RODOLFO MOREIRA DE CASTRO JUNIOR
TOPOGRAFIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Centro Tecnológico
Laboratório de Topografia e Cartografia – LTC - CTUFES
Recolhido, Montado e Adaptado por
Prof. Rodolfo Moreira de Castro Junior
VITÓRIA
1998
2
SUMÁRIO
Pg.
1-) INTRODUÇÃO......................................................................
04
2-) OBJETIVO GERAL...............................................................
05
3-) OBJETIVO ESPECÍFICO......................................................
05
4-) CONCEITOS BÁSICOS EM TOPOGRAFIA......................
05
5-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO......
11
6-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO ALTIMÉTRICO........
64
7-) AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS..............................
95
8-) A PROJEÇÃO UTM (COORDENADAS PLANAS)...........
96
9-) CONCLUSÃO........................................................................
99
10-) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................
100
3
1-) INTRODUÇÃO
Segundo [ESPARTEL69] "a Topografia tem por
finalidade determinar o contorno, a dimensão e a posição relativa de uma
porção limitada da superfície terrestre". Esta determinação se dá a partir do
levantamento de pontos planimétricos e altimétricos, através de medidas
angulares e lineares, com o uso de equipamentos apropriados. O conjunto
de pontos devidamente calculados e corrigidos, dão origem, via de regra,
ao desenho topográfico, que se denomina Planta Topográfica, que é a
própria representação da "porção da superfície terrestre", que fora objeto de
levantamento. Os métodos de cálculos e a forma de tratamento e
transformação dos pontos planimétricos e altimétricos, formam as técnicas
que objetivamente serão apresentadas neste trabalho.
As técnicas topográficas para cálculos de levantamentos
planimétricos e altimétricos, bem como os cálculos geodésicos de
transformação de coordenadas, possuem conceitos e métodos consagrados
no mundo científico, e fazem uso, muito, e principalmente, dos conceitos
básicos da geometria clássica.
Neste Estudo Dirigido, serão apresentadas e discutidas
as principais definições e os métodos mais relevantes para os cálculos
planimétricos e hipsométricos de levantamentos topográficos clássicos,
além da apresentação da metodologia de transformação de coordenadas
geográficas em coordenadas planas, e vice-versa, com a oportuna
conceituação dos termos apresentados.
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2-) OBJETIVO GERAL
O objetivo desta apostila é dar subsídios conceituais e
metodológicos de Topografia e Geodésia, para a aplicação nas aulas
teóricas de práticas da disciplina de Topografia do Curso de Engenharia
Civil da Universidade Federal do Espírito Santo.
3-) OBJETIVO ESPECÍFICO
Conceituar
e
apresentar
os
métodos
topográficos
(planimétricos e altimétricos) e conceitos básicos geodésicos a serem
ministrados na disciplina de Topografia para facilitar o acompanhamento
do aluno nas discussões de sala e servir de material de estudo para as
avaliações a serem efetuadas.
4-) CONCEITOS BÁSICOS EM TOPOGRAFIA
Planimetria ⇒ Operação que tem por finalidade a
determinação, no terreno, dos dados necessários à representação em plano
horizontal, da forma e da posição relativas de todos os acidentes que nele
se encontram, comportando, assim, a medida de ângulos e de distâncias
referidas àquele plano.
Altimetria ⇒ Operação no terreno, que nos fornece os
dados necessários à representação, em um plano horizontal do relevo da
superfície terrestre objeto de levantamento.
Plano Meridiano⇒
é todo e qualquer plano que contém
a linha que passa pelos pólos Norte e Sul da Terra.
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Linha Norte-Sul ou Meridiana ⇒
é a intersecção do
plano meridiano com o plano do horizonte.
Ponto de Estação⇒ ponto de onde se realizam as visadas
de Ré e de Vante.
Ré⇒
visada no sentido contrário ao do caminhamento.
Vante⇒ visada no sentido do caminhamento.
Meridiano Verdadeiro⇒ Plano do Meridiano geográfico
determinado por observações astronômicas. Para qualquer ponto da terra,
sua direção será sempre a mesma, permanecendo invariável, independente
do tempo.
Meridiano Magnético⇒
A Terra tem propriedades de
um grande corpo magnético, portanto, funciona como tal, tendo as
extremidades da agulha de uma bússola atraídas pôr duas forças atuando
em dois pontos diametralmente opostos, que são os pólos magnéticos da
Terra. O meridiano magnético não é paralelo ao verdadeiro e sua direção
não é constante, ainda assim, ele é empregado como uma linha de
referência constante em um levantamento topográfico
Norte Magnético⇒ Direção Norte de um Meridiano
Magnético, assinalada pela agulha de uma bússola imantada.
Declinação Magnética⇒
Ângulo formado entre o Norte
Magnético e o Norte geográfico. Como já vimos o Norte Magnético é
variável, logo o ângulo de declinação também varia.
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Oeste
Leste
Ângulo Horizontal ou Azimutal⇒
Ângulo
formado
entre as projeções horizontais de duas linhas que passam através desses
dois pontos e convergem a um terceiro ponto.
Ângulo Vertical ou Zenital⇒
Ângulo de elevação ou
depressão em relação ao horizonte. Medido a partir de algum plano de
referência, o ângulo é positivo, se o ponto estiver acima do horizonte do
observador. Negativo, se o ponto estiver abaixo do horizonte do
observador.
α: Ângulo vertical
Zênite⇒ Ponto da esfera celeste, imediatamente acima do
observador, perpendicular ao horizonte do mesmo.
Rumos⇒ é o menor ângulo que o alinhamento faz com o
meridiano ( direção Norte-Sul ). Os rumos são contados a partir do Norte
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ou do Sul, no sentido horário ou anti-horário, conforme os quadrantes em
que se encontram, e variam de 0º a 90º.
Exemplo:
Onde:
R1 = 30º NE
R2 = 80º SE
R3 = 30º SW
R4 = 45ºNW
Casos Especiais:
Azimutes ⇒
Ângulo contado a partir da ponta Norte do
meridiano, no sentido horário, variando de 0º a 360º, entre o meridiano e o
alinhamento. Podem ser: Verdadeiros, Magnéticos ou Assumidos,
conforme o meridiano adotado como referência.
Exemplo:
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Onde :
Az 1 = 45 º
Az 2 =130º
Az 3 = 220º
Az 4 = 310º
Deflexão⇒
é o ângulo formado pelo prolongamento do
alinhamento anterior do caminhamento e o novo alinhamento. Esses
ângulos podem ter sentido a direita ou a esquerda, conforme a direção do
novo alinhamento. Se o novo alinhamento for a direita do prolongamento
anterior, o ângulo será chamado de deflexão à direita, caso contrário será
chamado deflexão à esquerda. Varia, portanto, entre 0º e 180º.
Prolongamento
do
Alinhamento 1 - 2
Baliza⇒ Haste reta usada para demarcar ou balizar um
alinhamento no terreno.
Mira ⇒ Régua graduada de 4m de comprimento, dividida
centimetricamente. Pode ser para leituras diretas ou invertidas.É usada
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juntamente com o teodolito para obtenção dos parâmetros para cálculos de
distâncias horizontais e verticais.
Círculo ou Limbo Horizontal ⇒ É um círculo graduado
de 0º a 360º em ambos os sentidos, horário e anti-horário. Apenas um
trecho do círculo graduado é que aparece por uma fenda ou janela de leitura
nos teodolitos..
Círculo ou Limbo Vertical ⇒
É
semelhante
ao
horizontal. Os ângulos verticais são utilizados, principalmente, para os
cálculos de Distância Horizontal e Diferenças de Nível entre alinhamentos.
Estadimetria⇒basicamente é a
medida de distâncias
(tanto horizontal como vertical ) obtida por cálculos, depois de se obter a
medida do ângulo de inclinação da luneta em relação ao plano horizontal e
as leituras na mira (com auxílio do teodolito ).
Teodolitos⇒
Aparelhos que medem ângulos e distâncias.
Retículos⇒
Marcação colocada no plano focal da ocular
de um instrumento óptico, (no caso, o teodolito) e que serve como
referência para uma visada. Em topografia, eles são:
• Retículo Superior
• Retículo Médio
• Retículo Inferior
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Seu conceito é importante para a leitura na mira., pois
através deles lê-se na mira 3 (três) valores, cada um em um retículo
(Superior, Médio e Inferior). Esses valores são utilizados para calcular as
distâncias horizontais e verticais.
Memorial Descritivo⇒
Descrição
pormenorizada,
realizada ao final do levantamento, onde são descritos os dados pertinentes
a área levantada, tais como: proprietários, localização, confrontantes, área,
perímetro entre outros.
5-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
• Método por Irradiação :
Este processo é utilizado para levantamento de pequenas áreas ou,
principalmente como método auxiliar à Poligonção, e consiste em escolher
um ponto conveniente para instalar o aparelho, podendo este ponto estar
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dentro ou fora do perímetro, tomando nota dos azimutes e distâncias entre a
estação do teodolito e cada ponto visado.
Além de ser simples , rápido e fácil , ele tem a vantagem de poder ser
associado a outros métodos (como o do caminhamento, por exemplo) como
auxiliar na complementação do levantamento, dependendo somente dos
cuidados do operador, já que não há controle dos erros que possam ter
ocorrido.
Devido a esses erros é aconselhável ao operador não abandonar
imediatamente o ponto de origem, para verificar se todos os dados
necessários foram levantados. A conferência pode ser feita através da soma
dos ângulos em torno do ponto de origem que deverá dar 360º , como já
sabemos.
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É importante lembrar que se houver lados curvos ao longo da
poligonal, haverá a necessidade de se fazer um maior número de
irradiações, de forma que estas permitam um bom delineamento das curvas.
• Método por Intersecção :
Chamado assim por fazer a intersecção entre as medidas de dois
pontos (duas estações). Este método se resume em visar da estação A (que
chamaremos base) os vértices do polígono, e ler os azimutes de cada um.
Logo depois transporta-se o teodolito para uma segunda estação B, da qual
lê-se pontos já visados por A, lendo-se as deflexões.
Para maior exatidão escolhe-se uma base que pode ser dos lados do
polígono, ou então, um ponto no interior do mesmo. A exatidão do
processo depende essencialmente da escolha da base. Este é o único
processo que se emprega quando alguns vértices do polígono são
inacessíveis. Apresenta também a vantagem da rapidez das operações, mas
exige que o polígono seja livre de obstáculos.
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Ele pode ser empregado como um levantamento único para uma área
ou como auxiliar no caminhamento, desde que as áreas sejam relativamente
pequenas. Como o método de irradiação não há possibilidade ou controle
do erro.
• Método por Caminhamento :
Este processo consiste, na medida dos lados sucessivos de uma
poligonal e na determinação dos ângulos que esses lados formam entre si,
percorrendo a poligonal , isto é, caminhando sobre ela.
Método trabalhoso, porém de grande precisão, o Caminhamento
adapta-se a qualquer tipo e extensão de área, sendo largamente utilizado em
áreas relativamente grandes e acidentadas. Associam-se ao caminhamento,
os métodos de irradiação e intersecção como auxiliares. Ele ainda se divide
em:
Aberto ou Tenso : quando constituído de uma linha poligonal
apoiada sobre dois pontos distintos e denominados – um o ponto de
origem e o outro, o ponto de fechamento.
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Fechado : quando constituído de um polígono que se apoia sobre um
único ponto, o ponto de origem, com o qual se confunde o ponto de
fechamento.
No levantamento por caminhamento as distâncias
normalmente são obtidas indiretamente, isto é, por estadimetria, a não ser
quando são pequenas, ocasiões em que se utiliza a trena para obtê-las. Já os
ângulos horizontais podem ser obtidos por dois processos : pelas deflexões,
as quais permitem calcular os azimutes, que é o caso mais comum, ou pelos
ângulos internos dos vértices do polígono.
Com as medições prontas no campo, pode-se determinar os erros
acidentais durante o levantamento tanto nos ângulos como nas distâncias,
os quais serão comparados com os chamados limites de tolerância, isto é,
com os erros máximos permissíveis para os ângulos e para as distâncias.
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• MEDIDA DE DISTÂNCIA:
Ao se definir a operação Planimetria mostrou-se a necessidade da
medida das distâncias entre os pontos que se pretende representar em um
plano horizontal, ou seja, em um desenho.
