Folha 1
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1.
Num processo de produção de um certo tipo de T-shirts, estas são consideradas defeituosas se
apresentarem manchas no algodão ou costuras deficientes. Verificou-se que o processo de
produção conduz a: 10% de T-shirts com manchas, 5% com costuras deficientes e 1% com os
dois tipos de defeitos.
a) Seleccionada uma T-shirt ao acaso da produção diária calcule a probabilidade de ela não ser
considerada defeituosa.
b) Como é evidente estas imperfeições notam-se e podem afectar o preço da T-shirt. A
probabilidade de se registar uma alteração do preço quando a T-shirt possui manchas é de 0,01,
aumentando para 0,02 caso tenha costuras deficientes. Para além disso, se a T-shirt possuir
manchas e costuras deficientes a referida probabilidade é igual a 0,05, passando para 0,001
quando a T-shirt não está defeituosa. Calcule a probabilidade de o preço de uma T-shirt
seleccionada ao acaso, ser afectado.
c)
Um funcionário encarregado da inspecção de 150 T-shirts, seleccionadas aleatoriamente de um
grande lote, deverá contactar de imediato o responsável pelo controlo de qualidade, caso detecte
pelo menos 15 T-shirts defeituosas. Determine a probabilidade do referido funcionário efectuar
tal contacto.
2.
A agência de modelos SUCESSO decidiu reavaliar os currículos de todos os jovens que
representa e constatou que: todos tinham condições para fazer reportagem fotográfica de moda;
20% tinham condições para fazer representação e de entre estes 15% podiam também fazer
apresentação de eventos. Constatou ainda que 10% dos jovens eram capazes de apresentar
eventos mas não de representar.
a) Escolhido ao acaso um desses jovens determine a probabilidade de ele ser capaz de representar
ou fazer apresentação de eventos.
b) Sabendo que um dado jovem seleccionado ao acaso não tem condições para representar ou não
pode fazer apresentação de eventos, calcule a probabilidade de esse jovem ser capaz de
representar.
c)
Considere agora que um representante da “TV±” pretende seleccionar três jovens para a sua
próxima novela e que para esse efeito vai consultar aleatoriamente os currículos dos jovens
inscritos na agência SUCESSO. Determine a probabilidade do agente completar a sua selecção
após a análise de 20 currículos.
3. Depois de analisar a informação disponibilizada pela empresa XYZ elaborou-se o seguinte quadro
relativo ao destino e meio de transporte dos seus produtos (em %):
Destino
Produtos
expedidos
Norte
Centro
Sul
30
50
20
Meio de transporte
RN
CP
Outros
50
40
10
16
64
20
10
70
20
d) Determine a probabilidade de que um determinado produto siga pela RN ?
e) Admita que uma dada embalagem seguiu pela RN e se perdeu o rótulo de destino na gare
comum de partida. Qual o destino que sugeriria para a embalagem?
Justifique numericamente a sua resposta.
4. Uma companhia seguradora procede à selecção de angariadores de seguros de vida, baseando-se
num índice de aptidão, construído a partir de uma gama completa de testes. Os candidatos são
classificados em três categorias:
a. índice de aptidão elevado;
b. índice de aptidão médio;
c. índice de aptidão baixo.
A partir de resultados anteriores sabe-se que: 60% dos classificados com índice de aptidão
elevado, tiveram êxito nas vendas; 20% dos classificados com índice de aptidão médio, tiveram
êxito nas vendas; 20% tiveram índice de aptidão baixo; 20% tiveram êxito nas vendas e nenhum
dos classificados com índice de aptidão baixo teve êxito nas vendas.
a) Determine a probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso, ter um índice de aptidão
elevado.
b) Determine a probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso, apresentar um índice de aptidão
elevado, sabendo que teve êxito nas vendas.
c)
Sabendo que um dado candidato não teve êxito nas vendas qual a probabilidade de não ter sido
classificado com um índice de aptidão médio.
5.
Os trabalhadores da multinacional “EuroPar” foram classificados em três níveis de acordo com o
grau de instrução: formação mínima, média ou superior. Sabe-se que:
•
•
•
•
•
Desses trabalhadores 55% têm salário superior a 1250∈;
40% dos trabalhadores com formação média têm salário superior a 1250∈;
30% dos trabalhadores com formação superior têm salário inferior a 1250∈;
nenhum dos trabalhadores com formação mínima tem salário superior a 1250∈;
a percentagem de trabalhadores com formação mínima é de 10%.
a) Calcule a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso nessa companhia ter formação
média.
b) Determine a probabilidade de um trabalhador seleccionado ao acaso ter formação superior ou
mínima sabendo que ganha menos de 1250∈.
c) Seleccionados dois trabalhadores ao acaso de um conjunto de 100 com formação superior, qual a
probabilidade de ambos terem salário superior a 1250∈.
Folha 2
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1.
Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
 1 + kx

