UM TRATAMENTO LÚDICO PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DA
ÁLGEBRA
Daniela de Cássia Moraes, UNILASALLE, [email protected]
Patrícia da Conceição Fantinel, UNILASALLE, [email protected]
Rute Henrique da Silva, UNILASALLE, [email protected]
Resumo
Neste artigo, expomos uma proposta de minicurso com uma abordagem alternativa para
o ensino e aprendizagem da Álgebra. A partir da caracterização do pensamento
algébrico, propomos atividades que trabalhem as quatro funções da Álgebra, conforme
descritas por Diniz e Souza (1998) e Coxford e Shulte (1994): como generalizadora da
Aritmética, como estudo de processos para resolução de problemas, como expressão da
relação entre grandezas e como estudo das estruturas matemáticas. Procuramos destacar
possíveis estratégias utilizadas pelos alunos na resolução dessas atividades. Ao final,
discutiremos sobre adequação desse minicurso à prática pedagógica dos participantes.
Introdução
Para muitos professores, a álgebra ocupa lugar de destaque no currículo
de Matemática, embora muitas vezes não seja desenvolvida em todos os seus aspectos,
dando ênfase apenas às “manipulações” com expressões e equações de uma forma
meramente mecânica. Concordamos com os Parâmetros Curriculares Nacionais para
Séries Finais que afirmam (1998) ser mais proveitoso propor situações-problema que
trabalhem as diversas funções da álgebra.
“Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é
especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão
ampliadas. Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes
funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas
grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará
problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis,
incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para
resolução) de uma equação” (p. 51).
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
2
Compartilhamos com as idéias de Oliveira (2002) quando diz que “a
álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir
significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo
igualdade ou desigualdade” (p. 35).
Acreditamos que para um bom desenvolvimento do pensamento
algébrico, o aluno deve trabalhar com atividades que contemplem as diferentes
concepções da Álgebra, conforme descritas no quadro abaixo:
Álgebra no Ensino Fundamental
Dimensões
da Álgebra
Aritmética
Generalizada
Funcional
Equações
Estrutural
Uso das
letras
Letras como
generalizações
do modelo
aritmético
Letras como
variáveis para
expressar
relações e
funções
Letras como
incógnitas
Letras como
símbolo
abstrato
Conteúdos
(conceitos
e procedimentos)
Propriedades
das operações
generalizações
de padrões
aritméticos
Resolução
de equações
Cálculo
algébrico
Obtenção de
expressões
equivalentes
Variação de
grandezas
FONTE: Parâmetros Curriculares Nacionais para séries finais (1998, p. 116)
Para designarmos as diferentes funções da álgebra, nesse minicurso
utilizaremos a linguagem de Diniz e Souza (1998) e Coxford e Shulte (1994): como
generalizadora da Aritmética, como expressão da relação entre grandezas, como estudo
de processos para resolução de problemas e como estudo das estruturas matemáticas.
Porém, para trabalhar em sala de aula com as diferentes conceituações
que a álgebra envolve não é preciso acrescentar conteúdo nem antecipar a formalização
algébrica (FALZETTA, 2003, p. 30), mas sim flexibilizar o raciocínio da criança a fim
de dar poder de generalidade ao pensamento infantil (DAVYDOV apud FALZETTA,
2003, p. 31), o qual servirá, posteriormente, de base para o pensamento algébrico.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
Atividades1
I-
Álgebra como Generalização da Aritmética
Nesta concepção, as variáveis aparecem como generalizadoras de modelos.
Exemplos:
•
1
Generaliza-se 4 + 6 = 6 + 4 como a + b = b + a
As atividades a seguir foram retiradas ou adaptadas de SOUZA e DINIZ (1998), IMENES
(1997) e ALVES (2001).
3
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
•
O modelo
4
2 . 5 = 10
1.5=5
0.5=0
é estendido a fim de abranger a multiplicação por negativos
-1 . 5 = - 5
-2 . 5 = -10
e generaliza-se esta idéia de modo a obter-se propriedades como –x . y = –xy.
Dentro desta concepção de álgebra, as palavras-chave para o aluno são
traduzir e generalizar.
⇒ Atividade 1
Observe a seqüência de figuras abaixo e responda:
a) Qual a próxima figura dessa seqüência ? E a próxima? Desenhe-as.
b) Escreva uma regra de formação para essa seqüência .
c) Qual seria a figura na 10a posição ? E na 15a posição?
d) Em uma posição qualquer dessa seqüência, como saber qual será a figura
correspondente?