Quando são medidas distâncias inclinadas, elas são utilizadas
reduzindo-as à projeção horizontal equivalente, que satisfaz às principais
ou mesmo todas as necessidades para execução do projeto. Essa projeção é
suficiente para qualquer fim, visto que as construções se apoiam sobre
projeções horizontais e a grande maioria das plantas úteis cresce na direção
vertical.
As distâncias podem ser avaliadas diretamente ou indiretamente. É
chamada medição direta quando se aplica diretamente sobre o terreno um
instrumento que permita marcar distâncias (trena, fita de aço e corrente ou
Cadeia de Agrimensor) e medição indireta ou estadimétrica, quando se
calcula com o auxílio da trigonometria, a distância desejada.
• Distância Horizontal:
A distância horizontal pode ser obtida através da trena (método
direto) ou por estadimetria, que como já vimos na parte conceitual, utiliza
mira e teodolito (método indireto). Depois de obtidos os dados de campo,
encontraremos a distância horizontal através da fórmula:
DH = 100 × H × cos 2 α + C
Nos instrumentos analáticos, em que C =0, ter-se-á :
DH = 100× H × cos2 α
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Onde :
DH – distância horizontal
H – retículo superior – retículo inferior
α - ângulo da inclinação da luneta
Mas como a luneta pode se encontrar na posição horizontal ou
inclinada esta fórmula pode ter pequenas modificações, que citaremos a
seguir :
a) Visada Horizontal :
Seja na figura :
Onde:
ab = h = a'b' ⇒ distância que separa os dois retículos extremos
(estadimétricos), no anel do retículo.
f ⇒ distância focal da objetiva
F ⇒ foco exterior da objetiva
c ⇒ distância que vai do centro ótico do instrumento à objetiva
C ⇒ c + f (constante)
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d ⇒ distância que vai do foco à mira
AB = H ⇒ diferença entre as leituras dos retículos extremos, na mira
M ⇒ leitura na mira
DH = d + C (distância horizontal que se deseja obter, e que se
para o ponto de estacionamento do aparelho do ponto sobre o qual
está a mira)
Nos triângulos a'b'F e ABF, semelhantes, e nos quais f e d são
as suas respectivas alturas, tem-se :
f
d
=
h H
d=
f
×H
h
DH = d + C
DH =
f
×H + C
h
O fator
f
, constante para cada instrumento, é na maioria deles
h
igual a 100, por construção. Nestes, teremos :
DH =100H + C
Esta equação permite obter a distância horizontal nos
instrumentos aláticos, que apresentam um valor para a constante C.
Nos instrumentos analáticos, mais modernos, nos quais C = 0,
tem-se :
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DH = 100H
OBS.: Como a grande maioria dos instrumentos apresenta a relação
f
= 100 , nas deduções seguintes será utilizado sempre este valor.
h
b) Visada Vertical :
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Neste caso têm-se os mesmos valores do anterior (visada
horizontal), com a introdução de um fator novo, que é o ângulo α, de
inclinação da luneta em relação à horizontal, o qual é determinado
com o auxílio do círculo vertical do instrumento.
Os raios visuais aqui incidem obliquamente sobre a mira
atingindo-a nos pontos A, M e B. Traçando-se o segmento A’B’,
perpendicular a OM no ponto m, de tal forma que A’ se situe sobre o
prolongamento de FA e B’ sobre o segmento FB, ficam construídos
os triângulos AA’M e BB’M. Nesses dois triângulos, os ângulos que
têm como vértice o ponto M são iguais a α, pois têm lados
perpendiculares àquele.
Podem-se considerar, sem erro prejudicial, como retos os
ângulos em A’ e B’, visto serem muito pequenas as distâncias MA’ e
MB’ ao pé da perpendicular OM, em relação às distâncias OA’ e
oB’. Assim sendo, tendo os lados MB’ e MA’ como sendo catetos, e
MB e MA como hipotenusas, dos triângulos BB’M e AA’M,
respectivamente, como se vê no detalhe acima.
Nos triângulos AA’M e BB’M, temos :
MA’ = MA x Cos α
MB’ = MB x Cos α
MA’ + MB’ = (MA + MB) Cos α
MA’ + MB’ = A’B’
MA + MB = H
A’B’ = Hx Cos α
Reportando-se à figura (visada inclinada), vê-se que no
triângulo OMR, retângulo em R, tem-se :
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OR = OM x cos α
OM = 100 A’B’ + C (equação da distância horizontal,
com visada horizontal ).
OM = 100H x Cos α + C
OR = (100 H x cos α + C) cos α
OR = DH
DH = 100H cos2 α + C x cos α
Como o ângulo α é geralmente muito pequeno, e portanto o
valor do seu cosseno é quase sempre muito próximo da unidade, sem
erro apreciável pode-se desprezar o fator cos α na 2ª parcela, e então:
DH = 100 H cos 2 α + C
Nos instrumentos analáticos, em que C = 0, ter-se-á :
DH = 100H cos 2 α
• Distância Vertical ou Diferença de Nível:
Aqui as distâncias são obtidas da mesma forma que as horizontais
através de fórmulas, só que estas fórmulas são diferentes para visadas
ascendentes e visadas descendentes, e os valores positivos ou negativos
indicarão o aclive ou declive, existente no terreno. A fórmula utilizada é :
DN = 100 × H ×
sen 2 α
⊕ m − i
2
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Onde :
DN – diferença de nível
H – retículo superior – retículo inferior
α - ângulo de inclinação da luneta
m – retículo médio
i – altura do instrumento
a) Visada Ascendente :
Na figura tem-se :
i = altura do instrumento = RS
m = leitura do retículo médio = MQ
OR = distância horizontal
QS = diferença de nível
QS = RS + RM MQ
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Do triângulo ORM tiramos o valor de RM :
RM = OR x tg α
RM = DH x tg α
RM = (100H x cos 2 α + C x cos α )
sen α
cos α
RM = 100H x sen α x cos α + C x sen α
Como o ângulo α é geralmente muito pequeno, seu valor e
quase sempre muito próximo de zero e sem erro apreciável pode-se
desprezar a segunda parcela C x sen α
sen α× cos α =
RM = 100 H
sen 2α
2
sen α
2
Voltando a equação inicial :
QS = RS + RM - MQ
e substituindo-se cada parcela pelo seu valor :
DN = 100 H
sen 2α
− m+i
2
Ao empregar-se esta equação, o resultado será sempre positivo
quando a visada for ascendente, e quando o ponto onde está a mira
for mais alto que aquele onde está estacionado o instrumento. Caso
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contrário (visada ascendente e ponto seguinte mais baixo), ter-se-á
um resultado negativo para a diferença de nível.
b) Visada Descendente
Na figura , tem-se :
I = altura do instrumento = RS
M = leitura do retículo médio = MQ
OR = distância horizontal
QS = diferença de nível
QS = QM + MR – RS
MR = 100H
DN = 100 H
sen 2α
+ m − i (veja a dedução anterior)
2
sen 2α
+ m−i
2
Do emprego desta equação resultará um valor positivo para a
diferença de nível sempre que visada for descendente e o ponto onde
está a mira for mais baixo que aquele onde está estacionado o
instrumento. Em caso contrário (ponto seguinte mais alto que o de
estação), ter-se-á um resultado negativo. Em resumo teremos :
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Em resumo :
VISADA ASCENDENTE
DN = 100 H
VISADA DESCENDENTE
( +) = aclive
sen 2α
− m + i
2
( −) = declive
OBSERVAÇÃO GERAL:
DN = 100 H
(+) = declive
sen 2α
+ m − i
2
(−) = aclive
Para visadas horizontais (α= 0º ) o
valor de:
100H
sen 2α
=0
2
Para o cálculo da Diferença de Nível, é
indiferente aplicar qualquer uma das
fórmulas (ascendentes ou descendentes), e
as suas respectivas convenções (sinais
positivo e negativo) para se determinar se o
terreno sobe ou desce.
5.3) MEDIDA DE ÂNGULOS :
Em topografia, os ângulos estão contidos em dois planos: Um
horizontal ou azimutal e outro vertical ou zenital. Os aparelhos usados são
os Teodolitos.
Através do teodolito pode-se determinar: rumos, azimutes, deflexões
e declinações, ou seja, todos os ângulos necessários para os cálculos e
desenhos utilizados em uma planta topográfica .
Os ângulos formados pelos alinhamentos de uma determinada área a
ser trabalhada, são medidos:
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Ø a partir de uma estação
Ø ou com mudança do aparelho, estacionando-o em mais de
uma estação.
Se as visadas forem feitas a partir de uma estação, os ângulos serão
referenciados por azimutes; entretanto se houver mudança de estação, ao
invés de se ajustar a zero e orientar o aparelho em cada estação, será
conveniente trabalhar-se com os chamados ângulos de deflexão, os quais
permitem o cálculo dos azimutes. Assim, os alinhamentos terão seus
azimutes obtidos indiretamente, evitando-se o erro cometido na orientação
magnética.
• Azimutes lidos e calculados :
São chamados azimutes “lidos” os ângulos lidos no teodolito a partir
do meridiano de referência.
Os azimutes “calculados” são aqueles obtidos indiretamente, pelas
deflexões. Relaciona-se o azimute do alinhamento anterior com o ângulo de
deflexão do novo alinhamento e assim sucessivamente.
No primeiro ponto de estação do aparelho, como este foi ajustado a
zero e orientado, obtém-se diretamente os azimutes na bússola do teodolito.
Quando há necessidade de mudança do aparelho, como no caso de
poligonais por caminhamento, os demais pontos após o primeiro vértice
terão seus azimutes calculados pelas deflexões que serão somadas ou
subtraídas do azimute do alinhamento anterior, conforme o sentido da
deflexão.
O cálculo dos azimutes é feito pelas seguintes relações:
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Azimute do novo alinhamento = Azimute do alinhamento anterior +
deflexão a direita
Azimute do novo alinhamento = Azimute do alinhamento anterior deflexão a esquerda
Exemplo:
Onde :
Az = azimute
DD = Deflexão a Direita
DE = Deflexão a Esquerda
Alinhamen Distância Esquerd
to
Direita
a
Azimute
Azimute-
Lido
Calculado
MP - 1
193,81
-
-
305º16'
-
1 -2
210,94
-
80º03'
-
25º19'
2 -3
111,89
27º29'
-
-
357º50'
3 -4
76,62
-
68º00'
-
65º50'
4 -5
17,58
16º51'
-
-
48º59'
5 -6
22,82
-
34º24'
-
83º23'
6 -7
65,67
-
88º32'
-
171º55'
7 -8
114,54
-
4º21'
-
176º16'
27
8 -9
133,46
-
3º39'
-
179º55'
9 - 10
97,71
-
0º27'
-
180º22'
10 - MP
69,87
-
45º11'
-
225º33'
MP - 1
-
-
79º48'
-
305º21'
•Rumos e azimutes verdadeiros e magnéticos:
Pode-se ter duas referências para a medição de um ângulo de
orientação (Azimute ou Rumo): Os meridianos magnético e verdadeiro.
Quando a referência tomada é o meridiano verdadeiro, os rumos e
azimutes serão verdadeiros e quando referenciados ao meridiano
magnéticos, serão rumos e azimutes magnéticos .
Para a conversão de um caso em outro, basta que se conheça a
declinação magnética.
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• Conversão de rumos em azimutes e vice-versa:
Sempre será útil, quer para os trabalhos de campo como para
cálculos e desenho, a conversão do valor de um rumo em seu
correspondente azimute ou vice-versa.
• Atualização de rumos :
Atualizar um rumo é reproduzir na época atual a demarcação de um
alinhamento já demarcado, em época anterior, mas cujos vestígios se
perderam ou se tornaram confusos.
Os alinhamentos levantados no campo e posteriormente desenhados
na planta são caracterizados ou medidos em relação ao norte magnético, já
que a bússola assim indica. Como o NM varia e consequentemente a
declinação também, de acordo com o lugar e tempo, evidentemente um
rumo magnético obtido para um
alinhamento em determinada época,
diferirá do rumo magnético do mesmo alinhamento medido em outra
ocasião.
Sendo o alinhamento imutável, o que irá variar será o rumo ou o
azimute magnético.
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Frequentemente surgem problemas de verificação, retificação ou
demarcação de uma propriedade, cuja planta foi confeccionada anos atrás e
os alinhamentos têm seus marcos perdidos ou se têm dúvidas.