fX ( x ) =  2
 0
Sabendo que
f)
, k ∈ℜ
outros valores
E ( X ) = 0,1 :
Calcule a variância de X.
g) Determine a função de distribuição
h) Calcule
2.
x ∈ [ − 1,1 ]
( FX ( x ) ) da variável aleatória X.
P [ X < 0.5 X > − 0.5 ].
Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição:
0

 2 x 2 − 2
FX ( x ) = 
 30
1

x <1
1≤ x ≤ k
,
k∈ℜ
x≥k
d) Determine o valor de k.
P [ X > 0.5 X < E( X ) ].
e)
Calcule
f)
Calcule a variância de X.
3. Considere três atiradores A, B e C que executam cada um, um tiro para um alvo. A probabilidade
de acertar no alvo é para cada um dos atiradores a seguinte: P A = 0.7 , P B = 0.4 e
( )
( )
P ( C ) = 0.6 . Considere também a variável aleatória X − “nº de projécteis que atingem o alvo”.
i)
Determine a distribuição de probabilidade
j)
Calcule a variância de X .
k) Calcule
P [1 < X ≤ 4 ] .
( p X ( x ) ) de X.
4. Considere a transmissão de uma mensagem com três dígitos através de uma determinada linha e
admita que a probabilidade de ocorrência de erro na transmissão é igual a 0.4 por dígito.
Considere ainda a variável aleatória X − “nº de dígitos errados na mensagem recebida”.
a) Determine a distribuição de probabilidade
( p X ( x ) ) de X.
b) Calcule a probabilidade de haver mais do que um dígito errado na mensagem recebida
c)
Calcule o desvio padrão de X.
5.
O consumo por semana de um determinado produto é uma variável aleatória X cuja função
densidade de probabilidade é a seguinte:
1


5

fX (x ) =  k ( 5 − x )

0


0 ≤ x ≤ 2 .5
2 .5 < x ≤ 5
outros valores
a) Calcule o valor de k.
b) Calcule a função de distribuição acumulada
c)
( FX ( x ) ) da variável aleatória X.
Qual a quantidade de produto que deverá existir em stock no início da semana, de modo que seja
de 0.05 a probabilidade de ruptura no abastecimento.
Folha 3
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1.
A variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade:
P[ X = i ] =
k
2i
i = 1, 2, 3,...
a) Calcule o valor da função de distribuição acumulada nos pontos 1,2 e 4.
b) Seja Y uma nova variável aleatória tal que:
2

Y = 3
5

Calcule a função de probabilidade
X<3
3≤ X≤6
X>6
( p Y ( y ) ) da variável aleatória Y.
P [ X < 5 X > 2 ].
c)
Calcule
2.
Considere uma variável aleatória Z com a seguinte função densidade de probabilidade:
f Z ( z ) = 3 −k z
z ≥ 0 ∧ k ∈ℜ
a) Calcule o valor de k.
b) Calcule
c)
P[ Z ≥ 2 ].
Seja Y = 4 Z − 16 . Calcule a função densidade de probabilidade
variável aleatória.
2
( fY ( y ) )
3. Uma variável aleatória contínua tem função densidade de probabilidade dada por:
 2k x
fX ( x ) = 
 8k − 2k x
x ∈[ 0, 2 ]
x ∈[ 2, 4 ]
a) Calcule o valor médio e a variância de X.
b) Se
Y = ( X − 1) qual a função densidade de probabilidade de Y?
2
k>0
para esta
4. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
 1 −x −θ
2

