Matemática Básica II - Trigonometria
Nota 01 - Ângulo e a Unidade de medida Grau
Márcio Nascimento da Silva
Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA
Curso de Licenciatura em Matemática
[email protected]
3 de setembro de 2014
1
Ângulo
O espaço no plano determinado por duas semirretas que partem de um ponto comum, é
chamado ângulo.
b ou BOA
b
Figura 1: Ângulo AOB
−−→ −−→
As semirretas OA e OB são chamadas lados do ângulo e o ponto O é o vértice do ângulo. Em
geral, são denotados por letras gregas ou maiúsculas.
b =O
b=O
Figura 2: α = AOB
Alguns ângulos recebem nomes especiais.
1
1.1 Ângulo Raso
Quando as semirretas têm a mesma direção mas sentido oposto.
Figura 3: Ângulo raso
1.2 Ângulo Nulo
Quando as semirretas têm a mesma direção e sentido.
Figura 4: Ângulo nulo
1.3 Ângulo Reto
Quando as semirretas são perpendiculares.
Figura 5: Ângulo reto
1.4 Ângulo Agudo
Quando o ângulo formado é menor que um ângulo reto.
1.5 Ângulo Obtuso
Quando o ângulo formado é menor que um ângulo raso e maior que um ângulo reto.
2
Figura 6: Ângulo agudo
Figura 7: Ângulo obtuso
1.6 Ângulos Complementares
Ângulos que quando justapostos formam um ângulo reto.
Figura 8: Ângulos complementares
1.7 Ângulos Suplementares
Ângulos que quando justapostos formam um ângulo raso.
Figura 9: Ângulos suplementares
3
2
Unidade de Medida Grau
Assim como distâncias, tempo e massa, ângulos também têm suas unidades de medidas. A
mais comum é o grau, palavara que tem origem do latim - gradu - e significa degrau.
Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a Figura 11. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o
mesmo. Se tivermos exatamente 360 semirretas, teremos detereminado 360 ângulos iguais.
Cada um deles será chamado grau e denotaremos essa unidade por 10 .
Figura 10: Semirretas partindo de um mesmo ponto determinando ângulos iguais entre si
Exemplo 1 De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ângulos iguais entre si.
Qual a medida, em graus, de cada ângulo?
Imaginando um cı́rculo cujo centro é o vértice comum aos ângulos assim como na Figura 11, cada
“fatia”, nesse caso, tem o triplo do tamanho comparada a divisão em 360 partes. Assim, cada ângulo
determinado pela divisão em 120 partes têm exatamente 30 .
Um grau pode ser ainda subdividido em partes menores. Além da divisão própria dos números
reais, são usadas divisões por 60: minutos e segundos.
• A fração de 1/60 de um grau é chamada minuto. Notação:
10
= 10
60
10
= 100
60
Exemplo 2 Considere um cı́rculo de raio R. De seu centro O, partem 190 semirretas determinando ângulos iguais entre si.
• e a fração de 1/60 de um minuto, é chamada segundo. Notação
• Qual a medida em graus de cada ângulo?
• Qual a medida em minutos de cada ângulo?
• Qual a medida em segundos de cada ângulo?
Assim como no exemplo anterior, se ao dividirmos um cı́rculo em 360 fatias, cada uma delas representa
360
1, 89
um ângulo de 10 , então ao dividirmos em 190 fatias (iguais), essas representarão ângulos de
190
graus.
Como cada grau corresponde a 60 minutos, o ângulo de 1, 890 equivale a 113, 4 minutos.
E, por fim, sendo um minuto igual a 60 segundos, segue que o ângulo de 113, 40 é igual a 680400 .
4
Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos
na mesma representação. Por exemplo
• O ângulo 3, 40 corresponde a 30 + 0, 40 . Como 10 corresponde a 600 , segue que 0, 40
corresponde a 0, 4 × 60 minutos, isto é, 3 graus mais 24 minutos. Daı́
3, 40 = 30 2400
• Já o ângulo 12, 270 , seguindo o raciocı́nio anterior, pode ser representado da seguinte
forma:
12, 270 = 120 + 0, 270 = 120 + 0, 27 × 6000 = 120 + 16, 20
Como 10 = 6000 , temos:
12, 270 = 120 + 16, 20 = 120 + 160 + 0, 20 = 120 + 160 + 0, 2 × 6000 = 120 + 160 + 1200 = 120 160 1200
Exemplo 3 Dados os ângulos A = 640 380 2900 e B = 380 420 1300 , determine:
• A+B
• A−B
•
A B
−
3 4
No caso da soma, façamos de acordo com cada parte do ângulo:
A + B = 640 380 2900 + 380 420 1300 = (640 + 280 ) + (380 + 420 ) + (2900 + 1300 ) = 920 800 4200
800
Observe que a quantidade de minutos excede 60 e, portanto, deve ser transformada em graus. Sendo
= 600 + 200 = 10 200 , segue que
A + B = 930 200 4200
Já para a diferença, teremos um problema quando da subtração dos minutos:
A − B = 640 380 2900 − 380 420 1300 = (640 − 280 ) + (380 − 420 ) + (2900 − 1300 )
Como a parte de minutos do ângulo A é menor do que a mesma parte no ângulo B, apenas para a
realização das contas, façamos uma modificação no ângulo A:
A = 640 380 2900 = (630 + 10 )380 2900 = 630 980 2900
Daı́,
A − B = 630 980 2900 − 380 420 1300 = (630 − 280 ) + (980 − 420 ) + (2900 − 1300 ) = 350 560 1600
Agora, vamos realizar a divisão de cada ângulo.
