Universidade Presbiteriana Mackenzie
ESTUDO E MODELAGEM DE UM VÓRTICE SIMÉTRICO
Jennifer Gosso Mardegan (IC) e José Ignacio Hernández López (Orientador)
Apoio: PIBIC/PIVIC Mackenzie
Resumo
Este estudo tem como finalidade entender e caracterizar a física de vórtices simétricos, a partir de
modelos matemáticos existentes sobre o assunto. Este tópico foi escolhido por ser de imensa
importância ao mundo científico, já que está presente em diversas áreas de estudo. Partindo de uma
revisão bibliográfica de conceitos básicos da Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos foi possível
realizar a leitura de artigos e estudos sobre vórtices, voltados para o tema da teoria dos furacões,
analisando as variáveis utilizadas no desenvolvimento de equações matemáticase as hipóteses e
aproximações empregadas. Deste modo, foi possível avaliar problemas já resolvidos e compreender
os resultados obtidos, muitas vezes na configuração de gráficos. Ao fim da investigação de dados
foram discutidas as aproximações indispensáveis para o desenvolvimento de problemas, como a
comparação da evolução de um furacão ao ciclo de Carnot. Também foi discutida a importânciados
resultados gráficos, obtidos na conclusão destes mesmos problemas, como a influência da pressão
na formação de fenômenos físicos como os furacões. Conseqüentemente, os objetivos da pesquisa
foram alcançados, de forma que foi possível estudar e entender o comportamento dinâmico dos
vórtices simétricos. Apesar da complexidade envolvida nos conceitos e cálculos, foi interessante
ampliar o conhecimento nesta importante área.
Palavras-chave: vórtices simétricos, modelos matemáticos, furacões
Abstract
This study aims to understand and characterize the physics of symmetrical vortexes, from
mathematical models on the subject. This topic was chosen because of its immense importance to the
scientific world, since it is present in several areas of study. From a review of basic concepts of
Thermodynamics and Fluid Mechanics it was possible to read articles and studies on vortexes,
focused on the theme of the theory of hurricanes, analyzing the variables used to develop
mathematical equations and the assumptions and approximations employed. Thus, it was possible to
assess problems already solved and understand the results, most of times in the setting of graphs. At
the end of the data research indispensable approaches were discussed, for the development of
problems such as the comparison of a hurricane evolution to the Carnot cycle. The graphic results
obtained at the conclusion of these same problems were also discussed, such as the influence of
pressure in the formation of physical phenomena like hurricanes. Consequently, the research
objectives were achieved, so that it was possible to study and understand the dynamic behavior of
symmetrical vortexes. Despite the complexity involved in the concepts and calculations, it was very
interesting to expand my knowledge in this important area.
Key-words: symmetrical vortexes, mathematical models, hurricanes
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VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
INTRODUÇÃO
Segundo pesquisadores/autores como Çengel e Cimbala (2007); Incropera (2008); Ooyama
(1964); White (2002), os vórtices têm imensa importância para o mundo científico. Como
estes estão presentes em diversas áreas de estudo, entre elas os fenômenos naturais
estudados por Emanuel (1991), permanecem um alvo constante de pesquisas e teorias. De
acordo com Çengel e Cimbala (2007), qualquer objeto sólido imerso em um fluido está
sujeito à formação de vórtices ao seu redor e, muitas vezes, este fenômeno é difícil de ser
observado sem artifícios e envolve diversos processos e conceitos considerados na
dinâmica dos fluidos.
O problema de pesquisa se resume em realizar o estudo da modelagem dinâmica de um
vórtice simétrico a partir de pesquisas e teorias existentes sobre o assunto, aplicadas a
situações reais como, por exemplo, furacões.
Conseqüentemente, os objetivos da pesquisa se resumem em estudar, entender e
caracterizar o comportamento dinâmico dos vórtices, além de analisar os modelos
matemáticos existentes sobre a física de um vórtice simétrico.
REFERENCIAL TEÓRICO
Segundo Çengel e Cimbala (2007) os vórtices são definidos como estruturas locais de um
escoamento de fluido caracterizadas por uma concentração de vorticidade, ou seja, giro ou
rotação de partículas de fluido. Um escoamento turbulento é preenchido com pequenos
vórtices de diversos tamanhos, intensidade e orientações. Para definir se um escoamento é
laminar ou turbulento existe o número de Reynolds.
Figura 1 – Foto de diferentes tipos de escoamento, sendo o primeiro turbulento e o último, laminar.
