 RESUMO 
GRAFICAMENTE
ALGEBRICAMENTE
 PARTE A 
1) Calcule o valor de cada uma das seguintes potências: 4
3
4
2
a) 3 b) (5) c) (4) d) 0 h) 31 2
o)  
3
i) 32 j) (4)3 0
3
k) (5)4 f) 3 2
2 3
l) (2 ) m) 2 2 0
g) (1,34)  1
n)  
2
1
1
1
2
5
e) 1 p) 9 2 q) 27 3 2) Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais: x
a) 2 x  16
b) 3 x  81
c) 5 x  1
8
2
d)   
3
27
 
e) 2 x  3  32
f) 8 x  32
g) 9 x  27
h) 4 x  2
i) 0,1x  100
j) 8 2 x  5  32 x  3
Para cada função abaixo, construa uma tabela onde x assuma os valores –2 ; –1 ; –0,5 ; 0 ; 1 ; 0,5 , 1; 2 em seguida, um gráfico cartesiano representando estas funções. x
x
3) y = 2 x
4) y = 3  1
5) y    2
x 6) y = 102
x
7) y = 100,5 8) Para a tabela abaixo encontre a fórmula que se ajusta a função representada pelos dados. t
F(t)
0 5 1 10 2 20 3 40 9) (Calculadora) Uma máquina foi comprada pelo valor de $ 25.000,00 e sofre um depreciação de 10% ao ano. x
Seu valor pode ser expresso pela relação V(x) = 25.000  0,9 , onde x representa o número de anos. a) Determine o valor da máquina após 1 ano, 2 anos, 5 anos e 10 anos. b) Depois de quanto tempo o valor da seja reduzido a 50%? (Estime por tentativa e erro) c) Depois de quanto tempo o valor é de $ 5.000,00. (Estime por tentativa e erro) 1
10) (Calculadora) Uma certa região tem uma população de 10.000.000 de habitantes e um crescimento anual de 2%. a) Escreva a expressão que fornece a população em função do tempo. b) Calcule a população para 5, 10 e 20 anos, a partir data/população atual. c) Estime o período de duplicação por tentativa e erro. Encontre as equações que se ajustem aos gráficos abaixo: 11) 12) (2; 12) (2; 18) 3 (1; 6) 13) (Calculadora) A população de uma certa região cresce exponencialmente. Se existiam 40.000.000 pessoas em 1990 (t=0) e 56.000.000 em 2000: a) Encontre uma fórmula para a população P em qualquer instante t.
b) Determine qual era a população em 1995. c) Qual seria a previsão para 2010? d) Quando a população atinge 100 milhões de habitantes? (Estime por tentativa e erro) t
14) (Calculadora) A temperatura interna de uma geladeira (se ela não for aberta) segue a lei T(t) = 25  0,8 . Sendo t o tempo (em minutos) em que permanece ligada e T é a temperatura (em graus Celsius). a) Qual a temperatura interna da geladeira no instante em que ela foi ligada? b) Quantos graus Celsius essa temperatura alcança dois minutos depois que a geladeira começou a funcionar? c) Esboce o gráfico da temperatura da geladeira. o
d) Após quanto tempo a temperatura chega aos 5 C? (Estime por tentativa e erro)  PARTE B 
15) (UEPG 2013) Sabendo que x e y são, respectivamente, as soluções das equações exponenciais  1
1613x   
4
2x  6
01) x  y  8 e 9  3 y 1  3 y  18, assinale o que for correto. 02) y
 2 x
04) x  y  10 08) y  x  1 16) x  y  3 16) (G1 - CFTMG 2013) O produto das raízes da equação exponencial 3  9 x  10  3 x  3  0 é igual a a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. 1
tem duas soluções reais. A soma das duas soluções é: 1024
c) 2 d) 14 e) 1024 2
17) (PUCRJ 2012) A equação 2 x 14 
a) – 5 b) 0 18) (UFSJ 2012) A interseção dos gráficos das funções h  x   2x  1 e s  x   2 x 1 é o ponto que tem a soma de suas coordenadas igual a a) 2 e pertence à reta y  x  2 b) 1 e pertence à reta y  x  1 c) 2 e pertence à reta y  x  2 d) 1 e pertence à reta y  x  1 2
 1
19) (UDESC 2011) Encontre o(s) valor(es) de x na equação  
2
x 1
 2x 2x 2
 3
1

