MECÂNICA DOS SOLOS, DAS ROCHAS E ELEMENTOS DE GEOLOGIA II
ANO 2012
DISTRIBUIÇÃO DAS ATIVIDADES NA DISCIPLINA
1. Apresentação da Disciplina.............................................................................................................................
Cronograma de Aulas, Provas e Objetivos.............................................................................................................
2. Conteúdo programático ..................................................................................................................................
2.1. Introdução..............................................................................................................................................
2.1.1.
História da Mecânica dos Solos...............................................................................................
2.1.2.
Obras de Engenharia Geotécnica............................................................................................
2.1.3.
Campo de Atuação do Profissional da Área.............................................................................
2.1.4.
Organizações e Grupos............................................................................................................
2.2. Permeabilidade dos Solos......................................................................................................................
2.2.1.
Conservação de Energia...........................................................................................................
2.2.2.
Lei de Darcy..............................................................................................................................
2.2.3.
Determinação do Coeficiente de Permeabilidade dos Solos.....................................................
2.3. Fluxo Bidimensional................................................................................................................................
2.3.1.
Percolação com Fluxo 2-D.........................................................................................................
2.3.2.
Rede de Fluxo ..........................................................................................................................
2.3.3.
Solução com Rede de Fluxo .....................................................................................................
2.3.4.
Permeametro Curvo...................................................................................................................
2.3.5.
Procedimento para Construção Gráfica de Rede de Fluxo .......................................................
2.3.6.
Percolação em Barragem .........................................................................................................
2.4. Deformação – Carregamentos Verticais..................................................................................................
2.4.1.
Conceitos de Tensões no Solo..................................................................................................
2.4.2.
Princípio das Tensões Efetivas de Terzaghi.............................................................................
2.4.3.
Tensões de Espraiamento.........................................................................................................
2.4.4.
Bulbo de Tensões Devido ao Carregamento.............................................................................
2.4.5.
Compressíbilidade dos Solos....................................................................................................
2.4.6.
Recalques - Definições..............................................................................................................
2.5. Teoria de Adensamento ..........................................................................................................................
2.5.1.
Elementos de Solo Submentidos a Tensões.............................................................................
2.5.2.
Processo de Adensamento........................................................................................................
2.5.3.
Modelo Mecânica de Terzaghi...................................................................................................
2.5.4.
Teoria de Adensamento de Terzaghi.........................................................................................
2.5.5.
Solução da Equação Diferencial do Adensamento....................................................................
2.5.6.
Altura de Drenagem...................................................................................................................
2.5.7.
Recalques devido ao Adensamento..........................................................................................
2.5.8.
Recalque Devido ao Rebaixamento do Nível D’Água................................................................
2.6. Estado de Tensões e Critérios de Ruptura..............................................................................................
2.6.1.
Tensões no Solo........................................................................................................................
2.6.2.
Círculo de Mohr..........................................................................................................................
2.6.3.
Resistência ao Cisalhamento dos Solos....................................................................................
2.6.4.
Critérios de Ruptura de Morhr-Coulomb....................................................................................
2.7. Resistência das Areias.............................................................................................................................
2.8. Resistência das Argilas............................................................................................................................
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1.
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
As aulas serão analítico-expositivas e de laboratório, com apresentação e resolução de exercícios práticos em sala de
aula e apresentação de estudos de casos de obras.
1.1. Cronograma de Aulas – conforme apresentado pela universidade;
1.2. Provas – conforme calendário apresentado, podendo ser solicitado trabalhos parciais e relatórios como parte da
avaliação;
1.3. Objetivos da Disciplina: Transmitir ao aluno conhecimentos sobre os conceitos de Mecânica dos Solos, e o
entendimento sobre a aplicação de Mecânica dos Solos em outras áreas relacionadas como: Fundações e Obras de
Terra. Além de capacitar os alunos para análise, cálculos, desenvolvimento experimental e teórico em Mecânica dos
Solos.
2.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
2.1. INTRODUÇÃO
2.1.1.
HISTÓRIA DA MECÂNICA DOS SOLOS
Os primeiros trabalhos surgiram nos séculos passados, como os clássicos:
- Charles Augustin de Coulomb, 1776 – Frances – assumiu a direção das obras de fortificação que estavam sendo
realizadas em Rochefort, na ilha de Aix e em Cherbourg, ocupando-se também de pesquisas científicas. Desses
estudos nasceram, em 1773, as bases da teoria da resistência dos materiais e, seis anos mais tarde, alguns
trabalhos sobre o atrito.
- Willian John Macquorn Rankine, 1856 – Escocês - desenvolveu métodos para estudar a distribuição de
forças em estruturas das construções, especialmente no âmbito da mecânica dos solos.
- Henry Darcy, 1856 – Frances - descreve o fluxo de um fluido através de um meio poroso. A lei foi formulada por
Henry Darcy com base nos resultados de experimentos, publicado em 1856 sobre o fluxo de água através de leitos
de areia. Constitui também a base científica da permeabilidade de fluidos utilizados em ciências da terra;
Fato: início do século XX ruptura do Canal do Panamá, taludes e estradas na Europa e EUA requisitaram novas
pesquisas e novas soluções para as obras no solo.
- Karl Terzaghi 1936 – Fundador da Mecânica dos Solos – o solo é heterogeneo e e regido por leis diferentes que
materias como concreto e aço. Identificou pressões na água e tensão nos solos e apresentou uma solução
matemática para a evolução dos recalques das argilas com tempo após aplicação de carga (marco da Engenharia de
Solos).
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O solo está em constante modificação e sua heterogeneidade é uma característica que define e diferencia
cada solo. Sua origem vem da decomposição das rochas que constituem a crosta terrestre. A origem depende da
composição química da rocha e as condições que o envolve defini as demais características.
2.1.2.
OBRAS DE ENGENHARIA GEOTÉCNICA;
Santos – prédios com aproximadamente 90 cm de inclinação no seu topo;
Estradas – cortes, aterros;
Barragens – grandes movimentações de solos saturados;
Escavações – subsolos, túneis,
Petrópolis, Teresópolis e Nova Friburgo – desastres naturais, construções em locais de risco, obras de contenções.
2.1.3.
CAMPO DE ATUAÇÃO DO PROFISSIONAL DA ÁREA;
O profissional de Engenharia com especialização na área de Mecânica dos Solos atua em obras no solo,
voltadas a fundações de prédios, estruturas, escavações, obras de contenção, estradas de rodagem, barragens,
túneis, etc. Para tanto necessita conhecer bem os solos onde esta trabalhando, isto é possível, com a identificação
dos parâmetros do solo através dos ensaios de campo e laboratório e com estes dados aplicados a modelos
matemáticos ou modelagens numéricas computacionais as soluções técnicas adequadas são encontradas. Porém
para definir quais ensaios necessitam ser feitos o profissional necessita identificar e classificar com precisão o solo
em questão, este é o objetivo da Geotecnia.
2.1.4.
ORGANIZAÇÕES E GRUPOS
ABMS - Associação Brasileira de Mecânica dos Solos e Engenharia Geotécnica.
ISSMGE International Society for Soil Mechanics and Geotechnical Engineering.
ABGE - Associação Brasileira de Geologia e Engenharia Ambiental.
CBDB - Comitê Brasileiro de Barragens.
CBT - Comitê Brasileiro de Túneis.
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2.2. PERMEABILIDADE DOS SOLOS
Nos meios porosos a permeabilidade é uma constante (coeficiente) calculada pela equação de Darcy, que
relaciona a quantidade de água que passa através da unidade de área do material sob uma perda de carga igual a 1
(um).
Para que um material seja permeável é necessário que seus poros tenham aberturas capazes de permitir o
fluxo da água e que estes poros estejam conectados entre si, para que o fluxo se processe. Na grande maioria das
vezes a água ocupa a maior parte ou a totalidade dos vazios (poros) do solo. Quando o solo é submetido a uma
diferença de potenciais, a água desloca-se no seu interior.
O estudo da percolação da água nos solos é muito importante porque ela intervém num grande número de
problemas práticos, que podem ser agrupados em três tipos:
a) no cálculo das vazões, como, por exemplo, na estimativa da quantidade de água que se infiltra numa
escavação;
b) na análise de recalques, porque, frequentemente, o recalque está relacionado à diminuição de índices
de vazios, que ocorre pela expulsão de água desses vazios;
c) nos estudos de estabilidade, porque a tensão efetiva (que comanda a resistência do solo) depende da
pressão neutra, que, por sua vez, depende das tensões provocadas pela percolação da água.
O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos é realizado apoiando-se em três conceitos básicos:
Conservação da energia (Bernoulli), Permeabilidade dos solos (Lei de Darcy) e Conservação de massa.
2.2.1
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli é expresso em relação ao peso de um
fluido de acordo com a equação abaixo:
h total = z +
u
γ
w
+
v
2
2g
Figura 2.2.1: Tensões no Solo num Permeâmetro sem Fluxo
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Onde:
htotal - é a energia total do fluido;
z - é a cota do ponto considerado com relação a um dado referencial padrão;
u - é o valor da pressão neutra;
v - é a velocidade de fluxo da partícula de água;
g - é o valor da aceleração da gravidade terrestre.
Para a grande maioria dos problemas envolvendo fluxo de água nos solos, a parcela da energia total da água no solo
referente a energia cinética, termo
h total = z +
2.2.2
v2
2g
, pode ser desprezada, devido a baixa velocidade encontrada, desta forma:
u
γw
LEI DE DARCY
Experimentalmente, Darcy, em 1850, verificou como os diversos fatores geométricos, indicados na Figura 1,
influenciavam a vazão da água, expressando a equação de Darcy:
Q=k
h
A
L
onde:
Q – vazão;
A - área do permeâmetro;
k - o coeficiente de permeabilidade;
h – carga dissipada na percolação;
L – distância na qual a carga é dissipada.
A relação
h
é chamada de gradiente hidráulico, expresso pela letra i. Então: Q = kiA
L
Figura 2.2.2: Água percolando em um permeâmetro
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A vazão dividida pela área indica a velocidade com que a água sai da areia quando o gradiente é igual a 1. Esta
velocidade, v, é chamada de velocidade de percolação. A lei de Darcy é válida somente para os casos de fluxo
laminar.
Então:
2.2.3
v = k.i (m/s)
Determinaçã do Coefieciente de Permeabilidade dos Solos
O coeficiente de permeabilidade e pode ser determinado diretamente através de ensaios de campo e laboratório ou
indiretamente, utilizando-se correlações empíricas. O mesmo pode ser obtido utilizando-se amostras deformadas ou
indeformadas.
a)
Através da Curva Granulométrica
Utilizando a equação de Hazen para o caso de areias e pedregulho, com pouca ou nenhuma quantidade de finos.
2
k = 100 ∗ d efet
Onde:
k é a permeabilidade expressa em cm/s
defett é o diâmetro efetivo em cm = d10
90 < C < 120, sendo C= 100, muito usado.
Para uso da equação recomenda-se que Cu seja menor que 5.
b)
Através do uso de Permeâmetros
São os ensaios de laboratório mais utilizados.
Permeâmetro de Carga Constante
O permeâmetro de carga constante é utilizado toda vez que temos que medir a permeabilidade dos solos granulares
(solos com razoável quantidade de areia e/ou pedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade elevados. O
permeâmetro pode ser visto na Figura 2.
Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis de água são mantidos constantes, como mostra a Figura 2.
Mantida a carga h, durante um certo tempo, a água percolada é colhida e o seu volume é medido. Conhecidas a vazão e as
dimensões do corpo de prova (comprimento L e a área da seção transversal A), calcula-se o valor da permeabilidade, k,
através da equação:
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k=
Q
i∗A
ou
k=
q∗L
A∗h∗t
Figura 2.2.3: Permeâmetro de Carga Constante
Onde:
q - é a quantidade de água medida na proveta (cm3);
L - é o comprimento da amostra medido no sentido do fluxo (cm);
A - área da seção transversal da amostra (cm2);
h - diferença do nível entre o reservatório superior e o inferior (cm);
t - é o tempo medido entre o inicio e o fim do ensaio (s);
Permeâmetro de Carga Variável
Quando o coeficiente de permeabilidade é muito baixo, a determinação pelo permeâmetro de carga constante é pouco
precisa. Emprega-se, então, o de carga variável, como esquematizado na Figura 2.2.4.
.
No ensaio de permeabilidade a carga variável, medem-se os valores h obtidos para diversos valores de tempo
decorrido desde o início do ensaio. São anotados os valores da temperatura quando da efetuação de cada medida.
O coeficiente de permeabilidade dos solos é então calculado fazendo-se uso da lei da Darcy: q = k
h
L
A e levando-se
em conta que a vazão de água passando pelo solo é igual a vazão da água que passa pela bureta, que pode ser expressa
como: q =
− adh
dt
(conservação da energia).
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Igualando-se as duas expressões de vazão tem-se: − a
dh
dt
=k
h
L
A que integrada da condição inicial (h = hi, t = 0) à
h1 dh kA t1
h0 kA
condição final (h = hf, t = tf): − a ∫
=
=
dt , explicitando-se o valor de k:
∫ dt conduz a: ln
L t
h1
L
h0 h
0
k=
h
ln 0
A ∗ t h1
aL
ou
k = 2 ,3
h
log i
A∗t
hf
aL
Figura 2.2.4: Permeâmetro de Carga Variável
Onde:
a - área interna do tubo de carga (cm2)
A - seção transversal da amostra (cm2)
L - altura do corpo de prova (cm)
h0 - distância inicial do nível d`água para o reservatório inferior (cm)
h1 - distância para o tempo 1, do nível d`água para o reservatório inferior (cm)
dt - intervalo de tempo para o nível d`água passar de h0 para h1 (cm)
c)
Através de ensaios de campo
Os ensaios de campo podem ser realizados em furos de sondagens, em poços ou em cavas, sendo mais utilizados em
sondagens. E pode ser feita pelo ensaio de infiltração e o de bombeamento.
Se, no decorrer de uma sondagem de simples reconhecimento, a operação de perfuração for interrompida e se encher
de água o tubo de revestimento, mantendo-se o seu nível e medindo-se a vazão para isso, pode-se calcular o coeficiente de
permeabilidade do solo. Estes ensaios são menos precisos do que os de laboratório.
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Ensaio de Bombeamento
Por meio deste ensaio determina-se no campo, a permeabilidade de camadas de areia ou pedregulho, situados abaixo
do nível da água. O esquema do ensaio pode ser visto na Figura 2.2.4.
O princípio do método consiste em esgotar-se a água até o estabelecimento de um escoamento uniforme, medir a
descarga do poço e observar a variação do nível d’água em piezômetros colocados nas proximidades.
Figura 2.2.5 - Ensaio de Bombeamento
O poço para bombeamento deve penetrar em toda a profundidade da camada ensaiada e com diâmetro suficiente para
permitir a inserção de uma bomba com tipo e capacidade necessária ao bombeamento.
Nas proximidades e situados radialmente são instalados poços de observação do nível d’ água ou piezômetros.
Recomenda-se a instalação de 4 (quatro) poços de observação e um mínimo de dois e levados até profundidades abaixo do
nível mais baixo que a água deve atingir durante o ensaio.
Ao se manter constante o nível d’água no poço efetua-se as medidas das alturas de água em cada um dos
piezômetros instalados. A permeabilidade é medida pela fórmula abaixo:
ln
k=Q
π( y 22
x2
x1
− y 12 )
Bombeamento diretamente das Fundações
Por este processo, o esgotamento se faz recalcando, para fora da zona de trabalho, a água conduzida por meio de
valetas e acumulada dentro de um poço executado abaixo da escavação.
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POSSÍVEIS INCOVENIENTES
a)
O carregamento das partículas mais finas do solo pela água, provocando recalque das fundações vizinhas;
b)
O bombeamento em terreno permeável, á medida que a água vai sendo bombeada, o nível de dentro da escavação
baixa mais rápido que o nível de fora, originando uma diferença de pressão de fora para dentro, provocando
desmoronamento;
c)
Se a pressão da água de fora para dentro for maior que o peso próprio do solo acontece o fenômeno da areia
movediça.
2.2.3.1
FATORES QUE INFLUEM NO COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE DO SOLO
Além de ser uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de valores, o coeficiente de
permeabilidade de um solo é função de diversos fatores, dentre os quais podemos citar a estrutura do solo, estratificação do
terreno, o grau de saturação e o índice de vazios. E quando da realização de ensaios da temperatura do ensaio.
Temperatura do Ensaio
Quanto maior for a temperatura, menor a viscosidade da água e, portanto, mais facilmente ela escoa pelos vazios do
solo com correspondente aumento do coeficiente de permeabilidade; k é inversamente proporcional à viscosidade da água.
Por isso, os valores de k são referidos à temperatura de 200C, o que se faz pela seguinte relação:
k 20 = k T
ηT
= k T .C v
η 20
Onde:
kT – o valor de k para a temperatura do ensaio;
η20 - é a viscosidade da água a temperatura de 200C;
ηT - é a viscosidade a temperatura do ensaio;
CV – relação entre as viscosidades.
Segundo Helmholtz, a viscosidade da água em função da temperatura é dada pela fórmula empírica:
η=
0,0178
1 + 0,033 T + 0,00022 T 2
T é a temperatura do ensaio em graus centígrados.