Três são os casos que podem surgir, na prática, para atualização, a
saber:
a) A planta ou o memorial descritivo apresenta os rumos
verdadeiros dos alinhamentos :
Como os rumos são imutáveis, para aviventar basta que se
determine no local a
direção
do meridiano verdadeiro e em
função deste, assinalar os pontos indicados pelos ângulos registrados
no título de propriedade.
Outra solução é , conhecendo-se ou determinando-se o valor da
declinação do local na ocasião da atualização, locar os pontos em
função dos rumos magnéticos atuais, convertendo os rumos
verdadeiros em magnéticos. Não há necessidade de se determinar o
valor da variação da declinação. Por exemplo, o rumo verdadeiro de
um alinhamento levantado em 1940 era 30º20′ NE. Sabendo-se que a
declinação local na época atual é 13º15′ W, o rumo magnético atual
será : 30º20′ + 13º15′ = 43º35′ NE.
b) A planta ou o memorial apresenta os rumos magnéticos dos
alinhamentos e também o valor da declinação local na época
do levantamento:
Para se determinar o rumo magnético atual será necessário
conhecer o valor da declinação atual. Por diferença entre os dois
dados de declinação magnética, tem-se a variação da mesma durante
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o espaço de tempo decorrido entre o levantamento e a atualização.
Exemplo : o rumo magnético de um alinhamento levantado em 1960
era 62º10′SE, quando a declinação magnética local era 12º25′E e
atualmente, ao determiná-la, é de 14º11′E.
A variação foi de 14º11′E - 12º25′E = 1º46′, crescendo no sentido
este.
E o rumo magnético atual será 62º10′ + 1º46′ = 63º56′SE.
Como não se conhece a declinação da época do levantamento,
a solução é recorrer-se à variação média anual da declinação. Esta
pode ser obtida por uma carta isogônica-isopórica ou, se possível,
obtendo-se dados do local que permitam calcular essa variação; esses
dados referem-se a plantas de levantamentos realizados na região e
que forneçam os valores da declinação em épocas diferentes,
obtendo-se por interpolação, a variação média anual. Exemplo: o
rumo magnético de um alinhamento levantado em 1950 era
18º40′SW. Informações locais indicam que a declinação magnética
local em 1945 era 10º30′W e em 1952 era 11º26′W.
A variação média anual será a diferença~entre os dois valores
conhecidos da declinação dividido pelo espaço de tempo decorrido,
ou seja :
1952
1945 = 7 anos
11º26′
10º30′ = 10º86′ - 10º30′ = 0º56′
variação média = 56′/7 = 8′W por ano
O tempo entre a época do levantamento (1950) e a época da
aviventação (1973) é igual a 23 anos, donde a variação total havida
foi de :
23 x 8 = 184 = 3º04′W
31
O rumo magnético atual será: 18º40′ + 2º41′ = 20º81′
Outra maneira, como já foi dito seria basear-se na variação
anual dada pelas isopóricas e outra solução ainda, seria calcular o
valor da declinação da época do levantamento com informações
como no exemplo dado e determinar o valor atual da declinação; pela
diferença obtém-se o valor da variação da declinação no local.
• Posição da luneta para a medição de deflexões
A nível de cálculo é importante saber como valor da deflexão foi
obtido em campo, pode ter sido:
a) Com a luneta na posição normal:
Ao invés de se ajustar a zero o círculo horizontal, coloca-se 180º
coincidindo com o 0º do Vernier; mantém-se o círculo preso e dirigese a luneta para o ponto de ré; automaticamente, o prolongamento do
alinhamento marcará 0º00′ bastando então soltar o círculo e efetuar a
visada de vante.
32
b) Com inversão da luneta:
Ajustar a zero o círculo horizontal e inverter a posição da luneta;
dirigir nessa posição e com o círculo preso, a luneta para o ponto de
ré; ao fazê-la voltar ao normal, ficará apontando para o
prolongamento do alinhamento e marcando 0º00′; soltar o círculo e
visar vante.
ERROS :
• Nas Medições Diretas :
Aqui as medições são feitas duplamente (ida e volta), mas qualquer
discrepância encontrada entre medições feitas sob condições similares, não
revela nenhum erro sistemático. As medições duplas servem para detectar
enganos, frequentemente cometidos. Em condições médias, para a medição
direta, um trabalho razoável é representado pela relação 1/2000 ou 1/1000
para levantamentos expeditos.
33
As principais fontes de erro nas medições diretas são as seguintes:
a) comprimento incorreto do diastímetro:
O comprimento de uma trena de aço varia com as condições de
temperatura, tração e flexão; portanto um diastímetro é dito de
comprimento correto somente sob determinadas condições. Isto
produz um erro sistemático que pode ser praticamente anulado,
aplicando-se correções.
b) Diastímetro não na horizontal :
Frequentemente, um declive engana o operador e a tendência é
segurar a corrente, na parte mais baixa do declive, em posição mais
baixa. Em trabalhos comuns, esta é uma das maiores fontes de erros.
Será um erro acumulativo, para mais.
c) Alinhamento incorreto :
O operador cravando as fichas ora de um lado, ora de outro do
alinhamento correto, causam erros provenientes da má orientação do
auxiliar de ré. Isto produz um erro sistemático variável, que poderá
ser reduzido pelo cuidado nas operações. Resultam valores maiores e
portanto são erros positivos.
d) Inclinação das balizas :
Se, por falta de cuidado, o auxiliar inclina a baliza, ao invés de
mantê-la na vertical, o diastímetro estará medindo um valor maior ou
menor, conforme a inclinação da baliza.
34
e) Catenária :
É um erro que ocorre sempre que o diastímetro for suportado
pelas extremidades; devido ao peso próprio da corrente, faz que surja
uma curvatura ao invés de se medir em reta, ficando a distância
horizontal entre os pontos menor do que usando a corrente estivesse
inteiramente suportada ou colocada sobre o solo. A flecha formada
ou catenária pode ser diminuída, aplicando-se tensões mais fortes.
• Nas Medições Indiretas
Enquanto na medição direta de distâncias, a maioria dos erros é
sistemática, e por isto a precisão de tais levantamentos varia diretamente
com a distância, nas medições indiretas, por estadimetria, a precisão
dependerá dos erros cometidos nas leituras dos ângulos horizontais e
verticais e nas leituras dos retículos. Como os erros provenientes da leitura
de ângulos são acidentais, o erro principal cometido é na observação dos
retículos interceptando a mira, que também é um erro acidental, supondo a
mira mantida na posição vertical. Assim, é de se esperar que os erros
variem com a raiz quadrada da distância, o que é uma das mais importantes
vantagens que a estadimetria apresenta sobre a medição direta.
• Nos Ângulos de fechamento
a) Determinação :
O erro pode ser determinado, logo no final do levantamento no
campo, por duas maneiras:
• por diferença entre azimutes:
35
Tomando-se por base o azimute inicial MP-1 (de saída),
que foi lido no círculo horizontal e comparando com o azimute
final MP-1 ( de chegada) que foi calculado em função das
sucessivas deflexões e azimutes dos alinhamentos anteriores,
tem-se por diferença, o erro angular de fechamento. Pelos
dados da planilha, observa-se que o valor de MP-1 (de saída) é
305º16’ e no final obteve-se por cálculo o valor de 305º21’
para o mesmo alinhamento MP-1. Donde, o erro angular de
fechamento será:
e.a.f = 305º21’ – 305º16’ = 0º05’ por excesso, o qual deverá
ser anulado pela compensação .
OBS.: É bom lembrar que o primeiro azimute é lido, e os
outros serão calculados, como já vimos antes no tópico :
Azimutes lidos e calculados.
• pelas deflexões :
Como a poligonal é fechada, evidentemente, deveria
“fechar” com 0º ou 360º. E como tem-se deflexões á direita e á
esquerda, a diferença entre os somatórios das duas colunas de
deflexões deveria teoricamente ser igual a 0º ou 360º. A
diferença para mais ou para menos de 360º, será o erro angular
de fechamento, que logicamente será igual ao valor encontrado
pelas diferenças de azimutes do alinhamento MP - 1. Assim, o
erro angular será :
Σdeflexão direita =
404º25’
36
Σdeflexão esquerda =
44º20’
360º05’ – 360º = 0º05’ (erro angular de
fechamento)
b) Limite do erro - tolerável:
O erro angular de fechamento encontrado ao final do
levantamento será comparado com o erro máximo permissível, que
será função do número de estações ou vértice do polígono. Os
diversos autores não são unânimes quanto ao valor deste limite, que é
baseado na lei da propagação dos erros; entretanto, a maioria deles
recomenda que o limite de tolerância
N ou até o dobro desse valor,
sendo N o número de estações do aparelho usadas no levantamento e
o erro será expresso em minutos. Assim, poder-se-ia dizer que o
valor do erro angular estando dentro desses limites indicariam:
N = índice de um bom trabalho
2* N = índice de um trabalho aceitável
Acima desses limites os trabalhos não devem ser aceitos.
Na planilha utilizada como exemplo, o erro angular de
fechamento sendo de 0º05’ e N = 12 estações, o limite máximo seria
2 * 12 = 2 x 3,5 = 7, portanto se enquadrando o erro angular de
fechamento dentro do máximo permissível.
O erro angular de fechamento, dependendo do cuidado do operador é
relativamente fácil de se encaixar dentro dos limites preconizados,
pois os instrumentos vêm sendo sucessivamente aperfeiçoados na
37
parte ótica, aumentando a precisão e a aproximação dos mesmos.
Entretanto, a bibliografia mostra que o erro angular de fechamento
não dá total segurança quanto ao julgamento de um levantamento. O
valor encontrado é simplesmente um resíduo dos erros acidentais,
pois podem ocorrer as compensações naturais durante o trabalho;
assim errando-se um ângulo num sentido, esse erro poderá ser total
ou parcialmente anulado pelo erro seguinte cometido em direção
oposta. Na verdade, houve um erro duplo, mas nos cálculos
desaparecerá pela compensação natural. Embora não seja um índice
rígido quanto á qualidade de um trabalho, é uma das maneiras com
que se depara para tal julgamento e portanto terá que ser levado em
conta. O que se pode afirmar é que, estando o erro angular dentro dos
limites preconizados, provavelmente o trabalho foi bem executado,
mas não garantidamente. Já ao contrário, estando o erro angular de
fechamento acima dos limites, garantidamente foi um mau trabalho,
pois além das compensações naturais houve um excesso de resíduo
dos erros acidentais.
c) compensação do erro angular de fechamento:
O erro angular estando dentro do limite de tolerância deverá
ser anulado, para que a planta “feche” nos ângulos. E isto é feito pela
compensação, que será positiva quando erro é por falta e negativa
quando por excesso. Teoricamente, o ideal seria distribuir
equitativamente o erro por todos os vértices, pois provavelmente
errou-se em todas as visadas. Mas na prática isto seria supérfluo e
desnecessário pois ter-se-ia que trabalhar com segundos, o que não é
feito em trabalhos de rotina, no campo. Como o valor do erro aparece
no final (MP – 1 de chegada), isto não significa que o erro foi
38
cometido nesse alinhamento final, mas sim que veio se acumulando
desde o início e refletindo no final. Sendo os azimutes calculados em
função das deflexões, o erro cometido num alinhamento irá se
propagar por todos os alinhamentos subsequentes. Assim sendo, o
erro que aparece no final é resultado do erro cometido nesse
alinhamento mais os erros dos alinhamentos anteriores que foram se
acumulando. Consequentemente, será mais racional que a anulação
do erro seja feita na planilha de baixo par cima, decrescendo, isto é,
no último alinhamento adiciona-se ou retira-se o tatal do erro, no
penúltimo o total menos um minuto e assim por diante, como se
observa na continuação da planilha tomada como exemplo:
Alinhamen
Azim.
(-
Azim. Calc.
to
Calculado
)
Comp
MP – 1
305º16’
-
305º16’
1 –2
25º19’
-
25º19’
2 –3
357º50’
-
357º50’
3–4
65º50’
-
65º50’
4–5
48º59’
-
48º59’
5–6
83º23’
-
83º23’
6–7
171º55’
-
171º55’
7–8
176º16’
1
176º15’
8–9
179º55’
2
179º53’
9 –10
180º22’
3
180º19’
10 –MP
225º33’
4
225º29’
MP - 1
305º21’
5
305º16’
39
Outra maneira de se compensar o erro seria semelhante à
anterior, mas abragendo um maior número de alinhamentos, sem
alterar o valor de MP – 1 inicial, como mostra o exemplo a seguir.