fX ( x ) =  2 e

0
se x > 0
θ≥0
se x ≤ 0
a) Prove que o valor médio de X é θ + 2 .
b) Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y =
( )
θ−X
.
2
c) Sabendo que E X 2 = θ 2 + 4 ( θ + 2 ) , calcule a variância de Y.
5. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
 2x

f X ( x ) =  π2
 0
0<x<k
k ∈ℜ
outros valores
a) Calcule o valor de k.
b) Seja Y = sen
aleatória.
c)
( X ) . Calcule a função de distribuição acumulada ( FY ( y ) ) para esta variável
Calcule o valor médio de Y.
Folha 4
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1.
De um grupo de três Sociais-democratas, dois Socialistas e um Independente, seleccionaram-se
aleatoriamente duas pessoas para constituir uma comissão. Seja:
X = { número de Sociais − democratas na comissão }
Y = { número de Socialistas na comissão }
Determine:
a) A função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional
b) A função de probabilidade de X condicionada por Y = 1 , isto é, p X
( X,Y ) .
Y =1
( x i 1).
( cov( X, Y )) .
c)
A covariância de X e Y
2.
De um grupo de três Sociais-democratas, dois Socialistas e um Independente, seleccionaram-se
aleatoriamente duas pessoas para constituir uma comissão. Seja:
X = { número de Sociais − democratas na comissão }
Y = { número de Socialistas na comissão }
Determine:
a) A função de distribuição conjunta da variável aleatória bidimensional
b) A função de distribuição de Y
( X,Y ) .
( FY (y) ) .
c)
Estude a independência entre X e Y.
3.
Seja X , Y uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade
de probabilidade conjunta:
(
)
 k x y ; 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1
f XY ( x , y ) = 
; outros valores
 0
k ∈ℜ
a) Calcule o valor de k.
b) Determine a função de distribuição conjunta da variável aleatória bidimensional
c)
Calcule
P ( X ≤ 1 2 , Y ≤ 3 4) e P ( X ≤ 3 4 Y ≥ 1 2 ) .
( X,Y ) .
4.
(
)
Seja X , Y uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade
de probabilidade conjunta:
 4x y ; 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1
f XY ( x , y ) = 
; outros valores
 0
k ∈ℜ
a) Determine as funções densidade de probabilidade de X e Y, dados Y = y e X = x ,
respectivamente, isto é, f X
b) Determine
c)
Y=y
(x y )
e fY
X=x
( y x ).
P ( X ≤ 1 2 Y ≥ 3 4 ).
Calcule o coeficiente de correlação de X e Y
( ρ X Y = corr( X, Y ))
e verifique a
independência das variáveis aleatórias X e Y.
5.
(
)
Seja X , Y uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade
de probabilidade conjunta:
 2 ; 0 < x < y , 0 < y <1
f XY ( x , y ) = 
; outros valores
0
a) Determine as funções densidade de probabilidade marginal de X e Y, respectivamente, f X
e fY y .
( )
b) Determine
c)
Calcule a
E [ X Y = y ] e E [ Y X = x ].
P ( 2X − Y ≥ 0 )
(x)
Folha 5
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1.
Considere três lançamentos de uma moeda equilibrada e seja Xi = {número de faces no i-ésimo
lançamento}, i = 1, 2, 3. Nestas condições determine:
a) A função de probabilidade conjunta do vector aleatório X = ( X1 , X 2 , X 3 ) .
b) A função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional
c)
Considere agora duas novas variáveis
Y1 = X1 + X 2 + X 3
Y1 e Y2 tais que:
Y2 = X 3 − X 2
e
e determine a função de probabilidade conjunta do par aleatório
2.
(
( X1 , X 2 ) .
( Y1 , Y2 )
)
Seja X , Y uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade
de probabilidade conjunta:
k
f XY ( x , y ) = 
 0
;
0 < x < 4 , 0 < y <1
; outros valores
k ∈ℜ
a) Calcule o valor de k.
b) Calcule
c)
E (Y X ).
Sendo Z = e
X+Y
calcule a função densidade de probabilidade de Z.
3. Considere uma variável aleatória bidimensional (X,Y) cujo espaço amostral está representado na
figura. Sabendo que a função de densidade de probabilidade conjunta é:
K1,
fXY (x,y)=K ,
Y

a)
1
2
-1≤y<0
0≤y<1
e que Prob(Y≥0)=0,3
Determine os valores de K1 e K2
b) Calcule Prob(X<0)
-1
1
-1
X
c)
Determine a f.d.p. de R= X2+Y2
d) Determine a curva de regressão E(X |Y = y)
4. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional com a seguinte função densidade de probabilidade
conjunta:
k (1 − x − y )
f XY ( x , y ) = 
0

x > 0 ∧ y > 0 ∧ x + y <1
;
;
outros valores
a) Determine o valor de k ( k ∈ ℜ ).

