```INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
EXERCÍCIOS DE DINÂMICA E HIDRODINÂMICA DO NAVIO
Nuno Fonseca
Secção Autónoma de Engenharia Naval
Outubro de 2008
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
ÍNDICE
1
Exercícios de revisão............................................................................................. 3
2
Arfagem, balanço e Cabeceio desacoplados......................................................... 14
3
Sistema dinâmicos com dois graus de liberdade .................................................. 28
4
5
Resposta em ondas irregulares............................................................................. 37
___________________________________________________________________
2
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
1
IST
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Exercise 1
Determine the differential equation of motion and the natural frequency of the
following dynamic systems.
(a)
x
K1
K3
M
K2
ωn =
(k1 + k 2 )k 3
(k1 + k 2 + k 3 )m
(b) Consider the small rotations of the rigid bar with length L and negligible
mass.
θ
L
K
m
ωn =
ka 2 + mgL
mL2
___________________________________________________________________
3
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
(c) Consider the bar with length L, negligible mass and uniform distribution of
Young’s modulus (E) and cross sectional moment of inertia (I). The bar has
one fixed end a concentrated mass on the other end. Consider small vertical
displacements of the mass m.
L
ωn =
m
x
3EI
L3 m
(d) Consider the small rotations of the rigid bar with length L and negligible
mass, and vertical oscillations of the mass m.
K2
K1
m
ωn =
x


k1 a 2

k1 1 −
2
2 
 k 2 b + k1 a 
m
___________________________________________________________________
4
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
(e) The uniform circular shaft in torsion is fixed at one end and has a rigid disk
attached at the other end with mass M. The length of the shaft is L, the
torsional stiffness is GJ, where G is the shear modulus and J is the polar
moment of inertia of the cross sectional area, and the mass of the shaft is
small compared to M.
L, GJ
M
ωn =
2GJ
MR 2 L
(f) The shaft in torsion is composed of two segments of different length and
torsional stiffness. Each shaft segment has uniform characteristics, as given
in the figure, and relatively small mass, it is fixed on one end and has a
mass M attached at the other end.
L1 , J1
L2, J2
M
ωn =
2G 2 J 1 J 2
MR 2 (L1GJ 2 + L2 GJ 1 )
___________________________________________________________________
5
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercise 2
A mass of 1.95 kg vibrates in a viscous environment. Determine the damping
coefficient when an harmonic exciting force of 24.46 N induces a resonance
amplitude of 1.27 cm with a period of 0.20 s.
C = 61.3 ( Ns / m )
Exercise 3
A mass of is connected to a spring of stiffness 525 (N/m) and to a damper.
When the mass is moved from the static position and freed to move, then the
period of oscillation is 1.80s and the ratio between consecutive peaks is 4.2.
Calculate the amplitude and the phase when an harmonic exciting force,
F = 2.0 cos(3t ) N , acts on the system.
A = 7.97 mm
φ = 51.4º
___________________________________________________________________
6
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercise 4
The following figure represents the simplified diagram of a car with mass M and
advancing with constant speed V on a road with irregular surface. Assume that
the surface of the road may be represented by a sine function with amplitude y0
and length L. The suspension of the car is represented by a spring of stiffness K
and a damper with coefficient C. Assume that the car behaves as a single
degree of freedom system with vertical motion of the mass and of the wheel.
The wheel is always in contact with the road surface.
(g1) Derive the differential equation of motion
 2πV 
 2πV 
m&z& + cz& + kz = m
t
 y 0 sin 
 L 
 L 
2
x(t ) = z (t ) + y ( y )
y(t)
is the elevation of the road surface at a reference system fixed in
the car
x(t)
is the vertical motion of M
z(t) = x(t) – y(t)
is the relative motion between M and the wheel
(g2) Determine the critical speed of the car in terms of vertical induced
motions.
V =
L
2π
k
M
V
M
C
K
___________________________________________________________________
7
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercise 5
Consider the engine of a ship of the figure bellow, with two fixings to the floor
(fixes), four rigid supports (patas), four flexible supports (calços) and two
dampers fixed to the ceiling of the engine room. Assume that the stiffness of the
floor and ceiling are very large, therefore they do not deform, however the
calços and fixes have some flexibility.
Consider only the vertical motions of the engine where it is assumed that all the
mass is concentrated.
(a) Make a sketch of the free body diagram.
(b) The weight of the engine is 9800N. When it is installed at the engine
room the deformation of the calços was measured as 5mm. The fixes
deformed 0.1mm. Calculate the stiffness constants of each calço and
each fixe. Calculate the equivalent stiffness constant. K eq = 1920(kN / m) )
(c) What is the natural frequency of the system?
ω n = 43.8(rad / s )
(d) Calculate the damping coefficient of each damper knowing that the
damping of the system is of 75% of the critical damping.
C = 32.9(kNm / s )
(e) The engine works at 2000 rpm and it has an eccentricity equivalent to
two masses rotating in opposite direction with constant angular velocity.
Each eccentric mass is 0.5kg and the eccentricity of 10cm. Calculate the
vertical response of the engine in the vertical direction.
Exciting force:
F (t ) = 3160 sin (125.7t )N
Vertical response:
x(t ) = X sin (125.7t − φ )mm
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8
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercise 6
O cabo da figura 1, encontra-se sobre tensão T que pode ser assumida
constante para pequenos deslocamentos. Para pequenas oscilações, calcule a
frequência natural das vibrações verticais do cabo.
Figura 1
Resposta: ω n =
TL
ma (L − a )
Exercise 7
A figura 2, mostra um sistema composto por uma barra rígida uniforme, duas
molas lineares e uma torsional. A disposição das molas impede o movimento
vertical de corpo rígido. Calcule a frequência natural das oscilações verticais da
barra.