Pode-se usar uma maneira ou outra, indiferentemente.
Alinhamen
Azim.
(-
Azim. Calc.
to
Calculado
)
Comp
MP – 1
305º16’
-
305º16’
1 –2
25º19’
1
25º18’
2 –3
357º50’
1
357º49’
3–4
65º50’
2
65º48’
4–5
48º59’
2
48º57’
5–6
83º23’
3
83º20’
6–7
171º55’
3
171º52’
7–8
176º16’
4
176º12’
8–9
179º55’
4
179º51’
9 –10
180º22’
5
180º17’
10 –MP
225º33’
5
225º28’
MP - 1
305º21’
5
305º16’
A coluna de azimutes calculados compensados será preenchida
pelos valores corrigidos dos azimutes, quando então o polígono se
“fechará”, pela eliminação do erro angular de fechamento.
40
• Erro linear de fechamento :
Para a determinação do erro linear, necessário será a transformação
dos dados em coordenadas, trabalhando-se com um sistema de eixo
ortogonais. São as chamadas coordenadas retangulares ou cartezianas. E as
mesmas serão úteis também par o desenho da planta topográfica, bem
como para o cálculo analítico da área da poligonal de base.
Os eixos coordenados são constituídos de um meridiano de
referência que pode ser verdadeiro, magnético ou assumido, chamado de
eixo das ordenadas ou eixos dos “Y”, dando a direção N-S é um paralelo
de referência, situado perpendicularmente ao meridiano, dando a direção
E-W e chamado de eixo das abscissas ou eixo dos “X”.
Ordenada de um ponto é a distância desse ponto ao paralelo de
referência, medida portanto no sentido N-S no eixo dos “Y”, podendo ser
positiva quando na direção norte ou negativa na direção sul.
Abscissa de um ponto é a distância desse ponto ao meridiano de
referência medida no sentido E-W, no eixo dos “X”, podendo ser positiva
quando na direção este ou negativa na direção oeste.
Em outras palavras, ordenada ou latitude de um ponto é a projeção
do ponto no eixo dos “Y” e será positiva (N) ou negativa (S); abscissa ou
longitude será a projeção do ponto no eixo dos “X”, podendo ser E (+) ou
W ( -).
a) Coordenadas parciais ou relativas :
41
Convertendo-se os azimutes calculados compensados em
rumos e tendo-se o seno e o cosseno do rumo de cada alinhamento, o
produto desses valores pela respectiva distância dará a projeção (
longitude ou latitude) de cada alinhamento.
No triângulo formado, tem-se que :
Sen rumo = cateto oposto / hipotenusa = longitude / distância,
donde,
Longitude parcial = distância x sen rumo
Cos rumo = cateto adjacente / hipotenusa = latitude / distância
, donde,
Latitude parcial = distância x cos rumo
42
Essas projeções são chamadas coordenadas parciais, porque
são contadas à partir da origem do próprio alinhamento; equivale a
transportar a origem do sistema de eixos para cada vértice do
polígono. Como as longitudes poderão ser E (+) ou W (-) e as
latitudes N (+) ou S (-), ao se multiplicar a distância do alinhamento
pelo seno do rumo, tem-se a longitude parcial, cujo valor será
anotado ou na coluna E ou na coluna W, de acordo com o quadrante
do rumo; igualmente, o produto da distância pelo cosseno do rumo
dará a latitude parcial, a ser lançada na coluna N ou na S,
dependendo também do quadrante do rumo.
Dando continuidade ao exemplo, a planilha será acrescida agora das
colunas necessárias para o cálculo das coordenadas parciais, incluídos os
espaços reservados à compensação do erro linear.
Exemplo:
Alinh. Distância
MP - 1
Azim. Rumos Seno cos E ( +) W ( - ) N (+ ) S ( - )
Comp.
193,81 305º16' 54º44'NW 0,8165 0,5774
158,25 111,91
1-2
210,94 25º18'
2-3
111,89 357º49'
3-4
76,62 65º48'
4-5
17,58 48º57'
5-6
22,82 83º20'
6-7
65,67 171º52'
7-8
114,54 176º12'
8-9
133,46 179º51'
9 - 10
97,71 160º17'
10 69,87 225º28'
MP
Perímetro = 1.114,91 m
25º18' NE
2º11'NW
65º48' NE
48º57' NE
83º20' NE
8º08' SE
3º48' SE
0º09' SE
0º17'SW
45º28'SW
0,4274
0,0381
0,9121
0,7541
0,9932
0,1415
0,0663
0,0026
0,0049
0,7128
0,9041
0,9993
0,4099
0,6567
0,1161
0,9899
0,9978
1,0000
1,0000
0,7013
90,16
69,89
13,26
22,66
9,29
7,59
0,35
190,71
4,26 111,81
31,41
11,54
2,65
0,48
49,8
65,01
114,29
133,46
97,71
49
213,20 212,79 460,03 459,47
43
b) Determinação do erro linear de fechamento :
Uma vez determinado e distribuído o erro angular de
fechamento, considera-se a poligonal “fechada” em termos
angulares. Resta determinar o valor do erro linear de fechamento,
compará-lo com seu respectivo limite de tolerância e caso seja
inferior a este, efetua-se a compensação do erro linear.
Como a soma algébrica das projeções dos lados de um
polígono sobre um sistema de eixos ortogonais deve ser nula, é óbvio
que a soma das longitudes parciais este (E) deverá ser igual a soma
das longitudes parciais oeste (W), o mesmo ocorrendo para as
latitudes, onde deverão ser iguais as somas norte (N) e sul (S). Se
não houvesse erro linear, como iniciou-se o caminhamento em um
ponto e retornou-se a ele, o trajeto percorrido ou as projeções, têm o
mesmo valor, mas em sentido contrário, ficando o comprimento de
uma direção anulado pelo comprimento da outra. Entretanto, devido
aos erros nas medições de campo, isto não acontece; havendo erro de
fechamento, este será refletido pelas diferenças entre as direções E e
W para as longitudes e entre N e S para as latitudes. O erro linear é
proveniente das imprecisões de leituras da mira e também pelos erros
nas leituras dos ângulos; embora o erro angular já tenha sido anulado
pela compensação, as distâncias ficarão afetadas, pois o erro de
campo ainda persiste e provoca distorção nos alinhamentos.
44
Então, confrontando-se a soma das colunas das coordenadas parciais,
tem-se :
Σ E - Σ W = ∆X = erro de longitude
Σ N - Σ S = ∆Y = erro de latitude
Estes dois erros é que compões o erro linear existente.
No exemplo, a planilha apresenta os seguintes totais para as
colunas de coordenadas parciais:
ΣE =
213,20
Σ N =460,03
ΣW =
212,79
ΣS
=459,47
0,41
∆Y
= 0,56
∆X
=
E o erro linear será :
E = 0,41 2 + 0,56 2 = 0,17 + 0,31 = 0,48 = 0,69m
Entretanto, o valor encontrado para o erro linear (E) por si só
pouco representa; necessário será compará-lo com outra grandeza,
estabelecendo termos de proporcionalidade e esta grandeza é o
perímetro (P) do polígono levantado. Então :
e=
E
P
Onde e = erro linear de fechamento.
45
Costuma-se expressar o valor de e em termos de % , donde :
e=
E
×1000
P
que na planilha será :
e=
0,69 ×1000
= 0,62%
1.114,91
c) Limite de tolerância do erro linear de fechamento :
Da mesma forma que ocorre para o erro angular, existe o erro
máximo permissível para as distâncias, com as mesmas discrepância
entre os diversos autores. Na prática, pode-se estabelecer os limites
para o erro linear de fechamento como sendo:
1/1.000 = índice de um bom trabalho e,
2/1.000 = índice de um trabalho aceitável.
Assim, para cada 1.000m de perímetro, tolera-se um erro de 1
a 2 metros.
As mesmas restrições que foram feitas para o erro
angular quanto ao julgamento de um trabalho, são válidas para o erro
linear de fechamento, já que ao determiná-lo apenas aparece o
resíduo dos erros acidentais, excluídas portanto as compensações
naturais que podem ter ocorrido no campo.
Assim, um trabalho cujo erro linear de fechamento esteve abaixo dos
limites preconizados, indica que provavelmente o levantamento foi
bem feito, mas não garantidamente. Por outro lado, toda vez que
ultrapassar os referidos limites, garantidamente não foi um bom
trabalho de campo.
46
d) Compensação do erro linear de fechamento :
Estando o erro linear dentro do limite pré-estabelecido, efetuase
a
compensação,
distribuindo-o
proporcionalmente
pelos
comprimentos dos lados do polígonos. Duas são as maneiras de se
compensar :
• proporcional às coordenadas :
Se na direção E-W foi encontrado um erro longitude
∆X, e na direção N-S um erro de latitude ∆Y, a distribuição
será feita proporcionalmente em cada direção. Como o erro
∆X foi encontrado no percurso Leste-oeste, esse erro
corresponderá ao total das colunas E e W; o mesmo ocorre
para o erro ∆Y em relação à soma N e S. Então, para cada
coordenada faz-se a distribuição proporcionalmente ao
comprimento da mesma. Como a soma das colunas E e W
deveriam ser iguais, o mesmo acontecendo para as colunas,
duas a duas. Isto equivale a repartir o erro de longitude (∆X)
entre E e W e o erro de latitude (∆Y) entre N e S, somando-se
metade do erro à coluna de menor soma e subtraindo-se a outra
metade da coluna de maior soma. Para cada coordenada
haveria uma correção (c) a ser adicionada ou subtraída e
proporcional ao seu comprimento.
Para as longitudes :
Para as latitudes :
Σ E + Σ W → ∆X
Σ N - Σ S → ∆Y
Longitude → c
Latitude → c
47
Tomando-se o alinhamento MP-1 da planilha, como
exemplo, a compensação a ser efetuada seria:
Para Longitude :
Σ E + Σ W = 213,20 + 212,79 = 425,99 m
425,99
∆X = 0,41
158,25
c
c = 0,15 m = 15 cm
longitude corrigida = 158,25 + 0,15 = 158,40 m
Para Latitude :
Σ N + Σ S = 460,03 + 459,47 = 919,50 m
919,50
∆Y = 0,56
111,91
c’
c’ = 0,07 m = 7 cm
latitude corrigida = 111,91 – 0,07 = 111,84 cm
E assim seriam feitas as correções para todos os
alinhamentos.
Na prática a compensação é facilitada, organizando-se
tabelas de correções para as longitudes e para as latitudes,
48
fazendo-se
aproximações
dos
centímetros
a
serem
compensados, bem como dos comprimentos das coordenadas.
Como a soma das compensações efetuadas nas longitudes (E e
W) deverá ser igual ao erro de longitude (∆X), pode ocorrer
que devido à essas aproximações não se obtenha exatamente o
valor do erro a ser distribuído; poderá haver uma pequena
diferença e então faz-se um ajuste, eliminando-se essa
diferença por falta ou por excesso, no alinhamento de
coordenada de maior comprimento. O mesmo se faz para as
latitudes. No presente exemplo, as tabelas de correções seriam:
Para Longitude :
Σ E + Σ W = 426,00 m
em 426,00
para cada 10 m
41 cm de erro
c
c = 0,96 cm
10
- 0,96
m
cm
20
- 1,92
m
cm
30
- 2,88
m
cm
40
- 3,84
m
cm
50
- 4,80
m
cm
= 1 cm
60 m -
5,76
= 6 cm
cm
= 2 cm
70 m -
6,72
= 7 cm
cm
= 3 cm
80 m -
7,68
= 8 cm
cm
= 4 cm
90 m -
8,64
= 9 cm
cm
= 5 cm
100m -
9,60
cm
= 10cm
49
Ainda tomando o alinhamento MP-1 como exemplo, de
longitude = 158,25 = 160,00 m, a compensação seria feita
adicionando-se 16 cm, por ser oeste (de menor soma),
resultantes de 10 cm correspondentes a 100 m e 6 cm a 60m,
de acordo com a tabela. A longitude parcial compensada seria :
155,25 + 158,41 m.
