X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ESTUDO DE UMA PROPOSTA DIDÁTICA SOBRE SEQUÊNCIAS
NUMÉRICAS NO ENSINO MÉDIO
Camila de Oliveira da Silva1
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
[email protected]
José Luiz Magalhães de Freitas2
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
[email protected]
Resumo: Neste projeto de pesquisa propomos uma investigação referente ao estudo de
sequências numéricas a partir de situações-problema, tendo como público alvo estudantes
do primeiro ano do Ensino Médio. Para esse estudo procuramos analisar dificuldades e
possíveis obstáculos ligados à noção de função e do infinito referente às sequências
numéricas, além de realizar uma investigação quanto à ruptura da prática pedagógica
tradicional, ao inserir um trabalho com a resolução de problemas que priorize a ação do
aluno. Como fundamentação teórica nos baseamos na Teoria das Situações Didáticas de
Brousseau, assim como em estudos relativos ao tema. Para a coleta de dados vamos
elaborar uma sequência didática, composta de atividades, utilizando os princípios da
Engenharia Didática, a qual será aplicada com os alunos, com o objetivo de analisar suas
produções. Como resultado, esperamos identificar dificuldades e obstáculos concernentes
ao tema, bem como superações e eventuais aprendizagens durante o desenvolvimento da
sequência, assim como contribuir com subsídios para o trabalho dos professores em sala de
aula.
Palavras - chave: Sequências Numéricas; Ensino - Aprendizagem; Ensino Médio.
INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVAS
Esse projeto está inserido na linha pesquisa do Ensino e Aprendizagem da
Matemática, sob a forma de uma investigação referente ao estudo de sequências numéricas
a partir de situações-problema, tendo como público alvo estudantes do primeiro ano do
Ensino Médio.
1
Mestranda em Educação Matemática do Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática da
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, UFMS, Campo Grande/MS, Bolsista da CAPES –
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.
2
Professor Doutor do Departamento de Matemática e Programa de Pós - Graduação em Educação
Matemática da Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, UFMS, Campo Grande /MS.
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O objeto teve sua gênese a partir de um trabalho de pesquisa que desenvolvi como
trabalho de conclusão do curso de graduação, no qual foi realizado um estudo de
dissertações sobre o mesmo tema, todas voltadas ao ensino superior e também foi realizada
uma experimentação com alunos em sala de aula. Procurei investigar os conceitos
pertinentes à convergência de sequências numéricas a partir de atividades, com acadêmicos
de um curso de licenciatura em Matemática. O que mais motivou a escolha do estudo deste
tema é o fato de que na disciplina de cálculo já foram identificados vários tipos de
entraves, que acabam por contribuir para a ocorrência de um número elevado de
reprovações. Com essa pesquisa foi possível observar dificuldades relativas ao aprendizado
desse tema e algumas de suas consequências para a formação de colegas de turma. Dentre
as dificuldades de aprendizagem observadas destacamos: Associação de sequências
numéricas apenas a Progressão Aritmética e a Progressão Geométrica; o “horror ao
infinito”, por exemplo, expresso na possibilidade de um conjunto infinito ser limitado; e
também quanto à determinação de domínios e contradomínios de funções. Segundo
Sierpinska (1985), esses obstáculos aparecem com muita frequência no estudo do tema.
Além disso, houve valiosas contribuições decorrentes da leitura de outros trabalhos, em
particular de Nunes (2001), ao propor uma análise do tema nos livros didáticos, já que eles
constituem um dos principais alicerces do professor.
Diante destas considerações e outras motivações encontradas durante o
desenvolvimento desse trabalho de conclusão de curso, julgamos pertinente aprofundar
esse estudo em nível de ensino médio da educação básica, onde geralmente há o primeiro
contato do aluno com o tema; pois acreditamos que é nesse momento que se deve ter uma
boa introdução teórica e prática do conhecimento, a fim de evitar maiores prejuízos no
decorrer de sua formação escolar.
OBJETIVO GERAL
Analisar o desempenho de alunos do primeiro ano do Ensino Médio diante de uma
sequência didática composta de problemas sobre sequências numéricas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
(1) Identificar aspectos epistemológicos concernentes ao tema;
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(2) Colocar os alunos diante de situações-problema que possibilitem a mobilização
e exploração de conceitos abordados;
(3) Realizar um estudo sobre algumas noções de função e do infinito referente às
sequências numéricas investigando possíveis dificuldades e obstáculos ligados
ao tema.
REFERENCIAL TEÓRICO
Como fundamentação teórica, utilizaremos a Teoria das Situações Didáticas,
proposta pelo teórico francês Guy Brousseau (1986), a qual tem como base a hipótese de
que o aluno aprende por adaptação a um meio que produz contradições e desequilíbrios.