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Estado do solo
A equação de Taylor correlaciona o coeficiente de permeabilidade com o índice de vazios do solo. Quanto mais fofo o
solo, mais permeável ele é. Conhecido o k para um certo “e” de um solo, pode-se calcular o “k” para outro e pela
proporcionalidade: Esta equação é boa para uso em areias.
e 13
k1
k2
=
(1 + e 1 )
e 32
(1 + e 2 )
A influência do índice de vazios sobre a permeabilidade, em se tratando de areias puras e graduadas, pode ser
expressa pela equação de A. Casagrande:
k = 1,4k 0,85 e 2
k0,85 é o coeficiente de permeabilidade do solo quando e = 0,85
Estratificação do Terreno
Em virtude da estratificação do terreno, os valores do coeficiente de permeabilidade são diferentes, nas diferentes
direções, horizontal e vertical. Sendo continuo o escoamento na vertical, a velocidade V é constante. No sentido horizontal
todos os estratos têm o mesmo gradiente hidráulico.
Na Figura 2.2.5, chamando-se k1, k2, k3...kn, os coeficientes de permeabilidade das diferentes camadas e1, e2, e3,... en,
respectivamente as suas espessuras, deduzimos as fórmulas dos valores médios de k nas direções paralela e perpendicular
aos planos de estratificação.
Figura 2.2.6 - Fluxo nas Direções Horizontal (a) e Vertical (b)
Permeabilidade paralela à estratificação - Na direção horizontal, todos os estratos têm o mesmo gradiente hidráulico i.
Assim:
Q = k HLi = k 1e 1i1 + k 2 e 2 i 2 + ...k n e n i n
Como:
i1 = i2 = ...in
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vH =
∑ k i ie i i∑ k i e i
=
= k hi
∑ ei
∑ ei
kh =
∑ k ie i
L
Permeabilidade perpendicular à estratificação – Na direção vertical, sendo contínuo o escoamento, a velocidade v é
constante. Portanto:
v = ki
∆h
∆h1
∆h
∆h i
= k 2 2 = k 3 3 = ... = k V
e1
e2
e3
∑ ei
Daí obtém-se sucessivamente:
kv =
v∑ e i ∑ e i
∑ ei
=
=
=
∆h
∆h1 ∆h 2 ∆h 3
∆h
+
+
+ ...
v
v
v
v
∑ ei
∆h 3
∆h1
∆h 2
+
+
+ ...
∆h1
∆h 2
∆h 3
k1
k2
k3
e1
e2
e3
=
∑ ei
e1 e 2 e 3
+
+
+ ...
k1 k 2 k 3
Donde, finalmente:
kv =
∑ ei
∑
ei
ki
=
L
e
∑ i
ki
Para camadas de mesma permeabilidade, k1 = k2 =... = kn, obtém-se pela aplicação dessas fórmulas:
kn = kv
Demonstra-se, ainda que em todo depósito estratificado, teoricamente:
kh > kv
Influência do grau de saturação
A percolação de água não remove todo o ar existente num solo não saturado. Permanecem bolhas de ar,
contidas pela tensão superficial da água. Estas bolhas de ar constituem obstáculos ao fluxo de água. Desta forma, o
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coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado é menor do que o que ele apresentaria se estivesse totalmente
saturado. A diferença, entretanto não é muito grande.
2.2.3.2. INTERVALOS DE VARIAÇÃO DO COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE
O valor de k é comumente expresso com um produto de um número por uma potência negativa de 10.
-8
Exemplo: k = 1,3. 10 cm/s, valor este, aliás, característico de solos considerados como impermeáveis para todos
os problemas práticos.
ÁBACO DE REFERÊNCIA DE PERMEABILIDADE EM FORMATO DE ESCALA:
2.2.3.3. A VELOCIDADE DE DESCARGA E A VELOCIDADE REAL DA ÁGUA
A velocidade considerada pela Lei de Darcy é a vazão dividida pela área total. Mas a água não passa por toda
a área, passa só pelos vazios.
A relação entre a área de vazios e volumes correspondentes, que é por definição, a porosidade da areia, n.
Considerando-se a viscosidade a velocidade do fluxo pode ser expressa como:
vf =
v
n
2.2.3.4. FORÇA DE PERCOLAÇÃO
A Figura 2.2.2 representa uma situação em que há fluxo. A diferença entre as cargas totais na face de entrada
e de saída é h, e a ela corresponde a pressão hγw.
Esta carga se dissipa em atrito viscoso na percolação através do solo. Como é uma energia que se dissipa por
atrito, ela provoca um esforço ou arraste na direção do movimento. Esta força atua nas partículas, tendendo a carregálas. Só não o faz porque o peso das partículas a ela se contrapõe, ou porque a areia é contida por outras forças
externas.
A força dissipada é:
F = hγwA
Onde:
A é a área do corpo de prova.
Num fluxo uniforme, esta força se dissipa uniformemente em todo o volume de solo, A.L, de forma que a força
por unidade de volume é:
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j=
hγ w A
AL
=
h
L
γ w = iγ w
Sendo j denominado força de percolação. Observa-se que ela é igual ao produto do gradiente hidráulico, i, pelo
peso específico da água.
A força de percolação é uma unidade semelhante ao peso específico. De fato, a força de percolação atua da
mesma forma que a força gravitacional. As duas se somam quando atuam no mesmo sentido (fluxo d’água de cima
para baixo) e se subtraem quando em sentido contrário (fluxo d’água de baixo para cima).
2.2.3.5. TENSÕES NO SOLO SUBMETIDO À PERCOLAÇÃO
Considere-se um solo submetido a um fluxo ascendente como mostrado na Figura 6, na qual estão
indicadas as tensões totais e neutras ao longo da profundidade.
Figura 2.2.7 - Tensões no Solo num Permeâmetro com luxo Ascendente
A tensão efetiva varia linearmente com a profundidade e, na face inferior, vale:
σ = (zγ w + Lγ n ) − (zγ w + Lγ w + hγ w )
σ = L(γ n − γ w ) − hγ w
 Lh 
σ = L( γ n − γ w ) −   γ w
L 
σ = L(γ sub ) − Liγ w = L(γ sub − j)
Para o fluxo descendente, os cálculos são semelhantes, mas a tensão efetiva aumenta com a percolação:
L( γ
sub
+ j)
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2.2.3.6. GRADIENTE CRÍTICO
Na Figura 2.2.6, considere que a carga hidráulica h aumente progressivamente. A tensão efetiva ao longo de
toda a espessura irá diminuindo até o instante em que se torne nula. Nesta situação, as forças transmitidas de grão
para grão vão se anulando até chegar em zero. Os grãos permanecem, teoricamente, nas mesmas posições, mas não
transmitem forças através dos pontos de contato. A ação do peso dos grãos se contrapõe à ação de arraste por atrito
da água que percola para cima.
Como a resistência das areias é proporcional à tensão efetiva, quando esta se anula, a areia perde
completamente sua resistência. A areia fica num estado definido com areia movediça.
Para se conhecer o gradiente que provoca o estado da areia movediça, pode-se determinar o valor do
gradiente que conduz a tensão efetiva a zero, na expressão abaixo determinada:
σ = Lγ
sub
σ = L( γ
i =
C
γ
γ
− Liγ = 0
SUB
W
− iγ ) = 0
w
sub
w
Este gradiente é chamado gradiente crítico. Seu valor é da ordem de um, pois o peso específico submerso
dos solos é da ordem do peso específico da água. Podemos observar que o estado de areia movediça só ocorre
quando o gradiente atua de baixo para cima, como ilustra a Figura 2.2.6. A areia movediça não é um tipo de areia, mas
um estado do solo em que as forças de percolação tornam as tensões efetivas nulas.
Na natureza, as areias movediças, são raras suas ocorrências, mas devido a intervenção do homem isto é
capaz de acontecer em obras.
Em uma barragem construída sobre camada de areia fina sobreposta a um sedimento de areia grossa como
ilustrado na Figura 2.2.7 (a), a água do reservatório se infiltra pelas fundações, percorre na horizontal,
preferencialmente pela camada grossa, e emerge a jusante, através da areia fina. A areia perderá resistência e a
barragem tombará. Na Figura 2.2.7 (b) ilustra uma escavação em areia, previamente escorada com estacas pranchas,
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em que o nível d’água é rebaixado para que se possa trabalhar a seco. A perda de resistência fará mergulhar as
pessoas e os equipamentos que estiverem trabalhando no fundo e, eventualmente, provocará a ruptura do
escoramento por falta de sustentação lateral.
2.2.3.7. FILTROS DE PROTEÇÃO - REDUÇÃO DO GRADIENTE DE SAÍDA
Na situação como a das fundações da barragem da Figura 2.2.7 (a) o gradiente de saída poderia ser reduzido
com a colocação de uma camada de areia grossa ou de pedregulho no pé de jusante da barragem. Este aspecto pode
ser estudado pelo modelo de duas areias em um permeâmetro, conforme mostrado na figura abaixo:
Considere os seguintes parâmetros:
a) As duas areias tem peso específico igual ( γ n
= 19kN / m 3 ) e o mesmo coeficiente de permeabilidade,
os diagramas das pressões totais e neutras é o mostrado na Figura 2.2.7.
b) (b). Calcule: gradiente, gradiente crítico e coeficiente de segurança para areia movediça.
c) Considerando que a areia B seja 4 vezes mais permeável que a areia A, calcule: a carga individual de cada
parcela de areia, gradiente de cada areia e a tensão total, a tenção neutra e a tensão efetiva.
FILTROS DE PROTEÇÃO – na figura acima considera-se como um filtro de proteção a areia A, na medida em
que confina a areia A e as forças de percolação que se desenvolvem nela são relativamente baixas. Porém um
segundo aspecto deve ser satisfeito para um filtro de proteção: é necessário que os seus vazios não sejam tão abertos
a ponto de os grãos finos da areia A possam passar por eles.
Os filtros de proteção são usados sempre que houver transição entre camadas de solo muito diferentes. O
critério para projeto de filtros de proteção, proposto por Terzaghi, ainda hoje empregado após constantes verificações
práticas, baseiam-se nas curvas granulométricas dos materiais e são dois critérios:
D15 Filtro > 5 ∗ D15 Solo indica que o filtro deve ser mais permeável que o solo e
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D15 Filtro
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< 5 ∗ D85 Solo limita o tamanho dos finos do filtro, de forma que não deixem passagem para os grão
do solo. O significado de
D15 e D85 é semelhante ao das definições de D10 e D60 no estudo da uniformidade da
granulometria. O mateial Q (filtro) satisfaz as duas condições para o solo S.
Exercícios
A) No permeâmetro da Figura 2.2.2, onde: h=28 cm; z=24 cm e L=50 cm. A seção transversal do permeâmetro é de
530cm². O peso específico da areia é de 18kN/m³. Mantida a carga hidráulica, mediu-se um volume de 100 cm³
escoado em 18 segundos. Qual é o coeficiente de permeabilidade do material? Resp.: k=1,9E-2 cm/s.
B) Em um ensaio de permeabilidade, com permeâmetro de carga variável, como na Figura 2.2.3, quando a carga h era
de 65 cm, acionou-se o cronometro, 30 segundos depois, a carga h era de 35 cm. L=20 cm, A = 77 cm² são as
dimensões do corpo de prova e a área da bureta é de 1,2 cm², Reponda:
b1) Qual é o coeficiente de permeabilidade do solo? Resp.: 6,40E-3 cm/s
b2) Estime o coeficiente de permeabilidade, aplicando a Lei de Darcy, para uma carga média durante o ensaio. Resp.:
6,20E-3 cm/s
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2.3 FLUXO DE ÁGUA NOS SOLOS
A água livre (gravitacional) move-se nos solos por ação da gravidade ou de pressões externas. Em condições ideais,
poderemos dizer que a água “percola” pelos solos de acordo com uma lei do Teorema de Bernoulli. Nos solos onde v
(velocidade) assume valores pequenos, a parcela v²/2g pode ser desprezada, resultando somente a carga piezométrica e
a carga hidráulica.
Figura .2.3.1. Carga em Rede de Percolação
Mas, num maciço estas expressões do fluxo precisam ser generalizadas. Aí o movimento de água passa a ser expresso
por aplicações da Lei de Laplace e o fluxo pode ser visualizado através das redes de percolação. Na figura abaixo, Q é a
quantidade de água que escoa no canal de fluxo e H é a perda de carga.
Figura 2.3.2. Modelo de Rede de Percolação
A percolação provoca um conjunto de ações sobre o solo que poderemos classificar como: levitação, a perda de peso
por pressões ascendentes devido à água; o carreamento,arrastamento pelas forças de percolação; a erosão,
arrancamento e arrastamento por trações devido à lâmina d’água. Estas ações podem provocar a ruptura hidráulica dos
solos: perda de resistência e estabilidade por efeitos da percolação. A ruptura hidráulica leva à necessidade de se colocar
nas obras proteções contra o carreamento, a erosão e etc.
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Para determinarmos a equação de Laplace vamos iniciar relembrando a Lei de Darcy em fluxo unidirecional (Fluxo1-D).
Darcy, em 1856, estabeleceu uma fórmula empírica para prever o comportamento do fluxo em solos saturados. A
quantidade de água que flui por uma seção transversal (A), sob um gradiente hidráulico (i), pode ser expressa por:
q = kiA
e v=(q/A) = ki
onde;
q = vazão (m3/s; cm3/s; l/s; etc)
k = constante, chamada condutividade hidráulica ou coeficiente de permeabilidade
v = velocidade com que a água percola no solo
i = gradiente hidráulico
2.3.1 Percolação Com Fluxo 2-D
Em geral, a Lei de Darcy não pode ser aplicada diretamente ao caso do fluxo 2-D por causa do gradiente hidráulico (i) e
da área (A) variarem durante o regime do fluxo. Neste caso, como as análises são mais complexas que o caso 1-D, que
pode ser resolvido facilmente pela Lei de Darcy, torna-se necessária a incorporação de uma função matemática que
represente o fluxo, denominada “Equação de Laplace”.
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SOLUÇÕES EXISTENTES PARA A EQUAÇÃO DE LAPLACE
MÉTODOS ANALÍTICOS: Resultam da integração da equação diferencial do fluxo. Essa solução é aplicável somente em
casos simples, devido à complexidade do tratamento matemático.
SOLUÇÃO NUMÉRICA: Consiste na aplicação de métodos numéricos para a solução da Equação de Laplace através de
programas de computador. Ex. MEF (Método dos Elementos Finitos).
MODELOS REDUZIDOS: Consiste em construir num tanque com paredes transparentes um modelo reduzido do meio
que vai sofrer percolação.
SOLUÇÃO GRÁFICA: É o mais comum dos métodos. São as Redes de Fluxo, que será amplamente estuda.
As redes de fluxo podem ser traçadas por métodos analíticos, analogias, modelos e soluções gráficas (o método mais
usado). No método gráfico, as redes de fluxo são obtidas pelo traçado à mão livre das prováveis linhas equipotenciais e
de fluxo, elas se interceptam formando “quadrados”.
Figura 2.3.3 Exemplos de redes de fluxo em barragens
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2.3.2 Rede De Fluxo
Ao iniciar-se o assunto de redes de fluxo deve-se ter em mente as seguintes definições: linhas de fluxo, linhas
equipotenciais, meio homogêneo, meio heterogêneo, meio isotrópico e meio anisotrópico.
- Linhas de fluxo são linhas imaginárias que representam o caminho percorrido por uma partícula no solo. É resultante
da união dos vetores de fluxo;
- Linhas equipotenciais são linhas que representam valores iguais de carga hidráulica em toda sua extensão. O
deslocamento das linhas de fluxo sempre ocorre da linha equipotencial de maior valor para a linha equipotencial de menor
valor. As linhas equipotenciais e as linhas de fluxo são ortogonais entre si;
- Meio Homogêneo é onde o valor da condutividade hidráulica K é independente da posição dentro de uma formação
geológica, constituindo-se de apenas um tipo de material;
- Meio Heterogêneo é onde o valor da condutividade hidráulica K é dependente da posição dentro de uma formação
geológica, constituindo-se de mais de um tipo de material;
- Meio Isotrópico é onde o valor da condutividade hidráulica K é independente da direção de medição em um ponto
dentro da formação geológica;
- Meio Anisotrópico é onde o valor da condutividade hidráulica K é dependente da direção de medição em um ponto
dentro da formação geológica.
Sabe-se que no fluxo de águas subterrâneas, as superfícies equipotenciais e as linhas de fluxo tem um comportamento
tridimensional. Dentro desta situação, uma seção transversal através deste sistema tridimensional pode ser escolhido.
Com isso, o grupo de linhas equipotenciais e as linhas de fluxo as quais ficarão expostas denomina-se rede de fluxo. A
construção de uma rede de fluxo é uma das mais poderosas ferramentas para analisar o fluxo em águas subterrâneas.
Para solucionar um problema de rede de fluxo é preciso saber quais são as condições de contorno e condições iniciais
relacionadas à equação de fluxo.
Condições de Fluxo
Uni-Dimensional (1-D): aquele onde os vetores velocidade (v) são todos paralelos e de mesma magnitude. Ou seja, a
água sempre se move paralela a algum eixo e através de uma área de seção transversal constante.
