Faculdade de Engenharia - NuGeo/Núcleo de Geotecnia
Prof. M. Marangon
Mecânica dos Solos II
TENSÕES NOS SOLOS
Unidade 2 - TENSÕES NOS SOLOS
O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra, sejam elas advindas
do peso próprio ou em decorrência de carregamentos em superfície, ou ainda pelo alívio de
cargas provocado por escavações, é de vital importância no entendimento do
comportamento de praticamente todas as obras de engenharia geotécnica. Há uma
necessidade de se conhecer a distribuição de tensões (pressões) nas várias profundidades
abaixo do terreno para a solução de problemas de recalques, empuxo de terra, capacidade
de carga no solo, etc.
2.1 – Pressões verticais devidas ao peso próprio dos solos
Na análise do comportamento dos solos, as tensões devidas ao peso próprio têm
valores consideráveis, e não podem ser desconsideradas. Este estudo visa determinar as
pressões atuantes na massa de solo, nas diversas profundidades de um maciço, quando
consideramos somente o peso próprio, isto é, apenas sujeito à ação da gravidade, sem
cargas exteriores atuantes. Estas pressões são denominadas pressões virgens ou
geostáticas.
Quando a superfície do terreno é horizontal aceita-se intuitivamente que a tensão
atuante em num plano horizontal a uma certa profundidade seja normal a este plano. De
fato, as componentes das forças tangenciais ocorrentes em cada contato tendem a se
contrapor, anulando a resultante. Quando o solo é constituído de camadas
aproximadamente horizontais, a tensão vertical resulta da somatória do efeito das diversas
camadas.
Seja a superfície superior do terrapleno com uma inclinação i (em relação
horizontal), de uma massa de solo cujo interior se situa o ponto A cotado no plano A
(correspondendo à base de um prisma) a uma profundidade Z em relação ao nível do
terreno, como mostra a Figura 2.1. O prisma corresponderá a uma coluna de solo de
comprimento unitário, largura b (na horizontal) e profundidade Z.
Consideramos a massa de solo como constituída de solo homogêneo no espaço
semi-infinito visualizado para a análise de pressão vertical total. O terreno está solicitado
só pela ação da gravidade não ocorrendo lençol freático nessa espessura Z.
Considerando o espaço semi-infinito de solo homogêneo, todo prisma de solo a ser
considerado terá o material com peso específico γp.
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Figura 2.1 – Representação do prisma de solo para o calculo das tensões
Admitindo-se que a massa está em repouso absoluto, a figura 2.2 expressa um
plano em repouso absoluto, correspondente a seção I, II, III e IV que não se desloca pela
ocorrência dos esforços considerados:
Pv =
PA =
E1 = E’1 =
E2 = E’2 =
peso do prisma de solo
reação do solo pela continuidade abaixo do plano A
esforços nas faces laterais do prisma de solo
esforços nas faces frontais do prisma de solo
Figura 2.2 – Destaque das seções I, II, III e IV do prisma de solo
Estando o prisma em equilíbrio, serão satisfeitas as equações fundamentais da
estática:
Σ H = 0 ∴ E1 = E’1 e E2 = E’2
Σ V = 0 ∴ PV = PA (Logo, tanto faz considerarmos a ação PV quanto a
reação PA).
Σ MA = 0 E1 x Z’A = E’1 x Z’A
E2 x Z’A = E’2 x Z’A
∴
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Os esforços laterais ocorrem pela existência da continuidade da massa homogênea
em todas as direções. Portanto, os pares de esforços são de mesma intensidade, mesma
direção e sentidos contrários.
Para calcular PV, temos:
PV = volume do prisma de solo x peso específico aparente natural devido ao
peso próprio de todos os materiais existentes acima do ponto, considerado.
PV = VP x γPA,
mas VP = comprimento x largura x altura
VP = 1 x b x Z
VP = b x Z
O peso do prisma de solo, ao descarregar sobre a área inclinada da base dará uma
pressão no ponto A da base, ou seja:
PVA = pressão vertical total no ponto A
PVA =
pv
P
= V =
área base S A
Pv
b.Z.γ PA
=
b
b
.1
.1
cos i
cos i
PVA = Z. cos i.γ PA
A pressão PVA independe da seção do prisma (coluna de solo), pois, quanto maior
sua seção, maior será a área da base SA. Ou quanto menor a seção, menor será o peso e a
área da base. Logo, o resultado da divisão entre o peso da coluna de solo e a área da base
onde atua esse peso será sempre constante.
Assim temos: σA = PVA com direção definida.
Como já está consagrado em Mecânica dos Solos chama-se a tensão de pressão.
Entenda-se que sempre que falarmos, daqui para frente, pressão, estaremos expressando a
tensão. Só por estar consagrada essa nomenclatura manteremos esse expediente sem
prejuízo da conceituação clássica colocada.
No caso de terrapleno com a superfície superior coincidente com a horizontal,
teremos:
σ A = Z.γ PA , pois nesse caso, i = 0, isto é, a profundidade considerada vezes o peso
específico do solo homogêneo ocorrente nessa profundidade.
Colocando-se em um sistema cartesiano, teremos os diagramas representativos de
toda a distribuição na espessura Z, como mostra a Figura 2.3.
