Mecanismos de Transferência de Calor
Bibliografia de Aula: Halliday, Resnick e Walker, 8a Ed;Vol 2, capítulo 18.
• Já estudamos como ocorrem as trocas de calor entre sistemas
físicos. • Aprendemos que em um sistema isolado o calor trocado
permanece constante, ou seja, Qc + Qr = 0
• Durante as trocas de calor sem mudança de fase, Q = mc T
• Durante as trocas de calor com mudança de fase, Q = mL
• Começaremos a estudar os mecanismos de transferência de
calor: Condução Térmica, Radiação e Convecção.
No dia a dia...
• O que acontece quando colocamos uma panela com um cabo de
metal no fogo? • Em poucos instantes não conseguiremos mais tocar no cabo sem
protegermos as mãos. Por que?
• A energia é transferida da panela para o cabo através da
condução térmica.
• Microscopicamente, com o aumento da temperatura, os átomos
e moléculas da panela vibram mais intensamente neste região
mais quente e esta energia de vibração se propaga, através das
colisões atômicas, da região de maior temperatura para a região
de menor temperatura.
• Note que quem se propaga é a energia cinética, não os átomos
ou moléculas!
Condução Térmica
Considere uma placa de seção reta (área) A, de comprimento L, colocada
entre dois reservatórios, um quente (TQ) e outro frio (TF)
A experiência mostra que a taxa de condução de calor por unidade de tempo, quando a
temperatura varia de maneira uniforme, é dada
por:
Pcond
=
=
Q
[J/s]
t
kA
(TQ TF ) [W ]
L
k é a condutividade térmica do material que forma a interface e sua
unidade no SI é [W/m.K]
in the PUC is always assumed to be at the origin; when there are two atoms in the PUC,
the position of the second atom t2 is given with respect to the origin. All vectors are given
in cartesian coordinates and in terms of the standard lattice parameter a, the side of the
conventional cube or parallelpiped. For the HCP lattice, a second parameter is required,
namely the c/a ratio. For graphite, only the two-dimensional honeycomb lattice of a single
graphitic plane is defined. dNN is the distance between nearest neighbors in terms of the
lattice constant a. These crystals are illustrated in Fig. 3.1.
Nos metais, alguns elétrons livres “caminham” pela sua rede
cristalina trasmitindo energia térmica rapidamente da região mais
quente para a região mais fria. Por isso, normalmente, são bons
condutores térmicos.
Lattice
a1
a2
a3
Cubic
(a, 0, 0)
(0, a, 0)
(0, 0, a)
( a2 , − a2 , − a2 )
( a2 , a2 , 0)
( a2 , a2 , 0)
( a2 , a2 , − a2 )
( a2 , 0, a2 )
( a2 , 0, a2 )
( a2 , a2 , a2 )
(0, a2 , a2 )
(0, a2 , a2 )
BCC
FCC
Diamond
HCP
Graphite
√
( a2 , 23a , 0)
√
( a2 , 23a , 0)
√
( a2 , − 23a , 0)
√
( a2 , − 23a , 0)
(0, 0, c)
t2
dNN
a
√
( a4 , a4 , a4 )
( a2 ,
( a2 ,
a
√
, c)
2 3 2
a
√
, 0)
2 3
a
a
c/a
!
8
3
a 3
2
√a
2
a
√
4 3
√a
3
a
√
3
a
c
a
a
a
a
Figure 3.1. The crystals defined in Table 3.1. Top: simple cubic, BCC, FCC. Bottom:
diamond, HCP, graphite (single plane). In all cases the lattice vectors are indicated by
arrows (the lattice vectors for the diamond lattice are identical to those for the FCC lattice).
For the diamond, HCP and graphite lattices two different symbols, gray and black circles,
are used to denote the two atoms in the unit cell. For the diamond and graphite lattices, the
bonds between nearest neighbors are also shown as thicker lines.
Algumas condutividades térmicas
Substância
(metais)
k[W/m.K]
Substância
(diversos)
Substância
k[W/m.K]
(gases)
k[W/m.K]
Al
235
Tijolo
0.15
Ar
0.026
Cu
401
Concreto
0.8
Argônio
0.016
Pb
35
Cortiça
0.04
Hélio
0.15
Hg
8,3
Feltro
0.04
Hidrogênio
0.18
Ag
428
Fibra de Vidro
0.05
Oxigênio
0.023
Fe
67
Vidro
1
Latão
109
Madeira
0.11
Resistência Térmica
Da equação para a taxa de calor de condução temos:
Pcond
kA
=
(TQ
L
TF )
L
podemos definir a resistência térmica como: R =
kA
[R]=[K/W]
Deste modo, podemos reescrever a taxa de calor de condução como
Pcond =
TQ
TF
R
Algumas considerações...