Figura 2
Resposta: ω n =
3K + 6kL2
m.L2
___________________________________________________________________
9
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercise 8
Um cilindro circular de massa m e raio r encontra-se ligado a uma mola de
constante elástica k como é mostrado na figura 3. Considerando que o cilindro
rola sem deslizar na superfície horizontal, calcule a frequência natural do
sistema.
Figura 3
Resposta: ω n =
2k
3m
Exercise 9
O disco homogéneo circular da figura 4 tem um momento
de inércia em relação ao seu centro de gravidade de 10
[Kg.m2]. Na posição de equilíbrio estático, ambas as
molas encontram-se esticadas 100 [mm]. Calcule a
frequência natural angular das oscilações do disco
quando este é sujeito a um pequeno deslocamento
angular e em seguida libertado. K = 10 [N/m], e o raio do
disco é de 10 [cm].
Resposta: ω n =
2k
3m
Figura 4
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercise 10
Considere o sistema da figura 5: Se a massa das roldanas for desprezável e a
corda inextensível, calcule a frequência natural do sistema.
Figura 5
Resposta: ω n =
k eq
m
=
k a kb
4m(k a + k b )
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercise 11
A massa do sistema da figura 6,
encontra-se inicialmente em repouso
quando uma velocidade de 10 [m/s] lhe
é imposta. Encontre o deslocamento e
= 1400 [N.s/m]; k = 38 [kN/m] e W =
3924 [N]
Figura 6
Respostas:
x = e −1.75t (0.732 Sin 13.67t )
x& = − 1.75e −1.75t ( 0.732 Sin 13.67t ) + 13.67e −1.75t (− 0.732 Cos 13.67t )
Exercício 12
Calcule as respostas transiente e estacionária, da massa do problema anterior,
considerando que a força de excitação F0 Sin ω t = 1350 Sin 5.0t actua sobre a
massa.
Resposta: x = 10.199e −1.75t Sin(13.67t + 1.373) + 0.02034 Sin(5.0t − 0.1064)
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 13
Um bloco de massa m é suportado por uma mola de constante elástica k, que
se encontra montada numa base com peso desprezável, que tem um
movimento harmónico ascendente/descendente A0 Sin ω t como é mostrado na
figura 7. Determine o movimento do bloco.
Figura 7
Resposta: x = A Sin ω n t + B Cos ω n t +
A0 Sin ω t
1 − (ω / ω n ) 2
Exercício 14
Se o sistema apresentado na figura 8, for abandonado a uma altura h indo
embater na superfície horizontal rígida abaixo deste, qual será o consequente
movimento da massa m ?
Figura 8
Resposta: x =
2 gh e −(c / 2 m )t
ωd
Sin ω d t
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
2
IST
Exercício 1
Considere o navio com as seguintes características:
Comprimento de 50m, Boca de 10m, Imersão de 5m, Coeficiente de finura total de 0.6,
Altura metacentrica transversal de 0.5m e raio de giração em torno do eixo longitudinal
que passa pelo CG de 4m.
O gráfico da figura representa o resultado de um teste de extinção para o balanço
transversal do navio (oscilações livres amortecidas). Considere ρ = 1000 Kg / m3 .
a)
Calcule o factor de amortecimento do navio para o balanço transversal e para a
condição a que corresponde o gráfico. (factor de amortecimento = 0.08)
b) Para a mesma condição, qual a inércia acrescentada do navio em balanço? (Ia =
2.65e6 ton.m2)
c)
e)
Deduza a equação diferencial do movimento para oscilações livres (todos os
Se o navio navegar com uma velocidade de 10 nós em mar com ondas regulares de
frequência 0.9 rad/s, qual o ângulo de rumo relativo às ondas para o qual o
movimento de balanço é mais amplificado? A convenção de ângulo de rumo deve
ser 0º para ondas de proa. (122º)
Teste de Extinção de Balanço
10
8
Balanço(graus)
6
4
2
0
-2 0
10
20
30
40
50
60
70
-4
-6
-8
tempo (seg)
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 2
Considere uma barcaça paralelipipédica com comprimento, boca e imersão dados
respectivamente por 100, 15 e 5 metros. O centro de gravidade está a meio navio e 3
metros acima da linha base, o raio de giração associado ao movimento de balanço
transversal é de 5 metros e a inércia acrescentada é igual a 25% da inércia estrutural. O
amortecimento em balanço é 10% do amortecimento crítico.
Nota: utilize ρ = 1000 Kg / m3
(a)
Estabelecer a equação diferencial do movimento de balanço transversal.
(b)
Calcular o amorteciemnto crítico. (131260 kNsm)
(c)
Calcular o período natural e o periodo natural amortecido. (Tn = 22.4s , Td =
22.5s)
(d)
Em oscilações livres e sabendo que no equilíbrio estático a barcaça está direita,
ao fim de quanto tempo o balanço se reduz a 2º, se começar com 15º para um
bordo?
Deduza a solução desde a equação diferencial do movimento e só depois fazer a
aplicação numérica. (72 s)
(e)
Quanto deve ser a constante de amortecimento se, tal como na alinea anterior,
para reduzir ao ângulo de 2º pretender levar metade do tempo? (26,25e6 Nsm)
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 3
A figura 1 representa um pequeno catamara para passeio de turistas. Considere o
movimento de arfagem. Para determinar as características hidrodinâmicas da
embarcação, faz-se a seguinte experiência; com uma grua iça-se a embarcação 20cm,
seguidamente solta-se e mede-se o movimento vertical em águas tranquilas. Observa-se
que o período do movimento é de 2.3seg. e que a amplitude do movimento se reduz para
1/4 do valor inicial ao fim de 2 ciclos do movimento.
Nota: considere ρ = 1000 Kg/m^3 e g = 9.81 m/s^2.
