Questão 1
Pedro tirou menos de uma centena de fotos
da festa em comemoração ao seu aniversário
e quer colocá-las todas num álbum de 20 páginas. Em cada página desse álbum cabem,
no máximo, 10 fotos.
Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos em
cada página. Ao final, depois de preenchidas
algumas páginas do álbum, ficou sobrando
uma foto. Em nova tentativa, dispôs 7 fotos
por página e ainda assim sobrou uma foto.
Finalmente, Pedro conseguiu colocar todas as
fotos, de modo que cada página contivesse o
mesmo número de fotos. Quantas páginas do
álbum Pedro preencheu?
a) 9
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
alternativa B
Seja n a quantidade de fotos que Pedro quer
colocar no álbum. Como ao colocar 6 ou 7
fotos por página sobrou uma foto, n − 1 é
múltiplo de 6 e de 7 e, portanto, é múltiplo de
mmc (6, 7) = 42. Sendo n menor que 100,
n − 1 = 42 ou n − 1 = 84 ⇔ n = 43 ou n = 85.
Pedro não conseguiria colocar 43 fotos no álbum
de modo que cada uma das 20 páginas contivesse o mesmo número de fotos menor ou igual a 10,
pois 43 é primo.
Logo n = 85 = 5 ⋅ 17 e, como em cada uma das
20 páginas do álbum cabem no máximo 10 fotos,
Pedro preencheu 17 páginas do álbum, cada uma
com 5 fotos.
Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$144 000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendimentos anuais foram de
+20%, −10% e +30%, respectivamente, nos
Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em
um ano, Carlos aumentou o capital de
R$240 000,00, recebido inicialmente, em:
a) 80%
b) 36%
c) 20%
d) 18,50%
e) 17%
alternativa E
Temos que metade do capital foi para compra do
apartamento e a outra metade, para aplicações financeiras.
Na venda do apartamento, o aumento do capital,
144 000 − 120 000
após 1 ano, é de
= 20% .
120 000
Com as aplicações em fundos de investimentos,
após 1 ano, o aumento do capital é de 0,4 ⋅ 0,2 +
+ (0,3)( −0,1) + 0,3 ⋅ 0,3 = 14%.
20% + 14%
Assim o aumento é de
= 17% .
2
Questão 3
Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figura plana a seguir. Se o montarmos novamente, a
face oposta à face B será a face:
Questão 2
Carlos recebeu R$240 000,00 pela venda de
um imóvel. Gastou metade dessa quantia na
compra de um apartamento no litoral e investiu o dinheiro que restou em fundos de
investimentos de três instituições financeiras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30%
no Banco C.
a) A
b) C
c) D
d) E
e) F
alternativa C
Observemos que as faces que contêm o vértice V
são B, C e E.
matemática 2
1 a m
4 a m
3
3
= −3 1 b n = −
4 b n = − ⋅ det A =
4
4
1 c p
4 c p
=−
3
3
⋅2 = − .
4
2
Questão 6
Assim, as faces vizinhas à face B são A, C, E e F
e, portanto, a face oposta a essa face é a D.
Questão 4
O polinômio P(x) = x 3 + kx2 + 6x + 5 é divisível por x + 5. Então, a soma das raízes da
equação P(x + 1) = 0 é:
a) −6
b) −7
c) 6
d) −9
e) −3
alternativa D
Como P(x) é divisível por x + 5, temos que
P( −5) = 0 ⇔ −125 + 25k − 30 + 5 = 0 ⇔ k = 6.
Logo P(x) = x 3 + 6x 2 + 6x + 5 e P(x + 1) =
= (x + 1) 3 + 6(x + 1) 2 + 6(x + 1) + 5 =
= x 3 + 9x 2 + 21x + 18 .
Pelas relações de Girard, a soma das raízes de
9
P(x + 1) é − = −9.
1
O
conjunto
solução
da
inequação
ax2 − (a2 + 1)x + a ≤ 0, sendo a um número
real positivo e menor do que 1, é:
1
1
c) ]0, a]
a) ⎡a, ⎤
b) ⎡−
, a⎤
⎢⎣ a
⎢⎣ a ⎥⎦
⎥⎦
1
e) ⎤ 0, ⎤
d) [ −a, 0[
⎦⎥ a ⎦⎥
alternativa A
1
> 1,
a
2
2
ax − (a + 1)x + a ≤ 0 ⇔
1⎞
⎛
⇔ x 2 − ⎜a + ⎟ x + 1 ≤ 0 ⇔
⎝
a⎠
1⎞
1
⎛
⇔ (x − a) ⋅ ⎜ x − ⎟ ≤ 0 ⇔ a ≤ x ≤ .