⇒ Atividade 2
Observe a seqüência numérica abaixo e responda:
a) Qual o próximo elemento dessa seqüência ? E o próximo? Represente-os.
b) Escreva uma regra de formação para essa seqüência .
c) Qual seria o elemento na 12a posição ? E na 16a posição?
d) Em uma posição qualquer dessa seqüência, como saber qual será o elemento
correspondente?
⇒ Atividade 3
Observe a seqüência de figuras abaixo e responda:
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
5
a) Qual a próxima figura dessa seqüência ? E a próxima? Desenhe-as.
b) Quantos pontos tem a figura da 5a posição? E da 6a posição?
c) Sem desenhar, quantos pontos tem a figura da 12a posição?
d) Quantos pontos tem uma figura de uma posição qualquer dessa seqüência ?
⇒ Atividade 4
Cada figura desenhada apresenta uma moldura em torno dos quadrinhos achurados
Observe a seqüência das figuras abaixo e responda:
...
a) Qual a próxima figura dessa seqüência ? E a próxima? Desenhe-as.
b) Quantos quadrinhos há na moldura de cada figura desenhada?
c) Como calcular a quantidade de quadrinhos da moldura da 4a figura? E da 5a figura?
Escreva uma sentença matemática.
d) E de uma figura em uma posição qualquer dessa seqüência ? Escreva uma expressão
matemática.
⇒ Atividade 5
Observe a seqüência de figuras abaixo e responda:
...
a) Qual a próxima figura dessa seqüência ? E a próxima? Desenhe-as.
b) Quantas bolinhas tem cada figura desenhada?
c) Como você calculou a quantidade de bolinhas da 5a figura?
d) Como calcular a quantidade de bolinhas da 6a figura? E da 7a figura? Escreva uma
sentença matemática.
e) E de uma figura em uma posição qualquer dessa seqüência ? Escreva uma expressão
matemática.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
6
II- Álgebra como um Estudo de Processos para Resolução de Problemas
O problema “Adicionando 2 ao sêxtuplo de um número, a soma é 40.
Encontre o número.” pode ser traduzido como 6x + 2 = 40.
Dentro da concepção de álgebra como generalizadora de modelos, não
temos incógnitas. Generalizamos relações conhecidas entre números. Para “armar” a
equação, devemos raciocinar da maneira contrária à que empregaríamos para resolver o
problema aritmeticamente.
Nesta concepção, as variáveis são incógnitas ou constantes. Enquanto na
concepção generalizadora as palavras-chave são traduzir e generalizar, aqui são
simplificar e resolver.
⇒ Atividade 6.
Observe o diálogo abaixo:
Carlos: Pense em um número. Não pode ser zero. Eleve ao quadrado. Multiplique por
quatro. Subtraia 8 vezes o número. Divida pelo quádruplo do número.
Cláudio: Deu 9.
Carlos: Então você pensou no 11.
Cláudio: Como você adivinhou?
Complete a tabela abaixo para ajudar Cláudio a descobrir como Carlos adivinhou o
número pensado:
número pensado
x
eleve ao quadrado
multiplique por 4
subtraia 8 vezes o número
divida pelo quádruplo do número
simplifique
Por que Carlos disse que o número pensado não poderia ser zero?
⇒ Atividade 7.
Marcos trabalha na bilheteria de um teatro que vende entradas antecipadas. Na segundafeira, ele vendeu uma certa quantia de entradas; na terça, ele vendeu o dobro; na quartafeira, quatro vezes mais e, na quinta, o triplo do número de entradas da segunda-feira.
Se Marcos vendeu 800 entradas, quantas ele vendeu em cada dia?
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
7
⇒ Atividade 8.
Um barco tinha um problema no motor. Cada dia ele podia avançar 20 milhas. À noite,
era necessário desligar o motor e a correnteza o fazia retroceder 5 milhas. Nesse ritmo,
quantos dias o barco levaria para avançar 100 milhas desde o seu ponto de partida?
⇒ Atividade 9.
A balança está em equilíbrio. Todas as garrafas têm o mesmo peso e cada lata pesa 2Kg.
Quanto pesa cada garrafa?
2 kg
2 kg
2 kg
2 kg
FONTE: SOUZA e DINIZ (1998, p.77)
⇒ Atividade 10.