(a) Considere a resposta livre com amortecimento. Explique o significado do
decremento logarítmico e deduza as seguintes expressões para o decremento
logarítmico;
δ=
2πξ
1− ξ
2
,
δ=
x1
1
ln
n x n +1
(b) Estime o factor de amortecimento para o movimento vertical do catamaran (se não
resolver esta alínea, use para as alíneas seguintes o factor de amortecimento de
0.15). (0.11)
(c) Estime o valor da massa acrescentada em arfagem para as condições do ensaio (se
não resolver esta alínea use para as alíneas seguintes a massa acrescentada igual a
50% da massa própria da embarcação). (Ma = 8616 kg)
(d) Calcule a frequência natural e o período natural da oscilação. (Wn = 2.75 rad/s))
(e) Desenhe o diagrama de corpo livre para o movimento de arfagem, definindo as
convenções que usar para os referenciais, direcções e sentidos.
(f) Baseado no diagrama de corpo livre, deduza a equação diferencial do movimento de
arfagem livre. Explique o significado de cada um dos termos da equação diferencial.
(g) Calcule a resposta em arfagem desde o instante em que a grua solta o catamara.
( x(t ) = 0.20e −0.30t cos(2.73t − 0.11) m)
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 4
Um navio tem as seguintes características: comprimento de 20m, boca de 5m, imersão
média de 2m, coeficiente de finura total de 0.4, altura metacentrica transversal de 0.5m
e raio de giração em balanço de 2m. Em balanço o amortecimento é 8% do
amortecimento crítico e a inércia acrescentada é 20% da inércia própria do navio.
Nota: considere ρ = 1000 Kg/m^3 e g = 9.81 m/s^2.
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o movimento de balanço forçado, definindo
as convenções que usar para os referenciais, direcções e sentidos. Defina tambem a
nomenclatura que utilizar.
(b) Deduza a expressão para a constante de mola equivalente do sistema.
(c) Calcule o período natural de oscilação e o período das oscilações livres com
amortecimento. (Tn = 6.22s , Td = 6.24s)
(d) O navio navega com uma velocidade de 10 nós em ondas regulares de frequência
(d1) Qual é o rumo do navio relativamente às ondas onde existe ressonância para o
movimento de balanço? Represente num esboço simples o resultado obtido.
(115º)
(d2) Quantos ciclos por minuto faz o navio nestas condições? (9.6 ciclos/min)
(d3) Para as condições da alínea (d1), calcule a amplitude da resposta forçada em
balanço, sendo a amplitude do momento de excitação igual a 15 (KNm). (14º)
(d4) Considere a figura 2. Para as condições da alínea anterior, calcule o momento
máximo no encastramento do mastro (ponto A na base do mastro). Considere o
mastro completamente rígido e com um peso de 100Kg. (1020 Nm)
(d5) Suponha que pretende reduzir a amplitude do balanço nas condições
particulares da alínea (d1), para o que tem duas soluções; modificar a
distribuição de pesos pelo que consegue baixar o CG 20cm, ou reduzir 10% o
peso ao navio. Qual é a solução mais eficaz? Justifique.
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 5
(a) Como distingue os problemas estáticos dos problemas dinâmicos?
(b) Defina: período natural, período das oscilações livres amortecidas e período de
excitação
(c) Qual o significado físico do amortecimento crítico?
(d) Imagine que está a bordo de uma embarcação pequena da qual conhece as
dimensões principais e o deslocamento e precisa de fazer as seguintes estimativas
em poucos minutos:
(d1) Descreva um procedimento prático para obter uma boa aproximação da
frequência natural de balanço. Deve apoiar a descrição em fórmulas e justificar
simplificações no caso de ter que as fazer.
(d2) Descreva um procedimento prático para estimar o coeficiente de amortecimento
em balanço. Deve apoiar a descrição em fórmulas e justificar simplificações no
caso de ter que as fazer.
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 6
Um modelo de um navio tem as seguintes características;
•
•
•
•
•
•
•
•
comprimento de 5m
boca de 1.0m
imersão de 0.4m
coeficiente de finura total de 0.5
altura metacentrica transversal de 0.25m
raio de giração em balanço igual a 40% da boca
inércia acrescentada em balanço igual a 30% da inércia estrutural
velocidade de 2m/s e rumo do modelo relativamente às ondas regulares de 45 graus.
Considere o movimento de balanço forçado em ondas regulares. As ondas induzem um
momento de excitação harmónico.
(a) Escreva a equação do movimento de balanço forçado linear (não necessita calcular
as constante nesta alínea). Descreva o significado de todas as constantes e variáveis
na equação.
(b) Deduza a expressão da constante de mola equivalente explicando todos os passos e
com o auxílio de um esboço. Calcule o valor da constante de mola equivalente.
(c) Calcule a frequência natural e o período natural de balanço deste modelo. (Wn =
(d) Quando o modelo avança com velocidade de 2m/s em ondas regulares que fazem
um ângulo de 45 graus com a proa do navio, mede-se a resposta em balanço dada
pelo gráfico da figura seguinte.
40
30
ângulo (graus)
20
10
0
-10 0
1
2
3
4
-20
-30
-40
t (s)
(d1) Calcule a frequência das ondas regulares. (w = 2.35 rad/s)
(d2) A partir do gráfico, obtenha a equação do balanço forçado (pede-se a solução, não
a equação diferencial). ( θ (t ) = 30 sin (3.14t − π / 2) graus)
(d3) Calcule o coeficiente de amortecimento e a amplitude do momento de excitação. (c
= 0.127 kNsm , M0 = 0.293 kNm)
(d4) Comente sobre a aplicação da equação linear do balanço forçado neste caso
particular. Deve justificar os seus pontos de vista.
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 7
Uma pequena embarcação pequena tem comprimento, boca e imersão respectivamente
de 10m, 3.0m e 1.5m. O coeficiente de finura total é de 0.5, a altura metacentrica
transversal de 0.8m e o raio de giração em balanço é igual a 40% da boca. O gráfico da
figura mostra o resultado de um teste de extinção de balanço feito com a embarcação.