⎝
a⎠
a
⎡ 1⎤
Logo V = ⎢a; ⎥ .
⎣ a⎦
Para 0 < a < 1 ⇔
Questão 7
Questão 5
⎡4 a m⎤
Considere as matrizes A = ⎢4 b n ⎥ e
⎢
⎥
⎢⎣4 c p ⎥⎦
⎡m a 3⎤
B = ⎢ n b 3⎥ .
⎢
⎥
⎢⎣ p c 3⎥⎦
Se o determinante da matriz A é igual a 2,
então o determinante da matriz B é igual a:
3
2
3
2
d) −
e) −
b)
c) − 3
a)
2
3
2
3
alternativa D
m a 3
3 a m
Temos det B = n b 3 = − 3 b n =
p c 3
3 c p
De acordo com a figura
ao lado, se a − b = 10o,
então:
1
a) cosa = −
2
1
b) sena =
2
1
c) cos b = −
2
3
d) sena =
2
1
e) sen b =
2
alternativa B
Sendo a soma dos ângulos externos de um triângulo igual a 360o , a + b + 70o = 360o ⇔ a + b =
= 290o .
matemática 3
Assim,
a − b = 10o
a + b = 290
o
⇔
a = 150
o
b = 140
o
⇒ sen a =
1
.
2
Como os volumes são iguais,
= α2 ⋅ H ⇔
1 (2 α 2 ) 2
⋅
⋅h =
3
2
H
4
.
=
h
3
Questão 8
Questão 10
Ao longo de uma campanha publicitária pelo
desarmamento, verificou-se que o número de
armas em poder das pessoas de uma comunidade decresceu à taxa de 20% ao mês. Após
um tempo t, o número de armas nessa comunidade foi reduzido à metade. Se log 2 = 0,30,
o valor de t é:
a) 3 meses
b) 2 meses
c) 137 dias
d) 80 dias
e) 57 dias
José quer dispor 8 CDs numa disqueteira tipo
torre de 8 lugares. São 5 CDs de diferentes
bandas de rock, além de 3 outros de jazz, de
bandas distintas. De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que tanto os
CDs de rock quanto os de jazz estejam numa
determinada ordem, podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de música?
a) 336
b) 20160
c) 56
d) 6720
e) 40320
alternativa A
∈ Z +∗ ,
Seja n, n
o número inicial de armas em poder das pessoas da comunidade. Então, após t
meses, o número de armas na comunidade é
n ⋅ (1 − 0,20) t = n ⋅ 0,8 t .
Este total é igual à metade do valor inicial se, e
n
1
somente se, n ⋅ 0,8 t =
⇔ 0,8 t =
⇔
2
2
1
23
⇔ log 0,8 t = log
⇔ t ⋅ log
= log 2 −1 ⇔
2
10
−log 2
⇔ t ⋅ (3 ⋅ log 2 − 1) = −log 2 ⇔ t =
.
3 ⋅ log 2 − 1
Adotando a aproximação log 2 ≈ 0,30, temos que t
−0,30
é aproximadamente
= 3 meses.
3 ⋅ 0,30 − 1
Questão 9
Uma pirâmide cuja base é um quadrado de
diagonal igual a 2α 2 cm tem o mesmo volume de um prisma cuja base é um quadrado
de lado α cm. A razão entre as alturas do
prisma e da pirâmide é:
4
3
1
3
a)
b)
c)
d)
e) 4α
3
2
3
α
alternativa C
Como tanto a ordem dos CDs de rock quanto a
ordem dos CDs de jazz já estão determinadas,
basta decidirmos em quais, dentre os oito lugares
disponíveis na disqueteira, colocaremos os cinco
CDs de rock.
⎛8 ⎞ ⎛8 ⎞ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
Logo há ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
= 56 modos de
⎝ 5 ⎠ ⎝3 ⎠
3!
dispor os CDs.
Questão 11
Numa partida de futebol entre Corinthians e
Palmeiras foi pesquisada a idade dos torcedores. Constatou-se, com base nas pessoas que
compareceram ao estádio, que a idade média
dos corinthianos e palmeirenses era de 36 e
de 45 anos, respectivamente.
Se no estádio, nesse dia, o número de corinthianos era uma vez e meia o de palmeirenses, a idade média do total de torcedores corinthianos e palmeirenses presentes nessa
partida de futebol foi de:
a) 40,5 anos
b) 45 anos
c) 36 anos
d) 41,4 anos
e) 39,6 anos
alternativa A
alternativa E
Sendo h e H, respectivamente, as alturas da pirâmide e do prisma, o volume da pirâmide é
1 (2 α 2 ) 2
⋅
⋅ h, e o volume do prisma, α 2 ⋅ H .
