FEX 1001
5 - DINÂMICA DA ROTAÇÃO
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Objetivo
Determinar a aceleração da gravidade a partir do movimento de rolamento de um volante.
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Teoria
Quando um corpo extenso e rígido está sujeito a ação de várias forças o seu movimento dependerá, além da intensidade
e da direção das forças aplicadas, do ponto de aplicação dessas forças. Considere duas forças de mesma intensidade
sendo aplicadas a um corpo plano, ambas na mesma direção mas com sentidos contrários, e ao longo da mesma reta.
Verica-se experimentalmente que o corpo permanece em repouso (equilíbrio). No entanto, se as forças, ainda com
mesma intensidade, mesma direção e sentidos contrários, forem aplicadas ao longo de retas não coincidentes, o corpo
ainda continuará em repouso mas apresentará um movimento de rotação. No caso geral de forças com intensidades e
direções diferentes, sendo todas aplicadas a pontos diferentes, o corpo apresenta um movimento combinado de rotação e
translação. A gura 1 abaixo ilustra estes fatos.
F
F
F
F
equilibrio
Figura 1:
rotacao e tranlacao
rotacao
Placa rígida submetida a ação de diferentes forças e de diferentes maneiras.
A dinâmica do movimento pode ser obtida também com a aplicação da 2ª Lei de Newton, considerando a translação
do centro de massa e uma rotação em torno do centro de massa. No caso do presente experimento considera-se um volante
como um corpo rígido que rola por um plano inclinado, sem deslizar, apresentando o movimento combinado de translação
e rotação. Se considerarmos um volante rígido que rola sobre um plano inclinado formando um ângulo θ com a horizontal,
como na gura 2, a aceleração angular (α) é dada pelo torque resultante sobre o volante, ou seja,
(1)
Στ = Iα ,
onde I é o momento de inércia do volante em torno do eixo de rotação. Como o volante desce o plano inclinado sem deslizar,
seu movimento é um movimento de rolamento, podendo ser descrito como uma rotação seguida de uma translação. Assim,
podemos conceber o ponto de contato do volante com o plano inclinado como sendo o centro instantâneo de rotação, ou
seja, imaginemos um eixo perpendicular ao plano da gura 2, passando pelo ponto de contato do volante com o plano
inclinado. A cada instante o volante está girando em torno deste eixo (que se desloca plano abaixo). Pelo teorema dos
eixos paralelos, I = ICM + mr2 , onde r é o raio do eixo do volante e ICM é seu momento de inércia em torno de um eixo
que passa pelo seu centro de massa.
Vamos considerar que o momento de inércia do volante seja simplesmente o momento de inércia de um disco. Neste
caso ICM = 21 mR2 e a equação 1 toma a forma
(2)
Στ = ICM + mr2 α .
Observe que, ao considerarmos o centro instantâneo de rotação como o ponto de contato do volante com o plano inclinado,
apenas a componente da força peso ao longo do plano contribuirá para o torque resultante. Além disso, existe uma relação
de vínculo entre a distância percorrida pelo centro de massa do volante e o ângulo descrito pelo volante, a saber, a = rα.
Com estas informações, a equação 2 assume a forma
rmgsenθ =
1
mR2 + mr2
2
a
,
r
ou seja, a aceleração do centro de massa do volante ao descer pelo plano inclinado é
a=
g
R2
1 + 2r
2
1
!
senθ .
(3)
N
R
r
fat
mg
(a) Diagrama
θ
(b)
de corpo livre para um volante que rola
Aparato experimental.
sobre uma calha inclinada.
Figura 2
3
Descrição do Experimento
Neste experimento você soltará um volante num plano inclinado para que ele role plano abaixo, sem deslizar.
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Equipamento/Material
1. Apoio para plano inclinado de madeira.
2. Plano inclinado com régua centimetrada.
3. Transferidor.
4. Paquímetro.
5. Cronômetro.
6. Roda (volante).
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Procedimento Experimental
(a)
Meça, com o auxílio de um paquímetro, os diâmetros do cilindro maior e menor do volante e anote os correspondentes
raios na Tabela da folha de questões. Escolha uma distância d a ser percorrida ao longo do plano inclinado e anote
o seu valor na mesma Tabela.
(b)
Regule a inclinação do plano de maneira a obter, inicialmente, um ângulo inicial de 5o a 7o em relação a horizontal
através de medidas da base e a altura do plano inclinado. Se preferir, use o transferidor. Anote na Tabela da folha
de questões.
(c)
Meça três vezes o tempo gasto pelo volante para percorrer a distância escolhida e determine o tempo médio para
isto, anotando-o na Tabela da folha de questões. Cuide para que o volante seja solto e role, sem deslizar.
(d)
Repita as medidas com outros valores de ângulo de inclinação não superiores a 30o , para evitar que o volante deslize.
É importante apenas o movimento de rolamento, sem deslizamento.
(e)
Repita o procedimento (c) acima para cada inclinação escolhida. Se o volante começar a deslizar, utilizar ângulos
menores. Responda as questões.
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FEX 1001
5 - DINÂMICA DA ROTAÇÃO
r(mm)=
R(mm)=
θ
d(mm)=
t(
senθ
)
a(
)
1. Pode-se armar que o centro do volante executa um MRUV? Justique.
2. Determine, para cada ângulo de inclinação do plano, a aceleração do volante utilizando o tempo de
rolamento e a distância percorrida, completando a Tabela acima.
3. Linearize a eq.(3) mostrando claramente os coecientes linear e angular da reta. Após, trace um gráco
linear em papel adequado usando os dados de sua tabela.
4. Calcule, a partir do seu gráco, o valor da aceleração da gravidade, g , e compare com o valor de referência
9, 81m/s2 , calculando o erro percentual. Mostre todos os cálculos com clareza e indique no gráco os pontos
utilizados.
5. É possível obter o momento de inércia do volante com os dados? Justique qualitativamente e quantitativamente.
3
6. Deduza uma expressão para o erro propagado em g , a partir da eq. (3). Quais os valores de ∆r, ∆R, ∆θ
e ∆a?
7. Utilize os dados da questão acima e calcule o erro propagado no valor de g . Expresse o valor de g na forma
correta.
Para resolver em casa:
Usando a eq. (3) e os dados de sua tabela calcule, para cada ângulo de inclinação do plano, o valor de g .
Após, calcule o valor mais provável juntamente com os desvios médio e padrão. Expresse o valor de g na
forma correta.
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