(2. 66)
E – E´ = ( r+ r´)I
(2. 67)
Logo
e
2.11.1 - Exercícios
1) Identificar o sentido da corrente elétrica no gerador
2) Determinar as características de um gerador
3) Um gerador fornece uma d.d.p. de 12V ao circuito externo, quando por ele passa I = 10A.
Se a resistência interna r = 0,1, qual a sua f.e.m. ?
4) São dados dois geradores iguais da fem 10V, e resistência interna de 0,2. Determinar as
características do gerador equivalente, quando associadas em série e em paralelo?
5) A força contra eletromotriz de um receptor é de 12V e a corrente que passa por ele é de
10A. Se a resistência interna é de 0,2, qual é a d.d.p. fornecida ao gerador?
Solução:
Dados: E(fem) = 12V; I = 10A; r = 0,2; U (ddp) = ?
U =E +RI
(2. 68)
U =12V + 0,2.10A
(2. 69)
U =12V + 2V = 14V
(2. 70)
e
2. 12 - Fontes de Eletricidade
As fontes de eletricidade procedem geralmente de um efeito físico cujo resultado
é o aparecimento de cargas elétricas livres para a condução. Os diferentes efeitos que podem
produzir eletricidade são:
2.12.1 - Efeito Eletroquímico:
São construídas de placas metálicas, as quais são imersas soluções eletrolíticas
para provocar a dissociação de cátions e ânions. Exemplos: baterias eletroquímicas, pilhas,
etc.
Figura - 2. 20. Bateria construída a partir de placas de cobre e zinco mergulhadas em uma solução
de ácido sulfúrico
2.12.2 - Efeito Termiônico:
São construídos elementos em ampolas de quartzo, onde uma nuvem eletrônica
sobre um metal é produzida por efeito de aquecimento Joule e a passagem de uma corrente
elétrica é obtida pela polarização do metal aquecido em relação a uma placa com polaridade
oposta. Exemplos: válvulas, conversores termiônicos.
Figura - 2. 21. Ampola de quartzo com eletrodos utilizados em obter efeito termiônico análogo a
uma válvula eletrônica.
2.12.3 - Efeito Termoelétrico:
Geradores termoelétricos são construídos a partir de materiais cuja condutividade
elétrica depende sensivelmente da temperatura (ex. metais e semicondutores). De acordo com
a Teoria das Bandas de Energia, através de uma diferença de temperatura nas extremidades
destes materiais é possível estabelecer uma diferença de potencial elétrico por efeito de
densidade de cargas na banda de condução. Exemplos: termopares, termopilhas, baterias ou
geradores termoelétricos, etc.
Figura - 2. 22. Configuração de Bandas de Energia utilizada na classificação das propriedades
eletrônica dos materiais.
2.12.4 - Efeito Fotovoltaico:
São utilizados para construir pilhas ou baterias solares. As pilhas solares
convertem energia luminosa em energia elétrica, através de um efeito de densidade de cargas
produzido por radiação luminosa. Exemplo: células solares.
Figura - 2. 23. Painel fotovoltaico de células solares construído a partir de material semicondutor
sensível a luz.
2.12.5 - Efeito Fotoelétrico
São dispositivos elétricos construídos a partir de materiais metálicos que
produzem eletricidade pela liberação de elétrons ao se incidir luz sobre eles. Exemplos:
células fotoelétricas.
Figura - 2. 24. Célula fotoelétrica construída em uma ampola de quartzo a partir de material
metálico sensível a luz por efeito fotoelétrico.
Figura - 2. 25. Esquema da excitação ótica dos elétrons e a produção de eletricidade pelo efeito
fotoelétrico.
2.12.6 - Efeito Piezelétrico
Certos cristais como o quartzo e sais de Rochelle geram tensão elétrica quando
vibram mecanicamente. Exemplo: cristais piezoelétricos.
Figura - 2. 26. Cristal piezelétrico mostrando a variação do dipolo elétrico com a pressão exercida
sobre ele.
2.12.7 - Efeito Magneto-hidrodinâmico
O efeito magneto-hidrodinâmico é produzido em plasmas manipulados por
campos eletromagnéticos. Exemplo: Conversor MHD.
Figura - 2. 27. Conversor Magnetohidrodinâmico de energia formado por um plasma sujeito as
campos elétricos e magnéticos.
2.12.8 - Efeito Eletro-Mecânico
Movimento mecânico de um condutor imerso em um campo magnético pode
produzir eletricidade por meio da Lei de Indução de Faraday. Exemplo: Geradores elétricos.
Figura - 2. 28. Montagem eletro-mecânica para geração de energia pela lei de indução de Faraday
a partir da rotação de uma expira imersa em um campo magnético, B,.
cuja Lei de Indução de Faraday é dada por:
V  

t
(2. 71)
Ode o fluxo do campo magnético é dado por:
  BA
(2. 72)
Os diferentes efeitos físicos e químicos dão origem às diferentes fontes de
eletricidade que por sua vez dão origem aos diferentes tipos de tensão e corrente nos
materiais. De uma forma geral, temos dois tipos diferentes de corrente ou tensão elétrica as
quais são:
C.C. Corrente Contínua (ou, do inglês different current D. C.) que não varia sua
intensidade com o tempo. E
C. A. Corrente Alternada (ou, do inglês alternate current A. C.) cuja intensidade
varia periodicamente com o tempo.
2. 13 – Teorema de Thevenin
Quaisquer dois teminais de uma “rede linear” DC (corrente contínua) pode ser
substituido por um circuito equivalente com uma fonte de tensão e um resistor da seguinte
forma.
Figura - 2. 29. Circuito equivalente de Thevenin
2. 14 – Teorema de Norton
Quaisquer dois teminais de uma rede linear DC (corrente contínua) pode ser
substituido por um circuito equivalente com uma fonte de corrente e um resistor da seguinte
forma.
Figura - 2. 30. Circuito equivalente de Norton
2.14.1- Como utilizar os Teoremas de Thevenin e Norton
1 – Isolar a parte da rede a ser substituída
2 – Marcar os dois terminais
3 – Determinar RTH equivalente entre os dois terminais com as fontes de corrente em aberto e
as fontes de tensão curto-circuitadas
4 - calcular VTH ou IN entre os terminais com todas as fontes presentes
5 – Usar as leis de Kirchhoff
6 – Usar o teorema da superposição
2. 15 - Teorema da Superposição
A corrente através de (ou a voltagem em) cada elemento em uma “rede linear” é
igual a soma algébrica das correntes (ou voltagem) produzido por cada fonte.
Figura - 2. 31.
2. 16 - Ponte de Wheatstone
A ponte Wheatstone é um circuito em que é possível equilibrar tensões e correntes
de tal forma que a resistência entre as extremidades da ponte é nula:
Figura - 2. 32. Ponte de Wheatstone
Vejamos agora como resolver a ponte de Wheatstone pelo Teorema de Thevenin
i) Em primeiro lugar separa-se o circuito em duas partes simétricas:
Figura - 2. 33. Solução matemática da Ponte de Wheatstone pelo Teorema de Thevenin
ii) Depois resolve-se cada parte utilizando o Teorema de Thevenin considerando o
galvanômetro como sendo uma fonte de corrente e cada lado simétrico da ponte como sendo
igual a uma fonte e um resistor de Thevenin.
Figura - 2. 34. Solução matemática da Ponte de Wheatstone pelo Teorema de Thevenin
V1  R3 I1  R4 I1  0
(2. 73)
V2  R1I 2  R2 I 2  0
(2. 74)
V1   R3  R4  I1
(2. 75)
V2   R1  R2  I 2
(2. 76)
e
logo
e
Então
I1 
V1
 R3  R4 
(2. 77)
I2 
V2
 R1  R2 
(2. 78)
e
Por outro lado,
VAB  VA  VB  R3 I1  R1I 2
e
(2. 79)
VAB  VA  VB  R4 I1  R2 I 2
(2. 80)
Substituindo (2. 77) e (2. 78) em (2. 79) temos:
VAB  R3
V1
V2
 R1
 R3  R4 
 R1  R2 
(2. 81)
Substituindo (2. 77) e (2. 78) em (2. 79) temos:
VAB  R4
V1
V2
 R2
 R3  R4 
 R1  R2 
(2. 82)
Sendo V1  V2  VS temos:
VAB
R3
R1


VS  R3  R4   R1  R2 
(2. 83)
Na situação de ponte equilibrada entre b e c temos:
VAB  0
(2. 84)
IG  0
(2. 85)
VG  0
(2. 86)
onde
logo
mesmo que RG  0. Logo
0
R3
R1

 R3  R4   R1  R2 
(2. 87)
0
R4
R2

 R3  R4   R1  R2 
(2. 88)
ou
e
R3
R1

 R3  R4   R1  R2 
(2. 89)
R4
R2

 R3  R4   R1  R2 
(2. 90)
R3  R1  R2   R1  R3  R4 
(2. 91)
R4  R1  R2   R2  R3  R4 
(2. 92)
ou
logo
ou
e na situação de ponte equilibrada entre b e c também temos:
R3 I1  R1I 2
(2. 93)
R4 I1  R2 I 2
(2. 94)
e
Dividindo (2. 93) por (2. 94) temos:
R1 R3

R2 R4
(2. 95)
R 
R3   1  R4
 R2 
(2. 96)
Então
Veja que o valor de uma resistência dependerá do valor proporcional de duas
outras resistências multiplicado por uma quarta resistência. Isto poderá ser utilizado em
situações em que uma grandeza física possa ser determinada pelo valor de alguma resistência
ou tensão sobre um do lados da ponte de Wheatstone.
2.16.1 - Aplicação da Ponte de Wheatstone
Qualquer grandeza física em que seja possível associar o valor de uma tensão ou
resistência elétrica, por meio de um transdutor utilizado para a sua medida, pode ser incluído
em uma ponte de Wheatstone. Este valor de tensão associado ao elemento de um circuito
pode ser utilizado para se obter uma ampliação do seu valor com a finalidade de tornar a
medida mais sensível.
Figura - 2. 35. Ponte de Wheatstone aplicada a um experimento de medida de temperatura com um
termopar.
Desta forma, temos:
R 
R3   1  Rx
 R2 
(2. 97)
A medida da resistência dependerá do comprimento da trinca, portanto, este
comprimento e a sua velocidade poderá ser determinada via circuito elétrico da ponte de
Wheatstone.
Figura - 2. 36. Ponte de Wheatstone aplicada a um experimento de medida do comprimento e da
velocidade de crescimento de uma trinca.
2. 17 - Capacitores
Capacitores são dispositivos eletrônicos capazes de armazenar carga elétrica.
Geralmente são construídos a partir de duas placas condutoras separadas por um meio
dielétrico ou isolante que pode ser o vácuo, ou qualquer material isolante, conforme mostra a
Figura - 2. 37.
Figura - 2. 37. Capacitor de placas planas e paralelas
Nos capacitores a carga elétrica armazenada, Q, é uma função da tensão ou
diferença de potencial (d,d.p.) aplicada, V, sobre ele logo:
Q  Q(V )
(2. 98)
Nestes dispositivos a relação entre carga e tensão é diretamente proporcional, onde:
Q ~V
(2. 99)
Chamamos de capacitância, C’, a constante que relaciona a carga,Q, com a tensão, V,
conforme a relação.
Q  CV
(2. 100)
Para um campo elétrico uniforme a tensão entre as placas é dada por:
V  E.d .
Logo o campo elétrico para uma placa plana e infinita é dado por:
(2. 101)
E
4
4Q

o
o A
(2. 102)
onde  é a densidade superficial de carga e 4 é o ângulo sólido e o é a constante dielétrica
do vácuo.
Figura - 2. 38. Superfície de Gauss para o cálculo do campo elétrico.
Logo a tensão entre as placas é dada por:
V 
4dQ
A
(2. 103)
Para satisfazer a equação (2. 100) o valor da capacitância de um capacitor, como
aquele de placas planas de área A, separada por vácuo a uma distância d entre elas, é dada por:
Co   o
A
4d
(2. 104)
Observe que a capacitância é uma grandeza puramente geométrica. Portanto quanto mais
próximo estiverem as placas, e, quanto maiores forem elas, maior será a capacitância.
Na prática temos capacitores com dielétricos de papel mergulhados em óleo,
chamado de “capacitores eletrolíticos”.
Figura - 2. 39. Capacitores de placas planas paralelas enrolado em formato cilíndrico.
Para a construção de capacitores de placas paralelas existe uma limitação
geométrica dada pela espessura, d, do seu material dielétrico, o ideal seria um filme de
“espessura atômica”. Uma outra alternativa é modificar as propriedades do meio dielétrico.
Hoje em dia com a evolução da nanotecnologia pode-se obter capacitores minúsculos de
altíssimo valor.
Considerando o caso de existir um meio dielétrico separando as placas com
constante dielétrica, , temos:
C 
A
4d
(2. 105)
Considerando que o “meio”, ou seja, o material no interior do capacitor é o próprio vácuo
temos:
Co   o
A
4d
(2. 106)
onde o é a constante dielétrica do vácuo.
Logo dividindo a relações (2. 105) por (2. 106) temos que:
C


Co  o
(2. 107)
Se um meio dielétrico é colocado entre as placas condutoras do capacitor a nova
capacitância C é dada por:
C

Co
o
(2. 108)
Onde  é a constante dielétrica do meio.
Concluímos, portanto, que quanto maior for a constante dielétrica do meio
material em relação ao vácuo, maior será o valor da capacitância final do capacitor. Materiais
cerâmicos da família das perovskitas, possuindo alta constante dielétrica, , são utilizados na
fabricação de “capacitores cerâmicos”.
Um capacitor só estraga quando as suas placas se fundem ou quando o meio
dielétrico se degenera perdendo suas propriedades e passando a ter um valor de  diferente do
desejado, por um processo chamado de ruptura dielétrica do meio material.
Para se entender o que seja uma “ruptura dielétrica” basta imaginarmos as
descargas elétricas que acontecem em dias de tempestade, a qual nós chamamos de raio.
Neste caso o potencial elétrico entre nuvens e o solo é tão alto que rompe a rigidez dielétrica
do ar provocando a descarga elétrica (relâmpago e trovão). Esta rigidez dielétrica é medida
em termos da constante dielétrica, , do meio.
Figura - 2. 40. Ruptura dielétrica do ar em dias de tempestade, raio entre nuvens com diferença de
potencial entre elas.
Normalmente, um capacitor terá uma especificação de tensão limite, V, e de
capacitância, C.
2. 18 - Circuito puramente capacitivo e associação de capacitores
Vejamos os dois tipos de associação de capacitores de forma análoga a associação
de resistores,
2.18.1 - Em paralelo:
Figura - 2. 41. Associação em paralelo de capacitores.
Sabendo-se que as tensões em cada capacitor são iguais e que as correntes são
diferentes temos que:
V
Qi
i= 1, 2, 3, ..., n
Ci
(2. 109)
Considerando a existência de uma capacitância equivalente temos:
Ceq 
QT
V
(2. 110)
Como
QT   Qi
i
Temos:
(2. 111)
n
Q
i
Ceq 
n

i 1
V
i 1
Qi
V
(2. 112)
Usando (2. 111) em (2. 112) temos que:
n
Ceq   Ci
(2. 113)
i 1
2.18.2 - Em série:
Figura - 2. 42. Associação em série de capacitores
Sabendo que a tensão em cada capacitor é dada por:
Vi 
Qi
Ci
(2. 114)
E que a tensão total é a soma das tensões parciais temos que:
n
VT   Vi
(2. 115)
i 1
Logo
n
Qi
i 1 Ci
VT  
(2. 116)
Considerando a existência de uma capacitância equivalente dada por:
QT
C eq
(2. 117)
QT  Qi
(2. 118)
n Q
QT
 i
Ceq i 1 Ci
(2. 119)
n 1
1

Ceq i 1 Ci
(2. 120)
VT 
Onde
Temos que:
Portanto
2. 19 – Indutores, Circuito puramente indutivo e associação de
indutores
2.19.1 - Em série:
Figura - 2. 43. Associação em série de indutores
Sabendo que a tensão em cada capacitor é dada por:
dI
dt
V Li   Li
(2. 121)
E que a tensão total é a soma das tensões parciais temos que:
n
VT   Vi
(2. 122)
i 1
Logo
n
VT   Li
i 1
dI i
dt
(2. 123)
Considerando a existência de uma capacitância equivalente dada por:
VT   Leq
dI T
dt
(2. 124)
Onde
IT  I i
Temos que:
(2. 125)
n
dI
dI T
 Leq
  Li i
dt
dt
i 1
(2. 126)
Portanto
n
Leq   Li
(2. 127)
i 1
2.19.2 - Em Paralelo
Figura - 2. 44. Associação indutores em paralelo
De acordo com a Figura - 2. 15 associação de resistores em paralelo produz uma
única d.d.p. entre os pontos A e B de tal forma que:
V AB   Leq
como:
dI
dt
(2. 128)
n
I   Ii
(2. 129)
i 1
Tem-se:
n
V AB   Leq 
i 1
dI i
dt
(2. 130)
Logo
n
1

Leq

i 1
dI i
dt
(2. 131)
V AB
Mas VAB = V1 = V2 = V3 = ....= Vi, portanto
n
1
1 dI i
 
Leq
i 1 Vi dt
(2. 132)
Considerando que a lei de Ohm é valida para cada resistor tem-se que:
dI i
dt
(2. 133)
n
1
1

Leq i 1 Li
(2. 134)
V i   Li
Substituindo-se (2. 48) em (2. 47) tem-se:
Observe que no caso particular em que R1 = R2 = R3 = ....= Ri, resistências iguais tem-se:
1
n

Leq L
(2. 135)
L
n
(2. 136)
Logo
Leq 
E ainda para o caso de dois resistores apenas pode-se escrever:
1
1
1