(Fonte: White, Frank M.Mecânica dos Fluidos, 2002. p. 231)
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White (2002) define este número como a relação entre as forças inerciais e as forças
viscosas (ou de atrito) do fluido, permitindo uma estimativa aproximada da importância geral
da força de atrito no escoamento. Como exemplo, a figura 1 demonstra a passagem de um
fluido, da esquerda para a direita, por um cilindro (vista em corte). À medida que a
velocidade do fluido aumenta, o número de Reynolds aumenta e o escoamento se torna
mais turbulento.
O estudo do escoamento de fluidos tem como base as equações de Navier-Stokes, como
pode ser observado nas análises de Wang (1991). Segundo Çengel e Cimbala (2007) estas
equações são relações fundamentais da Mecânica dos Fluidos. Surgiram através da 2ª Lei
de Newton, que afirma que a aceleração de um corpo é proporcional à força resultante
atuante e inversamente proporcional à sua massa, porém agora aplicada ao movimento dos
fluidos.
A troca de calor realizada a partir de fluidos é chamada de Convecção que, de acordo com
Incropera (2008), é a transferência de energia devido ao movimento molecular aleatório ou
movimento macroscópico do fluido. Em suas demonstrações, Emanuel (1986) cita diversos
conceitos da Mecânica dos Fluidos, entre eles a Convecção. Entre outros exemplos destes
conceitos, utilizados na pesquisa realizada, estão Entropia, Sistema Adiabático, Volume de
Controle e Estado Estacionário, que são esclarecidos por Sonntag, Borgnakke e Van Wylen
(2003) em sua bibliografia. Segundo estes autores:
- Entropia é uma grandeza termodinâmica. De acordo com a 2ª Lei da Termodinâmica,
trabalho pode ser totalmente convertido em calor, entretanto, calor não pode ser totalmente
convertido em trabalho. Com a entropia procura-se mensurar a parcela de energia que não
pode mais ser convertida em trabalho nas transformações termodinâmicas;
- Sistema Adiabático é um sistema em que a transformação termodinâmica ocorre sem
perda ou ganho de quantidade de vapor;
- Volume de Controle é um volume especificado para análise no qual o escoamento entra
e/ou sai através de alguma parte da superfície do volume total. Artifício utilizado na
simplificação de cálculos;
- Estado Estacionário é o estágio de um sistema, em que muitas propriedades do fluido
estudado são inalteráveis com o tempo.
Prosseguindo com conceitos da Termodinâmica há o ciclo de Carnot. Sonntag, Borgnakke e
Van Wylen (2003) definem este como um ciclo no qual todos os processos são reversíveis e
que, portanto, também é reversível.
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Emanuel (1991) realiza a comparação matemática entre o ciclo de Carnot e um furacão,
inicialmente apresentando a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de fluxo e
posteriormente derivando-a para obter o Teorema de Carnot:
p+
ρ×୚మ
ଶ
+ ρ × g × z = constante
(1)
Onde: ߩ = massa específica = inverso do volume específico (α)
V = vetor velocidade
g = aceleração da gravidade
z = altura acima da superfície
p = pressão estática
஡×୚మ
ଶ
= pressão dinâmica
ρ × g × z = pressão por gravidade
Derivando esta equação do Princípio de Bernoulli (1), obtemos o Teorema de Carnot:
୚మ
d ቀ ቁ + dሺg × zሻ+∝ dp + Fdl = 0
ଶ
(2)
Onde: α = volume específico
F = força de fricção/unidade de massa
dl = distância incremental
A equação (2) obtida mostra o comportamento de um fluido ao longo de uma linha de fluxo
em um estado estacionário, além de ser a base da demonstração de Emanuel (1991).
