RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Módulo 1: Variáveis em estatística
PÁGINA
1
222
3
A companhia de tráfego de uma cidade realizou
uma pesquisa para descobrir com quantos ocupantes, em média, circula cada automóvel. Cada
medição consistia em observar 10 carros consecutivos que passavam em certo local e adicionar
o total de ocupantes dos 10 veículos. Em relação
a essa variável, responda:
a) Ela é discreta ou contínua?
O número de ocupantes é uma variável quantitativa discreta.
b) Quais são os possíveis valores mínimo e máximo, considerando que cada automóvel pode
transportar de 1 a 5 pessoas?
Foram observados 10 carros. Como cada um deles tem pelo menos 1 e no máximo 5 ocupantes,
haverá no mínimo 1 10 10 ocupantes e no máximo 5 10 50 ocupantes.
4
Observe no quadro abaixo as notas dos 25 alunos do
9o ano B numa prova de Geografia.
Atividades para classe
O quadro abaixo mostra o perfil do jogador Kaká,
da seleção brasileira de futebol.
Posição
meio-campo
Altura
1,86 m
Peso
83 kg
Convocações para a seleção
70
Gols marcados pela seleção
20
Disponível em: <http://www.cbfnews.uol.com.br> e
<http://www.acmilan.com>. Acesso em: 7 jan. 2008.
a) Quais das variáveis acima são qualitativas?
Posição.
b) Quais das variáveis acima são quantitativas discretas?
Quantidade de convocações e de gols marcados.
c) Quais das variáveis acima são quantitativas
contínuas?
Altura e peso.
2
Em seu caderno, verifique se a variável representada
nos gráficos de cada item é qualitativa, quantitativa
discreta ou quantitativa contínua.
a)
7,3
6,5
2,3
8,9
5,5
3,9
7,9
4,0
9,0
6,2
6,0
2,6
9,5
0,5
5,6
7,0
4,6
7,7
3,4
5,0
4,5
1,8
6,6
4,7
8,3
a) Classifique a variável descrita.
As notas dos alunos correspondem a uma variável quantitativa contínua.
b) Copie e complete a tabela abaixo.
Intervalo
5
10
15
20
Variável X
30
25
O gráfico é um histograma, que sempre representa variáveis quantitativas contínuas.
b)
60%
40%
Sim
Não
Variável Y
c)
2
3
4
Variável Z
Frequência
relativa
0
2
2
8%
4
4
16%
4
6
7
28%
6
8
8
32%
8
10
4
16%
Total: 25 alunos
Cálculo das porcentagens:
8
16
28
4
7
2
___
____ 8%; ___ ____ 16%; ___ ____
25
100
25
100
25
100
8
32
28%; ___ ____ 32%
25 100
c) Construa um histograma para esses dados com
a frequência relativa no eixo y.
A variável Y apresentada neste gráfico pode assumir os valores “sim” e “não”, logo é uma variável qualitativa.
1
Frequência
absoluta
2
5
6
Notas do 9º ano B numa prova de Geografia
35
Frequência relativa (%)
0
Capítulo 8
30
25
20
15
10
5
0
O diagrama de colunas é utilizado na representação de variáveis quantitativas discretas.
2
4
6
8
10
Notas
205
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
5
Capítulo 8
O gráfico mostra o resultado de uma pesquisa feita
em uma escola com os alunos do 9o ano. Cada aluno
podia escolher um único estilo, e todos os alunos
participaram da pesquisa.
PÁGINA
7
223
Atividades para casa
Considere o anúncio de venda de um apartamento
reproduzido abaixo.
ESTILO MUSICAL PREFERIDO
Quantidade de alunos
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Morumbi, 3 dormitórios,
2 vagas na garagem, 114 m2
de área útil, 11 000 m2 de
área de lazer.
Rock
Axé
Sertanejo
Pagode
MPB
Reggae
Funk
Identifique no anúncio as variáveis qualitativas, as
discretas e as contínuas.
Variáveis quantitativas discretas: número de dormitórios e de vagas na garagem.
Variável qualitativa: bairro (Morumbi).
Variável quantitativa contínua: área útil e de lazer.
8
a) Qual o total de alunos do 9o ano?
50 45 40 25 25 10 5 200 alunos
b) Monte uma tabela com as frequências absoluta
e relativa de cada estilo.
Estilo musical Frequência absoluta
preferido
Frequência
relativa (%)
Rock
50
25,0
MPB
45
22,5
Pagode
40
20,0
Sertanejo
25
12,5
Funk
25
12,5
Reggae
10
5,0
5
2,5
Axé
Região em que está localizada
Nordeste
População
2 302 832
Área
709,5 km2
Clima
tropical
Temperatura média anual
25,5 °C
Velocidade média anual dos ventos
2,2 m/s
Fonte: <http://www.citybrazil.com.br>.
Acesso em: 8 jan. 2008.
a) Quais das variáveis acima são qualitativas?
Variáveis qualitativas: clima e região.
b) Quais das variáveis acima são quantitativas discretas?
Variáveis quantitativas discretas: população.
Total: 200 alunos
Cálculo das porcentagens:
c) Quais das variáveis acima são quantitativas
contínuas?
Variáveis quantitativas contínuas: área, temperatura média anual e velocidade média anual dos
ventos.
22,5
25
45
50
____
____ 25%; ____ _____ 22,5%;
200 100
200
100
12,5
20
25
40
____ ____ 20%; ____ ____ 12,5%
200 100
200
100
2,5
5
5
10
____
____ 5%; ____ ____ 2,5%
200 100
200 100
6
Observe no quadro algumas informações sobre a
cidade de Salvador (BA).
9
Foi feito um levantamento do número de acidentes
ocorridos com cada um dos 50 motoristas de uma
cooperativa de táxis no último ano. Os dados estão
na tabela abaixo.
Acidentes
0 ou 1
2 ou 3
4 ou 5
6 ou 7
Motoristas
31
12
5
2
A figura mostra o placar eletrônico de um jogo
de basquete. Nele, são registrados os pontos das
duas equipes, o tempo de jogo e as faltas cometidas por cada time. Dentre essas variáveis, identifique quais são discretas e quais são contínuas.
No total, quantos acidentes, no mínimo, pode ter havido
com esses motoristas no último ano? E no máximo?
No mínimo: 0 31 2 12 4 5 6 2 24
20 12 56 acidentes.
No máximo: 1 31 3 12 5 5 7 2 31
36 25 14 106 acidentes.
Variáveis quantitativas discretas: quantidade de
pontos e de faltas.
Variável quantitativa contínua: tempo de jogo.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
10 Identifique em seu caderno o gráfico que representa uma variável discreta e o que representa
uma variável contínua.
(I)
20
12 O quadro mostra o tempo, em segundos, que cada
jogador do time de futebol de uma escola gastou
para percorrer 100 metros durante um teste de velocidade.
15
13,2
14,9
12,0
13,5
12,7
10
14,5
15,3
12,8
11,8
13,1
16,5
14,5
15,2
12,8
14,1
13,9
15,7
13,5
12,8
15,0
5
0
0a2
3a5
6a8
9 a 11
a) A variável expressa no quadro é discreta ou
contínua?
A variável é o tempo, portanto é quantitativa contínua.
Variável discreta (gráfico de barras)
II)
Capítulo 8
30%
20%
b) Copie e complete a tabela a seguir.
10%
0%
10
15
20
25
30
35
Intervalo de
tempo (s)
Variável contínua (histograma)
11 Um banco encomendou uma pesquisa para descobrir quanto tempo um cliente costuma gastar no
caixa eletrônico. O resultado está mostrado no
gráfico abaixo.
TEMPO GASTO NO CAIXA ELETRÔNICO
60%
12
1
5
12
13
5
25
13
14
5
25
14
15
4
20
15
16
4
20
16
17
1
5
Total: 20 alunos
40%
Cálculo das porcentagens:
5
4 20
1
___
____ 5%; ___ ____ 20%;
20 100
20 100
25
5
___
____ 25%
20 100
30%
30%
17%
20%
10%
0%
1%
2%
0
Frequência
relativa (%)
11
50%
50%
Frequência
absoluta
3
6
9
Tempo (min)
12
15
c) Construa um histograma para os dados da tabela com a frequência relativa no eixo y.
Tempos de corrida nos 100 m
Frequência relativa (%)
a) A variável descrita no gráfico é discreta ou contínua?
A variável é o tempo, logo é quantitativa contínua.
b) Qual é a porcentagem de clientes que gastam
menos de 6 minutos para utilizar o caixa eletrônico?
A porcentagem de clientes que gastam menos de
6 minutos é 50% 30% 80%.
c) O banco considera ideal que mais da metade
dos clientes gastem menos do que 5 minutos
para utilizar o caixa eletrônico. Esse fato vem
ocorrendo?
Sim. Pois a 1a coluna do gráfico já garante que
50% dos clientes ficam menos de 3 minutos no
caixa eletrônico. Portanto, a 1a coluna dá a garantia de que metade dos clientes gasta menos de
5 minutos no caixa eletrônico. Teoricamente, basta que 1 cliente dos 30% que estão na 2a coluna
fique no caixa eletrônico por menos de 5 minutos
para que tenhamos mais da metade dos clientes.
d) Existem clientes que gastam mais do que 10 minutos no caixa eletrônico? Justifique.
Sim, há 1% que fica de 12 a 15 minutos.
30
25
20
15
10
5
0
11
12
13
14
15
Tempo (s)
16
17
Módulo 2: Medidas em estatística
PÁGINA
227
Boxe Desafio
A média de notas dos alunos de uma turma na prova de História foi 6,5; mas a mediana foi 3. Isso
indica que os alunos obtiveram boas notas?
Não, pois o fato de a mediana ser 3 significa que
metade da turma tirou nota 3 ou inferior.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Atividades para classe
Dados: x
(x x médio)
(x x médio)2
Para cada um dos conjuntos de dados, calcule: média, amplitude total, variância e desvio padrão.
2
2 (0,36) 2 0,36
1,64
2,6896
a) 10; 25; 20; 30; 40
2
1,64
2,6896
10 25 20 30 40 125
Média _______________________ ____ 25
5
5
2
1,64
2,6896
At 40 10 30
1
1 (0,36) 1 0,36
0,64
0,4096
(x x médio)2
1
0,64
0,4096
1
0,64
0,4096
0
0,36
0,1296
1
1 (036) 1,36
1,8496
1
1,36
1,8496
1
1,36
1,8496
2
2 (0,36) 2,36
5,5696
PÁGINA
1
228
Capítulo 8
Dados: x
(x x médio)
10
10 25 15
225
20
20 25 5
25
25
25 25 0
0
30
30 25 5
25
40
40 25 15
225
a
A soma dos elementos da 3 coluna da tabela é
225 25 25 225 500. A variância é obtida
dividindo esse valor pelo número de elementos,
que é 5:
A soma dos elementos da 3a coluna da tabela é
20,5456. A variância é obtida dividindo esse valor
pelo número de elementos, que é 11:
20,5456
var ________ 1,86778181... V var 1,87
11
500
var ____ 100
5
Desvio padrão:
var V o dXXXX
100 10
o dXXXX
b) 320; 450; 500; 250; 320; 600
Média
320 450 500 250 320 600
____________________________________
6
2 440
______ 406,67
6
At 600 250 350
(x x médio)
250
156,67
24 545,4889
320
86,67
7 511,6889
(x x
320
86,67
7 511,6889
450
43,33
1 877,4889
500
93,33
8 710,4889
600
193,33
37 376,4889
A soma dos elementos da 3a coluna da tabela é
87 533,3334. A variância é obtida dividindo esse
valor pelo número de elementos, que é 6:
87 533,3334
var ____________ 14 588,8889 14 588,89
6
Desvio padrão: o
2
Veja o desempenho de Bianca em algumas disciplinas na escola.
Português: 5,0; 6,5; 7,0
Matemática: 6,0; 5,0; 5,5
médio)2
Dados: x
dXXXX
var
var dXXXX
1,87 1,367479... V
Desvio padrão: o dXXXX
V o 1,37
V o dXXXXXXXXXX
14 588,89
120,78
c) 1; 1; 2; 2; 1; 1; 2; 2; 1; 0; 1
Média
1 (1) 2 (2) 1 (1) (2) (2) (1) 0 1
__________________________________________________
11
4
__ 0,363636...
11
Média 0,36
At 2 (2) 2 2 4
Ciências: 4,0; 4,0; 4,0
a) Calcule a amplitude total, a média e o desvio padrão das notas de Bianca.
Português:
At 7,0 5,0 2,0
5,0 6,5 7,0 18,5
Média ______________ ____ 6,1666... V
3
3
V Média 6,17
Notas x
(x x médio)
(x x médio)2
5,0
5,0 6,17 1,17
1,3689
6,5
6,5 6,17 0,33
0,1089
7,0
7,0 6,17 0,83
0,6889
A soma dos elementos da 3a coluna da tabela é
2,1667. A variância é obtida dividindo esse valor
pelo número de elementos, que é 3:
2,1667
var ______ 0,7222333... V var 0,72
3
Desvio padrão: o dXXXX
var dXXXXX
0,72 0,84852 V
V o 0,85
Matemática:
At 6,0 5,0 1,0
6,0 5,0 5,5
16,5
Média _______________ ____ 5,5
3
3
208
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Notas x
(x x médio)
(x x médio)2
5,0
5,0 5,5 0,5
0,25
5,5
5,5 5,5 0
0
6,0
6,0 5,5 0,5
0,25
De 100 a 110 km/h V 95 pilotos
De 110 a 120 km/h V 77 pilotos
De 90 a 120 km/h V Total = 200 pilotos
b) Determine a velocidade média e o desvio padrão
nessa bateria.
Velocidades de uma corrida de kart:
A soma dos elementos da 3a coluna da tabela é
0,5. A variância é obtida dividindo esse valor pelo
número de elementos, que é 3:
0,5
var ____ 0,1666... V var 0,17
3
Velocidade
(km/h)
var dXXXX
0,17 0,4123105... V
Desvio padrão: o dXXXX
V o 0,41
Ciências:
At 0
4,0 4,0 4,0 12
Média _______________ __ 4,0
3
3
(x x
Ponto médio das
velocidades
90
100
28
95
100
110
95
105
110
120
77
115
125
120
130
38
130
140
12
135
140
150
25
145
Notas x
(x x médio)
4
440
0
4
440
0
Ponto médio
vezes número
de pilotos
4
440
0
Ponto médio
média
(Ponto
médio
média)2
2 660
95 114,49 19,49
379,8601
Total: 0
9 975
105 114,49 9,49
90,0601
A soma dos elementos da 3a coluna da tabela é Ö.
0
var __ 0
3
Desvio padrão: o dXXXX
var dXX
0 0
8 855
115 114,49 0,51
0,2601
4 750
125 114,49 10,51
110,4601
1 620
135 114,49 20,51
420,6601
3 625
145 114,49 30,51
930,8601
Soma: 31 485
[(Ponto médio média)2 No de pilotos]
379,8601 28 10 636,0828
90,0601 95 8 555,7095
As massas, em quilogramas, de 15 jogadores do
time de handebol da escola são: 72; 65; 71; 56; 59;
63; 61; 70; 52; 49; 68; 63; 55; 50; 59. Calcule em
seu caderno a massa média e a amplitude total
desses dados.
0,2601 77 20,0277
110,4601 38 4 197,4838
420,6601 12 5 047,9212
930,8601 25 23 271,5025
Soma: 51 728,7275
Média
31 485
Média de velocidades: _______ 114,49090
275
114,49 km/h
72 65 71 56 59 63 61 70 52 49 68 63 55 50 59
_________________________________________________________________________
15
913
Média ____ 60,8666... V Média 60,87 kg
15
51 728,7275
var ___________ 188,10446
275
var 188,10
Desvio padrão: o dXXXX
var dXXXXXX
188,10 13,714955...
o 13,71 km/h
At massa maior massa menor 72 49 23 kg
4
No de pilotos
Total: 275 pilotos
médio)2
b) Em qual matéria Bianca teve melhor desempenho? Justifique.
O melhor desempenho de Bianca foi em Português,
pois nessa disciplina ela obteve a maior média.
3
Capítulo 8
Veja na tabela abaixo os dados levantados durante uma corrida de Kart, referentes às velocidades
atingidas pelos pilotos.