Leq L1 L2
(2. 137)
L  L2
1
 1
Leq
L1 L 2
(2. 138)
L1 L2
L1  L2
(2. 139)
Ou
Portanto
Leq 
2. 20 - Transientes de corrente contínua em circuitos, RC, RL, LC
e RLC em série e em paralelo
Vamos agora estudar os diferentes circuitos com os componentes estudados até
agora nas suas diferentes configurações.
O termo “transiente” refere-se às quantidades cujos valores variam no tempo
devido a alterações registradas no circuito elétrico.
2.20.1 - Transiente de Circuito RC
Consideremos um capacitor (-| |-) de dielétrico perfeito, associado em série com
um resistor (Figura - 2. 45) onde analisaremos os seus efeitos assim que ligarmos ele a uma
fonte de tensão (concomitantemente)
Assim que se completa a ligação, ocorre um deslocamento de elétrons no circuito,
com a finalidade de igualar os potenciais das placas do capacitor aos terminais da fonte. Uma
das placas ficará com a polaridade positiva e a outra com a polaridade negativa da fonte.
Figura - 2. 45. Circuito RC de corrente contínua
Portanto, haverá corrente no circuito apenas durante o tempo necessário para que
essa igualdade seja estabelecida. A corrente de cargas elétricas no circuito será máxima no
instante em que o capacitor for ligado a fonte, caindo a zero após o capacitor ficar
completamente carregado, ou seja, quando a d.d.p. entre suas placas for igual a d.d.p.
existente entre os terminais da fonte (-|:-).
Na teoria o capacitor (-| |-) só ficará completamente carregado após um tempo
infinitamente longo. Porém, na prática esse tempo é finito. A d.d.p. no circuito é dado por:
VT  VR  VC
(2. 140)
onde
VR  iR
(2. 141)
VC  q / C
(2. 142)
e
Logo substituindo-se (2. 141) e (2. 142) em (2. 140) temos:
VT  iR  q / C
(2. 143)
As letras maiúsculas simbolizam, ou representam, os valores instantâneos de
corrente e de carga adquiridos pelo capacitor. O produto iR é a queda de tensão no resistor,
VR, e o termo que corresponde à tensão nas placas do capacitor, VC, é dado pela equação (2.
142).
No início do fenômeno à carga no capacitor ainda é zero, portanto:
VT  VR
para t  0
(2. 144)
Logo
VT  iR
(2. 145)
Verifica-se que o valor inicial da corrente é limitada pela resistência do circuito.
VT  iR  q / C
(2. 146)
No fim da carga, a quantidade de energia armazenada no capacitor já atingiu o seu
valor final (Q). Logo não haverá mais corrente no circuito. Portanto,
VT  VC
(2. 147)
VT  Q / C
(2. 148)
Ou
Onde Q é a carga total armazenada no capacitor.
Considerando que a tensão no circuito completo é nula, e que a corrente é dada
por (2. 146), podemos escrever (2. 8) como sendo:
R
dq q
  Vo  0
dt c
(2. 149)
Resolvendo esta equação diferencial nós encontramos que para q’ = q/C + Vo
temos:
RC
dq'
 q'  0
dt
(2. 150)
Logo
dq'  dt

q'
RC
(2. 151)
Integrando temos:
ln q '  
t
 cte
RC
(2. 152)
Logo
ln(q / C  Vo )  t / RC  cte
(2. 153)
q / C  Vo  Ae  t / RC
(2. 154)
q  ACe  t / RC  Vo C
(2. 155)
Portanto
Ou
Considerando que para t = 0 temos que q = 0 e para t   temos q = Q, ficamos
com:
A  Vo e Q  Vo C
(2. 156)
q (t )  Q(1  e  t / RC )
(2. 157)
Finalmente temos que:
cujo gráfico é mostrado na Figura - 2. 46.
Q(t) (Coulombs) e V C(t) (Volts)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Figura - 2. 46. Curva de carga de um capacitor em um circuito de corrente contínua.
Calculando a tensão no capacitor temos que:
q (t )C  QC (1  e  t / RC )
(2. 158)
VC (t )  Vo (1  e  t / RC )
(2. 159)
Logo
Calculando a corrente no capacitor através da equação (2. 8) temos que:
i (t )  I o e t / RC
onde Io = Q/RC, cujo o gráfico é mostrado na Figura - 2. 47.
(2. 160)
1,0
IC (Ampéres)
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Figura - 2. 47. Corrente de descarga no capacitor em um circuito de corrente contínua.
Multiplicando (2. 160) por R temos que a tensão no resistor é dada por:
VR (t )  Vo e t / RC
(2. 161)
Onde Vo = RIo = Q/C
Figura - 2. 48. tensão de carga e descarga no capacitor em um circuito de corrente contínua.
Portanto a tensão total no circuito é dado por:
VT  RI o e  t / RC  Vo (1  e  t / RC )
Logo
(2. 162)
VT  RI o  Vo .
(2. 163)
Observe a partir da equação (2. 163) que existe um tempo característico que define o tempo
de carga e descarga de um capacitor. Este é dado pelo produto da resistência, R, do resistor
com a capacitância, C, do capacitor.
2.20.2 - Constante de tempo de um circuito RC
A constante de tempo de um circuito RC é o tempo que seria necessário para a
corrente atingir o valor a zero se continuasse decrescendo com a mesma capacidez,
observando o mesmo início dos fenômenos de carga ou de descarga.
A razão de variação da corrente diminui a cada instante, o que retarda a sua queda
tornando mais demorada a carga ou a descarga do capacitor. Por este motivo, no tempo
correspondente a uma constante de tempo a corrente perde apenas 63% do seu valor inicial.
Isto significa que a constante de tempo é também o tempo necessário para que suas placas
atingem 63,2% do seu valor final.
Para que o capacitor fique completamente carregado é necess’ario um tempo bem
maior aproximadamente 5 vezes a constante de tempo de um circuito RC, representado pela
letra “” e dada pela expressão:
 = RC
(2. 164)
Onde: C é a capacitância do circuito, em Farads (F); R é a resistência em Ohms () e  é a
constante de tempo do circuito em segundos (s).
O tempo aproximado para completar a carga do capacitor é igual a 5 segundos
2.20.3 - Transiente de Circuito RL
Consideremos um indutor [ -()))))))- ] feito de um condutor elétrico perfeito,
associado em série com um resistor (Figura - 2. 45) onde analisaremos os seus efeitos assim
que ligarmos ele a uma fonte de tensão (concomitantemente)
Assim que se completa a ligação, ocorre um deslocamento de elétrons no circuito,
com a finalidade de igualar os potenciais das placas do capacitor aos terminais da fonte. Uma
das placas ficará com a polaridade positiva e a outra com a polaridade negativa da fonte.
Figura - 2. 49. Circuito RL de corrente contínua
Portanto, haverá corrente no circuito apenas durante o tempo necessário para que
essa igualdade seja estabelecida. A corrente de cargas elétricas no circuito será máxima no
instante em que o indutor for ligado a fonte, caindo a zero após o indutor ficar completamente
carregado, ou seja, quando a d.d.p. entre suas extremidades for igual a d.d.p. existente entre os
terminais da fonte (-|:-).
Na teoria o indutor [ ()))))) ] só ficará completamente carregado após um tempo
infinitamente longo. Porém, na prática esse tempo é finito. A d.d.p. no circuito é dado por:
VT  VR  VL
(2. 165)
VR  iR
(2. 166)
VL   LdI / dt
(2. 167)
onde
e
Logo substituindo-se (2. 141) e (2. 142) em (2. 140) temos:
VT  iR  LdI / dt
(2. 168)
As letras maiúsculas simbolizam, ou representam, os valores instantâneos de
corrente e de carga adquiridos pelo capacitor. O produto iR é a queda de tensão no resistor,
VR, e o termo que corresponde à tensão nas placas do capacitor, VL, é dado pela equação (2.
142).
No início do fenômeno à carga no capacitor ainda é zero, portanto:
VT  VR
para t  0
(2. 169)
Logo
VT  iR
(2. 170)
Verifica-se que o valor inicial da corrente é limitada pela resistência do circuito.
VT  iR  LdI / dt
(2. 171)
No fim da carga, a quantidade de energia armazenada no capacitor já atingiu o seu
valor final (Q). Logo não haverá mais corrente no circuito. Portanto,
VT  VL
(2. 172)
VT   LdI / dt
(2. 173)
Ou
Onde I é a corrente total armazenada no indutor.
Considerando que a tensão no circuito completo é nula, e que a corrente é dada
por (2. 146), podemos escrever (2. 8) como sendo:
dI
 Vo  0
dt
(2. 174)
dI R
 I  Vo  0
dt L
(2. 175)
RI  L
Ou
Resolvendo esta equação diferencial nós encontramos que para I’ = RI/L + Vo
temos:
R dI '
 I ' 0
L dt
(2. 176)
dI '  Ldt

I'
R
(2. 177)
Logo
Integrando temos:
ln I '  
Lt
 cte
R
(2. 178)
Logo
ln( RI / L  Vo )  tL / R  cte
(2. 179)
RI / L  Vo  Ae  Lt / R
(2. 180)
L  Lt / R L
e
 Vo
R
R
(2. 181)
Portanto
Ou
IA
Considerando que para t = 0 temos que q = 0 e para t   temos I = I0, ficamos
com:
A  I o e I  Vo / R
(2. 182)
I (t )  I 0 (1  e  Lt / R )
(2. 183)
Finalmente temos que:
cujo gráfico é mostrado na Figura - 2. 46.
Q(t) (Coulombs) e V C(t) (Volts)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Figura - 2. 50. Curva de carga de um capacitor em um circuito de corrente contínua.
Calculando a tensão no capacitor temos que:
I (t )  I 0 (1  e  Lt / R )
(2. 184)
VL (t )  Vo (1  e  Lt / R )
(2. 185)
Logo
Calculando a corrente no indutor através da equação (2. 8) temos que:
i (t )  I o e  Lt / R
(2. 186)
onde Io = VL/R, cujo o gráfico é mostrado na Figura - 2. 47.
1,0
IC (Ampéres)
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Figura - 2. 51. Corrente de descarga no capacitor em um circuito de corrente contínua.
Multiplicando (2. 160) por R temos que a tensão no resistor é dada por:
VR (t )  Vo e  Lt / R
Onde Vo = RIo = LdI/dt
(2. 187)
Figura - 2. 52. tensão de carga e descarga no capacitor em um circuito de corrente contínua.
Portanto a tensão total no circuito é dado por:
VT  RI o e  Lt / R  Vo (1  e  Lt / R )
(2. 188)
VT  RI o  Vo .
(2. 189)
Logo
Observe a partir da equação (2. 163) que existe um tempo característico que define o tempo
de carga e descarga de um capacitor. Este é dado pelo produto da resistência, R, do resistor
com a capacitância, C, do capacitor.
2.20.4 - Constante de tempo de um circuito RL
A constante de tempo de um circuito RL é o tempo que seria necessário para a
corrente atingir o valor a zero se continuasse decrescendo com a mesma indutância,
observando o mesmo início dos fenômenos de carga ou de descarga.
A razão de variação da corrente diminui a cada instante, o que retarda a sua queda
tornando mais demorada a carga ou a descarga do capacitor. Por este motivo, no tempo
correspondente a uma constante de tempo a corrente perde apenas 63% do seu valor inicial.
Isto significa que a constante de tempo é também o tempo necessário para que os
enrolamentos do indutor atinjam uma corrente 63,2% do seu valor final.
Para que o indutor fique completamente carregado é necessário um tempo bem
maior aproximadamente 5 vezes a constante de tempo de um circuito R/L, representado pela
letra “” e dada pela expressão:
 = R/L
(2. 190)
Onde: L é a indutância do circuito, em Henrys (F); R é a resistência em Ohms () e  é a
constante de tempo do circuito em segundos (s).
O tempo aproximado para completar a corrente do indutor é igual a 5 segundos
2.20.5 - Transiente de Circuito LC
2.20.6 - Constante de tempo de um circuito LC
2. 21 - Geradores e Motores de Corrente Contínua
2.21.1 – Princípio de Funcionamento
Todos os motores elétricos valem-se dos princípios do eletromagnetismo,
mediante os quais condutores situados em um campo magnético e atravessados por correntes
elétricas sofrem a ação de uma força mecânica, ou eletroímãs exercem forças de atração ou
repulsão sobre outros materiais magnéticos. Na verdade, um campo magnético pode exercer
força sobre cargas elétricas em movimento. Como uma corrente elétrica é um fluxo de cargas
elétricas em movimento em um condutor, conclui-se que todo condutor percorrido por uma
corrente elétrica, imerso em um campo magnético, pode sofre a ação de uma força.
Figura - 2. 53. Eletroímã e fluxo do campo magnético no interior de um solenóide sujeito a uma
corrente elétrica.
Em um motor há dois eletroímãs em que um impulsiona o outro. O eletroímã tem
algumas vantagens sobre um ímã permanente.
1) Podemos terna-lo mais forte.
2) Seu magnetismo pode ser criado ou suprimido.
3) Seus pólos podem ser invertidos.
Um imã permanente tem os pólos norte-sul definidos. Um eletroímã também os
tem, mas a característica de cada pólo (norte ou sul) depende do sentido da corrente elétrica.
Quando se altera o sentido da corrente, a posição dos pólos também se altera; do norte para o
sul e de sul para norte.
Um dos eletroímãs de um motor tem uma posição fixa; está ligado à armação
externa do motor e é responsável pelo campo magnético. O outro eletroímã está colocado no
eixo de rotação e tem o nome de armadura. Quando se liga o motor, a corrente chega à bobina
do campo, determinando os pólos norte e sul. Há também, o fornecimento de corrente ao ímã
da armadura, o que determina a situação norte ou sul dos seus pólos. Os pólos opostos dos
dois eletroímãs se atraem, como acontece nos ímãs permanentes. O ímã da armadura, tendo
movimento livre, gira, afim de que seu pólo norte se aproxime do pólo sul do ímã do campo e
seu pólo sul do pólo norte do outro. Se nada mais acontecesse, o motor pararia
completamente.Um pouco antes de se encontrarem os pólos opostos, no entanto, a corrente é
invertida no eletroímã da armadura (com o uso de um comutador mecânico por rotação),
invertendo, assim, a posição de seus pólos; o norte passa a ser o que está próximo ao norte do
campo e o sul passa a ser o que está próximo ao sul do campo. Eles então se repelem e o
motor continua em movimento. Esse é o princípio de funcionamento do motor de corente
contínua.
Figura - 2. 54. Inversão dos pólos e do campo magnético no interior de um motor elétrico de
corrente contínua.
Os motores elétricos modernos, utilizados em eletrodomésticos em máquinas
industriais, possuem um conjunto de espiras , que são ligadas e desligadas, mantendo o motor
sempre impulsionado.
A velocidade que um motor de corrente contínua apresenta-se dependente sempre
da intensidade de corrente que atravessa o induzido, variando a tensão aplicada nos terminais
do induzido a velocidade podem aumentar ou diminuir conforme o caso, o número de espiras
das bobinas do induzido também é outro fator a ter atenção, porque faz variar o campo
magnético e por conseqüência a velocidade, para além deste três fatores a velocidade ainda
depende, do fluxo do pólo e do número de pólos do indutor.
Esta velocidade por vezes tem de ser ajustada ao sistema a que o motor está
relacionado. Tendo-se em conta o que foi dito anteriormente, verifica-se que podemos variar,
ou melhor, regular a velocidade do motor se variarmos a tensão a que está sujeito, ou então se
o fluxo magnético indutor for variado, a velocidade por arrastamento, em conseqüência varia
também.
Segundo consulta bibliográfica, alguns autores apresentam duas formas de se
fazer variar a velocidade. A maneira mais prática que consiste em fazer variar o fluxo
magnético do indutor através de um reostato de campo, que permite aos operadores variar a
intensidade de corrente que atravessa as bobinas indutoras. A outra maneira, embora menos
prática consiste em adicionar ao sistema uma resistência variável em série com o induzido,
que terá a finalidade de fazer variar a tensão aplicada aos terminais do motor.
2.21.2 – Constituição de um Motor de Corrente Contínua
As máquinas de corrente contínua, quer geradores, quer motores são constituídas
por: indutor, induzido, coletor, escovas.
INDUTOR
Tem a finalidade de produzir o campo magnético, em que a carcaça (estator) faz
parte do circuito magnético. Este campo tanto pode ser produzido por um ímã permanente
como por uma eletroímã, sendo estes últimos o mais utilizados, pois podem produzir campos
magnéticos reguláveis e mais intensos. O indutor é constituído por três partes: A parte
externa, denominada carcaça, pelos núcleos onde são implantadas as bobinas indutoras e pelas
peças polares, por entre as quais se desloca o induzido. Os pólos são parafusados ao estator e
as bobinas são colocadas nas peças polares de forma circular, sendo estas enroladas de forma
a terem polaridades opostas. Os eletroímãs das bobinas são excitados por corrente contínua,
que passa nas bobinas que envolvem os pólos.
Há dois tipos de bobinas indutoras ou de excitação
2. 22 – Exercícios e Problemas
1) Discuta a origem da eletricidade.
2) Explique algumas dos principais propriedades elétricas dos materiais.
3) Dê exemplos e explique o funcionamento de três fontes de eletricidade
4) Explique quais são as Leis de Kirchoff, o que elas significam e como se explicam em um
circuito.
5) Explique o que significa a Lei de Ohm e diante das propriedades elétricas dos materiais
como ela se justifica?
6) Como se associam os seguintes dispositivos em série e em paralelo?
Resistor
b) Capacitor
c) Indutor
d) Baterias
7) Explique o que significa e qual a utilização dos seguintes teoremas:
a) Superposição
b) Thevenin
c) Norton
8) Qual a utilidade de uma ponte de Wheatstone?
9) Como se calcula a potencia de um circuito e o que ela significa?
10) Explique o que são transistores de C.C.?
11) Qual a importância da constante de tempo de um circuito e como ela é calculada para um
circuito RC e RL?
12) Descreva as equações matemáticas dos circuitos RC, RL, LC e RLC, em série e em
paralelo, usando as leis de Kirchoff.
13) Como se produz uma corrente alternada? Explique com base nas leis de indução de
Faraday.
14) O que você pode dizer a respeito dos campos elétrico e magnético em um fio condutor
atravessado por uma corrente elétrica? Como eles são e onde eles estão?
2. 23 – Referências Bibliográficas
- Milton Gussow – Eletricidade Básica Ed. Shawum, Mc. Grow-Hill-SP, 1985
- Marco A. S. de Vasconcellos, Laboratório de Eletricidade e Magnetismo, UFSC,
Florianópolis, 1984.
- Albert Paul Malvino, Eletrônica, vol. 1, Mc. Grow-Hill-SP.
Capítulo – III
FUNDAMENTOS DE CORRENTE ALTERNADA
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções básicas de geração de eletricidade por
corrente alternada, desde o ponto de vista das leis do eletromagnetismo em circuitos elétricos
de corrente contínua, tais como a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff. O objetivo deste capítulo
é proporcionar ao estudante o conhecimento de equações básicas para o cálculo de circuitos
elétricos de corrente alternada como também conhecer quais são os principais tipos de
motores e geradores de corrente alternada que existe hoje em dia. Neste capítulo apresentase os conceitos dos elementos utilizados em eletrotécnica (a fonte de energia, os sinais
elétricos e os componentes). Descreve-se seus equacionamentos e as formas de soluções, suas
técnicas de medidas e a solução de circuitos elétricos por meio dos “software” de simulação
computacional (Workbrench e SPICE). São elaboradas algumas experiências para
complementação da teoria com a prática. Para tal, segue-se o roteiro a seguir.
Palavras Chave: Carga Elétrica; Campo Elétrico; Corrente Elétrica; Tensão Elétrica; Lei de
Ohm.
PACS números:
3. 1 –Objetivos do Capítulo
i) Entender o princípio de geração de corrente alternada;
ii) Saber extrair as características e os parâmetros físicas de uma senoide;
iii) Saber utilizar o método de fasores para resolver um circuito de corrente alternada
iv) entender o funcionamento de motores de corrente alternada
v)
3.2 – Introdução
A matéria é constituida de partículas elementares denominadas átomos ou
moléculas. Estas partículas elementares são compostas de cargas elétricas positivas (prótons)
e negativas (elétrons). A tensão elétrica é devido a separação destas cargas. Se existe uma
tensão elétrica entre dois pontos, existe uma diferença de energia potencial, uma capacidade
de realizar trabalho, armazenada nas cargas separadas. A unidade de tensão elétrica no
Sistema Internacional de Unidades é voltagem (V). Esta energia potencial, convenientemente
acoplada a um dispositivo, pode ser transformada em potência mecânica(os motores
elétricos), em energia luminosa(as lâmpadas elétricas) e em calefação(os
chuveiros
residenciais).
As cargas elétricas(íons ou elétrons) podem se movimentar em um meio devido a
uma tensão elétrica. Os metais e certos não metais, como a terra úmida, o carvão e certos
líquidos conduzem corrente elétrica. Os metais têm elétrons que podem se movimentar
livremente no interior dos metais. Estes elétrons são denominados de elétrons livres. O
movimento de elétrons livres se denominam corrente elétrica. O ar, o vidro, os plásticos e a
maioria dos materiais cerâmicos não conduzem corrente elétrica. O sentido convencional da
corrente é o inverso do sentido dos elétrons nos metais. A unidade de corrente elétrica no
Sistema Internacional de Unidades é o ampere (A).
3.3 – Sinais Elétricos: Tensão, Corrente Potência
A corrente alternada possui sua importância no fato de se poder produzir e
transportar energia elétrica para a sua utilização diária.
O gerador elétrico é um aparelho que fornece uma tensão elétrica determinada em
função do tempo. Uma pilha é um gerador elétrico que fornece uma tensão constante em
função do tempo. Ao ser ligado através de fios condutores a uma lâmpada elétrica,
denominada de carga1, tem-se um circuito elétrico, figura 1. Um circuito elétrico é um
caminho fechado de gerador e cargas conectados através de condutores elétricos. Através do
interruptor pode ser aberto ou fechado o circuito. A corrente elétrica só circula em circuitos
fechados. Como a carga elétrica se conserva2, em cada seção, um pedaço do fio, um
dispositivo, a corrente que entra é igual a que sai.
Figura - 3. 1.Circuito elétrico de uma pilha alimentando uma lâmpada incandesecente.
A tensão elétrica, sendo um potencial entre dois pontos é medida através de um
aparelho denominado voltímetro, com os terminais de contatos colocados nestes pontos,
figura 3. Diz que o voltímetro está em paralelo com os pontos que se mede. Normalmente ao
conectar um voltímetro quando se mede uma tensão desconhecida, seleciona sua chave para o
máximo. A corrente elétrica é um elemento que escorre, escoa semelhante ao escoamento de
um fluido em um duto. A medida da corrente é feito inserindo o aparelho de medida da
corrente, denominado amperímetro, no caminho da corrente que se pretende medir. Diz que o
amperímetro está em série com os elementos que se mede. Da mesma maneira que a tensão
elétrica, ao se medir a corrente, seleciona-se inicialmente a chave para o máximo.
1 O termo carga aqui empregado significa um dispositivo que consome energia elétrica, diferentemente do termo carga elétrica, utilizado
anteriormente.
2 De uma maneira mais sofisticada, estas observações podem ser derivadas da equação de Maxweel   D   .
Figura - 3.2. Configurações de medida da tensão elétrica (a) e da corrente elétrica (b).
O mais utilizado dos geradores elétricos fornecem as tensões elétricas da redes
residenciais, comerciais e industriais. A partir das usinas (hidráulicas, transformadoras da
energia de queda dágua em elétrica, nucleares, energia do átomo em elétrica, térmica, calor
em elétrica), uma tensão elétrica é entregue, através dos fios condutores, para os centros
consumidores. Uma tomada residencial, figura 3, é uma tensão elétrica com três terminais
denominados de fase, neutro e terra, por esta razão chamada de tensão monofásica (uma
tomada com dois terminais, muito comum nas residências, são de fase e neutro). Na seção (a)
tem-se uma tomada e os seus valores de tensão elétrica e em (b) como ela são ligadas ao poste
e a terra. A configuração da figura obedece à norma, e deve ser obedecida, pois pode acarretar
problemas nos equipamentos elétricos. A tensão de fase é uma senoide de frequência de 60
Hz e valor de pico em torno de 250 V (variação do ponto de fase relativo ao neutro). O fio
neutro é uma espécie de retorno da corrente. O valor da tensão do neutro depende da
instalação elétrica (o ideal seria zero em relação à terra), e é colocado um valor de pico de 3
V, que é uma valor da ordem, encontrável em instalações elétricas. Na seção (b) da figura 3,
temos uma representação dos sinais de fase, neutro e aterramento. Do poste que contem o
transformador vem a fase e o neutro. O aterramento elétrico é utilizado para proteção, e
manter no mesmo nível de potencial elétrico as diversas carcaças de equipamentos que
estejam ligadas este ponto.
Figura - 3.3. Tomada monofásica, seus valores e representação de sua instalação.
3.4 - Propriedades magnéticas e eletromagnéticas
Oersted foi o primeiro a relacionar a origem do campo magnético com a passagem
de uma corrente elétrica em um fio. Por outro lado, Einstein descobriu que o campo
magnético é um efeito de referencial de velocidade do campo elétrico em relação a um
observador inercial. Maxwell descobriu que a variação temporal de um campo elétrico produz
um campo magnético variável no tempo e este por sua vez produz um campo elétrico variável
no tempo e assim por diante dando origem as chamadas ondas eletromagnéticas, que para o
um intervalo de freqüência bem definido produz a sensação de luz visível. Da descoberta de
Maxwell decore que uma carga elétrica acelerada produz um radiação eletromagnética.
Materiais sujeitos a campos elétricos e magnéticos respondem de forma análoga
onde vale:
GRANDEZAS FÍSICAS
Material sujeito a
GRANDEZAS FÍSICAS
Material sujeito a um
DA ELETRICIDADE
um Campo Elétrico
DO MAGNETISMO
Campo Magnético
Campo Elétrico
E = E0 + 4P
Campo Magnético resultante
B = H0 + 4M
P = f(E)
Magnetização como função do
M = g(B)
resultante
Polarização como função
do campo elétrico
campo magnético resultante
resultante
Constante dielétrica

