FACULDADE SANTO AGOSTINHO- FSA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
MECÂNICA PARA
ENGENHEIROS
Capítulo 4
Profª: Acilayne Freitas de Aquino
FACULDADE SANTO AGOSTINHO- FSA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
•Cargas Distribuídas Sobre Vigas
-Centróides de Superfícies Planas
-Cargas Pontuais Equivalentes a um
Sistema de Cargas Distribuídas
•Momento de Inércia
Profª: Acilayne Freitas de Aquino
Cargas Distribuídas sobre Vigas
Estudamos até agora apenas forças aplicadas de
forma pontual. Neste capítulo estudaremos
situações de carregamentos Distribuídos.
Entre os vários exemplos comuns de cargas
distribuídas podemos citar o carregamento de
uma laje sobre uma viga, força das águas sobre
as comportas de uma barragem etc. Em nosso
curso só veremos aplicações sobre vigas.
Pré-requisitos:
Conceitos de centro geométrico de área (centróide)
e sistemas equivalentes de força vistos em Física.
Profª: Acilayne Freitas
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE GRAVIDADE
Vamos supor que o eixo L esteja na posição horizontal e
imaginemos que ele possa girar livremente em torno de um
ponto P, como se nesse ponto fosse colocada uma articulação.
Sistema de uma alavanca
Profª: Acilayne Freitas
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE GRAVIDADE
Se colocarmos sobre L um objeto de peso w1 a uma distância d1,
à direita de P, o peso do objeto fará girar L no sentido horário.
Colocando um objeto de peso w2, a uma distância d2 à esquerda
de P, o peso desse objeto fará L girar no sentido anti-horário.
Colocando simultaneamente os dois objetos sobre L o equilíbrio
ocorre quando
w1.d1 = w2.d2 (I)
Sistema de uma alavanca em equilíbrio
Profª: Acilayne Freitas
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE GRAVIDADE
Agora, iremos coincidir L com o eixo dos x do sistema de
coordenadas cartesianas.
Se duas partículas de peso w1 e w2 estão localizadas nos pontos
x1 e x2, respectivamente podemos reescrever a equação I como
w1.(x1 – P) = w2.(P - x2) ou w1.(x1 – P) + w2.(x2 - P) = 0
Sistema de uma alavanca em equilíbrio
Profª: Acilayne Freitas
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE GRAVIDADE
Supondo que n partículas de pesos w1, w2, …, wn estejam colocadas
nos pontos x1, x2, …, xn, respectivamente, o sistema estará em
equilíbrio ao redor de P quando
n
wi
i
xi
P
0
1
Sistema de uma alavanca em equilíbrio
Profª: Acilayne Freitas
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE GRAVIDADE
Supondo que o ponto P esteja em uma posição x teremos:
n
n
wi
i
xi
P
0
wi
1
i
n
wi
i
x
0
1
n
n
wi
xi
x
1
wi
i
n
wi
x
1
xi
1
i
x
n
wi
i
xi
i
1
n
wi
i
1
xi
1
0
0
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE GRAVIDADE
Denominamos de centro de gravidade o ponto de
um determinado eixo de referência, de coordenada
x , onde a soma dos momentos de um sistema é
nulo.
n
wi
x
i
1
n
wi
i
1
xi
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE MASSA
Se a aceleração da gravidade for constante em todo o sistema,
este ponto coincide com o centro de massa do corpo.
n
wi
i
x
xi
1
n
wi
i
1
n
n
mi
x
i
g
xi
1
x
n
mi
i
1
1
n
mi
i
1
n
g .mi
i
mi
i
i
g
n
x
g mi
1
xi
1
xi
Centro de Gravidade e Centro de Massa
CENTRO DE MASSA
A última equação mostra a localização do centro de massa
de um sistema na direção x. Analogamente poderíamos
analisar as demais coordenadas y e z deste ponto, a partir das
seguintes equações:
Centróides de Superfícies Planas
Suponha um sistema tridimensional
constituído por
regiões A1, A2, A3 e A4 em uma distancia L , cujo
material possui densidade volumétrica (ρ) constante e
volumes V1, V2, V3 e V4 a equação II poderá ser
representada da seguinte maneira.
massa
Volume
m
V
Centróides de Superfícies Planas
n
n
mi
x
i
n
xi
1
Vi
x
n
i
x
n
1
i
1
i
1
Ai
e
n
y
i
1
n
Ai
i
1
1
n
i
xi
Ai
i
Ai
L
n
Ai
i
Vi
n
x
L
1
mi
i
xi
1
yi
1
Ai
xi
CENTRO DE GRAVIDADE DE FIGURAS
COMPOSTAS E USUAIS
n
Ai
x
xi
1
Atotal
n
Ai
y
yi
1
A total
Profª: Acilayne Freitas
Centróides de Superfícies Planas
A última equação nos oferece as coordenadas “x e y“ do centro de
massa projetadas na face que gerou o corpo. Estas são as
coordenadas do centróide ou centro geométrico da referida
face.