X
b) Calcule a P  Y >
2


X<
2
3

 (indique claramente os limites de integração).

1 
Determine E  X Y =  .
4

d) Obtenha a função densidade de probabilidade
que Z = Y − X e W = Y + X .
Nota: Indique o domínio de variação das novas variáveis.
c)
conjunta
do
par
(Z,W)
em
5. A função densidade de probabilidade conjunta para o tempo de vida de dois tipos diferentes de
componentes que fazem parte de um certo sistema é da forma seguinte:
1
1
− (x + y)
 xe 2
; x >0, y>0
f XY ( x , y ) =  8

0
; outros valores
a)
Determine as funções densidade de probabilidade marginais para X e Y, respectivamente
f X x e f Y y e tire conclusões quanto à dependência ou independência dessas variáveis.
b)
Determine
c)
Calcule a função densidade de probabilidade da eficiência relativa dos dois componentes,
( )
( )
E [ Y X = x ].
sabendo que ela é medida à custa de Z =
Nota:
Y
.
X
∫ u dv = u v − ∫ v du
Nota: A matéria respeitante às alíneas 2c), 3c), 4d) e 5c) não será sujeita a avaliação.
Folha 6
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1.
Considere o lançamento de um dado em que o jogador ganha se ocorrer o acontecimento A,
definido como A = 1, 2 .
{ }
a) Qual a probabilidade de em 12 lançamentos se verificar o acontecimento A, 4 vezes.
b) Se cada vez que ocorrer A o jogador ganhar 2 u.m. e cada vez que isso não acontecer ele tiver
que pagar 1 u.m., verifique se em média o jogador vai ter lucro ou prejuízo com esse jogo.
c)
Qual a probabilidade de o jogador precisar de lançar o dado 4 vezes para ocorrer A?
d) Qual a probabilidade de precisar de lançar o dado 4 vezes para que A ocorra pelo menos 2 vezes?
e)
Qual a probabilidade de precisar de jogar o dado 5 vezes para que o acontecimento A ocorra 2
vezes seguidas?
f)
Se um dado acontecimento designado por B tiver probabilidade de ocorrência constante e igual a
10 − 4 e se o jogo for efectuado 3 ×10 4 vezes, nas mesmas condições, qual a probabilidade de o
acontecimento B ocorrer pelo menos 3 vezes?
2.
O número de petroleiros que chegam em cada dia a uma determinada refinaria pode ser
representado por uma variável aleatória de Poisson com média igual a 2. As actuais instalações
do porto permitem atender três petroleiros por dia. Se acontecer que mais de três navios
pretendam entrar no porto, os excedentes deverão seguir para outro porto alternativo. Nestas
condições determine:
a) A probabilidade em certo dia ser necessário enviar petroleiros para outro porto.
b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações actuais para permitir manobrar todos os
petroleiros que chegam ao porto em aproximadamente 90% dos dias.
c)
Qual o número esperado e o número mais provável de petroleiros que chegam por dia. Justifique
devidamente a sua resposta.
d) Qual o número esperado de petroleiros que são atendidos diariamente.
e)
Qual o número esperado de petroleiros que terão de dirigir-se diariamente a um porto alternativo.
3. Num armazém estão preparadas 500 embalagens de um produto para distribuição, das quais
exactamente 50 estão deterioradas. Fez-se uma inspecção sobre uma amostra de 10 embalagens
escolhidas ao acaso com reposição.
a) Qual a probabilidade de que a inspecção rejeite o lote, sabendo que só são admitidas no máximo,
3 embalagens deterioradas por lote?
b) Que dimensão deve ter a amostra para que a probabilidade de rejeição seja aproximadamente
igual a 5%?
c)
Repita as alíneas anteriores supondo que a amostra é recolhida sem reposição e compare os
resultados.
4. Dois jogadores A e B vão jogar uma partida de ténis constituída por 3 sets. Sabendo que:
• Os resultados dos sets são independentes;
• A probabilidade do jogador A ganhar um qualquer set é
p A = 0,6 .
a) Calcule a probabilidade do jogador A ganhar uma partida de 3 sets em que estes são sempre