Ensaio de Extinção de Balanço
10
8
balanço (graus)
6
4
2
0
-2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
-4
-6
-8
t (s)
1.1
(a) Descreva detalhadamente como faria um ensaio de extinção de balanço para esta
embarcação (um aluno do 3º ano deveria ser capaz de realizar o ensaio e obter o
gráfico com base na descrição). Explique o objectivo do ensaio de extinção de
balanço.
(b) Deduza as seguintes expressões para o decremento logarítmico:
x1
2πξ
1
,
δ
=
ln
δ=
n x n +1
1− ξ 2
(c)
(d)
(e)
(f)
Calcule o factor de amortecimento. (0.11)
Calcule a inércia acrescentada em balanço. (7.29 ton*m2)
Calcule o coeficiente de amortecimento do navio. (18.4 kNms)
Calcule a aceleração máxima em balanço a que o navio está sujeito durante o
ensaio. (34.5 º/s2)
1.2
(a) O momento de excitação em balanço quando o navio navega em mar de ondas
regulares é de 10.0(KNm). Calcule o balanço do navio em ressonância.
( θ (t ) = 14.8 sin (2.11t − π / 2) , graus)
(b) Para reduzir a amplitude do balanço são instalados robaletes no navio, que
aumentam o amortecimento. Para as condições da alínea anterior, qual a força
máxima gerada em cada robalete para reduzir a amplitude do balanço para 1/3.
( Fmax = 5.14 / 2d , kN)
1.3
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
(a) Porque é que para a gama de frequências em torno da frequência natural, o
balanço forçado de navios apresenta uma amplificação dinâmica considerável.
Se necessário, recorra a expressões matemáticas para basear a justificação.
(b) Em certas condições os navios podem atingir ângulos de balanço elevados com
ondas regulares pela proa. Diga com que designação é conhecido este fenómeno,
e explique fisicamente o que o origina, em que condições e para que tipo de
navios.
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 8
(a1) Defina: período natural, frequência natural, frequência das oscilações livres
amortecidas, definindo todas as variáveis que utilizar e indicando as respectivas
(a2) Qual o significado físico do período natural.
(a3) Descreva um procedimento prático de obter uma boa aproximação do período
natural de balanço de um navio de pesca pequeno.
(b)
Considere o movimento de cabeceio do flutuador representado na figura. A posição do
centro de gravidade é representada na figura por G. O raio de giração em cabeceio é
igual a 25% o comprimento do flutuador. As oscilações livres em cabeceio têm um
periodo de 1.63s e mostram que o factor de amortecimento é de 0.15.
(b1) Desenhe o diagrama de corpo livre do pontão em cabeceio e a partir do diagrama
de corpo livre deduza a equação diferencial do movimento de cabeceio livre. Defina
toda a simbologia que utilizar.
(b2) Deduza a expressão da constante de mola equivalente do sistema e descreva as
hipóteses que tem que assumir. A dedução deve ser baseada num esboço. Defina toda a
simbologia que utilizar.
(b3) Calcule o valor da constante de mola equivalente do sistema. (2087 kNm)
(b4) Calcule a inércia acrescentada em cabeceio. (56 ton m2)
(b5) Calcule o amortecimento crítico em cabeceio. (1070 kNms2)
(b6) Explique o significado físico de:
- amortecimento crítico em cabeceio
(b7) Uma onda regular induz uma amplitude de ressonância em cabeceio de 5 graus.
- Calcule a amplitude do momento de excitação. (54.6 kNm)
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
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- Represente graficamente as descrições no tempo do momento de excitação e do
movimento de cabeceio.
(b8) Nas condições da alinea anterior, calcule a aceleração vertical máxima que sente
uma pessoa na extremidade da proa. (7.96 m/s2)
Exercício 9
Considere o pontão flutuante para embarque de passageiros representado na figura. O
pontão tem dois flutuadores iguais e com forma de paralélipipedo. A posição do centro
de gravidade é representada na figura por G. O amortecimento em balanço é igual a
10% do amortecimento crítico e pode-se assumir que a inércia acrescentada em balanço
é igual a 20% da inércia total do sistema (inércia estrutural é 80% da inércia total).
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre do pontão em balanço e a partir do diagrama de
corpo livre deduza a equação diferencial do movimento de balanço livre. Defina
toda a simbologia que utilizar.
(b1) Deduza a expressão da constante de mola equivalente do sistema e descreva as
hipóteses que tem que assumir. A dedução deve ser baseada num esboço. Defina
toda a simbologia que utilizar.
(b2) Calcule o valor da constante de mola equivalente do sistema. (52 kNm)
(c) Induz-se uma inclinação inicial no pontão e de seguida deixa-se oscilar livremente.
Mede-se um período de balanço de 2.0 segundos. Qual o valor da inércia estrutural e
inércia adicionada em balanço? (Ixx = 4.17 ton m2 , Axx = 1.04 ton m2)
(d) Calcule o coeficiente de amortecimento em balanço. (3.294 kNsm)
(h) (e) Voltando à situação da alínea (c), se a inclinação inicial for de 10 graus, qual a
equação do movimento de balanço a partir do instante que o movimento se inicia?
( θ (t ) = 0.176e −0.316t cos(3.142t − 0.10) rad)
(f) Porque que razão para a gama de frequências em torno da frequência natural o
balanço forçado de navios apresenta uma amplificação dinâmica considerável. Se
necessário, recorra a expressões matemáticas para basear a justificação.
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Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 10
Considere uma barcaça com secção transversal triangular e constante ao longo do
comprimento e as seguintes características principais: comprimento na linha de água de
12m, boca na linha de água de 3.0m, imersão média de 1.5m, altura metacentrica
transversal de 0.3m e altura metacentrica longitudinal de 8.0m.