Meu pai disse que daqui a 4 anos, a idade dele será o triplo da idade que ele tinha há 26
anos atrás.
a) Qual a idade de meu pai?
b) Como provar que a idade que você encontrou para o pai está certa?
c) Quantos anos este pai terá daqui a 4 anos?
d) E, quantos anos ele tinha há 26 anos atrás?
III-
Álgebra como Estudo de Relações entre Grandezas
Escrever A = bh significa expressar uma relação entre três grandezas.
Não temos a sensação de lidar com incógnitas pois não estamos resolvendo nada.
Considerando que esta concepção também envolve fórmulas, a distinção entre esta e a
anterior é que neste caso as variáveis variam. Dentro desta concepção, uma variável é
um argumento (representa os valores do domínio de uma função) ou um parâmetro
(representa um número do qual outros dependem). Só no contexto desta definição
existem as noções de variável independente e variável dependente.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
8
⇒ Atividade 11.
Às vezes, o criador precisa dar remédios a seu gado. A quantidade de remédio depende
do peso do boi ou da vaca, mas como pesar o animal? O professor Paulus Gerdes, de
Moçambique, apresentou uma fórmula para se obter o peso aproximado do gado:
FONTE: IMENES E LELLIS (1997, p.15)
Qual é o peso de uma novilha cujo tronco tem 9,3 dm(ou 93 cm) de comprimento e cuja
cintura mede 16 dm (ou 160 cm)?
⇒ Atividade 12.
Veja a tabela de preços de um estacionamento e responda às questões:
TEMPO
a
PREÇO
1 hora
R$ 6,00
2a hora
R$ 3,00 adicionais
horas seguintes
R$ 2,00 adicionais
OBS.: Fração de hora é cobrada como hora
inteira.
a)
Quanto paga quem estaciona por 2h 40min?
b) E quem estaciona por 5h?
c)
Se estacionarmos o carro por n horas, com n > 3, Qual será o custo C a pagar?
⇒ Atividade 13.
Os táxis de uma cidade cobram R$ 2,60 a bandeirada e R$ 0,30 a mais para cada cem
metros rodados.
a) Quanto se paga por uma corrida de 780 metros?
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
9
b) E por uma corrida de 13,5 km?
c) Deduza uma fórmula para calcular a quantia Q a pagar numa corrida de x metros.
⇒ Atividade 14.
Em uma lancheria, cada latinha de refrigerante custa R$ 1,20 e cada pastel R$ 1, 40.
a) Apresente uma fórmula que dá o preço P de x refrigerantes e 2x pastéis.
b) Márcia e André compraram juntos 6 pastéis e 3 refrigerantes, quanto vão pagar pelo
lanche?
IV- Álgebra como Estudo das Estruturas
O estudo da álgebra nos cursos de graduação envolve estruturas como
grupos, corpos, anéis, entre outras, o que muitas vezes parece não ter relação com a
álgebra estudada em Ensino Fundamental e Médio. Sabemos que são essas estruturas
que fundamentam as operações com números reais e polinômios que trabalhamos a
partir das séries finais do Ensino Fundamental.
Exemplo: Fatore 3x² + 4ax – 132a²
A variável aqui não é vista como relação, função ou argumento. Não há
uma equação a ser resolvida e também não há nenhum modelo para ser generalizado.
Aqui a variável é vista como um símbolo arbitrário.
⇒ Atividade 15.
Dominó Algébrico
MATERIAIS: 28 peças, nas quais em cada uma está presente uma expressão algébrica na
linguagem simbólica e, ao lado, outra na linguagem corrente.
REGRAS: O jogo baseia-se nos princípios do dominó universal, sendo que as jogadas
devem obedecer às equivalências entre as pedras.
⇒ Atividade 16.
Eu tenho ... quem tem ... ?
MATERIAIS: 16 cartões de papel com uma das frases Eu tenho ... quem tem ... ?
REGRAS:
1- Em grupos de até 16 pessoas, cada aluno recebe um cartão. Se o grupo for menor,
alguns alunos podem receber mais de um cartão.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
10
2- Um aluno é escolhido para iniciar a atividade. Ele faz a leitura de seu cartão e o
colega que possuir a resposta da instrução do cartão é o próximo, que deve dar a
resposta e ler a sua instrução, e assim sucessivamente.
A atividade termina quando a última resposta for a do aluno que iniciou a rodada
Exemplo de questões:
Eu tenho 2x.