Velocidade (km/h)
No de pilotos
90
100
28
100
110
95
110
120
77
120
130
38
130
140
12
140
150
25
a) Determine quantos pilotos atingiram velocidades entre 90 km/h e 120 km/h.
De 90 a 100 km/h V 28 pilotos
5
Em 3 turmas de uma escola foi aplicada a mesma
prova de Matemática para o fechamento do trimestre no ano letivo, os resultados referentes a
essa prova estão expressos no quadro a seguir.
Média
Desvio padrão
6,5
2,4
Turma B
6,5
1,6
Turma C
6,0
0
Turma A
Observando o desvio padrão, o que se conclui sobre a turma C?
Conclui-se que, pelo fato de o desvio padrão ser zero,
todos os alunos obtiveram nota igual à média: 6,0.
209
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
6
Capítulo 8
7
Analise os dados do gráfico abaixo.
Certo cinema recebeu em suas 4 salas, em um sábado,
200, 500, 300 e 600 pessoas para assistir a um filme.
ÍNDICE DE DESENVOLVIMENTO HUMANO NO
BRASIL, ARGENTINA E URUGUAI EM 2000 E EM 2005
a) Calcule a média e a amplitude total do número
de espectadores nesse dia.
IDH
200 500 300 600 1 600
Média ________________________ ______
4
4
400 pessoas
At 600 200 400 pessoas
0,88
0,86
0,84
0,82
b) Se nesse dia entrassem mais 50 pessoas em cada
sala, o que aconteceria com o desvio padrão?
0,8
0,78
A média nas 4 salas é de 400 pessoas.
0,76
0,74
No
Brasil
Argentina
2000
de Quantidade
pessoas
de salas
Uruguai
2005
Países
Fonte: Pnud Indicadores de desenvolvimento humano 2007—
2008.
Brasil
Argentina
Uruguai
2 000
0,79
0,86
0,84
2 005
0,8
0,87
0,85
200
1
200
40 000
1
100
10 000
500
1
100
10 000
600
1
200
40 000
A soma dos dados na 4a coluna é 100 000.
100 000
var ________ 25 000
4
var dXXXXXXXX
25 000 158,1138
Desvio padrão: o dXXXX
158,11
Acrescentando 50 pessoas em cada sala, tem-se:
250 550 350 650 800
Média 5 ______________________________
4
450 pessoas
0,8 0,79
Brasil V IDH médio __________ 0,795
2
0,87 0,86
Argentina V IDH médio ____________ 0,865
2
0,85 0,84
Uruguai V IDH médio ____________ 0,845
2
No de Quantidade
pessoas
de salas
250
350
550
650
b) Calcule os desvios padrão.
Brasil:
(IDH média)2
Brasil
IDH média
2 000
0,79 0,795 0,005
0,000025
2 005
0,8 0,795 0,005
0,000025
A soma dos elementos da 3a coluna é 0,00005.
0,00005
var _________ 0,000025
2
Desvio padrão: o dXXXX
var dXXXXXXXXXX
0,000025 0,005
8
Argentina
IDH média
(IDH média)2
2 000
0,86 0,865 0,005
0,000025
2 005
0,87 0,865 0,005
0,000025
No de pessoas
média
(No de pessoas
média)2
200
100
100
200
40 000
10 000
10 000
40 000
1
1
1
1
A soma dos dados na 4a coluna é 100 000.
100 000
var ________ 25 000
4
var dXXXXXXXX
25 000 158,1138
Desvio padrão: o dXXXX
158,11
Logo, o desvio padrão não se alteraria com a entrada de 50 pessoas em cada sala.
Total: 0,000050
Argentina:
(No de pessoas
média)2
300
a) Calcule o IDH médio entre os 2 anos considerados nos 3 países apresentados.
Ano
No de pessoas
média
Na tabela abaixo as notas atribuídas na parte de testes e de redação do Exame Nacional do Ensino Médio
(Enem) de 2003 estão distribuídas segundo a renda
mensal das famílias dos alunos participantes.
Enem 2003 – Desempenho e renda familiar
Faixas de renda
Parte objetiva
Redação
Até 1 salário mínimo*
38
48
De 1 a 2
42
51
De 2 a 5
49
55
De 5 a 10
56
59
Uruguai:
De 10 a 30
65
64
Análogo a Brasil e Argentina.
var 0,000025
De 30 a 50
69
66
Mais de 50
68
66
Total: 0,000050
A soma dos elementos da 3a coluna é 0,00005.
0,00005
var _________ 0,000025
2
Desvio padrão: o dXXXX
var dXXXXXXXXXX
0,000025 0,005
Desvio padrão: o 0,005
(*) RS|| 240,00
Fonte: MEC/Inep/DACC.
210
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09.12.08 14:39:37
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
a) Calcule a nota média e o desvio padrão na prova, para cada faixa de renda.
38 48
Até 1 s.m.: Nota média ________ 43
2
Até 1 s.m.
Nota Nota média
De 30 a 50
s.m.
(Nota
média)2
Parte objetiva
38
38 43 5
25
Redação
48
48 43 5
25
Nota média
(Nota
média)2
Parte objetiva
42
42 46,5 4,5
20,25
Redação
51
51 46,5 4,5
20,25
A soma dos elementos
40,5
var _____ 20,25
2
4a
Parte objetiva
69
69 67,5 1,5
2,25
Redação
66
66 67,5 1,5
2,25
Mais de
50 s.m.
Nota
Parte objetiva
Redação
Parte objetiva
Redação
coluna é 40,50.
Nota média
(Nota
média)2
49
49 52 3
9
55
55 52 3
9
A soma dos elementos da 4 coluna é 18.
18
var ___ 9
2
68 67,0 1,0
1,0
66
66 67,0 1,0
1,0
56 59
De 5 a 10 s.m.: nota média ________ 57,5
2
De 5 a 10
s.m.
Nota
Nota média
(Nota
média)2
Parte objetiva
56
56 57,5 1,5
2,25
Redação
59
59 57,5 1,5
2,25
A soma dos elementos da 4a coluna é 4,5.
o
Até 1 s.m.
38
48
43
5,0
De 1 a 2 s.m.
42
51
46,5
4,5
3,0
De 2a 5 s.m.
49
55
52
De 5 a 10 s.m.
56
59
57,5
1,5
De 10 a 30 s. m.
65
64
64,5
0,5
De 30 a 50 s. m.
69
66
67,5
1,5
Mais de 50 s.m.
68
66
67
1,0
PÁGINA
9
229
Atividades para casa
Considere o conjunto de dados abaixo.
3
4,5
var ____ 2,25
2
Média
b) Em que faixa de renda o desempenho dos alunos
foi mais homogêneo nas duas partes da prova?
Conclui-se que o desempenho foi mais homogêneo nas famílias com renda acima de 5 s.m., pois
os desvios padrão foram menores.
Desvio padrão: o dXX
93
7
9
11
a) Calcule a média.
Desvio padrão: o dXXXXX
2,25 1,5
65 64
De 10 a 30 s.m.: nota média ________ 64,5
2
Nota
68
Parte
Redação
obj.
a
De 10 a 30
s.m.
(Nota
média)2
A soma dos elementos da
coluna é 2,0.
2,0
var ____ 1,0
2
1,0 1,0
Desvio padrão: o dXXX
Monta-se então a seguinte tabela.
49 55
De 2 a 5 s.m.: nota média ________ 52
2
Nota
Nota média
4a
Desvio padrão: o dXXXXXX
20,25 4,5
De 2 a 5
s.m.
(Nota
média)2
68 66
Mais de 50 s.m.: nota média ________ 67,0
2
50
var ___ 25
2
25 5
Desvio padrão: o dXXX
42 51
De 1 a 2 s.m.: nota média ________ 46,5
2
Nota
Nota média
A soma dos elementos da 4a coluna é 4,5
4,5
var ____ 2,25
2
2,25 1,5
Desvio padrão: o dXXXXX
A soma dos elementos da 4a coluna é 50.
De 1 a 2
s.m.
Nota
Capítulo 8
3 7 9 11 30
Média ______________ ___ 7,5
4
4
b) Calcule a variância.
Nota média
(Nota
média)2
Dado
(Dado média)
(Dado média)2
Parte objetiva
65
65 64,5 0,5
0,25
3
3 7,5 4,5
20,25
Redação
64
64 64,5 0,5
0,25
7
7 7,5 0,5
0,25
9
9 7,5 1,5
2,25
11
11 7,5 3,5
12,25
4a
A soma dos elementos da
coluna é 0,5.
0,5
____
0,25
var
2
Desvio padrão: o dXXXXX
0,25 0,5
69 66
De 30 a 50 s.m.: nota média ________ 67,5
2
A soma dos elementos da 3a coluna é 35.
35
var ___ 8,75
4
211
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
c) Calcule o desvio padrão.
o dXXXXX
8,75 2,9580 3
d) Quais desses dados estão dentro da faixa definida pelos valores média o e média o?
Para o 3,0:
Média o 7,5 3,0 10,5
Média o 7,5 3,0 4,5
Os dados que estão dentro dessa faixa são 7 e 9,
pois são maiores que 4,5 e menores que 10,5.
10 Calcule com a ajuda da calculadora a média e a variância da distribuição a seguir.
Comprimento (em centímetros)
No de peças
0
5
7
5
10
12
10
15
16
15
20
5
Comprimento (cm)
No de peças
Ponto médio
0a5
7
2,5
5 a 10
12
7,5
10 a 15
16
12,5
15 a 20
5
17,5
Total
40
(Ponto médio) número de
peças)
Ponto médio
média
17,5
2,5 9,875 7,375
90,0
7,5 9,875 2,375
200,0
12,5 9,875 2,625
87,5
17,5 9,875 7,625
395,0
No de
peças
(Ponto médio (No de peças) (Ponto
média)2
médio média)2
7
(7,375)2 54,4
12
(2,375)2 5,6
5,6 12 67,2
16
(2,625)2 6,9
6,9 16 110,4
5
(7,625)2 58,1
58,1 5 290,5
Total: 40
peças
54,4 7 380,8
Soma: 848,9
395
Comprimento médio ____ 5 9,875 cm
40
848,9
______
21,2225 21,2 cm2
var
40
11 Para os conjuntos de dados abaixo, calcule em seu
caderno os seguintes parâmetros: média, amplitude total, variância e desvio padrão.
a) 200; 300; 200; 100; 200; 400; 500; 100; 200; 300
Média
100100200200200200300300400500
______________________________________________________________
10
2 500
______ 250
10
Dados x
Frequência
f
x
média
(x
média)2
f (x
média)2
100
200
300
400
500
Total:
2
4
2
1
1
10
150
50
50
150
250
22 500
2 500
2 500
22 500
62 500
45 000
10 000
5 000
22 500
62 500
145 000
At 500 100 400
145 000
var ________ 14 500
10
14 500 120,4159... 120,42
o dXXXXXXX
b) 2; 4; 3; 2; 6; 4; 5; 3; 4; 5; 1; 2
Média
122233444556
____________________________________________________
12
41
___ 3,41666... 3,42
12
Dados x
Frequência
f
x
média
(x
média)2
f (x
média)2
1
2
3
4
5
6
Total
1
3
2
3
2
1
12
2,42
1,42
0,42
0,58
1,58
2,58
5,8564
2,0164
0,1764
0,3364
2,4964
6,6564
5,8564
6,0492
0,3528
1,0092
4,9928
6,6564
24,9168
At 6 1 5
24,9168
var ________ 2,0764 2,1
12
o dXXX
2,1 1,449... 1,45
c) 50; 50; 50; 50; 50; 50
300
Média ____ 50
6
At 50 50 0
var 0, já que não há variação em torno do valor
médio.
00
o dXX
d) 1; 4; 8; 2; 4; 6; 8; 10
43
10 8 8 6 4 4 2 1
Média ____________________________ ___
8
8
5,375 5,4
Dados x
Frequência
f
x
média
(x
média)2
f (x
média)2
10
8
6
4
2
1
Total
1
2
1
2
1
1
8
4,6
2,6
0,6
1,4
3,4
4,4
21,16
6,76
0,36
1,96
11,56
19,36
21,16
13,52
0,36
3,92
11,56
19,36
69,88
At 1 (10) 9
69,88
var ______ 8,735 8,7
8
o dXXXX
8,7 2,9495... 2,9
212
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09.12.08 14:39:38
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
12 Veja na tabela abaixo a distribuição dos dados de
50 famílias, todas com 4 filhos, considerando o número de meninas.
No de meninas
o
N de famílias
0
1
2
3
4
3
15
10
14
8
a) Determine em seu caderno a média do número
de meninas dessas famílias.
0 3 1 15 2 10 3 14 4 8
Média _________________________________
3 15 10 14 8
109
____ 2,18 2,2 filhas por família.
50
b) Calcule o percentual de famílias com até 2 filhas.
Márcia
4 2 10 4 48
Nota média ____________ ___ 6
8
8
At 10 2 8
b) Compare os resultados e avalie quem obteve
mais regularidade em notas. Justifique a resposta em seu caderno.
As duas têm a mesma média, porém a variação
(amplitude total) das notas de Márcia é bem
maior que a de Clara. Logo, Clara teve mais regularidade em suas notas.
16 Foram calculadas as médias das idades e os desvios padrão de dois grupos de jovens. Veja os resultados abaixo.
São 3 15 10 28 famílias.
28
56
Cálculo da porcentagem: ___ ____ 56%
50 100
c) Calcule o percentual de famílias com mais de 3 filhas.
Famílias com mais de 3 filhas: 8 famílias
16
8
Cálculo da porcentagem: ___ ____ 16%
50 100
13 Em um estacionamento há 35 carros vermelhos,
10 brancos, 27 cinza, 30 prata e 33 pretos.
Qual é a moda das cores dos carros?
Das 4 cores, a que aparece com maior frequência
(35) é a vermelha, logo, a moda corresponde à cor
vermelha.
14 Considere um conjunto de dados cujo desvio padrão é zero. Analise as informações abaixo, e verifique quais alternativas são verdadeiras, corrigindo as falsas no caderno.
a) A média desse conjunto de dados obtidos é zero.
F, pois o fato de o desvio padrão ser zero significa
apenas que não há variância em torno da média,
e não que a média é zero.
A: média 16; desvio padrão 4,5
B: média 16; desvio padrão 1,2
Em qual desses grupos é mais provável que a
maioria dos jovens tenham idades mais próximas a
16 anos? Justifique a resposta em seu caderno.
O grupo B, pois o desvio padrão é menor, ou seja, o
desvio em relação à média de 16 anos é menor.
17 O gerente de um bufê infantil fez um registro das
idades das crianças que participavam de uma festa, anotando os dados em um quadro como o mostrado a seguir.
Léa
Bia
Edu
Tom
Caio
Rui
3 anos
6 anos
4 anos
3 anos
4 anos
4 anos
Após calcular a média das idades e o desvio padrão, chegou outro grupo de crianças, todas de
4 anos, e foi preciso refazer os cálculos. Ele afirmou
que a média não se alterou, mas o desvio padrão
caiu pela metade. Responda em seu caderno.
a) O cálculo do gerente está correto? Justifique
em seu caderno.
b) A variância desse conjunto de dados também é
nula.
V, pois o dXXXX
var V var o2 0
A princípio, com 6 crianças, tem-se:
364344
24
Idade média = _____________________ ___
6
6
4 anos
Portanto o cálculo do gerente está correto: chegando mais crianças com idade igual à média da
idade das demais (4 anos), a média não se altera
e o desvio padrão diminui.
c) Todos os elementos desse conjunto têm valor
igual à média.
V, pois não há variação em torno da média.
15 Veja a seguir as notas das oito avaliações do bimestre letivo de duas alunas, Clara e Márcia, de
um curso de Espanhol.
Clara: 6; 7; 6; 5; 6; 6; 7; 5
Márcia: 2; 10; 10; 2; 2; 2; 10; 10
a) Calcule a nota média e a amplitude total das notas de cada uma das alunas.
Clara
5 2 6 4 7 2 48
Nota média __________________ ___ 6
8
8
At 7 5 2
Capítulo 8
b) É possível calcular quantas crianças chegaram
depois na festa?
Sim, o cálculo segue abaixo.