Aproximação linear entre
a Polarização e o campo

Aproximação linear entre a
P  E0
externo aplicado
Campo Elétrico
Permeabilidade magnética
Magnetização e o campo externo
M  H0
aplicado
E  E0 + 4E0
Campo Elétrico resultante
B  H0 + 4H0
E = (1 + 4)E0
Relação entre o Campo
B = (1+ 4)H0
resultante
Relação entre o Campo
Elétrico aplicado e o
Magnético aplicado e o Campo
Campo Elétrico
Magnético resultante
resultante
Susceptibilidade Elétrica
e  1 + 4
Susceptibilidade Magnética
m  1 + 4
Relação entre campo
E  e E0
Relação entre campo magnético
B  mH0
elétrico aplicado e
aplicado e resultante
resultante
Efeitos de campo elétrico
Histerese Elétrica
nos materiais
Dielétricos
Efeitos de campo magnético nos
Histerese Magnética
materiais
Dipolos elétricos
Diamagnéticos
Paraelétricos
Paramagnéticos
Ferroelétricos
Ferromagnéticos
Dipolos magnéticos
A velocidade de uma onda eletromagnética (luz visível, por exemplo) em um meio é uma constante dada por:
c  
3.5 - Princípios de corrente alternada
A geração de uma corrente alternada possui seu antecedente histórico na Lei de
Indução de Faraday. Esta lei diz que uma força eletromotriz é induzida em um condutor,
mergulhado em um campo magnético, quando o fluxo deste campo magnético varia no tempo,
ou seja.
 

t
(3. 1)
onde


(3.2)
   B .d a
Numa montagem como aquela mostrada na
Figura - 3.4, nós temos uma expira
de um fio condutor, cuja área da expira é atravessada por um campo magnético, B. Se a expira
gira em torno do seu eixo longitudinal, com uma velocidade angular, w, o fluxo do campo
magnético B que atravessa a área A = b.l da expira é dado por:
  B. A. cos wt
(3.3)
Logo

  B. A.w sen wt
t
(3.4)
Substituindo (3.4) em Erro! Fonte de referência não encontrada. temos:
  B. A.w sen wt
cujo gráfico da f.e.m. induzida em função do tempo é mostrado na
(3.5)
Figura - 3.5.
Figura - 3.4. Lei de Indução de Faraday, na montagem de um gerador de Corrente Alternada.
1,0
E(t) (Volts)
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0
2
4
6
8
10
Tempo (s)
Figura - 3.5. Tensão eletromotriz induzida em função do tempo, t.
Nós chamamos de corrente alternada (C. A.) qualquer sinal elétrico que varia
periódicamente com o tempo, ao contrário da corrente contínua (C.C.) que não varia.
Em um circuito a corrente alternada geralmente é proveniente de um gerador
como aquele da
Figura - 3.4. Uma força eletromotriz induzida produz sobre um resistor
uma queda de tensão do tipo:
V  Vo sen wt
Considerando-se a Lei de Ohm temos que:
(3.6)
V  RI
(3.7)
I  I o sen wt
(3.8)
Logo
Em um sinal elétrico como aquele mostrado na
Figura - 3.5, nós temos as
seguintes características.
Tabela - II. 1. Características da curva senoidal de corrente alternada
Amplitude:
Vo
Freqüência:
 =2/T = 2f
Fase (ângulo de início do sinal):
 = 0o.
A amplitude corresponde ao valor de pico do sinal alternado, Vo, e o valor de pico
a pico corresponde a 2Vo.
3.6 - Método dos Vetores Girantes
Os sinais elétricos instantâneos em eletrotécnica, tal como a tensão fase e neutro, visto
acima, tem a forma senoidal do tipo:
f(t)  Fp cossenoωt 
(3.9)
onde  é a freqüência angular da senóide (normalmente de 60Hz), Fp é o pico da senóide e t é
o tempo.
Esta senóide pode ser representada ser representada por um vetor giratório de
velocidade angular  , figura 6, e vice-versa, um vetor giratório de velocidade  , pode ser
representado pela senóide em função do tempo com uma velocidade angular  .
Figura - 3.6. Representação de um sinal senoidal pelo vetor girante.
3.7 – Característica V x I e os componentes elétricos
A característica distinta dos componentes elétricos é descrita pela relação de
tensão e corrente entre seus terminais (característica VxI). A figura 7 apresenta os diversos
componentes a serem utilizados em eletrotrotécnica, principalmente invocando a aplicação em
luz e força.
Figura - 3.7. Símbolos dos componentes utilizados nos circuitos de eletrotécnica.
3.8 – Medidas dos Sinais Elétricos: Valor Médio e Eficaz
O valor médio de uma grandeza equivale a uma medida em torno de um valor em
que oscila várias medidas, ou um valor aproximado desta medida. Quando dizemos que a
população de uma cidade é 5000 habitantes, se em um determinado momento, fizéssemos
uma medida, ou pudéssemos fazer tal, o valor poderia ser 4900, 5100, por exemplo, em
virtude de pequenas variações como emigração, migração, nascimento e falecimento de
pessoas desta cidade. Uma torneira derramando água em um recipiente, mantendo uma
mesma abertura, e medíssemos um volume de 20 litros que um o recipiente atinge ao final de
15 minutos, poderíamos dizer que vazão média da torneira é de 80l/h. Ao medir a vazão
instantânea com um fluxímetro qualquer, poderíamos obter 81l/h, 78l/h, por exemplo,
dependendo da variação da pressão antes e depois da torneira. Para uma função contínua, esta
medida, é equivalente a expressão matemática:
T
f   f ( x)dx
0
(3.10)
onde f é o valor médio da função, f(x) é a função e T é um intervalo da função
Se a função é periódica, o melhor T para caracterizar a medida da função acima é
o período. O valor médio de um sinal senoidal é nulo. Uma medida do valor senoidal é feito
pelo equivalente de energia, ou seja, o valor eficaz de uma corrente seria a igual a corrente
constante que produzisse a mesma dissipação de energia em um resistor. Isto equivale a
equação:
1 T 2
1 T
1 T
RI

p(t)dt

v(t)i(t)dt
DC
T 0
T 0
T 0
(3.11)
Para o sinal senoidal, a potência elétrica instantânea é dada por:
P  V  I  Vp cosωt I p cossenoωt 
(3.12)
Onde:  é a freqüência angular da senóide, Vp é a tensão de pico da senóide, I p é o pico da
função corrente, t é o tempo
Utilizando a equação 4, temos a potência elétrica dissipada em um resistor é dada por :
P  V 2 /R  RI 2
(3.13)
1 T 2
1 T
2
RI DC   RI 2P seno(wt)  dt

T 0
T 0
(3.14)
Então o valor eficaz será:
IP
2
I  I DC 
(3.15)
Analogamente, a tensão eficaz é dada por:
V
IP
2
(3.16)
Apesar do sinal caraterístico em eletrotécnica ser de 60 Hz, devido aos elementos não
lineares, surgem outras harmônicas. Para um sinal qualquer, o valor eficaz deste sinal é dado
por:
Veficaz 
1 2
f ( x)dx
T
(3.17)
O valor médio do sinal elétrico senoidal no tempo é zero, conforme mostra a
relação,
T
 V 
1
1
V (t )dt   Vo sen wtdt  0

T 0
T
(3.18)
onde o valor quadrático médio do sinal elétrico senoidal no tempo, conforme mostra a relação
T
T
1
1
2
 V   V (t ) 2 dt   Vo sen 2 wtdt
T 0
T 0
2
 V 2 
Vo
T
2 T
(3.19)
2
2
 sen wtdt 
0
Vo 1
T
T 2
(3.20)
2
V 2  
Vo
2
Para a produção de energia o valor eficaz do sinal corresponde a:
(3.21)
V RMS   V 2 
(3.22)
é dado por:
VRMS 
Vo
2
(3.23)
Este valor é o que equivale ao valores de 110V e 220V normalmente conhecidos
para a rede elétrica usual.
3.9 – Resistência em C.A., e circuitos puramente resistivos
3.9.1 - Elementos Dissipativos (Resistores).
Resistor linear independente do tempo ou resistor fixo, é o dispositivo de dois
terminais que apresenta uma relação linear entre a tensão aplicada entre seus terminais e a
corrente que o atravessa. A relação é dada pela equação 3, que é também conhecida por lei de
Ohm. A constante de proporcionalidade R tem por dimensão o Ohm (), quando a tensão é
dada em volts e a corrente em Ampere. Os resistores comerciais são especificados por sua
resistência e sua potência nominal, a potência máxima que o mesmo deve pode dissipar à
temperatura ambiente com o ar em convecção livre. Outros tipos de resistores são chuveiros
elétricos, caldeiras elétricas e as lâmpadas incandescentes. Outros componentes, como o
capacitor e indutor pode ter uma parte resistiva associada ao mesmo, como veremos mais
adiante.
V = RI
(3.24)
onde: v e i são os valores instantâneos da tensão e corrente.
Para um sinal de corrente seniodal, a tensão entre um resistor será também senoidal,
sem diferença de fase:
VP sen(t)  RI P sen(t)
Onde: VP e I P são os valores de pico da tensão e corrente respectivamente.
(3.25)
3.10 – Indutância em C.A., reatância indutiva e circuitos
puramente indutivos
Vamos agora estudar como se comporta um indutor na presença de uma corrente
alternada.
3.10.1 - Dispositivos que armazenam energia magnética (Indutores).
A indutância é relacionada ao fato que a corrente gera um campo um campo
magnético e a variação do campo magnético gera tensão elétrica. A variação da corrente da
bobina induz na própria, uma tensão elétrica. A característica VxI de uma indutância é dada
por:
V=L
dI
dt
(3.26)
Onde: L é a indutância em Henry.
A partir da equação (7), para uma corrente senoidal atravessando um indutor, tem-se a
equação (8), que indica também que a tensão está com a fase adiantado de 90° da corrente.
V P sen(t )  LI P sen(t  90 0 )
(3.27)
Figura - 3.8. Circuito de corrente alternada puramente indutivo.
Aplicando-se as leis de Kirchhoff tem-se:
I  IL
V  VL
Como a tensão do gerador é dada por:
(3.28)
V  V0 sen( wt   )
(3.29)
e
VL   L
dI
dt
(3.30)
Substituindo (3.29) em (3.30) tem-se:
L
dI
 V0 sen( wt   )
dt
(3.31)
Integrando tem-se:
I  
V0
sen( wt   )
L
(3.32)
Logo
I
V0
cos( wt   )
wL
(3.33)
V0
wL
(3.34)
Chamando de:
I0 
Resulta em
I  I 0 cos( wt   )
(3.35)
Se quisermos continuar utilizando a lei de Ohm fazendo valer V = RI temos que dividir (3.30)
por (3.35) e obter:
R
V0 sen( wt   )
I o cos( wt   )
(3.36)
sen( wt   )
cos( wt   )
(3.37)
Chamando de R0 = V0/I0
R  R0
Observe que o valor de R0 é dado por:
R0 
V0
 wL
V0 / wL
(3.38)
Então para continuar valendo a lei de Ohm deve existir uma resist6encia no indutor que
depende da freqüência da Corrente Alternada.
3.11 – Capacitância em C. A., reatância capacitiva e circuitos
puramente capacitivos
Vamos agora estudar como se comporta um capacitor na presença de uma
corrente alternada.
3.11.1 - Dispositivos que armazenam energia elétrica (Capacitor).
Um capacitor consiste de dois condutores separados por um isolante, denominado
dielétrico e que caracteriza o tipo de capacitor. A relação VxI do capacitor é dado por:
I= C
dV
dt
(3.39)
Onde: C é a capacitância em Farad.
A partir da equação (5), para uma tensão senoidal entre um capacitor, tem-se a
equação (6), que indica também que a corrente está com a fase adiantado de 90° da tensão.
I p sen(t)  CV p sen(t  90 o )
(3.40)
Figura - 3.9. Circuito de corrente alternada puramente capacitivo.
Aplicando-se as leis de Kirchhoff tem-se:
I  IL
V  VL
(3.41)
Como a tensão do gerador é dada por:
V  V0 sen( wt   )
(3.42)
e
VC 
Q
C
(3.43)
Substituindo (3.29) em (3.30) tem-se:
Q
 V0 sen( wt   )
C
(3.44)
Q  CV0 sen( wt   )
(3.45)
dQ
 CV0 w cos( wt   )
dt
(3.46)
Integrando tem-se:
Logo
I
Chamando de:
I 0  CV0 w
(3.47)
I  I 0 cos( wt   )
(3.48)
Resulta em
Se quisermos continuar utilizando a lei de Ohm fazendo valer V = RI temos que dividir (3.30)
por (3.35) e obter:
R
V0 sen( wt   )
I o cos( wt   )
(3.49)
sen( wt   )
cos( wt   )
(3.50)
Chamando de R0 = V0/I0
R  R0
Observe que o valor de R0 é dado por:
R0 
V0
1

