Densidade de Fluxo Elétrico
Prof Daniel Silveira
Introdução
Objetivo
– Introduzir o conceito de fluxo
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
– Introduzir os conceitos de fluxo elétrico e densidade
de fluxo elétrico
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
Conceito de Fluxo
Φ =(v.cosθ)A
Φ =v·A
Fluxo volumétrico= Vazão (volume por unidade de tempo) do ar através
da espira por área
A) Incidência perpendicular
B) A componente perpendicular é v.cosθ
C) O vetor área A é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com v
Fluxo de um campo
É possível associar um vetor velocidade do vento a
cada ponto do interior da espira
O conjunto de todos esses vetores é um campo de
velocidades
A equação Φ =v·A pode ser interpretada como uma
expressão para o fluxo do campo de velocidades
através da espira
Interpretando desta forma, fluxo seria o produto de
uma área pelo campo que existe no interior dessa
área
Introdução
Michael Faraday (1791-1867)
–
–
–
–
Autodidata, com apenas educação primária
Grandes contribuições na química e na física
Habilidade com experimentos
Descobriu algumas leis que regem a eletricidade e o
magnetismo
– Propôs a representação do campo elétrico através
de linhas de força
• Recusado pelos matemáticos da época
• Provado posteriormente por Maxwell
Introdução
Michael Faraday
– Papel com limalha de ferro em cima e imã embaixo
– Há também linhas de força para campo elétrico?
Introdução
Michael Faraday
– Cargas opostas mergulhadas em óleo com
barbantes finos
– Como medir este fluxo elétrico?
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Seja uma esfera metálica com carga +Q
– Colocando esta esfera no interior de outra esfera metálica
• Carga –Q induzida na parte interna
• Carga +Q induzida na parte externa
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Ligando a esfera à terra
• Carga positivas se deslocarão para a terra
• Esfera externa com carga negativa
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Faraday interpretou o fenômeno como um fluxo de
deslocamento de cargas da esfera interna para a externa
– Este fluxo deve ser igual à carga total
Ψ =Q
– As trajetórias de deslocamento de carga são denominadas
linhas de fluxo
Densidade de Fluxo Elétrico
Densidader de Fluxo
Elétrico (D)
Medida de quantidade
de linhas de fluxo por
unidade de área
Grandeza vetorial que
aponta na direção das
linhas de fluxo
Densidade de Fluxo Elétrico
Esferas concêntricas
– Considerando uma esfera de
raio r entre as duas esferas
– A carga total, i.e. o fluxo,
dentro da esfera é Q e a
área total é 4πr 2
r
– D não depende do “corpo”,
desde que r seja maior que
este
Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem
– Considerando esfera interna centrada na origem com
r → 0 e esfera externa com r → ∞
r
Q r
a
D=
2 r
4πr
r
– Se a carga estiver localizada em r '
r r
D(r ) =
r r
Q
r −r'
r r 2 rr − rr '
4π r − r '
Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem
– Comparando com a equação do campo para uma
carga pontual r
Q r
E=
– No espaço livre
4πε 0 r
2
ar
r
r
D = ε0E
– Da mesma forma, para uma distribuição volumétrica
r r
de carga
r r
ρ dv' r − r '
D(r ) =
∫ 4π rr − rr'
v
vol
2
r r
r −r'
Densidade de Fluxo Elétrico
Exemplo 3.1)
– Calcular densidade de fluxo ao redor de uma linha de
carga uniforme de 8nC/m no eixo z no espaço livre
E3.1)
– Dada uma carga pontal de 60µC na origem, determine
o fluxo elétrico total que passa através de
• Porção da esfera de r =26cm limitada por 0<θ<π/2 e
0<φ<π/2
• Superfície fechada definida por z =±26cm e ρ =26cm