Figura 2.3.4 Fluxo Unidirecional (1-D)
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2.3.3 Solução Com Rede de Fluxo
Vamos analisar a questão à luz da rede de fluxo:
Qualquer partícula que penetra na face inferior da areia se desloca para a face superior segundo uma linha reta. Esta
linha chama-se LINHA DE FLUXO. As próprias paredes verticais do permeâmetro são linhas de fluxo. Tracemos algumas
linhas de fluxo, por exemplo, a cada 2 cm de largura, formando 4 faixas limitadas por estas linhas, cujas faixas chamamos
CANAIS DE FLUXO. A vazão é igual em cada canal, uma vez que todos têm a mesma largura. Com relação às cargas,
em qualquer ponto das faces inferior e superior, elas têm o mesmo valor. Por isso, a linha que as representa é chamada
de LINHA EQUIPOTENCIAL. No caso do permeâmetro com fluxo vertical, qualquer linha horizontal é uma equipotencial.
Se traçarmos linhas equipotenciais a cada 2 cm, a distância total de percolação fica dividida em 6 faixas de mesmo
potencial, sendo que a perda de potencial (ou de carga) em cada faixa é igual a 1cm (6cm/6). Estas linhas equipotenciais
fazem um ângulo de 90° com as linhas de fluxo e formam retângulos de 2 cm x 2 cm. O conjunto constituído de linhas de
fluxo e linhas de equipotenciais forma a REDE DE FLUXO.
A rede de fluxo é a representação gráfica dos caminhos percorridos pela água no maciço, e possui os seguintes
elementos):
Canal de fluxo: região compreendida entre duas linhas de fluxo
Perda de carga: é a perda de carga entre duas linhas de equipotenciais = Δh/ND
Número de canais de fluxo = Nf = 4
Número de faixas de equipotenciais = ND = 6
Largura do canal de fluxo = b = 2 cm
Distância entre equipotenciais = l = 2 cm
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Bi-Dimensional (2-D): No caso de fluxos bidimensionais, as redes de fluxo devem ser traçadas mantendo-se os mesmos
princípios: canais de igual vazão e zonas de igual perda de potencial. O estudo pode se iniciar pela percolação em um
permeâmetro curvo hipotético.
2.3.4 Permeâmetro curvo
Consideremos um permeâmetro curvo, com o formato de um setor de anel circular, como o indicado na Figura 2.3.5
Logicamente, não existe razão para se fazer permeâmetros com este formato. O exercício proposto, entretanto, é útil para
o estudo de fluxos bidimensionais, como o permeâmetro regular foi útil para o estudo de fluxos unidimensionais.
Figura 2.3.5 Rede de Fluxo em Permeâmetro Curvo
A areia está contida pelas telas AB e CD, que são ortogonais às paredes do permeâmetro. As distâncias AB e CD são
iguais a 10cm, o arco AC mede 12cm e o arco BD mede 24cm. Para o traçado da rede de fluxo, consideremos o seguinte:
Linhas de Fluxo: A face interna do permeâmetro, o arco AC, é uma linha de fluxo. Nela, o gradiente é igual a 6/12 = 0,5.
A face externa, o arco BD, também é uma linha de fluxo, ao longo da qual o gradiente é igual a 6/24 = 0,25.
Todas as outras linhas de fluxo serão arcos de círculos concêntricos. Como o comprimento de cada arco é diferente,
também são os gradientes. Sendo constante o coeficiente de permeabilidade, conclui-se que as velocidades de
percolação serão diferentes, sendo menores junto à superfície externa (menor i) do que junto à face interna.
Nas redes de fluxo, o que se pretende das linhas de fluxo é que elas delimitem canais de fluxo de igual vazão. Ora, se a
velocidade é menor junto à superfície externa, é necessário que os canais próximos a ela sejam mais largos do que os
canais junto à superfície interna. As linhas de fluxo deverão estar mais próximas entre si junto à superfície interna.
Análise das equipotenciais: A diferença de carga que provoca a percolação é de 6 cm. Esta carga se dissipa
linearmente ao longo de cada linha de fluxo. Se se optar por traçar linhas equipotenciais que definam faixas de perda de
potencial iguais a 0,5cm, existirão 12 faixas (6/0,5 = 12). Ao longo da superfície interna do permeâmetro estas linhas
distam 1,0cm entre si. Na superfície externa do permeâmetro o afastamento entre as equipotenciais será de 2,0cm. Em
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qualquer outra linha de fluxo, seu comprimento será dividido em 12 partes iguais. As equipotenciais serão, então, retas
convergentes,como se mostra na figura.
Esta construção determina que as equipotenciais sejam ortogonais às linhas de fluxo, como deve ocorrer em qualquer
rede de fluxo em materiais de permeabilidade homogênea.
Escolha das linhas de fluxo: Os canais de fluxo devem ter a mesma vazão. Além disto, é útil que as linhas de fluxo
formem com as equipotenciais figuras aproximadamente quadradas. Assim, a primeira linha de fluxo a partir da superfície
interna deve estar afastada dela um pouco mais do que 1cm, pois as equipotenciais junto à superfície interna estão
distantes de 1,0 cm. À medida que se afasta da face interna, a distância entre as linhas de fluxo deve aumentar, como se
mostra no detalhe da Figura 2.3.5, pois as equipotenciais se afastam. Junto à superfície externa, o espaçamento se
aproxima de 2,0 cm. No detalhe da figura, se constata que, com esta construção, o número de canais de fluxo é igual a
5,7, número fracionário porque o último canal tem largura da ordem de 0,7 da distância entre as equipotenciais.
Neste canal, a vazão é igual a 70% das vazões que ocorrem nos demais. Observe como faz sentido as linhas de fluxo se
afastarem quando as equipotenciais se afastam. Maior afastamento das equipotenciais indica menor gradiente. Como se
pretende a mesma vazão nos canais, o menor gradiente deve ser compensado com uma maior largura do canal.
Analisando-se a vazão em cada canal pela Lei de Darcy, tem-se:
A vazão em todos os canais será a mesma se a relação b/1 for constante.
2.3.5 - Procedimento para a Construção Gráfica de Rede de Fluxo
Consiste no traçado, à mão livre, das diversas possíveis linhas de fluxo e equipotenciais. As linhas equipotenciais cortam
as linhas de fluxo segundo ângulos retos e os elementos deverão ser sempre que possíveis quadrados.
A rede de fluxo define:
Número de canais de fluxo (Nf);
Número de faixas de perda de potencial (Nd).
Algumas notas relevantes:
procurar estudar redes de fluxo já construídas
usar poucos canais de fluxo (de 4 a 5) nas primeiras tentativas
acertar a rede no seu todo, depois cuidar dos detalhes
as transições entre trechos retos e curvos das linhas devem ser suaves. Em cada canal, o tamanho
dos“quadrados” varia gradualmente.
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Como exemplo, é demonstrado na Figura 2.3.6 as linhas equipotenciais e linhas de fluxo em uma barragem para um meio
heterogê
neo
e
isotrópic
o.
Figura 2.3.6 - Linhas equipotenciais e linhas de fluxo em uma barragem de formação rochosa heterogênea e isotrópica.
Em meios homogêneos e anisotrópicos, a construção de redes de fluxo torna-se complicado, pois os ângulos formados
entre as linhas equipotenciais e as linhas de fluxo não são ortogonais. Diante desta dificuldade, será construída redes de
fluxo em seção transformada. Portanto, admite-se uma região de fluxo bidimensional em um meio homogêneo e
anisotrópico, tendo condutividades hidráulicas principais Kx e Kz .
Percolação Sob Pranchada
A Figura 2.3.7 mostra uma rede de fluxo correspondente à percolação sob uma pranchada penetrante numa camada de
areia, sendo o nível d'água rebaixado num dos lados por bombeamento.
O contorno da pranchada, de um dos lados, e a superfície inferior da camada permeável, do outro, são duas linhas de
fluxo. Traçadas algumas outras linhas de fluxo, observa-se que esta rede se diferencia da rede correspondente ao
permeâmetro curvo pelo fato dos canais de fluxo terem espessuras variáveis ao longo de seus desenvolvimentos, pois a
seção disponível para passagem de água por baixo da pranchada é menor do que a seção pela qual a água penetra no
terreno, por exemplo:
Figura 2.3.7 Rede de fluxos sob pranchas
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Em virtude disso, ao longo de um canal de fluxo, a velocidade da água é variável. Quando o canal se estreita, devendo
ser constante a vazão, a velocidade tem que ser maior. Logo, o gradiente é maior. Em conseqüência, sendo constante a
perda de potencial de uma linha para a outra, o espaçamento entre equipotenciais deve diminuir. A relação entre linhas de
fluxo e equipotenciais se mantém constante.
Figura 2.3.8 Fluxo entre equipotenciais
Por outro lado, a superfície livre do terreno, tanto a montante como a jusante, são equipotenciais. Consideremos um ponto
qualquer numa equipotencial. A partir deste ponto, o gradiente para passar à equipotencial de menor valor é a perda de
potencial dividida pela distância percorrida. Como se mostra na Figura 2.3.8, é evidente que o gradiente é máximo pelo
caminho normal às equipotenciais. Em solos isotrópicos, o fluxo segue o caminho de maior gradiente, da mesma forma
que, colocando-se uma esfera numa certa cota de um talude, ela rola pelo caminho mais íngreme. (Na Figura 2.3.8, as
equipotenciais podem ser consideradas como curva de nível do terreno: a esfera rolará até a cota mais baixa pelo
caminho mais íngreme, que é normal às curvas de nível). Portanto, as linhas de fluxo são normais às equipotenciais.
2.3.6 Percolação em Barragem
Para a determinação das linhas de fluxo em barragem devemos determinar a parábola básica que é uma curva que define
o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto, denominado foco e de uma diretriz. No caso em questão,
conhecem-se dois pontos da parábola, D e F (foco). Para a determinação gráfica da posição da parábola, deve-se seguir
o seguinte roteiro de acordo com a figura abaixo:
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Figura 2.3.9 – Construção da Parábola básica de Kozeny – Modificado de Bueno e Vilar (1985)
Marcar o ponto D tal que DC= (1/3 a 1/4) AC;
• Centro em D e raio DF, determinar o ponto E sobre a horizontal do prolongamento do nível d'água;
• Traçar uma vertical por E e determinar o segmento EG, a diretriz da parábola;
• Dividir GF ao meio e obter o ponto N que é a origem da parábola;
• Traçar uma vertical por N e obter o segmento NM;
• Dividir NM e DM em parte iguais;
• Ligar os pontos de divisão de DM ao ponto N, formando retas inclinadas ou linhas auxiliares radiais;
• Traçar linhas auxiliares horizontais passando pelos pontos de divisão do segmento NM;
• A intersecção das linhas auxiliares radiais com as linhas auxiliares horizontais determina os pontos da parábola.
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Determinação da Parábola Básica para Traçado da Rede de Fluxo
Rede Finalizada
Outros exemplos 01:
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Outros exemplos 02:
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2.4 DEFORMAÇÕES – CARREGAMENTOS VERTICAIS
Introdução
O solo ao sofrer solicitações se deforma, modificando o seu volume e forma iniciais. A magnitude das deformações
apresentadas pelo solo irá depender de suas propriedades elásticas e plásticas e do carregamento a ele imposto. O
conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra, sejam elas devido ao peso próprio ou provenientes de um
carregamento em superfície (alívio de cargas provocado por escavações) é de vital importância no entendimento do
comportamento de praticamente todas as obras de Engenharia geotécnica. Nos solos ocorrem tensões devidas ao seu peso
próprio e a carregamentos externos. As tensões induzidas por carregamentos externos serão estudados nesta disciplina.
2.4.1 Conceito de Tensões em um Meio Particulado
Para o estudo das tensões no solo aplica-se os conceitos da Mecânica dos SÓLIDOS DEFORMÁVEIS aos SOLOS,
para tal deve-se partir do CONCEITO DE TENSÕES. Considera-se que o solo é constituído de um sistema de partículas e que
FORCAS APLICADAS a eles são transmitas de partícula a partícula, como também são suportadas pela água dos vazios.
As FORÇAS APLICADAS são transmitidas de partícula a partícula de forma complexa e dependendo do tipo de
mineral. No caso de PARTÍCULAS MAIORES, em que as três dimensões ortogonais são aproximadamente iguais, como são
os grãos de silte e de areia a transmissão de forças se faz através do contado direto mineral a mineral. No caso de
PARTÍCULAS DE MINERAL ARGILA sendo elas em numero muito grande, as forças em cada contato são muito pequenas e a
transmissão pode ocorrer através da água quimicamente adsorvida. Em qualquer caso, entretanto, a transmissão se faz nos
contatos e, portanto, em áreas muito reduzidas em relação a área total envolvida.
“De acordo com a mecânica do contínuo o estado de tensão em qualquer plano passando por um ponto em um meio
contínuo é totalmente especificado pelas tensões atuantes em três planos mutuamente ortogonais, passando no mesmo ponto.
O estado de tensões é completamente representado pelo tensor de tensões naquele ponto. O tensor de tensões é composto
de nove componentes, formando uma matriz simétrica.”
A TENSÃO NORMAL é a somatória das forças normais ao plano, dividida pela área total que abrange as partículas
em que estes contatos ocorrem:
σ=
∑N
área
E a TENSÃO CISALHANTE é a somatória das forças tangenciais, dividida pela área.
τ =
∑T
área
Tensões Devidas ao Peso Próprio do Solo
Nos solos, ocorrem tensões devidas ao peso próprio e às cargas aplicadas. Na análise do comportamento dos solos,
as tensões devidas ao peso tem valores consideráveis, e não podem ser desconsideradas. Quando a superfície do terreno é
horizontal, aceita-se intuitivamente, que a tensão atuante num plano horizontal a uma certa profundidade seja normal ao plano.
De fato, estatisticamente, as componentes das forças tangenciais ocorrentes em cada contato tendem a se contrapor,
anulando a resultante.
σV =
γnV
= γnz A
área
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Quando o solo é constituído de camadas aproximadamente horizontais, a tensão vertical resulta da somatória do
efeito das diversas camadas.
Pressão Neutra
Tomamos, agora, o plano B, abaixo do lençol freático, situado na profundidade zw. A tensão total no plano B será a
soma do efeito das camadas superiores. A água no interior dos vazios, abaixo do nível d’água, estará sob uma pressão que
independe da porosidade do solo, depende apenas de sua profundidade em relação ao nível freático. No plano considerado, a
pressão da água será dada por:
u = (zB – zw) γw
ou
u = γw z Coluna De Água
Princípio das Tensões Efetivas
O princípio da tensões efetivas foi postulado por TERZAGHI, para o caso dos solos saturados, a tensão em um plano
qualquer deve ser considerada como a soma de duas parcelas:
- a tensão transmitida pelo contato entre as partículas, chamada de TENSÃO EFETIVA ( σ ) ou (σ’);
- pela pressão da água, denominada PRESSÃO NEUTRA ou PORO -PRESSÃO.
Princípio das tensões efetivas diz que:
“ A tensão efetiva, para solos saturados, pode ser expressa por:
σ=σ−u
sendo σ a tensão total e,
Todos os efeitos mensuráveis resultantes de variações de tensões nos solos, como compressão, distorção e
resistência ao cisalhamento são devidas a VARIAÇÕES DE TENSÕES EFETIVAS.
Corolários do Princípio das Tensões Efetivas
O comportamento de dois solos com a mesma estrutura e mineralogia será o mesmo desde que submetido ao
mesmo estado de tensões efetivas.
Se um solo for submetido a um carregamento ou descarregamento sem qualquer mudança de volume ou distorção,
não haverá variação de tensões efetivas.
Um solo expandirá (e perderá resistência) ou comprimirá (ganhará resistência) se a poro pressão isoladamente
aumentar ou diminuir.
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Uso do Peso Específico Submerso
Nos locais do solo abaixo do nível de água (NA) o cálculo das tensões efetivas poderia ser simplificado pelo uso do
conceito de peso específico submerso. Neste caso a tensão total abaixo do NA será dada por σV =( γsat . z).
IDENTIFICAÇÃO TÁTIL-VISUAL DOS SOLOS
Os solos são classificados em função das partículas que os constituem. Com muita freqüência, seja porque o projeto
não justifica economicamente a realização de ensaios de laboratório, seja porque se está em fase preliminar de estudo, em
que os ensaios de laboratório não são disponíveis, é necessário descrever um solo sem dispor de resultados de ensaios. O
tipo de solo e o seu estado devem ser estimados. Isso é feito meio a uma identificação tátil-visual manuseando-se o solo e
sentido sua reação ao manuseio.
Como nos sistemas de classificação, o primeiro aspecto a considerar é a provável quantidade de grossos (areia e
pedregulho) existente no solo. Grãos de pedregulho são bem distintos, mas grãos de areia, podem encontrar-se envoltos por
partículas mais finas. Neste caso, podem se encontrar envoltos por partículas mais finas.
Para que se possa sentir nos dedos a existência de grãos de areia, é necessário que o solo seja umedecido, de
forma que os torrões de argila se desmanchem. Os grãos de areia podem ser sentidos pelo tato ou manuseio.
Se a amostra de solo estiver seco, a proporção de finos e grossos pode ser estimada esfregando-se uma pequena
porção de solo sobre uma folha de papel. As partículas finas (siltes e argilas) se impregnam no papel ficando isoladas as
partículas arenosas.
Definido se o solo é uma areia ou um solo fino, resta estimar se os finos apresentam características de siltes ou de
argilas.