Esta teoria concerne ao processo de ensino e aprendizagem da matemática, envolvendo o
estudo de relações entre o papel do professor, do aluno e um conhecimento matemático.
Freitas (2008, p. 80) explicita que: “O significado do saber matemático escolar,
para o aluno, é fortemente influenciado pela forma didática pela qual o conteúdo lhe é
apresentado”.
Desta forma, levaremos em conta três grandes momentos didáticos que
caracterizam
esta
teoria:
Contextualização
e
Devolução,
Situação
adidática,
Institucionalização.
Na contextualização e devolução o professor deve criar condições e proporcionar
aos seus alunos meios que possibilitem a entrada do aluno no jogo envolvendo um certo
saber, isto é, o professor faz o que se chama de devolução de um bom problema, ele lança
um desafio ao aluno, visando que o mesmo seja aceito por ele e este o veja como se fosse
seu, passando a ser o sujeito ativo na construção de seu próprio conhecimento.
As situações adidáticas, também denominadas de fases adidáticas, são
caracterizadas quando o aluno trabalha com um problema sem o controle direto do
professor. Há três tipos de situações adidáticas: de ação, de formulação e de validação, que
estão interligadas.
A fase de ação é de natureza mais operacional, caracterizada pela batalha do aluno,
durante a qual ele se empenha para obter uma solução de um problema. Na formulação, o
aluno já explicita alguns modelos teóricos, numa linguagem que deve ser compreendida
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pelos seus interlocutores. Na situação de validação o aluno faz uso de mecanismos de
provas voltados diretamente ao problema dado. Aqui ele sente a necessidade de defender
as afirmações feitas.
Por fim, temos o momento de institucionalização, onde o professor entra em cena e
faz um retrospecto do que foi abordado, buscando sistematizar o que foi formulado e
apresenta novas regras e saberes aceitos como válidos pelas instituições acadêmicas.
Ao optarmos pela teoria das situações como base teórica de nossa pesquisa,
poderemos abordar algumas idéias de contrato didático e de obstáculos, visto que eles
podem ser determinantes nas relações envolvendo professor, aluno e saber matemático.
A noção de contrato didático é assim descrita por Brousseau:
Chama-se contrato didático o conjunto de comportamentos do
professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de
comportamentos do aluno que são esperados pelo professor [...] Este
contrato é o conjunto de regras que determinam uma pequena parte
explicitamente, mas, sobretudo implicitamente, do que cada parceiro da
relação didática deverá gerir e daquilo que, de uma maneira ou de outra,
ele terá de prestar conta perante o outro.
(BROUSSEAU, 1986, p.33)
Ao fazer um primeiro levantamento de trabalhos relacionados ao tema,
encontramos um estudo sobre generalização de padrões numéricos de Vale & Pimentel
(2005), que caracteriza padrão numérico como sendo ligado a algum tipo de regularidade,
por repetição ou recursiva, na qual se possa identificar uma lei que permita continuar a
sequência numérica e chegar à generalização requerida. Essas pesquisadoras identificam os
padrões como sendo a base do pensamento algébrico, o que acaba contribuindo para os
alunos organizarem relações até obterem as generalizações. A identificação de um padrão é
a primeira etapa de nosso trabalho; com isso atentamo-nos a este fato na perspectiva de
identificar possíveis entraves que possam ocorrer no desenvolvimento de nossa pesquisa.
Na pesquisa de Carvalho (2008): “O aluno do ensino médio e a criação de uma
fórmula para o termo geral de uma PA”, o autor sugere, em suas conclusões, um trabalho
com observação e comparação de vários tipos de sequências para confrontar diferenças
entre elas, e se atentar às particularidades dos tipos de PA. Sobretudo, ressalta que seus
alunos conseguiram desenvolver a “consciência de generalidade”, o que o pesquisador
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inglês Mason (1996), afirma ser o ato de sensibilizar-se pela a distinção entre “olhar
através” e “olhar para”, o que implica “ver a generalidade no particular” e “ver o particular
no geral”. Isto é, observando uma regra geral pode-se identificar qualquer termo da
sequência, o aluno vê “o geral” e ao mesmo tempo percebe “o particular.” Acreditamos ser
necessária tal distinção como forma do aluno não decorar parte de um conhecimento,
fórmulas, etc, e sim, saber apreciar, diante de várias situações, o que realmente aprendeu.
A partir das pesquisas que já identificamos e de nossa experiência com o tema,
daremos início ao trabalho e continuaremos assim nossas leituras e estudos, a fim de
aprofundarmos nossa fundamentação teórica.