cwV0 wC
(3.51)
Então para continuar valendo a lei de Ohm deve existir uma resistência no capacitor que
depende da freqüência da Corrente Alternada.
3.12 – Método Geométrico
As tensões elétricas senoidais de mesma frequências, somam-se vetorialmente,
com as direções e sentidos determinados pelos valores relativos das fases e a amplitude pelos
valores de picos ou eficazes. A comprovação desta afirmação justifica o método geométrico.
Para o circuito da figura 9, pela lei de Kirchoff, a tensão entre os terminais 1- 4 é a soma da
tensão entre os ramos dos terminais dos ramos 1-2, 2-3 e 3-4. Em (b) tem-se os valores
individuais, dos vetores das tensões, e em (c) a soma vetorial. O ângulo de inclinação é a fase
relativa de um em relação ao outro. Uma fase de referência pode ser tomada como zero, e as
demais se mantem com os mesmos valores como pode ser visto mais adiante.
Figura - 3.10. Representação vetorial das tensões elétricas.
Para a figura 9, as tensões instantâneas V12 , V23 e v34 respectivamente, são dados
abaixo:.
V12  VPa sen(t)
(3.52)
V23  VPb sen(t   )
(3.53)
V34  VPb sen(t   )
(3.54)
Dois sinais defasados de um ângulo qualquer, será o equivalente a dois girantes,
com a fase relativa mantidas constantes. Sem perda de generalidade, a soma de dois sinais
instantâneos senoidais defasados de um ângulo qualquer será dado por:
V13  V12  V23  VPa sen(t)  VPb sen(t   )
(3.55)
V13  VPa sen(t)  VPb cos( )sen(t)  VPb sen( )cos(t)
(3.56)
(3.57)
V13  VPa sen(t)  VPb cos( )sen(t)  VPbsen( )sen(t  900 )
(3.58)
Em cada instante, a tensão de pico resultante ( VP13 ) será a soma vetorial da
componente formada por VPa mais a projeção de VPb sobre VPa e a projeção de VPb sobre o
eixo perpendicular a VPa . Portanto a amplitude resultante, figura 10, será dada por (28) e a
fase da resultante, relativa ao vetor VPa , será , é dada por (29).
V13P  VPa2  VPb cos( ) 
(3.59)


V seno( )

  tg -1  2 Pb
2 


V

V
cos(

)
Pb
 Pa

(3.60)
2
Figura - 3.11. Representação da soma vetorial de duas tensões elétricas.
Posto que o valor de pico de cada sinal é
2 vezes o valor eficaz, temos, que as
tensões em valores eficazes somam vetorialmente, com suas amplitude e fase dadas por (30) e
(31).
V13  V122  V23cos( ) 
2
(3.61)

V seno( ) 

  tg -1  2 b
2 
 Va  Vb cos( )  
(3.62)
3.12.1- Resistor
Como não há defasagem entre a tensão e a corrente entre em um resistor, a
representação geométrica da tensão e corrente é dada pela figura 11.
Figura - 3.12. Vetor geométrico dos sinais do resistor.
3.12.2 - Indutor
Como a tensão em um indutor está adiantado da corrente de 90°, a representação
geométrica de um indutor puro é dada por:
Figura - 3.13. Vetor geométrico dos sinais de um indutor.
A relação entre a tensão e a corrente em uma indutância pura, denominada de
reatância indutiva, de acordo com a equação 7, é dado pela equação 33.
XL 
V
 ωL
I
(3.63)
3.12.3 - Capacitor
Como a tensão em um capacitor está atrasada da corrente de 90°, a representação
geométrica de um capacitor puro é dada por:
Figura - 3.14. Representação geométrica dos sinais de um capacitor.
A relação entre a tensão e a corrente em uma capacitância pura, denominada de
reatância capacitiva, de acordo com a equação 8, é dada por:
XC 
V
1

I ωC
(3.64)
O inverso da resistência e reatância são denominadas respectivamente de
condutância e susceptância. Em um circuito qualquer, ou em uma associação de componentes,
define-se impedância por:
Z
V
I
(3.65)
onde: V e I são os valores eficazes da tensão entre os componentes associados e a corrente que
os atravessa, respectivamente.
Em um circuito qualquer, ou em uma associação de componentes, define-se
admitância por:
Y
I
V
(3.66)
onde V e I são os valores eficazes da tensão entre os componentes associados e a corrente que
os atravessa, respectivamente.
As unidades de resistência, reatância e impedância são a mesma (ohm) e as de
condutância, susceptância e a de admitância são a mesma (mho).
3.13 – Soluções de Circuitos Elétricos pelo Método Geométrico
Na duas seções seguintes são mostrados soluções de circuitos pelos método
geométrico e complexo. Na solução pelo método geométrico, se os elementos do circuito
estão em série, os mesmos são percorridos por uma mesma corrente, devendo, pois tomar
como eixo de referência a corrente e aplicar os conceitos de impedâncias dos componentes. Se
os elementos do circuito estão em paralelo, os mesmos estão entre uma mesma tensão e devese tomar como eixo de referência a tensão, e aplicar os conceitos de susceptâncias dos
componentes
A determinação da impedância (admitância) e o ângulo de defasagem, é um
problema central na resolução dos circuitos.
3.14 - Fasores e o Método do Complexo
Os circuitos elétricos podem ser solucionado tratando as impedâncias e as
admitâncias elétricas pela sua representação no plano dos complexos, e operando os mesmos
de acordo com os princípios:
Impedâncias em série se somam
(3.67)
admitâncias em paralelo se soma
(3.68)
Os fundamentos das soluções dos circuitos elétricos pelo método dos complexos
pode ser comprovado através da através da transformada integral de Fourier ou de Laplace.
Uma maneira relacionada com o método geométrico, será através da utilização do girante no
plano dos complexos.
Da teoria dos números complexos temos a fórmula de Euler:
e j  cos( )  jsen( )
(3.69)
O girante seria pois representado no plano complexo por:
e jt  cos(t)  jsen(t)
(3.70)
Duas tensões senoidais, defasadas de um ângulo  , serão dadas por:
Be jt  B(cos(t)  jsen(t))
(3.71)
Ae jt   e jt ( Ae j )
(3.72)
A soma dos dois sinais será pois:
R  Ae jt   Be jt  A(cos(t   )  jsen(t   ))  e jt ( Ae j )
(3.73)
Figura - 3.15. Representação no plano complexo das impedâncias do resistor, indutor e
capacitor.
O fasor Ae j representa a impedância ou admitância do circuito. No plano
complexo, as impedâncias resistência elétrica R, reatância indutiva XL e reatância capacitiva
XC representadas pela figura 14(a). Representando X pela reatância capacitiva ou indutiva,
(de (6), (8), (38) e (40)) temos que a reatância capacitiva será negativa enquanto a reatância
indutiva será positiva. O contrário acontecendo para as suceptâncias, figura 14 (b), com a
impedâncias e admitâncias dadas pelas equações:
Z  IX
(3.74)
Y  Ib
(3.75)
3.15 – Soluções de Circuitos Elétricos pelo Método dos Complexos
A solução pelo método dos complexos, utiliza a técnica de impedâncias em série
se soma e admitância em paralelo se soma. As impedâncias e susceptâncias dos componentes
específicos são dados na Tabela 1.
Das figuras dos circuitos anteriores, a partir da tabela 1, e da aplicação do método
de impedâncias em série se somam e admitância em paralelo se soma temos:
Tabela 1. Impedâncias, reatâncias e susceptâncias do capacitor e indutor
Componente
Unidade
Impedância
Reatância
Admitância Susceptância
()
()
 1
 1
Indutor
Henry
JXL
L
jb L
-1/L
Capacitor
Farad
JXC
-1/(C)
jb C
C
3.16 – Circuitos de Corrente Alternada
Vamos agora estudar os circuitos básicos de corrente alternada chamado de
circuitos filtros. Os circuitos filtros são usado em rádios e vários outros aparelhos eletrônicos
na rejeição de sinais de freqüências indesejáveis.
3.16.1 - Circuito RC em série:
Um circuito RC série, como é mostrado na
Figura - 3.16, é extensivamente
usado em circuitos eletrônicos como diferenciadores integradores e filtros. Como filtro este
circuito permite a passagem de sinais de baixa ou altas freqüências.
Considere o circuito da Figura - 3.16, se a voltagem aplicada for:
Vi  V p cos(t )
(3.76)
De acordo com a Leis de Kirchhoff temos:
Q
 Vi   C  RI  V p cos(t )
(3.77)
i
A corrente no circuito pode ser escrita como:
I  IC  I R
(3.78)
Consideremos a solução estacionária
I (t )  I p cos(t   )
(3.79)
Desde que
I (t )  
dQ
dt
(3.80)
Temos:
Q (t )    I (t )dt
(3.81)
Logo
Q (t )    I p cos(t   )dt 
Ip

sen(t   )
(3.82)
Substituindo na equação diferencial do circuito, dada por (3.77) temos:

Ip
C
(3.83)
sen(t   )  RI p cos(t )  V p cos(t )
Desenvolvendo sen(t   ) e cos(t   ) temos:

Ip
C
sen(t ) cos   cos(t )sen   RI p cos(t ) cos   sen(t ) sen(3.84)
Igualando a zero separadamente os coeficientes de sen(t ) e cos(t ) temos:

Ip
C
(3.85)
cos   RI p sen  0
O que resulta em:
tan   
1
R C
(3.86)
E a outra parte

Ip
C
(3.87)
sen  RI p cos   V p
Logo
Ip 
Vp
R cos  
1
sen
C

Vp
Rcos   sen tan  

V p cos 
R
(3.88)
Sendo:
R
cos  
R2 
(3.89)
1
2
 C
2
Temos finalmente que:
Ip 
Vp
R2 
1
 2C 2
(3.90)
Logo:
I
Vp
R2 
Onde

 1 
cos t  arctg 

 RC 

1
(3.91)
 2C 2
  arctan(1 / RC ) e   2f
No caso especial do circuito ser usado como filtros costuma-se definir a
freqüência de corte fo como sendo dada por:
fo 
1
2RC
(3.92)
1
RC
(3.93)
onde
o 
Figura - 3.16. Circuito RC de corrente alternada.
Impedância:
Fase:
Z  R  jX C
(3.94)
Z  R 2  X C2
(3.95)
X 
  tx -1  C 
 R 
(3.96)
Para o circuito RC em série, figura 17(a), o mesmo procedimento anterior é
realizado, levando-se em conta que a reatância do capacitor é negativa, figura 17(b).
Figura - 3.17. Diagrama geométrico de um circuito RC em série.
Desta forma temos:
V12  RI
(3.97)
V23  X C I
(3.98)
V  ZI
(3.99)
onde: R, X C e Z são a resistência, reatância capacitiva e impedância do circuito.
Desta forma temos a impedância e o ângulo de defasagem dados por:
Z
V

I
R 2  X C2
X 
  tg 1  C 
 R 
(3.100)
(3.101)
3.16.2 - Circuito RL em série:
Figura - 3.18. Circuito RL de corrente alternada.
Impedância:
Z  R  jX L
(3.102)
Z  R 2  X 2L
(3.103)
X 
  tx -1  L 
 R 
(3.104)
Fase:
Para o circuito RL em série, figura 16(a), a tensão de entrada, através do resistor e
da indutância, em função da corrente são dadas por:
VR  RI
(3.105)
VL  X L I
(3.106)
V  ZI
(3.107)
onde: R, X L e Z são a resistência, reatância indutiva e impedância do circuito.
Para a resistor tensão e corrente estão em fase e para a indutância a tensão está
adiantada de 90º em relação a corrente. Aplicando as regras do método geométrico, tem-se o
diagrama geométrico do circuito da figura 16(b).
Figura - 3.19. Diagrama geométrico das tensões em um circuito RL em série.
Desta forma temos a impedância e o ângulo de defasagem dados por:
Z
V

I
R 2  X L2
X 
  tg 1  L 
 R 
3.16.3 - Circuito LC em série
Figura - 3.20. Circuito LC de corrente alternada puramente indutivo.
(3.108)
(3.109)
3.16.4 - Circuito RLC em série:
Figura - 3.21. Circuito RLC de corrente alternada puramente indutivo.
Impedância:
Z  R  j(X L  X C )
(3.110)
Z  R 2  X L  X C 
(3.111)
 X  XC 
  tx -1  L

R


(3.112)
2
Fase:
Para o circuito RLC em série, figura 19(a), a tensão através da indutância e
capacitância, estão na mesma direção e sentido contrário, figura 19(b), As relações VxI são
dadas por:
V12  RI
(3.113)
V24  (X L - X C )I
(3.114)
V34  ZI
(3.115)
onde: R, X L e Z são a resistência, reatância indutiva e impedância do circuito.
Figura - 3.22.
Desta forma temos a impedância e o ângulo de defasagem dados por:
Z
V
2
 R2  X L  X C 
I
(3.116)
 X  XC 
  tg 1  L

R


(3.117)
3.16.5 - Circuito RC em paralelo:
Impedância:
Y  g  - jb C
(3.118)
Y  g 2  bC2
(3.119)
b 
  tx -1  C 
 g 
(3.120)
Fase:
Para o circuito RC em paralelo, figura 19(a), a corrente de entrada, atravessando a
resistor e da indutância, em função da tensão são dadas por:
I1  gV
(3.121)
I2  b LV
(3.122)
I  YV
(3.123)
Onde: g, b L e Y são a condutância, susceptância indutiva e admitância do circuito.
Para a resistor, a tensão e a corrente estão em fase e para a capacitor, a tensão está
atrasada de 90º em relação a corrente. Aplicando as regras do método geométrico, tem-se em
(b) o diagrama geométrico.
Figura - 3.23. Diagrama geométrico de um circuito RC paralelo.
Desta forma temos a admitância e o ângulo de defasagem dados por:
Y 
I

V
g 2  bC2
b 
  tg 1  C 
 g
(3.124)
(3.125)
3.16.6 - Circuito RL em paralelo:
Impedância:
Fase:
Y  g - jb L
(3.126)
Y  g 2  b 2L
(3.127)
 b 
  tx -1   L 
 g 
(3.128)
Para o circuito RL em paralelo, figura 18(a), a corrente de entrada, atravessando a
resistência e da indutância, em função da tensão são dadas por:
I1  gV
(3.129)
I2  b LV
(3.130)
I  YV
(3.131)
onde: g, b L e Y são a condutância, susceptância indutiva e admitância do circuito.
Para o resistor, a tensão e a corrente estão em fase e para a indutância, a tensão
está adiantada de 90º em relação a corrente. Aplicando as regras do método geométrico, temse em (b) o diagrama geométrico.
Figura - 3.24. Diagrama geométrico de um circuito RL paralelo.
Desta forma temos a impedância e o ângulo de defasagem dados por:
Y 
I

V
g 2  bL2
b 
  tg 1  L 
g
(3.132)
(3.133)
3.16.7 - Circuito LC em paralelo
3.16.8 - Circuito RLC em paralelo:
Para o circuito RLC em paralelo, figura 20(a), o mesmo procedimento é feito,
tomando como referência a tensão, e aplicando as direções e sentidos das tensões para o
indutor e capacitor tem-se a 20(b), As relações VxI são dadas por:
Figura - 3.25. Diagrama geométrico do circuito RLC em paralelo.
Admitância:
Y  g  j(b C  bL )
(3.134)
Y  g 2  bC  bL 
(3.135)
b b 
  tx -1  C L 
 R 
(3.136)
2
Fase:
3.17 - Conversão Série para Paralelo
A solução de problemas de circuitos elétricos podem ser feitos feitos tanto pelo
método geométrico como pelo método dos complexos, após aplicar as equações de Kirchoff.
Muitas vezes na solução de circuitos, precisa-se de converter parte do circuito de paralelo para
série e vice-versa.
No circuito da figura 15, para serem equivalentes, a admitância série deve ser igual a
admitância paralela.
Figura - 3.26. Circuitos para conversão série para paralelo.
YABS  YABP
YABP 
1
R S  jXS
 YABP  G P  j BP 
RS
X
j 2 S 2
2
R  XS
R S  XS
2
S
(3.137)
(3.138)
(3.139)
1
R 2  XS2
 S
GP
RS
(3.140)
1
R S2  XS2
 XP 