Eu tenho x – 2.
Quem tem o meu número mais uma Quem tem a área de um retângulo cujo
unidade?
comprimento é o meu número e a largura é
2?
Eu tenho 2x + 1.
Eu tenho 2x – 4.
Quem tem o dobro do meu número?
Quem tem o meu número menos 4?
Eu tenho 4x + 2.
Eu tenho 2x – 8.
Quem tem o triplo do meu número?
Quem tem o quadrado do meu número?
Eu tenho 12x + 6.
Eu tenho 4x² – 32x + 64.
Quem tem 12x + 6 se x vale
1
6
?
Quem tem a quarta parte do meu número?
Eu tenho 8.
Eu tenho x² – 8x + 16
Quem tem a raiz cúbica do meu número?
Quem tem o meu número para x = 4?
Eu tenho 2.
Eu tenho zero.
Quem tem o meu número mais o quadrado Quem tem o meu número menos o dobro
de x?
de x?
Eu tenho 2 + x².
Eu tenho –2x.
Quem tem o meu número menos 6?
Quem tem o dobro do meu número mais 4?
Eu tenho x² – 4.
Eu tenho – 4x + 4.
Quem tem um fator do meu número?
Quem tem o meu número dividido por –2
acrescentado de 2 unidades?
⇒ Atividade 17.
Tabuleiro Algébrico
MATERIAIS: 1 dado e 2 peões
REGRAS:
1- O jogador, em sua vez de jogar, lança o dado.
3
3n2(n
+ 1 12
-2n
)
3(n-1)
1
n+
3n
3n-2 2n+ 4 2(n-2)
2
n-2
2n-2
2n-3
1)
3(n-
6-n
n
n-3
2n+ 3
2 n2
n2
n2+1
4n
2
3n
10-n
n+ 3
8-n
2n
n+2
INÍCIO
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
11
2- Substitui o número que saiu no dado na expressão algébrica da "casa" onde se
encontra seu peão.
3- Anda tantas casas quanto for o valor calculado.
4- O ganhador será o jogador que primeiro completar 3 voltas ao redor do tabuleiro.
⇒ Atividade 18.
Bingo dos Polinômios
MATERIAIS: Cartões numerados de 1 a 31 com questões; 45 cartelas com 9 soluções (das
31 questões), números de 1 a 31, grãos de milho(ou botões, ou feijões), folha de papel
para resolução.
REGRAS:
1- Será sorteado um número de 1 a 31 correspondente à questão a ser respondida e
verificada na cartela de respostas.
2- O primeiro que preencher uma linha corretamente receberá um prêmio, após a
devida verificação das soluções por parte do professor..
3- O prêmio principal será daquele que primeiramente preencher completamente e
corretamente sua cartela, apresentando as soluções para o professor.
As atividades selecionadas para trabalhar nesse minicurso são aplicadas
em turmas do 30 cilclo do Ensino Fundamental da Escola Municipal Vila Monte Cristo
e em cursos de estudantes de Licenciatura em Matemática. Propositalmente, elas
apresentam separadamente as quatro funções da álgebra, apenas com intuito meramente
didático para fins de discussão pedagógica durante a apresentação do minicurso.
Palavras-Chaves: educação algébrica, lúdico, ensino e aprendizagem da matemática.
Referências Bibliográficas
ALVES, E. A ludicidade e o ensino de matemática: uma prática possível. Campinas,
SP: Papirus, 2001.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
Matemática. Secretaria de Educação Fundamental – Brasília: MEC / SEF, 1998. 148p.
COXFORD, A. e SHULTE, A. (Org.) As idéias da álgebra. Tradução de Hygino H.
Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
Anais do VIII ENEM – Minicurso
GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental
12
FALZETTA, R. Á-bê-cê da álgebra. Nova Escola. São Paulo, ano XVIII, n° 166, p.
30,31, out. 2003.
IMENES, L.M.; LELIS, M. Matemática. 7a Série. São Paulo: Scipione, 1997.
IMENES, L.M.; LELIS, M. Matemática. 6a Série. São Paulo: Scipione, 1997.
OLIVEIRA, A.T.C.C. Reflexões sobre aprendizagem da álgebra. Educação
Matemática em Revista. São Paulo, ano 9, n° 12, p. 35-39, jun. 2002.
SOUZA, E. e DINIZ, M. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo:
IME-USP, 1998.