Para Latitude :
Σ N + Σ S = 919,50 = 920,00 m
em 920 m
56 cm de erro
para cada 10 m
c’
c’ = 0,60 cm
10
- 0,60
m
cm
20
- 1,20
m
cm
30
- 1,80
m
cm
40
- 2,40
m
cm
50
- 3,00
m
cm
= 1 cm
60 m -
3,60
= 4 cm
cm
= 1 cm
70 m -
4,20
= 4 cm
cm
= 2 cm
80 m -
4,80
= 5 cm
cm
= 2 cm
90 m -
5,40
= 5 cm
cm
= 3 cm
100m -
6,00
cm
= 6 cm
50
Para o alinhamento MP-1, a latitude será = 110,00m,
correspondendo a tomar 6 cm para 100m e 1 cm para 10m,
totalizando 11 cm de compensação, negativa, já que a latitude
é norte, a coluna de maior soma. A latitude parcial
compensada seria: 111,91 – 0,07 = 111,84 m.
Eliminando-se dessa forma o erro linear, distribuído
pelos alinhamentos, a planilha prossegue pela adição de mais
quatro colunas, compostas dos valores corrigidos das
longitudes e das latitudes. São as coordenadas parciais
compensadas, as quais quando efetuadas as somas terão que
apresentar totais iguais para as colunas E e W, o mesmo
ocorrendo em relação às colunas N e S.
A esta altura, com os dados corrigidos, a poligonal se
“fechará” totalmente e a planilha ficará:
Exemplo (continuação):
Longitudes
Latitudes Parciais
Long.Compen Lat.
Parciais
sada
Compensada
Alinh. Distância E (+) (-) W (-) (+) N (+) (-) S (-) (+) E (+) W (-) N (+ ) S (-)
MP - 1 193,81
158,25 16 111,91 7
158,41 111,84
1_2
210,94 90,16 9
190,71 12
90,07
190,59
2_3
111,89
4,26
111,81 7
4,26 111,74
3_4
76,62 69,89 7
31,41 2
69,82
31,39
4_5
17,58 13,26 1
11,54
13,25
11,54
5_6
22,82 22,66 2
2,65
22,64
2,65
6_7
65,67 9,29 1
65,01 4
9,28
65,06
7_8
114,54 7,59
114,29 7
7,59
114,36
8_9
133,46 0,35
133,46 8
0,35
133,54
9_10
97,71
0,48
97,71 6
0,48
97,77
10_M
69,87
49,80 5
49,00 3
49,85
49,03
P
P = 1.114,91 m 213,20 20 212,79 21 460,03 28 459,47 28 213,00 213,00 459,75 459,75
51
⇒ proporcional às distâncias: ao
invés
de
se
compensar
proporcionalmente às coordenadas, pode-se efetuar a compensação
proporcional às distâncias relacionando os valores de ∆X e de ∆Y com o
perímetro (P) do polígono. A correção (c) para cada distância (D) será :
• Para Longitude:
em P houve um erro ∆X, para cada distância D haverá uma
correção c :
∆x c
=
p D
c=
∆x
×D
p
Reportando-se ao alinhamento MP-1 como exemplo, cuja
distância é 193,81 m ≈194,00 e sendo o perímetro P =
1.114,91 ≈ 1.115,00 m, a correção a ser feita seria:
c=
41cm
×194 m ≈ 7 cm = 0,07 m
1.115m
A longitude parcial compensada seria = 158,25 + 0,07 =
158,32 m
52
• Para Latitude:
P
∆Y
D
c’
c' =
∆y
×D
p
c' =
56cm
× 194m ≈ 10m
1.115m
A latitude parcial compensada seria = 111,91 – 0,10 = 111,81
m.
e) Rumo e distância de um alinhamento omitido :
Quando, por qualquer razão, um dos alinhamentos não
apresenta seu rumo nem sua distância nas anotações, não haveria
possibilidade de se determinar suas coordenadas parciais.
No caso, as coordenadas parciais serão obtidas de uma forma
indireta, baseada nas relações entre as longitudes (E e W) e entre as
latitudes (N e S).
Admitindo-se que não houvesse erro linear num levantamento,
evidentemente a soma da coluna este (E) deveria ser igual à soma da
coluna oeste (W), para as longitudes parciais e também deveriam ser
iguais as colunas norte (N) e sul (S) para as latitudes parciais.
ΣE= ΣW
ΣN= ΣS
53
Quando não se têm as coordenadas parciais de um
alinhamento, logicamente essas somas não se equivaleriam, já que
faltam as respectivas longitudes e latitude.
A diferença encontrada ao se somar E e W, será o valor da
longitude parcial do alinhamento omitido; e a diferença entre as
somas N e S será igual à sua latitude parcial.
Σ E - Σ W = ∆X = longitude parcial
Σ N - Σ S = ∆Y = latitude parcial
Como as somas terão que ser iguais, os valores encontrados
para ∆X e para ∆Y deverão ser colocados na coluna de longitude que
apresente menor soma e na coluna de latitude de menor soma.
Uma vez conhecidas as coordenadas parciais do elemento
omitido, podem ser calculados seu rumo e sua distância.
54
No triângulo retângulo formado, são conhecidos os catetos
(longitude e latitude), donde
tgrumo =
longitude parcial
latitude parcial
E o valor do rumo será dado pelo arco cuja tangente foi obtida
acima.
O quadrante do rumo será função do sentido das coordenadas
parciais do alinhamento omitido; se o valor ∆X será colocado na
coluna W e o valor ∆Y na coluna S ( colunas de menores somas),
evidentemente o alinhamento situar-se-á no quadrante SW.
Para o cálculo da distância, observando-se o mesmo triângulo,
tem-se que:
(distância)2 = (longitude)2 + (latitude)2 ,
donde :
D = longitude 2 + latitude 2
Exemplo 2:
Alinh.
E
W
N
MP – 1 50,00
10,00
1 – 2 20,00
20,00
2–3
?
?
?
3 – MP
80,00 30,00
S
Σ E - Σ W = 10,00
Σ N - Σ S = 60,00
?
70,00 80,00 60,00 0,00
Long.parcial 2-3 =
10,00 E
Latit. Parcial 2-3 =
60,00 S
55
tgR =
10,00
= 0,1666
60,00
Arc tg 0,1666 = 9º26’
R = 9º26’ SE
D = 10 2 + 60 2 = 3700
D = 61,00 m
Aplicação prática: quando se quer obter a distância e o rumo de um
alinhamento formado por dois pontos não inter-visíveis, inicia-se o
levantamento a partir do ponto inicial, fazendo-se uma poligonal até que se
aproxime do ponto final. Forma-se uma poligonal aberta, que será
“fechada” por cálculo do alinhamento omitido.
56
f) Coordenadas totais ou absolutas
Quando mantém-se o sistema de eixos fixo, fazendo-se a
origem coincidir com um ponto do polígono, os demais vértices terão
suas coordenadas contadas a partir desse ponto de origem. São as
coordenadas totais ou absolutas. Estas são obtidas pela soma
algébrica das coordenadas parciais, já que convencionou-se que as
longitudes parciais serão positivas quando este e negativas quando
oeste e as latitudes serão positivas quando norte e negativas quando
sul.
As coordenadas totais facilitam o desenho da poligonal e
permitem também o cálculo analítico da área do polígono, sem que
haja necessidade de se desenhar a planta.
As coordenadas dizem respeito aos pontos (aqueles situados à
direita na coluna de alinhamentos), isto é aos pontos finais ou
57
extremos dos alinhamentos. Assim sendo, as coordenadas totais do
primeiro vértice situado após a origem do sistema de eixos serão
sempre iguais às suas próprias coordenadas parciais; os demais
vértices terão suas totais calculadas pela soma algébrica das parciais,
até retorna-se ao ponto de origem, que deverá Ter valores zero tanto
para longitude como para a latitude total, pois foi onde situou-se o
sistema de eixos. A verificação, por cálculo, desses valores zero para
o ponto inicial deve ser feita como garantia da exatidão dos cálculos.
A totalização é mostrada abaixo, completando-se a planilha,
com as colunas de longitudes e latitudes totais, tomando-se como
origem o vértice MP.
Long.Compensada Lat. Compensada Longitude
Alinh. E (+)
W (-)
N (+ )
S (-)
Total
MP - 1
158,41 111,84
-158,41
1_2
90,07
190,59
-68,34
2_3
4,26 111,74
-72,6
3_4
69,82
31,39
-2,78
4_5
13,25
11,54
10,47
5_6
22,64
2,65
33,11
6_7
9,28
65,06
42,39
7_8
7,59
114,36
49,98
8_9
0,35
133,54
50,33
9_10
0,48
97,77
49,85
10_MP
49,85
49,03
0,00
213,00 213,00 459,75 459,75
Latitude
Total
111,84
302,43
414,17
445,56
457,10
459,75
394,70
280,34
146,80
49,03
0,00
g) Totalização em torno de um ponto qualquer:
Como as totais são obtidas pela soma algébrica das parciais,
pode-se situar o sistema de eixos passando em qualquer dos vértices
do plígono e não necessariamente sobre o ponto MP. As longitudes e
latitudes parciais conservam seus valores; apenas as totais é que terão
valores diferentes, conforme a localização do sistema de eixos, mas
58
de qualquer forma o ponto situado mais a oeste permanecerá sendo
mais a oeste, o mesmo acontecendo para aqueles situados mais a
norte, sul ou este do polígono. Escolhido o ponto por onde passará o
sistema de eixos, este terá coordenadas totais igual a zero, o vértice
seguinte terá totais iguais ás parciais e os demais serão calculados
algebricamente. Como exemplo, serão reproduzidas as coordenadas
parciais compensadas da planilha e feita a totalização em torno,
agora, do ponto 5.
Long.Compensada Lat. Compensada Longitude Latitude
Alinh. E (+)
W (-)
N (+ )
S (-)
Total
Total
MP - 1
158,41 111,84
-168,88 -345,26
1_2
90,07
190,59
-78,81 -154,67
2_3
4,26 111,74
-83,07 -42,93
3_4
69,82
31,39
-13,25 -11,54
4_5
13,25
11,54
0,00
0,00
5_6
22,64
2,65
22,64
2,65
6_7
9,28
65,06
31,92 -62,40
7_8
7,59
114,36
39,51 -176,76
8_9
0,35
133,54
39,86 -310,30
9_10
0,48
97,77
39 ,38 -408,07
10_MP
49,85
49,03
-10,47 -457,10
213
213 459,75 459,75
• CÁLCULO DE ÁREAS :
Os métodos para cálculos da área levantada são três: gráficos,
analíticos e mecânicos, cada um apresentando suas limitações e vantagens.
59
•Métodos Analíticos :
São os que apresentam melhor precisão e com a vantagem de não ser
necessário se utilizar do desenho para o cálculo da área. Entretanto, os
métodos analíticos possibilitam a avaliação de áreas de lados retos apenas,
o que equivale a avaliar a área da polígonal da base. Toda vez que a planta
apresentar lados curvos, a mesma não poderá ser, em sua totalidade,
avaliada por este processo. E, no levantamento por caminhamento, mesmo
que o perímetro se constitua tão somente de lados retos, na prática
dificilmente a poligonal irá coincidir com o perímetro, já que torna-se
problemático o estacionamento do aparelho exatamente sobre as divisas
(caso de cercas, etc.). Como grande parte da área é abrangida pela
poligonal, emprega-se um método analítico para a área do polígono, mas
para a parte extra-poligonal, ter-se-á que recorrer à decomposição em
figuras geométricas, com os inconvenientes anteriormente citados.
• Método das Coordenadas (Gauss)
Este processo se utiliza das coordenadas totais para o cálculo
da área e é relativamente mais simples que o método das DDM.
60
Na figura, o polígono situado no sistema de eixos, terá suas
coordenadas totais referenciadas por X1, X2 ,..., como as longitudes
totais dos vértices e por Y1,Y2,...., as latitudes totais.