jogados independentemente do evoluir do resultado.
b) Calcule a probabilidade do jogador A ganhar uma partida “à melhor de 3”, isto é, uma partida
que termine logo que um jogador ganhe dois sets.
c)
Qual o valor esperado do número de sets de uma partida jogada “à melhor de 3”.
5. Dois jogadores A e B vão jogar uma partida de ténis constituída por 3 sets. Sabendo que:
• Os resultados dos sets são independentes;
• A probabilidade do jogador A ganhar um qualquer set é
p A = 0,6 .
a) Calcule a probabilidade do jogador B ganhar pelo menos 3 partidas num conjunto de 6 em que
cada partida é constituída por 3 sets em que estes são sempre jogados independentemente do
evoluir do resultado.
b) Quantos sets será necessário jogar, em média, para que o jogador B ganhe um?
c)
Admita agora que, por cada set ganho pelo jogador A, este recebe de B uma quantia de 100
euros. Quanto é que A deve pagar a B por cada set ganho por este jogador para que, numa
partida constituída por n sets, ambos tenham um lucro esperado de 0 (zero) euros?
Folha 7
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1.
Numa certa zona industrial trabalham 10000 operários. O seu salário tem distribuição normal,
admitindo-se que metade deles ganhe menos de 200 u.m. e que 4% deles ultrapassem as 217,5
u.m.. Nestas condições calcule:
a) A percentagem de operários que ganham mais de 230 u.m..
b) O melhor salário no grupo dos 2000 operários pior pagos.
c)
O menor salário no grupo dos 1000 operários melhor pagos.
d) A probabilidade de que em 10 operários, seleccionados aleatoriamente, haja 6 que ganhem mais de
202,5 u.m..
2.
Os acidentes que ocorrem numa empresa de construção civil são estatisticamente independentes
e o número de acidentes tem uma distribuição de Poisson com média de 6 por mês. Considere a
variável aleatória T que representa o intervalo de tempo entre acidentes consecutivos. Suponha
que o estaleiro está em laboração contínua.
a) Identifique a distribuição de T.
b) Qual a probabilidade de não ocorrerem acidentes na próxima semana?
c)
Qual a probabilidade de ocorrerem acidentes em, pelo menos, 3 das próximas 6 semanas?
3.
Em determinada linha de fabrico uma máquina enche sacos de adubo. O peso de cada saco
obedece a uma lei normal com média 10kg e desvio padrão 0,5kg. À medida que os sacos são
cheios, são empilhados em grupos de10 num tabuleiro mecânico que os transporta para o
armazém de expedição. Todavia, o tabuleiro não suporta pesos superiores a 103kg; quando tal
acontece, ele não arranca e os sacos desperdiçam-se. Por outro lado, se o peso dos sacos for
inferior a 96kg o tabuleiro ganha velocidade excessiva, deixando cair um saco pelo caminho.
a) Seleccionados aleatoriamente 10 sacos na linha de fabrico, determine a probabilidade de haver
pelo menos dois com peso superior a 9,75kg.
b) Qual a probabilidade de o tabuleiro não arrancar?
c)
Suponha que por cada saco que se enche na linha de fabrico e que não chega ao armazém, a
empresa tem um prejuízo de 5u.m.; por cada saco que chega, um lucro de 1u.m.. Qual o lucro
esperado num dia de laboração, sabendo que a linha de fabrico enche 1000 sacos.
4. O tempo de vida de um componente electrónico é uma variável aleatória distribuída
exponencialmente com média igual a 2 anos.
a) Se ao fim de 2 anos esse componente estiver ainda em funcionamento, por quanto mais tempo
em média é que esse componente irá ainda funcionar?
b) Suponha que esse componente é parte vital de um sistema devendo ser imediatamente
substituído se avariar e que existem r − 1 = 4 exemplares de reserva. Mostre que o tempo de
vida do sistema (até não ser possível substituir um componente avariado) tem distribuição Gama
com parâmetros λ e r G r , λ . Qual o valor esperado para o tempo de vida do sistema? Qual