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Figura 2.3 – Diagramas representativos da distribuição de tensões na espessura Z
No caso de uma seqüência de camadas de solos homogêneos diferentes,
considerando somente terrapleno horizontal, como mostra a Figura 2.4, temos:
Figura 2.4 – Distribuição de tensões para uma seqüência de camadas de solos heterogêneos
Isto é, a pressão vertical total da camada 1 se transmite integralmente sobre a
camada 2 e na espessura dessa segunda camada haverá o acréscimo de diagrama devido a
pressão gerada nessa espessura.
No caso de n camadas de γpi e espessuras Zi, teremos a expressão:
n
σ = ∑ γ Pi .Z i
1
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Análise sobre os materiais ocorrentes nas camadas
Considerando cada camada homogênea, como uma espessura correspondente,
podemos considerar que podem ocorrer os materiais: partículas sólidas e água (em diversas
situações, a saber):
1. Só água = lâmina d’água;
2. Só partículas = solo seco;
3. Partículas com todos os vazios cheios de água, S=100%:
3.a. Solo saturado = quando a água dos vazios não está sujeita a ação da
gravidade (partículas envolvidas pela água)
. Ocorrência típica de solo impermeável (vazios não se comunicam);
3.b. Solo submerso = quando a água dos vazios está sujeita a ação da
gravidade, assim, as partículas sólidas estão imersas na água, portanto,
as partículas estão sujeitas ao empuxo que atua sobre as mesmas
. Ocorrência típica de solo permeável (vazios se comunicam).
O cálculo do peso específico para qualquer dessas ocorrências poderá ser obtido a
partir da relação de outros índices físicos, obtendo-se o peso específico aparente natural
do solo, pela expressão deduzida em seguida.
γ=
Pt
= peso específico aparente natural do solo.
Vt
γ=
Pt Ps + Pa Ps
P
P
=
=
+ a = γs + a
Vt
Vt
Vt V t
Vt
P
γ = a ⇒ Pa = γa x Va
Va
Substituindo temos:
γ ⋅V
γ = γs + a a
Vt
Dividindo por Vv, numerador e denominador, não altera a fração:
Va
V
S
γ = γs + γa v = γs + γa = γs + Sn ⋅ γa
1
Vt
n
Vv
Logo, pode-se escrever:
γp = γs + Sn ⋅ γa
Aplicada a expressão para os materiais ocorrentes temos, para cada caso:
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1 - Lâmina d'água
γs = 0
S = 100% = 1.0
n = 100%
γp = γa
2 - Solo seco
S = 0 ∴ γp = γs
3 - Solo saturado e na condição submersa
Considerando apenas as ocorrências dos materiais, temos, em ambos os casos, água
enchendo todos os vazios.
γp = γs + n γa
S = 1,0
γp = γsat, ou
γp = γsub + γa
Qualquer uma das expressões pode ser empregada com resultado idêntico, pois
apenas fizemos substituições pertinentes em função das relações entre índices físicos.
4 - Partículas sólidas com água ocupando parcialmente os vazios
Solo pacialmente saturado. A expressão será a completa:
γp = γs + S.n.γa
Análise das condições gerais de ocorrência do peso específico dos solos
As Figuras 2.5 e 2.6 apresentam um perfil de solo onde destacamos algumas faixas
de ocorrências de espessuras homogêneas:
Lâmina d’água:
γPA = γa
Camada 1
Solo permeável submerso:
γPB = γS1 + n1.γa = γsat1
Camada 2
Solo impermeável
γPC = γS2 + S2.n2.γa
Figura 2.5 – Perfil de solos heterogêneos com
presença de lâmina d’água
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Camada 1
Acima da franja capilar até o NT:
γPA = γS1 + S1.n1.γa
Franja capilar: faixa de saturação
onde ocorre a umidade capilar:
γPB = γS1 + n1.γa = γsat1
Faixa de submersão onde ocorre o
lençol freático formado com água
livre:
γPC = γS1 + n1.γa = γsat1 = γsub1 + γa
Camada 2
S=100%
γPD = γS2 + S2.n2.γa
γPD = γS2 + n2.γa = γsat2
Figura 2.6 – Perfil de solos heterogêneos
Nota: Para o cálculo da tensão vertical (total) devido ao peso própio do solo deve-se
considerar o valor do peso específico tal como ocorre no campo, por ex., natural,
saturado, seco (pouco comum na prática). Como será visto, esta pressão poderá ser
decomposta em parcelas, ai sim para determinada parcela (a do solo, como será visto no
item seguinte) poderá ser atribuído o peso específico submerso, se tal efeito ocorrer.
2.2 – Princípio das tensões efetivas
2.2.1 – Pressão vertical total
Sendo a estrutura formada de um esqueleto de grãos sólidos (estrutural) e os
vazios deixados entre as partículas, podemos dizer que ocorrem duas situações distintas:
i A pressão vertical total se desenvolve no esqueleto estrutural sendo que a água
que ocorre nos vazios contribui simplesmente com o aumento de peso do conjunto
ii A pressão vertical total se desenvolve em duas parcelas distintas, uma no
esqueleto estrutural e outra na água que ocorre enchendo todos os vazios e está sob
ação da gravidade (solos submersos) ou sob ação de pressão exterior (de percolação ou
de adensamento).