REFERENCIAL METODOLÓGICO
Adotamos como suporte metodológico de nossa pesquisa, os princípios da
Engenharia Didática, descrita por Michèle Artigue (1990), na qual se compara o trabalho
didático com o trabalho de um engenheiro que, para realizar um projeto, se apóia sobre
conhecimentos científicos de seu domínio.
Douady explicita “Engenharia Didática” como sendo:
[...] uma sequência de aula(s) concebida(s), organizada(s) e
articulada(s) no tempo, de forma coerente, por um professor-engenheiro
para realizar um projeto de aprendizagem para certa população de alunos.
No decurso das trocas entre professor e alunos, o projeto evolui sob a
reação dos alunos e em função das escolhas e decisões do professor.
(DOUADY, 1993, p. 2)
A metodologia, baseada nos princípios da Engenharia Didática, será composta de
quatro fases: Análises preliminares; Concepção e análise a priori; Experimentação e
Análise a posteriori e validação.
Nas análises preliminares faremos estudos e análises teóricas sobre o tema que
orientarão as demais etapas do desenvolvimento da parte experimental da pesquisa. Na
fase de Concepção e análise a priori será feita uma seleção de atividades, sem perder de
vista os objetivos do nosso objeto de estudo, na qual devem ser instituídas as variáveis
didáticas, assim, faremos uma previsão do desempenho dos alunos, levantando possíveis
dificuldades e estratégias mobilizadas por eles durante as atividades propostas. A fase de
experimentação constitui da aplicação de atividades com os alunos. Na análise a posteriori
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e validação será realizada uma análise dos protocolos contendo produções dos alunos,
além das observações feitas em sala de aula e de dados recolhidos na experimentação,
como entrevistas individuais e questionários. É aqui onde ocorre a validação da pesquisa,
que consiste na confrontação entre a análise a priori e a posteriori.
Acreditamos que a metodologia proposta nos dará subsídios e que com ela
promovermos o surgimento de situações adidáticas, no sentido que propõe Brousseau
(1986) e podermos desenvolver nossa pesquisa a partir da análise das sessões de atividades
realizadas.
RESULTADOS ESPERADOS
Diante do que foi exposto acima, esperamos que nossa pesquisa possa encadear um
ambiente construtivo, em que possamos investigar o aluno como protagonista no processo
de construção de seu próprio conhecimento. Desta forma, ansiamos pelo envolvimento
deles na resolução dos problemas propostos, a fim de que raciocinem, conjecturem,
elaborem relações, conceitos, a partir de seus próprios procedimentos. Acreditamos que ao
propor um trabalho com situações-problema, o aluno poderá dar significado ao tema e
passar a vê-lo como um saber totalmente ligado a outros saberes. Com o tema sequências
numéricas pretendemos favorecer a conexão com alguns aspectos do conceito de função,
assim como explorar a noção do infinito presente no tema, a fim de possamos investigar e
analisar dificuldades e superações do aluno diante de sequências numéricas com algumas
peculiaridades.
Esperamos que nossa pesquisa contribua com subsídios para as pesquisas sobre
essa temática e também que possa auxiliar nas escolhas metodológicas relativas a
conhecimentos específicos e, consequentemente, para a melhoria do aprendizado de
conteúdos matemáticos dos alunos nesse nível de escolaridade.
REFERÊNCIAS
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9, n. 3, p. 281-307, 1990.
BROUSSEAU, G. Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques.
Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7, n. 2, p. 33-115, 1986.
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termo geral da Progressão Aritmética. 2008, 127p. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Pontifica Universidade Católica - São Paulo, 2008.
DOUADY, R. L’Ingeniérie Didactique: un moyen pour I’enseignant d’organiser les
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1993.
FREITAS, J. L. M., Teoria das Situações Didáticas. In: M.S. (Org). Educação
Matemática: uma nova introdução. 3ª ed. São Paulo: Ed. PUC, 2008.
MASON, J. Expressing Generality and Roots of Algebra. In. BEDNARZ, N.; KIERAN,C.;
LEE,L. (Ed). Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching.
Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1996, p. 65-86.
NUNES, M. N.F. Sequências Numéricas: Um Estudo da Convergência através de
Atividade. 2001, 124p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifica
Universidade Católica – São Paulo, 2001.
SIERPINSKA, A. Obstacles Epistemologiques Relatifs à la Notion de Limite.
Recherches et Didactique des Mathematiques. Grenoble, v.6, n.1, p. 5 - 67, 1985.
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introdução. 3ª ed. São Paulo: Ed. PUC, 2008.
VALE, I; PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal do currículo. Revista de
Associação de Professores de Matemática, novembro/dezembro, n. 85, 2005.
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