• Plano z =26cm
Densidade de Fluxo Elétrico
E3.2)
– Calcular densidade de fluxo no ponto P(2,-3,6)
produzido por
• Uma carga pontual QA=55mC em Q(-2,3,-6)
• Uma linha de cargas uniforme com ρL=20mC/m no eixo x
• Um plano em z =-5m com ρS =120µC/m2
Aplicações da Lei de Gauss
Introdução
Lei de Gauss
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície
fechada é igual à carga total dentro da superfície
Vamos usá-la para determinar a densidade de
fluxo se a distribuição de cargas for conhecida
r
r
Q = ∫ DS ⋅ dS
S
Introdução
Solução se torna simples se escolhermos uma
superfície fechada em que
r
– DS é normal ou tangente à superfície gaussiana
r
r
• DS ⋅ dS se torna DS dS
ou zero
r
r
– Quando DS ⋅ dS não for zero, DS deve ser
constante
Aplicações da Lei de Gauss
Carga pontual: superfície
esférica de raio r em
r
torno da carga Q, DS será sempre
perpendicular à superfície e constante
r
r
Q = ∫ DS ⋅ dS =
S
∫ D dS = D ∫ dS
S
esfera
S
esfera
π 2π
π
0 0
0
Q = DS ∫ ∫ r 2 sen θdφdθ = 2πDS r 2 ∫ sen θdθ
Q = 4πDS r
2
Q
r
Q r
DS =
⇒
DS =
a
2 r
4πa 2
4πa
Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição uniforme linear de carga ρL
– Superfície cilíndrica de raio ρ
com tampa em z=0 e z=L
– A carga total então será Q=ρLL
r
r
Q = ρ L L = ∫ DS ⋅ dS = DS
S
∫ dS + 0 ∫ dS + 0 ∫ dS
lado
topo
base
ρ L L = DS 2πρL
ρL
DS =
⇒ Dr = ρ L ar
S
ρ
2πρ
2πρ
A integração geralmente
se limita à área da
superfície onde D é
normal
Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição superficial de cargas ρS
– Superfície cilíndrica, uma base
em cada lado da placa
– E é perpendicular à placa
– A carga total então será Q=ρSA
r
r
Q = ∫ DS ⋅ dS = DS . A + DS . A = ρ S . A
S
DS =
ρS
2
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Cilindros condutores
– Raio interno ρinterno= a
– Raio interno ρexterno= b
– Temos ρS na superfície externa do condutor interno
– Achar o campo elétrico pela lei de Coulomb é
complicado
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para ρ < a
• Como o condutor é metálico, a carga
na está na superfície
• A superfície gaussiana não envolve
nenhuma carga
r
r
r
Q = 0 = ∫ DS ⋅ dS ⇒ DS = 0 ⇒ DS = 0
S
– Para ρ > b
• A carga total envolvida é zero
r
DS = 0
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para a <ρ < b
• A superfície envolve a carga contida
no condutor interno para 0<z<L
L
Q=
Q = DS 2πρL
2π
∫ φ∫ ρ
S
adφdz = 2πaLρ S
z =0 =0
Q = 2πaLρ S
Pela lei de Gauss
2πaLρ S = DS 2πρL DS =
aρ S
ρ
⇒
r
aρ S r
DS =
aρ
ρ
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para a <ρ < b
• Se o condutor interno for um fio com
distribuição de carga ρL
Q = ρL L
ρ L = 2πaρ S
r
ρL r
aρ
DS =
⇒ DS =
2πρ
ρ
aρ S
Forma idêntica a da linha infinita de cargas!
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Como a carga total nos dois
condutores tem o mesmo módulo
Qa = −Qb
2πaLρ Sa = −2πbLρ Sb
a
ρ Sb = − ρ Sa
b
Aplicações da Lei de Gauss
Exemplo 3.2)
– Seja um cabo coaxial com L=50cm, a=1mm,
b=4mm e Qa=30nC
• Ache a densidade de carga em cada condutor
r
r
• Determine D e E
Lei de Gauss
E3.3)
r
r
– Seja D = 0,3r 2 ar nC/m2 no espaço livre. Determine:
• Campo elétrico em P r = 2,θ = 25o , φ = 90o
• Carga total dentro da esfera r = 3
• Determine o fluxo total que deixa a esfera r = 4
(
)
Lei de Gauss
E3.4)
– Calcule o fluxo total saindo de uma superfície cúbica
formada por seis planos x,y,z =±5, para
• Duas cargas pontuais 0,1µC em (1, -2, 3) e 1/7µC em
(-1,2,-2)
• Linha uniforme de carga π µC/m em x=-2 e y=3
• Superfície uniforme de carga 0,1µC/m2 no plano y=3x