De maneira genérica a expressão da pressão vertical total é indicada como:
σ = σ’ + u
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σ =
σ’ =
u =
pressão vertical total devido ao peso próprio dos solos
parcela da pressão total que se desenvolve no esqueleto granular →
pressão efetiva ou pressão grão a grão
parcela da pressão total que se desenvolve na água ocorrente nos
vazios → pressão neutra ou poropressão.
Esta só ocorre quando a água que enche todos os vazios está sob a ação da
gravidade (ocorrência de água livre - solos submersos) ou a água está com
uma pressão externa que pode ser pressão de adensamento ou pressão
de percolação.
Considerando-se agora, a situação de todos os vazios estarem cheios de água, mas
as partículas estarem simplesmente envolvidas pela água (espessura da franja capilar), isto
é, na faixa de ocorrência de água capilar onde a água não está sujeita a ação da gravidade
(e nem está submetida às cargas exteriores), portanto, o solo está saturado, a pressão
vertical total devida ao peso próprio dos solos será:
σ = σ’, pois, nesse caso, u = 0.
2.2.2 – Pressão neutra (u)
Condição de Submersão
Considerando o maciço submerso, a água que se encontra nos vazios está sujeita a
ação da gravidade, isto é, nessa água se desenvolve uma parcela da pressão vertical total
correspondente ao sistema partículas sólidas x água.
A água, sendo um fluido, transmite aos grãos do esqueleto estrutural, considerando
separadamente cada grão, pressões em todas as direções, dando sobre cada partícula uma
resultante nula. Daí chamar-se pressão neutra, ou seja, aquela que não ocasiona
deslocamento de grãos.
Essa resultante nula atuando em cada grão considerado separadamente, não dará,
como decorrência, possível mudança de posição dos grãos, que poderia afetar sua
arrumação, isto é, alterar o seu índice de vazios.
Como ela se propaga igualmente em todas as direções (fluidos), essa pressão neutra
se fará presente, não só no plano horizontal, mas também no plano vertical (paramento).
No caso de algumas obras só uma drenagem bem feita, anulará esse efeito sobre os
paramentos verticais de estruturas, como por exemplo ocorre no caso de contenções
(muros de arrimo).
Experiência
A verificação do comportamento dessa parcela da pressão total, pressão neutra,
pode ser feita em laboratório com o seguinte ensaio, como mostra a Figura 2.7:
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Tomemos um recipiente cuja base é ligada a um piezômetro que nos indicará, no
tubo graduado, as alturas piezométricas ou alturas hidrostáticas ou cotas dos NAs
ocorrentes na estrutura durante a experiência de laboratório.
O recipiente tem a parede graduada ou condição de medição precisa de H
(espessura da camada de solo permeável) representada por areia pura colocada no fundo do
recipiente e acomodada para medição inicial após se situar o primeiro nível d'água NA1.
Nessa altura H o solo se encontra com o índice de vazios “e”.
NA2 = segundo nível de água, controlada pelo
ladrão do recipiente, dando como
decorrência
uma
nova
leitura
piezométrica h2.
NA1 = nível inicial da água. Dá uma leitura
piezométrica h1, lida no piezômetro
(aparelho medidor de NA).
H = Altura inicial da suposta camada de
areia, indicando uma arrumação inicial
das partículas quando o nível d’água é
NA1.
Figura 2.7 – Ensaio para verificação
do comportamento do solo
A pressão neutra no ponto A (fundo do recipiente) correspondente a essa primeira
situação de NA1, será: u1 = γa x h1 – peso da coluna de água pela área da base
Isto é, equivale a pressão hidrostática correspondente ao nível NA1, pois, sendo o
solo permeável haverá transmissão molécula a molécula de água desde o topo do NA1 até o
fundo do vaso. O fenômeno é idêntico ao da pressão atmosférica e compreende o peso da
coluna d'água de h1 (altura) e independendo de sua seção transversal (peso da coluna de
água dividida pela área da base sempre na proporção constante).
Em seguida elevaremos o nível d'água para cota NA2 com a colocação cuidadosa de
água no vaso, de maneira que não haja a mínima condição de turbulência no fluido, capaz,
de perturbar, artificialmente, a arrumação estrutural da areia.
será:
A pressão neutra no ponto A correspondente a essa segunda situação de NA2,
u2 = γa x h2
Houve um aumento da altura da coluna d'água de h1 para h2, logo houve um
acréscimo no valor da pressão neutra, a saber:
u2 – u1 = ∆u = γa . (h2 – h1)
∆u = γa . ∆h
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Constatamos, após esse acréscimo de pressão neutra, que H permaneceu
constante, isto é, não houve qualquer variação na arrumação estrutural da areia. O índice
de vazios permaneceu o mesmo o que indica que a estrutura não sofreu nenhuma ação
mecânica.
Pela obrigatoriedade da relação tensão-deformação, conclui-se que tudo se
desenvolveu na água dos vazios, e nenhuma pressão adicional diferenciada surgiu no
esqueleto estrutural, capaz de alterar as posições relativas dos grãos, não houve qualquer
alteração das características mecânicas da estrutura.