Área (S)01234 = S OD234E - SOB1 – SBD21 – SO4E
Decompondo a área total (S OD234E) em figuras geométricas :
SOD234E = S (trapézio)CD23 + S(trapézio)AC34 + S(quadrado)OA4E
Substituindo :
S01234 = S(trapézio)CD23 + S(trapézio)AC34 + S(quadrado)OA4E –
S(triângulo)OB1 – S(trapézio)BD21 - S(triângulo)O4E
Para o cálculo da área de cada figura as dimensões serão dadas em
função dos valores das totais:
S01234 = X2 + X3 (Y2 – Y3) + X3 + X4 (Y3 – Y4) + X4 Y4 – X1Y1 - X2 + X1
(Y2 – Y1) + X4 Y4
Multiplicando-se todos os termos por 2 e efetuando os produtos, temse :
2 S = X2 Y2 - X2 Y3 + X3 Y2 - X3 Y3 + X3 Y3 - X3 Y4 + X4 Y3 – X4 Y4 + 2
X4 Y4 – X1 Y1 – X2 Y2 +
X2 Y1 –X2 Y1 – X1 Y2 + X1Y1 – X4 Y4
Para melhor memorização da fórmula, dispõe-se as longitudes
totais sobre suas respectivas latitudes, totais e efetuam-se as
multiplicações em cruz respeitando os sinais das coordenadas e
61
adotando-se o critério de que numa direção os produtos serão
positivos e na outra negativos.
2S =
X1
X
X
X
X
X
↔ 2 ↔ 3 ↔ 4 ↔ 0 ↔ 1
Y1
Y2
Y4
Y4
Y0
Y1
-
x
+
O cálculo da área fica facilitado, chamando de X1 e Y1 as
coordenadas do ponto seguinte ao que se totalizou (0,00) e assim por
diante.
Com os dados da planilha que serviu como ilustração desse
texto, a mesma terá a área da poligonal calculada pelo método das
coordenadas (Gauss).
Alinh.
MP - 1
1_2
2_3
3_4
4_5
5_6
6_7
7_8
8_9
9_10
10_MP
2S =
Longitude
Total
-158,41
-68,34
-72,6
-2,78
10,47
33,11
42,39
49,98
50,33
49,85
0
Latitude
Total
111,84
302,43
414,17
445,56
457,1
459,75
394,7
280,34
146,8
49,03
0
− 158,41 − 68,34 − 72,60 − 2,78 10, 47
33,11 42,39 49,98 50,33 49,85 0,00
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
111,84 302, 43 414,17 445,56 457,10 459,75 394,70 280,34 146,80 49,03 0,00
2 S = - (-158,41 x 302,43) – (-68,34 x 414,17) – (-72,60 x 445,56) – (-2,78
x 457,10) – (10,47 x 459,75) – (33,11 x 394,70) – (42,39 x 280,34) –
(49,98 x 146,80) – (50,33 x 49,03) – (49,85 x 0,00) + (-68,34 x 111,84) +
62
(-72,60 x 302,43) + (-2,78 x 414,17) + (10,47 x 445,56) + (33,11 x 457,10)
+ (42,39 x 459,75) + (49,98 x 394,70) + (50,33 x 280,34) + (49,85 x
146,80) + (0,00 x 49,03).
2 S = (+190.273,70 – 70.321,41) = 119.952,29
S = 59.976,15 m 2 = 5,9976 ha
6-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO ALTIMÉTRICO
A altimetria ou hipsometria tem por fim a medida da distância
vertical ou diferença de nível entre diversos pontos.
Sempre há necessidade de se estabelecer um plano de referência para
comparar alturas de pontos diferentes. Logo seguem as seguintes definições
:
- Quando um ponto é medido verticalmente em relação à superfície
de nível verdadeira, ou seja, nível médio das marés, esta distância
vertical pode ser chamada de altitude, ou cotas absolutas, por
permitirem comparações entre pontos situados em quaisquer locais,
já que sua superfície de referência e a mesma em qualquer lugar.
- Agora quando se mede a distância entre um ponto e um plano de
referência arbitrário, que é a superfície de nível aparente, essa
distância vertical pode ser chamada de cota, ou cota relativa. Essas
só permitem comparações dento de um sistema homogêneo, isto é
63
para o trecho levantado tendo como base uma superfície aparente,
que pode ser um plano qualquer. É evidente que um outro trecho,
baseado numa superfície aparente, mas não coincidente com a do
trecho anterior (são paralelas), poderão ter pontos com o mesmo
valor numérico do que o trecho anterior, mas absolutamente significa
que têm as mesmas distâncias verticais, pois foram duas as
superfícies de nível aparente tomadas. Não se pode comparar cotas
de sistemas independentes, que não estejam interligados.
• MÉTODOS DE NIVELAMENTO
A altimetria compreende dois métodos gerais. O primeiro método
refere todas as medidas ao nível verdadeiro; e o segundo ao nível aparente.
• Referência ao nível verdadeiro – Método barométrico
•
Referência ao nível aparente –
Método geométrico e
trigonométrico
• Nivelamento Barométrico
O nivelamento barométrico baseia-se na relação que existe entre a
pressão atmosférica e a altitude num ponto, o que se expressa pela fórmula,
chamada barométrica.
Este processo parte do princípio em que a pressão do ar menor nas
camadas superiores da atmosfera do que nas inferiores, assim pode-se , pela
avaliação da diferença de pressão entre dois pontos, determinar a sua
64
diferença de altitude. Em média para cada milímetro de variação de
pressão, há uma diferença de altitude de aproximadamente 11 metros.
Esse processo de levantamento altimétrico do ponto apresenta-nos a
vantagem de não ser condicionado à medida de distâncias; e, de verdade, se
ele não nos apresenta grande precisão, entretanto, a rapidez de suas
operações nos aconselham seu mais amplo emprego nos levantamentos
expeditos de grandes extensões. Os instrumentos usados são os barômetros,
que podem ser:
a) Barômetros de Mercúrio;
b) Barômetros Aneróides;
c) Barômetros Hipsômetro.
Apesar de ser simples, tal processo não tem a precisão requerida para
serviços topográficos, apontado neste estudo, para simples registro.
• Nivelamento Geométrico ou Diferencial
a) Definição
A operação assim se denomina quando executada por um
instrumento de visadas horizontais asseguradas por um nível de
bolha de ar.
Este método de nivelamento é também chamado de
nivelamento direto, justamente porque os resultados são obtidos
apenas com a leitura na mira. Por isso a mira deve ser mantida
sempre verticalmente e em casos de grande precisão, pode-se colocar
um nível esférico nas costas da mira. Fora da vertical, a leitura será a
de uma hipotenusa e não do cateto que lhe corresponde.
65
b) Tipos de Nivelamento Geométrico
• Nivelamento Geométrico Simples :
Este processo é utilizado quando não há mudança de estação,
ou seja, quando uma estação é suficiente para visar todos os pontos
desejados para o projeto a ser executado. Por diferença de leituras da
mira, obtém-se as diferenças de nível entre os pontos visados.
Este método é executado estacionando-se o nível num ponto
conveniente, de preferência, em um ponto equidistante dos extremos,
mas que pode ser dentro ou fora da linha a ser nivelada.
As diferenças de nível (DN) em um nivelamento geométrico
simples podem ser obtidas por duas maneiras:
- por diferença de leitura na mira :
DNA – B =3,0 – 2,0 = 1,0 (estando A num plano inferior a B)
- por diferenças de cotas :
Desde que se atribua cota a um ponto, em geral aquele onde se
faz a primeira visada, equivale a se admitir um Plano de Referência
(PR), situado a uma distância vertical = cota, arbitrária.
Nesse caso, é necessário se conhecer a altura do instrumento
(A.I.), que é a distância vertical entre o eixo ótico do aparelho até o
plano de referência (PR).
66
Para tal, chamamos a visada correspondente ao 1º ponto
visado, A no exemplo, de visada de ré. Todas as demais serão visadas de
vante.
A.I. = cota + ré
O instrumento estará em relação ao PR, de uma altura igual a
cota atribuída na visada de ré mais leitura da mira nesse ponto.
As cotas dos demais pontos serão calculadas baseadas nessa
A.I. os valores das leituras das visadas de vante, teremos as cotas.
cotas = A.I. –
vante
No exemplo :
A.I. = 100,00 + 3,00 = 103,00 m
Demais cotas :
 2 , 00 = 101 , 00 = B

103 , 00 −  1 , 20 = 101 , 80 = C
 0 , 80 = 102 , 20 = D

E as DN entre cada 2 pontos serão :
DNA – B = 101,00 – 100,00 = 1,00 m
DNB – C = 101,80 – 101,00 = 0,80 m
DNC – D = 102,20 – 101,80 = 0,40 m
67
Valores iguais, evidentemente, àqueles encontrados por
diferença de leitruas da mira.
ES RÉ
A.I.
T.
A 3,00 103,0
0
B
C
D
VANT COTA
E
S
100,00
2,00 101,00
1,20 101,80
0,80 102,20
Para se saber se o terreno é em aclive ou declive, sem se
calcular as cotas (considerando a linha que une os pontos extremos A e D),
basta relacionar a visada de ré e a última visada de vante.
DN total = ré – última vante
Quando :
ré > última vante = terreno em aclive
figura
ré < última vante = terreno em declive
figura
68
• IRRADIAÇÃO ALTIMÉTRICA
Uma aplicação do nivelamento geométrico simples é a
irradiação altimétrica, semelhante àquela ffeita em planimetria, mas
obtendo-se as diferenças de nível.
De um ponto dentro ou fora de uma área a ser levantada,
visam-se todos os pontos de interesse.
Como exemplo, temos o nivelamento de um lote de terreno,
para fins de construção.
Para se conhecer as diferenças de nível, bastariam relacionar
os valores das leituras da mira, entre si.
Quando a finalidade é deixar em nível o terreno, atribuese um valor zero a um dos pontos. Pode ser o ponto mais alto no terreno
(leitura mais baixa), ou o ponto mais baixo (leitura mais alta), ou um ponto
qualquer, como um que proporcionasse aproximadamente as mesmas
alturas de corte e de aterro (ponto médio).
69
• Nivelamento Geométrico Composto :
O nivelamento geométrico composto é formado por trechos de
nivelamento geométrico simples, usado quando as áreas são relativamente
acidentadas ou grandes, de forma a impedir que de uma estação se consiga
visar a mira em todas as estacas.
Cada estação corresponde a um nivelamento simples. Como os
trechos têm que estar "amarrados" uns aos outros, atribue-se uma cota
arbitrária a um dos pontos, tendo os demais as cotas calculadas,
relacionadas a esta cota atribuída. Forma-se, então, um sistema homogêneo.
Em geral, atrigue-se um número inteiro à essa cota arbitrária
por facilidade de cálculo (100,00m ; 500,00m), tendo-se o cuidado de se
evitar cotas negativas no decorrer do levantamento.
A primeira visada feita, após instalar-se convenientemente o
nível, é chamada VISADA DE RÉ, independendo da localização da estaca
(não é obrigatório que na visada de ré, a estaca situe-se para trás do
instrumento).
Como no nivelamento geométrico simples, as demais visadas
são chamadas VISADAS DE VANTE. Assim, para cada trecho de uma
estação, tem-se uma visada de ré e uma ou mais visadas de vante.
70
Essas visadas de vante recebem duas denominações : Ponto de
Intermediários e Ponto de Mudança. São Pontos Intermediários (P.I.)
as visadas de vante efetuadas até uma penúltima estaca que se avista para
aquele trecho. E a última estaca visada, antes de se transportar o aparelho é
aquela correspondente ao Ponto de Mudança (P.M.).
Como há a necessidade de um trecho se ligar ao seguinte, essa
ligação é feita através de uma estaca comum aos dois trechos, que é o P.M.
O P.M. é a última visada do 1º trecho e também corresponde à
primeira visada após a mudança do aparelho. Assim, a todo P.M.
corresponde uma visada de ré, exceto a 1º e a última estaca do serviço. A
primeira é sempre uma visada de ré e a última é um P.M., pois supõem-se
que o trabalho poderá continuar.
Analisando o primeiro trecho, que corresponde a um
nivelamento simples :
A.I. = cota atribuída + ré
E as cotas calculadas dos demais pontos serão :
Cotas = A.I. - vante
Assim têm as cotas calculadas até a última estaca do trecho
(P.M).
Ao se mudar para outra estação conveniente, visa-se
novamente aquela última estaca (P.M), numa visada de ré. O instrumento
estará distando do Plano de Referência, uma nova altura. Essa nova altura
do instrumento, para segundo trecho será:
71
A.I. = cota do P.M. + ré
E, as cotas dos demais pontos serão calculadas por :
Cotas = nova A.I. - vante
Assim prossegue-se o levantamento, sempre calculando-se as
novas A.I., toda vez que se muda o aparelho, e por essa A.I., determinamse as cotas seguintes.
Exemplo numérico :
A caderneta de nivelamento apresentará os dados
obtidos
no
campo,
acrescida
da
coluna
das
cotas
calculadas
correspondentes a cada estaca.