A distribuição longitudinal de massas é dada na figura seguinte:
(A)
(a1) Qual é o deslocamento da barcaça? (27 ton)
(a2) Qual a posição do centro de gravidade? Qual é o caimento? (caimento = 0)
(a3) Qual o momento de inércia em cabeceio? Qual o raio de giração em cabeceio? (Ryy
= 3.416m)
(B) Considere que a barcaça avança com velocidade de 4 nós, e encontra um sistema de
ondas regulares com comprimento de 24m, pela amura conforme indica a figura.
(b1) Com auxílio dos gráficos em anexo, calcule a massa acrescentada em arfagem da
barcaça (com secções transversais triangulares). (Ma = 27.6 ton))
(b2) Calcule a inércia acrescentada em cabeceio.
___________________________________________________________________ 24
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 11
A figura representa um sistema para aproveitar a energia das ondas. Basicamente é
composto por um flutuador que só tem movimento vertical, acoplado a uma barra em L,
que por sua vez está acoplada ao conversor de energia aqui representado por uma mola
linear de constante KE=10kN/m e um amortecedor linear de constante CE. A massa do
A figura mostra o sistema em equilíbrio estático, situação em que a mola KE está sob
tensão. O flutuador é cilíndrico de raio 1m, e pode-se assumir que a barra em L não tem
massa. A massa acrescentada do cilindro em oscilações verticais é 70% da sua massa
própria e o amortecimento é igual a 10% do amortecimento crítico.
wave
rigid bar
(a) Qual é a pretensão na mola KE para a condição da figura?
(b) Considere oscilações verticais livres e de pequena amplitude do flutuador.
(b1) Desenhe o diagrama de corpo livre do sistema. Represente as coordenadas que
utilizar, todas as forças envolvidas, e defina toda a nomenclatura que utilizar.
(b2) Deduza a equação diferencial do movimento vertical do flutuador.
(b3) Qual a constante de mola equivalente? (se não resolveu use nas seguintes
35kN/m)
(b4) Calcule a frequência natural do sistema.
(b5) Tira-se o sistema do equilíbrio levantado o flutuador 0.5m. Medem-se as
oscilações verticais do flutuador e observa-se que a amplitude do movimento
vertical decresce para 1/10 do valor inicial ao fim de 2 ciclos do movimento.
Qual o factor de amortecimento do sistema?
___________________________________________________________________ 25
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
(b6) Qual a constante de amortecimento do sistema e qual a constante de
amortecimento do conversor de energia (CE)? (se não resolveu use nas
seguintes respectivamente 7.5 kNs/m e 3.2 kNs/m)
(b7) Calcule a resposta para as condições da alínea b5.
(c1) Uma onda regular e harmónica induz uma amplitude de ressonância de 0.5m.
Qual a amplitude da força de excitação? Qual é em segundos o atraso da
resposta relativamente à força de excitação? (se não resolveu utilize F0 = 3.2
KN)
(c2) Suponha que quer reduzir a amplitude de ressonância para o metade, pelo que
altera o valor do coeficiente de amortecimento CE. Qual deve ser o novo CE ?
(c3) Suponha que quer utilizar as condições da alínea (c1) para dimensionar a barra
rígida. Calcule a força máxima na barra rígida.
___________________________________________________________________ 26
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 12
Considere as oscilações verticais do cilindro vertical, aberto no seu interior, da figura
seguinte. Assuma que a massa adicionada e o coeficiente de amortecimento são
independentes da frequência e dados respectivamente por 50% da massa própria e 8%
do amortecimento crítico.
(a) Calcule a frequência natural do movimento vertical.
(b) Calcule a função de transferência em função da frequência de excitação,
assumindo que a amplitude da força de excitação para ondas de amplitude
unitária é de 25kN (calcule a amplitude e o ângulo de fase). Apresente o
side view
wave
plan view
___________________________________________________________________ 27
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
3
IST
SISTEMA DINÂMICOS COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE
Exercício 1
As equações diferenciais do movimento de um sistema com dois graus de liberdade são:
&x&1 + 0.5 x&1 + 3 x1 − x& 2 − 2 x 2 = 1.5 sin (t − π )
− 2 x1 − x&1 + &x&2 + 2 x& 2 + 2 x 2 = 5 sin (t − π / 2 )
(a) Qual o período das oscilações? (6.28 s)
(b) Calcule os modos naturais deste sistema.
(1º modo: x1 = 0.78C1 cos(0.66t − φ1 ) , x2 = C1 cos(0.66t − φ1 ) )
(2º modo: x1 = −1.27C2 cos(2.14t − φ2 ) , x2 = C2 cos(2.14t − φ2 ) )
Exercício 2
A figura representa um sistema com dois graus de liberdade para as oscilações verticais
Massa (Ton)
64
36
Massa acrescent. (Ton)
50
30
Coef.
de
amort.
(KNs/m)
Área de flutuação (m2)
50
10
16
9
(a)
Calcule a imersão de m1 e m2 se em equilíbrio estático o cabo que os une tem
uma tensão de 200 KN. (i1 = 5.27m , i2 = 6.27m)
(b)
Deduza as equações diferenciais das oscilações livres verticais de m1 e m2.
(c)
Calcule as frequências
ω2 = 1.94rad / s )
naturais
de
oscilação.
( ω1 = 1.16rad / s
,
___________________________________________________________________ 28
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 3
A figura mostra um sistema que tem dois graus de liberdade para oscilações verticais.
•
•
•
•
•
M1 tem uma figura de flutuação quadrada e com área de 1.0m2.
M2 tem forma cúbica com arestas com 0.5m.
A massa do corpo flutuante é de 0.5 toneladas. O coeficiente de amortecimento para
oscilações verticais é de 1.0 KN/m.
O corpo submerso tem um coeficiente de amortecimento de 0.5 KN/m para
oscilações verticais.