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TENSÕES GEOSTÁTICAS - São tensões devido ao peso do próprio solo.
Tensão efetiva (σ’): é a tensão suportada pelos grãos do solo, ou seja, é a tensão transmitida pelos contatos entre as
partículas;
Pressão neutra (µ): é a pressão da água, também denominada de poro-pressão é originada pelo peso da coluna d’água no
ponto considerado (µ = γa.h);
Tensão total (σ): é a soma algébrica da tensão efetiva (σ’) e da pressão neutra (µ).
2.4.2 Princípio das Tensões Efetivas de Terzaghi:
a) A tensão efetiva, para solos saturados, pode ser expressa por: σ ' =σ −µ
b) Todos os efeitos mensuráveis resultantes de variações de tensões nos solos, como compressão,
distorção e resistência ao cisalhamento são devidos a variações no estado de tensões efetivas.
Exemplo 1: Pressões devidas ao peso próprio do solo sem a influência do nível d’água.
Sendo γ(ou γnat) o peso específico natural = Pt / Vt (determinado pelo frasco de areia).
Exemplo 2: Pressões devidas ao peso próprio do solo com a influência do nível d’água.
Exemplo 3: Determinar as tensões totais, tensões neutras e tensões efetivas nos pontos A, B, C e D para o perfil de solo da
figura abaixo e traçar os diagramas. Adotar γH20 = 10 KN/m³ ou 1.0 tf/m³.
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Exemplo 5: Resolver o exercício 2 considerando:
a)
Inundação (NA = NT);
b)
O nível d’água está 2,0m acima do NT.
Respostas:
Distribuição de Tensões Devido a Aplicação de Cargas
σ0 = tensão devida ao peso próprio do solo;
∆σ1 = alívio de tensão devido à escavação;
∆σ2 = tensão induzida pelo carregamento “q”.
Ao se aplicar uma carga na superfície de um terreno, numa área bem definida, os acréscimos de tensão numa certa
profundidade não se limitam à projeção da área carregada. Nas laterais da área carregada também ocorrem aumentos de
tensão, que se somam às anteriores devidas ao peso próprio.
2.4.3 Tensões de Espraiamento ou Hipótese Simples
Uma prática corrente para se estimar o valor das tensões em certa profundidade consiste em considerar que as tensões se
espraiam segundo áreas crescentes, mas sempre se mantendo uniformemente distribuídas.
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Exemplo 6: Calcular a tensão no plano situado à profundidade de 5 metros, considerando que a área carregada tem
comprimento infinito. Considerar areia pura (φ0 = 40º).
Obs.: Esse método deve ser entendido como uma estimativa grosseira, pois as tensões em uma determinada profundidade
não são uniformemente distribuídas, mas se concentram na proximidade do eixo de simetria da área carregada, apresentando
a forma de um sino.
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3.4.4 Bulbo De Tensões
Denominam-se isóbaras as curvas ou superfícies obtidas ligando-se os pontos de mesma tensão vertical. Este conjunto de
isóbaras forma o que se chama BULBO DE TENSÕES.
Distribuição Baseada na Teoria da Elasticidade
CONSIDERAM o solo como um material:
- Homogêneo: mesmas propriedades em todos os pontos;
- Isotrópico: mesmas propriedades em todas as direções;
- Elástico: obedece a Lei de Hooke, σ = E x ε (tensões proporcionais às deformações).
3.4.4.1 Solução De Boussinesq
A equação de Boussinesq determina os acréscimos de tensões verticais devidos a uma carga pontual aplicada na superfície.
Exemplo 7: Utilizando a solução de Boussinesq, determinar os acréscimos de pressão nos pontos A e B.
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3.4.4.2 Solução de Carothres
Determina os acréscimos de tensões verticais devidos a um carregamento uniformemente distribuído
ao longo de uma faixa de comprimento infinito e largura constante.
Exemplo 8: Uma fundação em sapata corrida com 2m de largura é carregada uniformemente por uma tensão igual a 2,5
kgf/cm2. Determine os acréscimos de tensão vertical (σz) devido ao carregamento em um ponto situado a 3 m abaixo do
centro da fundação.
3.4.4.3 Solução de Steinbrenner
Steinbrenner construiu um gráfico integrando a fórmula de Boussinesq que permite a determinação de σ z a uma
profundidade z abaixo do vértice A de um retângulo de lados a e b (a > b), uniformemente carregado por uma tensão p. O
ábaco de Streinbrenner é a solução gráfica da seguinte equação:
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Para o cálculo em qualquer outro ponto, divide-se a área carregada em retângulos com uma aresta na posição do ponto
considerado e calcula-se separadamente o efeito de retângulo. σz será a soma das ações de cada uma das áreas.
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3.4.4.4. Fórmula de Love
Determina o acréscimo de tensão em pontos ao longo de uma vertical passando pelo centro de uma área circular
uniformemente carregada.
Onde R é o raio da área carregada e z a profundidade considerada.
3.4.4.5. Ábaco de Newmark
Determina σz a uma profundidade z abaixo de uma vertical passando pela aresta da área retangular. São definidas as
seguintes relações com os parâmetros m e n:
Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é:
Considera-se a tensão como uma função dos parâmetros m e n e toda a expressão acima pode ser tabelada, de forma que: σ
z = p.I , sendo que I se encontra tabelado.
Para o cálculo em qualquer outro ponto, divide-se a área carregada em retângulos com uma aresta na posição do ponto
considerado e calcula-se separadamente o efeito de retângulo. σz será a soma das ações de cada uma das áreas.
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3.4.4.6 História de Tensões do Solo
No caso da utilização da curva “e” x log σ’v abaixo observa-se uma mudança brusca de inclinação da tangente à
curva de compressibilidade. Este fato se dá porque este tipo de gráfico permite observar claramente quando o solo muda de
comportamento.
No trecho inicial, de menor compressibilidade, o solo está, na realidade, sendo submetido a um processo de
recompressão. No trecho seguinte, o solo está sendo carregado, pela primeira vez, para valores de tensão efetiva maiores do
que os máximos que o depósito já foi submetido. Assim sendo, o limite entre os dois trechos é definido por um valor de tensão
efetiva correspondente à máxima tensão efetiva que o solo foi submetido em toda sua história. A esta tensão efetiva dá-se o
nome de tensão efetiva de pré-adensamento (σ’m)
Figura 2.4.1 – Historia de Tensões do Solo
2.4.5 Compressibilidade do Solo
Propriedade que têm os materiais de sofrerem diminuição de volume quando lhes são aplicadas forças externas.
Uma das principais causas de recalques é a compressibilidade do solo. A variação de volume dos solos por efeito de
compressão é influenciada pelos seguintes fatores: granulometria, densidade, grau de saturação, permeabilidade e tempo de
ação da carga de compressão.
A influência de cada um destes fatores e do seu conjunto sobre a compressibilidade pode ser simulada de forma didática pelo
Modelo Analógico de Terzaghi, o qual será visto no próximo capítulo.
Figura 2.4.2 – Modelo Analógico de Terzaghi
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2.4.6 Recalques - Definição
Deslocamento vertical descendente de uma estrutura apoiada sobre um terreno. Movimento vertical descendente de
um elemento estrutural. Quando o movimento for ascendente, denomina-se levantamento. Convenciona-se representar o
recalque com o sinal positivo. O recalque total (r) é constituído de três parcelas: deformação elástica (ri), adensamento primário
(rp) e adensamento secundário (rs).
Tipos de Deformações Em Recalques
Elástica - consiste na deformação que qualquer material apresenta quando submetido a uma carga. Os recalques elásticos
ocorrem imediatamente após a aplicação da carga.
Escoamento lateral - consiste na migração de solo (deslocamento de porções de solo) de regiões mais solicitadas para as
menos solicitadas. Esta movimentação de partículas ocorre dos centros (zonas mais carregadas) para as laterais dos
elementos de fundação e apresenta-se em solos não coesivos devido à facilidade de movimento entre suas partículas.
Adensamento - consiste na deformação causada pelo fechamento dos espaços vazios ocupados pela água intersticial do
solo. Quando as cargas provenientes da fundação pressionam o maciço, a água presente é expulsa, rearranjando suas
partículas e diminuindo seu volume. Este tipo de deformação é uma das mais importantes, uma vez que é a causa da maioria
dos problemas de recalques em fundações.
- Adensamentos Primários - quando aplicamos um carregamento a um terreno, o solo que possui água intersticial tem sua
pressão neutra aumentada em resposta à ação de carregamento. Já que os líquidos são incompressíveis, essa água sujeita à
sobrepressão advinda do carregamento busca fuga, deixando para trás vazios que são fechados pelo rearranjo das partículas
sólidas, fenômeno de diminuição do índice de vazios (diminuição de volume). Quanto menor volume de água presente no solo,
menor a pressão neutra que responde ao carregamento. O tempo de ocorrência dos recalques devido a adensamento primário
é inversamente proporcional à permeabilidade do solo. Ou seja, quanto menos permeável for o solo, maior é o tempo de
duração/ocorrência do adensamento primário. Recalques devido à adensamento primário costumam durar alguns anos.
- Adensamentos Secundários - já os recalques devido ao adensamento secundário duram um longo período, cem ou mais
anos. Ele ocorre após o recalque por adensamento primário, quando a pressão neutra dissipou-se (tornou-se constante) e a
ação da carga efetiva (aumento da tensão efetiva do solo) provoca uma deformação da estrutura sólida do solo (deformação
visco-elástica) Este fenômeno processa-se durante longo período em (função do tempo), razão pela qual também são
chamados de recalques seculares.
Tipos de Recalques
Absoluto - Deslocamento vertical descendente de um único elemento isolado de fundação
Diferencial - Diferença entre os deslocamentos absolutos de dois ou mais elementos isolados de fundação. Relação entre as
diferenças dos recalques de dois apoios e a distância entre eles.
Métodos de Previsão de Recalques
Métodos racionais - quando os parâmetros de deformabilidade do solo obtidos diretamente por ensaios de laboratório ou in
situ são combinados a modelos teoricamente exatos para previsão de recalques.
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Métodos semi-empíricos - quando os parâmetros de deformabilidade obtidos indiretamente por correlações com ensaios in
situ de penetração (CPT ou SPT) são combinados a modelos teoricamente exatos, ou adaptação deles, para previsão de
recalques.
Métodos empíricos - quando os recalques usualmente aceitos em estruturas convencionais são obtidos através da
associação dos mesmos aos valores típicos de tensões admissíveis para diferentes solos apresentados em tabelas.
2.4.6.1 Estudo dos Recalques
Na prática, os recalques (ρ) observados no campo podem ser subdivididos em três fases: inicial, primário e secundário,
conforme mostrado na Figura 2.4.4.
Figura 2.4.4 – Evolução dos Recalques com o Tempo
O recalque primário ou recalque de adensamento ocorre durante o processo de transferência de esforços entre a
água e o arcabouço sólido, associado à expulsão da água dos vazios. Nesta fase, as variações de tensão total, aplicadas pelo
carregamento e absorvidas pela água, vão sendo transmitidas para o arcabouço sólido, causando uma variação no valor inicial
de tensões efetivas.
Os recalques iniciais ou não-drenados ocorrem imediatamente após a aplicação de carga e são denominados nãodrenados pelo fato das deformações ocorrem sem a expulsão de água; isto é, sem drenagem
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2.5 - COMPRESSIBILIDADE, ADENSAMENTO E RECALQUES NO SOLO
Compressibilidade é uma característica de todos os materiais de quando submetidos a forças externas
(carregamentos) se deformarem. O que difere o solo dos outros materiais é que ele é um material natural, com uma estrutura
interna o qual pode ser alterada, pelo carregamento, com deslocamento e/ou ruptura de partículas. Portanto, devido a estrutura
própria do solo (multi-fásica), possuindo uma fase sólida (grãos), uma fase fluída (água) e uma fase gasosa (ar) confere-lhe um
comportamento próprio, tensão-deformação, o qual pode depender do tempo.
A Figura 2.5.1, apresenta um elemento de solo saturado submetido a um acréscimo de tensão. O acréscimo de
carga ocasionará uma variação de volume, o qual pode ser devido a compressão da fase sólida, a compressão da fase fluída
ou a uma drenagem dos fluídos dos vazios do solo. Admite-se que os esforços aplicados na prática da engenharia (solo
saturado) são insuficientes para comprimir a fase sólida (grãos) e a fase fluída (compressibilidade desprezível). Portanto, o
único motivo para que ocorra variação de volume, será devido à redução dos vazios com a consequente expulsão da água dos
poros.
Define-se compressibilidade dos solos como sendo a diminuição do seu volume sob a ação de cargas aplicadas. A
compressibilidade depende do tipo de solo, por exemplo: a compressibilidade em areias (solos não-coesivos) devido a sua alta
permeabilidade ocorrerá rapidamente, pois a água poderá drenar facilmente. Em contrapartida, nas argilas (solos coesivos) a
saída de água é lenta devido à baixa permeabilidade, portanto, as variações volumétricas (deformações/recalques) dependem
do tempo, até que se conduza o solo a um novo estado de equilíbrio, sob as cargas aplicadas. Essas variações volumétricas
que ocorrem em solos finos saturados, ao longo do tempo, constituem o processo de adensamento.
Figura 2.5.1 - Perfil de solo saturado submetido a um acréscimo de tensões.
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2.5.1 Elemento de Solo Submetido a Tensões
A figura anterior apresenta um perfil geotécnico constituído de um solo argiloso saturado, homogêneo e com uma
superfície do terreno horizontal, portanto não há tensões tangenciais nas faces do prisma. Existindo três planos ortogonais
onde as tensões que atuam são as tensões principais (σ1, σ2 e σ3). Em 2.5.1(b), o elemento de solo saturado está
inicialmente sob as tensões (σ1, σ2 e σ3 (com uma pressão neutra - u0) sem variação de volume (V = V0). No mesmo
perfil, agora estando sujeito a um carregamento (Δσ) na superfície do terreno. Devido a este acréscimo de carga surgirá no
elemento “A”, um acréscimo de tensões normais e tangenciais determinadas pela teoria da elasticidade. Em 2.5.1(c) o
elemento sofre um acréscimo triaxial de tensões (Δσ1, Δσ2 e Δσ3) ocorrendo simultaneamente um aumento da poropressão (u0) devido a baixa permeabilidade do solo. Em 2.5.1(d) a medida que a pressão neutra (excesso - Δu) se dissipa,
pela saída de água, as deformações vão aparecendo (recalques), portanto o volume do elemento será menor que o volume
inicial (V < V0)
.
2.5.2 Processo de Adensamento - Solos Finos Saturados
A compressibilidade dos solos advém da grande porcentagem de vazios (e = Vv/Vs) em seu interior, pois para os
níveis de tensão encontrados usualmente nos trabalhos de engenharia não são capazes de causar variação de volume
significativa nas partículas sólidas. Sem erro considerável, pode-se dizer que a variação de volume do solo é inteiramente
resultante da variação de volume dos vazios. Reduções de volume ocorrem com a alteração da estrutura à medida que esta
suporta maiores cargas: quebram-se ligações interpartículas e há distorções. Disto resulta um menor índice de vazios e uma
estrutura mais densa. Uma forma conveniente de estudar o fenômeno é através da analogia mecânica sugerida por
TERZAGHI (1943).
2.5.3 Modelo Mecânico de Terzaghi
O modelo compõe-se basicamente de um pistão com uma mola provido de uma saída (Figura 2.5.2). Inicialmente
(antes de t = 0), o sistema encontra-se em equilíbrio. No tempo inicial, há um incremento de pressão externa instantânea (ΔP)
que provoca um aumento idêntico de pressão na água. Como não houve tempo para o escoamento da água (variação de
volume), a mola não sofre compressão e, portanto, não suporta carga. Há, a partir daí, processo de variação de volume com o
tempo, pela saída da água, e, simultaneamente, ocorre à dissipação da pressão do líquido. Gradativamente, aumenta a tensão
na mola e diminui a pressão da água até atingir-se a condição final da Figura 2.5.2(e). Uma vez que a pressão externa está
equilibrada pela pressão da mola, não há mais compressão e o adensamento está completo.
Este modelo guarda a seguinte analogia com os solos reais: a mola representa o esqueleto mineral e a tensão que
ela suporta é denominada de tensão efetiva; a água representa o líquido no interior dos poros ou vazios do solo e sua pressão
é dita poro-pressão ou pressão neutra; a pressão externa será sempre equilibrada pela poro-pressão e/ou pela tensão efetiva.
A diferença fundamental de comportamento é que os solos continuam apresentando alguma variação de volume, mesmo após
o final do que se denomina adensamento primário (e que corresponde à analogia de Terzaghi). Há saída de água mesmo com
poro-pressão praticamente nula.
Algumas observações, obtidas a partir do modelo, que são importantes:
a) a diferença de altura entre o inicio e o final do fenômeno (h0 - hf) depende da rigidez da mola e seu comprimento e
do incremento de tensão vertical (ΔP);
b) o tempo para atingir-se a condição final, isto é, de (Δu = 0), varia com a abertura da válvula de saída de água.
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Figura 2.5.2 - Analogia hidromecânica para ilustrar a distribuição de cargas no adensamento. (a) exemplo físico; (b)
analogia hidromecânica; estado inicial; (c) carga aplicada com a válvula fechada; (d) o pistão desce e a água começa a
escapar; (e) equilíbrio sem mais saída de água; (f) transferência gradual de carga.