BP
XS
(3.141)
 RP 
3.18 - Conversão Paralelo para Série
Semelhante a seção anterior, para se converter de paralela para série, figura 16, as
impedâncias devem ser iguais. A reatância Xp representa a reatância equivalente e Rp é a
resistência paralela equivalente. Para o arranjo da figura, temos:
RP ( jX P )
RP  jX P
(3.142)
RS 
RP X P
RP2  X P2
(3.143)
XS 
RP2 X S
RP2  X P2
(3.144)
Z ABP 
E daí, temos:
Figura - 3.27. Circuito para conversão de paralelo para série.
XS 
RP2 X S
RP2  X P2
Figura - 3.28. Circuito para conversão de paralelo para série.
(3.145)
Tal como na conversão série para paralelo, a reatância XS é de mesma natureza
que a reatância X P , ou seja, se XS é capacitiva (indutiva), X P também será.
3.19 – Potência e a Energia de uma Corrente Alternada
Ao se colocar uma massa m à uma altura h da terra, diz que esta massa está com
energia potencial gravitacional de mgh. Este sistema pode realizar trabalho e será igual a mgh
Joule, ao ir da altura h ao chão. Se a uma altura h estivermos uma massa m por segundo,
constantemente caindo, como a queda dágua, teremos esta energia potencial constantemente
se transformando em energia hidráulica em uma taxa de energia dividida pelo tempo (potência
em Watt) igual Qh, onde Q é a vazão mássica. De forma análoga para o circuitos elétricos
tem-se que a potência é definida como sendo dada por:
dWo
dt
(3.146)
dWo dQ
dQ dt
(3.147)
P
Que poder ser escrita como:
P
Como
V 
dWo
dQ
e I
dQ
dt
(3.148)
Da mesma maneira, um carga elétrica q ao se deslocar entre dois pontos, de um
diferença de potencia elétrica de V volts, se teria uma energia potencia igual a qV (o produto
da carga elétrica versus a tensão elétrica). A taxa de energia com o tempo é obtida se a carga é
constantemente transferida através da diferença de potencial. A grandeza correspondente à
vazão mássica será a carga elétrica dividida pelo tempo (corrente elétrica em Ampere), e a
correspondente a altura será a tensão V, temos a potência elétrica em Watt, dada por:
A potencia elétrica = V x I
(3.149)
P  VI
(3.150)
Tem-se que:
Considerando válida a lei de Ohm tem-se:
P  VI  RII  RI 2
Ou para I = V/R tem-se:
(3.151)
V2
P
R
(3.152)
A figura 4 mostra um sistema onde tem-se uma carga consumindo a energia de um
gerador. A potência positiva seria a potência consumida pela carga e potência negativa, a
potência entregue, no caso a potência do gerador. A figura 5(a) representaria os sinais de
tensão e corrente elétrica do gerador e a figura 5(b) a tensão e corrente elétrica da carga.
Quando a corrente está entrando (corrente positiva) na carga, a mesma corrente está saindo
(corrente negativa) do gerador, e vice versa (ao inverter a ligação de um amperímetro,
podemos verificar que inverte o sinal da medida da corrente).
Figura - 3.29. Sistema de potência elétrica.
Figura - 3.30. Potência elétrica negativa e positiva correspondente ao gerador(a) e carga(b).
A potência em um sistema pode ser positiva e negativa. Uma potência positiva é
uma potência dissipada pelo sistema, e uma potência negativa é uma potência fornecida por
um sistema. Em uma resistência elétrica, a corrente está em fase com a corrente, tendo-se
sempre uma potência positiva, portanto consumida pela mesma. Em um chuveiro elétrico,a
potência elétrica fornecida é transformada em calor. Em uma lâmpada incandescente, uma
parte é transformada em radiação visível, em radiação não visível e calor. A potência elétrica
média dissipada em um resistor será uma potência real, denominada de potência ativa, com
sua unidade em Watt e dada pela equação:
PR 
VI
V
1 T
I
Vp cosω t I pcosω t dt  p p  p  P

T 0
2
2
2

Pativa  V  I
(3.153)
(3.154)
onde: V e I são os valores eficazes da tensão e corrente.
Em um circuito puramente reativo (indutivo ou capacitivo), a potência média será
nula. Um capacitor, por exemplo, em seu princípio mais básico, sobre um sinal senoidal, o
potencial armazenada pelas cargas durante meio período será de igual valor e de sentido
contrário que o potencial armazenada pelo capacitor durante meio período complementar.
Assim, a mesma energia recebida é entregue. Isto se traduz pela equação seguinte:
PX 
1 T
Vpcosω t I pcosω t  90 dt  0
T 0
(3.155)
A energia verdadeiramente consumida por um circuito é somente a energia ativa.
Entretanto, ao fornecer uma energia para os elementos reativos (capacitor ou indutor), o
dispositivo receptor estará devolvendo esta mesma energia, e isto causa prejuízo a
fornecedora. Esta energia é denominada de energia reativa, cuja unidade é o Var. Em um
circuito qualquer, a potência dissipada é dada por RI², onde R é a componente resistiva de Z e
I a corrente em valor rms. Esta potência é a potência verdadeira. Note que um circuito
qualquer pode pode ser reduzido a forma RX(série ou paralelo), onde X é a reatância. A
energia total recebida e entregue (potência reativa) durante o período é dada por X RI².
Em um circuito qualquer, a relação entre a potência dissipada e o produto da
tensão e corrente eficazes é denominado de fator de potência e dada por:
fator de potência 
RI 2
Potência lida pelo Watímetro

VI Potência lida voltímetro  Potência lida pelo amperímetro
(3.156)
O valor VI é denominada de potência aparente e sua unidade é o VA, e será a
soma vetorial da potência ativa e reativa. Em um circuito RX em série, do diagrama das
tensões na figura 17(a), ao multiplicar pela corrente, tem-se o diagrama de potência, na figura
17(b), cujos valores já referidos são dados por:
Paparente  V  I
(3.157)
Pativa  V  Icos(φ )  VR  I  RI 2  V 2 /R
(3.158)
Preativa  V  Isen(φ )  VL  I  X L I 2  V 2 /X L
(3.159)
Figura - 3.31. Diagrama das tensões e potências correspondentes.
Para o cálculo da potência média dissipada utiliza-se o valor RMS da tensão e da
corrente ficando com:
P  VRMS I RMS 
Vo I 0
VI
 0 0
2
2 2
(3.160)
3.20 - Correção do Fator de Potência
Um dos problemas comum para serem resolvidos, principalmente nas indústrias, é
a correção do fator de potência. Um grupo de cargas indutivas provocam um fator de potência
elevado, que normalmente, por questão de contratos, é necessário compensar. Essa
compensação é feita colocando capacitores em paralelo a estas cargas. Portanto, um problema
comum e posto é do tipo: Qual capacitor a ser acrescentado ao circuito indutivo, de maneira
que passemos do seu fator de um valor para outro mais aceitável. A figura abaixo mostra o
circuito equivalente para um motor utilizado nesta aplicação.
Fator de potência = 0.7
Figura - 3.32. Circuito equivalente RL de um motor.
3.20.1 - A Solução pelo Método Geométrico
Uma vez que a tensão elétrica está em paralelo com o motor e o capacitor, uma
maneira de resolver este problema é transformar o circuito RL série do motor para o seu
equivalente paralelo e aplicar o método. A figura abaixo mostra esta transformação
Figura - 3.33. Circuito equivalente de um motor com capacitor em paralelo.
Da seção I.8, tem-se:
R 2M  X 2M
1
RP 

GP
RM
(3.161)
R 2M  X 2M
1
XP 

BP
XM
(3.162)
XP  XM
(3.163)
onde: R S  R M
O diagrama geométrico para este circuito para a corrente e potência são dados
respectivamente pelas figuras 26 e 27.
Figura - 3.34. Diagrama das correntes elétricas no circuito sem o capacitor(a) e com o capacitor(b).
Figura - 3.35. Diagrama das potências elétricas no circuito sem o capacitor(a) e com o
capacitor(b).
Para passar de um fator de potência para outro é necessário utilizar o diagrama das
potências. A potência ativa, reativa e aparente após colocar o capacitor são dadas por:
Pativa  G P V 2
(3.164)
Preativa  (b C - b P )V 2
(3.165)
PAPARENTE  Y V 2
(3.166)
3.20.2 - A Solução pelo Método Complexo
Como foi feito neste capítulo a solução dos problemas pelo método geométrico e
complexos, a seguir mostra a solução da potência pelo método dos complexos. As
admitâncias do motor e capacitor são dadas respectivamente por:
R  jX M
1
1

 M2
Z M R M  jX M
R M  X 2M
(3.167)
YC  jb C
(3.168)
A admitância total equivalente será então dada por:
YE  G P  j(b C  b P )  G P  jb E
(3.169)
onde G P e b P são dadas acima.
O ângulo da admitância e impedância tem o mesmo valor com sinais invertidos, como pode
ser visto da transformação da admitância para impedância:
ZE 
G  j(b C  b P )
1
 2P
G P  j(b C  b P ) G P  (b C  b P ) 2
(3.170)
Onde b E é a susceptância equivalente da carga indutiva em paralela com o capacitor.
A potência ativa será dada sempre pelo consumo através do elemento dissipativo,
ou seja a resistência equivalente do elemento indutivo, normalmente um motor, em paralelo
com o capacitor. A potência ativa, reativa e aparente são dadas por:
Pativa  G P V 2
(3.171)
Preativa  b E V 2
(3.172)
PAPARENTE  YE V 2
(3.173)
No capítulo III teremos os circuitos polifásicos, que são nada mais que uma
expansão.
3.21 - Circuitos monofásicos
Os circuitos diferenciadores e integradores são usados em osciloscópios e
circuitos de radar para provocar deflexão do feixe eletrônico no tubo de imagem. Nos
receptores de televisão, são usados circuitos diferenciadores para diferenciar os pulsos de
sincronismo transmitidos pela estação transmissora a fim de sincronizar o receptor com o
transmissor, e circuitos integradores no sistema de varredura do feixe eletrônico.
3.21.1 - Circuito Diferenciador
A condição
RC  1 for satisfeita, pode-se mostrar que o sinal VR medido no
resistor é dado por:
RV p
V R  RI 
R2 
cos(t   )
1
(3.174)
 2C 2
ou
V R  RI 
Como
RCV p
2
2
cos(t   )
2
(3.175)
R  C 1
RC  1 logo R 2  2 C 2  1 portanto
R 2  2 C 2  1  1 logo
V R  RI  RCV p cos(t   )
(3.176)
Que corresponde a:
V R  RC
d [V p sen(t   )]
dt
(3.177)
Mas V p sen(t   )  V p cos(t )  V para um dado  . Portanto,
V R  RC
dV
dt
(3.178)
Figura - 3.36. Circuito RC diferenciador
Quando uma onda quadrada ou achatada no topo é aplicada a um circuito RC com
uma constante de tempo pequena, a voltagem de saída através do resistor, guarda pequena ou
nenhuma semelhança com a onda original. O sinal de saída (Vout) consiste de estreitos picos
positivos e negativos de voltagem. Um circuito com uma constante de tempo, é chamado de
diferenciador quando tem uma constante de tempo muito menor que o tempo de duração do
pulso aplicado ou da alternação (meio ciclo) da onda quadrada.
3.21.2 – Aplicações do circuito diferenciador
Os circuitos diferenciadores tem larga aplicação em equipamentos eletrônicos e de
telecomunicações. Nos computadores são usados circuitos diferenciadores às centenas. Em
receptor de TV é usado o circuito diferenciador para diferenciar os pulsos de sincronismo
transmitidos pela estação transmissora a fim de sincronizar o receptor com o transmissor. O
circuito diferenciador é utilizado onde se necessita transformar uma onda quadrada em pulsos
de pequena duração.
3.21.3 – Funcionamento do circuito diferenciador
Como exemplo, se a freqüência da onda quadrada é 1,0KHz, então, o tempo ou
período de 1,0ciclo (de t1 a t3) 1,0ms. O tempo de uma alternação (de t1 a t2) é a metade de
0,001s ou 0,0005s = 500s.
Uma constante RC deve ser muito menor que estes 500s. Se R1 é 50k e C =
500pF, então a constante de tempo R1C1 é:
R1C1 = 50K. 500pF = 25s
(3.179)
Como esta constante de tempo de 25s é muito menor que o tempo da alternação (de t1 a t2 e
de t2 a t3), então, a constante de tempo R1C1 é chamada constante de tempo pequena.
No instante t1 o sinal sobe abruptamente de zero volts a +10Volts. O capacitor C1
inicia a carga e a corrente flui através de R1 produzindo a voltagem com a polaridade
mostrada pelos sinais negativo e positivo no topo da resistência e negativo no fundo de R1.
Neste instante t1 a voltagem sobre o capacitor ainda é zero. Como resultado os +10Volts
aplicados aparecem sobre o resistor X, VR1 e +10Volts em t1. Como a constante de tempo R1C1
é pequena comparada ao tempo t1 e t2, então durante este período longo C1 tem tempo
suficiente para se carregar completamente. No instante X, cinco constantes de tempo após o
instante t1, VC1, tornou-se +10Volts e VR1, decresceu a zero volts. Para o restante do período t1
e t2, C1 permanece completamente carregado em +10V e VR permanece em zero.
No instante, t2, Vin cai abruptamente de +10Volts a zero e C1 começa a se
descarregar. Agora a corrente flui em sentido contrário através de R1. Como a voltagem
aplicada Vin é zero, no instante t2 os 10Volts de VC1 estão afetivamente aplicados em R1 como
resultado, no instante t2, quando VC1 é =10Volts, VR1 é –10Volts uma pequena constante de
tempo permite C1 descarregar rapidamente durante um período relativamente longo de t2 a t4.
No instante Y, cinco constantes de tempo após o instante t2, VC1 torna-se zero, a
corrente de descarga é essa e VR1 decresce a zero até o período t3, em permanecer em zero em
ambos VC1 e VR1 também ficou em zero. A saída VR1 consiste de picos de 10Volts positivos
quando o sinal de entrada Vin é positivo (nos instantes t1 e t3) e negativos quando o sinal de
entrada torna-se negativo nos instantes t2 e t4.
Conforme a
Figura - 3.36, o sinal de entrada do diferenciador acima é um
estreito pulso de amplitude –10Volts, tendo uma duração de tempo pequena, os instantes de t1
a t2 é um tempo muito menor do que instantes t2 a t4. A constante de tempo RC operando
como um diferenciador tem que ter um valor menor que a duração do pulso t1 a t3. Como
resultado, no instante t1, Vin cai instantaneamente de zero a –10Volts. V2 é zero e VR tem a
tensão totalmente aplicada, -10Volts. Durante a duração do pulso (t1 a t2) C1 tem tempo
suficiente para se carregar completamente e VC torna-se –10Volts. Quando VC está carregado
em –10Volts, VR tem 0,0 Volts de queda. No instante t2 a entrada cai instantaneamente a zero.
Como resultado o capacitor começa a descarregar sobre a resistência e a corrente circula no
sentido oposto ao de carga, provocando uma queda de tensão com a polaridade oposta
+10Volts.
A saída VR consiste de pico negativo e positivo. O sinal de saída tem 20V pico a
pico (de +10V para –10Volts) apesar do fato que a entrada é somente –10V pico a pico, isto é,
característico de um diferenciador, com uma constante de entrada que sobe e cai muito
rapidamente.
3.21.4 – Circuito Integrador
A condição
RC  1 for satisfeita, pode-se mostrar que o sinal VC medido no
capacitor é dado por:
VC 
Q
C
(3.180)
Mas
Q    Idt
(3.181)
Onde
Vp
I
1
2
R 
cos(t   )
(3.182)
 2C 2
ou
CV p
I
2
2
2
cos(t   )
(3.183)
R  C 1
Como
RC  1 logo R 2  2 C 2  1 portanto
I
CV p
CR
cos(t   ) 
Vp
R
R 2  2 C 2  1  RC . Portanto,
cos(t   )
(3.184)
mas
Q  
Vp
R
cos(t   ) dt  
Vp
R
sen(t   )
(3.185)
Logo
VC 
Mas
Vp
Q

sen(t   )
C
C
(3.186)