Ambos os corpos têm massas acrescentadas para oscilações verticais iguais às suas
massas pr óprias.
(a)
Calcule a tensão no cabo que une os corpos
quando o sistema está em equilibrio estático.
(2.943 kN)
(b)
Qual a massa do corpo submerso? (M2 = 425 kg)
(c)
baixo, o cabo está sem tensão. Quando se
suspende M2, então o cabo fica sob tensão e
extende-se 0.5m. Assumindo que o cabo tem um
comportamento linear, qual a constante de
(d)
Para oscilações verticais das duas massas, o
sistema tem dois graus de liberdade. Justifique a
afirmação.
(e)
Considerando as oscilações verticais, desenhe um
sistema equivalente onde representa todas as massas, amortecedores e molas,
nomencaltura.
(f)
Considerando oscilações livres verticais, desenhe o diagrama de corpo livre e a
partir deste estabeleça as equações diferenciais do movimento. Defina todas as
constantes e variáveis que ainda não estão definidas.
(g)
Calcule as frequências naturais das oscilações verticais. ( ω1 = 0.324rad / s ,
ω 2 = 3.539rad / s )
(h)
Se o sistema estiver sujeito a ondas regulares, qual ou quais os comprimentos de
onda que induzem respostas de ressonância.
___________________________________________________________________ 29
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 4
A figura representa um cilindro de raio 5cm, semi-submerso, e fixo a duas molas. Na
extremidade inferior está suspensa uma esfera com massa de 2.5Kg. Em equilibrio
estático as molas estão sem tensão. Considere oscilações verticais do sistema.
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre representando as forças de mola e as forças de
amortecimento associadas ao movimento dos corpos no fluido. Defina toda a
nomenclatura.
(b) A partir do diagrama de corpo livre, deduza as equações das oscilações livres do
sistema (não é necessário fazer cálculos nesta alinea).
(c) Cálcule os modos naturais de oscilação. Represente num esboço os modos naturais.
___________________________________________________________________ 30
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
4
IST
Exercício 1
Os movimentos de um modelo de um navio foram medidos num tanque de ensaios. O
modelo avança com velocidade de 1.0m/s em ondas regulares de proa. As ondas
propagam-se em águas profundas. Mediram-se os movimentos de arfagem e cabeceio e
ainda a elevação da onda. Os dois movimentos e a elevação da onda foram medidos e
estão representados num sistema de referência inércial, que avança com o modelo a
1.0m/s, e tem a origem sobre a linha de água na vertical do centro de gravidade do
modelo. Os gráficos seguintes apresentam estes resultados.
Elevação da onda
6
4
ζ (cm)
2
0
0.00
-2
0.33
0.66
0.99
1.32
1.65
1.98
2.31
1.65
1.98
2.31
1.65
1.98
2.31
-4
-6
t(s)
Arfagem
6
4
z (cm)
2
0
0.00
-2
0.33
0.66
0.99
1.32
-4
-6
t(s)
Cabeceio
4.0
3.0
θ (graus)
2.0
1.0
0.0
-1.00.00
0.33
0.66
0.99
1.32
-2.0
-3.0
-4.0
t(s)
___________________________________________________________________ 31
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
(a) Calcule a: frequência de onda, periodo de onda, frequência de encontro e período de
encontro.
(b) Calcule o número de onda, o comprimento de onda e a velocidade de propagação da
onda.
(c) Represente as equações com a descrição no tempo dos movimentos de arfagem e
cabeceio.
(d) Calcule o movimento relativo num ponto na proa do modelo localizado a uma
distancia de 2 metros do centro de gravidade.
(e) Calcule a aceleração vertical no ponto da alinea anterior.
Dinâmica do navio
(f) Qual é geralmente a zona do navio mais confortavel? Justifique a resposta, se
necessário recorrendo a expressões matemáticas.
(g) Em certas condições os navios podem atingir ângulos de balanço elevados com
ondas regulares pela proa. Diga com que designação é conhecido este fenómeno, e
explique fisicamente o que o origina, em que condições e para que tipo de navios.
___________________________________________________________________ 32
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 2
(a) Descreva resumidamente a Teoria das Faixas (objectivos, significado do nome,
simplificações que assume)
(b) Os gráficos seguintes representam as funções de transferência dos movimentos de
arfagem e cabeceio para um navio a avançar com uma velocidade de 22 nós em
ondas de proa. Considere que o navio navega a 22 nós em ondas regulares de proa
com comprimento de 200m e amplitude de 2,5m. Neste caso escreva as expressões
matemáticas dos movimentos de arfagem e cabeceio, sabendo que são do tipo
x(t ) = X cos(ωt − φ ) (nota: nos gráficos ζ representa a amplitude de onda e k
representa o número de onda).
(c) Calcule o movimento vertical relativo na perpendicular a vante
(d) Calcule a aceleração vertical na perpendicular a vante
Amplitudes de arfagem
Ângulos de fase da arfagem
1.8
200
1.6
150
1.4
100
fases (graus)
Z/
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.4
1.6
-50
-100
0.2
-150
0.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-200
1.6
Ângulos de fase do cabeceio
Amplitudes de cabeceio
200
1.2
150
1.0
100
fases (graus)
1.4
/k
0.8
0.6
0.4
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-50
-100
0.2
-150
0.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-200
___________________________________________________________________ 33
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 3
(a) Um modelo de um navio navega com velocidade U em ondas regulares de
frequência ω 0 . O ângulo entre a velocidade do modelo e a direcção de propagação
das ondas é β . Deduza a expressão da frequência de encontro entre o navio e as
ondas regulares.