Todo desenvolvimento feito até aqui foi baseado em somatória de
partes discretas. Porém quando analisamos um corpo ou uma área
real eles são compostos de infinitas partes e representam a
integração destas partes. Desta maneira, deveremos utilizar na
equação III o processo de integração ao invés de somatórios.
x
x
dA
A
y
e
y
A
dA
A
dA
dA
A
Centróides de Superfícies Planas
Para melhor compreender
y
A4
A1
x4
•C.G
x1
y4
A3
y
y3
•C.G
x3
•C.G
y1
x2
A1
A4
x
•C.G
x
y2
•C.G
A2
x
Superfície Plana
x
y
x
A3
A2
dA
A
y
e
y
A
dA
A
dA
dA
A
Centróides de Superfícies Planas
Coordenadas do Centróide de áreas elementares
determinadas com base nas equações anterior.
EXERCÍCIOS
Exercício Resolvido
Determine as coordenadas do centróide dos perfis ilustrados abaixo
01
02
EXERCÍCIOS
Solução 01
Todas as medidas são em relação a O.
EXERCÍCIOS
Solução 02
Todas as medidas são em relação a O.
EXERCÍCIOS
Solução 02
Carga Distribuída sobre Vigas
CARGAS PONTUAIS
DISTRIBUÍDAS
EQUIVALENTES
A
UM
SISTEMA
DE
CARGAS
Relembrando o que já foi visto anteriormente, dizemos que dois
sistemas de forças são equivalentes quando satisfazem
simultaneamente dois quesitos:
•Mesma força resultante
•Para qualquer pólo adotado eles devem produzir um momento
resultante equivalente.
No caso de um sistema submetido a um carregamento distribuído,
temos que este é equivalente a um sistema de carga pontual aplicada
no centróide da área do perfil do carregamento cuja intensidade é
numericamente igual referida área.
Carga Distribuída sobre Vigas
CARGAS PONTUAIS
DISTRIBUÍDAS
EQUIVALENTES
A
UM
SISTEMA
Sistema de cargas distribuídas
Sistema de carga pontual equivalente
DE
CARGAS
EXERCÍCIOS
Exercício Resolvido 03
Determine o módulo e a localização da força resultante sobre a viga
ilustrada.
Solução:
O módulo da força resultante é numericamente igual a área do
perfil do carregamento distribuído, ou seja, a área do trapézio.
Centróides deEXERCÍCIOS
Superfícies Planas
Exercício Resolvido 03
Determine o módulo e a localização da força resultante sobre a viga
ilustrada.
Solução:
O módulo da força resultante é numericamente igual a área do
perfil do carregamento distribuído, ou seja, a área do trapézio.
A força resultante localiza-se no centróide da área do perfil do
carregamento distribuído.
Centróides deEXERCÍCIOS
Superfícies Planas
Centróides deEXERCÍCIOS
Superfícies Planas
Exercício Resolvido 04
Ainda de acordo com a questão anterior, determine as reações nos
apoios.
Solução:
Determinado o sistema equivalente de carga pontual para o sistema
equivalente de carga distribuída determinamos as reações nos apoios da
mesma forma que resolvemos nas aulas anteriores.
EXERCÍCIOS
Exercício Proposto 01
Determine o módulo e a localização da força resultante sobre a viga
ilustrada e as reações no apoio A.
FACULDADE SANTO AGOSTINHO- FSA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
MOMENTO DE INÉRCIA
DE FIGURAS PLANAS
Profª: Acilayne Freitas de Aquino
MOMENTO DE INÉRCIA
DEFINIÇÃO
Momento de Inércia ou Momento de 2ª ordem é
uma grandeza que mede a resistência que uma
determinada área oferece quando solicitada ao
giro em torno de um determinado eixo.
Normalmente representamos pelas letras I e J.
Profª: Acilayne Freitas
MOMENTO DE INÉRCIA
DEFINIÇÃO
Seja uma figura plana qualquer,
posicionada em relação a um par de
eixos de referência. Define-se:
dI
dI
2
x
y da
y
x da
2
onde da e um elemento de área da figura ,
x é a distância do elemento de área ao eixo y e
y é a distância do elemento de área ao eixo x.
Profª: Acilayne Freitas
MOMENTO DE INÉRCIA
DEFINIÇÃO
Assim a resistência que a figura oferece ao giro em torno
do eixo x é representada por
Ix
2
y da
e em torno do eixo y e representada por I y
Unidades empregadas : m4, cm4, pol4, etc.
Será adotada a unidade de m4
Profª: Acilayne Freitas
2
x da
OBTENÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA
DE FIGURAS COMUNS
Iy
Iz
z
y
2
2
ds
b 2
ds
0
h
0
y
2
z
z
h dz h
3
3
b dy b
y
3
3
b
Iy
h b
3
0
h
Iz
0
3
b h
3
3
Profª: Acilayne Freitas
Momento de Inércia
Considerações:
-Apesar de ser usado um par de eixos de referência (X e Y), o
cálculo do Momento de Inércia (Ieixo) é feito em relação a cada
um deles separadamente, Podendo os eixos serem quaisquer ou
baricêntricos (G).
-À medida que o eixo de referência se afasta do baricentro da
figura plana, o resultado do momento de inércia, em relação ao
eixo de referência, aumenta.
Profª: Acilayne Freitas
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
TEOREMA DE STEINER
I
I
Ad
2
Profª: Acilayne Freitas
Aplicação do Teorema
Profª: Acilayne Freitas
Momento de Inércia das figuras
básicas
Momento de Inércia das figuras
básicas
Exercício