20) (Mackenzie 2010) O valor de x na equação 
 9 
27


a) tal que 2 < x < 3. b) negativo. c) tal que 0 < x < 1. d) múltiplo de 2. x + 3
e) 3. x
21) (UEL 2008) Seja a equação exponencial: 9 = (1/27) Assinale a alternativa que contém a solução da equação exponencial dada. a) x = - 6 b) x = - 6/5 c) x = 5/6 d) x = 5/2 x
e) x = 6 e) x
22) (FGV 2007) A raiz da equação (5 - 5 3 ) (5 + 5 3 ) = 50 é: a) 
2
3
b) 
3
2
c) 3
2
2x - 1
d) 2
3
x
23) (G1 - CFTCE 2007) A solução da equação 27 = (3 3 ) é um elemento de: a) {x ; - 2 < x < - 1} b) {x ; - 1 < x < 0} c) {x ; 0 < x < 1} d) {x ; 1 < x < 2} 24) (INSPER 2012) Considerando x uma variável real positiva, a equação x x
nomearemos a, b e c. Nessas condições, o valor da expressão a2  b2  c 2 é a) 20. b) 21. c) 27. d) 34. e) 35. 3x - 2
x + 1
1
2
2
6 x  9
e) {x ; x > 2}  x possui três raízes, que x - 1
25 (UFJF 2006) Dada a equação 2 . 8 = 4 , podemos afirmar que sua solução é um número: a) natural. b) maior que 1. c) de módulo maior do que 1. d) par. e) de módulo menor do que 1. x + 1
26) (G1 – CFTMG 2005) O conjunto solução da equação [ ( 7 )x ] = 1 pertence ao intervalo a) ] -1; 0 ] b) [ -1; 0 [ c) ] -1; 0 [ x+1
x+2
27) (G1 – CFTMG 2005) A solução da equação 3 - 3
a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 = - 54 é 2x
32 é 28) (UFSM 2005) O conjunto-solução da equação (0,25) =
 5 
 8 
a) 
5 
 8 
b) 
d) [ -1; 0 ]  1
 2
c) 
 5 
 4 
x+ 1
d) 
5 
 4
e) 
x
29) (G1 - CFTMG 2004) A soma das raízes da equação 4 - 9 . 2 + 2 = 0 é a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 x-1
2
30) (UFSM 2000) Sabendo que (1/3) = 27, o valor de 12-x é a) -3 b) 2 c) 3 d) 8 e) 16 3
 PARTE C 
x
31) (ESPM 2012) A figura abaixo mostra o gráfico da função f(x) = 2 . A área da região sombreada, formada por retângulos, é igual a: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 32) (UERJ 2013) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual. t
V t   V0   0,64  2 Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos. 33) (PUCRS 2013) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula q  10  2k t , onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a)  35 5 b)  33 10 c)  5 33 d)  10 33 e)  100 33 34) (Ufjf 2012) Seja f: R  R uma função definida por f  x   2x . Na figura abaixo está representado, no plano cartesiano, o gráfico de f e um trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices B e C estão sobre o gráfico de f. A medida da área do trapézio ABCD é igual a: 8
a) 2 b) c) 3 d) 4 3
e) 6 35) (UCS 2012) Um modelo matemático para determinar o número de bactérias em determinado objeto é a função definida por N  t   500  2t , em que t é o tempo, em horas, a partir da observação inicial. Segundo esse modelo, o tempo, em horas, para que a quantidade de bactérias no objeto atinja 7.000, é dado por um número pertencente ao intervalo a) [99, 100]. b) [13, 14]. c) [6, 7]. d) [3, 4]. e) [1, 2]. 4
36) (ESPECEX (AMAN) 2012) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão N  t   N0  2kt , sendo N0 a população no início do tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a a) 5 1 b) 5 1 d) 10 1 c) 10 e) 10 1 t
37) (UEPG 2011) Certa população de insetos cresce de acordo com a expressão N  500.2 6 , sendo t o tempo em meses e N o número de insetos na população após o tempo t. Nesse contexto, assinale o que for correto. 01) O número inicial de insetos é de 500. 02) Após 3 meses o número de insetos será maior que 800. 04) Após um ano o número total de insetos terá quadruplicado. 08) Após seis meses o número de insetos terá dobrado. x
38) (UFF 2010) O gráfico da função exponencial f, definida por f (x) = k  a , foi construído utilizando-se o programa de geometria dinâmica gratuito GeoGebra (http://www.geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir: Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, pertencem ao gráfico de f. Determine: a) os valores das constantes a e k; b) f (0) e f (3). 39) (PUCMG 2010) O valor de certo equipamento, comprado por R$60.000,00, é reduzido à metade a cada 15 