A pressão neutra é considerada, conceitualmente idêntica a pressão atmosférica,
quando seu desenvolvimento se dá por submersão (água sob a ação da gravidade), isto é, o
peso da coluna de água correspondente a uma espessura, por ação da gravidade, passa a
agir como um peso descarregado na área da base da coluna.
Ocorrências de pressão neutra fora da condição de submersão
A água que enche todos os vazios do solo pode não estar sob ação da gravidade,
mas sim sob ação de pressões exteriores de percolação ou de adensamento.
Nos dois casos temos:
Condição de Percolação de Água
Como visto na Unidade 1, o cálculo da pressão neutra desenvolvida no interior da
massa de solo será função da diferença de carga que motivará o fluxo (i = gradiente
hidráulico diferente de zero).
A pressão neutra final, em qualquer ponto da massa de solo, é igual a soma da
parcela hidrodinâmica e a parcela hidrostática. A primeira leva em consideração a parcela
de perda de carga até o ponto considerado e a segunda leva em consideração à
profundidade do referido ponto, considerado o referencial de carga igual a zero.
u = parcela de pressão hidrodinâmica + parcela de pressão hidrostática
Para a realização de tais cálculos torna-se extremamente conveniente o traçado da
rede de fluxo (linhas de fluxo – canais de fluxo e linhas equipotenciais – intervalos de
perda de carga), com o maior número de pontos possíveis (cruzamento das linhas), para
facilidade de seus valores.
Para ilustrar, apresenta-se na Figura 2.8 o traçado de uma rede de fluxo onde
identificaremos, claramente, o número de linhas de Fluxo (LF), canais de fluxo (Nf) e o
número de linhas equipotenciais (LE) e de número de quedas de potencial (ND).
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(I) Impermeável
Figura 2.8 – A superfície impermeável é uma linha de fluxo definidora de um canal. Sete
equipotenciais correspondem, cada uma, a uma linha de igual pressão piezométrica ou
hidrodinâmica.
Condição de Adensamento de Camadas Argilosas
A percolação da água nos solos, induzida a partir do acréscimo de pressão na água
nos poros de um solo (principalmente no caso de solos argilosos) proveniente de um
carregamento aplicado sobre esta camada, implica também na variação de seu índice de
vazios – descrécimo. Tem-se, assim, o fenôme do adensamento, que será estudado na
Unidade 3, deste curso.
2.2.3 - Pressão efetiva (σ’)
A pressão efetiva ou pressão intergranular é a outra parcela da pressão vertical total
que se desenvolve no esqueleto estrutural dos solos pelo contato grão a grão.
Sua variação acarreta alterações nas características mecânicas dos solos,
portanto é a parcela da pressão vertical total que nos interessa para análise do
comportamento dos maciços granulares porosos, estudado na Mecânica dos Solos.
Experiência
Da mesma maneira que procedemos com a pressão neutra, podemos, com o mesmo
ensaio, em laboratório, como mostra a Figura 2.9, comprovar seu comportamento e os
efeitos decorrentes de seu acréscimo sobre as estruturas.
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Toma-se o mesmo recipiente
com a camada de areia
anterior (H = altura inicial),
mantendo-se u = constante
(portanto NA = constante)
com entrada de água
continuadamente, mas sem
ocasionar turbulência.
Figura 2.9 – Ensaio para verificação do comportamento do solo
Com o sistema garantido,
logo, com u = constante,
introduzimos um tubo cheio
de esferas de chumbo
(chumbo de caça) de maneira
que se possa, acionando um
fio de nylon, por um gatilho,
fazer depositar na superfície
da areia as esferas que serão
sobrecargas
diretamente
sobre os grãos de areia.
Essa sobrecarga será também uma estrutura permeável que continuará permitindo a
passagem da água, portanto, mantendo constante o valor de u.
Em síntese fizemos um acréscimo de pressão (proveniente do peso das esferas) - σ’
sobre a areia, mantendo u = cte, acréscimo esse sem queda, mas, depositando as esferinhas
de chumbo sobre os grãos de areia.
Após esse acréscimo verificamos que a altura da areia original H cai para H1, o
que comprova a alteração das características mecânicas da camada ou a acomodação dos
grãos de areia – redução do índice de vazios sem a influência da pressão na água.
Determinação da pressão efetiva
Sendo essa uma pressão de contato grão a grão, seu cálculo seria efetivado através
do somatório dos pesos de todos os grãos da estrutura dividido pelo somatório de todas as
áreas de contato entre os grãos.
Esse cálculo se torna difícil, mesmo por estimativa, pois, o contato intergranular é
de difícil avaliação uma vez que depende de vários fatores, tais como: forma das
partículas, tipos superfícies contantos, minerais componentes dos grãos, arrumação,...
Tal cálculo teria que se basear nas propriedades intrínsecas dos materiais
componentes das partículas e se limita aos estudos teóricos ligados a pesquisas específicas.