Para dar continuidade à dedução, é necessário antes definir o conceito da 1ª Lei da
Termodinâmica. Esta Lei, também conhecida como Princípio da Conservação de Energia,
afirma que a energia não pode ser criada nem destruída durante um processo; ela só pode
mudar de forma. O Princípio é equacionado por Sonntag, Borgnakke e Van Wylen (2003):
Q ୲୭୲ + W୲୭୲ =
ୢ୉ୱ୧ୱ୲
ୢ୲
(3)
Onde: Q ୲୭୲ = taxa total de transferência de calor para o sistema
W୲୭୲ = entrada de potência total no sistema
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dEୱ୧ୱ୲ൗ
dt = taxa de variação de energia total do sistema no tempo
No estudo realizado por Rotunno e Emanuel (1987), há a descrição do modelo matemático
criado pelos autores, que mostra o uso efetivo das três Leis da Termodinâmica, confirmando
a sua importância para os cálculos. Assim sendo, prosseguimos com a demonstração de
Emanuel (1991), em que é necessário adaptar a 1ª Lei da Termodinâmica para um sistema
úmido, ou seja, derivá-la:
Tds = C୮ dT + dሺL୴ × qሻ − αdp
(4)
Onde: s = entropia específica total do ar
‫ܥ‬௣ = capacidade de aquecimento do ar, a pressão constante
‫ܮ‬௩ = calor latente da vaporização
q = massa de vapor d’água/unidade de massa de ar
T = temperatura
Isolando o termo ߙ݀‫ ݌‬da equação (4) e substituindo em (2), temos:
1
d ൬ V ଶ ൰ + dሺg × zሻ + Fdl + ሼ−Tds + CpdT + dሺLv × qሻሽ = 0
2
ଵ
d ቀଶ V ଶ + g × z + Cp × T + Lv × qቁ − Tds + Fdl = 0
(5)
A equação (5) pode ser integrada de modo fechado, para ilustrar que em um sistema estável
ou estacionário, o calor é balanceado pela fricção. Segundo Stewart (2005) esse tipo de
integral é definido como cíclico, ou seja, o ponto inicial a ser considerado é igual ao ponto
final. Integrando, portanto, em um circuito fechado:
‫ ׯ‬Tds = ‫ ׯ‬Fdl
(6)
Analisando o primeiro membro da equação (‫ ׯ‬Tds):
ୡ
‫ ׯ‬Tds = ‫׬‬ୟ Tds = Tୱ ∆s = Tୱ ሺsୡ − sୟ ሻ
(7)
Onde: Índice c = centro da tempestade
Índice a = ambiente
Índice s = na superfície
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A 1ª Lei da Termodinâmica também é utilizada para obter a fórmula da entropia, a partir de
sua derivação:
s = C୮ × lnT − R × ݈݊p +
୐୴×୯
୘
(8)
Onde: R = constante universal dos gases
Com isso, podemos substituir (8) em (7):
ර Tds = Tୱ ൤൬Cp × ݈݊T − R × ݈݊pୡ +
Lv × qୡ
Lv × qୟ
൰ − ൬Cp × ݈݊T − R × ݈݊pୟ +
൰൨
T
T
Após manipulações algébricas, temos a seguinte equação:
୮
‫ ׯ‬Tds = Tୱ × R × ݈݊ ቀ୮౗ቁ + Lvሺqୡ − qୟ ሻ
ౙ
(9)
A pressão no centro da tempestade (‫݌‬௖ ) é estimada através de dados obtidos nas condições
climáticas e os valores mais altos já registrados.
Para deixar o modelo mais próximo do fenômeno real, junta-se (9) a (6), lembrando de
adicionar à equação a eficiência termodinâmica do Ciclo de Carnot:
εTୱ ds = ‫ ׯ‬Fdl
(10)
Em que ε é a eficiência termodinâmica mencionada (para condições atmosféricas típicas
dos trópicos, esta eficiência tem o valor aproximado de ⅓). Emanuel (1991) explica que
grande parte da energia perdida por fricção ocorre na camada limite da superfície ou em
grande raio na saída da corrente, localizada na estratosfera, onde o momento angular
original do ar deve ser reestabelecido. Essa perda é idealizada quando ocorre em um raio
infinito, que pode ser estimado pela conservação do momento angular absoluto (M) no
centro da tempestade. O conceito do Princípio da Conservação de Momento Angular é
definido por Sonntag, Borgnakke e Van Wylen (2003). Este é o princípio em que o momento
angular total de um corpo em rotação permanece constante quando o torque resultante que
atua sobre ele é zero e, portanto, o momento angular do sistema é conservado.
ଵ
M = rV + ଶ fr ଶ
(11)
Após manipulações algébricas, a velocidade de azimute pode ser escrita da seguinte forma:
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Vଶ =
୑మ
୰మ
ଵ
− fM + ସ f ଶ r ଶ
(12)
Onde: V = velocidade de azimute
f = 2x velocidade angular da Terra (componente vertical)
r = raio até o centro do ciclone
M = momento angular absoluto
A equação (12) mostra, portanto, a possível estimativa da perda de energia a partir da
conservação de momento angular. A perda de energia é significante para o estudo, já que,
quando localizada na camada limite, pode ser relacionada com a queda de pressão radial.