t
15 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 2
representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3.750,00 b) R$ 7.500,00 c) R$10.000,00 d) R$20.000,00 40) (G1 - CFTMG 2010) Uma emissora de TV vende seu horário comercial da seguinte maneira: o cliente escolhe quantas pessoas no mínimo devem ver seu produto e a emissora calcula quantos dias a propaganda deve ser veiculada. Para isso, ela usa a relação entre o número "P" de pessoas que conheceram o produto após "n" dias n
consecutivos de propaganda expressa por P = 6 + 6.(36) . O valor de n, para que 7.782 pessoas conheçam esse produto, deve ser igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 2x - 1
41) (UFRRJ 2007) O gráfico a seguir descreve a função f(x) = a , em que a é positivo. Nessas condições qual 5
o valor de a? a) - 3 b) - 2 c) 2 d) 3 e) 4 42) (FATEC 2007) Na figura a seguir, os pontos A e B são as intersecções dos gráficos das funções f e g. x
Se g(x) = ( 2 ) , então f(10) é igual a a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9 x
43) (G1 - CFTMG 2007) Sobre a função real definida por f(x) = a , com a > 0 e a ≠ 1, afirma-se, corretamente, que a) é decrescente para a > 1. b) é crescente para 0 < a < 1. c) assume somente valores positivos. d) assume valores positivos somente para x > 0. 44) (UFSM 2006) Num raio de x km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o 2x
número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por N(x) = K . 2 , onde K é uma constante e x > 0. Se há 6.144 famílias nessa situação num raio de 5 km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2 km da escola, seria a) 2.048 b) 1.229 c) 192 d) 96 e) 48 45) (PUCMG 2006) O valor de certo tipo de automóvel decresce com o passar do tempo de acordo com a função V( t )  A  2
2 t
3
sendo t o tempo medido em anos, V o valor do carro no instante t e A o preço inicial do veículo. O tempo necessário para que esse automóvel passe a custar a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 1
de seu valor inicial, em anos, é: 8
d) 4,5 46) (PUCRS 2005) Uma substância que se desintegra ao longo do tempo tem sua quantidade existente, após "t" 6
t
anos, dada por M( t )  M0  (1,4) 1000 , onde M0 representa a quantidade inicial. A porcentagem da quantidade existente após 1000 anos em relação à quantidade inicial M0 é, aproximadamente, a) 14% b) 28% c) 40% d) 56% e) 71% 47) (PUCCamp 2005) Pesquisadores da Fundação Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar bactérias no ar em até 5 horas, ou seja, 14 vezes mais rápido do que o método tradicional. O equipamento, que aponta a presença de microorganismos por meio de uma ficha ótica, pode se tornar um grande aliado no combate às infecções hospitalares. (Adaptado de Karine Rodrigues. http:www.estadão.com.br/ciência/notícias/2004/julho/15) t
Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei N( t )  m  2 2 , na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era a) 3 600 b) 3 200 c) 3 000 d) 2 700 e) 1 800 x
48) (G1 – CFTMG 2004) Dada a função f(x) = 10 , o valor da expressão [f(n + 2) - f(n + 1)] / [f(n) - f(n - 1)] é: 2
2
a) - 10 b) - 10 c) 10 d) 10 49) (PUCMG 2004) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n t
de bactérias após t horas é dado pela função n( t )  100  2 3 . Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas. b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas. 50) (Mackenzie 2003) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas a seguir, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse número é: a) 18.000 b) 20.000 c) 32.000 d) 14.000 e) 40.000  RESPOSTAS – PARTES B e C 
15) 02 + 08 + 16 = 26.  1
1613x   
4
2x 6
 426x  42x  6  4x  4  x  1. 9  3 y 1  3 y  18  32  3 y 1  3 y  18  2  3 y  18  3 y  9  y  2. Portanto, são verdadeiras: [02], [08] e [16]. 16) Alternativa B.
7
 