A princípio tem-se 6 crianças.
Desvio padrão:
Idade
(anos)
No de
crianças
f
Idade
média
3
2
3 4 1
1
2
4
3
440
0
0
6
1
642
4
4
Total
6
(Idade
média)2
f
(idade
média)2
6
213
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
6
var __ V o dX1 1
6
Com a chegada de um grupo de x crianças de
4 anos (idade igual à média das outras crianças),
tem-se:
de molho (tomates, branco, quatro queijos ou funghi). Quantos pratos diferentes podem ser montados com essas opções?
Calcula-se o número de pratos diferentes multiplicando os tipos de massas diferentes pelas opções
de molho:
3 4 12
No de crianças f
Idade (anos)
3
2
4
3x
6
1
Total
6x
2
Certo modelo de carro é fabricado em 7 diferentes cores, apresentando ainda 2 tipos de motores
e 3 opções de estofamento. De acordo com esses
3 itens, que quantidade de carros diferentes desse
modelo podem ser fabricados?
Obtém-se o número de carros diferentes multiplicando as cores diferentes pelas opções de estofado
e tipos de motores diferentes:
7 2 3 42
3
Considere que, para formar a placa de um carro, as
letras possam ser escolhidas dentre 26 (A; B; C; …;
Y, Z) e os algarismos dentre 10 (0; 1; 2; …; 9).
3 2 4 (3 x) 6 1
Idade média ______________________
6x
24 4x 4 (6 x)
________ __________ 4 anos V a média
6x
(6 x)
não se alterou
Verifica-se agora o desvio padrão:
Idade
(anos)
No de
crianças
f
Idade
média
(Idade
média)2
f
(idade
média)2
3
2
3 4 1
1
2
4
3x
440
0
0
6
1
642
4
4
Total
6x
a) Quantas placas do atual sistema brasileiro
(3 letras e 4 dígitos) são formadas somente por
vogais e dígitos ímpares?
O alfabeto tem 5 vogais (a, e, i, o, u) e há 5 números
ímpares entre 0 e 9 (1; 3; 5; 7; 9), de modo que há 5
possibilidades para letra ou dígito. Assim, tem-se:
5 5 5 5 5 5 5 78 125 placas.
b) Quantas placas do atual sistema brasileiro podem
ser formadas por 3 letras iguais e 4 dígitos iguais?
1a letra: 26 possibilidades
2a letra igual à primeira: 1 possibilidade
3a letra igual à primeira: 1 possibilidade
26 1 1 26 combinações de letras
1o algarismo: 10 possibilidades
2o algarismo igual ao primeiro: 1 possibilidade
3o algarismo igual ao primeiro: 1 possibilidade
4o algarismo igual ao primeiro: 1 possibilidade
10 1 1 1 10 combinações de números
Logo, 26 10 260 placas diferentes.
6
6
var ______
6x
Como foi dado que o desvio padrão caiu pela me1
tade, o novo desvio padrão vale o __.
2
d
XXXXXX
6
6
1
1
Assim, o dXXXX
var ______ __ V ______ __ V
4
6x
2
6x
V 24 6 x V x 18 crianças.
Portanto chegaram depois à festa 18 crianças de
4 anos de idade.
Módulo 3: Introdução à análise combinatória
PÁGINA
230
Boxe Cálculo mental
Uma lanchonete oferece a seus clientes sucos de 15 diferentes frutas, podendo ser escolhidos 3 tamanhos: pequeno (300 mL), médio (500 mL) ou grande (1 L). Quantos pedidos de sucos diferentes com uma fruta podem
ser feitos nessa lanchonete?
Como há 3 tipos de tamanho e 15 tipos de sucos diferentes, faz-se a multiplicação
3 15 45 V Podem ser feitos 45 pedidos diferentes.
PÁGINA
1
233
Atividades para classe
Num restaurante expresso de comida italiana, o
cliente pode escolher entre 3 tipos de massa (espaguete, ravióli ou penne), tendo ainda 4 opções
4
Cinco amigos vão se sentar em 5 cadeiras consecutivas de um cinema.
a) De quantas maneiras diferentes eles podem se
sentar?
Na primeira cadeira pode se sentar qualquer um
dos 5 amigos, de modo que para essa cadeira há
5 possibilidades de pessoas. Na segunda cadeira
pode se sentar qualquer um dos 4 amigos restantes (uma vez que um deles já se sentou na primeira cadeira). Na terceira cadeira pode se sentar
qualquer um dos 3 amigos restantes, e assim por
diante, como mostrado na tabela abaixo.
Cadeiras
Cadeira 1
no de possibilidades
5
Cadeira 2 Cadeira 3
514
413
Cadeira
Cadeira 4
Cadeira 5
no de possibilidades
312
211
Multiplicando as possibilidades, tem-se
5 4 3 2 1 120 maneiras diferentes.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
b) De quantas maneiras diferentes eles podem se
sentar de modo que André, um dos amigos, ocupe a cadeira do meio?
André ocupou a cadeira do meio, logo restam
4 amigos e 4 cadeiras. Na primeira dessas 4 cadeiras pode se sentar qualquer um dos 4 amigos;
na segunda, qualquer um dos 3 restantes, e assim
por diante. Tem-se então:
4 3 2 1 24 maneiras diferentes.
c) De quantas maneiras diferentes eles podem se
sentar de modo que Sérgio, outro amigo, não
ocupe a cadeira do meio?
Sérgio na cadeira 1 V Os outros 4 amigos nas outras 4 cadeiras V 4 3 2 1 24 possibilidades.
Como Sérgio pode estar em qualquer uma das
4 cadeiras que não a do meio tem-se: 4 24 96
possibilidades.
5
7
Seis casais chegaram às finais de um concurso de
dança. Um componente de cada casal será escolhido para dar uma entrevista sobre o concurso. De
quantos modos diferentes poderá ser feita essa
escolha?
Há 6 casais, e de cada casal qualquer um dos dois
pode ser escolhido para dar entrevista. Então serão
escolhidas 6 pessoas, sendo que há duas possibilidades de escolha para cada uma.
2 2 2 2 2 2 26 64 modos diferentes de
fazer a escolha.
8
Deseja-se pintar as 4 listras da bandeira desenhada
abaixo. Para isso, estão disponíveis tintas de 4 cores: verde, amarela, azul e vermelha. Determine de
quantas maneiras diferentes a bandeira poderá ser
pintada de acordo com as condições estabelecidas
em cada item.
Três amigos vão se hospedar em um hotel que
está com 6 quartos disponíveis, sendo que cada
um vai ocupar um quarto diferente.
De quantas maneiras distintas eles poderão escolher os quartos?
Amigos
Amigo A
Amigo B
Amigo C
possibilidade
de quartos
6
615
514
Logo, há 6 5 4 120 maneiras diferentes de escolher os quartos.
6
Capítulo 8
Observe na figura a disposição das carteiras numa
sala da escola de inglês de Rita e Júlia.
a) Cada listra seja pintada de uma cor distintas
das outras.
Listra
Listra 1
Listra 2
Listra 3
Listra 4
possibilidades
de cores
4
413
312
211
Logo, há 4 3 2 1 24 maneiras diferentes.
Ao entrar na sala, inicialmente vazia, cada uma escolhe um lugar para se sentar.
a) De quantas maneiras distintas elas podem fazer
essa escolha?
Há 12 carteiras na sala.
Alunas
Rita
Júlia
possibilidade de
escolha de lugares
12
12 1 11
Logo, há 12 11 132 maneiras diferentes de escolher os lugares na sala.
b) De quantas maneiras distintas elas podem fazer
essa escolha de modo que Rita se sente numa
das 4 carteiras próximas à lousa, já que ela esqueceu seus óculos?
Rita se senta em uma das 4 carteiras da frente:
4 possibilidades.
Júlia se senta em qualquer uma das 11 restantes:
11 possibilidades
Logo, há 11 4 44 maneiras diferentes.
b) Possa haver repetição de cor, desde que 2 listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor.
Podendo haver repetição de cores “não consecutivas”:
A primeira listra pode ser pintada com qualquer
uma das 4 cores. A segunda listra pode ser pintada apenas com uma dentre 3 cores, pois não se
pode usar a mesma cor com a qual foi pintada a
primeira listra. A terceira listra também pode ser
pintada apenas com uma dentre 3 cores, pois não
se pode usar a mesma cor com a qual foi pintada
a segunda listra. O mesmo vale para a quarta listra, como mostrado na tabela abaixo.
Listra
Listra 1
Listra 2
Listra 3
Listra 4
possibilidades
de cores
4
413
413
413
Logo, há 4 3 3 3 108 maneiras diferentes.
c) Não possa ser utilizada tinta vermelha e 2 listras
consecutivas não sejam pintadas da mesma cor.
Usando apenas 3 cores (sem a cor vermelha) e
sem repetir cores em listras consecutivas:
A primeira listra pode ser pintada com qualquer
uma das 3 cores. A segunda listra pode ser pintada apenas com uma dentre 2 cores, pois não se
pode usar a mesma cor com a qual foi pintada a
primeira listra, e assim por diante.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
Listra
Listra 1
Listra 2
Listra 3
Listra 4
possibilidades
de cores
3
312
312
312
Feliz
Logo, há 3 2 2 2 24 maneiras diferentes.
9
Uma sala possui 5 lâmpadas, cada uma com um
interruptor independente. De quantos modos distintos essa sala poderá ser iluminada acendendo-se pelo menos uma das lâmpadas?
Lâmpadas
Lâmpada A Lâmpada B Lâmpada C
possibilidades de
interruptor
2
Lâmpadas
2
2
Lâmpada D Lâmpada E
possibilidades de interruptor
2
2
Há duas possibilidades para cada interruptor (ligado
ou desligado), então o número total de combinações
para os 5 interruptores é
2 2 2 2 2 25 32.
Porém, deve-se excluir a possibilidade em que todos
os 5 interruptores estão desligados, pois pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa. Assim, tem-se
32 1 31 maneiras.
PÁGINA
234
Atividades para casa
10 A comissão de formatura do 9o ano de uma escola
deverá escolher, dentre 3 restaurantes, aquele que
organizará o jantar, e, dentre 4 clubes, aquele onde
será realizado o baile. De quantos modos a comissão poderá fazer essa escolha?
Multiplica-se o número de clubes pelo número de
restaurantes:
Simpática
Alegre
Quantos caminhos diferentes um motorista pode escolher para ir de Simpática a Alegre, passando por Feliz?
Multiplica-se o número de rodovias que ligam as cidades Feliz e Alegre pelo número de rodovias que
ligam as cidades Simpática e Feliz.
3 3 9 caminhos diferentes.
13 Quantos números de 4 algarismos distintos pode-se formar com os algarismos do nosso sistema de
numeração de modo que o último algarismo seja
igual a zero?
Para que o número tenha 4 algarismos distintos e o
último seja zero, há as seguintes possibilidades:
1o algarismo: 9 possibilidades (deve-se excluir o zero,
pois o último algarismo já será zero. Além disso, se o
número começasse com zero ele seria na verdade de
3 algarismos, e não de 4)
2o algarismo: 8 possibilidades (deve-se excluir o
zero e o algarismo utilizado anteriormente)
3o algarismo: 7 possibilidades (deve-se excluir o zero
e os 2 algarismos utilizados anteriormente)
4o algarismo: 1 possibilidade (que é o zero)
Assim, pode-se escrever 9 8 7 1 504 números
distintos obedecendo a essas condições.
14 Uma prova é composta de 10 afirmações, que o
aluno deve classificar como verdadeiras ou falsas.
Veja uma resposta possível para essa prova.
De quantas maneiras distintas pode-se responder
uma prova como essa?
3 4 12 modos diferentes.
11 O site de uma fábrica de produtos esportivos permite que os clientes montem seus próprios tênis,
que são em seguida produzidos sob encomenda.
O cliente pode fazer as escolhas a seguir.
V cor do fundo (4 opções)
V cor secundária (6 opções)
V cor dos detalhes (5 opções)
Quantos tênis diferentes podem ser montados com
essas opções?
Multiplica-se o número de opções para as cores dos
detalhes, cores de fundo e cores secundárias:
4 5 6 120 tênis diferentes.
Cada uma das 10 perguntas admite 2 respostas.
Então há 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 210 1 024
maneiras diferentes de se responder.
12 Existem 3 rodovias ligando as cidades de Simpática
e Feliz, e três rodovias unindo as cidades de Feliz e
Alegre, como ilustrado a seguir.
15 Quantos números de 3 algarismos distintos se podem
formar com os algarismos do nosso sistema de numeração?
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Dica: lembre-se de que nenhum número de
três algarismos pode ter o primeiro algarismo
igual a zero.
1a casa V 9 algarismos (deve-se excluir o zero)
2a casa V 9 algarismos (deve-se excluir o algarismo
utilizado anteriormente)
3a casa V 8 algarismos (deve-se excluir os 2 algarismos utilizados anteriormente)
9 9 8 648
Logo, pode-se formar 648 números diferentes.
16 Flávia tem em seu guarda-roupa 3 calças, 2 saias e
4 blusas que ela gosta de usar para ir a festas.
a) Quantas combinações de saia e blusa Flávia
pode fazer?
Deve-se multiplicar as opções de saias e blusas:
2 4 8 combinações
b) Quantas combinações de calça e blusa ela pode
formar?
Deve-se multiplicar as opções de calças e blusas:
3 4 12 combinações
c) De quantas maneiras diferentes Flávia pode ir
vestida a uma festa?
Sabendo que ela não usará ao mesmo tempo saia
e calça, deve-se somar as diferentes combinações
encontradas para saia e blusa calça e blusa:
12 8 20
d) Se ela resolver ir com uma determinada blusa,
de quantas maneiras diferentes ela poderá se
vestir?
Como ela já escolheu uma blusa, resta a ela escolher uma saia ou uma calça. Somando o número
de calças ao número de saias, tem-se:
235
17 Os clientes de um banco devem escolher uma sequência de 3 letras diferentes dentre as letras A,
B, C, D, E, F, G, H para formar a senha de atendimento eletrônico.
São 8 letras ao todo, de A a H.
a) Calcule quantas senhas desse tipo podem ser
formadas.
A sequência a ser escolhida possui 3 dígitos.
1o dígito 8 possibilidades
2o dígito 7 possibilidades (exclui-se a letra já
usada no dígito anterior)
3o dígito 6 possibilidades (exclui-se as duas primeiras letras)
8 7 6 = 336 V Podem se formadas 336 senhas
diferentes.
Capítulo 8
b) Quantas dessas senhas começam com a letra C?
Sendo C a letra do primeiro dígito da senha:
1o dígito C & 1 possibilidade
2o dígito & 7 possibilidades (excluindo-se o C)
3o dígito & 6 possibilidades (excluindo as 2 letras
já usadas)
1 7 6 42 V 42 dessas senhas começam com C.
c) Quantas dessas senhas começam com uma vogal
e terminam com uma consoante?
Primeiro note que, em (A, B, C, D, E, F, G, H) tem-se 2 vogais e 6 consoantes.
1o dígito vogal V 2 possibilidades
3o dígito consoante V 6 possibilidades
2o dígito consoante V 6 possibilidades (pois
deve-se excluir a vogal usada no 1o dígito e a consoante usada no 3o)
2 6 6 72 V 72 dessas senhas começam com
vogal e terminam com consoante.
d) Quantas dessas senhas são formadas somente
por consoantes?
1o dígito consoante & 6 possibilidades
2o dígito consoante & 5 possibilidades (exclui-se a primeira letra)
3o dígito consoante & 4 possibilidades (excluindo as 2 primeiras)
6 5 4 120 V 120 dessas senhas são formadas somente por consoantes.
18 Considerando os algarismos do nosso sistema
de numeração, determine o que se pede em cada
item.
a) A quantidade de números com 3 algarismos que
podem ser formados.
O primeiro dos três algarismos não pode ser o
zero, caso contrário o número teria na verdade
2 algarismos, e não 3. Assim, há 9 possibilidades
para o primeiro algarismo (1 a 9) e 10 para os outros dois (0 a 9).
1o algarismo
2o algarismo
9
10
9 10 10 900 números
3o algarismo
10
b) A quantidade de números com 3 algarismos distintos que podem ser formados.