(b) Descreva resumidamente a Teoria das Faixas (objectivos, significado do nome,
simplificações que assume)
(c) As equações do movimento de arfagem e cabeceio são dadas por:
(m + a )&z& + bz& + cz + dθ&& + eθ& + hθ = F0 cos (ω e t + φ )
(I
y
+ A)θ&& + Bθ& + Cθ + D&z& + Ez& + Hz = M 0 cos(ω e t + ϕ )
Descreva o significado de todas as constantes e variáveis da equação da arfagem.
Descreva o significado de todas as parcelas da equação da arfagem.
(d) O modelo navega em ondas regulares com um movimento de arfagem com
amplitude de 2 metros e atraso de 45 graus. O movimento de cabeceio tem uma
amplitude de 6 graus com um atraso de 120 graus. O modelo avança com uma
velocidade de 1m/s, em ondas regulares de 2 metros de comprimento, pela amura
com um ângulo de 30 graus. Nestas condições os coeficientes da equação da
arfagem e cabeceio são:
m = 25Kg, a = 19Kg, b = 12Ns/m, c = 31 N/m, d = 104 Kgm, e = 333 Ns, h = 134
N, F0 = 10N
Iy = 6Kgm2, A = 4Kgm2, B = 8Nms, C = 10 Nm, D = 80 Kgm, E = -200 Ns, H =
134 N, M0 = 5Nm
(d1) Escreva as expressões dos movimentos de arfagem e cabeceio para esta
condição. Represente graficamente a evolução do movimento de arfagem no
tempo.
(d2) Calcule a aceleração vertical máxima num ponto sobre o centro de
(d3) Qual é a força de amortecimento em arfagem.
___________________________________________________________________ 34
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 4
(a) Descreva resumidamente a Teoria das Faixas (objectivos, significado do nome,
simplificações que assume)
(b) As equações do movimento de arfagem e cabeceio são dadas por:
(m + a )&z& + bz& + cz + dθ&& + eθ& + hθ = F0 cos (ω et + φ )
(I
y
+ A)θ&& + Bθ& + Cθ + D&z& + Ez& + Hz = M 0 cos(ω e t + ϕ )
Descreva o significado de todas as constantes e variáveis da equação da arfagem.
Descreva o significado de todas as parcelas da equação da arfagem.
(c) Um modelo navega em ondas regulares com um movimento de arfagem com
amplitude de 0.2 metros e atraso de 45 graus. O movimento de cabeceio tem uma
amplitude de 6 graus com um atraso de 120 graus. O modelo avança com uma
velocidade de 1m/s, em ondas regulares de 4 metros de comprimento pela amura
com um ângulo de 30 graus.
(c1) Qual a frequência de encontro entre o modelo e as ondas? (5.29 rad/s)
(c2) Represente a equação da aceleração vertical num ponto situado 2 metros para
( &z&(t ) = −5.60 cos(5.29t − π / 4 ) + 5.85 cos(5.29t − 2.094 ) m/s2)
___________________________________________________________________ 35
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 5
a. Descreva resumidamente a Teoria das Faixas cobrindo os seguintes aspectos:
Objectivos
i)
ii)
Simplificações que assume
Pontos fortes e pontos fracos
iii)
b. Os gráficos das figuras seguintes apresentam as funções de transferência dos
movimentos de arfagem e cabeceio de um navio de pesca a avançar em ondas
regulares pela amura (rumo de 150º) com uma velocidade de 10 nós. Os gráficos
vêm em função da frequência de onda adimensional, e as amplitudes dos
amplitude de onda e pelo declive de onda. As características principais do navio são:
Lpp=20m, B=6.2m, T=2.8m, deslocamento=130 ton. Considere que o navio navega
em ondas regulares com comprimento de 30m e amplitude de 0.75m.
c1) Qual é a frequência dos movimentos de arfagem e cabeceio?
c2) Qual a amplitude dos movimentos de arfagem e cabeceio?
c3) Escreva as equações dos movimentos de arfagem e cabeceio (pede-se os
movimentos e não as equações diferenciais).
c4) Escreva a equação da aceleração vertical num ponto arbitrário no navio sobre
o plano de simetria.
Angulos de Fase de Arfagem (Fn = 0.37)
Amplitudes de Arfagem (Fn = 0.37)
180
1.2
ξ3
ζa
φ3 (º )
1.0
120
0.8
60
0
150º
0.6
150º
0.4
-60
0.2
-120
-180
0.0
0
1
2
3
0
4
1
ξ5
3
4
Angulos de Fase de Cabeceio (Fn = 0.37)
Amplitudes de Cabeceio (Fn = 0.37)
180
1.4
kζ a
2
ω L pp / g
ω L pp / g
φ5 (º )
1.2
120
1.0
60
0.8
150º
150º
0
0.6
-60
0.4
-120
0.2
-180
0.0
0
1
2
ω L pp / g
3
4
0
1
2
3
4
ω L pp / g
___________________________________________________________________ 36
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
5
IST
RESPOSTA EM ONDAS IRREGULARES
Exercício 1
Um navio navega a 10 nós em ondas irregulares de crista longa com altura significativa
de 2.0m e período de pico de 10s. O rumo do navio relativamente às ondas é de 120º
(convenção é 180º para ondas pela proa).
A função de transferência em balanço para V = 10 nós e B = 120º é dada na tabela 1.
(a) Calcular o espectro de onda na frequência de onda e estimar as características
estatísticas relevantes. Utilize o espectro ISSC.
(b) Calcular o espectro de onda na frequência de encontro e estimar as
características estatísticas relevantes.
(c) Calcular o espectro de resposta em balanço e estimar as estatísticas relevantes.
Amp. da função
transferência em
balanço
X4/KA
0.36
0.48
0.6
0.72
0.84
0.96
1.08
1.2
1.32
1.44
1.56
1.03
1.16
1.41
1.98
3.46
2.67
1.17
0.64
0.39
0.26
0.18
___________________________________________________________________ 37
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 2
Considere o estado do mar irregular representado pelo espectro de variância da figura
seguinte, e a função de transferência do movimento de arfagem de um navio também
Espectro de onda
1.2
S(m^2*s)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Função de transferência em arfagem
1.2
1.0
z/
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
(a) Explique o que representa o espectro de variância do estado do mar.