•
L
Da equação para a resistência térmica R =
kA
aprendemos que: • Quanto menor a condutividade térmica k, maior será sua
resistência térmica R. • Portanto, um material com baixa condutividade térmica é um
mau condutor de calor.
• Observe que a resistência térmica depende da espessura de
uma dada placa e não está relacionada a um material
específico.
Se a variação da temperatura entre os reservatórios quente e frio não
for uniforme ao longo do comprimento da interface podemos escrever
a seguinte equação (em uma dimensão) para a taxa de calor.
dQ
=
dt
dT
kA
dx
Generalizando para três dimensões
dQ
dt
=
=
dT
dT
dT
kA( î +
ĵ +
k̂)
dx
dy
dz
~
kArT
O sinal de (-) nas equações significa que o calor flui da região de maior temperatura para
a região de menor temperatura.
Condução em interfaces compostas
• Hipóteses:
• As superfícies das interfaces em contato têm a mesma área A
• A condução ocorre em um regime estacionário, ou seja, as
temperaturas em todos os pontos da placa não variam com o
tempo, assim como a taxa de variação de transferência de energia
(calor).
• Interfaces associadas em série e em paralelo
• Na associação em série, a taxa de variação do calor com o tempo
Pcond é constante em todas as interfaces involvidas.
• Na associação em paralelo, a variação de temperatura, ∆T=T -T
a mesma para todas as interfaces envolvidas.
Q
F
é
Associação interfaces em série
Vamos calcular a temperatura na interface, TX
Pcond,2
=
TX )
=
k2 A
(TQ
L2
Resolvendo para TX (exercício) ficamos com
TX
k 1 L 2 TF + k 2 L 1 TQ
=
k1 L2 + k2 L1
Pcond,1
k1 A
(TX
L1
TF )
Substituindo TX em Pcond,1 ou Pcond,2 chegamos depois de alguma álgebra
(faça como exercício) em:
Pcond
=
=
TQ
L1
( k1 A
TC
+
L2
)
k2 A
T
TQ TC
=
R1 + R2
R 1 + R2
Esta expressão pode ser generalizada para n interfaces
Pcond
TQ TC
T
=
= Pn
R 1 + R2 + . . . Rn
R
i=1 i
Associação de interfaces em paralelo
TQ
Pcond,1
k1
k2
Pcond,2
TF
Pcond
=
=
=
=
Pcond,1 + Pcond,2
k1 A
k2 A
(TQ TF ) +
(TQ
L1
L2

k1 A k2 A
(TQ TF )
+
L1
L2
1
1
(TQ TF ) · (
+
)
R1
R2
TF )
Resumindo...
• Em uma associação de interfaces em série, a resistência térmica
total é a soma das resistências térmicas individuais
• Em uma associação de interfaces em paralelo, o inverso da
resistência térmica total é a soma dos inversos das resistências
térmicas individuais.
Rserie =
n
X
i=1
Ri
1
Rparalelo
=
n
X
i=1
1
Ri
Exemplos
1) Uma barra de aço de 10cm de comprimento é soldada pela
extremidade a outra barra de cobre de comprimento 20cm. A seção reta
destas barras é quadrada de lado igual a 2,0cm. A extremidade livre da
barra de aço é mantida a 100oC pelo contato com vapor d’água enquanto
que a extremidade livre da barra de cobre é mantida a 0oC por estar em
contato com gelo. Calcule a temperatura na junção entre as duas barras e
a taxa total de transferência de calor. Dados: kaço=50,2 W/m.K, kcobre=401W/m.K
Exemplos
2) Vamos supor agora que as mesmas barras estejam separadas. Uma
extremidade de cada barra é mantida a 100oC enquanto a outra a 0oC.
Qual a taxa de transferência de calor nas duas barras?
Convecção
• É a transferência de calor que ocorre devido ao movimento de uma massa
de fluido de uma região a outra.
• Exemplos:
• Sistemas de aquecimento em residências, sistemas de refrigeração
de motores de automóveis, fluxo sangüíneo no corpo humano,
correntes atmosféricas e marítimas, etc.
