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Física moderna
1. O pósitron (e+) é uma antipartícula associada ao elétron (e-) que tem todas as características do elé-
tron, mas com a carga positiva. Foi descoberto em 1933 por Carl Anderson, depois de ter sido proposto
teoricamente por Paul Dirac em 1928.
Teachers/CERN
A imagem abaixo é de uma câmara de bolhas, dispositivo que permite a visualização da trajetória das
partículas incidentes que a atravessam e também das que são criadas em seu interior.
A criação de um par e+e- pode ser realizada a partir da incidência de fótons bastante energéticos em
um meio denso. Na imagem acima, este par aparece com as trajetórias em verde.
Teachers/CERN
a) Admitindo que o campo magnético uniforme sobre esta câmara tem a direção perpendicular ao
plano da folha com o sentido para fora, identifique as trajetórias do pósitron e do elétron, utilizando os símbolos e+, e_. Represente com uma linha a trajetória do fóton incidente que os produziu
identificando com o símbolo f.
b) Explique por que as trajetórias espiralam.
c) Sendo a energia de repouso do elétron ou do pósitron aproximadamente 0,5 MeV, qual a energia
limite do fóton incidente (em MeV) para que seja possível a criação do par elétron-pósitron? Neste
experimento a energia do fóton incidente era maior ou igual a esse valor?
d) Considerando a constante de Planck h = 4 x 10-15 eV.s, calcule a frequência em Hz associada ao fóton que produziu o par e+ e-. A partir da freqüência obtida, identifique o nome característico do tipo
de radiação eletromagnética associada. 1 MeV = 106 eV.
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e) Richard Feynman elaborou uma teoria que permite representar graficamente, entre outros fenômenos o que é descrito na questão anterior, envolvendo o elétron, o pósitron e um fóton. A tabela a seguir, apresenta um dos chamados diagramas de Feynman, utilizando a convenção adotada por ele:
Esta representação está associada ao fato de que na teoria de Feynman o pósitron consiste de um
elétron “voltando no tempo”, daí a seta estar invertida. Assim, no diagrama ao lado da tabela, o que
está sendo representado tem dois significados:
a) um elétron encontra um pósitron e produz um fóton – o tempo passa da esquerda para a direita;
b) um fóton produz um par elétron-pósitron – o tempo passa da direita para a esquerda.
O vértice é, portanto, a representação do fenômeno da aniquilação (a) ou criação (b) do par partículaantipartícula.
Para cada diagrama abaixo, escreva o seu significado nas duas direções do tempo.
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2. A luz branca pode ser considerada uma mistura de todas as luzes no chamado espectro de luz visível
NASA
podendo, portanto, ser decomposta em termos de uma mistura do se convenciona chamar de cores:
Já as imagens abaixo mostram os espectros de emissão de radiação por átomos de três substâncias
distintas.
Carbono
Hélio
Hidrogênio
a) Explique por que esses elementos não emitem uma faixa contínua de radiação (como a que caracteriza a luz branca). Explique, também, o motivo do diferente número de raias de emissão para os
diferentes átomos.
b) A figura abaixo é um espectro da luz solar obtido a partir da superfície da Terra.
Joseph von Fraunhofer catalogou as linhas escuras do espectro visível do sol em 1814, mapeando 570
linhas que designou com letras de A a K (as mais fortes) e com letras minúsculas as mais fracas (observações modernas podem detectar milhares de linhas). Na tabela abaixo, temos algumas das raias
de absorção, com os índices dados por Fraunhofer:
É atribuída a Kirchhoff e Bunsen a identificação dos espectros característicos de cada elemento. Esta
descoberta permite que se identifique a composição das estrelas. O sinal A, devido ao oxigênio, se
deve à absorção, pela atmosfera terrestre, da luz vinda do Sol.
Identifique ao menos 6 substâncias presentes na composição do Sol, a partir da tabela e do espectro
mostrado acima.