(b) Calcule a altura de onda significativa do estado do mar. Calcule a altura de onda
= 2.83m , Hmed = 1.77m)
(c) Calcule o espectro de resposta do movimento de arfagem.
(d) Calcule a amplitude significativa do movimento de arfagem. (z1/3 = 0.382m)
(e) Calcule a probabilidade dos máximos do movimento de arfagem serem superiores a
1.5m. (4.1e-14)
(f) Qual a hipótese fundamental para se poder utilizar a teoria espectral no cálculo das
respostas do navio em ondas irregulares. Justifique.
___________________________________________________________________ 38
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 3
(A) Quais as condições para que:
(a1) A elevação da onda irregular num ponto possa ser representada por uma
(a2) Os máximos (ou mínimos) da elevação da onda irregular medida num ponto
sejam representados por uma distribuição de Rayleigh?
(B) Considere o estado do mar irregular representado pelo espectro de variância da
figura seguinte, e a função de transferência do movimento de balanço de um navio
Espectro de Onda
2.5
S( )
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Função de transferência de balanço
2.0
/
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
(b1) Calcule o espectro de resposta do movimento de balanço.
(b2) Calcule a amplitude significativa do movimento de balanço.
(b3) A distribuição de probabilidade dos máximos do movimento de balanço pode ser
aproximada a uma distribuição de Rayleigh:
p (ξ ) =
ξ
 ξ2 

exp −
E
 2E 
___________________________________________________________________ 39
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Deduza a expressão que dá a probabilidade de excedência de um determinado
valor, ou seja a probabilidade dum máximo do movimento de balanço ser superior a
θ max .
(b4) Neste exercício resolve-se um problema muito simplificado. Num caso real,
explique como pode calcular o espectro de variância de um estado do mar e a
função de transferência do balanço.
___________________________________________________________________ 40
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 4
(A) Quais as condições para que:
(a1) A elevação da onda irregular num ponto possa ser representada por uma
(a2) Os máximos (ou mínimos) da elevação da onda irregular medida num ponto
sejam representados por uma distribuição de Rayleigh?
(B) Considere o estado do mar irregular representado pelo espectro de variância da
figura seguinte, e a função de transferência do movimento de arfagem de um navio
Espectro de Onda
1.2
1.0
S( )
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Função de transferência de arfagem
1.2
1.0
z/
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
(b1) Calcule a altura de onda significativa do estado do mar. Calcule a altura de onda
(b2) Quais as hipóteses que é necessário assumir para estimar as alturas da alinea
anterior, com os dados que tem neste problema (espectro de onda)? Justifique.
(b3) Calcule o espectro de resposta do movimento de arfagem.
(b4) Calcule o período de pico (não é o período médio entre picos) e o período médio
entre zeros ascendentes do movimento de arfagem. O que significa cada um destes
períodos?
(b5) Calcule a amplitude significativa do movimento de arfagem.
___________________________________________________________________ 41
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
(b6) Calcule a amplitude significativa da velocidade de arfagem.
(b7) Calcule a probabilidade dos máximos do movimento de arfagem serem superiores a
1.5m.
(b8) Represente graficamente a distribuição de probabilidade dos máximos do
movimento de arfagem
(b9) Represente graficamente a curva da probabilidade de excedência dos máximos da
arfagem
___________________________________________________________________ 42
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 5
•
•
•
•
Estado do mar de crista longa
Estado do mar de crista curta
Fetch
(b) Quais as condições para que:
(b1) A elevação da onda irregular num ponto possa ser representada por uma
(b2) Os máximos (ou mínimos) da elevação da onda irregular medida num ponto
sejam representados por uma distribuição de Rayleigh?
(c) Considere a resposta em balanço de um navio a navegar num estado do mar irregular
representada pelo espectro de resposta da figura.
Espectro de resposta do balanço
SR(graus^2*s)
60
40
20
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
(c1) Calcule o período de pico, o período médio entre picos e o período médio entre
zeros ascendentes do movimento de balanço do navio.
necessário use um desenho para apoiar a descrição).
(c3) O espectro de resposta pode ser considerado de banda estreita? Justifique.
(c4) Calcule a amplitude média do movimento de balanço e a amplitude significativa do
(c5) Calcule a amplitude significativa da velocidade de balanço.
(c6) Calcule a probabilidade do movimento de balanço ultrapassar os 10 graus.
___________________________________________________________________ 43
Dinâmica e Hidrodinâmica do Navio
IST
Exercício 6
(a) Para um estado do mar irregular, descreva claramente o significado de:
•
•
•
•
Estado do mar de crista longa
Estado do mar de crista curta
Fetch
(b) Quais as condições para que os máximos (ou mínimos) da elevação da onda
irregular medida num ponto sejam representados por uma distribuição de Rayleigh?
(c) Qual a hipótese fundamental para se poder utilizar a teoria espectral no cálculo das
respostas do navio em ondas irregulares. Justifique.
(d) Considere o estado do mar definido pelo seguinte espectro de variância:
0.9ω 2 + 0.1ω , 0.5 ≤ ω ≤ 2.5 rad/s
S (ω ) = 
, ω < 0.5, ω > 2.5 rad/s
0.
(e) Determine a altura significativa do estado do mar da alinea anterior.
(f) Determine o periodo médio dos zeros ascendentes deste estado do mar.
(g) Supondo que o estado do mar definido nas alineas anteriores excita um corpo
flutuante que tem a seguinte seguinte função de transferência :
0≤ω ≤1
0.5,

H(ω ) =  1
 2ω , 1 ≤ ω ≤ 2.5
(g1) Calcule a variância da resposta.
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