A camada limite, exemplificada pela figura 2, é descrita por White (2002, p. 29): “Os
escoamentos de fluidos de baixa viscosidade como, por exemplo, escoamentos de água e
de ar, podem ser divididos em uma fina camada viscosa, ou camada limite, próxima das
superfícies sólidas [...], na qual as equações de Euler e Bernoulli se aplicam.”. Ou seja, é a
camada de fluido nas imediações de uma superfície delimitadora, onde há a dissipação de
energia.
Figura 2 – Exemplo de um objeto imerso em um fluido e a camada limite que o envolve.
(Fonte: White, Frank M. Mecânica dos Fluidos, 2002. p. 175)
A equação de Euler citada anteriormente, também definida por White (2002), é muito
utilizada para fluidos, já que descreve seu movimento. Esta equação, trazida a seguir, pode
ser integrada ao longo de uma linha de corrente para se obter a equação de Bernoulli (1):
ୢ୚
ρ ୢ୲ = ρ × g − ∇p
(13)
Onde: V = velocidade
ୢ
ୢ୲
= operador de derivada temporal
ρ = densidade
g = aceleração da gravidade
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∇p = gradiente de pressão
O último tema abordado, estudado por Emanuel (1991), será a influência da pressão central
nos furacões. Os furacões nunca surgem espontaneamente, mesmo quando as condições
ambientais são favoráveis. O desequilíbrio termodinâmico entre o oceano e a atmosfera já é
reconhecido como a fonte de energia da grande maioria dos furacões tropicais. Segundo a
teoria de Emanuel (1989), os furacões tropicais resultam de uma instabilidade de amplitude
finita envolvendo o ciclone em estudo e a evaporação da água do oceano, induzida pelo
vento em sua superfície. Ao construir seu modelo matemático, este autor manteve conceitos
básicos da Física para simplificar a resolução de equações, como a da pressão central.
Após extensa dedução e manipulações algébricas, Emanuel (1986) alcança a seguinte
fórmula:
ln πୡୱ =
మ
౐ ష౐
ై× ౧౗ ∗
భ ౜మ ×౨బ
ሺୖୌౙ ିୖୌ౗ ሻା ×
ି൬ ా ౥౫౪ ൰
౐ా
ి౦ ×౐౩
ర ి౦×౐ా
౐ా ష౐౥౫౪
ై× ౧౗ ∗×౎ౄౙ౩
൰ቀଵା
ଵି ൬
ቁ
౐ా
౎౐౩
(14)
Onde: πୡୱ = pressão central = 1015 mb
T୆ = temperatura absoluta no topo da camada limite = 295 K
T୭୳୲ = temperatura média de saída, ponderada com a entropia úmida saturada de
saída de superfícies de momento angular. Também chamada de temperatura na
estratosfera = 200 K
Tୱ = temperatura na superfície do ar (aproximadamente 5°C a mais que T୆ ) = 300 K
L=
ඥେ౦ ×୘ా
୤
= raio de deformação = 10000 km
qୟ * = proporção da mistura de ar ambiente, valor saturado
C୮ = capacidade de aquecimento do ar a pressão constante
R = constante universal dos gases = 8,31447 kJ/kmol.K
RHୡ = umidade relativa no centro da tempestade
RHୟ = umidade relativa do ambiente = 80%
RHୡୱ = umidade relativa da superfície central = 100%
f = parâmetro de Coriolis, para uma latitude de 20°
r଴ = maior raio do ciclone = 500 km
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Esta equação mostra a relação entre pressão central e o aumento da umidade relativa da
superfície central. Emanuel (1991) esclarece esta relação: “[...] uma transferência de calor
acima e além da associada à expansão térmica é necessária para sustentar um ciclone
tropical. Essa transferência extra-isotérmica é refletida por um aumento da umidade
relativa.” Conseqüentemente, a equação (14) mostra a grande influência que a pressão
central exerce sobre a formação dos furacões.
A fórmula comprova que o déficit de pressão é esperado para ser mais fraco em
tempestades geometricamente maiores (o efeito é apenas notável quando o raio do ciclone
é maior ou igual a 500 km e, por tal motivo, este é o valor utilizado nas contas). Para a
obtenção de resultados efetivos a partir desta equação, suas variáveis e os parâmetros
adotados são transmitidos para um programa computacional, como sugerido por Chapman
(2003). Com o auxílio destes programas, como o Excel ou MatLab, é possível elaborar um
gráfico representativo de seus resultados. Este gráfico apresentará o comportamento da
pressão central em função das outras variáveis a serem analisadas.