Estacas RÉ
A.I.
P.I. P.M. Cotas
0
3,000 103,000
100,000
1
2,000
101,000
2
4,000 106,000
1,000 102,000
3
3,000
103,000
4
2,000
104,000
5
1,000 105,000
Por aí se verifica a importância da precisão nas leituras,
principalmente nas estacas de ré e P.M., que influirão diretamente no
cálculo das demais cotas.
Com os dados da caderneta são obtidas as DN entre cada duas
estacas ou entre as estacas extremas, dando a DN total.
Quando o terreno é íngreme, poderá ocorrer o caso que de uma
estação se vise apenas duas estacas: uma de ré e outra de vante – P.M..
72
Estacas Ré
A.I.
P.I. P.M. Cotas
0
3,00 103,00
100,00
1
4,00 105,00
2,00 101,00
2
3,00 106,00
2,00 103,00
3
1,00 105,00
Verificação dos cálculos :
∑Ré - ∑PM = Diferença entre cotas inicial e final.
C = C2 – C0 = C F- CI
C=A+B
A = R1 – PM1
B = R2 – PM2
C = (R 1 – PM1) + (R 2 – PM2)
C = (R 1 + R2) – (PM1 – PM2)
CN – C0 = (R 1 + R 2 + ...+ RN) – (PM1 + PM2 + ... + PMN)
Exemplo :
∑Ré = 10,00
∑PM = 5,00
∑Ré - ∑PM = 10,00 – 5,00 = 5,00 m
Cf – Ci = 105,00 – 100,00 = 5,00 m
73
Esta verificação diz respeito à correção dos cálculos e não
quanto à qualidade do trabalho de campo.
PRECISÃO DOS NIVELAMENTOS GEOMÉTRICOS
• Classificação pelo grau de precisão
1º) De alta precisão:
O erro médio admitido é da ordem de ±1,5 mm/km percorrido.
É uma classe especial.
2º) De 1º ordem ou nivelamento de precisão :
O erro médio admitido é da ordem de ± 2,5 mm/km
percorrido.
3º) De 2º ordem :
74
O erro médio admitido é da ordem de ± 1,0 mm/km
percorrido.
4º) De 3º ordem :
O erro médio admitido é da ordem de ± 3,0 cm/km percorrido.
5º) De 4º ordem :
O erro médio admitido é da ordem de ± 10 cm/km percorrido.
Os nivelamentos geométricos com erros maiores do que os
citados são desclassificados ou inaceitáveis.
Em Topografia, exige-se uma precisão da 2ªordem = 1 cm/km
percorrido. A classificação acima foi baseada na Apostila “Topografia”,
do Prof. Paulo Ferraz de Mesquita, da Escola politécnica de São Paulo.
• Nivelamento Taqueométrico
Os nivelamentos taqueométricos tem sobre os outros processos a
vantagem de rapidez e exatidão, visto que todas as medidas são tomadas
pelo operador no Teodolito com uma maior independência na escolha e
distribuição dos pontos essenciais do terreno a fixar na planta. Aqui as
distâncias são medidas estadimetricamente.
a)Para visada ascendente:
(0º < α < 90º ou 180º < α <
75
DN = 100H
sen 2α
− m+i
2
(+) = terreno em aclive
( - )= terreno em declive
b)Para visada descendente :
DN = 100H
sen 2α
+ m−i
2
(+) = terreno em declive
( - ) = terreno em aclive
c)Visadas Horizontais :
c.1) visada ascendente:
DN = 100H
sen 2α
− m+i
2
α = 0º
/
sen 2α
=0
2
DN = -m + i
(+) = terreno em aclive
(-) = terreno em declive
76
c.2) visada descendente :
DN = 100H
sen 2α
+ m−i
2
α = 0º
/
sen 2α
=0
2
DN = +m - i
(+) = terreno em declive
(-) = terreno em aclive
• CURVA DE NÍVEL
A curva horizontal ou de nível é a linha de intersecção obtida por
planos paralelos, equidistantes, com o terreno a representar. Também
conhecida como hipsométrica, ela é a maneira de se projetar a altimetria na
planimetria.
A distância entre os planos paralelos é chamado intervalo de
contorno ou equidistância vertical . A equidistância vertical depende do
rigor que a finalidade exige. Quanto menor a equidistância , melhor será a
representação do terreno.
Para trabalhos que exigem grande precisão, como aqueles que
envolvem condução e distribuição de água (irrigação), as curvas são
determinadas de 0,50 m em 0,50 m.
Sendo relativamente grande a equidistância vertical, poderá ocorrer o
fato da não representação real do trecho compreendido entre um plano ou
77
curva e outro. As irregularidades entre uma curva e outra, no terreno, não
constarão na planta.
Cada curva recebe um número de identificação. Esse número
corresponde à cota dos pontos que unidos darão o traçado da curva. Há
necessidade de tal numeração, para se saber se é uma elevação ou
depressão. Assim admitindo como exemplo dois acidentes no terreno –
uma elevação e uma depressão, ambos de diâmetro semelhante ou forma
inversa, sem a numeração não seria possível identificar qual uma, qual a
outra.
As curvas de nível podem ser obtidas, quer diretamente, quer por
interpolação. O primeiro método é o mais moroso pois cada curva deve ser
amarrada planimetricamente por pontos, mais resulta mais exato em seu
conjunto. O segundo método, menos preciso, porém mais cômodo
e
rápido, tem maior aplicação; desde que haja bastante critério na escolha dos
pontos no terreno e na indicação dos esquemas de campo, os resultados são
também satisfatórios.
O diapasão ou afastamento para curvas mestras, na hipótese de
serem retos os alinhamento entre os pontos, escolhidos e nivelados no
terreno, se determina em função da declividade.
78
Uma planta topográfica em curva de nível mostra não somente
as elevações e depressões do terreno, mas também as formas das várias
características topográficas, tais como montanhas, vales, etc...
• Características das Curvas de Nível
a) Todos os pontos de uma mesma curva têm a mesma elevação ou
cota.
b) Duas curvas de nível nunca se cruzam: se isto ocorresse, o ponto
de intersecção dessas duas curvas teria ao mesmo tempo 2 números,
portanto duas elevações, o que não ocorre na natureza.
c) Duas curvas de nível não podem se encontrar e continuar numa só:
pela mesma razão anterior, ficariam duas curvas superpostas,
resultando num plano vertical, o que também não existe na natureza.
79
d) O espaçamento entre as curvas indica o tipo de terreno, quanto ao
declive.
d.1) Curvas relativamente afastadas significam terreno pouco
inclinado ou pouco acidentado.
d.2) Curvas muito próximas indicam um terreno com declive
acentuado.
80
d.3) Curvas regularmente espaçadas indicam que o terreno
apresenta um declive uniforme
e)A menor distância entre duas curvas de nível representa a linha de
maior declive do terreno. Se d =
DN
, sendo DN constante para
DH
quaisquer 2 pontos de duas curvas, quanto menor o denominador
DH, maior será o declive.
f)As curvas de nível na planta ou se fecham ou correm aos pares.
81
• PERFIL LONGITUDINAL
É a representação gráfica do nivelamento. Chama-se perfil de um
terreno, segundo determinada direção, a intersecção da superfície do solo
com o plano vertical que passa pelo alinhamento que define aquela direção.
Isoladamente considerada, essa intersecção constitui o que chamamos de
alinhamento, que materializa, no terreno a direção a seguir nas medições e
tem, em geral, a forma de uma curva sinuosa no sentido vertical.
Se o perfil refere-se ao eixo do caminhamento, é chamado Perfil
Longitudinal; se em direção que atravessa esse eixo, é Perfil Transversal.
Para obtenção do perfil são necessárias distâncias horizontais e
diferenças de nível entre os pontos do terreno.
82
•Estaqueamento
Na direção desejada (em linha reta ou não), faz-se o estaqueamento
segundo a orientação dada pelo operador no Teodolito e medindo-se a
distância entre as estacas diretamente, com a corrente.
Em geral, o espaçamento entre estacas é de 20,00 m; esse
espaçamento varia conforme a precisão requerida pela finalidade a que se
destina o serviço. Quanto menor o espaçamento logicamente deverá se
obter um serviço mais preciso. Sempre a distância horizontal entre duas
estacas ser[á representada no gráfico do perfil, por um segmento reto, o que
equivale a admitir ser o declive uniforme nesse trecho do terreno. É
evidente que, se algum acidente aí houver e forem niveladas apenas as duas
estacas extremas, esse acidente não constará do gráfico. O espaçamento
usual é de 20,00 m, embora em alguns casos e conforme a configuração
superficial do terreno, use-se 10,00 m ou 30,00 m ou até mesmo 50,00 m
entre as estacas.
Além das estacas regularmente espaçadas, de acordo com o
espaçamento pré-estabelecido, comumente há necessidade de se cravar
estacas intermediárias, isto é, situadas entre duas estacas inteiras e que
servirão para possibilitar o nivelamento de pontos importantes aí existentes
(elevações ou depressões). Essas estacas intermediárias são referenciadas,
em distância horizontal, à estaca inteira imediatamente anterior. Assim uma
estaca caracterizada pelo número 8 + 12,00, por exemplo, significa que se
localiza entre as estacas 8 e 9 (inteiras) e a 12,00m da estaca 8.
Quando o perfil a ser levantado não for em linha reta, necessário será
anotar os ângulos de deflexão formados pelos trechos retos.
83
Adotando-se um espaçamento uniforme, 20,00 m , por exemplo,
calcula-se rapidamente a distância horizontal que envolve os segmentos
constituintes do perfil ou a distância de uma determinada estaca em relação
à estaca inicial. A distância será o produto do número da estaca
multiplicado pelo espaçamento adotado, como:
DIST. DA EST. 15 = 15x 20 = 300 m
Quando a estaca em questão for uma intermediária, evidentemente
soma-se a fração que ela representa.
DIST. DA EST. 10 + 3,50 = (10 x 20) + 3,50 = 200 + 3,50 = 203,50 m
No caso inverso : conhecendo-se a distância horizontal para se
determinar a numeração da estaca, basta dividir a DH pelo espaçamento
adotado.
Nº DA EST. =
149,00
= 7 + 9,00m
20
84
• Obtenção das Cotas Inteiras no Perfil
Desenhado um perfil, pode-se obter os pontos de cotas inteiras nele
compreendidas.
Em geral, um perfil é constituído de pontos de cotas fracionários;
obtidas no levantamento.
Principalmente para o traçado de curvas de nível, é interessante se
conhecer quais os pontos de cotas inteiras e sua localização no perfil e
posteriormente ( se necessário) no campo.
Para tal, desenha-se o perfil longitudinal, preferivelmente adotandose para a escala horizontal, a mesma que foi adotada na planimetria. Isto
facilita a localização dos pontos de cotas inteiras, na planta. Assim, se esta
foi desenhada na escala 1/1000, adota-se esse valor para a escala horizontal
do perfil. E, para a escala vertical do perfil, geralmente 10 vezes maior,
1/100.
A obtenção das cotas inteiras é feita, procurando-se a intersecção de
planos horizontais com o perfil do terreno. Equivale a traçar greides
horizontais, iniciando-se nos valores das ordenadas, inteiros. Os pontos de
passagem destes greides serão as cotas inteiras.
85
• Rampas – Traçado de Greide
Uma das finalidades do levantamento de um perfil longitudinal é a
obtenção de dados para a locação de rampas de determinada declividade,
como para a locação de eixos de estradas, linhas de condução de água,
(canais e encanamentos), obtenção das chamadas “cotas inteiras”, etc.
Resulta isso, não só no próprio estudo da posição mais conveniente dessas
rampas, como também no movimento de terra necessário (cortes e aterros),
em cada ponto da rampa.
Greide ou “Grade” é a linha que une dois a dois, um certo número de
pontos dados num perfil. É o eixo de uma rampa. Ou a representação da
rampa sobre o gráfico do perfil.
Ao se locar um greide sobre o gráfico de um perfil longitudinal,
surgem distâncias verticais entre o ponto por onde passa o greide e o ponto
correspondente no terreno. São as “COTAS VERMELHAS”
86
Ao se locar um greide que una diretamente as estacas 0 e 3 do
perfil acima, vê-se que :
COTA VERMELHA – distância vertical entre um ponto do greide e
o ponto correspondente no terreno.