Nos solos, o fenômeno comporta-se de modo similar:
a) o recalque total depende da rigidez da estrutura do solo, da espessura da camada e do incremento de carga
vertical;
b) o tempo de dissipação da pressão neutra depende da permeabilidade do solo e das condições de drenagem que
há nos contornos da camada;
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É a intervenção do homem nestes fatores, com seu conhecimento prévio, que conduz às diversas soluções
construtivas.
A Figura 2.5.3 representa, qualitativamente, as variações de tensões e de volume que se processam ao longo do
fenômeno de adensamento. Portanto, o processo de adensamento corresponde a uma transferência gradual do acréscimo de
pressão neutra (provocado por um carregamento efetivo) para tensão efetiva. Tal transferência se dá ao longo do tempo, e
envolve um fluxo de água com correspondente redução de volume do solo.
Figura 2.5.3 - Variações de tensões e de volume durante o adensamento.
2.5.4 Teoria de Adensamento de Terzaghi
O estudo teórico do adensamento permite obter uma avaliação da dissipação das sobrepressões hidrostáticas
(excesso de pressão neutra gerada pelo carregamento) e, consequentemente, da variação de volume ao longo do tempo, a
que um elemento, de solo estará sujeito, dentro de uma camada compressível. Tal estudo foi inicialmente realizado por
Terzaghi, para o caso de compressão unidirecional, e constitui a base pioneira, para afirmação da Mecânica dos Solos como
ciência. A partir dos princípios da Hidráulica, Terzaghi elaborou a sua teoria, tendo, entretanto, que fazer algumas
simplificações, para o modelo de solo utilizado. As hipóteses básicas de Terzaghi são:
a) solo homogêneo e saturado;
b) partículas sólidas e a água contida nos vazios do solo são incompressíveis;
c) compressão (deformação) e drenagem unidimensionais (vertical);
d) propriedades do solo permanecem constante ( k, mv, Cv);
e) validade da lei de Darcy ( v = k . i );
f) há linearidade entre a variação do índice de vazios e as tensões aplicadas.
Ao admitir escoamento unidirecional de água, algumas imprecisões aparecem, quando se tem o caso real de
compressão tridimensional, entretanto, a hipótese condicionante de toda a teoria é a que prescreve a relação linear entre o
índice de vazios e a variação de pressões. Admitir tal hipótese significa admitir que toda variação volumétrica se deve, à
expulsão de água dos vazios, e que se afasta em muitos casos da realidade, pois ocorrem juntamente com o adensamento,
deformações elásticas e outras, sob tensões constantes, porém crescentes com o tempo (Creep). As demais hipóteses podem
facilmente ser reproduzidas em laboratório ou se aproximam da realidade.
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A Figura 2.5.4 a seguir mostra um perfil de solo muito comum: uma camada de solo saturado compressível
intercalada entre outras camadas pouco compressíveis. O carregamento que foi imposto é do tipo unidimensional, isto é, não
há distorção lateral do solo. Esta forma de solicitação ocorre quando a largura do carregamento é muito maior do que a
espessura da camada, por exemplo, em aterros de aeroportos, alguns aterros rodoviários, tanques de combustível, aterros
industriais, etc. Na mesma figura (item b) mostra um elemento de solo da camada na qual o incremento de carga aplicada foi
ΔP. Analisando a pressão neutra (u) dentro da camada, observa-se que ela será zero (ou igual a um valor hidrostático inicial
constante, dependente do lençol freático na areia) no contato superior. A areia possui uma permeabilidade muito alta em
relação à argila e fornece uma condição de drenagem livre, portanto.
Figura 2.5.4 - (a) camada de solo compressível submetida a um incremento de tensão; (b) elemento de solo da
camada.
A água é expulsa dos vazios do solo com uma velocidade:
v=k.i
onde o gradiente hidráulico é expresso por:
i = dh/dz
Para o caso em estudo, o gradiente é variável em função da profundidade (z) e do tempo (t), portanto temos:
i = - ∂h/∂z
Como a carga hidráulica pode ser substituída pela poro-pressão dividida pelo peso específico da água (h = u/ γw),
temos:
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A velocidade também varia com a profundidade (z), portanto, temos:
Por outro lado, a variação de velocidade ao longo de (z) depende da variação de volume que ocorre nos elementos
de solo. Portanto, a variação de volume depende do tempo, dado pela expressão:
uma vez que a variação de volume unitária (ΔV/V) é função da variação da tensão efetiva, e a variação da tensão
efetiva é proporcional à dissipação da poro-pressão, temos:
O coeficiente (mv) definido nas expressões anteriores é determinado experimentalmente e denomina-se coeficiente
de variação volumétrica (ou deformação volumétrica). Quanto maior esse coeficiente, maior será a variação de volume unitário
do solo para certo incremento de tensão efetiva. O coeficiente de variação volumétrica é o inverso do módulo de elasticidade
(mv = 1/E).
Como o fluxo no elemento de solo é unidimensional (por definição do carregamento), toda a variação de volume se
dará na dimensão de “z”. Haverá uma variação da velocidade originada pelo aumento de vazão, isto é, há uma diferença entre
o volume que sai e o que entra no elemento de solo, devido à própria variação de volume do elemento (solo saturado). Com
isso poderemos escrever:
Igualando-se as expressões (1) e (2), obtemos:
Esta última expressão é conhecida como equação diferencial do adensamento. Sendo esta uma equação diferencial
de derivadas parciais de 2º ordem que rege o fenômeno do adensamento unidimensional.
Desta equação define-se o coeficiente de consolidação (ou de adensamento), pela seguinte expressão:
Quanto maior o valor do Cv, tanto mais rápido se processa o adensamento do solo. Assim como mv e k, o Cv é uma
propriedade dos solos.
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Pode ser conveniente ao iniciante raciocinar sobre o processo de adensamento dos solos pela analogia com o
processo de dissipação de calor, conhecido na Física, já que ambos obedecem à mesma equação diferencial. Isto significa
que a forma de variação da poro-pressão ou pressão neutra com o tempo, em uma camada argilosa saturada, é semelhante à
variação da temperatura com o tempo num corpo aquecido que tenha condições de contorno análogas.
2.5.5 Solução da Equação Diferencial do Adensamento
Para achar-se a solução da equação diferencial do adensamento, faz-se as seguintes hipóteses:
a) a compressão do solo é pequena comparada com a espessura da camada (não se altera a altura de drenagem);
b) considera-se que o coeficiente de consolidação (Cv) é constante para o acréscimo de carga e que não é afetado
pela compressão;
c) considera-se o carregamento (ΔP) aplicado instantaneamente.
Baseando-se na situação da Figura 2.5.5, as condições de contorno podem ser escritas como:
⇒t=0
e
considerando u0 = 0).
0 < z < H (2Hd) ,
u = ΔP (trabalhamos apenas com o excesso de poropressão, isto é,
Na Figura 2.5.5(b), para melhor interpretação esta representado o acréscimo da poro-pressão.
Figura 2.5.5 - Adensamento de uma camada compressível submetida a um incremento de carga uniforme
instantâneo (a) perfil geotécnico do sub-solo; (b) gráfico da variação da pressão neutra.
Observe-se que a camada de solo tem a espessura real “H”. Para facilitar os cálculos, como se verá a seguir
utilizamos a altura de drenagem (veja item 8.7) definida, neste caso, como Hd = H/2.
As demais condições contorno:
⇒ 0 < t < ∞,
z=0
z=H
⇒ t = ∞,
0<z<H
u=0
u=0
u = 0 (definição de final do processo)
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Com base nestas condições, pode-se resolver a equação diferencial por meio de séries de Fourier. A resolução
completa pode ser encontrada em Taylor (1948) e fornece:
é chamado fator tempo (T) e representa uma variável independente, sendo um número adimensional. Este
parâmetro exclui da solução todas as características do solo que interferem no processo de adensamento.
O progresso do processo de adensamento em um ponto pode ser expresso pela porcentagem de adensamento
definida como:
Nesta expressão, ΔVt representa a variação de volume após um tempo “t”; ΔVt = ∞ representa a variação de
volume, após completado o adensamento e Uz é a porcentagem de adensamento ou grau de adensamento de um
elemento de solo, situado a uma profundidade “z”, num tempo “t”. Em termos de pressões neutras, temos: Δut e Δut = ∞,
são as pressões neutras, após um tempo “t”e após um “t = ∞“; eu é a sobrepressão hidrostática, logo após a aplicação da
carga ; e u é a sobrepressão num tempo “t” e u0 é pressão neutra existente na água.
Portanto, quando Uz = 0%, a pressão neutra no ponto é igual ao excesso inicial e quando Uz = 100% toda a pressão
neutra terá se dissipado e o adensamento está completo.
A definição das grandezas adimensionais, T e Uz, simplifica a construção de gráficos para uso prático. Transforma⋅
se a equação da solução exata da equação diferencial de adensamento (u = x . e y T ) em uma do tipo:
−
Uz = f ( z, T)
A solução pode então ser apresentada sob a forma gráfica. Utilizando-se coeficientes adimensionais, tais gráficos
podem ser utilizados na solução de uma ampla gama de problemas.
2.5.6 Altura de drenagem (Hd)
Na Figura 2.5.6 estão representados dois perfis geotécnicos semelhantes, os quais possuem características de
fornecer condições de drenagem diferentes. No item (a) a camada compressível está entre duas camadas de elevada
permeabilidade, isto é, ela será drenada por ambas as faces.
Definindo-se a altura de drenagem (ou distância) - Hd, como a máxima distância que uma partícula de água terá que
percorrer, até sair da camada compressível, teríamos neste caso, Hd = H/2.
No caso da Figura 2.5.6(b), a Hd = H, pois uma partícula de água situada imediatamente sobre a camada
impermeável teria que percorrer toda a espessura da camada compressível até atingir uma face drenante.
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Figura 2.5.6 - Altura ou distância de drenagem. (a) duas faces drenante; (b) uma face drenante.
Solução Gráfica da Equação de Adensamento - Grau de Adensamento Localizado
A Figura 2.5.7 representa a solução da equação:
Utiliza-se parâmetros adimensionais como antes definidos (z/Hd e T). A figura apresenta o caso de camada com
dupla drenagem (H = 2Hd). Se for necessário utilizarmos o gráfico para drenagem simples (H = Hd) devemos utilizar a metade
correspondente.
Figura 2.5.7 – Grau de adensamento de camada de solo saturado – incremento de pressão neutra uniforme em
função da profundidade e do fator tempo.
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As curvas de igual fator tempo (T), denominadas isócranas, representam o quanto o solo já adensou efetivamente.
Assim, para um mesmo tempo (ou adimesional T), o grau de adensamento é maior próximo às camadas drenantes do que no
meio da camada compressível. Por exemplo, para T= 0,20, no meio da camada, terá ocorrido 23 % do recalque, enquanto que
em ¼ da espessura total terá ocorrido 44%. O conhecimento da distribuição de Uz tem interesse no projeto de aterros sobre
solos moles.
Exemplo 9: Um depósito de argila da Baixada Fluminense tem drenagem através de uma camada de areia embaixo e livre por
cima. Sua espessura é de 12m. O coeficiente de adensamento obtido em laboratório é Cv = 1,0 x 10-8 m2/s. Obtenha o grau
de adensamento e a poro-pressão residual, cinco anos após o carregamento unidimensional de 100 kN/m2 , nas
profundidades de z = 0, 3, 6, 9 e 12m.
Solução: para t = 0 a pressão neutra aumentou de 100 kN/m2 em todos os pontos.
Como há dupla drenagem, Hd = 6m. Calculando agora
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Solução gráfica da equação de adensamento - Grau de adensamento médio
Em muitos casos há maior interesse prático em saber o grau de adensamento médio da camada inteira. Este valor,
simbolizado por U, mede quanto houve de dissipação em toda a camada e, então, pode ser relacionado ao recalque total.
Graficamente, podemos pensar como um cálculo de áreas. Observe na Figura 2.5.7 as isócronas de T = 0 e T = 1,0. A primeira
marca um total preenchimento da área e a última zero. As isócronas marcam o crescimento da tensão efetiva com a
diminuição da poro-pressão. A Figura 8.8(a) representa a forma gráfica do cálculo de U:
Soluções Aproximadas da Equação de Adensamento
A equação teórica U = f (T) é expressa com bastante aproximação, pelas seguintes relações empíricas:
Estas relações nos fornecem valores para o fator tempo (T), em função da porcentagem de recalque para
adensamento pela Teoria de Terzaghi, conforme pode ser visto na Tabela 2.5.1 e no gráfico da Figura 2.5.8 (b).
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Tabela 2.5.1 – Fator tempo em função da porcentagem de recalque para adensamento pela Teoria de Terzaghi
Figura 2.5.8 – Grau de adensamento médio de uma camada de solo saturado: (a) incremento de pressão neutra
inicial uniforme; (b) U versus T.
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Ensaio De Compressão Não Confinada
Este ensaio também é chamado de ensaio de compressão simples ou compressão uniaxial. O ensaio consiste na
moldagem de um corpo-de-prova cilíndrico e no seu carregamento pela ação de uma carga axial. A carga é aplicada em uma
única direção, dando liberdade ao corpo de prova para deformar-se nas outras direções sem qualquer restrição.
Registrando-se as tensões no plano horizontal (carga dividida pela área da seção transversal) pela deformação
longitudinal, εl, obtém-se a seguinte curva:
O solo não é um material elástico, mas admite-se freqüentemente um comportamento elástico-linear para o solo,
definindo-se um módulo de elasticidade, “E”, para um certo valor de tensão e um coeficiente de Poisson, “ν”.
Ensaio de Compressão Parcialmente Confinada
É normalmente conhecido como ensaio de compressão triaxial. Neste caso aplicam-se, além da tensão axial, pressões
laterais que impedem parcialmente a liberdade de deformação. Em geral, o corpo-de-prova é cilíndrico, com relação
ltura/diâmetro (h/d) mínima igual a 2,5.
O módulo de elasticidade do solo depende da pressão a que o solo está confinado. Tal fato mostra como é difícil
estabelecer um módulo de elasticidade para um solo, pois na natureza ele está submetido a confinamentos crescentes com a
profundidade.
O ensaio consiste inicialmente na aplicação de uma pressão confinante hidrostática (σ3), depois se mantendo constante a
pressão confinante, aplica-se acréscimos ∆σ na direção axial. Durante o carregamento medem-se, em diversos intervalos de
tempo, o acréscimo de tensão axial que está atuando e a deformação vertical do corpo-de-prova.
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Notas:
Como ordem de grandeza, pode-se indicar os valores apresentados na tabela a seguir, como módulo de elasticidade
para argilas sedimentares saturadas, em solicitações rápidas, que não permite a drenagem da
mesma.
Ensaio de Adensamento ou Compressão Confinada
O ensaio de adensamento unidimensional (ABNT-NBR 12007/90) prescreve o método de determinação das
propriedades de adensamento do solo, caracterizadas pela velocidade e magnitude das deformações, quando o mesmo é
lateralmente confinado e axialmente carregado e drenado.
O método requer que um elemento de solo, mantido lateralmente confinado, seja axialmente carregado em
incrementos, com pressão mantida constante em cada incremento, até que todo o excesso de pressão na água dos poros
tenha sido dissipado. Durante o processo de compressão, medidas de variação da altura da amostra são feitas e estes dados
são usados no cálculo dos parâmetros que descrevem a relação entre a pressão efetiva e o índice de vazios, e a evolução das
deformações em função do tempo. Os dados do ensaio de adensamento podem ser utilizados na estimativa tanto da
magnitude dos recalques totais e diferenciais de uma estrutura ou de um aterro, com da velocidade desses recalques.
A aparelhagem é constituída de um sistema de aplicação de carga (prensa de adensamento ou oedômetro) e da
célula de adensamento. A prensa permite a aplicação e manutenção das cargas verticais especificadas, ao longo do período
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necessário de tempo. A célula de adensamento é um dispositivo apropriado para conter o corpo de prova que deve
proporcionar meio para aplicação de cargas verticais, medida da variação da altura do corpo de prova e sua eventual
submersão. Consiste de uma base rígida, um anel para conter o corpo de prova (anel fixo ou flutuante), pedras porosas e um
cabeçote rígido de carregamento. A Figura 2.5.9 apresenta de forma esquemática a prensa de adensamento e a célula de
adensamento.
O procedimento para execução do ensaio é iniciado com a colocação da célula de adensamento no sistema de
carga. Transmite-se cargas a célula de adensamento, em estágios, para obter pressões totais sobre o solo de
aproximadamente 10, 20, 40, 80, 160, ... Kpa, mantendo-se cada pressão pelo período de tempo de 24 horas (dependendo do
solo).
Para cada um dos estágios de pressão, faz-se leituras no extensômetro da altura ou variação de altura do corpo de
prova, imediatamente antes do carregamento (tempo zero) e, a seguir, nos intervalos de tempo 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 15, 30
min; 1, 2, 4, 8, e 24h. Completadas as leituras correspondentes ao máximo carregamento empregado, efetua-se o
descarregamento do corpo de prova em estágio, fazendo leituras no extensômetro.
Figura 2.5.9 (a) - Prensa de adensamento
Figura 2.5.9 - Células de adensamento: (b) de anel fixo; (c) de anel flutuante.