Novamente o primeiro algarismo não pode ser
zero. Além disso, o segundo não pode ser igual
ao primeiro, e o terceiro não pode ser igual aos
outros dois.
1o algarismo
9
2o algarismo
10 1 9
3o algarismo
918
9 9 8 648 números
c) A quantidade de números com 3 algarismos
iguais que podem ser formados.
1o algarismo & 9 possibilidades (excluindo o zero)
2o algarismo & 1 possibilidade (igual ao 1o algarismo)
3o algarismo & 1 possibilidade (igual ao 1o algarismo)
9 1 1 9 números (111, 222, 333, 444, 555, 666,
777, 888, 999)
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
d) A quantidade de números com pelo menos 2 algarismos iguais que podem ser formados.
A quantidade de números de 3 algarismos com
pelo menos 2 deles iguais pode ser calculada subtraindo, da quantidade de números que podem
ser formados com 3 algarismos, a quantidade de
números com 3 algarismos distintos. Isso porque,
se os 3 algarismos não são distintos, pelo menos
2 são iguais. Assim, tem-se:
900 648 252 números
PÁGINA
235
Atividades para casa
19 Uma prova de atletismo é disputada por 20 corredores, sendo 3 brasileiros. O pódio dessa corrida é
formado pelos 3 primeiros colocados, não havendo
a possibilidade de empate.
a) Quantas possibilidades diferentes existem para
formar o pódio dessa corrida?
20 corredores
1o lugar & 20 possibilidades (qualquer um dos
20 corredores)
2o lugar & 19 possibilidades (excluindo-se o que
ficou em 1o lugar)
3o lugar & 18 possibilidades (excluindo-se os dos
2 primeiros lugares)
Logo, são 20 · 19 · 18 6 840 possibilidades diferentes.
b) Em quantas dessas possibilidades o pódio é formado por 3 brasileiros?
3 brasileiros
1o lugar & 3 possibilidades (qualquer um dos
3 brasileiros)
2o lugar & 2 possibilidades (excluindo-se o que
ficou em 1o lugar)
3o lugar & 1 possibilidade (excluindo-se os dos
2 primeiros lugares)
Logo, são 3 · 2 · 1 = 6 possibilidades diferentes.
c) Em quantas dessas possibilidades o pódio não
tem nenhum brasileiro?
Nenhum brasileiro & restam 17 corredores
1o lugar & 17 possibilidades (qualquer um dos
17 corredores)
2o lugar & 16 possibilidades (excluindo-se o do
1o lugar)
3o lugar & 15 possibilidades (excluindo-se os dos
2 primeiros lugares)
Logo, são 17 · 16 · 15 4 080 possibilidades diferentes.
d) Em quantas dessas possibilidades o pódio é formado por pelo menos um brasileiro?
Para calcular o número de possibilidades de haver pelo menos 1 brasileiro no pódio basta subtrair, do número total de possibilidades de se
formar o pódio com 20 corredores, o número de
possibilidades de não haver nenhum brasileiro no
pódio. Assim, só restarão possibilidades com pelo
menos um brasileiro no pódio. Como as possibilidades já foram calculadas nos itens a) e c), basta
efetuar a subtração:
6 840 4 080 2 760 possibilidades.
e) Em quantas dessas possibilidades o pódio tem
exatamente um brasileiro?
Primeiro calcula-se as possibilidades de um brasileiro ficar em 1o lugar:
1o lugar brasileiro & 3 possibilidades
2o lugar não brasileiro & 17 possibilidades (excluindo os 3 brasileiros)
3o lugar não brasileiro & 16 possibilidades (excluindo também o do 2o lugar)
3 17 16 816 possibilidades.
Da mesma forma, há 816 possibilidades de haver
um brasileiro no 2o lugar, e mais 816 de haver um
brasileiro no 3o lugar. Assim, tem-se 816 816
816 2 448 possibilidades.
20 Geórgia colocou uma senha em seu computador
composta de 2 letras distintas seguidas de 2 algarismos, que podem ser repetidos. Dias depois,
ela esqueceu completamente a senha, e resolveu
ir fazendo tentativas até encontrá-la.
a) Quantas tentativas, no máximo, Geórgia terá de
fazer?
2 letras distintas:
1a letra & 26 possibilidades (as 26 letras do alfabeto)
2a letra & 25 possibilidades (excluindo-se a 1a)
2 algarismos (podem ser repetidos):
1o algarismo & 10 possibilidades
2o algarismo & 10 possibilidades
Logo, são 26 25 10 10 65 000 tentativas, no
máximo.
b) Se ela gastar 3 segundos em cada tentativa, e
trabalhar sem nenhuma interrupção, quantos
dias ela poderá levar, no máximo, para concluir
sua tarefa?
65 000 3 195 000 segundos
1h tem 3 600 segundos e 1 dia tem 24 horas &
1 dia então tem 24 3 600 86 400 segundos.
195 000 : 86 400 2,256944 V 195 000 s correspondem aproximadamente a 2,26 dias, ou
seja, 2 dias 0,26 dia.
0,26 dia corresponde a 0,26 24 6,24 h
Logo, Geórgia levará, no máximo, cerca de 2 dias
e 6 horas para concluir sua tarefa.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
21 Um restaurante oferece em seu cardápio 6 tipos
diferentes de massa, 4 tipos diferentes de salada e
5 tipos diferentes de sobremesa. Uma pessoa que
vai almoçar nesse restaurante e deseja comer uma
massa, uma salada e uma sobremesa, tem quantas
opções diferentes de escolha dos 3 pratos?
Multiplica-se os tipos de sobremesas, saladas e massas:
6 4 5 120 opções diferentes.
22 Em uma festa de formatura havia 170 formandos,
sendo 80 meninos e 90 meninas. Para dançar a
valsa dos formandos, quantos casais diferentes
poderiam ser formados?
Multiplica-se o número de meninos por meninas:
80 90 7 200 casais diferentes.
23 Marcelo possui 12 camisas e 5 gravatas. Ele acha
que a gravata azul não combina com a camisa listrada, por isso nunca as usa juntas. De quantas
maneiras diferentes ele pode combinar as camisas
e as gravatas, considerando a condição citada?
Multiplica-se o número de gravatas pelo número de
camisas para obter o número total de combinações:
12 5 60 combinações diferentes.
Excluindo a combinação citada (gravata azul camisa listrada) tem-se 60 1 59 combinações.
24 O campeonato brasileiro de futebol conta com 20
participantes que se enfrentam em turno e returno para definir o campeão. Isso significa que cada
equipe enfrenta todas as outras por 2 vezes, uma
em seu estádio e outra no estádio do adversário.
a) Qual o total de jogos realizados para definir o
campeão brasileiro de futebol?
Cada time enfrentará em seu próprio estádio os
outros 19 times. Assim, multiplica-se os participantes pelo número de adversários: 20 19
380 jogos.
b) Se o número de equipes participantes subisse
para 24, qual seria o total de jogos realizados?
Multiplica-se os participantes pelo número de adversários: 24 23 552 jogos.
25 Cada região do mapa ao lado deverá ser pintada
com uma dentre 3 cores disponíveis, de modo que
2 regiões que façam fronteira não sejam pintadas
da mesma cor.
De quantas maneiras diferentes isso poderá ser
feito?
A
B
C
D
Região A & 3 possibilidades
Região B & 2 possibilidades (excluindo a cor de A)
Região C & 1 possibilidade (excluindo a cor de A e B)
Região D & 2 possibilidades (excluindo a cor de C)
Logo, são 3 2 1 2 12 maneiras diferentes.
Capítulo 8
26 Três rapazes e três moças vão formar uma fila. De
quantas maneiras diferentes eles podem fazer isso
de modo que:
a) as moças ocupem as três primeiras posições
da fila?
1a posição moça & 3 possibilidades
2a posição moça & 2 possibilidades (exclui-se a
primeira)
3a posição moça & 1 possibilidade (excluindo
as 2 primeiras)
4a posição rapaz & 3 possibilidades
5a posição rapaz & 2 possibilidades (exclui-se
a quarta)
6a posição rapaz & 1 possibilidade (exclui-se a
quarta e a quinta)
Logo, são 3 2 1 3 2 1 36 maneiras diferentes.
b) as moças e os rapazes ocupem posições alternadas na fila?
Alternando moças e rapazes, as possibilidades
são as mesmas do item acima.
Se a 1a posição for ocupada por uma moça, tem-se 36 maneiras diferentes.
Se a 1a posição for ocupada por um rapaz, tem-se
outras 36 maneiras diferentes.
Logo, em posições alternadas há 36 36 72
maneiras diferentes.
27 No jogo de dominó cada peça contém 2 números gravados. As figuras ilustradas como exemplo contêm o mesmo par de números, por isso são consideradas iguais
e aparecem no jogo apenas uma vez. Os números que
constituem as peças de dominó são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
a) Quantas peças existem com um par de números
iguais?
7 peças
São elas: (6; 6), (5; 5), (4; 4), (3; 3), (2; 2), (1; 1) e
(0; 0).
b) Quantas peças existem com um par de números
distintos?
1 peça & 2 números: A e B
no A & 7 possibilidades (0 a 6)
no B & 6 possibilidades (excluindo-se o “no A”)
São 7 6 42 possibilidades.
Porém a peça (A; B) é a mesma que (B; A). Isto é,
nas 42 possibilidades a mesma peça foi contada
2 vezes. Assim é preciso dividir por 2:
42 : 2 21 peças
São elas:
(6; 0), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
(5; 0), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4)
(4; 0), (4; 1), (4; 2), (4; 3)
(3; 0), (3; 1), (3; 2)
(2; 0), (2; 1)
(1; 0)
c) Quantas peças existem no jogo?
Existem no jogo 28 peças, sendo 7 com um par
de números iguais e 21 com um par de números
distintos.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
Módulo 4: Probabilidades
PÁGINA
237
PÁGINA
Boxe Desafio
Escreva em seu caderno quais dos experimentos
abaixo são aleatórios.
a) Medição da distância entre São Paulo e Rio de
Janeiro.
b) Contagem do número de crianças que nascem
na cidade de Brasília num dia qualquer.
c) Registro do número de dias com chuva em um
mês na cidade de Porto Alegre.
d) Contagem do número de dias do mês de janeiro
de um ano qualquer.
São aleatórios os experimentos dos itens b); c).
2
Rui lança uma moeda e, em seguida, um dado comum, anotando a face da moeda e o número do
dado que foram obtidos.
a) O experimento descrito é aleatório? Justifique
em seu caderno.
Sim, o experimento é aleatório, pois não há como
prever qual face da moeda e do dado ficará voltada para cima.
B
A
Considere uma formiga caminhando do ponto A ao
ponto B obedecendo às condições dadas a seguir.
• Caminhar somente sobre a aresta do cubo.
• Percorrer a menor distância possível.
b) Escreva todos os elementos do espaço amostral
relativo a esse experimento.
Seja K o evento correspondente a se obter a
face cara voltada para cima e C o evento em que
se tem a face coroa voltada para cima. Assim o
espaço amostral é:
E {(K; 1), (K; 2), (K; 3), (K; 4), (K; 5), (K; 6), (C; 1),
(C; 2), (C; 3), (C; 4), (C; 5), (C; 6)}
Para isso, a formiga escolherá ao acaso um dos
possíveis caminhos. Calcule quantos elementos
tem o espaço amostral correspondente a esse experimento aleatório.
PÁGINA
239
3
Uma caixa contém 10 fichas, sendo 1 ficha azul,
3 amarelas e 6 vermelhas, todas com a mesma forma, tamanho e peso. Pede-se a uma pessoa para
retirar ao acaso uma ficha da caixa. Calcule em
seu caderno a probabilidade de essa pessoa retirar
uma ficha amarela.
Total: 10 fichas & n(E) 10
Evento A obter ficha amarela & n(A) 3
P(A)
3
P(A) _____ ___
P(E) 10
4
Sabe-se que a probabilidade de uma peça produzida em determinada indústria ser defeituosa é 3%.
Qual a probabilidade de que essa peça não tenha
defeito?
Os eventos correspondentes à peça ter defeito ou
não ter defeito são complementares. Assim, a probabilidade de que a peça não apresente defeito é
P 100% 3% 97%.
5
Escreva em seu caderno os elementos dos espaços
amostrais correspondentes aos experimentos aleatórios abaixo, e indique quais são equiprováveis.
a) A disputa de uma partida de futebol entre as
seleções do Brasil e do Nepal no estádio do Maracanã.
Eventos: B Brasil vence; N Nepal vence e
X empate.
O espaço amostral é E {B; N; X}, experimento
não equiprovável dada a superioridade da seleção do Brasil sobre a do Nepal.
Boxe Cálculo mental
Calcula-se que a probabilidade de a seleção brasileira vencer determinada partida de futebol seja 65%,
e a de empatar seja 25%. Qual a probabilidade de o
Brasil perder esse jogo?
A seleção brasileira pode vencer, empatar ou perder a partida. Esses eventos são complementares,
logo a soma das probabilidades para os 3 eventos
deve ser 100%. Desse modo a probabilidade de
perder é:
P(perder) 100% P(vencer) P(empatar)
100% 65% 25% 10%
Atividades para classe
1
Observe os dois cubos da figura, que têm um único
ponto de contato.
A partir do ponto A a formiga pode escolher entre
3 arestas para chegar ao próximo vértice do cubo.
Chegando ao próximo vértice ela tem mais 2 opções
de arestas, e então apenas uma opção para chegar
ao ponto de contato entre os 2 cubos. Então o número de possibilidades para a formiga ir do ponto A
até o ponto de contato entre os 2 cubos é
3 2 · 1 6 possibilidades.
A partir do ponto de contato entre os cubos ela tem
novamente a princípio 3 possibilidades até o próximo vértice. Lá chegando ela tem mais duas possibilidades, e então apenas uma até o ponto B. Então no
segundo cubo ela tem
3 2 1 6 possibilidades.
Assim, o número total de possibilidades de caminhos
do ponto A até o B é dado por
6 6 36 possibilidades, e esse é o número de elementos do espaço amostral correspondente a esse
experimento.
240
220
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
n(A) 1 4 3 12
E a probabilidade de ser obtida uma palavra que
começa com A a partir das 5 fichas é:
n(A)
12
1
P(A) _____ ___ __
n(E) 60 5
b) Retirada de uma bola ao acaso de uma urna que
contém oito bolas de mesmo tamanho e peso
numeradas de 1 a 8.
E {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, experimento equiprovável
c) Lança-se um dado três vezes seguidas e observa-se o número de vezes que se obtém o número 6.
Lançando um dado 3 vezes seguidas, o número
de vezes que pode se obter o número 6 é no mínimo zero e no máximo 3. Assim, o espaço amostral
é E {0; 1; 2; 3}.
Esse espaço amostral não é equiprovável, uma
vez que é mais provável, por exemplo, não se obter nenhum 6 do que obter 6 nas 3 vezes.
c) A palavra começar com uma vogal.
Calculando o número de palavras de 3 letras que
se iniciam com uma vogal:
Como há 3 vogais, há 3 possibilidades para a primeira letra. Para a segunda letra há 4 possibilidades (excluindo a vogal usada na primeira letra),
e para a terceira letra há 3 possibilidades. Então
o número de palavras de 3 letras que começam
com vogal é:
n(vogal) 3 4 3 36
E a probabilidade de ser obtida uma tal palavra a
partir das 5 fichas é:
n(vogal) 36
3
P(vogal) ________ ___ __
60 5
n(E)
d) O lançamento simultâneo de duas moedas de mesmo valor e registro da face obtida em cada uma.
E {(K; K);(K; C);(C; K);(C; C)}, experimento equiprovável onde K cara e C coroa.
6
7
Durante uma promoção de um shopping center, Tadeu ganhou 5 cupons para concorrer a um carro e
Marcela, 20. Os cupons foram preenchidos e colocados em uma urna. Sabendo que nessa urna havia
5 000 cupons e que seria sorteado apenas um, calcule as probabilidades de Tadeu e de Marcela ganhar
o carro.
Seja P(T) a probabilidade de Tadeu ganhar o carro e
P(M) a de Marcela ganhar.
5
P(T) ______ 0,001 0,1%
5 000
20
P(M) ______ 0,004 0,4%
5 000
8
I
O
R
b) A palavra começar pela letra A.