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c) Um fenômeno conhecido como efeito Zeeman, consiste no desdobramento de níveis eletrônicos em
virtude da presença de campos magnéticos. Esses desdobramentos aparecem como linhas muito
próximas no espectro (pertencentes a um mesmo elemento), usualmente conhecidas como dubletos. Uma assinatura típica do sódio (Na) é um dubleto amarelo. Identifique outro dubleto.
d) Use a fórmula da quantização de Planck e Einstein para estimar a diferença de energia associada
à separação de dubleto do sódio. Use: (1/1 – 1/2) = 1,7 m-1 2m-1 Considere h = 4 x 10-15 eV.s e use:
c = 3 x 108 m/s.
3. No espectro abaixo, temos em detalhe as linhas de emissão do hidrogênio superpostas a um espectro
contínuo e à escala de cores.
Uma lei empírica era proposta para o conjunto dessas emissões (ou absorções), chamada lei de
Rydberg, que foi explicada por Niels Bohr, em 1913, utilizando a quantização das órbitas do elétron em
torno do núcleo de hidrogênio, onde n1 e n2 são os índices das órbitas inicial e final possíveis para o
elétron,  o comprimento de onda da radiação emitida pelo elétron no seu salto entre as órbitas n1 e n2.
a) Calcule o valor da constante de Rydberg (RH) usando como referência a raia devido à emissão na
faixa do vermelho, tendo em vista que ela está associada a uma transição entre os níveis n1=3 e n2= 2.
b) Calcule o comprimento de onda das emissões referentes às transições n1 = 5 para n2 = 2 e n1 = 6 para
n2 = 2 e identifique-as no espectro.
c) Determine o comprimento de emissão referente à transição de n1 = 2 para n2 = 1. Esta emissão ocorre na
região do espectro visível?
d) As demais emissões associadas às transições de n1 maiores (3, 4, 5 …) para n2 = 1 podem ser observadas
na região do espectro vísivel? Justifique.
e) Determine os valores n1 e n2 da transição referente à emissão em 486 nm-1. Sugestão: primeiro
procure os valores possíveis para n1 e em seguida procure o melhor valor para n2.
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4. Em 1916, Robert Millikan realizou um experimento para avaliar quantitativamente a proposta de Eins-
tein, apresentada em 1905, que utiliza a conservação da energia e a hipótese de que a luz se comportaria como partículas, com energia dada por E = hf, analogamente ao que Plank fizera com a energia
do espectro do corpo negro em 1900.
Assim, de acordo com Einstein a energia dos elétrons ejetados do metal seria dada por:
E = hf – ,
onde  corresponde ao custo energético para se retirar o elétron do metal, propriedade batizada com
o nome de “função trabalho”, e f é a frequência da radiação incidente sobre o metal.
O experimento montado por Millikan pode ser esquematizado como segue:
A tensão da bateria pode ser controlada. Mede-se, assim, o limite mínimo de tensão necessária para
fazer com que a corrente elétrica detectada e medida pelo amperímetro se anule. Esta tensão, produz
uma força elétrica tal que é capaz de frear os elétrons ejetados pela placa emissora. Pode-se, desse
modo, determinar a energia máxima dos chamados fotoelétrons:
Esaída = Ve,
onde V é a tensão aplicada entre os eletrodos, e e a carga do elétron. A equação de Einstein pode ser
escrita como:
Ve = hf – ,
onde V é a “tensão de frenagem” dos elétrons, e a carga do elétron, h a constante de Planck, f a
frequência da radiação incidente sobre a placa emissora, e φ a função trabalho do material.
a) Indique no diagrama abaixo (que está organizado da mesma maneira que na montagem da figura
anterior): I) direção dos elétrons; II) o campo elétrico de frenagem produzido pela bateria e sua direção; III) os polos da bateria com os sinais “+” e “-”.
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b) Millikan neste estudo, utilizou o sódio (Na) como metal emissor, obtendo o gráfico abaixo. Esta curva está de acordo com a previsão dada por Einstein? Argumente usando a equação de Einstein.
R. Millikan, 1916. Physical Review 7, 362 (1916). Imagem disponível também em sua Nobel Lecture (www.nobelprize.org).
c) Calcule aproximadamente o valor da razão h/e a partir do gráfico Millikan.
d) Se a carga do elétron é de 1,6 x 10-19C, calcule o valor da constante de Planck utilizando os dados do experimento.