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Apresentação dos resultados do ensaio de adensamento
Os resultados do ensaio, normalmente, são apresentados num gráfico semi-logarítmico (Figura 2.5.10) em que nas
ordenadas se têm as variações de volume (representados pelos índices de vazios finais em cada estágio de carregamento) e
nas abscissas, em escala logarítmica, as tensões aplicadas.
Figura 2.5.10 - Curva índice de vazios por logaritmo da tensão efetiva.
Podem-se se distinguir nesse gráfico, três partes distintas: a primeira, quase horizontal; a segunda, reta e inclinada e
a terceira parte ligeiramente curva.
O primeiro trecho representa uma recompressão do solo, até um valor característico de tensão, correspondente à
máxima tensão que o solo já sofreu na natureza; de fato, ao retirar a amostra indeformada do solo, para ensaiar em
laboratório, estão sendo eliminadas as tensões graças ao solo sobrejacente, o que permite à amostra um alívio de tensões e,
conseqüentemente, uma ligeira expansão. Tal reta apresenta um coeficiente angular denominado índice de recompressão
(Cr).
Ultrapassando o valor característico de tensão, o corpo de prova principia a comprimir-se, sob tensões superiores às
tensões máximas por ele já suportadas na natureza. Assim, as deformações são bem pronunciadas e o trecho reto do gráfico
que as representa é chamado de reta virgem de adensamento. Tal reta apresenta um coeficiente angular denominado índice
de compressão (Cc). O índice de compressão ou compressibilidade é utilizado para o cálculo de recalque, em solos que se
estejam comprimindo, ao longo da reta virgem de adensamento.
Por último, o terceiro trecho corresponde à parte final do ensaio, quando o corpo de prova é descarregado
gradativamente, e pode experimentar ligeiras expansões.
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Tensão de Pré-Adensamento
Como os solos possuem um comportamento não-elástico, eles apresentam uma espécie de memória de carga.
Quando um solo sofre um processo de carga-descarga, seu comportamento posterior fica marcado até este nível. A utilização
da escala logarítmica para a tensão vertical efetiva prende-se ao fato de que, desta forma, a curva tensão x índice de vazios
típica dos solos apresenta dois trechos os aproximadamente retos e uma curva suave que os une. A tensão na qual se dá a
mudança de comportamento é uma indicação da máxima tensão vertical efetiva que aquela amostra já sofreu no passado.
Esta tensão tem um papel muito importante em Mecânica dos Solos, pois divide dois comportamentos tensãodeformação bem distintos, sendo denominada de tensão ou pressão de pré-adensamento do solo ( σ ’vm = σ ’a). Sua
determinação é muito importante para o cálculo de recalques.
O recalque de uma estrutura é geralmente tolerável, se o acréscimo de tensão devido à estrutura, mais a tensão
efetiva inicial, não a ultrapassar.
A determinação da tensão de pré-adensamento pode ser feita por um dos processos a seguir descritos: Processo de
Casagrande e Processo de Pacheco Silva.
Processo de Casagrande (Figura 2.5.11): Para a determinação de σ’vm, segue-se os seguintes passos:
a) Obter na curva índice de vazios x logaritmo da tensão efetiva o ponto de maior curvatura ou menor raio (R);
b) Traçar uma tangente (t) e uma horizontal (h) por R;
c) Determine e trace a bissetriz do ângulo formado entre (h) e (t);
d) A abscissa do ponto de intersecção, da bissetriz com o prolongamento da reta virgem corresponde à pressão de
pré-adensamento.
Figura 2.5.11 - Determinação da pressão de pré-adensamento pelo processo de Casagrande.
Processo de Pacheco Silva (Figura 2.5.12): Para a determinação de σ’vm, segue-se os seguintes passos:
a) Traçar uma horizontal passando pela ordenada correspondente ao índice de vazios inicial;
b) Prolongar a reta virgem e determinar seu ponto de intersecção (p) com a reta definida no item anterior;
c) Traçar uma reta vertical por (P) até interceptar a curva índice de vazios x logaritmo da tensão efetiva (ponto Q);
d) Traçar uma horizontal por (Q) até interceptar o prolongamento da reta virgem (R). A abscissa correspondente ao
ponto (R) define a pressão de pré-adensamento.
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Figura 2.5.12 - Determinação da pressão de pré-adensamento pelo processo de Pacheco Silva.
Uma vez estabelecida a pressão de pré-adensamento é possível definir o índice de pré-adensamento ou “over
consolidation ratio” (OCR):
onde σ’v0 é a tensão efetiva que age na atualidade sobre o ponto do qual foi retirada a amostra, podem-se ter três situações
distintas (Figura 2.5.13)
Solos Normalmente Adensados
A primeira das situações ocorre, quando a tensão ocasionada pelo solo sobrejacente (σ’v0) ao local onde foi
retirada a amostra é igual à tensão de pré-adensamento (σ’vm). Neste caso, diz-se que o solo é normalmente adensado (NA),
isto é, a máxima tensão que o solo já suportou no passado corresponde ao peso atual do solo sobrejacente (Figura 2.5.13 (a)).
Portanto o valor do índice de pré-adensamento (OCR) é aproximadamente igual a 1,0.
Solos Pré-Adensados
A segunda situação corresponde ao caso em que a tensão efetiva atual é menor que a tensão de pré-adensamento,
isto é, o peso atual de solo sobrejacente é menor que o máximo já suportado (Figura 2.5.13 (b)). Neste caso, diz-se que a
argila é pré-adensada (PA) e o OCR > 1,0. Qualquer acréscimo de carga, sobre este solo, de modo que σ’v0 + Δσ’v < σ
’vm implica recalques insignificantes, pois estamos no trecho quase horizontal da curva índice de vazios x logaritmo da tensão
efetiva.
Muitos fatores podem tornar um solo pré-adensado, destacando-se a erosão, que com a retirada de solo, diminui a
tensão que age atualmente, bem como escavações artificiais ou o degelo. A variação do nível d’água é uma das causas
freqüentes do pré-adensamento, pois, se o nível d’água sofrer uma elevação no interior do terreno, as tensões efetivas serão
aliviadas, ocasionando o pré-adensamento. Outra causa importante é o ressecamento devido a variações de nível d’água
próximo a superfície de um depósito de argila normalmente adensada, que provoca o aparecimento de uma crosta préMECÂNICA DOS SOLOS, DAS ROCHAS E ELEMENTOS DE GEOLOGIA II
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adensada. A lixiviação que é o fenômeno de precipitação de elementos químicos solúveis, como compostos de sílica, alumina
e carbonatos pode ocorrer nos solos, nas camadas superiores devido a chuva. Tais elementos, se precipitados nas camadas
inferiores, podem provocar a cimentação entre os grãos, fenômeno este utilizado por Vargas (1977) para interpretar a
formação e as tensões de pré-adensamento em argilas porosas de São Paulo e da região centro-sul do Brasil.
Segundo o mesmo autor, o fenômeno do pré-adensamento não se restringe aos solos sedimentares. Os solos residuais
também podem apresentar um pré-adensamento virtual, relacionado com ligações intergranulares provenientes do
intemperismo da rocha.
Solos em Adensamento
Por último, temos o caso em que σ’v0 > σ’vm, isto é, a argila ainda não terminou de adensar, sob efeito de seu próprio peso
(Figura 2.5.13 (c)).
Figura 2.5.13 - Condições de adensamento das argilas.
2.5.7 Recalques por Adensamento
O cálculo de recalques é de muita importância em obras como aterros rodoviários, fundações diretas, pistas de
aeroportos, barragens, etc. Embora o problema maior esteja nos recalques diferenciais, pois são estes que provocam o
aparecimento de fissuras e falhas, não há meios de avaliá-los previamente. Entretanto, a experiência geotécnica tem
demonstrado que os danos às estruturas, devido a tais recalques, estão associados à magnitude do recalque total. Na
realidade, o recalque final que uma estrutura sofrerá será composto de outras parcelas, como, por exemplo, o recalque
imediato ou elástico, estudado na Teoria da Elasticidade. Como não existe uma relação tensão-deformação capaz de englobar
todas as particularidades e complexidades do comportamento real do solo, as parcelas de recalque de um solo são estudadas
separadamente. Nesta seção, se estudará o cálculo do recalque total que um solo sofrerá no campo, que se processam no
decorrer do tempo, e que se deve a uma expulsão de água dos vazios do solo a partir de dados obtidos do ensaio de
adensamento.
Para o cálculo do recalque total (ΔH) que uma camada de solo compressível de espessura “H” passou por uma
variação do índice de vazios (Δe) considerando o esquema da figura 2.5.14.
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Figura 2.5.14 - Elemento de solo submetido à adensamento
ΔH = deformação ou recalque
H = espessura da camada compressível
Δe = variação do índice de vazios
e0 = índice de vazios inicial
Utilizando os dados obtidos no ensaio de adensamento (Figura 2.5.10), o recalque total devido a uma variação do
índice de vazios, numa camada compressível é dado por:
Solos Normalmente Adensados (NA): σ’vm = σ’v0
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ΔH = recalque por adensamento para argilas normalmente adensadas
Cc = índice de compressão
eo = índice de vazios inicial
σ’vm = tensão de pré-adensamento
Δσ’v = acréscimo de tensão efetiva no centro da camada (Teoria da Elasticidade)
Solos Pré-Adensados (PA): σ’vo + Δσ’v
Δσ > σ’vm
Para argilas PA o cálculo do Δe do índice de vazios depende da magnitude do incremento de tensão. Se o
acréscimo de tensão efetiva gerado por um carregamento externo mais a tensão efetiva atual for superior à tensão de préadensamento o solo sofrerá recompressão e compressão virgem, então teremos:
O recalque total será:
Onde:
Cr = índice de recompressão
Para argilas Pré-adensadas quando o acréscimo de carga somado com a tensão efetiva atual não ultrapassar a
tensão de pré-adensamento
σ´v0 + Δσ´v < σ´vm ,
o solo somente sofrerá recompressão, portanto teremos:
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Exemplo 10: Dado o perfil geotécnico abaixo, calcule: a) o recalque total da camada de argila provocado pela sobrecarga
(depósito circular- 20m de diâmetro); b) o tempo para atingir 50% deste recalque; c) o tempo para atingir 47cm de recalque; d)
o tempo para atingir 47cm de recalque, se houvesse uma camada inferior impermeável.
a) Para o cálculo do recalque precisamos comparar a tensão atual com a tensão de pré-adensamento de laboratório,
e determinar se o solo é normalmente adensado ou pré-adensado.
Cálculo da tensão efetiva atual:
σ´v0 = 0,5m . 16kN/m3 + 0,5m . (18kN/m3 - 10kN/m3 ) + 4m . (14,2kN/ m3 - 10kN/m3 )
σ´v0 = 28,8 kN/m2
OCR = σ´vm/σ´v0 = 30/28,8 = 1,0 (solo normalmente adensado)
Para a determinação do acréscimo de carga no centro da camada de argila, utilizamos a Teoria da Elasticidade.
ÁBACO: x/R = 0 e y/R = 0,5
Fator de Influência (I) = 0,90
Δσ´v = 0,90 . 50 kN/m2 = 45 kN/m2
Utilizamos a seguinte expressão para estimar o recalque total:
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b)
Para atingir 90% de recalque, teremos:
c)
O tempo para atingir 47 cm de recalque:
T = 0,375 (Tabela 2.5.1 ou Ábaco da Figura 2.5.7)
d)
idem, considerando somente uma face drenante:
Hd = 8m
2.5.8 Recalque Devido ao Rebaixamento do Nível D’Água
Um caso interessante de recalques ocorre em algumas áreas urbanas onde há bombeamento da água subterrânea
(cidade do México, Veneza e outras). Grandes áreas são afetadas e recalques consideráveis ocorrem. Estes recalques são
provocados pelo rebaixamento do nível d’água, no solo, em consequência do aumento do seu peso específico aparente - não
mais sujeito ao empuxo hidrostático - um acréscimo de pressão entre as partículas constituintes do terreno. A Figura 2.5.15
ilustra esta situação.
solo submerso - γsub = γsat - γw , solo seco - γd = γs . (1 - n)
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Adotando γs = 26,7 kN/m3 , temos γd = 1,6 γsub
Figura 2.5.15 - Esquema do rebaixamento do nível d’água.
Este aumento do peso específico gera um acréscimo de pressão, e em consequência, o aparecimento de recalques.
Se o solo for constituído por camadas de areia e pedregulho (materiais permeáveis), o recalque se produz simultaneamente
com o rebaixamento do nível d’água e é, em geral, de pouca importância. O mesmo já não acontece quando no terreno
encontram-se camadas de argila compressível. A sobrecarga decorrente do rebaixamento provocará o adensamento desta
camada, podendo assim dar lugar a recalques, e surgindo em estacas e tubulões atrito negativo.
Exemplo 11: Verifique o efeito de um rebaixamento do lençol freático para a profundidade de 1,0m no exemplo
anterior.
Verifica-se que houve variação da tensão efetiva σ´v0 = 28,8 kN/m2
Após o rebaixamento, temos:
σ´v = 1,0m . 16 kN/m3 + 4m . (14,2kN/m3 - 10kN/m3) = 32,8 kN/m2
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Exemplo 12:
EQUAÇÕES
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Exemplo 13:
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2.6 Estado de Tensões e Critérios de Ruptura
Introdução: Qualquer obra de engenharia que envolve conhecimentos geotécnicos deve necessariamente
responder a pergunta, pode ocorrer a ruptura? Para respondê-la, deve-se equacionar diversas solicitações
envolvidas na obra e verificar se o solo resiste a estas solicitações, determinando-se a resistência ao cisalhamento
mobilizada pelo solo. Portanto, qualquer ponto no interior de uma massa de solo é solicitado por forças devido ao
peso próprio do solo e as forças externas aplicadas. Os esforços resistentes do solo são chamados de tensões, cuja
intensidade é medida pela força por unidade de área.
A ruptura de um solo, representada de maneira ideal, se produz por cisalhamento ao longo de uma
superfície de ruptura, ocorre o deslizamento de uma parte do maciço sobre uma zona de apoio que permanece fixa.
A lei de cisalhamento é a relação que une, no momento da ruptura e ao longo da superfícies de ruptura a tensão
normal ou tensão de compressão (σ) e a tensão tangencial ou tensão de cisalhamento (τ), conforme esta
representado na Figura 2.6.1.
Figura 2.6.1 - Exemplos típicos da influência da resistência ao cisalhamento dos solos.
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Qualquer problema de ruptura em Mecânica dos Solos envolve, portanto, uma superfície de ruptura, a qual
poderá ser definida a priori como aquela onde, em todos os seus pontos, a tensão de cisalhamento atinge o valor
limite da resistência ao cisalhamento do solo.
A resistência ao cisalhamento de um solo em qualquer direção é a tensão de cisalhamento máxima que
pode ser aplicada à estrutura do solo naquela direção. Quando este máximo é atingido, diz-se que o solo rompeu,
tendo sido totalmente mobilizada a resistência do solo.
Os problemas de resistência dos solos são usualmente analisados empregando-se os conceitos do
"equilíbrio limite", o que implica considerar o instante de ruptura, quando as tensões atuantes igualam a resistência
do solo, sem atentar para as deformações.
Exemplos típicos onde a determinação da resistência ao cisalhamento do solo é que condiciona o projeto,
são as análises de estabilidade de taludes (aterros e cortes), empuxos sobre muros de arrimo ou qualquer estrutura
de contenção, capacidade de carga de sapatas e estacas. Na Figura 2.6.1, estão representados de forma
esquematica estas solicitações citadas acima. O fator de segurança (F) contra a ruptura é calculado como a razão
entre as forças estabilizadoras e as forças instabilizadoras:
As forças estabilizadoras são função dos parâmetros de resistência do solo (coesão e ângulo de atrito
interno). As forças que atuam ao longo da superfície de ruptura arbitrada devem resistir à força aplicada no elemento
de fundação. Estas aplicações, e outras, serão vistas em detalhes nas disciplinas de Obras de Terra e Fundações.
2.6.1 Tensões no Solo
Os problemas de resistência dos solos são usualmente analisados empregando-se os conceitos do
“equilíbrio limite”, o que implica considerar o instante de ruptura, quando as tensões atuantes igualam a resistência
do solo, sem atentar para as deformações. Em qualquer ponto da massa do solo existem três planos ortogonais
onde as tensões cisalhantes são nulas. Estes planos são chamados “planos principais de tensões”. Portanto, as
tensões normais recebem o nome de tensões principais, onde a maior das tensões atuantes é chamada tensão
principal maior (σ1), a menor é chamada tensão principal menor (σ3), e a terceira é chamada tensão principal
intermediária (σ2).
Em Mecânica dos Solos, normalmente, despreza-se a tensão principal intermediária (σ2). Embora “σ2”
influencie na resistência ao cisalhamento dos solos, seus efeitos não são perfeitamente compreendidos.
No perfil geotécnico da Figura 2.6.2, supondo K0 < 1, temos:
Figura 2.6.2 – Tensões em um ponto da massa de solo
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A maior parte dos problemas de Mecânica dos Solos permitem soluções considerando um estado de
tensões no plano, isto é, trabalha-se com um estado plano de tensões ou estado duplo de tensões. Admitindo-se
esta simplificação, trabalha-se somente com as tensões atuantes em duas dimensões. Mais especificamente
procura-se o estado de tensões no plano que contêm as tensões principais σ1 e σ3.