• Tipos de convecção:
• Natural: Ocorre devido à diferenças de densidades num mesmo fluido
provocadas por expansão térmica, por exemplo)
• Forçada: Provocada por agentes externos
12.0m×18.0m×3.00m
10.0ºC
Q = mcΔT
Q/t
Exemplo: Convecção do ar através das paredes de uma casa.
!
Normalmente uma casa não é isolada e o ar entra e sai por frestas, portas e janelas.
Todo o ar em uma casa média padrão de dimensões internas 12mx18mx3m é
totalmente substituído em aproximadamente 30min. Calcule a quantidade de calor
transferido por unidade de tempo necessária para aquecer o ar que entra de 10oC,
substituindo então o calor transferido só por convecção. Dados o calor específico do
ar c=1000 J/kg.K e a densidade do ar 1.29kg/m3
!
Roteiro:
Cálculo da massa de ar na casa:
m=
ar .V
Cálculo da quantidade de calor necessária para aquecer o ar:
Cálculo da taxa de calor por unidade de tempo:
Q
t
Q = m.c. T
Exemplo 2: Cálculo do calor perdido por suor do corpo
!
Uma pessoa média produz calor na taxa de 120W quando em repouso. A que taxa a
água deve evaporar do corpo para que este se livre de toda esta energia? Dado
Lv=2257kJ/kg=2257J/g
A energia perdida por unidade de tempo é:
Q
mLv
=
= 120(J/s)
t
t
Então, a massa por unidade de tempo que se evapora é,
m
120
=
t
Lv
m
120
=
= 0.053g/s
t
2257
Radiação
• Conseguimos saber se um forno está quente sem tocá-lo ou olhar para o
seu interior. Basta passar perto dele. Também podemos sentir a
transferência de calor de uma fogueira ou do Sol para nossa pele.
• O espaço entre a Terra e o Sol é vazio e por isto, o calor que vem do Sol
até a Terra não pode ser transmitido por condução ou convecção.
• Este calor é transferido através de ondas eletromagnéticas. Elas não
necessitam de um meio físico para se progagarem! A radiação eletromagnética
propaga-se no vácuo!
• Qualquer corpo emite e absorve energia em forma de radiação
eletromagnética a não ser que esteja no zero absoluto de temperatura,
ou seja 0K. Por isto, a temperatura deve ser utilizada em Kelvin.
A energia da radiação EM depende da cor (frequência de radiação) e varia
em uma faixa grande de valores. A uma frequência maior corresponde a uma
energia maior. Como mais calor é irradiado em temperaturas mais altas, uma
mudança de temperatura é acompanhada de uma mudança de cor
Todos os objetos absorvem e emitem radiação EM. A taxa de calor transferido
depende da cor do objeto. Preto absorve e emite mais radiação. Branco
absorve e emite menos radiação e por outro lado reflete toda radiação como
se fosse um espelho.
Discussão: O que se pode dizer sobre as temperaturas do asfalto negro e
de uma calçada cinza em uma noite clara de verão?
Matematicamente
Pode-se mostrar que a taxa de calor emitida por um corpo pelo processo de
radiação é calculada através da equação.
4
Prad = ✏AT [W ]
• A é a área da superfície que irradia
• T é a temperatura da superfície (em Kelvin)
0  ✏  1 ! emissividade da superficie
= 5, 67 ⇥ 10
8
2
4
[W/m K ] é a constante de Stefan-Boltzmann
Q
4
,
No caso do fogo, a energia térmica vem
basicamente
do infravermelho cuja a
t = σeAT
−8
J/s ⋅ m 2 ⋅ K 4 A parte visível da
σ = 5.67×10sensível.
A radiação pouco contribui
T
pele é bastante
para esta
e
energia térmica.
A convecção
e=1
e = 0 afasta o calor do observador pois o ar quente
e
0.5
0.99
sobe e a condução
é desprezível neste caso.
Pode-se mostrar também que a taxa de calor absorvida por um dado corpo
é calculada através de
Pabs =
4
✏AT0
[W ]
Note que T0 é a temperatura do meio onde o corpo se encontra.
Como um objeto tanto irradia para o meio quanto absorve radiação
do meio, a taxa líquida de calor absorvido é definida como:
Pliq = Pabs
Prad =
Se Pliq > 0, o corpo absorve calor.
Se Pliq < 0, o corpo perde calor.
4
✏A(T0
4
T ) [W ]