O número de palavras de 3 letras que podem
ser formadas com as 5 fichas de tal forma que
a primeira seja A pode ser obtido pelo princípio
fundamental da contagem: há apenas uma possibilidade de ficha para a primeira letra (a ficha A),
4 possibilidades para a segunda letra (pois a ficha
A já foi usada) e 3 possibilidades para a terceira
letra (excluindo as 2 fichas anteriores). Portanto,
o número de palavras de 3 letras que se iniciam
com A é:
Flamengo
São Paulo
Grêmio
Rapazes
5
7
4
Moças
2
3
4
Escolhendo um aluno ao acaso, determine a probabilidade em cada item.
a) O aluno torcer pelo São Paulo.
n(SP)
10
2
P(SP) ______ ___ __
25 5
n(E)
L
Uma pessoa escolheu 3 dessas fichas e colocou-as
em determinada sequência, formando uma palavra. Calcule a probabilidade do evento enunciado
em cada item.
Primeiramente calcula-se o número de agrupamentos de 3 letras que podem ser formados com as 5 fichas. Usando o princípio fundamental da contagem,
nota-se que há 5 opções de fichas para a primeira
letra, 4 opções para a segunda (excluindo a ficha já
usada na primeira letra) e 3 opções para a terceira (excluindo as duas fichas usadas anteriormente).
Então o número de agrupamentos possíveis é:
n(E) 5 4 3 60.
a) A palavra formada ser RIO.
A palavra RIO é apenas uma das 60 combinações
de 3 letras possíveis usando as 5 fichas, e a pro1
babilidade de obtê-la é então ___ .
60
A tabela abaixo mostra o time preferido de 25 alunos de uma classe.
Equipe
Cinco fichas foram colocadas sobre uma mesa,
com as letras viradas para baixo.
A
Capítulo 8
b) O aluno torcer pelo Grêmio.
n(G)
8
P(G) _____ ___
n(E) 25
c) Ser moça e torcer pelo Flamengo.
Moças que torcem pelo flamengo: 2 & n(A) 2
n(A)
2
P(A) _____ ___
n(E) 25
9
Dois alunos de uma classe formada por 10 moças
e 10 rapazes serão sorteados pela professora de
Português para ganhar um livro. O primeiro ganhará Dom Casmurro, e o segundo, Memórias Póstumas de Brás Cubas, ambos de Machado de Assis.
a) Calcule a probabilidade de que Vitória ganhe o
livro Dom Casmurro.
A probabilidade de Vitória ganhar o primeiro livro
1
é de ___, dado ser um sorteio entre os 20 alunos.
20
b) Calcule a probabilidade de que Álvaro ganhe o primeiro livro e de que Paulo ganhe o segundo livro.
O número de possibilidades diferentes de sorteio é
calculado usando o princípio fundamental da contagem: Para o sorteio do primeiro livro há 20 possibilidades, pois há 20 alunos na sala. Para o sorteio do
segundo livro há apenas 19 possibilidades, pois um
dos alunos já foi contemplado no primeiro sorteio.
Portanto, o número de possibilidades de sorteio é:
221
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
n(E) 20 19 380
O evento correspondente a sortear primeiro
Álvaro e depois Paulo é apenas uma das 380
possibilidades, e a probabilidade de que isso
ocorra é:
1
P(Álvaro, Paulo) ____
380
c) Determine a probabilidade de que duas moças
sejam sorteadas.
Calculando o número de possibilidades diferentes de sorteio de duas moças: para o primeiro
sorteio há 10 possibilidades (pois há 10 moças), e
para o segundo há 9 possibilidades (excluindo a
moça já contemplada no primeiro sorteio). Assim
o número de possibilidades de sorteios de duas
moças é:
b) brasileira.
n(B) 3
P(B) ____ __
n(E) 11
c) francesa.
n(F)
1
P(F) ____ __
n(E) 11
n(2 moças) 10 9 90
d) polonesa.
n(P)
1
P(P) ____ __
n(E) 11
E a probabilidade de que isso ocorra é:
e) alemã.
n(2 moças)
9
90
P(2 moças) ___________ ____ ___
380 38
n(E)
PÁGINA
12 Uma equipe de futebol é composta por 6 jogadores italianos, 3 brasileiros, 1 francês e 1 polonês.
Um desses jogadores é sorteado para realizar um
exame antidoping. Calcule a probabilidade de que
o jogador sorteado tenha a nacionalidade expressa
em cada item:
n(E) 11, n(I) 6, n(B) 3, n(F) 1, n(P) 1
a) italiana.
n(I)
6
P(I) ____ __
n(E) 11
241
Atividades para casa
10 Identifique em seu caderno os experimentos aleatórios.
a) Registro do número de pessoas que usaram o
metrô de São Paulo em um dia.
b) Medição da altura de uma determinada pessoa.
c) Contagem do atual número de senadores do
Brasil.
d) Contagem do número de vezes que o telefone
de uma loja toca num dia.
e) Contagem do número de pessoas que aprovam
a administração do prefeito de uma cidade, dentro de um grupo de 10 moradores escolhidos ao
acaso.
f) Cálculo da área de um determinado triângulo.
São aleatórios os experimentos dos itens: a); d); e).
11 Os nomes de César, Renata e Bianca são escritos
em pedaços de papel, dobrados e colocados em um
saco. Em seguida, 2 papéis são retirados ao acaso,
e os sorteados ganham um ingresso cada um para
ir ao cinema.
a) Descreva em seu caderno o espaço amostral
correspondente.
Como serão sorteados dois nomes o espaço
amostral é:
E {{César; Renata}; {César; Bianca}; {Renata;
Bianca}}
b) Esse espaço amostral é equiprovável?
Sim, todos têm a mesma chance de serem sorteados.
n(A) 0
P(A) _____ __ 0
11
n(E)
13 Escolhendo ao acaso um elemento do conjunto {11;
12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}, qual é a probabilidade de que seja um número primo?
E {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20} V n(E) 10
N Evento que satisfaz o no ser primo: N {11; 13;
17; 19}
n(N)
2
4
Logo n(N) 4 e P(N) _____ ___ __
n(E) 10 5
14 A seleção brasileira deverá enfrentar, na primeira
fase de um torneio, uma seleção europeia, uma asiática e outra africana, definidas por sorteio. As equipes que participam do torneio são dadas a seguir.
Itália
Japão
Camarões
Brasil
Alemanha
China
Nigéria
Argentina
França
Coreia
Senegal
Holanda
Irã
Marrocos
Portugal
Síria
Calcule a probabilidade de que o Brasil enfrente na
primeira fase do torneio cada seleção a seguir.
n(E) 16
R Times europeus & n(R) 5
S Times asiáticos & n(S) 5
F Times africanos & n(F) 4
a) França
n(França)
1
P(França) _________ __
5
n(R)
b) Japão
n(Japão)
1
P(Japão) _________ __
5
n(S)
c) Nigéria
n(Nigéria)
1
P(Nigéria) __________ __
4
n(F)
d) Argentina
P(Argentina) 0 V Evento impossível, pois é
país sul-americano
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
15 Dentre os números dados a seguir, copie em seu
caderno aqueles que podem representar a probabilidade de ocorrência de um evento.
19%
0
2
0,77
1/2
1
5/4
0,1
Como 0 P 1 ou 0% P 100%, os números
que podem representar uma probabilidade são:
1
19%; 0; 0,77; __; 1
2
16 Estima-se que a probabilidade de certo tenista
vencer seu próximo torneio é de 26%. Com base
nessa estimativa, qual é a probabilidade de que
outro tenista ganhe esse torneio?
P(T) 26%
Outro tenista vencer implica: “este tenista não
ven__
cer“
&
é
a
probabilidade
complementar
a
T:
T
__
P(T) 100% P(T) 100% 26% 74%
Capítulo 8
d) Sortear um número inteiro de 1 a 30 e verificar
se ele é ou não múltiplo de 5.
E {mult. de 5; não mult. de 5}. Não é equiprovável, pois a quantidade de números que são múltiplos de 5 é diferente da de números que não são
múltiplos de 5.
e) Verificar se uma letra do alfabeto brasileiro,
escolhida ao acaso, é vogal ou consoante.
E {consoante; vogal}. Não equiprovável, pois a
quantidade de consoantes não é a mesma que a
quantidade de vogais.
f) Observar a região a que pertence um estado
brasileiro escolhido ao acaso.
E {Norte; Nordeste; Centro-Oeste; Sudeste;
Sul}. Não equiprovável, pois não há um mesmo
número de estados em cada região.
19 Escolhe-se ao acaso um dos polígonos desenhados
abaixo.
17 Dentre os eventos descritos abaixo, encontre um
evento impossível e um evento certo.
a) Obtenção de um número divisível por 10 no lançamento de um dado comum.
Evento impossível, pois o espaço amostral é
E {1; 2; 3; 4; 5; 6} e nenhum desses números é divisível por 10.
b) Conseguir pelo menos uma face “cara” no lançamento de 20 moedas comuns.
É possível, porém não é certo.
c) Lançando-se 3 dados comuns, obter a soma dos
pontos maior ou igual a 3.
Evento certo, pois o menor resultado de cada um
dos dados é 1. Logo, a soma será, com certeza,
maior ou igual a 3.
18 Para cada experimento descrito, escreva o espaço
amostral correspondente, indicando se ele é equiprovável.
a) Lançar uma moeda comum e observar a face
obtida.
E {K; C}, equiprovável (K cara e C coroa).
b) Na disputa de 4 partidas de futebol entre Brasil
e Argentina, registrar o número de vitórias obtidas pelo Brasil.
O menor número de vitórias é zero, e o maior, 4.
Assim, E {0; 1; 2; 3; 4}, não equiprovável.
c) Observar a cor de uma das faces dos quadrados
pequenos da figura ao lado, escolhido ao acaso.
AM
V
AZ
AZ
AM
V
V
AZ
AM
E {amarela; azul; vermelha}. Como todas as cores aparecem o mesmo número de vezes na figura, o espaço amostral é equiprovável.
Qual a probabilidade de que a soma dos ângulos
internos do polígono escolhido seja igual a 360°?
O polígono que tem a soma dos ângulos internos
igual a 360º é um quadrilátero.
Como das 6 figuras 2 são quadriláteros, tem-se
2
1
P(Q) = __ __
6 3
PÁGINA
242
Atividades para casa
20 Uma moeda é lançada 2 vezes, sendo registrado o
número de vezes em que foi obtida a face “cara”.
a) Escreva o espaço amostral correspondente a
esse evento.
Lançando a moeda duas vezes, o menor número
de vezes em que se pode obter o resultado “cara”
é zero, e o maior é 2. Assim, E {0; 1; 2}.
b) Dê um exemplo de evento desse espaço amostral que seja impossível.
Obter 3 caras.
c) Dê um exemplo de evento desse espaço amostral que seja certo.
Obter menos de 3 caras.
21 Considere que a probabilidade de que o tenista A
1
vença uma partida contra o tenista B é igual a __.
3
Com base nessa informação, classifique em seu
caderno cada afirmação dada como sendo ou não
verdadeira e justifique as falsas.
a) Se os tenistas A e B disputarem 6 partidas, então o tenista A vencerá exatamente duas.
F. Não há nenhum argumento que leve a essa afirmação.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
b) Se o tenista A vencer uma partida contra o tenista B, então ele certamente perderá as próximas 2 partidas.
F. O fato de o tenista A vencer ou perder uma partida não dá nenhuma certeza ou garantia sobre o
resultado de nenhuma partida posterior.
c) É possível que o tenista A vença 2 partidas seguidas contra o tenista B.
V. Sim, é possível. Porém não há certeza alguma.
d) A probabilidade de o tenista B vencer uma partida
contra o tenista A é maior que 60%.
V. A probabilidade de que o tenista B vença o te1
2
nista A é t __ __ 0,666... 66,6%, sendo
3
3
portanto maior que 60%.
22 Uma transportadora comunicou a um de seus clientes que sua encomenda chegaria na próxima semana, no máximo até sexta-feira, e enviou a tabela
abaixo indicando as probabilidades de esse cliente
receber a mercadoria em cada dia.
Dia
2a
3a
4a
5a
Probabilidade
5%
10%
15%
25%
6a
A probabilidade de que a encomenda chegue na
sexta-feira saiu ilegível no fax. Com base nos outros dados, calcule esse valor.
A probabilidade de a encomenda chegar precisamente na sexta-feira é complementar à probabilidade
de chegar no intervalo de segunda até quinta-feira,
uma vez que foi garantido que ela chegará durante
a semana. Então a probabilidade de chegar na sexta
é:
P 100% 5% 10% 15% 25% 45%
23 Um dado comum não-viciado é lançado 2 vezes.
Calcule em seu caderno a probabilidade do evento
enunciado em cada item.
Número de possibilidades de resultados usando
2 dados:
n(E) 62 36
a) Os 2 números obtidos serem iguais.
A {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)} &
& n(A) 6
n(A)
6
1
P(A) _____ ___ __
n(E) 36 6
b) Os 2__números obtidos serem diferentes.
B A e A é o evento do item a).
__
5
1
PA P(E) P(A) 1 __ __
6 6
c) A soma dos números obtidos ser igual a 6.
C {(1; 5); (5; 1); (2; 4); (4; 2); (3; 3)} & n(C) 5
n(C)
5
P(C) ____ ___
n(E) 36
d) O produto dos números obtidos ser um número par.
P {(1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5);
(2; 6); (3; 2); (3; 4); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4);
(4; 5); (4; 6); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3);
(6; 4); (6; 5); (6; 6)}
P é o evento que satisfaz a condição “o produto
dos números obtidos é par”, n(P) 27.
n(P) 27
3
P(P) = ____ ___ __
n(E) 36 4
Outra maneira de resolver o item d):
Sendo P o evento “o
__ produto dos números obtidos é par”, então P é o evento “o produto dos
números obtidos não é par”, ou seja, “o produto
dos números
obtidos é ímpar”.
__
Assim, P {(1; 1); (1; 3);
(1; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5);
__
(5; 1); (5; 3); (5; 5)}; n(P) 9
__
Como n(E) n(P) n(P) tem-se:
3
27
36 n(P) 9 V n(P) 27 V P(P) ___ __
4
36
e) O primeiro número obtido ser maior do que o
segundo.
Seja M o evento “o 1o numero é maior que o 2o”:
M {(6; 5); (6; 4); (6; 3); (6; 2); (6; 1); (5; 4); (5; 3);
(5; 2); (5; 1); (4; 3); (4; 2); (4; 1); (3; 2); (3; 1); (2; 1)} V
n(M) 15
Logo:
n(M)
5
15
P(M) _____ ___ __
36 12
n(E)
f) Ser obtido um número maior do que 4 em pelo
menos um dos lançamentos.
Seja Q o evento “obter um número maior que 4
em pelo menos um dos lançamentos”
Q {(1; 5); (1; 6); (2; 5); (2; 6); (3; 5); (3; 6); (4; 5);
(4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1);
(6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)} V n(Q) 20
n(Q) 20 5
Logo P(Q) _____ ___ __
36 9
n(E)
24 A figura mostra a janela
lateral de cada um dos
12 apartamentos de um
edifício recém-construído.
Os apartamentos cujas
janelas foram destacadas
em amarelo já estão
ocupados. Considere
que cada apartamento
vago tenha a mesma
probabilidade de ser o
próximo a ser ocupado.
Há 8 apartamentos vagos V n(E) 8
a) Qual a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja do primeiro andar?
No 1o andar há um apartamento vago V n(1o) 1
n(1o)
1
V P(1o) _____ __
8
n(E)
b) Qual a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja do segundo andar?
No 2o andar há dois apartamentos vagos V
n(2o)
V n(2o) 2 V P(2o) P(2o) _____
n(E)
1
2
__ __
8 4
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
c) Qual a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja de um andar com nenhum apartamento ocupado?
Há 3 andares sem apartamentos ocupados V 6
apartamentos em andares totalmente desocupados.
n(andar)
n(andar) 6 V P(andar) ________
n(E)
6 3
__ __
8 4
25 Foi feita uma pesquisa sobre o estado onde nasceu
cada professor de uma escola. Os resultados estão
representados no gráfico abaixo.