Conhecida a magnitude e direção de σ1 e σ3 é possível encontrar as tensões normal e cisalhante em
qualquer outra direção, conforme as equações desenvolvidas a seguir, como mostra a Figura 2.6.3.
Figura 2.6.3 – Determinação das tensões atuantes no plano.
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2.6.2 Círculo de Mohr
O estado de tensões em todos os planos passando por um ponto podem ser representados graficamente
em um sistema de coordenadas em que as abcissas são as tensões normais (σ) e as ordenadas são as tensões de
cisalhamento (τ), conforme a Figura 2.6.4. O círculo de Mohr tem seu centro no eixo das abcissas. Desta forma, ele
pode ser construído quando se conhecerem as duas tensões principais, ou as tensões normais e de cisalhamento
em dois planos quaisquer.
Conhecendo-se σ1 e σ3 traça-se o círculo de Mohr. A inclinação (α) do plano principal maior (PPM),
permite determinar o ponto P (pólo), traçando-se por σ1 uma reta com esta inclinação. Procedimento idêntico pode
ser utilizado traçando-se por σ3 uma paralela ao plano principal menor (ppm). A Figura 2.6.5 mostra como
determinar o pólo e as tensões na ruptura. Qualquer linha reta traçado através do pólo ou origem dos planos (ponto
P) intersecionará o circulo em um ponto que representa as tensões sobre um plano inclinado de mesma direção
desta linha.
Figura 2.6.4 - Representação do estado de tensões através do diagrama de Mohr.
Figura 2.6.5 - Determinação do pólo e das tensões na ruptura através do círculo de Mohr.
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Alguns exemplos de aplicação do circulo de Mohr estão apresentados a seguir:
Exemplo 14: Dado o estado de tensões apresentado abaixo, determine as tensões que atuam no plano BB. Solução:
traçe o circulo de Mohr e determine o pólo P (lembre-se que as tensões normais de compressão são positivas, bem
como as tensões cisalhantes com direção no sentido anti-horário). Traçe uma linha paralela ao plano “bb” passando
pelo pólo. O ponto (A) em que esta linha intercepta o circulo de Mohr corresponde às tensões atuantes no plano “bb”.
Exemplo 15: Dado o estado de tensões da figura abaixo, determine as tensões no plano horizontal “dd”.
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Tensões Totais, Efetivas e Neutras
O principio básico introduzido por Terzaghi que em solos saturados a tensão efetiva é igual a diferença
entre a tensão total e a tensão neutra : σ' = σ - u .
As tensões de cisalhamento em qualquer plano são independentes da poro-pressão, pois a água não
transmite esforços de cisalhamento. As tensões de cisalhamento são devidas somente à diferença entre as tensões
normais principais e esta diferença é a mesma, tanto quanto se consideram as tensões efetivas como as tensões
totais, como se verifica pela fórmula proposta por Terzaghi. Os círculos de Mohr para os dois tipos de tensão tem,
portanto, o mesmo diâmetro. Na Figura 2.6.6 esta representado o efeito da poro-pressão no círculo de Mohr.
Figura 2.6.6 - Efeito da tensão neutra ou poro-pressão no círculo de Mohr.
O círculo de tensões efetivas se situa deslocado para a esquerda em relação ao círculo de tensões totais
de um valor igual à tensão neutra (u). Tal fato é decorrente da tensão neutra atuar hidrostaticamente (igual em todas
as direções), reduzindo as tensões normais totais em todos os planos de igual valor. No caso de tensões neutras
negativas, o deslocamento do círculo é para a direita.
2.6.3 Resistência ao Cisalhamento dos Solos
Define-se como resistência ao cisalhamento do solo como a máxima pressão de cisalhamento que o solo
pode suportar sem sofrer ruptura, ou a tensão de cisalhamento do solo no plano em que a ruptura ocorre no
momento da ruptura. Em Mecânica dos Solos, a resistência ao cisalhamento envolve duas componentes: atrito e
coesão.
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2.6.3.1 Atrito
O atrito é função da interação entre duas superfícies na região de contato. A parcela da resistência devido
ao atrito pode ser simplificadamente demonstrada pela analogia com o problema de deslizamento de um corpo sobre
uma superfície plana horizontal (Figura 2.6.7).
Figura 2.6..7 - Atrito entre dois corpos no instante do deslizamento.
A resistência ao deslizamento (τ) é proporcional à força normal aplicada (N), segundo a relação:
T=N.f
onde “f” é o coeficiente de atrito entre os dois materiais. Para solos, esta relação é escrita na forma:
τ = σ . tg φ
onde “φ” é o ângulo de atrito interno do solo, “σ” é a tensão normal e “τ” a tensão de cisalhamento.
Nos materiais granulares (areias), constituídas de grãos isolados e independentes, o atrito é um misto de
escorregamento (deslizamento) e de rolamento, afetado fundamentalmente pela entrosagem ou embricamento dos
grãos. Tal fato não invalida a aplicação da equação anterior a materiais granulares. A Figura 2.6.8 mostra os tipos de
movimentos de materiais granulares quanto submetidos a esforços cortantes.
Enquanto no atrito simples de escorregamento entre os sólidos o ângulo de atrito “φ” é praticamente
constante, o mesmo não ocorre com os materiais granulares, em que as forças atuantes, modificando sua
compacidade e portanto, acarretam variação do ângulo de atrito “φ”, num mesmo solo. Portanto, o ângulo de atrito
interno do solo depende do tipo de material, e para um mesmo material, depende de diversos fatores (densidade,
rugosidade, forma, etc.). Por exemplo, para uma mesma areia o ângulo de atrito desta areia no estado compacto é
maior do que no estado fofo (φ densa > φ fofa).
Figura 2.6.8 - Atrito entre materiais granulares.
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2.6.3.2 Coesão
A resistência ao cisalhamento do solos é essencialmente devido ao atrito. Entretanto, a atração química
entre partículas (potencial atrativo de natureza molecular e coloidal), principalmente, no caso de estruturas floculadas,
e a cimentação de partículas (cimento natural, óxidos, hidróxidos e argilas) podem provocar a existência de uma
coesão real. Segundo Vargas (1977), de uma forma intuitiva, a coesão é aquela resistência que a fração argilosa
empresta ao solo, pelo qual ele se torna capaz de se manter coeso em forma de torrões ou blocos, ou pode ser
cortado em formas diversas e manter esta forma. Os solos que têm essa propriedade chamam-se coesivos. Os solos
não-coesivos, que são areias puras e pedregulhos, esborroam-se facilmente ao serem cortados ou escavados.
Utilizando a mesma analogia empregada no item anterior, suponha que a superfície de contato entre os
corpos esteja colada, conforme esquema da Figura 2.6.9. Nesta situação quando N = 0, existe uma parcela da
resistência ao cisalhamento entre as partículas que é indepente da força normal aplicada. Esta parcela é definida
como coesão verdadeira.
Figura 2.6.9 - Resistência ao cisalhmanento devido à coesão.
A coesão é uma característica típica de solos muito finos (siltes plásticos e argilas) e tem-se constatado
que ela aumenta com: a quantidade de argila e atividade coloidal (Ac); relação de pré-adensamento; diminuição da
umidade.
A coesão verdadeira ou real definida anteriormente deve ser distinguida de coesão aparente. Esta última é
a parcela da resistência ao cisalhamento de solos úmidos (parcialmente saturados), devido à tensão capilar da água
que atrai as partículas. No caso da saturação do solo a coesão tende a zero.
2.6.3.3 Resistência dos Solos
Nos solos estão presentes os fenômenos de atrito e coesão, portanto, determina-se a resistência ao
cisalhamento dos solos (τ), segundo a expressso:
τ = c + σ . tg φ ou S = c + σ . tg φ
onde “τ” é a resistência ao cisalhamento do solo, "c" a coesão ou intercepto de coesão, "σ" a tensão normal
vertical e "φ" o ângulo de atrito interno do solo. A Figura 2.6.10 apresenta graficamente está expressão.
Figura 2.6.10 - Representação gráfica da resistência ao cisalhamento dos solos
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Como princípio geral, deve ser fixado que o fenômeno de cisalhamento é basicamente um fenômeno de
atrito e que, portanto, a resistência ao cisalhamento dos solos depende, predominantemente, da tensão normal ao
plano de cisalhamento.
2.6.4 Critérios de ruptura de Mohr-Coulomb
O diagrama de Mohr, como definido anteriormente, apresenta o estado de tensões em torno de um ponto
da massa de solo. Para determinar-se a resistência ao cisalhamento do solo (τ), são realizados ensaios com
diferentes valores de σ3, elevando-se σ1 até a ruptura, conforme está representado na Figura 2.6.11. Cada círculo
de Mohr representa o estado de tensões na ruptura de cada ensaio. A linha que tangência estes círculos é definida
como envoltória de ruptura de Mohr. A envoltória de Mohr é geralmente curva, embora com frequência ela seja
associada a uma reta. Esta simplificação deve-se a Coulomb, e permite o cálculo da resistência ao cisalhamento do
solo conforme a expressão já definida anteriormente: τ = c + σ . tg φ .
Figura 2.6.11 - Envoltória de ruptura de Mohr.
Para melhor compreensão do conceito de envoltória de ruptura, apresenta-se quatro estados de tensões
associados a um ponto.
Estado 1 - A amostra de solo está submetida a uma pressão hidrostática (igual em todas as direções). O estado de
tensão deste solo é representado pelo ponto σ3 e a tensão cisalhante é nula.
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Estado 2 - O circulo de Mohr está inteiramente abaixo da envoltória. A tensão cisalhante (τα) no plano de ruptura é
menor que a resistência ao cisalhamento do solo (τ) para a mesma tensão normal. Não ocorre ruptura.
Estado 3 - O círculo de Mohr tangência a envoltória de ruptura. Neste caso atingiu-se, em algum plano, a resistência
ao cisalhamento do solo e ocorre a ruptura. Esta condição ocorre em um plano inclinado a um ângulo "α critico" com
o plano onde atua a tensão principal maior.
Estado 4 - Este círculo de Mohr é impossível de ser obtido, pois antes de atingir-se este estado de tensões já estaria
ocorrendo ruptura em vários planos, isto é, existiria planos onde as tensões cisalhantes seriam superiores à
resistência ao cisalhamento do solo.
Ensaios para determinação da resistência ao cisalhamento dos solos
Ensaio de cisalhamento direto
O ensaio de cisalhamento direto é executado em uma caixa metálica bipartida (Figura 2.6.12.a), deslizando-se a
metade superior do corpo de prova em relação à inferior. O corpo de prova é inicialmente comprimido ela forca normal “N”,
seguindo-se a aplicação da forca cisalhante “T”.
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Esta força impõe um deslocamento horizontal (∆l) à amostra até a ruptura do corpo de prova (que ocorre ao longo do
plano XX). Para cada tensão normal aplicada (σ = N/A), obtém-se um valor de tensão cisalhante de ruptura (τ = Tcis/A),
permitindo o traçado da envoltória de resistência.
A Figura 2.6.12.b apresenta a prensa de cisalhamento direto com suas principais partes. As curvas tensão cisalhante
por deformação, variação de volume por deformação e a envoltória de resistência estão representadas na Figura 2.6.13, itens
a, b e c, respectivamente.
O ensaio de cisalhamento direto é sempre drenado, devendo ser executado lentamente para impedir o
estabelecimento de pressões neutras nos poros da amostra. A relação entre altura e o diâmetro do corpo de prova deve ser
pequena, possibilitando uma completa drenagem em menores espaços de tempo. A condição drenada implica a total
dissipação de poro-pressões durante o cisalhamento. Nas areias, devido a alta permeabilidade isto é automático; em solos
argilosos, é necessário reduzir a velocidade de deformação para aumentar o tempo de ensaio.
O principal problema a ser apontado neste ensaio é a imposição de uma superfície de ruptura, principalmente em
solos homogêneos. O solo não rompe segundo o plano de maior fraqueza, mas ao longo do plano horizontal XX. Este
problema é mais complexo quando se analisa a restrição de movimentos imposta às extremidades da amostra no plano de
ruptura. Esta restrição provoca uma complexa heterogeneidade de tensões e deslocamentos no corpo de prova e uma
consequente inclinação do plano de cisalhamento.
Figura 2.6.12 - (a) Caixa metálica bipartida de cisalhamento direto, (b) prensa de cisalhamento direto com suas
principais partes.
Neste ensaio, as tensões normais e de cisalhamento são conhecidas somente no plano de ruptura para determinar o
estado de tensão do solo nos diferentes planos.
As principais vantagens do ensaio são a simplicidade de operação, facilidade de moldagem das amostras, baixo
custo e a possibilidade de realização de ensaios em grandes dimensões.
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Figura 2.6.13 - (a) Curvas tensão cisalhante por deformação, (b) curvas variação de volume por deformação, (c )
envoltória de resistência.
O ensaio de cisalhamento direto pode, em principio, ser do tipo: ensaio rápido, ensaio adensado rápido e ensaio
lento.
Ensaio de cisalhamento direto rápido - esse se caracteriza pela aplicação simultânea inicial da tensão normal (σ)
constante e cisalhante (τ) que deverá aumentar gradativamente até a ruptura do corpo de prova.
Ensaio de cisalhamento direto adensado rápido - aplica-se a tensão normal (σ) e após a estabilização das
deformações verticais devido à essa tensão que será mantida constante sobre o corpo de prova, aplica-se a tensão cisalhante
(τ), crescente até a ruptura.
Ensaio de cisalhamento direto lento - a tensão normal (σ) é aplicada e, após o adensamento da amostra, a tensão
cisalhante (τ) é aplicada, gradativamente, até a ruptura (permitindo dissipação das pressões neutras), com uma diferença
fundamental dos ensaios rápido e adensado rápido, a velocidade de aplicação da tensão cisalhante (τ) e/ou a velocidade de
deformação do corpo de prova devem ser mínimas, da ordem de 10 mm/min.
Ensaio Triaxial
É considerado o ensaio padrão em Mecânica dos Solos, as principais referências estão em BISHOP e HENKEL
(1962). O ensaio triaxial, cujo esquema é apresentado na Figura 2.6.14, é o mais comum e versátil ensaio para a determinação
da resistência ao cisalhamento do solo. O equipamento consiste basicamente de uma câmara cilíndrica transparente e
resistente assentada sobre uma base de alumínio, no interior da qual e colocado um corpo de prova cilíndrico revestido por
uma membrana de borracha impermeável sob um pedestal, através do qual há uma ligação com a base da célula. Entre o
pedestal e amostra utiliza-se uma pedra porosa para facilitar a drenagem. A câmara é preenchida com água, cuja finalidade e
transmitir pressão à amostra.
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O ensaio triaxial é executado em duas etapas distintas: (a) aplicação da tensão confinante (σc), e (b) aplicação da
tensão desviadora (σd).
Inicialmente, o corpo de prova é submetido a uma tensão confinante (σc) igualmente distribuída em toda a superfície
do corpo de prova (solicitação isotrópica de tensão). A seguir, aplica-se um incremento de tensão desviadora (∆σd), através de
um pistão metálico, até a ruptura da amostra (solicitação axi-simétrica de tensão, σ2 = σ1 ou σ2 = σ3).
Como não existem tensões de cisalhamento na superfície do corpo de prova, as tensões axiais (σc + ∆σd) e de
confinamento (σc), são respectivamente as tensões principais maior "σ1 " e menor "σ3". O incremento de tensão ∆σd = σ1 σ3 é chamado tensão desviadora.
Cada uma das fases do ensaio pode ser realizada permitindo-se ou não a drenagem do corpo de prova. No caso de
uma solicitação não drenada é possível medir-se as pressões neutras que se desenvolvem no interior da amostra, através de
um equipamento adequado colocado no canal de drenagem (transdutor de pressão).
A Figura 2.6.16 apresenta o dispositivo para medição da pressão neutra, variação de volume e aplicação de contrapressão em corpos de prova.
A drenagem é controlada através da válvula, que é o único caminho possível de entrada e saída de água, fechandoa, o ensaio é realizado em condições não drenadas. Há interesse no controle de poro-pressões, que são medidas pelo
transdutor de pressão. Trata-se de um instrumento que possui um diafragma muito sensível a variações de pressões na água,
produzindo um sinal elétrico proporcional, que é medido por instrumentos eletrônicos digitais.
Quando o ensaio é realizado em condições drenadas, deseja-se medir ∆u (variação de poro-pressão) do corpo de
prova para conhecer as deformações volumétricas. Isso pode ser feito facilmente em materiais saturados, bastando observar,
através da bureta graduada, a quantidade de água que sai ou entra no corpo de prova.
(a)
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(b)
Figura 2.6.14 – Ensaio triaxial (adaptado de Head, 1986): a) esquema geral da prensa com a célula triaxial; b)
detalhe esquemático da célula triaxial.
Figura 2.6.15 - Corpo de prova cilindrico de uma argila pré-adensada após a ruptura em um ensaio triaxial.
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Figura 2.6.16 - Medições na base do corpo de prova durante o ensaio triaxial: poro-pressões, variação de volume e
aplicação de contra-pressão (Ortigão, 1993).
Existem três formas clássicas de se realizar o ensaio triaxial, conforme as condições de drenagem permitidas em
cada etapa do ensaio.