A 640 380 2900
=
+
+
= 21, 330 + 12, 660 + 9, 6600
3
3
3
3
Fazendo os ajustes nos graus e minutos1 , teremos:
1
Não ajustaremos os segundos pois não é usada uma divisão para estes.
5
A
= (210 + 0, 330 ) + (120 + 0, 660 ) + (9, 6600 ) = (210 + 0, 33 × 600 ) + (120 + 0, 66 × 6000 ) + 9, 6600
3
Assim,
A
= (210 + 200 ) + (120 + 4000 ) + 9, 6600 = 210 + (200 + 120 ) + (4000 + 9, 6600 ) 210 320 5000
3
Usando raciocı́nio análogo, encotraremos
B
90 400 3300
4
Com isso,
A B
− = 210 320 5000 −90 400 3300 = (210 −90 )+(320 −400 )+(5000 −3300 ) = (200 −90 )+(920 −400 )+(5000 −3300 )
3 4
ou seja
A B
− = 110 500 1700
3 4
Exemplo 4 Considerando os ângulos do Exemplo 3, represente na forma decimal A, B, A + B e
A − B. Sendo A = 640 380 2900 , temos:
A = 640 380 2900 = 640 +38.
10
10
10
+29. = 640 +0, 6330 +0, 4830 = 64, 6330 +0, 483. = 64, 6330 +0, 00850
60
60
60
Daı́, A 64, 640 . Com raciocı́nio análogo, B 38, 700 . Somando, obtemos A + B 103, 340 e
subtraindo, temos A − B 25, 940 .
2.1 Ângulo entre os ponteiros de um relógio
Um relógio marca 2:25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos?
Figura 11: “Relógio no tricô”. Foto retirada do site VilaMulher (www.vilamulher.com.br)
Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre 3600 e o menor, 300 . Portanto,
em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 60 e o menor 0, 50 . Daı́, às 2:25, o ponteiro maior terá
percorrido (a partir do 12) 25 × 60 = 1500 e o menor, 25 × 0, 50 = 12, 50 . Se o ponteiro das horas
permanecesse fixo, o menor ângulo seria de 1500 − 600 = 900 , mas como o ponteiro menor se
movimentou 12, 50 , segue que o ângulo procurado é de 77, 50 .
6
3
Exercı́cios
Fontes: Exercı́cios 1 e 2: Practice Makes Perfect - Trigonometry (Carolyn Wheater) k Exercı́cio 3: Blog ”Click
Exatas”k Exercı́cio 4: Do autor.
1. Converta para a forma decimal:
(a) 220 450
(b) 180 120
(c) 390 480
(d) 1370 270
(e) 960 510
(f) 810 610 4500
(g) 10 430 1200
(h) 1780 220 3000
(i) 110 70 3000
(j) 780 220 3600
2. Converta para a forma grau/minuto/segundo:
(a) 25.30
(b) 18.750
(c) 37.10
(d) 135.5450
(e) 94.7350
(f) 86.90
(g) 3.250
(h) 167.60
(i) 19.250
(j) 74.30
3. Determine o menor ângulo entre os ponteiros (das horas e dos minutos) de um relógio
quando este marca:
(a) 10:15
(b) 1:12
(c) 2:32
(d) 5:41
(e) 3:37
4. O ponteiro das horas já percorreu 1170 (a partir do 12). Que horas são?
3.1
Respostas
(a) 22.750
(b) 18.20
(c) 39.80
(d) 137.450
(e) 96.850
(f) 81.11250
(g) 1.720
(h) 178.3750
(i) 11.1250
(j) 78.3760
1.
(a) 250 180
(b) 180 450
(c) 370 60
(d) 1350 320 4200
(e) 940 440 600
(f) 860 540
(g)30 150
(h) 1670 360
(i) 190 150
(j) 740 180
2.
3.
(a) 1420 300
(b) 360
(c) 1160
4. 3:54
7
(d) 750 300
(e) 1130 300