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problemas de otimização
1.
Numa quinta há uma cerca com 120 m de comprimento a vedar uma região quadrada onde
se encontram galinhas.
A determinada altura, com o nascimento de novos animais, foi necessário criar duas
regiões quadradas para separar os animais recém-nascidos, utilizando a mesma cerca de
modo a ocupar a menor área possível de terreno, como é sugerido na figura ao lado.
Determine as dimensões de cada uma das novas regiões quadradas.
2.
Pretende-se fazer chegar a eletricidade a uma nova urbanização que irá ser construída nos
arredores de uma cidade. O projeto dessa ligação encontra-se sintetizado na figura seguinte.
A
C
P
B
Sabe-se que a distância de A a C é de 2 km e a distância de C a B é de 8 km. Tendo em
conta a especificidade do terreno, o custo da instalação da eletricidade no troço de A até P é
de 60 000 € por km e no troço de P a B é de 40 000 € por km.
Determine a que distância deve estar o ponto P de C de modo a que o custo da instalação
elétrica seja o menor possível. Apresente o resultado em metros, arredondado às unidades.
3.
O Artur adoeceu no dia da apresentação de um trabalho à turma. Para tentar estar em
condições de fazer a apresentação, vai tomar um medicamento cuja concentração no
sangue, t horas depois de ser tomado, é dada por C  t   t 2 e0,8t .
O Artur pretende que o medicamento atinja a concentração máxima às 16 h, que é a hora de
início da aula. Qual a hora ideal para tomar o medicamento?
4.
TERUNO é uma empresa de fabrico de embalagens para conservas. Esta empresa recebeu
uma encomenda de latas cilíndricas, com capacidade para 500 mililitros, que deveriam ser
feitas em folha de alumínio.
Determine as dimensões de cada lata, raio e altura, de forma a minimizar a quantidade de
material a ser utilizado. Apresente o resultado exato e em centímetros.
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problemas de otimização
5.
Com a melhoria de tempo, o Tiago foi passear com o seu cão à beira mar, caminhando o
animal lado a lado com o dono. Num determinado instante, o Tiago parou e o cão começou
a afastar-se, a correr, em linha reta, ao longo da praia. Depois de o cão já ter percorrido 10
metros, o Tiago começou a correr no seu enlaço.
Admita que a distância entre o Tiago e o cão, t segundos depois de o cão ter começado a
90t
, t  0,30 .
correr é dada, em metros, por d  t   2
t  14
5.1.
Durante quantos segundos correu o cão até o Tiago partir no seu enlaço?
5.2.
Qual a maior distância a que o Tiago esteve do seu cão. Apresente o resultado em metros,
arredondado às unidades.
5.3.
Admita que o Tiago corre a uma velocidade constante, percorrendo 4 metros em cada
segundo.
90t  180
 4t dá a distância, em metros, percorrida pelo cão t segundos
t 2  4t  18
depois de o Tiago ter começado a correr e determine a velocidade do cão 5 segundos
depois de o Tiago ter começado a correr. Apresente a velocidade em metros por segundo,
arredondado com 2 c.d.
Mostre que
6.
Num terreno com a forma de um triângulo retângulo
pretende-se construir um jardim retangular.
A
Considere a figura ao lado representativa da situação
e que a distância entre A e B é de 20 metros.
6.1.
6.2.
Verifique que
Verifique que a área do retângulo é dada por
A x  
6.3.
7.
4 3
y  x  20
3
x
y
30º
C
B
3
 20 x  x2 
4
Determine as dimensões do retângulo de modo a que a sua área seja máxima.
No dia 12 de Julho, pelas 15 horas, teve início um incêndio de grandes proporções. O
incêndio consumiu 1500 hectares de floresta durante 30 horas.
Considere que a área ardida, em hectares, durante o incêndio, é dada em função do tempo,
5
em horas, por A  t    t 2  100t .
3
7.1.
Ao fim de quanto tempo, após o início do incêndio, estava destruída 36% da área ardida?
7.2.
Ao meio dia do dia 13, qual a velocidade a que o incêndio consumia a floresta?
Bom trabalho!!
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problemas de otimização
Soluções
1.
x  19, 2m e y  14, 4m
2.
CP  1789m
3.
Às 13h 30
4.
raio 
3
250

, altura  2  3
250

5.
5.1. 2 segundos
5.2. 12 metros
5.3. 3, 21 m / s
6.
6.1.
6.2.
6.3. x  10 m e y 
5 3
m
2
7.
7.1. 6 horas
7.2. 30 hectares por hora
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