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Para resolver o cálculo, objetivamente, e dentro dos problemas práticos na
engenharia de solos, nos basearemos no cálculo da pressão total, já demonstrado
anteriormente e no cálculo da parcela pressão neutra, facilmente calculável, assim,
teremos:
σ’ = σ - u
Onde:
σ’ = pressão efetiva ou de contato grão a grão
σ = pressão vertical total ⇒ σ = γp x Z
u = pressão neutra ou poropressão que, no caso de submersão, u = γa x h (nos
outros casos percolação e adensamento, requer cálculo específico).
•
•
•
•
Assim, para sistematização de seu cálculo sugere-se:
Calculam-se os valores das pressões verticais totais em cada plano (horizonte)
considerado o γp, na condição de ocorrência do material “in situ”.
Verifica-se a ocorrência de u no enquadramento em um dos três casos possíveis, ou
seja, submersão, percolação e adensamento. Em função do caso ocorrente calculase u;
Calcula-se a tensão efetiva aplicando-se o conceito: σ’ = σ - u (princípio das
tensões efetivas de Terzaghi);
Traça-se, sucessivamente, em cada plano, (após esses cálculos) os diagramas
correspondentes (total, efetiva e neutra) a essas cotas a fim de que se possam
comparar os traçados gráficos como verificação dos cálculos analíticos;
2.2.4 – Variações do nível d'água
Nesse tópico verificaremos as variações dos valores das pressões verticais devidas
ao peso próprio dos solos quando, por necessidade de construção ou decorrência dos
mesmos, temos que rebaixar ou elevar o nível estático do lençol freático. Por necessidades
construtivas, às vezes, rebaixamos o lençol freático trazendo o NA a uma cota ∆h abaixo
do normal. Também, ao se construir reservatórios de água em hidroelétricas, daremos
condição de elevação da água numa cota muito acima dos níveis normais dos cursos
d’água.
Essas oscilações do NA trarão reflexos acentuados na estrutura, pois, a faixa de
submersão vai variar e, nessa faixa as partículas sólidas têm seus pesos aliviados pelo
empuxo ocorrente em suas condições de imersão. Logo, se seus pesos vão oscilar para
mais ou para menos, sua contribuição para a pressão efetiva (parcela grão a grão), também
irá variar. Logo, o comportamento da estrutura como um todo sofrerá transformações.
i - Rebaixamento do lençol freático
A ocorrência de oscilação mais comum é o rebaixamento do NA que poderá se dar
por drenagens (sistema de drenagem por gravidade) como obras definitivas ou por
bombeamento do lençol para casos provisórios no período de construção.
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Para melhor ilustração imaginamos um rebaixamento num terreno permeável para
permitir uma escavação de construção de uma galeria de águas pluviais, ou de esgoto ou de
metrô, e, precisamos saber os reflexos nas fundações dos prédios já existentes.
Seja o perfil da Figura 2.10 de uma camada permeável, com o NA1 em determinada
cota “há” em relação ao NT, sobrejacente ao plano A, que pode estar sujeita a
compressibilidade por sobrecarga.
Considere que por questão construtiva temos
necessidade, em um determinado período da
obra, de rebaixar NA1 para cota NA2.
Pergunta-se qual serão as variações das
pressões verticais devidas ao peso próprio
dos solos no plano A, quando o
rebaixamento ocorrer ?
Plano A
Figura 2.10 – Perfil de solo para rebaixamento
do nível d’água
Para melhor facilidade de cálculo indicaremos os valores diretamente no plano A,
sem considerar planos intermediários e sem traçar os diagramas uma vez que o perfil é
muito simples e as fórmulas são auto-explicativas.
Para simplificar ainda mais, consideraremos que, ao se efetuar o rebaixamento, na
espessura ∆h a estrutura ficará nas mesmas condições originárias e em nenhuma das
situações haverá formação de franja capilar.
Pressões verticais totais
– Para o nível NA1: σ1A = γP1 . ha + γP2 . h
σ1A = (γS + S.n.γa) . ha + (γS + n.γa) . h
σ1A = γS.ha + S.n.γa. ha + γS.h + n.γa.h
– Para o nível NA2: σ2A = γP1 . (ha + ∆h) + γP2 . (h – ∆h)
σ2A = (γS + S.n.γa) . (ha + ∆h) + (γS + n.γa) . (h – ∆h)
σ1A = γS.ha + S.n.γa. ha + γS.∆h + S.n.γa.∆h + γS.h + n.γa.h –
n.γa.∆h – γs.∆h
– Variação da pressão:
σA = σ2A – σ1A
σA = + S.n.γa.∆h – n.γa.∆h
σA = (S – 1).n.γa.∆h ⇒ mas, S – 1 = – A
∆σA = - A .n .γa. ∆h
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Pela expressão, temos que a pressão vertical total diminui de um valor igual à
contribuição da pressão devido a água que enchia os vazios na espessura ∆h (e saiu devido
a ocorrência do rebaixamento).
Nota-se que restou alguma água nos vazios, como é natural de ocorrer,
correspondente a aeração A que limita a condição de não ter escoado toda a água.
Pressões neutras
– Para o nível NA1:
– Para o nível NA2:
u1A = γa . h
u2A = γa . (h – ∆h)
u2A = γa.h – γa.∆h
– Variação da pressão:
∆uA = u2A – u1A
∆uA = γa.h – γa.∆h – γa.h
∆uA = – γa . ∆h
A pressão neutra diminui de um valor correspondente a eliminação da condição de
submersão na faixa ∆h (deixou de ocorrer).