1
sen(t   )   cos(t   ) dt

(3.187)
Portanto,
VC 
Vp
RC
 cos(t   )dt
(3.188)
1
V (t )dt
RC 
(3.189)
Que corresponde a:
VC 
Figura - 3.37.
3.22 - Geradores e Motores de corrente alternada
Vamos agora nesta secção estudar os diferentes tipos de motores de corrente
alternada existentes atualmente.
3.22.1 - Motor Assíncrono ou de Indução
Motor de indução ou assíncrono (pode ser monofásico, bifásico ou trifásico, sendo
o principio de funcionamento o mesmo em todos os casos) é o que compreende dois circuitos
elétricos em movimento relativo de rotação, um dos quais é ligado ao sistema de alimentação,
sendo a energia transferida ao outro por indução eletromagnética, dai é derivado o nome de
motor de indução.
No motor assíncrono seu rotor ou induzido não gira em sincronismo com o campo
magnético do estator, e difere do motor síncrono por não ter o seu rotor ligado a qualquer
fonte de alimentação como este. Não existe proporcionalidade constante entre a velocidade
média de funcionamento e a freqüência de sua força eletromotriz.
Vantagens do motor assíncrono.
O motor de C.A. não tem comutador nem os problemas das escovas, portaescovas, plano neutro, etc.
O motor assíncrono é relativamente simples, de: construção robusta; simplicidade
de operação; adapta-se perfeitamente bem para aplicações de trabalho a velocidade constante
(quando especificamente projetado sua velocidade pode ser variada dentro de certos limites);
estabilidade operacional; facilidade de montagem; fácil manutenção e custo da mesma
desprezível (existem apenas dois pontos de desgastes, os dois mancais).
O rotor é quase indestrutível. O estator é bastante simples, livre de centelhamento
durante seu funcionamento, possibilidade de suportar grandes sobrecargas, etc.
O motor assíncrono pela sua confiança, versatilidade, fácil automatização e
comando a distância, é usado para um sem número de finalidades. Adequadamente instalado e
recebendo uma atenção conveniente, pode proporcionar por uma infinidade de anos uma
continuidade de funcionamento livre de problemas.
Desvantagens do motor assíncrono.
A corrente necessária para a partida a plena tensão de um motor assíncrono (acima
de 4 cv aproximadamente) provoca uma queda de tensão indesejável no sistema, às vezes
superior à máxima admissível.
Necessidade de recorrer a métodos de partida com tensão reduzida, tendo, porém
o cuidado de verificar se a redução rio conjugado de partida é suficiente para trazer a carga à
velocidade nominal no tempo máximo de aceleração, etc.
Aplicações do motor assíncrono.
O campo de aplicação do motor assíncrono é ilimitado, é denominado o “burro de
carga” ou o “cavalo de força” da indústria moderna.
Principio de funcionamento do motor assíncrono.
O princípio de funcionamento dos motores assíncronos baseia-se no fato de que as
correntes circulantes no enrolamento do estator induzem no bobinamento do rotor uma
corrente alternada, e esta, por sua vez, produz um campo magnético que reagindo com o
campo giratório do estator cria um conjugado ou binário-motor, que tende a arrastar o rotor na
direção da rotação do campo magnético giratório do estator.
Figura - 3.38. Método para se obter um campo magnético rotativo. Ac — anel de aço. Ta —
tambor de aço. A, B e C — enrolamentos. U, V e W — princípio dos enrolamentos. X, V e Z — finais dos
enrolamentos.
Se no interior de um anel de aço “Ac”. Figura - 3.38, com os três enrolamentos
montados colocamos um tambor de aço “Ta”, as correntes que produzem o campo magnético
girante atravessarão o tambor induzindo correntes nele. Estas últimas, por sua vez, produzem
um campo magnético que combinado com o efeito do campo magnético rotativo desenvolvese um binário-motor ou conjugado que fará girar o tambor no mesmo sentido do campo.
Construção Mecânica de um Motor de Indução
A
Figura - 3.39 mostra os componentes de um motor assíncrono. Embora se
fabriquem uma grande variedade de motores, podem caracterizar-se estruturalmente por
quatro partes básicas: estator, rotor, tampas laterais e mancais. Consistindo em geral de uma
parte ativa e de uma parte não ativa.
Figura - 3.39. Componentes do motor: 1- tampa; 2 – defletor de ar; 3 – estrutura; 4 – lamina do
estator; 5 – mancal; 6 – eixo; 7 – caixas terminais; 8 – rotor; 9 – enrolamento do estator.
A parte ativa é formada por: Chapas moldadas em aço magnético, isoladas entre
si, formando um conjunto ou “pacote” para o estator e um para o rotor. O enrolamento do
estator e do rotor, onde a energia elétrica é convertida em energia mecânica.
As partes não ativas são todos os outros componentes como tampas, carcaça, eixo,
mancais, etc., que servem para transmitir o conjugado, proteção contra influência externa e
fixação do motor.
3.22.2 - Motor Comutador
Ação do comutador em um motor de C.C.
O comutador faz com que a corrente nas espiras do induzido seja invertida ao
passar de um pólo para outro, sendo ao mesmo tempo curto-circuitadas pelas escovas.
A inversão da corrente no momento em que os pólos de nomes contrários se
defrontam e o curto-circuito instantâneo das espiras provocado pela inversão do valor da
corrente, de seu valor máximo positivo para o máximo negativo, provoca determinados
fenômenos chamados de “comutação”.
Por conseguinte, é importante que a comutação se processe de uma maneira
uniforme com qualquer carga sem produzir centelhas, pois da comutação depende o bom
funcionamento do motor.
Reação do Induzido
Com um motor sem carga, o campo magnético formado pelo enrolamento dos
pólos ou bobinamento indutor é distribuído de modo simétrico em relação ao eixo polar ou
linha que passa pelos centros dos pólos N e S.
No motor bipolar da
Figura - 3.40, a linha “Ln”, perpendicular ao eixo do
campo magnético ou eixo “Ep” (direção do fluxo) e a linha neutra física coincidem neste caso
com a linha ou eixo geométrico neutro, linha “a-b” da
Figura - 3.40.
Figura - 3.40. Reação da armadura ou reação do induzido.
Quando se aplica carga ao motor, a corrente que circula através da armadura
produzirá um campo magnético em torno das bobinas do induzido como resultado desta
corrente, cuja reação sobre o campo indutor será tal que se oponha ao movimento de rotação
do induzido, de acordo com a lei de Lenz. A presença deste segundo campo em oposição,
distorce o campo principal produzido pelas bobinas indutoras e determina um desvio do plano
neutro de comutação (linha “a-b” fig. 3) no sentido contrário da rotação. Este efeito é
conhecido como “reação do induzido”, “Ri”
Figura - 3.40.
Conseqüências do Desvio do Plano Neutro
Se a posição das escovas é mantida no plano neutro no momento em que as
bobinas passam pela zona de comutação, as mesmas são postas em curto-circuito pelo fato de
serem as duas lâminas correspondentes do comutador colocadas em curto pela escova. Haverá
um forte centelhamento entre a escova e o comutador no instante da ruptura ao colocar em
curto bobinas que têm corrente induzida causada pela densidade do fluxo, da reação do
induzido existente na zona neutra. Aumentando esta reação à medida que a corrente de carga
aumenta, e quanto mais espiras tiver a bobina induzida, maior será a corrente de curto-circuito
e mais desastrosa a corrente de ruptura quando as lâminas curto-circuitadas deixem as
escovas, porque esta corrente de ruptura produz um arco elétrico que fere o comutador,
retirando-lhe minúsculas partículas de cobre de efeito grandemente prejudicial para este
último.
Neutralização do Plano Neutro
Empregam-se vários procedimentos para neutralizar o desvio do plano neutro ou
contrabalançar a f. e.m. de auto-indução:
a) — Nos motores pequenos os efeitos da reação do induzido são reduzidos
através do conjunto de escovas, que podem ser deslocadas no sentido contrário da rotação em
relação à linha dos pólos, até que o faiscamento seja mínimo, isto é, as escovas devem estar
atrasadas devido a distorção do campo pela reação do induzido, no melhor ponto de
comutação em plena carga.
Este procedimento tem o inconveniente que ao serem deslocadas as escovas ficará
afetada a velocidade do motor devido ao fato de que varia o número de ampères-voltas
desmagnetizante, e em conseqüência variará o fluxo;
b) — Aumentando o entreferro com pólos chanfrados que aumentam a distância
entre a face dos pólos e o induzido. Este aumento compensará a tendência do desvio de campo
e não será afetado grandemente pela reação do induzido;
c) — Com enrolamentos de compensação que consistem de uma série de bobinas
embutidas em ranhuras nas superfícies dos pólos principais. Estas bobinas são ligadas em
série com o induzido. Como passa pelas bobinas de compensação à mesma corrente do
induzido, mas em direção oposta, o campo por elas gerado vai contrariar o efeito da reação do
induzido. Em conseqüência o plano neutro fica estacionário e as escovas não têm que ser
removidas
d) — Pelo emprego de pólos de comutação, de forma que o plano neutro fique
sempre exatamente no meio do espaço entre os pólos principais, etc.
Pólos de Comutação, Interpólos ou Pólos Auxiliares
Praticamente todos os motores de corrente contínua, exceto os de pequena
potência, são equipados com pólos de comutação ou interpólos quando a reação do induzido é
muito grande ou quando a tensão de reatância é maior que dois volts aproximadamente.
Os interpólos são colocados entre os pólos principais (onde existia a zona neutra).
Os pólos auxiliares ou pólos de comutação são menores e mais estreitos que os
pólos principais, sendo construídos de modo a produzirem uma densidade de fluxo superior
ao necessário.
Figura - 3.41. — Motor tetrapolar. Pc — pólos de comutação. L — linha de entrada. R —
resistência de partida.
Os entreferros dos interpólos são de dimensões maiores que as usuais, para que o
fluxo gerado se conserve proporcional à intensidade da corrente que circula no induzido.
Os pólos de comutação são ligados em série com o induzido e, como por suas bobinas circula
a corrente da linha, são enrolados com poucas espiras de fio relativamente grosso,
Figura - 3.41.
O campo magnético dos pólos de comutação é da mesma polaridade do pólo
principal anterior, no sentido da rotação do motor, (assim N, n, S, s,) e induzem nas bobinas
que passam pela zona de comutação uma f. e. m. dirigida contra o efeito (reação do induzido)
das bobinas induzidas, quando elas são postas em curto-circuito pelas escovas e atenua em
grande parte a corrente de auto-indução.
Vantagens Dos Pólos De Comutação
Como os interpólos são excitados pela corrente de linha, há indução de uma força
eletromotriz exatamente oposta gerada pela reação do induzido para todos os valores de carga,
mantendo uma comutação adequada com qualquer carga.
Não é preciso decalar as escovas, permitindo conservá-las em posição fixa (na
posição que corresponde as zonas neutras) com qualquer carga, o que melhora bastante a
característica do motor.
Elimina a ação desastrosa da faísca, etc.
3.22.3 - Motor Série
No motor série, o conjugado varia com a carga porque as bobinas de excitação ou
de campo “CS” estão ligadas em série com o induzido e a linha de alimentação “L”, tal como
se vê na
Figura - 3.42. As bobinas do campo indutor têm um número relativamente
pequeno de fios de grande seção que lhe permite suportar toda a corrente que passa pelo
induzido. Como no caso anterior do motor paralelo, tem intercalada uma resistência “R” em
série com o induzido, a fim de limitar a corrente de partida até obter a velocidade desejada. Os
motores pequenos não têm esta resistência de partida.
A intensidade do campo varia com a corrente do induzido. O conjugado de partida
é superior ao dos outros de c.c. A diminuição da velocidade com o aumento do conjugado
resistente da máquina acionada limita, no motor série, a potência absorvida da linha,
conseguindo-se por outro lado um elevado torque na partida.
Figura - 3.42. Motor em série. CS - campo série. E – escovas. I – induzido. R – resistência de
partida. A – amperímetro. L – linha de entrada.
Os motores série encontram muitas aplicações em máquinas que requerem
velocidades variáveis, muita força de arranque e rápida aceleração; são adequados para tração
elétrica, guinchos elétricos, máquinas de alta rotação como politrizes e furadeiras manuais,
barbeadores elétricos, pontes rolantes, etc.
O motor série tem grande força de arranque ( por isso é empregada em bondes,
ônibus e trens elétricos). É de velocidade variável e funciona com bom rendimento em
qualquer rotação, mas suprimindo-se a carga, a velocidade aumenta perigosamente podendo
disparar até arrebentar o induzido por efeito da força centrífuga, por isso são dificilmente
empregados com transmissão por correia, porque se esta rompesse ou soltasse perderia a
carga repentinamente. Nunca deve funcionar sob a condição sem carga.
O motor série quando projetado especialmente pode trabalhar indistintamente com
c.a. ou c.c. Este tipo de motor é o “motor universal”; seu rendimento é inferior ao dos motores
série de C.C. ou C.A.; é um tipo monofásico usado em circuitos de 110 ou 220 volts.
No motor série de C.A. a bobina de campo tem menos espiras do que no motor série de C.C.
para diminuir a reatância do campo, permitindo a passagem da corrente necessária.
Quando um motor série é alimentado com C.A. a corrente no campo e no induzido
é invertida simultaneamente em ambos, e o motor continua a girar na mesma direção, tal
como se fosse usado em C.C.
O motor universal normalmente é construído nas potências fracionárias, (abaixo
de 1 cv) soe alcançar alta velocidade (aprox. 11000 rpm) só limitada pelo efeito da força
centrífuga no rotor. São usados em limpadores a vácuo, ventiladores, máquinas de costura,
máquinas de furar, máquinas de escritório, ferramentas portáteis e, na maioria dos aparelhos
eletrodomésticos que, desse modo, podem funcionar com os dois tipos de corrente.
A operação de um motor paralelo ligado a uma fonte de C.A. é imprevisível.
3.22.4 - Motores Monofásicos
Quando se interrompe uma das fases de um motor trifásico, enquanto ele esta
girando, este continua a funcionar como motor monofásico suportando a carga, ainda que a
menor velocidade.
Entretanto, se o motor estiver parado, não poderia arrancar porque lhe faltaria o
campo magnético rotativo e não teria partida automática. Para que o motor possa funcionar é
necessário fazer o arranque por algum meio exterior, e então, a reação do rotor, provoca o
nascimento de um campo magnético rotativo.
Assim como o motor trifásico não arranca sozinho quando lhe falta uma fase, um
motor monofásico para ser posto em marcha precisa também se utilizar de um dispositivo
auxiliar.
Quando se aplica uma f.e.m. monofásica ao estator de um motor monofásico,
origina-se uma corrente magnetizante que gera um campo magnético alternado na direção do
eixo do enrolamento. Este campo não é girante porque os binários-motores atuam em
sentimentos opostos e não há momento de arranque para fazer o rotor girar automaticamente.
Em virtude do motor monofásico não arrancar por si próprio, necessita por isso de
algum meio auxiliar para a partida. Nestas condições, o motor continuará a girar
desenvolvendo um conjugado próprio, ajudado pela inércia do rotor, no sentido de rotação,
em que se lhe aplique o impulso de arranque.
Normalmente os meios auxiliares para o arranque, consistem em introduzir no
estator um enrolamento auxiliar independente, ligado paralelo ao bobinamento principal.
Motor de fase auxiliar ou de fase dividida
A defasagem entre o enrolamento, principal e auxiliar, é obtida com o uso de um
condensador, uma indutância ou uma resistência em série com o interruptor automático e o
enrolamento auxiliar, este opera somente durante a partida simulando uma segunda fase.
O campo magnético produzido pelo enrolamento auxiliar, combinado com o
campo principal, cria um campo magnético e uma corrente elétrica, produz um binário
(conjugado) que faz o rotor girar.
Para o arranque (como já foi dito) são necessários ambos os campos, mas basta um só para a
marcha, de forma que quando o motor se aproxima da plena velocidade, um interruptor
automático desliga o enrolamento auxiliar ou de partida.
Enrolamento monofásico
Em princípio, os bobinamentos de motores monofásicos com enrolamento auxiliar
poderiam ser executados em qualquer um dos tipos estudados para os motores polifásicos.
Porém, na prática, se constroem normalmente do tipo concêntrico, porque tem a vantagem de:
uma construção mais simples, maior adaptação às exigências de cálculo; possibilidade que os
enrolamentos, principal e auxiliar estejam constituídos por distintos números de espiras, assim
como que sejam diferentes as seções dos condutores, conseguindo-se com isto valores
convenientes para as resistências e reatâncias dos enrolamentos, etc.
Freqüentemente empregam-se enrolamentos de duas camadas nos motores
monofásicos, com a finalidade de melhorar suas características. A redução do passo não se faz
a 1/5 aproximadamente da divisão polar como nos bobinamentos trifásicos; no enrolamento
monofásico faz-se a 1/3 aproximadamente.
Disposição relativa dos enrolamentos
Os dois enrolamentos, principal e auxiliar, de um motor monofásico, podem estar
separados ou superpostos.
Em um enrolamento separado, o bobinamento auxiliar, ocupa ranhuras diferentes
das ocupadas pelo enrolamento principal, isto é, em nenhuma ranhura se encontram
condutores que pertençam aos dois enrolamentos.
Num bobinamento superposto, algumas bobinas auxiliares estão colocadas em
ranhuras ocupadas, parcialmente, por bobinas principais, como o que se consegue além de
uma melhor distribuição do enrolamento, melhores características de funcionamento do
motor. Por estas razões, é quase que exclusivamente o tipo de enrolamento adotado.
O enrolamento auxiliar deve ter menos espira e fio mais fino que o enrolamento
principal, sendo aquele, geralmente, enrolado sobre este que tem maior numero de espiras e
fio de maior seção, ou seja, o enrolamento auxiliar é colocado perto do topo das ranhuras do
núcleo do estator, e o de serviço (principal) no fundo.
Para trabalhar em duas tensões são mais empregados os motores monofásicos de
quatro pólos, conectados em série ou em série-paralelo.
O tamanho de um motor monofásico é aproximadamente 1,5 vezes maior que o de
um motor polifásico da mesma potencia e do mesmo número de rotações, tendo fator de
potencia mais baixo e menor rendimento que o polifásico.
3.22.5 - Motores de Repulsão
Estes motores dividem-se em três grupos principais:
Motor com partida por repulsão e acionamento por indução:
Também chamados de motores de “levantamento de escovas”, a energia flui no
enrolamento do rotor através das escovas ligadas em curto-circuito, as quais estão em contato
com o comutador.
Quando o motor atinge uma velocidade predeterminada, um dispositivo centrifugo
levanta as escovas do comutador e coloca os segmentos e o enrolamento do rotor em curtocircuito, passando a funcionar como os motores de indução.
Motor de repulsão propriamente dito:
Este arranca e marcha pelo princípio de repulsão. Neste tipo de motor as escovas
permanecem constantemente sobre o comutador, e não possui mecanismo centrifugo. Tem um
forte conjugado de arranque e é construído com características de velocidade variável.
Motor de repulsão-indução:
Possui o rotor bobinado como o de corrente contínua e, ainda, embaixo deste
enrolamento tem outro em gaiola de esquilo. Arranca pelo princípio de repulsão (criando
pólos que são repelidos por pólos semelhantes do estator) e continua funcionando numa
combinação dos princípios de repulsão e indução. Não tem mecanismo centrífugo, e as
escovas ficam permanentemente em contato com o comutador.
3.22.6 - Motor de Indução Polifásico
O motor de indução polifásico é o tipo de motor mais utilizado, tanto na industria
como no ambiente doméstico, devido à maioria dos sistemas atuais de distribuição de energia
elétrica serem trifásicos de corrente alternada. O nosso estudo recaiu essencialmente nos
motores de indução trifásicos, já que na prática constituem o grande leque dos motores de
indução polifásicos e também porque o numero de fases varia o seu comportamento de uma
forma já relatada, nomeadamente com a variação do numero de pares de pólos que provoca
alterações conhecidas.
O tipo mais importantes de motor de indução polifásico é o motor trifásico (As
máquinas trifásicos possuem três enrolamentos e fornecem uma saída entre os vários pares de
enrolamentos). Quando o enrolamento do estator é energizado através de uma alimentação
trifásica, cria-se um campo magnético rotativo. À medida que o campo varre os condutores do
rotor, é induzido uma f.em. nesses condutores ocasionando o aparecimento de um fluxo de
corrente nos condutores. Os condutores do rotor transportando corrente no campo do estator
possuem um torque exercido sobre eles que fazem o rotor girar.
A utilização de motores de indução trifásicos é aconselhável a partir dos 2 KW ,
Para potências inferiores justifica-se o monofásico. O motor de indução trifásico apresenta
vantagens relativamente ao monofásico, nomeadamente um arranque mais fácil, o ruído é
menor e são mais baratos para potências superiores a 2Kw.
Os motores de indução trifásicos são classificados em dois tipos, em gaiola e com
rotor bobinado ou enrolado. Os dois motores tem o estator construído da mesma forma, mas
diferem pela construção do rotor. O núcleo do estator é um pacote de lâminas ou folhas de aço
provido de ranhuras. Os enrolamentos são dispositivos nas ranhuras do estator para formar os
três conjuntos separados de pólos.
Gaiola de esquilo
Este é o motor mais utilizado na indústria atualmente. Tem a vantagem de ser
mais econômico em relação aos motores monofásicos tanto na sua construção como na sua
utilização. Além disso, escolhendo o método de arranque ideal, tem um leque muito maior de
aplicações. Por isso, vamos analisar detalhadamente este motor.
O rotor de um motor de gaiola tem um núcleo de laminas de aço com os
condutores dispostos paralelamente ao eixo e entranhados nas fendas em volta do perímetro
do núcleo. Os condutores do rotor não são isolados do núcleo. Em cada terminal do rotor, os
condutores do rotor são todos curto-circuitados através de anéis terminais contínuos. Se as
laminações não estivessem presentes, os condutores do rotor e seus anéis terminais se
pareceriam com uma gaiola giratória.
Figura - 3.43. Rotor gaiola de esquilo para motores de indução polifásicos
O rotor em gaiola de esquilo é constituído por um núcleo de chapas
ferromagnéticas, isoladas entre si, sobre o qual são colocadas barras de alumínio (condutores),
dispostos paralelamente entre si e unidas nas suas extremidades por dois anéis condutores,
também em alumínio, que curto-circuitam os condutores (ver
Figura - 3.43).
O estator do motor é também constituído por um núcleo ferromagnético laminado,
nas cavas do qual são colocados os enrolamentos alimentados pela rede de corrente alternada
trifásica.
A vantagem deste rotor relativamente ao de rotor bobinado é que resulta numa
construção do induzido mais rápida, mais prático e mais barato. Trata-se de um motor
robusto, barato, de rápida produção, não exigindo coletor (órgão sensível e caro) e de rápida
ligação à rede.
De referir que as barras condutoras da gaiola são colocadas geralmente com uma
certa inclinação, para evitar as trepidações e ruídos que resultam da ação electromagnética
entre os dentes das cavas do estator e do rotor. A principal desvantagem refere-se ao fato de o
binário de arranque ser reduzido em relação à corrente absorvida pelo estator. Trata-se
essencialmente de um motor de velocidade constante.
Motor de rotor bobinado
Figura - 3.44. Circuito equivalente elétrico de um motor de rotor bobinado.
O rotor de um motor com rotor bobinado é envolvido por um enrolamento isolado
semelhante ao enrolamento do estator. Os enrolamentos de fase do rotor são trazidos para o
exterior aos três anéis coletores montados no eixo do motor. O enrolamento do rotor não está
ligado à fonte de alimentação. Os anéis coletores e as escovas constituem simplesmente uma
forma de se ligar um reóstato externo ao circuito do rotor. A finalidade do reostato é de
controlar a corrente na prática e a velocidade do motor.
Figura - 3.45. Enrolamento do rotor
O motor de rotor bobinado difere do motor de rotor em gaiola de esquilo apenas
quanto ao rotor. O rotor é constituído por um núcleo ferromagnético laminado sobre o qual
são alojadas as espiras que constituem o enrolamento trifásico, geralmente em estrela. Os três
terminais livres de cada uma das bobinas do enrolamento trifásico são ligados a três anéis
coletores. Estes três anéis ligam exteriormente a um reóstato de arranque constituído por três
resistências variáveis, ligadas também em estrela. Deste modo os enrolamentos do rotor
também ficam em circuito fechado.
Figura - 3.46.
A função do reóstato de arranque, ligados aos enrolamentos do rotor, é a de
reduzir as correntes de arranque elevadas, no caso de motores de elevada potência.
À medida que o motor vai ganhando velocidade, as resistências vão sendo
progressivamente retiradas do circuito até ficarem curto-circuitadas (retiradas), quando o
motor passa a funcionar no seu regime nominal. Desta forma, o motor de rotor bobinado
também funciona com os elementos do rotor em curto-circuito (tal como o motor de rotor em
gaiola de esquilo), quando atinge o seu regime nominal. O motor de indução de rotor
bobinado substitui o de rotor em gaiola de esquilo em potências muito elevadas devido ao
abaixamento
da
corrente
de
arranque
permitida
pela
configuração
do
rotor.
Apesar de ser utilizados em casos com velocidades constantes de serviço, como
referimos no ultimo parágrafo, aplica-se preferencialmente quando as velocidades de serviço
são variáveis.
Velocidade e Escorregamento
A velocidade do campo magnético rotativo é chamada de velocidade síncrona do
motor.
n = 120 x f / p
(3.190)
onde, n = velocidade de rotação do campo magnético rotativo (rpm); f = freqüência da
corrente do rotor, Hz; p = número total de pólos
Um motor de indução não pode funcionar com a velocidade de sincronismo, pois
nesse caso o rotor estaria estacionário com relação ao campo rotativo e não seria induzida
nenhuma fem no rotor. Logo a velocidade do rotor deve ser menor do que a velocidade de
sincronismo, a fim de que seja induzida uma corrente no rotor para permitir a rotação do
rotor, essa diferença de velocidade é chamada de escorregamento e é expressa como uma
porcentagem da velocidade de sincronismo.
Sporcentual = [(Ns –Nr) / Ns] x 100%
(3.191)
onde, S = escorregamento; Ns = velocidade de sincronismo, rpm; Nr = velocidade do rotor,
rpm
Freqüencia do Rotor
Para qualquer valor do escorregamento, a freqüência do rotor é igual à freqüência
do estator vezes a porcentagem de escorregamento, ou
fr = S x fs
(3.192)
onde, fr = freqüência do rotor, Hz; fs = freqüência do estator, Hz.
Torque
O torque de um motor de indução depende da intensidade da interação dos
campos do rotor e do estator e da relações de fase entre eles.
T = k x  x Ir x cosr
(3.193)
onde, T = torque, kg x m; k = constante;  = fluxo do estator rotativo, linhas de fluxo; Ir =
corrente do rotor, A; cosr = fator de potência do rotor.
Ao longo de toda a faixa normal de operação, k , cosr e  são praticamente
constantes de modo que T é diretamente proporcional a Ir. A corrente do rotor Ir por sua vez
aumenta numa proporção direta com o escorregamento do motor. A variação do torque com o
escorregamento mostra que à medida que o S aumenta de 0 à 10 por cento, o torque aumenta
linearmente com S. O torque de ruptura do motor é quando o S aumenta além do torque
especificado (carga máxima), o torque atinge um valor máximo. Se a carga aumentar ainda
mais, além do ponto de ruptura, o motor irá parar rapidamente. Para os motores de gaiola, o T
de ruptura varia de 200 a 300 por cento do T de carga máxima. O T de partida é o valor para
100% de escorregamento (v = o) e é normalmente 150 a 200% da especificação para carga
máxima. A medida que o rotor acelera, o T aumenta até seu valor de máximo e a seguir
diminui até um valor necessário para carregar a carga do motor a uma velocidade constante.
3.23 – Transformadores
O campo magnético pode induzir uma tensão noutro indutor, se este for enrolado
sobre uma mesma forma ou núcleo. Pela Lei de Faraday, a tensão induzida será proporcional
à velocidade de variação do fluxo, e ao número de espiras deste indutor.
E2 = N2 df/dt
(3.194)
Aplicando aos dois enrolamentos, a lei permite deduzir a relação básica do
transformador.
E1/E2 = N1/N2
(3.195)
A relação de correntes é oposta à de tensões.
I1/I2 = N2/N1
(3.196)
O índice um se refere ao indutor ao qual se aplica tensão, o primário, e dois,
àquele que sofre indução, o secundário.
O transformador é um conversor de energia elétrica, de alta eficiência (podendo
ultrapassar 99%), que altera tensões e correntes, e isola circuitos.
3.233.1 - Perdas
Além das perdas no cobre dos enrolamentos (devidas à resistência), os
transformadores e bobinas apresentam perdas magnéticas no núcleo.
Histerese: Os materiais ferromagnéticos são passíveis de magnetização, através do
realinhamento dos domínios, o que ocorre ao se aplicar um campo (como o gerado por um
indutor ou o primário do transformador). Este processo consome energia, e ao se aplicar um
campo variável, o material tenta acompanhar este, sofrendo sucessivas imantações num
sentido e noutro, se aquecendo. Ao se interromper o campo, o material geralmente mantém
uma magnetização, chamada campo remanente.
Perdas por correntes parasitas ou de Foucault: São devidas à condutividade do
núcleo, que forma, no caminho fechado do núcleo, uma espira em curto, que consome energia
do campo. Para minimizá-las, usam-se materiais de baixa condutividade, como a ferrite e
chapas de aço-silício, isoladas uma das outras por verniz. Em vários casos, onde não se requer
grandes indutâncias, o núcleo contém um entreferro, uma separação ou abertura no caminho
do núcleo, que elimina esta perda.
3.23.2 - Tipos de transformadores:
Transformador de alimentação:
É usado em fontes, convertendo a tensão da rede na necessária aos circuitos
eletrônicos. Seu núcleo é feito com chapas de açosilício, que tem baixas perdas, em baixas
frequências, por isto é muito eficiente. Às vezes possuem blindagens, invólucros metálicos.
Transformador de áudio:
Usado em aparelhos de som a válvula e certas configurações a transistor, no
acoplamento entre etapas amplificadoras e saída ao auto-falante. Geralmente é semelhante ao
t. de alimentação em forma e no núcleo de aço-silício, embora também se use a ferrite. Sua
resposta de frequência dentro da faixa de áudio, 20 a 20000 Hz, não é perfeitamente plana,
mesmo usando materiais de alta qualidade no núcleo, o que limita seu uso.
Transformador de distribuição:
Encontrado nos postes e entradas de força em alta tensão (industriais), são de alta
potência e projetados para ter alta eficiência (da ordem de 99%), de modo a minimizar o
desperdício de enegia e o calor gerado. Possue refrigeração a óleo, que circula pelo núcleo
dentro de uma carapaça metálica com grande área de contato com o ar exterior. Seu núcleo
também é com chapas de aço-silício, e pode ser monofásico ou trifásico (três pares de
enrolamentos).
Transformadores de potencial:
Encontra-se nas cabines de entrada de energia, fornecendo a tensão secundária de
220V, em geral, para alimentar os dispositivos de controle da cabine - relés de mínima e
máxima tensão (que desarmam o disjuntor fora destes limites), iluminação e medição. A
tensão de primário é alta, 14.8Kv ou maior. O núcleo é de chapas de aço-sílicio, envolvido
por blindagem metálica, com
terminais de alta tensão afastados por cones salientes,
adaptados a ligação às cabines. Podem ser mono ou trifásicos.
Transformador de corrente:
Usado na medição de corrente, em cabines e painéis de controle de máquinas e
motores. Consiste num anél circular ou quadrado, com núcleo de chapas de aço-sílicio e
enrolamento com poucas espiras, que se instala passando o cabo dentro do furo, este atua
como o primário. A corrente é medida por um amperímetro ligado ao secundário (terminais
do TC). É especificado pela relação de transformação de corrente, com a do medidor sendo
padronizada em 5A, variando apenas a escala de leitura e o número de espiras do TC.
Transformador de RF:
Empregam-se em circuitos de rádio-frequência (RF, acima de 30kHz), no
acoplamento entre etapas dos circuitos de rádio e TV. Sua potência em geral é baixa, e os
enrolamentos têm poucas espiras. O núcleo é de ferrite, material sintético composto de
óxidos de ferro, níquel, zinco, cobalto e magnésio em pó, aglutinados por um plastificante.
Esta se caracteriza por ter alta permeabilidade, que se mantém em altas frequências (o que
não acontece com chapas de aço-sílicio). Costumam ter blindagem de alumínio, para dispersar
interferências, inclusive de outras partes do circuito.
Transformadores de pulso:
São usados no acoplamento, isolando o circuito de controle, de baixa tensão e
potência, dos tiristores, chaves semicondutoras, além de isolarem um tiristor de outro (vários
secundários). Têm núcleo de ferrite e invólucro plástico, em geral.
3.24.3 - Autotransformadores
Se aplicarmos uma tensão a uma parte de um enrolamento (uma derivação), o
campo induzirá uma tensão maior nos extremos do enrolamento. Este é o princípio do
autotransformador.
Uma característica importante dele é o menor tamanho, para certa potência,
que um transformador. Isto não se deve apenas ao uso de uma só bobina, mas ao fato da
corrente de saída ser parte fornecida pelo lado alimentada, parte induzida pelo campo, o que
reduz este, permitindo um núcleo menor, mais leve e mais barato. A desvantagem é não ter
isolação entre entrada e saída, limitando as aplicações.
São muito usados em chaves de partida compensadoras, para motores (circuitos
que alimentam motores com tensão reduzida fornecida pelo autotransformador, por alguns
segundos, reduzindo o pico de corrente durante a aceleração) e em estabilizadores de tensão
(autotransformador com várias derivações - taps - , acima e abaixo do ponto de entrada, o
circuito de controle seleciona uma delas como saída,
conforme a entrada).
elevando ou reduzindo a tensão,
Figura - 3.47. Símbolos de transformadores para diagramas de circuitos eletroeletrônicos
3.24 - Sistemas polifásicos (trifásicos)
3.25 - Circuitos magnéticos
3.26 - Instalações elétricas e industriais
3.27 - Medidas elétricas e magnéticas
3.28 - Potência de circuitos eletrônicos
3.29 – Exercícios e Problemas
1) Explique os circuitos RC, RL, LC e RLC em série e em paralelo, para C. A.
2) O que são os fasores de corrente alternada e para que servem?
3) Como se dá o fenômeno de indutância em uma bobina?
4) E em um capacitor?
5) O que são circuitos ou redes monofásicos, bifásicos e trifásicos
6) Como funciona o motor de: a) corrente continua b) corrente alternada
7) Quais os tipos de transformadores que podemos ter para sistemas trifásicos
8) Como são as correntes e as tensões em um transformador tipo Y-D?
9) Com que e como se mede corrente e tensão em um circuito elétrico?
10) Como se associa elemento a uma rede trifásica? Quais são as principais cautelas que
precisam ser tomadas?
3.30 – Referencias Bibliográficas
Capítulo – IV
PROJETOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
RESUMO
Neste capítulo serão vistos exemplos de projetos onde se utilizam os
conhecimentos de corrente contínua e corrente alternada como, por exemplo, o cálculo e
dimensionamento de um forno elétrico e a distribuição de tensão e corrente e uma rede de
corrente alternada onde se utilização diversos equipamentos ligados a esta rede.
Palavras Chave: Carga Elétrica; Campo Elétrico; Corrente Elétrica; Tensão Elétrica; Lei de
Ohm.
PACS números:
4. 1 – Objetivos do Capítulo
i) Utilizar os conceitos de corrente contínua e corrente alternada aprendidos em situações
práticas do uso da eletricidade e do magnetismo.
ii) Projetar soluções elétricas de problemas que envolvam conhecimentos de C.C. e C.A.
iii) Saber interpretar projetos e planas de circuitos elétricos de C.C. e C.A.
4.2 – Introdução
4.3 - Instalações Elétricas Industriais
Tomando por base que o sistema de alimentação seja o padrão COPEL, com
alimentação em 13,8 kV:
Figura - 4. 1
VFF (Tensão fase-fase) = 220 V
(4. 1)
VFN (Tensão fase- neutro) = 220V 3 =127 V
(4.2)
CONSIDERAÇÕES:
FORNO ELÉTRICO (F1, F2, F3, F4)
 Potência Individual de 3600 W
 Monofásico 220 V, 60 hz.
 Quatro fornos iguais e puramente resistivos (portanto, fator de potência =1)
 Ligação entre fases.
P= VL.IL.cos fi
(4.3)
3600=220.I.1
(4.4)
I =16,36 A
(4.5)
CORTADEIRA (C)
 Potência de 500 W (dividido por 736 W) aproximadamente = 2/3 CV
 Considerando um motor monofásico, 2/3 CV, do catálogo da WEG tira-se que:
FP=0,8
P = VL.IL.cos fi
(4.6)
500=220.I.(0,8)
(4.7)
I = 2,85 A
(4.8)
S = VL.IL=220.2,85=627 VA
(4.9)
Q2=S2-P2
(4.10)
Q= [(627)1/2 – (500)1/2]1/2=378 VAr
(4.11)
Figura - 4.2
BALANÇA (BL)