5. A Mecânica Quântica introduziu novidades na descrição dos sistemas físicos em relação aos resul-
tados obtidos pela Mecânica Clássica. Uma destas novidades é a existência de energias mínimas não
nulas para os sistemas quânticos, conforme pontuado por Albert Einstein e Otto Stern em trabalho de
1913 a partir da fórmula de Planck, de 1900.
A chamada “energia de ponto zero” em osciladores, por exemplo, equivale a dizer que os sistemas
quânticos não podem parar completamente. Esse fenômeno se relaciona também com chamado
“princípio da incerteza”, formulado por Heisenberg como uma decorrência da nova mecânica, descoberta nos anos 20 do século passado. De acordo com esse princípio, pode-se escrever por exemplo, a
relação:
px = /2
onde p é a faixa de valores admissíveis para a quantidade de movimento de uma partícula quântica,
e x é a faixa de valores correspondentes admissíveis para a posição desta partícula,  é a constante
de Planck, h, dividida por 2.
Este princípio equivale a dizer que não é possível conhecer, simultaneamente, posição e quantidade
de movimento de uma partícula quântica com a mesma precisão.
Aplicando essas ideias, o modelo do oscilador harmônico é descrito pela energia
E = p2/2m + kx2/2
que pode ser reescrito em termos de sua frequência angular , k = m2, e considerando as variações
na posição, x, admissíveis para correspondentes variações na quantidade de movimento p (p = mv), p:
E = p2/2m + m2 x2/2
a) Nesta equação, utilize a expressão do “princípio da incerteza” para explicitar a energia apenas
como função de x, ou seja: a faixa de posições acessíveis a uma dada energia E.
b) o mínimo, xmin, de uma função da forma F(x) = A/x2 + Bx2, é dado por
xmin = (A/B)¼
Calcule o valor de x que minimiza a energia na expressão obtida no item (a), e o correspondente
valor mínimo de energia deste oscilador harmônico quântico. Calcule Emin também em termos da
frequência f do oscilador (em Hz), lembrando que  = 2 f.
c) Qual a incerteza mínima possível na quantidade de movimento pmin associada à incerteza xmin,
obtida no item anterior?
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d) Considerando que uma partícula quântica oscila termicamente a uma frequência de 1012 Hz, com
a massa de 3,0  10-30kg (partícula quase 3 vezes mais massiva que o elétron), estime E, x e p.
Considere h = 610-34 Js e  = 110-34 Js. Use  = 3.
Emin
xmin
pmin
University of Missoury – Saint Louis/Physics&Astronomy
e) Na década de 80, foi desenvolvido o microscópio de tunelamento (STM, Scanning Tunneling Microscopy), que permite que átomos em superfícies sejam mapeados em profundidade e posição, a partir
da distribuição de sua densidade eletrônica com relação a uma ponta de prova. A imagem abaixo
foi obtida por meio desta técnica em 1995.
Rows of carbon atoms 0.2 nm apart on graphite, viewed with a scanning tunneling microscope at UM-StL.
Nesta imagem, estados eletrônicos de átomos de ferro (Fe) são visíveis. Estes átomos são implantados
em uma superfície de cobre cautelosamente por uma técnica de “automontagem”. O arranjo é guiado
naturalmente pela tendência à aglutinação destes átomos. O raio deste “curral” (como foi apelidado) é
de 7,13 nm. Assim, a distância ocupada por cada átomo ao longo da circunferência pode ser estimada
em 2  7 nm  42 nm. 1 nm = 10-9 m.
Quantos são os átomos de ferro mostrados na imagem? Discuta se existe contradição com o princípio
de indeterminação de Heisenberg e a estimativa obtida no item anterior.
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6. Uma melhor compreensão das propriedades de condução de eletricidade dos materiais foi obtida por
meio da “teoria de bandas de energia” (“bandas”, corresponde ao aportuguesamento da palavra do
inglês band, que em português significa faixa), fundamentada na mecânica quântica. A faixa de energia proibida em um semicondutor usualmente é chamada de gap (do inglês, lacuna).
a) Na tabela abaixo identifique, no espaço reservado, o tipo de material que se enquadra em cada diagrama, entre “isolante”, “condutor” e “semicondutor”. Explique a diferença entre “isolante” e “semicondutor”.
b) Os semicondutores puros têm usualmente uma faixa proibida que torna sua condutividade baixa,
mas que pode ser manipulada mediante o uso de dopantes, átomos distintos da matriz semicondutora
que são colocados em baixas taxas e que não distorçam a rede cristalina significativamente, mas
que são capazes de alterar sua condução elétrica de forma controlada.