COTA VERMELHA POSITIVA (+) - é quando o ponto do greide
estiver acima do ponto correspondente no terreno. Equivale a um
Aterro (“por terra”)
COTA VERMELHA NEGATIVA (-) – é quando o ponto do greide
estiver abaixo do ponto correspondente no terreno. Equivale a um
Corte (“tirar terra”)
PONTO DE PASSAGEM – é o ponto de transição entre corte e
aterro. O ponto do greide coincide com o ponto do terreno. Não há
corte nem aterro, tendo portanto cota vermelha nula.
Declive do greide : o declive total de um greide é dado pela diferença
de nível entre os seus pontos inicial e final, em relação à distância
horizontal compreendida por estes pontos. Geralmente expresso em
%.
D=
Cotamaior − cot amenor
Dist .Horizontal
d% =
DN
x100
DH
87
• DECLIVIDADE DO TERRENO
A declividade do terreno é expressa por :
d = tgα =
DN [metro]
=
= [s / unidade ]
DH [metro]
onde: DN = diferença de nível entre as duas curvas de nível
consecutivas
DH = distância horizontal entre duas curvas
α = ângulo de inclinação (suplemento do ângulo zenital)
A diferença de nível pode ser obtida por:
a) Diferença de altitude.
DN = 520 – 500 = 20 metros
b)
Diferença de cotas.
DN = 106 – 102 = 4 metros
88
c)
Diferença de leituras da mira.
DN = 1,80 – 1,00 = 0,80 metros
(leitura de valor mais alto indica ponto mais baixo)
A declividade é geralmente expressa em %. Equivale a uma DN para
100 m de distância horizontal.
d=
 DN = 10m
DN
x100
DH
 DH = 200m
d=
10 × 100 1000
=
= 5%
200
200
;
para 100 metros, haverá uma DN de
5 metros.
Pode ser também expressa em função do ângulo de inclinação (α) em
relação ao horizonte.
d = tgα =
DN 10,00
=
=1
DH 10,00
arc tg 1,000 = 45º ∴
d=
10
x100 = 100%
10
que corresponde em termos de % a :
89
declividade de 45º = 100%
Como a tg varia de 0º a ∞, também a declividade pode variar de 0º a
∞.
• MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANI-ALTIMÉTRICO
Os levantamentos plani-altimétricos propiciam a confecção de uma
planta onde estão representados os detalhes planimétricos e o relevo do
solo.
Como o relevo do solo é representado pelas curvas de nível, a parte
altimétrica do levantamento consiste em se obter dados no campo, para
posteriormente serem obtidas as curvas de nível. Nada mais é do que a
obtenção das curvas de nível em planta.
90
Os processos ou os métodos de obtenção das curvas de nível, variam
de acordo com a precisão requerida e a extensão e o relevo da área a ser
levantada.
São 03 os processos mais usados :
1 – Nivelamento taqueométrico
2 – Perfis unindo vértices
3 – Secções transversais
• Nivelamento Taqueométrico
É a parte da topografia que ocupa da medida indireta distâncias e das
diferenças de nível, quer por meios ópticos, quer por meios mecânicos,
com a maior rapidez possível, de acordo com as condições atmosféricas,
clareza e precisão do instrumento empregado.
A Planimetria é feita conjuntamente com a altimetria, e o aparelho
usado é o teodolito. Em geral, este processo é utilizado para áreas
relativamente grandes ou acidentadas ou ainda quando a área acha-se
ocupada por árvores, obstáculos que dificultariam o estaqueamento e as
visadas, se utilizado o nível, que não possui movimento vertical da luneta.
Como áreas relativamente grandes são levantadas planimetricamente
por caminhamento, aproveita-se cada estação que comporá a poligonal de
base, para dessas estações se fazer irradiações altimétricas de pontos
situados no interior da área.
Este tipo de levantamento é de menor precisão do que os métodos em
que se usa o nível já que a própria constituição do nível ( muito mais
sensível ) é um dos fatores da melhor precisão. Além disso, no nivelamento
com o nível de precisão, faz-se a anotação de um valor, que é a leitura do
retículo horizontal, para cada ponto visado. Já no nivelamento
91
taqueométrico, as fontes de erros são bem maiores : são 03 os valores lidos
para os retículos, há o valor do ângulo de inclinação da luneta a ser anotado
e também a altura do instrumento em cada estação.
• Perfis Unindo Vértices
Este método se aplica para áreas relativamente pequenas e quando o
releva permite que sejam intervisíveis os vértices da poligonal.
A planimetria geralmente é feita por irradiação ou intersecção ou
para áreas pouco maiores, por dupla irradiação ou dupla intersecção.
A altimetria é feita com o nível de precisão, levantando-se perfis que
unirão dois vértices não consecutivos e também as linhas que formam o
perímetro.
Formam-se assim, perfis que correspondem ao perímetro, cada lado
da figura com seu perfil e também perfis de linha internas. Quanto maior o
número dessas linhas internas, melhor representação do relevo da área se
obterá.
Cada perfil é estaqueado, em geral de 20 em 20 , fazendo-se o
estaqueamento com o auxílio, para orientação, do teodolito ou, mais
rapidamente, seguindo à orientação visual do operador.
• Secções Transversais
Para áreas estreitas e longas, este é o método mais indicado. Os
pontos ficam melhor distribuídos no terreno, dando uma melhor
representação de seu relevo.
A planimetria é feita em geral por irradiação ou intersecção (simples,
dupla, etc.), e a altimetria é feita, locando-se uma linha principal –
"nivelada básica" e tirando-se perpendiculares a esta.
92
Normalmente, escolhe-se a posição dessa linha nivelada básica, de
forma a atravessar longitudinalmente, ao meio, a área. Ou, preferivelmente,
que siga a direção da linha de maor declive.
Como os perfis transversais serão levantados, essa disposição de
linhas permite que as mudanças do aparelho sejam mínimas, ao contrário
do que ocorreria se ests perfis transversais se situassem na direção da linha
de maior declive do terreno, o que implicaria em sucessivas mudanças para
levantar cada perfil.
7-) AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS
É o sistema mais antigo de coordenadas. Nele, cada ponto da
superfície terrestre é localizado na interseção de um meridiano com um
paralelo.
Meridianos são círculos máximos da esfera cujos planos contêm o eixo de
rotação ou eixo dos pólos, corresponde as linhas que unem os dois pólos ao
redor da terra.
Meridiano de origem (também conhecido como inicial ou fundamental) é
aquele que passa pelo antigo observatório britânico de Greenwich,
escolhido convencionalmente como a origem(0°) das longitudes sobre a
superfície terrestre e como base para a contagem dos fusos horários.
A leste de Greenwich os meridianos são medidos por valores
crescentes até + 180°. A oeste, suas medidas são decrescentes até o limite
mínimo de - 180°.
Os paralelos são círculos da esfera cujo plano é
perpendicular ao eixo dos pólos. O Equador é o paralelo que divide a Terra
em dois hemisférios(Norte e Sul), considerado como o paralelo de origem
(0°). Partindo do equador em direção aos pólos temos vários planos
93
paralelos ao equador , cujo tamanho vão diminuindo, até se torna um ponto
nos pólos Norte(+90°)e Sul(-90°).
Representa-se um ponto na superfície terrestre por um valor de
latitude e longitude.
Longitude de um lugar é a distância angular entre um ponto
qualquer da superfície terrestre e o meridiano inicial ou de origem.
Latitude é a distância angular entre um ponto qualquer da
superfície terrestre e a linha do Equador.
Por ser um sistema que considera desvios angulares a partir
do centro da Terra, o sistema de coordenadas geográficas não é um sistema
conveniente para aplicações em que se buscam distâncias ou áreas.
94
Para este casos, utilizam-se outros sistemas de coordenadas,
mais adequados, como, por exemplo, o sistema de coordenadas planas,
descrito a seguir.
8-) A PROJEÇÃO UTM (COORDENADAS PLANAS)
O sistema de coordenadas planas, também conhecido por sistema de
coordenadas
cartesianas,
baseia-se
na
escolha
de
dois
eixos
perpendiculares, usualmente os eixos horizontal e vertical, cuja interseção é
denominada origem, estabelecida como base para a localização de qualquer
ponto do plano.
Nesse sistema de coordenadas, um ponto é representado por dois números:
um correspondente à projeção sobre o eixo x (horizontal), associado à
longitude, e outro correspondente à projeção sobre o eixo y (vertical),
associado à latitude.
Os valores de x e y são referenciados conforme um sistema cartesiano, que
representa, como exemplo, as coordenadas de Leme - SP.
onde
:
x
=
254.000
m
e
y
=
7.545.000
m
Estas coordenadas são relacionadas matematicamente às coordenadas
geográficas, de maneira que umas podem ser convertidas nas outras.
95
• Projeção UTM - "Universal Transverse Mercator"
O mapeamento sistemático do Brasil é feito na projeção
UTM (1:250 000, 1:100 000, 1:50 000). Relacionam-se, a seguir, suas
principais características:
• a superfície de projeção é um cilindro transverso e a projeção é
conforme;
• o meridiano central da região de interesse, o equador e os meridianos
situados a 90o do meridiano central são representados por retas;
• os outros meridianos e os paralelos são curvas complexas;
• o meridiano central é representado em verdadeira grandeza;
• a escala aumenta com a distância em relação ao meridiano central. A
90o deste, a escala torna-se infinita;
• a Terra é dividida em 60 fusos de 6o de longitude. O cilindro
transverso adotado como superfície de projeção assume 60 posições
diferentes, já que seu eixo mantém-se sempre perpendicular ao
meridiano central de cada fuso;
• aplica-se ao meridiano central de cada fuso um fator de redução de
escala igual a 0,9996, para minimizar as variações de escala dentro
do fuso. Como conseqüência, existem duas linhas aproximadamente
retas, uma a leste e outra a oeste, distantes cerca de 1o 37' do
meridiano central, representadas em verdadeira grandeza;
• apesar da característica "universal" de projeção, enfatiza-se que o
elipsóide de referência varia em função da região da superfície
terrestre.
Geralmente os Sistemas de Informações Geográficas
permitem que o usuário defina, para a projeção UTM, a orientação dos
dados em relação ao norte geográfico ou ao norte da quadrícula. Os
meridianos (norte geográfico) coincidem com as linhas verticais das
96
quadrículas (norte da quadrícula) da projeção UTM, apenas nos meridianos
centrais. Com o aumento da longitude e da latitude, ocorre o aumento do
ângulo formado entre os meridianos e as linhas verticais da quadrícula,
formando entre estas um ângulo chamado de convergência meridiana. Nos
SIG´s, de um modo geral, para a definição de um projeto, deve-se fornecer
informações adicionais, como escala e características de cada projeção:
datum, modelos de elipsóide, latitude reduzida ou paralelo padrão, latitude
de origem e longitude de origem.
9-) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BLACHUT, Tordon. J.. Urban Surveying and Mapping.1979
COMASTRI, José A.. Topografia: Planimetria. 1ed. UFV. ViçosaMG.1977.
COMASTRI, José A.. Topografia: Altimetria. 2ed. UFV. ViçosaMG.1990.
DAVIS, Raymond E.. Tratado de Topografia. 3ed. Aguillar. Madrid.1979.
DOMINGUES, Felipe A. A.. Topografia e Astronomia de Posição para
Engenheiros e Arquitetos. MacGraw-Hill. São Paulo.1979.
ESPARTEL, Lélis.. Curso de Topografia. 9ed. Globo. Rio de Janeiro.
1987.
97
ESPARTEL, Lélis; LUDERITZ, João . Caderneta de Campo.
10ed.
Globo. Rio de Janeiro.1977.
FUNDAÇÃO
INSTITUTO
ESTATÍSTICA.
BRASILEIRO
Manual
de
DE
Normas,
GEOGRAFIA
E
Especificações
e
Procedimentos Técnicos para a Carta Internacional do Mundo, ao
Milionésimo - CIM 1:1.000.000. 1ed. IBGE. Rio de Janeiro. 1993.
INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS. Divisão de
Processamento de Imagens(INPE/DPI). FSPRING. [online]
<http://www.inpe.br/spring/home>.1997.
GODOY, Reynaldo . Topografia. 10ed. ESALQ. Piracicaba-SP.1988.
SERVIÇO
GEOGRÁFICO
DO
EXÉRCITO.
Manual
Técnico-
Transformação de Coordenadas Geodésicas. 1ed. EGGCF. Brasília DF.1978