Considerar FP=1
P= VL.IL.cos fi
(4.12)
P=220.55mA.1=12,1 W
(4.13)
MÁQUINA DE EMBUTIMENTO (E1, E2)
 Considerar FP=1
P= 3 . VL.IL.cos fi
15=
3 . 220. IL 1=
IL = 39,4 mA
(4.14)
(4.15)
(4.16)
1500 W potência motor trifásico. (CHUTANDO)
ESMERIL (ES1, ES2)
 Potência de 246 W - aproximadamente = 1/3 CV
 Considerando um motor monofásico, 1/3 CV, do catálogo da WEG tira-se que:
FP=0,8
P= VF.IF.cos fi
(4.17)
246=127.I.(0,8)
(4.18)
S=VF.IF=127.2,42=308 VA
(4.19)
IF=2,42 A
Figura - 4.3
Q2=S2-P2
(4.20)
Q= [(308)1/2 – (246)1/2]1/2=185 VAr
(4.21)
MICROSCÓPIO (MC1, MC2)
 Considerar FP=1
(Só tem lâmpada e lente)
 P=85 VA = 85 W
P= VL.IL.cos fi
(4.22)
85=220. IL .1=
(4.23)
IL = 386,4 mA
(4.24)
LIXADEIRA
 Potência de 7200
 Considerando um motor monofásico, 8 CV, do catálogo da WEG tira-se que:
FP=0,9 ( chutando)
P= 3 . VL.IL.cos fi
(4.25)
Figura - 4.4
P =
3 . 220. 19 0,9=
P = 6520 W
(4.26)
(4.27)
Q2=S2-P2
(4.28)
Q= [(7200)1/2 – (6520)1/2]1/2=3055 VAr
(4.29)
APÓS:


Completar a tabela com os valores de P, I e FP.
Distribuir as cargas uniformemente, da seguinte maneira:
Cargas monofásicas, 127 V
Figura - 4.5
Cargas monofásicas, 220 V
Figura - 4.6
Cargas trifásicas
Figura - 4.7
ALOCANDO TODAS AS CARGAS PROCURANDO DEIXAR A MESMA POTÊNCIA
EM CADA FASE:
Figura - 4.8
CONTINUAÇÃO
Figura - 4.9
Faz uma tabela equilibrando P por fase, e depois fazer o Q.
TABELA:
EQUIP
FASE A
P (W)
F1
3600
F2
F3
3600
F4
3600
C
BL
E1
15
E2
15
ES1
ES2
MC1
85
MC2
LX1
6520
LX2
6520
TOTAL 23955
Q (VAr)
FASE B
P (W)
3600
2600
3600
500
12
15
15
3055
3055
6110
85
6520
6520
24467
Q (VAr)
FASE C
P (W)
COS FI
Q (VAr)
3600
3600
378
3055
3055
6488
500
12
15
15
246
246
85
85
6520
6520
21444
378
185
185
3055
3055
6858
1
1
1
1
0,8
1
1
1
0,8
0,8
1
1
0,9
0,9
PROCURAR DEIXAR A POT. ATIVA O MAIS PRÓXIMO POSSÍVEL ( 23955, 24467 E
2144).
CÁLCULO DE COS FI MÉDIO:
FI MÉDIO = ARC TANG [(QA +QB+QC)/(PA+PB+PC)]
(4.30)
FI MÉDIO = ARC TANG [(6110 +6488 +
6858)/(23995+24467+21444)] = ARC TANG 0,2785 = 15,6
(4.31)
GRAUS
FP MÉDIO = COS FI MÉDIO = COS (15,6 GRAUS)
(4.32)
FP MÉDIO = 0,96
(4.33)
Figura - 4.10
4.4 - Fornos elétricos e fontes de calor
4.4.1 - Cálculo e Dimensionamento de um Forno Elétrico á Resistência
Deseja-se construir um forno elétrico cilíndrico para aquecimento até 1300oC
(temperatura máxima de operação), conforme mostra a figura abaixo. Este forno será usado na
medida da condutividade térmica de materiais termoelétricos, pelo método "Laser Flash".
Figura - 4.11
4.4.2 - Escolha do elemento de aquecimento:
Para se construir um forno elétrico a resistência, a primeira coisa a fazer é
identificar a temperatura máxima de operação do forno, ou a temperatura de trabalho. No
nosso caso estamos interessados em construir um forno cilíndrico de Df=5,0 cm de diametro
por Lf=12,0 cm de comprimento e 0,5 cm de parede, ou seja diâmetro interno de 4,0 cm , para
trabalhar a uma temperatura de T = 1200oC.
4.4.3 - Temperatura máxima admissível:
A maioria dos fabricantes de materiais de resistência e de aquecimento elétrico,
conforme consta nos manuais, indicam as máximas temperaturas de elemento admissíveis
para as diversas ligas. Êsses dados acusam em muitos casos grandes diferenças, devido ao
fato de que a definição do conceito: "Temperatura máxima de elemento", é relativamente
dificil. A temperatura máxima de elemento está, notadamente, em relação direta com a
escolha da dimensão e depende, além disso, das condições do ambiente, como por exemplo,
de atmosferas redutoras ou oxidantes. Apesar da dificuldade termos informações de carater
geral, encontra-se enumerado na tabela seguinte, as qualidades KANTHAL, bem como os
limites de temperaturas máximas admissiveis para os fios de diâmetros mais utilizados.A
escolha da dimensão apropriada depende maiormente do fim de aplicação, quer dizer, se se
tratar de elementos para aparelhos de aquecimento ou fornos industriais. A êste respeito
convém adotar como regra geral, a de não instalar em fornos industriais elementos caloríficos
constituidos de fios de diâmetro inferior a 3 mm. Alem disso devem ser observadas os dados
referentes á carga de superfície admissível, expressa em Watts por cm 3. A partir do dado da
temperatura de operação (T = 1200oC), escolhe-se o elemento de aquecimento a ser usado,
tendo como base a temperatura máxima admissivel no fio, que no caso para um forno nestas
condições podemos consultar a tabela abaixo:
Figura - 4.12.
Tendo escolhido a liga Kanthal A-1 com temperatura máxima admissivel entre
1225 - 1350oC, nós precisamos agora examinar no catálogo qual deve ser a carga de
superfície do elemento de aquecimento (fio Kanthal A-1) na faixa de temperatura desejada.
4.4.4 - A carga de superfície:
A carga de superficie representa uma medida para solicitação do condutor
calorífero. Com potência permanente, uma carga de superfície maior significa um menor
consumo de material no processo de produção, mas por outro lado , um desgaste de material
mais elevado por unidade de tempo, devido a uma durabilidade mais curta. No diagrama da
figura abaixo, para os fornos industriais, encontra-se enquadrado, à base de uma experiência
de muitos anos, aréas que servem como diretrizes para a escolha de uma carga de superficie
adequada. A carga de superfície efetivamente admissivel depende muito da construção dos
elementos caloríficos, dos corpos cerâmicos de suporte do forno, mas também do tipo de
serviço do forno (atmosfera, frequência de ligação, etc.) de maneira que não é possivel
fornecer valores de validade geral. Isto vale em medida ainda maior para a carga de superfície
admissível de condutores caloríferos destinados a aparelhos industriais e de uso doméstico.
Embora possamos considerar 5-6 W/cm2 como valores adequados, a carga dos elementos, por
exemplo, em placas de cozinhar KANTHAL pode ser muito mais elevada e diferenças
similares são susceptíveis de se apresentar para ferros de engomar, fornos de assar, grelhas e
aquecedores de água, ferros de soldar, corpos caloríferos de imersão, aquecedores de ar,
radiadores para recintos e demais aparelhos. Como os aparelhos
que se encontram no
mercado divergem tanto entre si, no que diz respeito á estrutura construtiva e ao emprego de
diversos materiais de construção, não é possivel dar valores numéricos.Com o emprego de
materiais de construção de escolha, tais como massas de embutimento de alto valor, corpos
isolantes, partes construtivas em metais resistentes a altas temperaturas, assegurando uma boa
transmissão do calor desde o condutor elétrico até o material a tratar, a carga de superfície
pode ser, em virtude da boa resistência térmica de KANTHAL, geralmente superior a valores
ainda admissíveis com construção de qualidade inferior. Escolhendo-se trabalhar com uma
carga de superfície para o elemento de aquecimento (fio Kanthal A1, selo verde) de:
= 1.5 Watts/cm2
(4.34)
Figura - 4. 13. Gráfico da carga de superfície x Temperatura do forno, para diversas ligas Kanthal.
4.4.5 - Dimensionamento do elemento de aquecimento:
Com este dado da carga de superfície admissivel (em Watt/cm 2) do elemento de
aquecimento (fio KANTHAL A1) nós podemos agora calcular a potência que deve ser
dissipada pelo fio (onde o fator de conversão de energia elétrica em térmica é 1.00) para
aquecer o forno na temperatura desejada:
Figura - 4.14
as = d lF( 2 )
(4.35)
Pf = d lF( 3 )
(4.36)
logo
onde :
: é a carga de superficie do fio
as: é a área superficial do elemento de aquecimento
d: é o diâmetro do fio
l: é o comprimento do fio
Porém nós não sabemos qual deve ser o diâmetro e o comprimento do fio. Por outro lado
como o elemento de aquecimento é um fio Kanthal homogêneo de resistência R, resistividade
, comprimento l, e diametro d nós podemos calcular a potência dissipada pelo fio (resistência)
de aquecimento da seguinte forma:
Pf = VR2F( 4 )
(4.37)
R = l (d/2)2F( 5 )
(4.38)
onde
logo substituindo (5) em (4) temos:
Pf = d2V24 lF( 6 )
(4.39)
Sabendo-se que o forno será alimentado por uma rede de 220 Volts podemos calcular agora a
relação entre comprimento e diametro do fio. Para isso basta igualar (3) com (6) e então nós
teremos:
(4.40)
l2d = V24 F( 7 )
Mas a resistividade é uma função da temperatura dada por:
(4.41)
= o e(T-To)F( 8 )
onde:
o : é a resistividade a uma temperatura To
: é o coeficiente de expansão resistiva
Para altas temperaturas onde se conhece o pode-se expandir a expressão acima da seguinte
forma:
= o ( 1 + ( T - To ) )F( 9 )
(4.42)
Chamando de:
Ct= e(T-To) F(10)
(4.43)
= o CtF( 11 )
(4.44)
Nós podemos escrever:
onde:
Ct: é o coeficiente térmico da resistividade a temperaturas variadasEste coeficiente das ligas
KANTHAL não pode ser definido por uma grandeza física, por estar o mesmo relacionado
com o tratamento no processo de produção. A velocidade de arrefecimento que segue o último
tratamento térmico exerce uma grande influência. O fator Ct é, notadamente, tanto maior
quanto mais lento for o arrefecimento. Essa relação exige que se aplique um fator térmico
mais elevado quando se tratar de dimensões maiores. Além disso, o fator térmico se modifica
com o tempo de emprêgo. Graças a uma experiência de muitos anos, podemos considerar os
valores do diagrama que segue como apropriados.Vejamos como ficam os resultados
numéricos:
o = 1.45 ohms . mm2/ m
To = 20 CF( 12 )
(4.45)
Ct = 1.04
T = 1200CF( 13 )
(4.46)
logo
= 1.45 ohms. mm2/m . 1.04
(4.47)
= 1.508 ohms.mm2/mF( 14 )
(4.48)
Portanto a relação ( 7 ) fica:
l2d = 534,924 m2/mmF( 15 )
(4.49)
De posse deste resultado podemos calcular os comprimentos máximo e minimo do fio usando
a tabela I onde temos os diâmetros máximo e minimo; ou seja para o Kanthal A1 temos :
1.0 mm < d < 4.0 mmF( 16 )
(4.50)
Com isso temos comprimentos de:
24.1284 m < l < 40.0597 mF( 17 )
(4.51)
4.4.6 - Escolha do comprimento e do diametro do fio:
Para se decidir qual deve ser o comprimento do fio a ser usado podemos realizar o
seguinte cálculo:Imaginemos portanto que para cada diâmetro ( inferior e superior ) vamos
enrolar o fio em forma de espiral sobre o corpo do forno de diametro Df=50 mm e
comprimento Lf=120mm. Partindo desta suposição podemos calcular qual será o
comprimento do solenoide L resultante deste enrolamento para os diametros inferior ( d = 1
mm ) e superior ( d = 3 mm ), e comparar com o comprimento util do forno.
L = l . s ( D2 + 4s2 )1/2F( 18 )
(4.52)
onde:
D: é o diâmetro do solenoide ou da espiral.
Substituindo (7) em (18) temos:
L = V . s 2 ( d ( D2 + 4s2 ) )1/2F( 19 )
(4.53)
O menor passo possivel de uma espiral feita com um fio de diâmetro d é s=d como no caso
temos D = Df = 50 mm, e os comprimentos máximos e minimos do solenoide formado serão:
14.71 cm < L < 75.96 cmF( 20 )
(4.54)
Que comparado com o comprimento util do forno mostra-se maior. Portanto não podemos
enrolar uma espiral simples sobre o forno mas devemos primeiro fazer uma espiral do próprio
fio e depois enrolá-lo sobre o forno.No caso de não se ter definido a priori qual deve ser o
diâmetro e o comprimento do forno, pode-se encontrar a relação entre eles a partir de (18)
fazendo-se L=Lf e D=Df e então ficamos com:
Lf = V . s 2 ( d ( Df2 + 4s2 ) )1/2F( 21 )
(4.55)
para o caso do fio enrolado em espiral diretamente sobre o corpo do forno.
4.4.7 - Espirais de fio:
Para poder colocar o comprimento de condutor calorífero necessário ao corpo de
aquecimento, o fio Kanthal
deve, na maioria dos casos, ser espiralado. Por principio,
enrola-se o fio sobre um mandril de aço girando num torno. Enrola-se a espiral apertada espira contra espira - e se estica depois no comprimento desejado. Para este processo convém,
no entanto observar alguns pontos importantes. Um passo irregular da espiral, que causa uma
distribuição irregular de calor, não se deve a desigualdades do fio, mas ás irregularidades de
rigidez do fio adquiridos durante o enrolamento. Tais irregularidades de rigidez podem ser
causadas pelos seguintes fatores:1- A tensão no fio, no ato do enrolamento, não deve ser
demasiado fraca ou forte, mas mantida constante. Diferenças de tensão no fio dão-se
especialmente no momento da partida e da freiagem do torno, bem como no caso de vibrações
do mandril e de uma freiagem desigual do fio.2- O angulo formado pelo fio com o mandril
deve ser ajustado de tal maneira que o fio não se deforme contra a espira precedente, nem
forme um espaço demasiado grande com a mesma. Para se obter um passo uniforme, o angulo
deverá ser mantido constante. Suponhamos que temos um fio de diametro d e queremos
enrola-lo numa espiral de diametro D, qual deve ser a relação entre os diametros d e D.
Vejamos a figura:
Figura - 4.15
O menor diametro da espiral possivel de se fazer com um fio qualquer de diametro d é D =
2d, conforme mostra a figura abaixo:
Figura - 4.16
O que não fornece nenhuma elasticidade, e proporciona um passo minimo de s=D/2=d, para a
espiral, tornando o comprimento l do fio sem função em relação ao comprimento L do
solenoide pois todos as espiras estão curto-circuitadas, e esta configuração equivale a termos
um fio de diametro D e comprimento L iqual a do solenoide. Mas estamos interessados em
guardar a mesma resistência elétrica no fio e deixar uma elasticidade suficiente para não
provocar curto-circuitação das espiras, para isso basta fazer uma espiral cujas relações entre d,
D e s sejam:
d > 1 mm => 5d < D < 7dF( 22 )
(4.56)
d < 1 mm => 4d < D < 10dF( 23 )
(4.57)
2d < s < 3dF( 24 )
(4.58)
e
A mesma relação se aplica entre o diâmetro do forno e o diâmetro da espiral. Logo teremos:
4D < Df < 10 DF( 25 )
(4.59)
2D < S < 3DF( 26 )
(4.60)
onde:
S: é o passo do solenoide do solenóide.
Desta forma (18) para o solenoide do solenoide fica:
Ls = L . S ( Df2 + 4S2 )1/2F( 27 )
(4.61)
Para calcular o comprimento do solenoide do solenoide basta substituir (18) em
(27) e ficamos com:
Ls = l . s . S2 ( ( Df2 + 4S2 ) ( D2 + 4s2 ) )1/2F( 28 )
(4.62)
ou (19) em (27):
Ls = V . s . S2 2 ( d ( Df2 + 4S2 ) ( D2 + 4s2 ) )1/2F( 29 )
(4.63)
Substituindo (16), (17), (23), (24), (25) e (26) em (28) temos:
para l = 24.1284 m
8.081 cm < Ls < 40.559 cm
(4.64)
14.996 cm < Ls < 70.250 cm
(4.65)
para l = 40.0597 m
Tomando a intersecção entre os dois intervalos podemos escolher Ls entre:
14.996 cm < Ls < 40.559 cmF( 30 )
(4.66)
Observe que o intervalo de interseção está contido dentro do intervalo para l = 24.1284 m
logo devemos ter este comprimento para o fio com d = 1 mm. Agora basta escolher D e Df á
vontade:Escolhendo D = 5d = 5 mm e Df = 10D = 50 mm temos que:
Df = 50d F( 31 )
(4.67)
Df = 50 mmF( 32 )
(4.68)
Portanto temos:
Substituindo os resultados acima em (28) temos:
para s = 2d => Ls = 14.592 cm
e
para s = 3d
=> Ls = 24.155 cmF( 33 )
(4.69)
Tomando agora o menor passo s=2d=3.0 mm, podemos tomar o comprimento do forno
aproximadamente igual a Ls= 14.592 cm que concorda bem com o comprimento previsto
inicialmente para o forno.
Este forno possue portanto diâmetro Df = 5.0 cm e comprimento Lf = 14.6 cm logo a área a
ser aquecida é :
Af = Df LfF( 34 )
(4.70)
Af = 214.6288 cm2F( 35 )
(4.71)
ou
4.4.8 - Cálculo da Potência útil do forno:
A potência dissipada necessária para aquecer este forno a uma temperatura T é dado por:
P = f . Af = . asF( 36 )
(4.72)
onde f é carga de superfície do forno.Substituindo os valores de l = 24.1284 m, d= 1.0 mm, =
1.5 Watts/cm2 em (3), e = 1.508 ohms mm2/m e V = 220 V em (6) temos que a potência
vale:
P = 1089.91 WattsF( 37 )
(4.73)
Portanto a carga de superfície do forno será:
f = PAfF( 38 )
(4.74)
f = 5.102 W/cm2F( 39 )
(4.75)
ou
De posse do comprimento do fio podemos consultar a tabela abaixo e encontrar o peso
aproximado do elemento onde:
m = . lF( 40 )
(4.76)
para d = 1.0 mm temos = 5.576 g/m logo:
m = 128.964 gF( 41 )
(4.77)
Calculo do Calor Total fornecido pelo elemento de aquecimento:Agora a partir do resultado
da massa do elemento podemos calcular a quantidade de calor fornecido pela variação de
temperatura desde 20C até a temperatura de 1200C. Da seguinte forma:Sabemos que o calor
especifico de um material é dado por:
c = 1m dQdTF( 42 )
(4.78)
Q = To Tm c(T) dTF( 43 )
(4.79)
logo integrando temos:
mas o calor específico de um metal é dado por:
F( 44 )
(4.80)
x = h/kTF( 45 )
(4.81)
= h/kF( 46 )
(4.82)
onde:
e
Cujo gráfico é :
Figura - 4.17
mas no limite para altas temperatura vale a lei de Dulong Petit que diz que o calor especifico é
constante c = co. Portanto podemos aproximar a integral (43), e o calor Q passa a ser:
Q = m c ( T - To )F( 47 )
(4.83)
que no caso da liga Kanthal c = 0.11 cal /g C , e no nosso caso temos T = 1200C ; To = 20C
logo a variação de temperatura será: T - To = 1180C. Portanto a quantidade de calor liberado
Q vale:
Q = 16739.53 caloriasF( 48 )
(4.84)
Tempo médio de aqucimento:Agora vamos calcular o tempo médio em que a resistência leva
para atingir 1200C, considerando uma taxa de emissão constante de energia ou seja:
P = Q/t = m c ( T - To ) /tF( 49 )
(4.85)
t = m c ( T - To ) /PF( 50 )
(4.86)
logo
onde, 1.0 cal = 1.486 Watt . s . Logo:
t = 23.823 segundos F( 51 )
(4.87)
Figura - 4.18
considerando a taxa de elevação média de temperatura, ou seja:
= ( T - To ) /tF( 52 )
(4.88)
= 51.70 C/seg F( 53 )
(4.89)
ou
4.4.9 - Cálculo das Caracteristicas Elétricas do forno:
A corrente de alimentação necessária que fluirá no fio é dada por:
I = PVF( 54 )
(4.90)
I = 4.954 AmpéresF( 55 )
(4.91)
ou
A resistência total do fio é:
R = l AF( 56 )
(4.92)
Sendo A a área da secção transversal do fio. Ou ainda:
R = VIF( 57 )
(4.93)
R = 44.41 OhmsF( 58 )
(4.94)
ou
Uma outra forma de calcular a dimensões do elemento de aquecimento é quando se tem diante
mão o valor da potência necessária para alimentar o forno e por meio dela pode-se calcular a
corrente e substitui-la na expressão abaixo:
P = R I2 F( 59 )
(4.95)
substituindo (3) e (5) em (59) temos:
I2 = 2d34 F( 60 )
(4.96)
No caso termos diante mão o valor do diametro do fio usa-se a expressão acima, se não
podemos calculá-lo substituindo (54) em (60) onde teremos:
d = [ 4 2 (P/V)2 ]1/3F( 61 )
(4.97)
4.5 – Exercícios e Problemas
4.6 – Referências Bibliográficas