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Setup Bureau
Abaixo, vemos representações pictóricas de uma matriz de silício em duas circunstâncias: dopada
com Boro e Arsênio.
Setup Bureau
Si dopado com B
Si dopado com As
Fonte: Ser Protagonista: Física, 3º ano: Ensino Médio.
São Paulo: Edições SM, 2009, p. 321.
Identifique qual dopante é do tipo P, e qual é do tipo N, explicando cada situação. Sabendo que o Si é
do grupo IV, identifique o grupo da tabela periódica a que pertencem o B e o As.
c) A inserção de dopantes introduz níveis adicionais nos diagramas de bandas dos semicondutores.
Nos diagramas abaixo, identifique que situação corresponde à dopagem tipo P e N e esclareça o papel dos níveis tracejados na explicação da condução nestes semicondutores.
7. Maxwell previu a existência de ondas eletromagnéticas, permitindo sua associação com a luz.
No entanto, Einstein observou que uma mudança para um referencial que se deslocasse junto a luz
(possível dentro da mecânica clássica de Newton) trazia um problema de incompatibilidade com a
teoria de Maxwell. Os campos neste referencial podiam não oscilar, e, portanto, a luz desapareceria.
Além disso, as equações de Maxwell não apresentavam dependência com referenciais específicos. Assim, dois referenciais inerciais no sentido da mecânica newtoniana veriam fenômenos eletromagnéticos
distintos.
Dada essa incompatibilidade, Einstein optou, então, por manter a teoria de Maxwell em detrimento da
mecânica clássica e partiu de premissas como a da constância da velocidade da luz em todos os
referenciais e a validade (invariante) das equações de Maxwell em todos eles.
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Um resultado que deriva diretamente da constância da velocidade da luz em todos os referenciais
(inerciais) é o resultado conhecido como a “dilatação temporal” ocorrida em referenciais em
movimento.
I) Referencial de dentro do carrinho: t1 = d1/c
II) Referencial de fora do carrinho: t2 = d2/c
Setup Bureau
Considere a situação a seguir, onde um raio de luz emitido por uma lâmpada que é transportada
em um carrinho, com velocidade v medida com relação a um referencial externo em repouso em
relação à estrada. A propagação da luz é observada em dois referenciais distintos, dentro (I) e fora do
carrinho (II).
Fonte: Ser Protagonista: Física, 3º ano: Ensino Médio. São Paulo: Edições SM, 2009, p. 355. – Figura adaptada para fins didáticos.
a) Usando a hipótese de que a velocidade da luz (c) é igual em ambos os referenciais, e, assim, o tempo decorrido em cada um deles é distinto, t1 e t2, chegue à expressão para t2 em função de t1.
b) Considere 1 h passada no referencial da Terra, calcule qual o intervalo de tempo decorrido em um
referencial que se desloca, com relação à Terra, com velocidade igual a (√3/2) c.
c) Uma comprovação direta da dilatação temporal prevista por Einstein, foi obtida em pesquisas de
Física de partículas desenvolvida ao longo do século XX. Em 1941, os físicos Rossi e Hall mediram o
fluxo de múons (+) no topo de uma montanha a 2.000 m de altura e na base da montanha. As diferenças observadas entre as taxas dos fluxos de múons detectados, podiam ser entendidas apenas
por meio da Teoria da Relatividade Restrita.
Estas partículas são produzidas a partir de raios cósmicos ao se chocarem com atomos presentes na
atmosfera, produzindo mésons- que decaem rapidamente em +, segundo a reação:
+¬ + 
onde  é o neutrino do múon.
A taxa de fluxo de múons entre duas alturas diferentes pode, então, ser avaliada a partir de duas bases a diferentes alturas.