Estado natal dos professores
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Paraná
Bahia
Rio Grande do Sul
Minas Gerais
São Paulo
Ceará
Goiás
a) Qual é o total de professores?
10 8 8 5 4 3 2 40 professores
b) Escolhendo ao acaso um desses professores,
qual a probabilidade de que ele tenha nascido
no Paraná?
n(Paraná) 10 e n(E) 40
10
1
logo, P(Paraná) ___ __
40 4
c) Escolhendo ao acaso um desses professores, qual
a probabilidade de ele não ter nascido na Bahia?
n(Bahia) 5, n(E) 40
A probabilidade de não ter nascido na Bahia é
complementar à probabilidade de ter nascido lá.
Portanto tem-se:
______
n(Bahia)
5
P(Bahia) 1 2 P(Bahia) 1 ________ 1 ___
40
n(E)
1
7
1 __ __
8 8
d) Escolhendo ao acaso um desses professores,
qual a probabilidade de ele ter nascido na região Sul do Brasil?
n(Região Sul) 5 n(PR) n(RS) 10 8 18
18
9
P(Região Sul) ___ ___
40 20
PÁGINA
243
Atividades para casa
26 A probabilidade de ocorrência de um evento vale x,
e a de seu complementar vale 4x 1. Determine o
valor de x.
__
Dado que P(A) x, P(A) 4x 1, e P(E) 1 100%,
tem-se:
2
x (4x 1) 1 V 5x 2 V x __
5
Capítulo 8
27 Calcule y, sabendo que a probabilidade de um
evento certo é igual a y2 3.
Considerando que a probabilidade de ocorrer o evento certo é 1 (100%), tem-se que y2 3 1 V y2
4 V y 2
28 Foi feita uma pesquisa com os alunos das turmas
A e B de uma escola em que se perguntou qual o
esporte favorito de cada um. Os resultados estão
no quadro abaixo.
Futebol
Natação
Judô
Vôlei
Turma A
12
Turma B
15
5
3
10
1
6
8
a) Quantos alunos há nessas turmas A e B?
Ao todo, tem-se: 12 5 3 10 15 1 6
8 60
b) Escolhendo ao acaso um aluno das turmas A ou
B dessa escola, qual a probabilidade de que o
seu esporte favorito seja futebol? E vôlei?
Futebol: n(F) 12 15 27, n(E) 60
9
27
P(F) ___ ___
60 20
Vôlei: n(V) 10 8 18, n(E) 60
3
18
P(V) ___ ___
60 10
c) Escolhendo ao acaso um aluno da turma B dessa
escola, qual a probabilidade de que o seu esporte
favorito seja futebol? E vôlei?
Turma B: n(B) 15 1 6 8 30
Futebol na turma B: n(F) 15
15
1
P(F) ___ __
30 2
Vôlei na turma B: n(V) 8
8
4
P(V) ___ ___
30 15
29 O ponto A é um dos vértices de um heptágono regular. Escolhendo ao acaso outro vértice do polígono, qual a probabilidade de que o segmento que
une esse vértice ao ponto A seja uma diagonal do
heptágono?
O heptágono regular possui 7 vértices, sendo um
deles A.
Restam 6 vértices V n(E) 6
Se for escolhido um dos dois vértices contíguos a
A, não se terá uma diagonal e sim um lado do polígono. Para que se tenha uma diagonal é preciso
escolher um dos outros 4 vértices do heptágono.
Assim, n(D) 4.
n(D) 4 2
Logo, P(D) = _____ __ __
n(E) 6 3
30 Observe a charge e responda.
UM POUCO
QUAL É A
QUE
MINHA CHANCE MAIOR
A DE
DE GANHAR NA SOBREVIVER
LOTERIA?
NA LUA SEM
OXIGÊNIO...
HUMM...
ENTÃO VOU
QUERER 10
BILHETES.
É... LOTERIA É MESMO O
IMPOSTO QUE SE COBRA DAS
PESSOAS QUE NÃO SABEM
MATEMÁTICA.
225
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
a) Segundo a resposta dada pela vendedora, a probabilidade do cliente ganhar na loteria é um número mais próximo de 0 ou de 1?
A probabilidade é um número muito mais próximo de zero do que de um.
b) Por que se diz que a loteria é um imposto cobrado das pessoas que são ruins em Matemática?
Porque a matemática prova que as chances de
ganhar na loteria são mínimas.
31 Uma moeda é lançada 3 vezes seguidas, observando-se a face que ficou voltada para cima em cada
lançamento.
a) Escreva todos os resultados possíveis.
E {(c; c; c); (c; c; k); (c; k; c); (c; k; k); (k; c; c);
(k; c; k); (k; k; c); (k; k; k)} onde k cara e
c coroa.
b) Qual a probabilidade de terem sido obtidas 3 caras?
T {obter 3 caras} V T = {(k; k; k)} V n(T) 1 e
n(E) 8
1
P(T) __
8
c) Qual a probabilidade de terem sido obtidas 2 caras e 1 coroa?
D {Obter 2 caras e 1 coroa} & D {(k; k; c);
(c; k; k); (k; c; k)} & n(D) 3 e n(E) 8
3
P(T) __
8
32 Considere um evento A de um espaço amostral tal
__
2
que P(A) 2p e P(A) p2 __. Nessas condições,
9
determine o valor de p.
__
Como P(A) P(A) 1 100%, tem-se:
@
#
2
2p p2 __ 1 Æ 18p 9p2 2 9
9
9p2 18p 7 0
d 182 4 9 (7) 324 252 Æ d 576
576
18 dXXXX
18 24
p ___________ V p _________
18
18
6
18 24
1
p1 _________ ___ __
18
18 3
18 24
42
p2 _________ ___ 0, não convém, pois des18
18
ta forma P(A) 0, o que seria absurdo já que
0 P(A) 1.
1
Logo, p __
3
33 O cubo da figura, formado pela união de 27 cubinhos de madeira idênticos, teve todas as suas faces
pintadas de azul. Em seguida, o cubo foi desmanchado, e os 27 cubinhos foram colocados em uma
caixa. Retirando-se ao acaso um cubinho da caixa,
calcule a probabilidade em cada situação a seguir.
n(E) 27. Seja T o evento correspondente a retirar um cubinho com 3 faces pintadas, D o evento
correspondente ao cubinho ter 2 faces pintadas,
U o correspondente a 1 face e N o correspondente
a nenhuma face pintada.
Dos 27 cubinhos, os 8 que formam o vértice do
cubo terão 3 faces pintadas & n(T) 8. Os que
completam as arestas do cubo, que são 12, terão
2 faces pintadas & n(D) 12. Os cubinhos que estão no centro de cada face, que são 6, terão 1 face
pintada & n(U) 6. E ainda restará um cubinho
no centro do cubo maior que não terá nenhuma
face pintada & n(N) 1.
a) O cubinho não ter nenhuma face pintada de azul.
n(N)
1
P(N) _____ ___
n(E) 27
b) Ter uma única face pintada de azul.
n(U)
6
2
P(U) _____ ___ __
n(E) 27 9
c) Ter exatamente 2 faces pintadas de azul.
n(D)
4
12
P(D) _____ ___ __
n(E) 27 9
d) Ter 3 faces pintadas de azul.
n(T)
8
P(T) ____ ___
n(E) 27
34 Um lote com 25 peças apresentou 2 peças defeituosas. Escolhendo-se ao acaso 2 peças desse
lote, qual a probabilidade de que:
Calculando o número de possibilidades de escolher
ao acaso 2 peças dentre as 25: para a primeira peça
a ser escolhida há 25 possibilidades, e para a segunda, 24 (excluída a primeira peça).
Logo, n(E) 24 25 600.
a) As duas sejam defeituosas?
Calculando o número de possibilidades de se escolher duas peças defeituosas: para a primeira
peça a ser escolhida há 2 possibilidades (pois há
duas peças com defeito), e para a segunda apenas 1 possibilidade. Assim n(D) 2 1 2, onde D
é o evento correspondente a escolher duas peças
com defeito.
n(D)
1
2
Assim, P(D) _____ ____ ____
n(E) 600 300
b) Nenhuma delas apresente defeitos?
Calculando o número de possibilidades de se escolher duas peças sem defeitos: para a primeira
peça a ser escolhida há 23 possibilidades (pois
há 25 2 23 peças boas), e para a segunda
há 22 possibilidades (excluída a primeira peça).
Então n(B) 23 22 506, onde B é o evento
correspondente a escolher duas peças boas.
n(B) 506
253
Portanto P(B) ____ ____ ____
n(E) 600 300
226
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09.12.08 14:39:44
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
35 Numa prova de Desenho Geométrico, os alunos deverão construir, com régua e compasso, um triângulo retângulo ABC como o da figura.
Início do jogo
As fichas vermelhas deverão ser distribuídas igualmente entre todos os participantes,
até que cada um tenha recebido oito fichas.
Então, as fichas que sobrarem serão sorteadas entre eles. O modo de realizar o sorteio
deverá ser definido pelos participantes.
C
A
___
As três primas observaram que havia 30 fichas
vermelhas dentro da caixa.
Elas começaram então a discutir como fariam o
sorteio das fichas extras. Andreia escreveu em
um papel uma possível maneira de distribuir essas fichas. Em seguida, propôs que elas escrevessem cada maneira possível num papel diferente, e sorteassem um desses papéis.
Laura e Júlia gostaram da ideia de Andreia, mas
tiveram duas dúvidas: qual era o total de possibilidades? E se elas esquecessem de alguma possibilidade ao fazer os papéis?
B
A
___medida de AB deverá ser 12 cm, e a medida de
AC, em cm, será um número inteiro positivo menor
do que 10 escolhido num sorteio feito pelo professor para cada aluno. Nessas condições, qual a probabilidade de que:
___
AB 12 cm. Possíveis medidas de AC em cm: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9 V n(E) 9
a) a área do triângulo ABC seja maior do que
50 cm2?
12 9
Se AC 9 tem-se Área1 _____ 54 cm2
2
12 8
_____
48 cm2
Se AC 8 tem-se Área2
2
Pode-se concluir que a área do triângulo ABC
será maior que 50 cm2 apenas se AC 9 cm,
logo n(A) 1.
n(A)
1
Assim, P(A) _____ __
n(E) 9
___
b) a medida de BC, em cm, seja um número irracional?
Pelo teorema de Pitágoras tem-se:
BC2 AC2 AB2 & BC dXXXXXXXXXXX
AB2 AC2
PÁGINA
De acordo com as regras do jogo, quantas fichas
vermelhas serão distribuídas igualmente entre
as três participantes? Quantas fichas restarão
para serem sorteadas entre elas?
As fichas vermelhas devem ser distribuídas até
que cada participante tenha recebido oito fichas.
Como há 3 participantes, devem ser distribuídas
3 8 24 fichas. Assim, restarão para serem sorteadas 30 24 6 fichas.
b
Júlia logo percebeu que, de acordo com esse critério,
uma jogadora poderia começar o jogo com um número de fichas diferente do das outras. Qual é a menor
quantidade de fichas vermelhas com que cada participante pode começar o jogo? E a maior?
O menor número de fichas vermelhas com que um
participante pode começar o jogo é 8, se não ganhar
nenhuma ficha extra além das que foram distribuídas.
O maior número é 14, caso esse participante fique
com todas as 6 fichas que foram sorteadas.
Se AC 2 & BC dXXXX
148 dXXXXXXX
22 37 2dXXX
37
Se AC 3 & BC dXXXX
153 dXXXXXX
32 17 3dXXX
17
Se AC 6 & BC dXXXX
180 dXXXXXXXXXX
22 32 5 6dXX
5
Se AC 7 & BC dXXXX
193
Se AC 8 & BC dXXXXX
208 dXXXXXX
24 13 4dXXX
13
Se AC 9 & BC dXXXX
225 15
Logo, existem 7 possibilidades de BC ser um nú7
mero irracional. Assim P(I) __ .
9
Tratamento da informação
Construção de uma árvore de possibilidades
PÁGINA
244
Coleta de informação
Andreia ganhou um jogo no aniversário, e chamou
suas primas Laura e Júlia para jogarem com ela.
As regras desse jogo estão enunciadas a seguir.
Organização da informação
a
Se AC 1 & BC dXXXX
145 dXXXXXX
5 29
Se AC 5 & BC dXXXX
169 13
244
Responda em seu caderno às questões a seguir.
BC dXXXXXXXXXX
122 AC2 dXXXXXXXXXX
144 AC2 .
Se AC 4 & BC dXXXX
160 dXXXXXX
25 5 22 dXXX
10
Capítulo 8
PÁGINA
245
Leitura de dados
Na árvore de possibilidades a seguir, foi considerada
a distribuição das seis fichas extras.
No primeiro “ramo” da árvore, foram escritas todas
as possibilidades para Andreia, lembrando que ela
receberá no mínimo nenhuma e no máximo seis fichas extras.
Para cada possibilidade existente para Andreia,
colocam-se, no segundo “ramo” da árvore, todas as
possibilidades para Laura. Ela também receberá um
227
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09.12.08 14:39:44
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
mínimo de zero e um máximo de seis fichas, mas a
soma das fichas recebidas pelas duas não pode ser
maior do que 6. Por exemplo, se Andreia receber
duas fichas, então Laura só poderá receber de zero
a quatro fichas.
Finalmente, escrevem-se as possibilidades para Júlia. Note que, definindo as quantidades de fichas
recebidas por Andreia e Laura, fica definida a quantidade também para Júlia, pois a soma deve ser sempre igual a 6.
Agora a árvore está completa, sendo que cada linha
representa uma possível distribuição das fichas extras, e deverá estar registrada num papel diferente.
Por exemplo, na primeira linha está representada a
situação em que Andreia e Laura não recebem ficha
extra, e Júlia, seis fichas extras.
Fichas recebidas
por Laura
Fichas recebidas
0
por Andreia
1
2
0
3
4
5
6
0
1
2
1
3
4
5
0
1
2
2
3
4
0
1
2
3
3
0
1
4
2
0
5
1
6
0
a
b
Fichas recebidas
por Júlia
6
5
4
3
2
1
0
5
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
3
2
1
0
2
1
0
1
0
0
Nome
Possibilidades
Andreia 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 0
Laura
0
Júlia
4 3 2
PÁGINA
245
PÁGINA
245
Comunicação de resultados
Copie e complete a tabela em seu caderno, registrando todas as possibilidades de cada uma das
meninas receber as fichas.
Nome
Andreia
Laura
Júlia
0
6
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0 3 2
2 3 0
1
2 0
1
1
1
0
0 0
0 2
1
6
Faça você
a
Monte em seu caderno uma árvore de possibilidades para representar todos os possíveis resultados
da premiação nos 3 trimestres do ano escolar.
2o trim.
3o trim.
1o trim.
A
B
A
B
C
C
A
B
C
A
A
B
C
A
C
A
B
C
A
B
B
C
C
A
A
B
C
B
A
B
C
A
B
C
b
B
C
Considerando que todas as turmas têm as mesmas
chances de ganhar o prêmio, calcule a probabilidade
de que o 9o A ganhe o prêmio em 2 trimestres.
Depois, monte uma tabela registrando as possibilidades.
Há no total 24 possíveis resultados. Destes, há 5 resultados onde a turma A ganha o prêmio em 2 trimestres. Assim, a possibilidade de que isso venha a
5
acontecer é ___ .
24
Trimestre
Possibilidades
1
1o
A A A A A A A A B B B B B B B
A A B B B C C C A A A B B C C
B C A B C A B C A B C A C A B
Possibilidades
0
2 3 4 0
Todo trimestre, uma escola premia com ingressos para o
cinema a turma do 9o ano com as melhores notas naquele
período. Há 3 turmas de 9o ano nessa escola: 9o A, 9o B e
9o C. Pelas regras da escola, uma mesma turma não pode
ganhar o prêmio nos 3 trimestres do ano escolar. Assim,
um possível resultado para essa premiação ao final do ano
seria B — C — D, ou seja, o 9o B ganha o prêmio no primeiro
e no terceiro trimestre e o 9o C ganha no segundo.
Usando a árvore de possibilidades, determine em
seu caderno o número de resultados possíveis para
o sorteio.
São 28 resultados possíveis, que correspondem às
28 linhas da árvore.