Ensaio adensado drenado (CD) - consolidated drained, ou ensaio S (Slow – lento) Neste ensaio há permanente
drenagem do corpo de prova. Aplica-se a tensão confinante (σc) e espera-se o corpo de prova adensar (24 a 48 horas). A
seguir, a tensão axial (σd) é aplicada lentamente, permitindo a dissipação do excesso de pressão neutra (u) gerada pelo
carregamento (até uma semana). Desta maneira a pressão neutra durante o carregamento permanece nula e as tensões totais
medidas são às tensões efetivas. Com o objetivo de ilustrar o ensaio CD, a Figura 9.17 apresenta algumas curvas
características de cada etapa.
Na fase de adensamento, são apresentadas as curvas tensão confinante, pressão neutra e variação de volume por
tempo. Na fase de cisalhamento, são apresentadas as curvas tensão desviadora, pressão neutra e variação volumétrica por
deformação axial (εa). Sendo "εa" a razão entre a variação de altura da amostra (εh) e sua altura inicial (hi).
Ensaio adensado não drenado (CU) - consolidated undrained, ou ensaio R (rapid - rápido - pré-adensado)
Aplica-se a tensão de confinamento permitindo-se a drenagem do corpo de prova (adensamento), até a completa
dissipação do excesso de pressão neutra gerada pela aplicação da tensão confinante. Fecham-se os registros do canal de
drenagem e aplica-se a tensão axial (desviadora) até a ruptura, medindo-se as pressões neutras geradas pelo carregamento
(o teor de umidade permanece constante na fase de cisalhamento).
As pressões medidas são as tensões totais (σ), e com a obtenção da pressão neutra (u), determina-se as tensões
efetivas pela expressão: σ' = σ – u.
Ensaio não adensado não drenado (UU) - unconsolidated undrained, ou ensaio Q (quick - rápido)
Neste ensaio aplica-se a tensão confinante e o carregamento axial até a ruptura do corpo de prova sem permitir
qualquer drenagem. O teor de umidade permanece constante e pode-se medir as pressões neutras (tensões totais e efetivas).
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Figura 2.6.17 - Curvas típicas do ensaio adensado, drenado.
Os ensaios CD, CU e UU têm finalidades específicas, abordadas mais adiante. Nas areias, cujo comportamento “in
situ” é quase sempre drenado, é utilizado o tipo CD.
Os ensaios não drenados nesse material visam simular casos de solicitação transiente, como os terremotos.
Nas argilas são realizados os três tipos, dependendo da situação que se quer analisar. O ensaio de cisalhamento
direto, como deve ser conduzido em condições drenadas, deverá ser sempre CD.
A seguir apresenta-se esquematicamente a distribuição de tensões nos ensaios triaxiais:
(a) ensaio adensado, drenado (CD) - lento (S)
(b) ensaio adensado, não-drenado (CU) - rápido pré-adensado (R)
(c) ensaio não-adensado, não-drenado (UU) - rápido (Q)
Ensaio de compressão simples
É um caso especial do ensaio triaxial, onde a tensão confinante é nula (σc = σ3 = 0). Este ensaio é utilizado para
determinar a resistência não drenada de solos argilosos (Su ou Cu). A tensão confinante é nula, e o valor da tensão que
provoca a ruptura do corpo de prova é denominado de resistência à compressão simples (RCS).
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Figura 2.6.19 apresenta o dispositivo onde é realizado o ensaio, bem como a curva obtida de tensão cisalhante
(carga / área da amostra) por deformação axial (εa).
Em solos puramente coesivos a coesão (Su) é igual a metade da resistência à compressão simples obtida do
diagrama de Mohr, conforme esta representado na Figura 2.6.20.
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Figura 2.6.19 - (a) Prensa de compressão simples, (b) curva tensão cisalhante por deformação axial.
Figura 2.6.20 - Diagrama de Mohr aplicado ao ensaio de compressão simples.
Terzaghi e Peck (1948), correlacionaram o número de golpes obtido no ensaio SPT (ensaio de penetração estática)
com a resistência à compressão simples de argilas saturadas. Os resultados estão indicados na tabela abaixo:
Tabela 2.6.1 - Correlação empírica entre consistência de argilas, número de golpes obtidos em sondagens de
percussão e resistência à compressão simples.
Através do ensaio de compressão simples em argilas pode-se definir a sua sensibilidade, isto é, a maior ou menor
perda de resistência de uma argila, que ocorre pelo amolgamento (perda da estrutura). A sensibilidade (St) é definida como a
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relação entre a resistência à compressão simples no estado indeformado e a resistência à compressão simples no estado
amolgado.
Exercícios
1) Numa série de ensaios de cisalhamento direto realizados em um solo foi obtido os seguintes resultados:
Determine a envoltória da resistência deste solo.
2) Em um ensaio triaxial consolidado drenado (CD) realizado com tensão de confinamento de 300 kN/m2, a ruptura ocorreu
quando o acréscimo de tensão axial era de 750 kN/m2. Sabendo-se que o material ensaiado era uma argila normalmente
adensada, determine:
a) a equação da envoltória de resistência;
b) o ângulo do plano de ruptura com o plano principal maior.
3) Um solo arenoso submetido a um ensaio triaxial do tipo consolidado drenado(CD) apresentou os seguintes resultados:
Determine a coesão e o ângulo de atrito interno efetivo desse solo.
4) Um ensaio triaxial com uma amostra de argila, forneceu os seguintes resultados:
Determine, pelo diagrama de Mohr, a tensão normal, a tensão de cisalhamento, a coesão e o ângulo de atrito interno.
5) Resolvido: Em um ensaios de cisalhamento direto em amostras de areia com 15 cm2 de área, forneceram curvas (T x ε)
abaixo indicadas.
Calcular o ângulo de atrito interno dessa areia, sabendo-se que:
N1 = 30 kgf, N2 = 45 kgf e N3 = 60 kgf.
Resolução do problema:
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6) Resolvido: Calcular a resistência ao cisalhamento da amostra indicada no perfil abaixo, sabendo que num ensaio triaxial
foram obtidos os seguintes valores para:
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7) Questão 9 (Provão 2000) - Para a construção em um terreno plano de solo argiloso, é necessário que se faça uma
escavação em taludes verticais até a profundidade de 4 m, em uma área maior do que aquela que será ocupada pelas
instalações no nível do subsolo, a qual, no final da construção, será parcialmente reaterrada até os limites das obras definitivas
de contenção, no perímetro das referidas instalações.
Os estudos geotécnicos deste solo determinaram que o peso específico seco (γd) é de 14,35 kN/m2 e a umidade natural (w)
é de 24%, a qual não sofrerá acréscimo durante a execução da obra em virtude das condições de drenagem e proteção que a
ela serão asseguradas. Também foi realizada uma série de ensaios de cisalhamento direto para determinar os parâmetros de
resistência deste solo, cujos resultados são apresentados na Tabela 1 a partir dos quais foi gerado o gráfico da Figura 1, onde
se verifica que uma reta com inclinação igual a 23º se ajusta muito bem.
Verifique se há necessidade de escoramento provisório destas escavações, sustentando sua resposta em uma análise
quantitativa.
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2.7 Resistência ao Cisalhamento das Areias
2.7.1 Solicitações Drenadas
O objetivo do ensaio de laboratório é estudar o comportamento do solo em condições similares aquelas encontradas
no campo e obter parâmetros que possam descrever este comportamento. Como as areias são materiais muito permeáveis, o
excesso de poro-pressão (∆u) gerado por um carregamento é facilmente dissipado. Por este motivo, a resistência ao
cisalhamento das areias é geralmente investigada por meio de ensaios adensados drenados (CD). Exceto no caso de
carregamentos transientes ou cíclicos, como os terremotos, em que pode haver acréscimos de pressão neutra ou poropressão e liquefação de areias finas e fofas .
Para este estudo, utiliza-se dois corpos de prova com diferentes índices de vazios, sendo um no estado fofo e outro
no estado compacto. No estado fofo, para ocorrer o deslizamento entre partículas deve-se vencer apenas o atrito entre os
grãos. No estado compacto, o entrosamento entre as partículas levará a um esforço adicional para provocar um deslizamento,
sendo necessário um aumento de volume para que este possa ocorrer.
Resultados de ensaios realizados em corpos de prova de areia com diferentes compacidades, durante a fase de
cisalhamento, são apresentados na Figura 2.7.1.
Figura 2.7.1 - Curvas típicas obtidas em ensaios adensados drenados (CD): (a) curvas tensão desvio por deformação
axial, (b) curvas variação de volume por deformação axial, (c) curvas índice de vazios por deformação axial.
Para a areia fofa, a tensão desviadora cresce com a deformação axial, e a amostra apresenta continua diminuição de
volume. A areia compacta atinge um valor máximo de tensão desviadora, chamada de tensão de pico, para menores valores
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de deformação axial. Deformando-se o corpo de prova após a ruptura, a curva atinge um valor constante de tensão,
denominado tensão residual.
Neste grau de compacidade, devido ao entrosamento entre partículas, o cisalhamento ocorre com aumento de
volume do corpo de prova. Este comportamento é chamado de dilatância. A variação de volume do corpo de prova
(compressão ou dilatância) também pode ser representada pela variação do índice de vazios com a deformação axial,
conforme a Figura 2.7.1.b.
Nestes ensaios, o índice de vazios aumenta ou diminui conforme a compacidade da areia. Para grandes
deformações, entretanto, o índice de vazios da areia no estado fofo e no estado compacto tende a um mesmo valor,
denominado de índice de vazios critico (ecrit). Cisalhando-se uma amostra com o índice de vazios igual ao critico, não ha
variação de volume. Segundo Casagrande a determinação do índice de vazios crítico é obtido por ensaios triaxiais com a
tensão confinante (σc) constante sobre corpos de prova com diferentes índices de vazios iniciais, medindo-se as variações de
volume no carregamento axial (tensão desvio - ∆σd). Colocando-se em gráfico as variações de volume, obtém-se por
interpolação o índice de vazios crítico, que é aquele para o qual não houve variação de volume total (Figura 2.7.2).
Figura 2.7.2 – Gráfico da variação de volume por índice de vazios.
A envoltória de resistência para areias fofas e compactas, obtida a partir dos máximos valores de tensão desviadora
está representada na Figura 2.7.3. A experiência tem demonstrado que a envoltória de resistência de areias fofas é
praticamente uma reta passando pela origem. A resistência ao cisalhamento pode ser expressa na forma:
Figura 2.7.3 – Envoltória de resistência para areias fofas e compactas.
Para areias compactas, a envoltória é curva, mas, para fins práticos, é possível substituí-la por uma reta, adotandose o ângulo de atrito médio para o nível de tensões envolvido em um problema prático.
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O ângulo de atrito de solos granulares, ou seja, a sua resistência é influenciada por diversos fatores.
O fator que mais influencia no valor de “φ” é a compacidade do solo.
O entrosamento entre os grãos pode ser caracterizado pela compacidade ou pelo índice de vazios inicial (e0) da
amostra, que se for fofa apresentará maior valor de “e0” que o de uma areia compacta ou densa. As parcelas de atrito devidas
ao deslizamento e ao rolamento o dependem da forma e rugosidade das partículas que são propriedades intrínsecas do
material ensaiado. A dilatância, ao contrário, depende da compacidade, que é função do estado em que o material está no
momento - fofo ou denso. A compacidade de solos granulares pode ser determinada pela expressão já vista anteriormente:
onde “GC” é o grau de compacidade e “e” o índice de vazios. Na prática busca-se correlacionar os resultados do
numero de golpes obtidos nos ensaio de penetração estática “SPT” com a compacidade em solos granulares (areias), como a
Tabela 2.7.1, sugerida por Meyerhof (1956).
Tabela 2.7.1 - Correlação entre compacidade de solos granulares, o número de golpes obtidos em sondagens de
percussão e o ângulo de atrito interno.
Outros fatores influenciam na resistência das areias, como o tamanho das partículas (areias grossas possuem um
ângulo de atrito maior que areias finas), a forma dos grãos (areias com grãos angulares apresentam maior resistência que
aquelas que possuem grãos de forma regular), distribuição granulométrica (quanto mais bem distribuídas granulometricamente
as areias melhor o entrosamento existente e consequentemente maior o ângulo de atrito). A Tabela 2.7.2 e a Figura 2.7.4
apresentam a influência destas propriedades nos valores do ângulo de atrito interno do solo. Em geral a água tem pouca
influência. Areias saturadas apresentam ângulo de atrito inferiores as areias secas em aproximadamente 1 a 2 graus.
Tabela 2.7.2 - Influência da compacidade no ângulo de atrito interno dos solos.
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Figura 2.7.4 - Influência da compacidade no ângulo de atrito interno dos solos.
2.8 Resistência ao Cisalhamento das Argilas
Neste item, estuda-se a resistência ao cisalhamento das argilas solicitadas sob condições drenadas. Isto significa
que todo o excesso de poro-pressão gerado por um carregamento é dissipado pelo livre movimento de água nos vazios do
solo. O ensaio CD (consolidado drenado) representa este tipo de solicitação.
Inicialmente aplica-se a tensão confinante, provocando um acréscimo de poro-pressão ∆u na amostra. Com a válvula
de drenagem aberta permite-se a consolidação e a dissipação de ∆u. Na maioria dos casos, a duração desta fase é
tipicamente de 24 a 48 horas. Ao final da consolidação o volume da amostra terá variado e as poro-pressões serão nulas.
Mantendo-se as válvulas de drenagem abertas, inicia-se a aplicação da tensão desvio (σ1 - σ3) de forma controlada para que
as poro-pressões também sejam nulas. Sendo as argilas normalmente pouco permeáveis, a água percola lentamente pelos
vazios do solo, e o ensaio é muito demorado.
Os ensaios CD em argilas simulam problemas de engenharia analisados a longo prazo, como fundações,
escavações, aterros, etc. Em análises a longo prazo, os parâmetros de resistência serão função das tensões efetivas finais
obtidas após a completa dissipação do excesso de poro-pressão gerado pelo carregamento.
Um dos fatores que governa as características de resistência de argilas saturadas é a história de tensões da argila.
Se a tensão efetiva atual (σ'vo) é a máxima tensão a que o solo já esteve submetido, este solo é chamado normalmente
adensado (NA). Se, por outro lado, a tensão efetiva em algum momento do passado (σ'vm) foi maior que a tensão efetiva atual,
a argila é chamada de pré-adensada (PA). O máximo valor de tensão efetiva passada dividida pelo valor de tensão efetiva
presente é definido como razão de pré-adensamento - em inglês "over consolidation ratio” (OCR = σ'vm / σ'v0). Sendo assim,
uma argila normalmente adensada possue OCR = 1; e uma argila pré-adensada possui um valor de OCR superior à unidade.
O resultado de ensaios para dois corpos de prova adensados para a mesma tensão confinante, sendo um
normalmente adensado e outro pré-adensado, esta apresentado na Figura 2.8.1. Analisando-se as curvas tensão por
deformação, verifica-se que o pré-adensamento aumenta a resistência ao cisalhamento dos solos e diminui sua
compressibilidade.
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Figura 2.8.1 - Resultados de ensaios triaxiais adensados drenados em argilas: (a) curvas tensão desvio por
deformação axial, (b) curvas variação volumétrica por deformação axial.
As curvas de variação volumétrica indicam que o solo normalmente adensado diminui de volume na fase de
cisalhamento, portanto de umidade. O solo pré-adensado apresenta uma ligeira diminuição de volume no início do
carregamento, seguindo de uma aumento de volume, e portanto de umidade. O comportamento tensão-deformação, variação
volumétrica das argilas normalmente adensadas e pré-adensadas, apenas para fixação dos conceitos, é semelhante ao
comportamento das areias fofas e densas respectivamente.
A Figura 2.8.2 apresenta a envoltória de resistência típica da argila. Para argilas normalmente adensadas, a
envoltória de resistência e uma reta passando pela origem, calculando-se a resistência ao cisalhamento segundo a expressão:
τ = σ’ . tg φ’
Para argilas pré-adensadas, a envoltória é curva, podendo ser substituída por uma reta na solução de problemas
práticos, utilizando-se a expressão:
τ = c’ + σ’ . tg φ’
onde:
c’ = coesão ou intercepto coesivo efetivo
φ’ = ângulo de atrito efetivo
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Figura 2.8.2 - Envoltória de resistência da argila para solicitação drenada.
Na figura apresentada anteriormente, o solo foi adensado na natureza sob uma tensão σ'v0, sendo ensaiado a
tensões confinantes maiores e menores que σ'v0. A resistência ao cisalhamento deve ser calculada segundo as formulações
usadas para solos pré-adensados ou normalmente adensados, dependendo do nível de tensões em que se esteja trabalhando.
Em argilas normalmente adensadas (NA) o ângulo de atrito efetivo é muito variável, não existindo boas correlações,
mas verifica-se que o ângulo de atrito tende a ser menor quanto mais plástico e o solo. A Tabela 9.4 apresenta os valores de
“φ” em função do IP (índice de plasticidade), coletados por Kenney (1959), com solos de diferentes regiões, e os valores
obtidos pelo IPT em solos da cidade de São Paulo.
Tabela 2.8.1 - Correlação entre o ângulo de atrito interno efetivo e o índice de plasticidade em argilas normalmente
adensadas.
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