Pressão efetiva
Como temos as variações ocorrentes nas duas parcelas de cálculo dessa pressão,
efetuaremos seu cálculo a partir desses valores, a saber:
∆σ’A = ∆σA – ∆uA
∆σ’A = – A.n.γA.∆h + γA.∆h
∆σ’A = (1 – A.n) .γa . ∆h
A pressão efetiva aumentou de um valor correspondente ao empuxo que deixou de
agir sobre as partículas (aliviando seus pesos na faixa h), transformando-se em sobrecarga
pelo maior peso desses grãos.
Caso fosse possível toda a água escoar dos vazios da faixa do rebaixamento,
teríamos A = 1,0 e as fórmulas, ficariam:
∆σA = – n.γa.∆h ⇒ água que enchia os vazios na faixa h
∆uA = – γa.∆h
∆σ’A = (1 – n).γa.∆h ⇒ empuxo que agia nas partículas na faixa h
ii - Levantamento do lençol freático
No caso do NA oscilar em sentido inverso, isto é, de NA2 para NA1, logicamente as
variações terão seus sinais trocados, isto é:
•
•
•
Aumentará a pressão total = + A.n.γa.∆h;
Aumentará a pressão neutra = + γa.∆h;
Diminuirá a pressão efetiva = – (1 – A.n).γa.∆h.
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Isso pode ocorrer com a subida do NA na época das águas (período de chuvas) em
relação ao seu nível mais baixo no período de seca. Normalmente essa variação, na
natureza não é expressiva para causar reflexos no seu comportamento mecânico.
Análise das variações do NA
Os casos ocorrentes em engenharia serão específicos, portanto sua complexidade
pode ser muito maior do que esse simples exemplo literal apresentado. Nestes
apontamentos, no entanto, são fornecidos todos possíveis elementos básicos a serem
considerados nestas outras formulações.
Cumpre, apenas, acrescentar que nos solos impermeáveis as variações nas tensões
não ocorrem como abordado.
Caberá, a cada engenheiro, dentro das peculiaridades de ocorrência e características
da obra, lançar as hipóteses, antever evoluções no sentido de optar por soluções funcionais,
tecnicamente exigíveis, mais econômicas possíveis e com a qualidade compatível com as
possíveis mutações no período de utilização (vida útil).
2. 2. 5 - Exemplo Numérico de Aplicação
Calcular as pressões verticais devidas ao peso próprio dos solos para o perfil da
Figura 2.11 (as cotas do perfil são referenciadas a um RN). Assumir e justificar
qualquer dado necessário para resolução do problema.
a) Nas condições atuais;
b) Após uma drenagem permanente que rebaixará a cota do NA até – 4 m e escavação
da argila orgânica e lançamento de um aterro de extensão infinita até a cota + 3 m
com um material de peso específico aparente natural de 1,8 t/m3 (no aterro).
Cálculo dos valores de γP:
1) Argila orgânica: γPI = γsat I = 1,3 g/cm3 = 1,3 t/m3
2) Areia fina:
h .ρ
0,28.2,67
S II = II II =
= 0,996 = 99,6% (podemos considerar 100%)
e II
0,75
γPII = γSII + SII.nII.γa
e II
0,75
n II =
=
= 0,43
1 + e II 1,75
γ gII
ρ .γ
2,67
γ SII =
= II a =
= 1,53
1 + e II 1 + e II 1,75
Substituindo os valores chega-se que: γPB = 1,96 t/m3
3) Argila siltosa:
γ III
γ SIII =
∴ γ III = γ SIII .(1 + h III ) = 1,1.(1 + 0,45) ⇒ γPC = 1,59 t/m3
1 + h III
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Permeável
γI = 1,3 g/cm3
Permeável
eII = 0,75
hII = 28 %
ρII = 2,67
Considerado
permeável
γSIII = 1,1 g/cm3
hIII = 45%
Figura 2.11 – Perfil de solo
Cálculo das pressões:
a) Nas condições atuais:
– No plano A: σA = γPA . HI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m2
uA = γa . HI = 4,0 t/m2
σ’A = σA – uA = 1,2 t/m2
– No plano B: σB = σA + γPB . HII = 5,2 + 1,96 . 4,0 = 13,04 t/m2
uB = uA + γa . HII = 4,0 + 4,0 = 8,0 t/m2
σ’B = σB – uB = 13,04 – 8,0 = 5,04 t/m2
– No plano C: σC = σB + γPC . HIII = 13,04 + 1,59 . 6,0 = 22,58 t/m2
uC = uB + γa . HIII = 8,0 + 6,0 = 14,0 t/m2
σ’C = σC – uC = 22,58 – 14,0 = 8,58 t/m2
Diagramas (t/m2)
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c) Após a drenagem (rebaixamento do NA até a cota – 4m), remoção da argila e
lançamento do aterro (as camadas são consideradas permeáveis):
d)
Admitindo-se a areia fina acima do NA
com S = 80% (consideração pela falta de
informação)
Na faixa de 1,0 m teremos:
h ' II =
S' II .e ÍI
=
0,8.0,75
= 0,225
2,67
ρ II
h ' II = 22,5%
γg
e
γp = γ =
+ S.