a probabilidade do sistema durar mais de 8 anos?
( (
))
Nota:
•
(
Sejam X1 ~ G r1 , λ
(
)e
(
X 2 ~ G r2 , λ
)
)
v.a. independentes então temos
que: X1 + X 2 ~ G r1 + r 2 , λ .
•
c)
P[ " G ( r , λ )" ≤ x ] = P[ " Po ( λ x )" ≥ r ]
Suponha que um sistema contém n = 5 desses componentes funcionando independentemente e
que avaria assim que um dele falhar. Mostre que a duração de vida (T) de tal sistema tem
distribuição exponencial. Qual é o seu valor esperado?
Sugestão:
•
[
]
[
]
Calcule P T > t = P T1 > t ∧ T 2 > t ∧ … ∧ T n > t .
5. Suponha que o consumo diário de água, X, numa certa localidade, se distribui segundo uma lei
normal de média 200 m3 e desvio padrão 10 m3. A capacidade do reservatório que apenas
abastece essa zona é de 4240 m3.
Quando o nível de água desse reservatório cai 10% abaixo da sua capacidade é accionado um
sistema de alarme.
a) Qual a probabilidade de, num determinado dia o consumo estar compreendido entre 180 m3 e
235 m3?
b) Ao longo de uma semana (7 dias) qual a probabilidade de haver no máximo três dias com
consumo inferior a 216,45 m3?
c)
Suponha que no início de certo dia a quantidade de água no reservatório se situa 5% abaixo da
sua capacidade; o abastecimento do referido reservatório processa-se nesse dia por uma
quantidade aleatória de distribuição normal de média 100 m3 e desvio padrão 30 m3. Qual a
probabilidade do alarme ser accionado?
Folha 8 e 9
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1. O número médio de disparos de flash que determinado tipo de pilhas assegura (500 para as pilhas
A1 e 420 para as A2) segue uma distribuição aproximadamente normal com σ = 81.
Suponha que a empresa FUTURE importadora do respectivo material recebeu um grande lote de
pilhas para distribuição imediata, mas que desconhece qual o tipo de pilhas em causa, visto que a
respectiva especificação se perdeu.
Foi então decidido testar nove pilhas e classificar o lote em função dos resultados obtidos nesta
amostra. Tendo-se estipulado um nível de significância de 5% e as seguintes hipóteses:
Ho : µ = 500
H1 : µ < 500
Nestas condições:
a) Identifique os erros que podem decorrer da da decisão a tomar. Calcule as suas probabilidades
admitindo que o verdadeiro valor de µ = 420.
b) Se α = 0,01 ( α - probabilidade de um erro de tipo I ) que valor resultará para β ( β probabilidade de um erro de tipo II ) nas mesmas condições da alínea anterior, isto é, admitindo
que o verdadeiro valor de µ = 420 ?
c)
Que decisão tomaria para um nível de significância de 5%, se nas nove pilhas testadas, o número
médio de disparos fosse de 436? E se esse valor fosse igual a 438?
2.
Numa determinada escola a duração das aulas das disciplinas PET e CyberT segue uma
distribuição Normal. Mediu-se a duração em minutos, de algumas aulas dessas disciplinas e
obtiveram-se os seguintes resultados:
PET
78
90
85
92
75
CyberT
67
80
75
83
100
a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a duração média das aulas da disciplina PET.
b) Construa um intervalo de confiança a 99% para o desvio padrão da duração das aulas da
disciplina CyberT.
3.
Uma amostra de 24 elementos de uma população normal apresenta:
24
∑
i =1
24
x i = 1233
∑ x i 2 = 63477
i =1
a) Calcule um intervalo de confiança a 90% para a variância da população.
2
b) Se na distribuição dada tiver µ = 50 e σ = 6, qual a probabilidade de numa amostra de 24
elementos a variância amostral ser inferior a 7,07?
4.
Um fabricante produz peças de diâmetro especificado em 100 mm. Querendo estimar o
verdadeiro diâmetro num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, seleccionou 25 peças ao
acaso, que depois de medidas forneceram os seguintes valores:
25
25
i =1
i =1
∑ X i = 2,53 m
(
∑ Xi − X
2
)
= 384 mm 2
a) Apresente uma estimativa pontual para o diâmetro médio no lote.