Qual é a probabilidade de que as três participantes
recebam a mesma quantidade de fichas extras?
(A; L; J) (2; 2; 2) & só há 1 possibilidade & P
1
___ 3,57%
28
1
0
1
0
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
2o
6
5
0
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0
3o
228
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09.12.08 14:39:45
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Trimestre
PÁGINA
1
248
b) Escolhendo ao acaso um dos funcionários desse
setor, qual a probabilidade de que o salário dele
|| 3 000,00?
seja maior do que RS
Com salário maior que RS
|| 3 000,00 tem-se:
10% 5% 5% 20% dos funcionários deste
setor. Logo, a probabilidade é de 20% (esta é uma
das interpretações da frequência relativa).
Possibilidades
1o
B C C C C C C C C
2o
C A A A B B B C C
3o
C A B C A B C A B
Questões globais
4
Calcule mentalmente.
a) Quantos tipos diferentes de sorvete de um sabor e
com uma cobertura pode-se preparar com 5 sabores e 3 coberturas?
3 5 15 tipos
25%
Sul
3,8
32,8
8,1
84,9
46,8
Densidade
hab./km2
Norte
Centro-Oeste
DM
(D M)2
3,8
31,5
992,25
8,1
27,2
739,84
Nordeste
32,8
2,5
6,25
Sul
46,8
11,5
132,25
Sudeste
84,9
49,6
2 460,16
Total
4 330,75
4 330,75
var ________ 866,15 V o dXXXX
var dXXXXXXX
866,15
5
2
29,43 hab./km
O desvio padrão é muito alto, mostrando bastante diferença entre as densidades demográficas
das regiões.
3
n(E) 3 5 2 10 & n(Az) ___ 30%
10
30%
Sudeste
Região
b) Obter uma bola azul ao retirar ao acaso uma
bola de uma caixa com 3 bolas azuis, 5 verdes e
2 amarelas.
DISTRIBUIÇÃO DOS SALÁRIOS
Centro-Oeste
c) Calcule o desvio padrão e faça uma interpretação de seu significado.
Sendo a média M 35,3 hab./km2 tem-se a tabela
abaixo.
Calcule mentalmente as probabilidades seguintes.
Dê a resposta na forma de porcentagem.
No histograma abaixo está representada a distribuição dos salários dos funcionários do setor administrativo de uma empresa.
Nordeste
b) Determine a amplitude total dessas densidades
demográficas.
Amplitude maior dado menor dado
84,9 3,8 = 81,1 hab./km2
E {k; c} & n(E) 2
n(k)
1
n(k) 1 & P(k) ____ __ 50%
n(E) 2
3
Norte
a) Qual é a média das densidades demográficas
das regiões?
3,8 32,8 8,1 84,9 46,8 176
Média _____________________________ ___
5
5
35,28 35,3 hab./km2
c) Quantas senhas com 3 algarismos distintos podem ser formadas?
Há 10 possibilidades para o primeiro algarismo
(0 a 9), 9 para o segundo (excluindo o número já
usado no primeiro algarismo) e 8 para o terceiro.
Portanto há 10 9 8 720 senhas possíveis com
3 algarismos distintos.
a) Obter a face “cara” no lançamento de uma moeda comum.
A densidade demográfica (número de habitantes
dividido por km2) das regiões brasileiras é dada na
tabela abaixo.
Fonte: IBGE, 2005.
b) Quantas placas de carro com 3 letras e 4 algarismos pode-se formar usando somente a letra A?
Há 10 possibilidades para cada número da placa
(de 0 a 9), porém apenas uma possibilidade para
cada letra, que deve ser a letra A.
Assim, há 1 1 1 10 10 10 10 10 000 possibilidades.
2
Capítulo 8
5
No esquema da figura, o número de cada retângulo
a partir da segunda linha é igual à média aritmética dos números localizados nos dois retângulos
imediatamente inferiores.
20%
6,25
4,5
8
15%
10%
10
5%
0%
5
00
10
00
15
00
00
00
20 25 30
||)
Salários (RS
00
35
00
40
00
00
45
a) A variável descrita no gráfico é qualitativa ou
quantitativa?
A variável é quantitativa contínua.
2
7
9
8
6
�2
Copie o esquema em seu caderno, trocando pelos valores correspondentes.
86
72
______
7, ______ 4,5
2
2
x 4,5
Daí pode-se obter: _______ 6,25 V
2
V 12,5 x 4,5 V x 8
229
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09.12.08 14:39:46
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
a7
E analogamente: ______ 8 V 16 a 7 V a 9
2
b8
______
9 V b 8 18 V b 10
2
6c
______
2 V c 6 4 V c 2
2
6
A distribuição dos times preferidos dos professores de uma escola é mostrada no gráfico de setores a seguir.
TIMES PREFERIDOS
São Paulo
Cruzeiro
Grêmio
Botafogo
Coritiba
Náutico
a) Em seu caderno, faça uma tabela mostrando os
pontos médios de cada intervalo na primeira
coluna.
Alturas
(m)
3
1
Náutico e São Paulo ocupam, juntos, ___ __
4
20
8
35
2
______ ___ __ do gráfico.
20
20 5
2
Logo, P(Náutico SP) __.
5
7
Frequências
1,60
1,65
5
1,65
1,70
8
1,70
1,75
10
1,75
1,80
7
1,80
1,85
5
1,85
1,90
2
Pm M
1,65
5
1,625
8,125
0,105
1,70
8
1,675
13,4
0,055
1,70
1,75
10
1,725
17,25
0,005
1,75
1,80
7
1,775
12,425
0,045
1,80
1,85
5
1,825
9,125
0,095
1,85
1,90
2
1,875
3,75
0,145
Total
37
64,075
(Pm M)2
f (Pm M)2
0,011025
0,055125
0,003025
0,0245
0,000025
0,00025
0,002025
0,014175
0,009025
0,045125
0,021025
0,04205
0,180925
b) Calcule a altura média, a variância e o desvio
padrão do grupo de atores.
64,075
M média _______ 1,731756756... V
37
V M r 1,73 m
0,180925
var _________ 0,00488986... V
37
var 0,00489 m2
o dXXXX
var dXXXXXXXXXX
0,004890 0,069928... V o
0,07 m
PÁGINA
8
249
Questões globais
A tabela contém dados sobre os recursos disponíveis aos alunos de duas escolas A e B. Os números
representam a porcentagem de alunos da escola
que têm acesso ao recurso.
Aparelhamento do Ensino Médio – 2003
Alunos da
Alunos da
Aparelhamento
escola A
escola B
escolar
(em %)
(em %)
Biblioteca
A tabela mostra a distribuição das alturas dos atores de uma peça de teatro.
Alturas
Pm f
1,65
c) o Botafogo ou o Coritiba?
d) o Náutico ou o São Paulo?
Pto.
médio
1,60
Sabe-se que o número de professores que preferem
o Cruzeiro é igual ao dos que preferem o Grêmio, o
Botafogo, o Coritiba e também o Náutico. Um professor dessa escola é escolhido ao acaso. Qual a
probabilidade de que o time preferido dele seja:
a) o São Paulo?
O setor correspondente ao São Paulo ocupa
90°, ou seja, um quarto do gráfico. Portanto
1
P(SP) __.
4
b) o Cruzeiro?
Cruzeiro Grêmio Botafogo Coritiba Náu3
tico __ do gráfico. Como a preferência por cada
4
1
um desses times é igual, cada um dos 5 ocupa __
5
3
3
1 3
de __ __ __ ___ do gráfico. Assim, a probabi4
5 4
20
lidade do time preferido ser o Cruzeiro (ou qual3
quer um dos outros 4) é ___ .
20
3
3
Botafogo e Coritiba juntos ocupam ___ ___
20
20
6
3
___ ___ do gráfico. Assim, P(Botafogo ou
20
10
3
Coritiba) ___.
10
Frequência
absoluta f
83,9
93,8
53
88,4
Laboratório de
informática
58,2
82,9
Quadra de esportes
81,4
84,6
Acesso à internet
a) Calcule a média e o desvio padrão desses dados
para a escola A e para escola B.
Biblioteca:
83,9% 93,8%
Média _______________ 88,85%
2
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
(83,9 88,85)2 (93,8 88,85)2
o ________________________________
2
d
230
4P_YY_M9_RA_C08_205A236.indd 230
09.12.08 14:39:46
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
d
XXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXX
( 4,95)2 (4,95)2
24,5025 24,5025
__________________ __________________
2
2
d
24,5025 4,95%
o dXXXXXXXX
Internet:
53% 88,4% 141,4%
Média ______________ _______ 70,7%
2
2
d
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
(53 70,7)2 (88,4 70,7)2
o ___________________________
2
d
XXXXXXXXXXXXXXXX
(17,7)2 (17,7)2
_______________ 17,7%
2
b) Qual apresenta a menor amplitude total desses
dados?
A menor amplitude total se deu em Manaus: 1,6° C
10 Os Jogos Pan-Americanos de 2007 foram realizados no Rio de Janeiro. Os 5 primeiros classificados e as respectivas quantidades de medalhas são
mostrados no quadro abaixo.
1o
Ouro
Prata
Bronze
Total
97
88
52
237
59
35
41
135
54
40
67
161
Estados Unidos
(EUA)
2o Cuba (CUB)
o
Laboratório de informática:
3
58,2% 82,9% 141,1%
Média _______________ ______ 70,55%
2
2
4o Canadá (CAN)
39
43
55
137
5o México (MEX)
18
24
31
73
d
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
(58,2 70,55)2 (82,9 70,55)2
o _______________________________
2
d
XXXXXXXXXXXXXXXXXXX
(12,35)2 (12,35)2
___________________ 12,35%
2
Quadra esportiva:
81,4% 84,6% 166%
Média _______________ ______ 83%
2
2
d
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
(81,4 83)2 (84,6 83)2
o __________________________
2
(1,6)
______________
1,6%
d (1,6)
2
2
2
XXXXXXXXXXXXXXX
b) Segundo os valores obtidos, qual item é menos
discrepante entre as duas escolas?
O item menos discrepante é a quadra de esportes, pois aí tem-se o menor desvio padrão (isto é,
a menor variação) entre as duas escolas.
Brasil (BRA)
a) Calcule a média de medalhas de ouro, de prata e
de bronze conquistadas por esses países.
Medalhas de ouro:
97 59 54 39 18 267
Média _______________________ ____
5
5
53,4 medalhas
Medalhas de prata:
88 35 40 43 24 230
Média _______________________ ____
5
5
46 medalhas
Medalhas de bronze:
52 41 67 55 31 246
Média ______________________ ____
5
5
49,2 medalhas
b) Calcule o desvio padrão.
Medalhas de ouro
no de medalhas (n)
nM
(n M)2
Estados Unidos
97
43,6
1 900,96
Cuba
59
5,6
31,36
Brasil
54
0,6
0,36
Canadá
39
14,4
207,36
México
18
35,4
1 253,16
Total: 5
267
País
9
Capítulo 8
O quadro abaixo mostra a menor e a maior temperatura média mensal no decorrer do ano em algumas
capitais brasileiras e os meses em que ocorreram.
Belo Horizonte
jul.: 18,1 °C
fev.: 23,2 °C
Porto Alegre
jul.: 14,3 °C
fev.: 24,7 °C
Manaus
fev.: 26 °C
out.: 27,6 °C
São Paulo
jul.: 15,8 °C
fev.: 22,4 °C
Florianópolis
jul.: 16,3 °C
fev.: 24,7 °C
Disponível em: <http://www.climabrasileiro.com.br>.
Acesso em: 29 out. 2007.
Amplitudes totais:
Belo Horizonte: 23,2 °C 18,1 °C 5,1 °C
Porto Alegre: 24,7 °C 14,3 °C 10,4 °C
Manaus: 27,6 °C 26 °C 1,6 °C
São Paulo: 22,4 °C 15,8 °C 6,6 °C
Florianópolis: 24,7 °C 16,3 °C 8,4 °C
a) Qual das capitais apresenta maior amplitude total dos valores da temperatura média mensal?
A maior amplitude total se deu em Porto Alegre: 10,4 °C.
3 393,2
d
XXXXXXXX
3 393,2
o _______ dXXXXXXX
678,64 26,05
5
Medalhas de prata
País
no de medalhas (n)
nM
(n M)2
Estados
Unidos
88
42
1 764
Cuba
35
11
121
Brasil
40
6
36
Canadá
43
3
9
México
24
22
484
Total: 5
230
2 414
d
XXXXXX
2 414
o _____ dXXXXXX
482,8 21,97
5
231
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09.12.08 14:39:47
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
Medalhas de bronze
nM
(n M)2
País
n° de medalhas (n)
Estados Unidos
52
2,8
7,84
Cuba
41
8,2
67,24
Brasil
67
17,8
316,84
Canadá
55
5,8
33,64
México
31
18,2
331,24
Total: 5
246
756,8
d
XXXXXX
756,8
o ______ dXXXXXX
151,36 12,30
5
11 Uma classe formada por 12 rapazes e 10 moças
deverá escolher um casal para fazer o papel dos
noivos na festa junina da escola.
a) De quantas maneiras diferentes essa escolha
poderá ser feita?
12 10 120 maneiras diferentes de escolher os
casais.
b) Se a escolha for feita por sorteio, qual a probabilidade de que Paulo, um dos alunos da classe, faça
o papel do noivo, e Helena, outra aluna, não faça o
papel da noiva?
n(E) 120. Calculando o número de possibilidades de casais em que Paulo é o noivo e Helena
não é a noiva:
Para o papel do noivo há apenas uma possibilidade (Paulo), e para o da noiva há 9 (as 9 moças
que restam, excluindo Helena). Então há 1 9 9
possibilidades & n(P,nH) 9. Portanto a probabilidade desse evento ocorrer é:
n(P,nH)
3
9
P(P,nH) _______ ____ ___
120 40
n(E)
12 O mosaico da figura
é composto de 42
pequenos triângulos
coloridos, todos de
mesmo tamanho.
Escolhendo ao acaso
um desses triângulos, qual a probabilidade de que ele seja
verde?
verde
laranja
vermelho
n(verde)
1
14
P(verde) ________ ___ __
42 3
n(E)
13 Cada morador de uma vila com 4 casas deverá escolher uma cor para pintar sua casa, dentre 4 disponíveis: amarelo, verde, azul e vermelho.
a) De quantas maneiras distintas essa escolha poderá ser feita?
Há 4 possibilidades para cada uma das 4 casas.
Logo há 4 4 4 4 44 256 maneiras distintas.
b) Dentre todas as maneiras possíveis, em quantas
serão usadas as 4 cores?
Para que as 4 cores sejam usadas é preciso que
nenhuma se repita. Assim, há 4 possibilidades de
cor para a primeira casa, 3 para a segunda, 2 para
a terceira e apenas uma para a quarta.
Portanto há 4 3 2 1 24 maneiras diferentes
com cores distintas.
c) Dentre todas as maneiras possíveis, em quantas a
cor verde será usada em pelo menos uma casa?
Primeiro calcula-se o número de possibilidades
distintas em que a cor verde não seja usada em
nenhuma casa. Nesse caso há apenas 3 possibilidades de cor para cada casa e tem-se então 3 3
3 3 34 81 maneiras distintas.
Então, o número de possibilidades em que a cor
verde será usada em pelo menos uma casa corresponde a todas as outras possibilidades que
não essas 81: 256 81 175 possibilidades.
14 Durante um concurso de dança promovido por uma
escola, cada aluno do 9o ano recebeu 10 cédulas como
a reproduzida abaixo, onde tinha de informar sua turma e atribuir uma nota de 1 a 5 para o casal que estivesse se apresentando, de um grupo de 10 finalistas.
9o ano A
Casal no
Nota
1
B
C
2
3
4
5
a) Classifique as variáveis presentes na cédula em
qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua.
Variáveis qualitativas: a turma e o número de
identidade do casal.
Variável quantitativa discreta: a nota.
b) De quantas maneiras diferentes uma cédula
pode ser preenchida?
(quantidade de turmas) (quantidade de casais)
(quantidade de notas) = 3 10 5 150 maneiras
c) De quantas maneiras diferentes um aluno do
9o ano A pode preencher uma ficha?