Aplicações da Lei de Gauss
E3.5)
– Uma carga pontual de 0,25µC está localizada em r=0
e superfícies uniformes de carga estão dispostas da
seguinte forma: 2mC/m2 em r=1cm, -0,6mC/m2 em
r=1,8cm. Calcule a densidade de fluxo elétrico em
• r=0,5cm
• r=1,5cm
• r=2,5cm
– Que densidade de carga superficial uniforme deve ser
colocada em r=3cm para que a densidade de fluxo
elétrico em r=3,5cm seja nula
Divergente
Relaciona um campo vetorial com um campo escalar
r
O divergente
r do campo vetorial D é o produto escalar
entre ∇ e D
r ∂ r
r
r
r
∂ r
∂ r 
∇ ⋅ D =  a x + a y + a z  ⋅ (Dx a x + D y a y + Dz a z )
∂y
∂z 
 ∂x
r
r ∂Dx ∂D y ∂Dz
∇ ⋅ D = div D =
+
+
∂x
∂y
∂z
Divergente
Em coordenadas cilíndricas
r 1 ∂ (ρDρ ) 1 ∂Dφ ∂Dz
∇⋅D =
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
Em coordenadas esféricas
(
)
r 1 ∂ r 2 Dr
1 ∂ (Dθ sen θ )
1 ∂Dφ
∇⋅D = 2
+
+
r
∂r
r sen θ
∂θ
r sen θ ∂φ
Divergente
A divergência de um campo vetorial dá como resultado
o fluxo líquido (fluxo que sai menos fluxo que entra) por
unidade de volume
r
∇ ⋅ D = ρv
←Carga por unidade de volume
O resultado é um escalar
r
∇⋅D > 0
r
∇⋅D = 0
r
∇⋅D < 0
Divergência
Exemplos
– Fluxo líquido de água através de qualquer superfície
fechada é zero
• Água que entra, sai
• Divergência de velocidade é nula
– Ar se expande quando a pressão cai
• Divergência é maior que zero
Aplicações da Lei de Gauss
Lei de Gauss
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é
igual à carga total dentro da superfície
Vamos aplicar a lei de Gauss a um elemento diferencial
de volume em problemas que não possuem simetria
Isto servirá para determinar a divergência de um campo
vetorial e para enunciar a primeira equação de Maxwell
na forma diferencial
Divergência
Divergência informa quanto fluxo está deixando
um volume por unidade de volume
– Fonte de densidade
de fluxo positiva
r
∇⋅D > 0
– Fonte de densidade de fluxo negativa
r
∇⋅D < 0
– Não há fonte de densidade de fluxo
r
∇⋅D = 0
Primeira Equação de Maxwell
Sabemos que
r r
∫ D ⋅ dS
r
∇ ⋅ D = lim S
∆v →0
∆v
então
r
Q
∇ ⋅ D = lim
= ρv ⇒
∆v →0 ∆v
r r
∫ D ⋅ dS = Q
S
r
Primeira Equação de
∇ ⋅ D = ρ v Maxwell (Eletrostática)
A primeira equação de Maxwell estabelece que o fluxo elétrico
por unidade de volume que deixa uma unidade de volume
infinitesimal é igual a sua densidade volumétrica de carga
Teorema da Divergência
r r
r
∫ D ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ Ddv
S
vol
A integral da componente normal a qualquer campo
vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral
da divergência desse campo vetorial através do volume
limitado por uma superfície fechada
Relação entre uma integral dupla de superfície com
uma integral tripla de volume
Teorema da Divergência
Fisicamente, podemos analisar este resultado como
sendo preferível se preocupar com as consequências
do que ocorre na superfície de um volume sem se
importar com o fenômeno que está se desenvolvendo
dentro deles
– O que diverge em uma célula
converge na adjacente
– Só contribui para o total
o que diverge na superfície
Teorema da Divergência
Exemplo 3.5
– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o
campo
r
r
2r
D = 2 xya x + x a y C/m2
e um paralelepípedo 0<x<1, 0<y<2, 0<z<3
Teorema da Divergência
Exemplo proposto
– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o
campo
r
r
r
2
2
2r
D = 2 ρ cos 5φaρ − 2 ρ sen 5φaφ + 2 ρ a z C/m2
e um paralelepípedo ρ ≤5, 0 ≤ φ ≤ 0,1π, 0 ≤ z ≤ 10
Lista de Exercícios
Capítulo 3
– 3.3, 3.4, 3.5, 3.9, 3.13, 3.17, 3.19, 3.21, 3.23, 3.27,
3.29