b) Admitindo que o diâmetro das peças segue uma distribuição normal, indique uma nova
estimativa para o diâmetro médio no lote, usando um intervalo de confiança a 99%. Que
vantagens resultam da indicação do intervalo de confiança, em relação à estimativa pontual da
alínea anterior?
c)
Quantas peças deveriam ser incluídas na amostra, se se pretendesse aumentar a precisão do
intervalo para 3mm.
Justifique todos os pressupostos admitidos na resolução.
5. Suponha que a intensidade de corrente, em amperes, em determinado circuito é uma variável
aleatória com distribuição normal. Uma amostra aleatória desta variável conduziu aos valores
seguintes:
2,3 ; 1,9 ; 2,8 ; 2,3 ; 3,6 ; 1,4 ; 1,8 ; 2,1 ; 3,2 ; 2,0 ; 1,9
a) Construa um intervalo de confiança a 99% para o valor médio da intensidade de corrente.
b) Construa um intervalo de confiança a 99% para o desvio padrão da intensidade de corrente.
c)
Sabe-se que uma dada percentagem das medidas registadas por esse amperímetro estão afectadas
por um certo tipo de erro grosseiro. Pretende-se estimar essa proporção de medidas através de
um intervalo de confiança a 95%. Que tamanho deverá ter a amostra a recolher caso se pretenda
obter uma margem de erro não superior a 0,05?
6. Um analista político presume que o candidato A possa ter 20% dos votos. Feita uma sondagem,
15 dos 100 inquiridos afirmaram estar decididos a votar no candidato A.
a) Que se pode concluir relativamente à convicção do referido analista, para um nível de
significância de 5%?
b) E se noutra sondagem em que 150 dentre 1000 inquiridos se declararam eleitores de A, qual a
conclusão a tirar? Seria razoável neste caso admitir que a percentagem de votantes no candidato
A será inferior a 20%, para o mesmo nível de significância?
7. Um fabricante de tintas pretende encontrar o tempo médio de secagem de uma nova tinta de
interiores. Testes efectuados sobre 130 áreas de igual dimensão conduziram aos seguintes
resultados (baseados nos tempos de secagem em minutos):
130
∑ x i = 14703 min
i =1
Supondo conhecida a variância dos tempos de secagem, σ 2 = 71,8 min 2 , então:
a) Será de admitir que o tempo médio de secagem é diferente de 100 min, ao nível de significância
de 0,05?
b) Suponha agora que o fabricante de tintas afirmava que o tempo médio de secagem das suas tintas
era inferior a 100 minutos. Com base na informação disponível e para o mesmo nível de
significância, podemos afirmar que ele não ludibriava os consumidores?
c)
O nosso fabricante de tintas é também sócio de uma firma produtora de conservas alimentares. O
departamento de controlo estatístico de qualidade dessa firma especifica que o peso líquido
médio por embalagem de certo produto deve ser de 500 gr, afirmando ainda que os pesos das
embalagens são normalmente distribuídos.
Uma amostra de 20 embalagens revelou um peso líquido médio de 492 gr, com um desvio
padrão de 13,2 gr. Será essa informação amostral suficiente para afirmar que o verdadeiro peso
médio é inferior ao especificado para um nível de significância de 5%?
8.
Considere duas amostras aleatórias independentes, de tamanhos n1 e n2, obtidas de uma
população X com função densidade de probabilidade fX(x), e os seguintes estimadores da média
dessa população:
ˆ = X1 + X 2
Θ
1
2
e
ˆ = 1 + n 1 X1 + n 2 X 2
Θ
2
n1 + n 2
em que X1 e X 2 são respectivamente, as médias da primeira e da segunda amostra. Admita
que n 2 = k n 1 e k ≥ 1 é um número inteiro.
a) Determine o enviesamento de cada um dos estimadores.
b) Determine a variância de cada um dos estimadores.
c)
Compare a variância dos dois estimadores.
d) Determine o erro quadrático médio de cada um dos estimadores.
e)
Compare a eficiência dos dois estimadores quando n 1 = 10 , k = 4 e σ 2 = 1 .
f)
Verifique se os estimadores são consistentes.