.γ a
1+ e
1+ e
Figura 2.12 – Perfil de solo com rebaixamento do
nível d’água
γP = 1,53 + 0,8 . 0,43
γP = 1,87 t/m3
– No plano A:
σA = 6,0 . 1,8 = 10,8 t/m2
uA = 0
σ’A = σA – uA = 10,8 t/m2
– No plano B:
σB = 10,8 + 1,87 . 1,0 = 12,67 t/m2
uB = 0
σ’B = 12,67 t/m2
– No plano C:
σC = σB + 1,96 . 3,0 = 18,55 t/m2
uC = 1,0 . 3,0 = 3,0 t/m2
σ’C = 15,55 t/m2
– No plano D:
σD = σC + 1,59 . 6,0 = 28,09 t/m2
uD = uC + 1,0 . 6,0 = 9,0 t/m2
σ’C = 19,09 t/m2
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Avaliação do Rebaixamento do Lençol Freático
Formularemos, a partir do perfil inicial, qual a variação da pressão vertical quando
efetuarmos o rebaixamento programado até a cota – 3m, isto é, para se dar condição de
trabalhar a primeira camada.
Como o problema não dá maiores detalhes, vamos admitir, para o plano A uma
porosidade de 45% e um grau de saturação após o rebaixamento de 80%.
γPI = 1,3 g/cm3
γPI = γSI + nI.γa na condição inicial
nI = 0,45
1,3 = γSI + 0,45 ∴ γSI = 0,85 g/cm3
Para a faixa que houve rebaixamento do NA temos:
γPII = γSI + SII.nI.γa = 0,85 + 0,8.0,45 ∴ γPII = 1,21 t/m3 = 1,21 g/cm3
– Cálculo das pressões para σAI = γPI . hI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m2
NA1:
uAI = γa . hI = 1,0 . 4,0 = 4,0
σ’AI = 1,2 t/m2
– Cálculo das pressões para σAII = γPII . hI = 1,21 . 4,0 = 4,84 t/m2
NA2:
uAII = 0
σ’AII = 4,84 t/m2
– Variação da pressão: ∆σ’ = σ’AII – σ’AI
∆σ’ = 4,84 – 1,2
∆σ’ = 3,64 t/m2
Checando as fórmulas anteriormente deduzidas:
∆σ’A = (1 – A.n).γa.∆h
A = aeração = 1 – S = 1 – 0,8 = 0,2
∆σ’A = (1 – 0,2.0,45).(1,0).(4,0) ∴ ∆σ’A = 3,64 t/m2
2.3 - Pressões devidas a cargas aplicadas
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As cargas aplicadas na superfície de um terreno induzem tensões, com
conseqüentes deformações, no interior de uma massa de solo. Embora as relações entre
tensões induzidas e as deformações resultantes sejam essencialmente não lineares,
soluções baseadas na teoria da elasticidade são comumente adotadas em aplicações
práticas, respeitando-se as equações de equilíbrio e compatibilidade.
As pressões produzidas por cargas aplicadas na superfície de um maciço terroso
são calculadas, ou melhor, avaliadas, na hipótese de um “maciço semi-infinito, elástico,
isótropo e homogêneo”; conceitos que, a rigor, podem não ser verificados.
As cargas transmitidas pelas estruturas se propagam para o interior dos maciços e
se distribuem nas diferentes profundidades, como ilustrado na Figura 2.13, podendo se
verificar experimentalmente.
Figura 2.13 – Distribuição de pressões de acordo com a profundidade
Denominan-se isóbaras as curvas ou superfícies obtidas ligando-se os pontos de
mesma pressão vertical (Figura 2.14). Este conjunto de superfícies isóbaras forma o que se
chama bulbo de pressões, como indicado nas figuras abaixo para uma carga concentrada.
Figura 2.14 – Bulbo de pressões
Aplicação da Teoria da Elasticidade:
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Segundo descreve o Prof. Carlos de Souza Pinto (PINTO, 2000), a teoria da
elasticidade tem sido empregada para a estimativa das tensões atuantes no interior da
massa de solo em virtude de carregamentos na superfície, e mesmo no interior do terreno.
“O emprego de Teoria da elasticidade aos solos é questionável, pois o
comportamento dos solos não satisfaz aos requisitos de material elástico, principalmente
no que se refere a reversibilidade das deformações quando as tensões mudam de sentido.
Entretanto, quando ocorrem somente acréscimos de tensão, justifica-se a aplicação da
teoria. Por outro lado, até determinado nível de tensões, existe uma certa
proporcionalidade entre as tensões e as deformações, de forma que se considera um
Módulo de Elasticidade constante como representativo do material. Mas a maior
justificativa para a aplicação da Teoria de Elasticidade é o fato de não de dispor ainda de
melhor alternativa e, também, porque ela tem apresentado uma avaliação satisfatória das
tensões atuantes no solo, pelo que se depreende da análise de comportamento de obras.
A) Carga concentrada:
Boussinesq (1885) desenvolveu as equações para cálculo dos acréscimos de tensões
efetivas vertical (σz), radial (σr), tangencial (σt) e de cisalhamento (τrz), causadas pela
aplicação de uma carga concentrada pontual agindo perpendicularmente na superfície de
um terreno, admitindo constante o módulo de elasticidade do maciço. Por isso, as fórmulas
não contêm o valor deste módulo.