Os gráficos obtidos a partir deste modelo matemático serão discutidos nos Resultados.
MÉTODO
Para o estudo da modelagem matemática de um vórtice simétrico, a compreensão das
equações e Leis Físicas ou Matemáticas utilizadas é o primeiro passo, ou seja, saber o que
representa cada termo dentro da equação e qual a teoria por trás da mesma. Ooyama
(1964) cita em seus textos que a evolução e estrutura básica das tempestades são bem
capturadas por modelos axissimétricos simples.
Assim, o projeto foi iniciado a partir de uma revisão bibliográfica, consultando diversos livros
didáticos, para fixar conceitos básicos da Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos, muitos
deles já citados no Referencial Teórico como Leis da Termodinâmica (Princípios da
Conservação de Energia, Massa e Momento Angular), Ciclo de Carnot, Entropia e Equação
de Bernoulli. Com os conceitos esclarecidos, o estudo passa para a próxima etapa de ler
artigos e estudos prévios sobre vórtices, familiarizando-se com o tema e relacionando os
itens estudados aos itens lidos. Dentre os principais elementos escolhidos para a leitura
estão os artigos de Kerry A. Emanuel, professor norte americano de meteorologia. Seus
artigos foram selecionados devido a sua grande influência na comunidade meteorológica por
ser especialista em convecção atmosférica e mecanismos agentes na formação de ciclones
tropicais.
Concentrando então em artigos voltados para a teoria dos furacões, foi iniciado um estudo
mais profundo do fenômeno físico. Inicialmente todas as variáveis que afetam o fenômeno
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foram identificadas, todas as hipóteses e aproximações razoáveis foram analisadas,
permitindo a compreensão da interdependência entre essas variáveis.
Algo que auxiliou imensamente a pesquisa foi analisar problemas já resolvidos. Por
exemplo, gráficos montados pelo mesmo professor Kerry A. Emanuel que avaliam a
distribuição da pressão central no mundo ao longo dos meses. Ao observar estes resultados
foi possível analisá-los até o início de sua formação, ou seja, como foi formado o problema
até a conclusão de sua resolução.
Posteriormente, ao dar continuidade ao projeto, o próximo passo seria modelar
matematicamente um problema, a fim de alcançar resultados próximos aos já observados. O
futuro objetivo será a realização da redução deste fenômeno, complexo em sua essência,
através de equações e situações simplificadas, transformando-o assim em um modelo
matemático. Portanto, os dados obtidos nos resultados da modelagem poderão ser
comparados e analisados, com base nos dados recolhidos no início da pesquisa, para um
possível refinamento do modelo.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Ao fim da investigação dos dados foi possível separar diversos itens indispensáveis para o
entendimento dos problemas. A discussão de alguns resultados interessantes será realizada
a seguir.
Inicialmente o dado recolhido mais importante foi a aproximação idealizada por Emanuel
(1991) de um vórtice simétrico, no caso de um furacão, ao ciclo de Carnot. Seguindo essa
teoria, o furacão pode ser idealizado como uma instabilidade da superfície trocadora de
calor induzida pelo vento, ou seja, quanto maior o vento superficial maior será a
transferência de calor a partir do mar, o que intensifica os ventos de tempestades. E como
um motor de Carnot, converte a energia calorífica extraída dos oceanos em energia
mecânica. O gráfico a seguir mostra esta aproximação.
Gráfico 1 – O furacão como um ciclo de Carnot
(Fonte: Emanuel, A. Kerry. The theory of hurricanes, 1991. p. 181)
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Simplificando a estrutura de um furacão, adota-se que seus vórtices comportam-se de modo
simétrico em relação ao centro da tempestade. O gráfico 1 representa esta simplificação, de
modo que a metade de um furacão pode ser vista em corte, sendo o eixo das ordenadas o
seu centro. Suas linhas contínuas representam o caminho realizado pelos vórtices e
movimentações de ar. Este caminho é descrito por Emanuel (1991) da seguinte forma:
Ao ir do ponto “a” ao ponto “c”, o ar vai em direção ao centro da tempestade, adquirindo
entropia da superfície do oceano a uma temperatura fixa. A partir do ponto “c” o ar sobe
adiabaticamente até aproximadamente o topo da tempestade, com normalmente um raio
muito amplo, no ponto “o”. Se o fluido deste sistema for o vapor d’água, esta parte do ciclo
será reversível e adiabática. O excesso de entropia é perdido através de exportação ou
radiação eletromagnética em uma temperatura T0, mais baixa. Inicia-se então o
encerramento do ciclo, que tem pouca contribuição termodinâmica. Esta hipótese permitiu a
simplificação dos cálculos aplicados no início da resolução de diversos problemas.