3  9 x  10  3 x  3  0  3  3 x
2
 10  3 x  3  0  3 x 
10  8
 3 x  3 ou 3 x  31 
6
x  1 ou x = -1
Logo, o produto das raízes será dado por 1 (-1) = -1 . 17) Alternativa B. Reduzindo à mesma base e igualando os expoentes, obtemos 2
2
1
2 x 14 
 2x 14  210
1024
 x 2  14  10  x 2  4  0.
Portanto, das relações entre coeficientes e raízes, segue que a soma das soluções da equação é 
18) Alternativa A. 0
 0. 1
Igualando as funções, temos: 2x  1  2x 1
2x  1  2x  2 2x  1 x  0 e y  h  0   20  1  2.
Portanto a intersecção das funções é o ponto (0,2). Então a soma de suas coordenadas é 2 e este ponto pertence à reta y  x  2. 19)  1
 
2
x 1
 2x 
x
1 x 1
2    22
1  x  1 
2x  2  x
3x  2
x
x
2
2
3
2
S 
3 
20) Alternativa D. 2x 2
2 x 2
2x 2
 21 
3
(2 x  2)
 21

 23 
3(2x  2)
3 
3
3
3
2

3

3

2

3

3

3

3
 3-3 
 3  x  2 (múltiplo de 2) 



 32 
2
 




 
21) Alternativa B. 22) Alternativa C. 23) Alternativa C.
24) Alternativa B.
8

x 1
2

x x  6x  9  x  
x0
(não convém)  2
 x  6x  9  1  x  2 ou x  4
2
2
2
Portanto, 1 + 2 + 4 = 21. 25) Alternativa E. 28) Alternativa A. 26) Alternativa D. 27) Alternativa D. 29) Alternativa B. 30) Alternativa D.
31) Alternativa B.
A = A1 + A2 + A3 A  1.
1
 1.1  1.2
2
A  3,5
32) Sabendo que V0  50000, temos que o valor de venda daqui a três anos é igual a 3
V(3)  50000  [(0,8)2 ] 2  50000 
33) Alternativa D. 512
 R$ 25.600,00. 1000
Para t  3,3 h sabe-se que q  5 g. Logo, 5  10  2k3,3  23,3k  21
 3,3k  1 k
34) Alternativa C. 10
.
33
A área do trapézio ABCD é dada por: f(2)  f(1)
22  21 6
 (2  1) 
  3 u.a. 2
2
2
35) Alternativa D. Queremos calcular o valor de t para o qual N(t)  7000. Logo, 500  2t  7000  2t  14. Portanto, como 8  14  16  23  2t  24 , segue que t  ]3, 4[. 36) Alternativa B.
N
De acordo com as informações, vem 0  N0  2k 10  210k  22  k  5 1. 4
37) 01 + 04 + 08 = 13. Item (01) – Verdadeiro
9
0
Para t = 0  N  500.2 6  500. Item (02) – Falso
3
Para t = 3  N  500.2 6  500. 2  707. Item (04) – Verdadeiro
12
Para t = 12  N  500.2 6  500.4  2000. Item (08) – Verdadeira
Para t = 6  N 
6
500.2 6
 500.2  1000. 38)  3  a.k 1 ( I )
3

a)  9
dividindo (II) por (I) temos: a = 3/2 e 3 = k.  k = 2 2
2
 2  k .a ( II )
x
0
3
27
3
3
3
b) f ( x)  2.  => f (0)  2.   2 => f (3)  2.  
2
2
2
4
 
 
 

39) Alternativa B. V(45) = 60.000. 2
40) Alternativa B. 41) Alternativa D. 45) Alternativa D. 49) Alternativa A. 45
15  V(45) = 60.000.2-3 = 60.000.(1/8) = 7500 7782  6
 36n  1296  36n  362  n  2 6
7782  6  6.36n 
42) Alternativa C. 43) Alternativa C. 44) Alternativa D.
46) Alternativa E. 47) Alternativa B. 48) Alternativa D.
50) Alternativa D.
10