σz =
3z 3
3p
p
cos5 θ ,
⋅ 2
=
2 52
2
2π (r + z )
2πz
p 
(1 − 2µ ) cos 2 θ 
2
3
σr =
3 sen θ cos θ −
,
2πz 2 
1 + cosθ 
 3
cos 2 θ 
p
σt = −
−
µ
θ
−
(
1
2
)
cos

,
2πz 2
1 + cosθ 

τ rz =
(
)
p
3 sen θ cos 4 θ ,
2
2πz
Figura 2.15 – Carga concentrada aplicada na
superfície do terreno: solução de Boussinesq
Pela fórmula: σz =
3p
2
cos5 θ, verifica-se que em cada plano horizontal (Figura
2 πz
2.16) há uma distribuição simétrica em forma de sino, com a pressão máxima sob a carga,
a qual decresce com o quadrado da distância do plano considerado à superficie de
aplicação da carga.
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Figura 2.16 – Distribuição simétrica em forma de sino devido à carga concentrada
B) Carga distribuída ao longo de uma linha:
A pressão vertical induzida σz no ponto (A), por uma carga uniformemente
distribuída p ao longo de uma linha na superfície de um semi-espaço foram obtidas por
Melan (Figura 2.17) e é dada pela fórmula:
2p
σZ =
. cos 4 θ
π.z
Figura 2.17 – Carga distribuída ao longo de uma linha: por Melan
C) Carga uniformemente distribuída numa faixa:
Em se tratando de uma placa retangular em que uma das dimensões é muito maior
que a outra, como por exemplo, no caso de sapatas corridas, os esforços introduzidos na
massa de solo podem ser calculados por meio da formula desenvolvida por Terzaghi e
Carothers. A Figura 2.18 apresenta o esquema de carregamento e o ponto onde se está
calculando o acréscimo de tensão. As pressões num ponto (M) situado a uma
profudidade (Z), com o ângulo α em radianos, são dadas pelas
fórmulas abaixo.
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p
( 2α + sen 2α cos 2β)
π
p
σx = ( 2α − sen 2α cos 2β)
π
p
τ xz = sen 2α sen 2β
π
σz =
Figura 2.18 – Placa retangular de comprimento infinito (sapata
corrida): por Terzaghi e Carothers
As tensões principais e a máxima de cisalhamento (a serem estudadas na Unidade
4) são dadas por:
σ1 =
p
.(2α + sen 2α ) ,
π
σ3 =
p
.(2α − sen 2α ) e
π
τ máx =
p
.sen 2α
π
A Figura 2.19 mostra-nos as curvas de igual pressão normal e tangencial segundo
Jürgenson, abaixo de um carregamento retangular.
Figura 2.19 – Curvas de igual pressão normal e tangencial: por Jürgenson
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D) Carga distribuída sobre uma placa circular:
Para uma superfície flexível e circular de raio R, carregada uniformemente com
pressão P, o valor da pressão vertical σz, abaixo do centro (Figura 2.20) é dado pela
fórmula de Love. O bulbo de pressão correspondente está indicado na Figura 2.21.




σ Z = p.1 −



1
 r
1 +  
  z 
2



3
2








Figura 2.20 – Carregamento circular
Figura 2.21 – Bulbo de pressões para o carregamento circular
A figura 2. 22 ilustra, como exemplo, o aspecto da distribuição da intensidade das
tensões verticais que ocorrem no subsolo de um terreno (mostrada a meia seção),
considerando a aplicação na superfície de um carregamento externo de 100kPa.
Neste exemplo ilustrativo foi usado um software de análise de tensões, a partir da
teoria da elasticidade, desenvolvido aplicando a técnica numérica do “Método dos
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Elementos Finitos” (M. E. F.). Na análise foram considerados a profundidade de 20,0m e o
afastamento do eixo central da carga circular (com 6,0m de diâmetro) em 12,0m.
Observa-se que os maiores valores ocorrem nas proximidades do carregamento,
região com maiores deformações. Nesta região, devido o nível elevado de tensões, poderá
desenvolver tensões cisalhantes elevadas, podendo levar à ruptura do solo, dependendo da
resistência ao cisalhamento do solo, como será visto nas Unidades 04 e 05 deste curso.
3m
Footing
100 kPa
20
18
35
42
28
14
14
21
12
10
7
Elevation (metres)
16
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Figura 2. 22 - Aspecto da distribuição das tensões verticais, devidas ao peso
próprio e ao carregamento externo, que ocorrem no subsolo do terreno carregado.
Em termos de diagrama final de tensões verticais totais, como pode ser visto o seu
aspecto na figura 2. 23 (considerado o carregamento da figura anterior, no eixo, em uma
única camada), tem-se a sobreposição dos efeitos (soma) das tensões (c), devidas ao peso
próprio dos solos (a) e devidas ao carregamento aplicado (b).
Figura 2. 23 - Sobreposição dos efeitos das tensões de peso própio e carregamento.
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