O + tem meia vida de 1,6 s ( = 10-6s). Qual a distância média que pode ser percorrida, classicamente, por um múon viajando à velocidade (superestimada) de 3 x 108 m/s, se seu tempo de vida é igual
à vida média?
d) Supondo que o fator de dilatação, 1/[1 – (v/c)2]½, seja de aproximadamente 7, qual o tempo correspondente à vida média no referencial do múon? Qual seria a distância correspondente se a velocidade
do múon é (novamente, por simplicidade) assumida 3 x 108 m/s?
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8. A velocidade da luz como um limite natural trazido pela relatividade especial, introduziu a impossibi-
lidade de se fazer trocar qualquer informação instantânea entre dois pontos separados do espaço e
no tempo (um ponto no espaço-tempo é chamado evento), já que nenhum sinal poderia se propagar à
velocidade maior que c = 3 x 108 m/s.
a) O diagrama a seguir representa o chamado “cone de luz”, uma representação nascida com a Teoria
da Relatividade. Nele, temos o tempo representado com uma seta para cima com origem em A. A
borda do cone é uma representação da região limite atingida no plano por um sinal que se propaga
com a velocidade da luz, neste plano.
Neste diagrama, o evento A pode influenciar um evento ocorrido no ponto B? E o evento no ponto C?
b) O redshift (z) ou desvio para o vermelho – o efeito Doppler-Fizzeau para a luz, compatível com a teoria da Relatividade Especial, permite que seja medida a velocidade relativa de estrelas com respeito
a um observador na terra. Este fenômeno permitiu que Edwin Hubble chegasse à comprovação de
uma previsão possível dentro da teoria de Einstein de expansão do universo.
O redshift é dado por:
ou equivalentemente:
Para estrelas que se deslocam com velocidade comparável à velocidade da luz, o redshift é dado por:
onde  é o fator de Lorentz,  = 1/[1 – ( v/c)2]½.
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O gráfico abaixo representa a equação acima para o redshift z em função da velocidade com que se
afasta uma estrela (medida em unidades de c).
No eixo do gráfico, represente a aproximação válida para baixas velocidades:
z = v/c,
de modo a verificar sua região de validade.
S. Snowden et al./GSFC/NASA
c) Supernovas são corpos extremamente brilhantes originados após as maiores explosões de conhecidas de estrelas no universo. Na imagem, temos um raio-X de uma supernova onde o ponto brilhante
no centro (dentro do círculo) é supostamente uma estrela de nêutrons se deslocando a velocidade
de 1.500 km/s.
Utilizando o gráfico da questão anterior, calcule o redshift observado para a radiação emitida por esta
estrela na expressão exata e na aproximação de baixas velocidades.
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Respostas
1. a)
b) A curvatura se deve ao movimento das partículas carregadas (elétron e pósitron) em campo magnético transversal ao plano. Ao interagir com o material presente dentro da câmara (que permite o
registro das trajetórias dessas partículas), ocorre perda de energia reduzindo assim a velocidade
e, consequentemente o raio da trajetória criando as espirais “para dentro”, como observado na
fotografia acima.
c) 1,0 MeV. No experimento, a energia é maior uma vez que é preciso separar as partículas formadas,
superando a interação entre ambas.
d) 2,5 1020 Hz. Como se vê, trata-se de raios gama.
e)
Um elétron encontra um fóton e é desviado de sua trajetória inicial.
Fóton produz um par elétron-pósitron.
Um elétron encontra um pósitron, aniquilam-se produzindo um fóton, que, então
se converte novamente em um novo par elétron-pósitron; porém, com trajetórias
alteradas, em relação à incidência.
Obs: esse fóton é usualmente chamado de fóton virtual, por não chegar a ser
observado.
2. a) A emissão de radiação se dá em virtude do salto dos elétrons entre os diferentes níveis atômicos
(dos estados de maior energia para os estados de menor energia), como estes níveis são discretos (ou
quantizados) apenas um conjunto discreto de raias é observado. Quanto maior o número de elétrons
mais níveis são acessíveis e, portanto, o número de raias aumenta com o aumento do número atômico
dos elementos, como se vê acima onde o H é o elemento com menor número de elétrons e o C com o
maior número de elétrons.
b) H, Na, Hg, Fe, Ca e Mg
c) o dubleto de Fe, índices b3 e b4, em 516,891
d) E = hc(1/1 – 1/2) = 12 x 10-7 x 2 eV = 2,4 10-6 eV = 0,002 meV.