Agora há apenas uma possibilidade de turma (A),
as demais quantidades permanecem inalteradas:
(quantidade de turmas) (quantidade de casais)
(quantidade de notas) 1 10 5 50 maneiras
PÁGINA
250
Questões globais
15 Observe a distribuição de salários de uma pequena
empresa na tabela abaixo.
Salários (em reais)
No de funcionários
500
3
1 000
4
1 500
18
2 000
3
2 500
2
a) Se forem contratados mais 6 funcionários com
|| 1 500,00, a amplitude total dessa
salário de RS
distribuição sofrerá alteração? Explique em seu
caderno, sem fazer cálculos.
Com as novas contratações a amplitude total permanecerá inalterada, porque os valores
do maior e do menor salário não se alteram.
At 2 500 500 2 000 reais.
b) O desvio padrão aumentará ou diminuirá? Explique em seu caderno sem fazer cálculos.
O desvio padrão diminuirá, pois aumentará a concentração dos dados em torno da média.
232
4P_YY_M9_RA_C08_205A236.indd 232
09.12.08 14:39:47
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Antes das contratações tem-se:
o
D salários (RS||)
f n de funcionários
500
3
1 000
4
1 500
18
2 000
3
2 500
2
Total
30
0
DM
(D M)2
f (D M)2
1 500
950
902 500
2 707 500
4 000
450
202 500
810 000
27 000
50
2500
45 000
6 000
550
302 500
907 500
5 000
1 050
1 102 500
2 205 000
43 500
6 675 000
43 500
|| 1 450,00
Média _______ RS
30
dXXXXXXXXXX
6 675 000
|| 471,70
o ___________ r RS
30
Após as novas contratações:
D f no de
salários funcio- D f
(RS||)
nários
500
3
DM
Usando os dados da tabela, o professor calculou que
a nota média dos alunos nessa prova foi 5,75. Com
essas informações, determine os valores de x e y.
Notas
Df
(D M)2 f (D M)2
1 500 958,33 918 396,39
2 755 189,17
1 000
4
4 000 458,33 210 066,39 840 265,56
1 500
24
36 000
41,67
1 736,39
41 673,36
2 000
3
6 000
541,67
293 406,39
880 219,17
2 500
2
5 000 1 041,67 1 085 076,39 2 170 125,78
Total:
36
52 500
6 687 500,04
c) Verifique por meio de cálculos em seu caderno
se, no caso da contratação, haverá alteração na
média salarial da empresa.
52 500
|| 1 458,33 V a média salarial
Média _______ RS
36
subiu ligeiramente com a contratação dos novos
funcionários.
f no de alunos
Pto. médio
Pm f
4
1,25
5
2,5
2,5
5,0
x
3,75
3,75x
5,0
7,5
12
6,25
75
7,5
10,0
y
8,75
8,75y
Total:
30
4 x 12 y 30 V x y 14 V x 14 y (I)
5 3,75x 75 8,75y
Média 5,75 ______________________ V
30
V 5,75 30 5 3,75x 75 8,75y
3,75x 8,75y 80 172,5
3,75x 8,75y 92,5 (II)
Substituindo (I) em (II) tem-se:
3,75 (14 y) 8,75y 92,5 V
52,5 3,75y 8,75y 92,5
5y 40 V y 8 alunos
Portanto x 14 8 6 alunos.
17 Júlio vai lançar um dado comum 2 vezes seguidas.
Calcule a probabilidade de que a média aritmética
dos pontos obtidos seja maior ou igual a 5.
E {(1; 1), (1; 2), ... (6; 6)}
n(E) 6 6 36
Como a média deve ser maior ou igual a 5, a soma
dos pontos dos dois dados deve ser maior ou igual a
10. Isto é possível nos seguintes resultados:
(4; 6), (6; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6) & n(S) 6
n(S)
6
1
Logo, P(S) ____ ___ __
n(E) 36 6
18 Um professor de Educação Física avaliou a massa
dos meninos de uma classe e obteve a distribuição
de frequências apresentada na tabela a seguir:
Massa (em kg)
64
d) Calcule o desvio padrão dos salários sem e com
os novos funcionários e confirme sua hipótese do
item b).
Frequência
68
4
68
72
6
72
76
12
76
80
10
80
84
3
Total
35
a) Faça um gráfico correspondente aos dados da
tabela.
d
XXXXXXXXXXXXX
6 687 500,04
|| 431,00
o _____________ RS
36
16 Um professor elaborou a tabela abaixo, com a distribuição de frequências das notas dos 30 alunos
de uma classe numa determinada prova.
Número de alunos
0,0
2,5
4
2,5
5,0
x
5,0
7,5
12
7,5
10,0
y
Número de alunos
O desvio padrão de fato diminuiu.
Intervalo
Capítulo 8
Massa dos alunos - 1o dia de aula
14
12
10
8
6
4
2
0
64
68
72
76
80
84
Massa (kg)
233
4P_YY_M9_RA_C08_205A236.indd 233
09.12.08 14:39:48
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
b) Calcule a média das massas dos alunos dessa
classe.
D Massa
(kg)
f no de
alunos
Pto. médio
f Pm
64
68
4
66
264
68
72
6
70
420
72
76
12
74
888
76
80
10
78
780
80
84
3
82
246
Total
35
2 598
2 598
Média ______ 74,22857... 74,2 kg
35
c) No final do ano, o professor repetiu o mesmo
procedimento e constatou que os 3 alunos que
tinham massa acima de 80 kg haviam emagrecido e estavam, agora, na faixa de 76 kg a 80 kg.
Qual é a média dessa nova distribuição?
Na nova distribuição tem-se:
Massa (kg)
f
Pto. médio
f Pm
64
68
4
66
264
68
72
6
70
420
72
76
12
74
888
76
80
13
78
1 014
Total
35
2 586
2 586
Média ______ r 73,9 kg
35
19 Para orientar uma dieta alimentar, uma nutricionista pediu às pessoas de uma família que registrassem, diariamente, o que haviam comido durante
uma semana. Com base nesses registros, ela elaborou a seguinte tabela, com os totais de calorias
consumidos.
Luís
17 950
Média ______ 2 564,2857... 2 564,3 cal.
7
XXXXXXXXXXXXX
2____________
029 974,43
289 996,347 538,5 cal.
d XXXXXXXXXXXXX
o
7
d
Carla:
Dia
Calorias x
xM
(x M)2
Segunda
2 000
214,3
45 924,49
Terça
2 100
114,3
13 064,49
Quarta
2 200
14,3
204,49
Quinta
2 100
114,3
13 064,49
Sexta
2 400
185,7
34 484,49
34 484,49
Sábado
2 400
185,7
Domingo
2 300
85,7
Total: 7
15 500
7 344,49
148 571,43
15 500
Média _______ 2 214,2857... 2 214,3 cal.
7
d
XXXXXXXXXX
148 571,43
21 224,49 1 45,7 calorias
o __________ dXXXXXXXXX
7
Laura:
xM
(x M)2
Dia
Calorias x
Segunda
1 800
85,7
7 344,49
Terça
1 700
185,7
34 484,49
Quarta
1 900
14,3
204,49
Quinta
2 100
214,3
45 924,49
Sexta
2 000
114,3
13 064,49
Sábado
1 900
14,3
204,49
Domingo
1 800
85,7
7 344,49
Total: 7
13 200
108 571,43
13 200
Média ______ 1 885,71428... 1 885,7cal.
7
d
XXXXXXXXXX
108 571,43
15 510,2042857 124,5 calorias
o __________ dXXXXXXXXXXXXXXX
7
Luís:
Pedro
Carla
Laura
Seg.
1 700
2 000
1 800
2 500
Ter.
1 850
2 100
1 700
2 400
Dia
Quar.
2 680
2 200
1 900
2 800
Segunda
2 500
57,1
3 260,41
2 400
157,1
24 680,41
59 000,41
Calorias x
xM
(x M)2
Quin.
2 580
2 100
2 100
2 300
Terça
Sex.
2 900
2 400
2 000
2 900
Quarta
2 800
242,9
Sáb.
Dom.
3 240
2 400
1 900
2 400
Quinta
2 300
257,1
66 100,41
3 000
2 300
1 800
2 600
Sexta
2 900
342,9
117 580,41
24 680,41
Calcule a média e o desvio padrão do consumo semanal de calorias de cada pessoa da família. Utilize a calculadora.
Pedro:
Dia
(x M)2
Calorias x
xM
Segunda
1 700
864,3
747 014,49
Terça
1 850
714,3
510 224,49
Quarta
2 680
115,7
13 386,49
Quinta
2 580
15,7
246,49
Sábado
2 400
157,1
Domingo
2 600
42,9
Total: 7
17 900
1 840,41
297 142,87
17 900
Média _______ 2 557,142857... 2 557,1 cal.
7
XXXXXXXXXXX
297 142,87
__________
dXXXXXXXXXXXXXXX
o
42 448,981428 206,0 cal.
7
d
20 As massas dos planetas do Sistema Solar, expressas tomando como unidade a massa da Terra, são:
Sexta
2 900
335,7
112 694,49
Mercúrio: 0,05
Júpiter: 314,02
Sábado
3 240
675,7
456 570,49
Vênus: 0,81
Saturno: 94,01
Domingo
3 000
435,7
189 837,49
Terra: 1
Urano: 14,38
Total: 7
17 950
2 029 974,43
Marte: 0,11
Netuno: 17,02
234
4P_YY_M9_RA_C08_205A236.indd 234
09.12.08 14:39:49
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
a) Calcule a média dessas massas.
0,050,81 1 0,11 314,02 94,01 14,38 17,02
M _________________________________________
8
4 41,4
_____
55,175
8
b) Determine a variância e o desvio padrão desses
valores.
(D M)2
Planeta
Massa D
DM
Mercúrio
0,05
55,125
3 038,765625
Vênus
0,81
54,365
2 955,553225
Terra
1
54,175
2 934,930625
Marte
0,11
55,065
3 032,154225
Júpiter
314,02
258,845
67 000,734025
Saturno
94,01
38,835
1 508,157225
Urano
14,38
40,795
1 664,232025
Netuno
17,02
38,155
1 455,804025
Total: 8
planetas
441,4
83 590,331
a) Calcule a média dessas temperaturas.
944
Média M ____ r 30,4 graus
31
b) Determine a amplitude total, a variância e o
desvio padrão desses dados.
At 34 27 7 graus
79,76
var _____ r 2,6 (graus)2
31
o dXXXX
var dXXXX
2,6 1,6 graus
22 Os seguintes gráficos mostram as temperaturas
máximas alcançadas nas 2 quinzenas do mês de
dezembro.
PRIMEIRA QUINZENA
Número de dias
4
3
2
1
0
83 590,331
var __________ 10 448,791375 10 448,8
8
o dXXXXXXXXXXXXXX
10 448,791375 102,2
PÁGINA
251
21 Durante o mês de janeiro, em determinada cidade
do litoral brasileiro, foram registradas as seguintes
temperaturas máximas.
32; 31, 28; 29; 29; 33; 32; 31; 30; 31; 31; 27;
28; 29; 29; 30; 32; 31; 31; 30; 30; 29; 29;
30; 30; 31; 30; 31; 34; 33; 33
x temperatura
(graus)
No de dias f
xf
xM
27
1
27
3,4
28
2
56
2,4
29
6
174
1,4
30
7
210
0,4
0,6
31
8
248
32
3
96
1,6
33
3
99
2,6
34
1
34
3,6
Total
31
944
(x M)2
f (x M)2
11,56
11,56
5,76
11,52
1,96
11,76
0,16
1,12
0,36
2,88
2,56
7,68
6,76
20,28
12,96
12,96
79,76
19
20
21
22 23 24 25
Temperaturas máximas (°C)
SEGUNDA QUINZENA
Número de dias
4
3
2
1
0
Questões globais
Capítulo 8
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Temperaturas máximas (˚C)
a) Verifique se em ambas as quinzenas se alcançou a mesma temperatura máxima média.
Primeira quinzena: temperatura máxima média M1
19 2 20 2 21 3 22 23 2 24 2 25 3
M1 ________________________________________________
15
332
____
22,1 graus
15
Segunda quinzena: temperatura máxima média M2
18 2 20 4 22 3 23 24 2 26 2 27
M2 ____________________________________________
15
332
____
22,1 graus
15
Logo M2 M1, a mesma média foi alcançada em ambas
as quinzenas.
b) Calcule a amplitude, a variância e o desvio padrão de cada quinzena. Qual delas tem seus dados mais dispersos?
Primeira quinzena:
At1 25 19 6 graus
M1 22,1 graus
x temperatura
(graus)
No de dias f
xM
19
2
3,1
20
2
2,1
21
3
1,1
22
1
0,1
0,9
23
2
24
2
1,9
25
3
2,9
Total
15
235
4P_YY_M9_RA_C08_205A236.indd 235
09.12.08 14:39:49
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 8
65,75
var ______ 4,38 (graus)2
15
(x M)2 f (x M)2
9,61
4,41
1,21
0,01
0,81
3,61
8,41
19,22
8,82
3,63
0,01
1,62
7,22
25,23
65,75
o1 dXXXXX
4,38 2,1 graus
Segunda quinzena:
At2 27 18 9 graus
M2 22,1 graus
d
XXXXXXXXXX
2 007 250
o __________ r 448 g
10
b) Por erro de medição, os dados reais devem aumentar em 100 gramas. Como essa alteração
interfere na média aritmética?
32 450
Média _______ 3 245 g
10
Cada uma das 10 medidas foi aumentada em 100 g,
por isso a média também aumentou em 100 g.
Massa (g) x
xM
(x M)2
2550
695
4 83 025
2650
595
354 025
x temperatura (graus)
No de dias f
xM
18
2
4,1
20
4
2,1
3050
195
38 025
22
3
0,1
3100
145
21 025
23
1
0,9
24
2
1,9
3150
95
9 025
26
2
3,9
3200
45
2 025
27
1
4,9
3250
5
25
Total
15
3650
405
164 025
3850
605
366 025
4000
755
570 025
(x
M)2
f (x
M)2
16,81
33,62
4,41
17,64
0,01
0,03
0,81
0,81
3,61
7,22
15,21
30,42
24,01
24,01
Total: 32 450
c) Como essa alteração influi no valor do desvio
padrão?
XXXXXXXXXX
2 007 250
o __________ r 448 g
10
Como (x M)2 permanece o mesmo para cada
dado, o desvio padrão não se altera. Ou seja, embora a média tenha mudado, a dispersão em torno dela permanece igual.
d
113,75
113,75
var2 ______ 7,58 (graus)2
15
o2 dXXXXX
7,58 2,75 graus
Como At2 At1, var2 var1 e o2 o1, na segunda
quinzena a dispersão dos dados foi maior que na
primeira.
23 Abaixo está o registro da massa, em gramas, de
10 bebês que nasceram em certo hospital:
2 550; 3 150; 3 050; 2 950; 2 450
3 100; 3 000; 3 550; 3 750; 3 900
a) Calcule o valor do desvio padrão.
31 450
Média ______ 3 145 g
10
Massa (g) x
xM
(x M)2
2 450
695
483 025
2 550
595
354 025
2 950
195
38 025
3 000
145
21 025
3 050
95
9 025
3 100
45
2 025
3 150
5
25
3 550
405
164 025
3 750
605
366 025
3 900
755
Total: 31 450
2 007 250
570 025
Total: 2 007 250
24 A professora do 9o ano de uma escola perguntou
a seus 30 alunos quantos livros eles haviam lido
durante o ano (sem contar os livros obrigatórios da
escola). Os resultados obtidos foram relacionados
na tabela abaixo.
Quantidade de livros
Quantidade de alunos
1
13
2
14
3
2
4
1
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras
ou não e justifique sua opção.
a) A média de livros lidos por aluno dessa sala é de 1,7.
V. O número total de alunos é 13 14 2 1 30.
51
13 1 14 2 3 2 4 1
M _________________________ ___ 1,7
30
30
b) A maioria dos alunos lê uma quantidade de livros maior que a média.
V. O número de alunos que leu pelo menos 2 livros é 14 2 1 17, que é mais da metade dos
30 alunos da sala.
c) Sorteado um aluno ao acaso, a probabilidade de
que ele tenha lido dois livros é igual a 50%.
n(2)
14
F. P(2) ____ ___, que é menor que 0,5.
n(E) 30
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