Já o próximo gráfico mostra os resultados obtidos em cálculos de Emanuel (1986). Ele
mostra as regiões de grandes tempestades, a partir das chamadas mínimas pressões
centrais.
Gráfico 2 – Mínima pressão central de ciclones tropicais. As pressões centrais dos ciclones mais intensos
registrados até 1991 estão marcadas com uma cruz.
(Fonte: Emanuel, A. Kerry. An air-sea interaction theory for tropical cyclones - Part I, 1986. p. 592)
Regiões como América Central e regiões próximas ao Japão e à Indonésia estão sinalizadas
no gráfico como os locais de menor pressão central e, conseqüentemente os locais com
maior tendência à ocorrência de furacões, o que condiz com a nossa realidade. Portanto, é
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demonstrado matematicamente e experimentalmente que estas duas grandezas são
inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais intensa for a tempestade, menor será a
pressão central envolvida. Assim, o gráfico 2 mostra a importância de se calcular a pressão
central, para que se definam as áreas mais propensas à ocorrência do fenômeno.
O gráfico 3 é mais uma demonstração de resultados obtidos em modelos matemáticos
resolvidos. Através da resolução e desenvolvimento da equação (14) do Referencial Teórico
é possível dispor o gráfico da pressão mínima central em função da temperatura de
superfície do ar e da temperatura média de saída (também chamada de temperatura na
estratosfera).
Gráfico 3 – Mínima pressão central demonstrada como função da temperatura da superfície do ar (Ts) e da
temperatura média de saída do ar na estratosfera (Tout)
(Fonte: Emanuel, A. Kerry. The theory of hurricanes, 1991. p. 590)
As soluções apresentadas por este modelo de Emanuel (1991) mostram que ambas as
temperaturas causam modificações na pressão central, porém a temperatura da superfície
do ar se mostra mais sensível quando comparada à temperatura da estratosfera. É possível
notar que a máxima intensidade potencial dos ciclones aumenta rapidamente quando a
temperatura da superfície do ar está acima de aproximadamente 28°C e a temperatura
média de saída do ar na estratosfera é cada vez mais baixa.
A tese de Emanuel (1989) baseia-se no motivo da falta da ocorrência do fenômeno quando
a temperatura da superfície do ar está abaixo de 26°C e a temperatura da estratosfera mais
quente que -20°C. Segundo este autor, este fato ocorre já que nessa faixa de temperaturas
há a falta da instabilidade entre oceano e a atmosfera, necessária para dar início ao
processo de formação dos furacões.
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CONCLUSÃO
Os objetivos da pesquisa foram alcançados, de forma que foi possível estudar e entender o
comportamento dinâmico dos vórtices simétricos, além de analisar modelos matemáticos
existentes. Contudo, ao fim da análise teórica foi possível perceber a complexidade
envolvida no assunto visto. Pelo fato de os artigos lidos serem escritos para demonstração
de cálculos, e não de forma didática, e por ser um tema pouco estudado em minha
graduação, dificuldades foram encontradas em relação aos conceitos ao longo dos textos
lidos e das deduções analisadas. A revisão bibliográfica sempre constante durante a
pesquisa foi indispensável para o desenvolvimento do trabalho e um melhor entendimento
do tema. Ao mesmo tempo, foi muito interessante ampliar meu conhecimento nesta área,
que é de imensa importância para a ciência em geral e também para muitos países onde a
realidade dos furacões é freqüente, afetando a vida de milhares de pessoas.
REFERÊNCIAS
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ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
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Thomson Pioneira, 2003.
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State Maintenance. Journal of the Atmospheric Sciences, Boston; v. 43, 1986.
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ROTUNNO, R.; EMANUEL, Kerry A.An Air-Sea Interaction Theory for Tropical Cyclones,
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STEWART, James. Cálculo: volume 2. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2005.
WANG, C. Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations. Annual Review of
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Contato: [email protected] e [email protected]
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