3. a) RH = 0.011 nm-1
b) 5-2 = 433 nm e 6-2 = 409 nm. São as duas raias na região do violeta.
c)  = 121 nm. Esta emissão não ocorre na região do espectro visível porque seu valor está abaixo do
comprimento de onda do violeta.
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Respostas
d) Não. As demais emissões também estarão fora da região visível, pois para maiores valores de n1 o
valor de  diminui ainda mais.
e) n1 = 4 e n2 = 2;
4. a)
b) Ve = hf – ¬ V = (h/e)f – 
Esta equação para V em função de f dá uma reta com coeficiente angular positivo (h/e), que cruza o
eixo das tensões em um valor negativo de – φ. Portanto, o gráfico corresponde exatamente à equação proposta por Einstein.
c) Utilizando-se do gráfico os pares ordenados (80  1013 Hz, -1V) e (105  1013 Hz, 0V), o coeficiente
angular pode ser obtido:
h/e = V/f = [0 – (–1)]V / [(105 – 80)1013 Hz] = 10-13/25 Js/C = 4  10-15 Js/C.
d) h/e = 4  10-15 Js/C¬ h = 1,6  10-19 C 4 × 10-15 J.s/C = 6,4  10-34 J.s
5. a) E = 2/(8m x2) + m2 x2/2
b) xmin = (/2m)½;
Emin= h/2 = hf/2;
c) pmin =  /2xmin =  (2m/)½/2;
d)
Emin
310-22 J
xmin
1,710-9 m
pmin
2,410-26 N.s
e) Na imagem, podem ser identificados 48 átomos de ferro. Uma incerteza de 4,2 10-8 nm é perfeitamente compatível (maior) com a incerteza mínima de Heisenberg. Também não se está medindo
o momento dos elétrons que fazem parte destes átomos nem se tentando traçar suas trajetórias
exatas, mas verificando as taxas de transição destes elétrons e a ponta de prova, de modo a limitar
espacialmente a região compreendida pela nuvem eletrônica de cada átomo.
06.a)I. condutor
II. isolante
III. semicondutor
Um semicondutor tem um gap menor que o isolante, de modo que com o aumento da temperatura
externa pode-se promover elétrons da banda de condução para a banda de valência do material,
tornando-o condutor.
b) O boro (B), consiste de átomo que tem um elétron a menos que o Si, e portanto existe a falta de
um elétron nas vizinhanças dos átomos de Si a ele ligados, sendo portanto um dopante do tipo P. O
B pertence, assim ao grupo III. O arsênio (As), por sua vez, tem um elétron a mais que o Si, sendo,
portanto, um dopante do tipo N, no qual existe uma sobra de elétrons nas imediações dos átomos
de Si da matriz. O As pertence ao grupo V.
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Respostas
c)
Dopagem tipo N
Dopagem tipo P
A inserção de estados ocupados próximos à banda de condução (dopagem tipo N) faz com que estes
elétrons possam migrar para a banda de condução, aumentando, portanto, a condutividade do material com estes portadores N. A inserção de estados vazios próximos à banda de valência, faz com que
para estes estados possam migrar os elétrons que preenchem a banda de valência, e, desta forma,
estados de buraco podem ser produzidos na banda de valência possibilitando a condução de portadores P.
07. a)
d22 = (v t2)2 + d12 ¬
(c t2)2 = (v t2)2 + (c t1)2 ¬
( c2 – v2 ) t22 = c2 t12 ¬
[1 – (v/c)2] t22= t12 ¬
t2 = t1/[1 – (v/c)2]½
b) t2 = 2 t1 = 2  1 h = 2 h
c) 480 m
d) t2 = 11,2 s; 3360 m
8. a) Sim, o ponto A pode influenciar um evento no ponto B, já que ele está no interior do cone de luz,
com origem em A. Ou seja, trata-se de um evento futuro acessível ao evento A. O evento C, por sua
vez, é inacessível ao evento A, já que está fora do cone.
b)
c) A velocidade de 1.500 km/s = 1,5 x 106 m/s, em unidades de c é: v/c = 0,02, região de velocidades
onde a aproximação de baixas velocidades é ainda muito adequada, levando a redshifts de z = 0,02.