3
2
Sendo x o número de palmeirenses, o número de
corinthianos é 1,5x. Assim, a idade média do total
36 ⋅ 1,5x + 45x
de torcedores é
= 39,6 anos.
1,5x + x
matemática 4
O conjunto dos valores assumidos pela ex|a| |b| |ab|
sendo a e
pressão algébrica
+
−
a
b
ab
b dois números reais diferentes de zero, é:
a) { −3, −1, 1, 3}
b) { −1, 1}
c) { −1, 3}
d) { −3, 1}
e) { −3, 3}
alternativa D
Supondo a > 0 e b > 0,
k ⋅ (k − 1)! ⋅ (15 − k)!
7
=
⇔
(k − 1)! ⋅ (16 − k) ⋅ (15 − k)! 9
k
7
⇔
=
⇔ k = 7.
16 − k
9
⇔
Questão 12
| a|
|b|
| ab |
+
−
=
a
b
ab
a
b
ab
+
−
= 1 + 1 − 1 = 1.
a
b
ab
| a|
|b|
| ab |
Supondo a < 0 e b < 0,
+
−
=
a
b
ab
ab
−a
−b
=
+
−
= −1 − 1 − 1 = −3.
a
b
ab
| a|
|b|
| ab |
Supondo a > 0 e b < 0,
+
−
=
a
b
ab
a
−b
−ab
=
+
−
= 1 − 1 + 1 = 1.
a
b
ab
| a|
|b|
| ab |
Supondo a < 0 e b > 0,
+
−
=
a
b
ab
b
−a
−ab
=
+
−
= −1 + 1 + 1 = 1.
a
b
ab
Assim, a expressão dada só assume os valores
−3 e 1.
=
Questão 13
x6 y9 é a parte literal de um dos termos do
desenvolvimento de (x + y)n .
O termo cuja razão entre o seu coeficiente e o
7
coeficiente do termo seguinte é igual a é:
9
a) o 8° termo
b) o 7° termo
c) o 6° termo
d) o 5° termo
e) o 4° termo
alternativa B
Inicialmente, podemos concluir que n = 6 + 9 = 15.
Portanto, sendoTk , 1 ≤ k ≤ 16, o termo procurado,
⎛ 15 ⎞
15!
⎟
⎜
⎝ k − 1⎠
(k − 1)!(16 − k)!
7
7
=
⇔
=
⇔
15!
9
9
⎛15 ⎞
⎜ ⎟
k!(15 − k)!
⎝k ⎠
Questão 14
A estação rodoviária de uma cidade é o ponto
de partida das viagens intermunicipais. De
uma plataforma da estação, a cada 15 minutos, partem os ônibus da Viação Sol, com destino à cidade de Paraíso do Sol, enquanto da
plataforma vizinha partem, a cada 18 minutos, com destino à cidade de São Jorge, os
ônibus da Viação Lua.
A jornada diária das duas companhias tem
início às 7 horas, e às 22 horas partem juntos
os dois ônibus para a última viagem do dia.
O número total de viagens diárias das duas
companhias é:
a) 100
b) 110
c) 112
d) 120
e) 122
alternativa C
A jornada diária das duas companhias é de
22 h − 7 h = 15 h. Após a primeira viagem de cada
15 ⋅ 60
companhia, são feitas
= 60 viagens e
15
15 ⋅ 60
= 50 viagens pelas companhias Sol e
18
Lua, respectivamente.
Assim, o total de viagens ao final do dia é
1 + 1 + 60 + 50 = 112.
Questão 15
A equação da reta que passa pelo centro da
9
circunferência x2 + y2 − x − 4y +
= 0 e é
4
perpendicular à reta x = k (k é um número
real) é:
a) y = 2
c) x = 2
e) y =
1
2
b) x + y = k
1
d) x =
2
matemática 5
alternativa A
O centro da circunferência
9
x 2 + y 2 − x − 4y +
=0 ⇔
4
2
1⎞
⎛
⇔ ⎜ x − ⎟ + (y − 2) 2 = 2
⎝
2⎠
⎛1
⎞
é o ponto ⎜ ; 2 ⎟ .
⎝2
⎠
A reta x = k, k ∈ R, é paralela ao eixo Oy. Logo a
reta procurada é perpendicular ao eixo Oy e con⎛1
⎞
tém o ponto ⎜ ; 2 ⎟ , admitindo, portanto, a equa⎝2
⎠
ção y = 2.