Áreas β parte 2 Rodrigo Lucio Isabelle Araújo Área do Círculo Veja o círculo inscrito em um quadrado. 2r Medida do lado do quadrado: 2r. Área da região quadrada: (2r)2 = 4r2. r 2r 2r Então, a área do círculo com raio de medida r é menor do que 4r2. 2r UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2 Área do Círculo Agora observe o mesmo círculo circunscrito a um quadrado. O quadrado tem diagonais de medidas de 2r. Como o quadrado é um caso particular de losango, a área da região quadrada pode ser obtida assim: r r r r ππ . ππ π = πππ π = 2r2 Então, a área do círculo com raio de medida r é maior do que 2r2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3 Área do Círculo Assim, em um círculo com raio de medida r, a área A é tal que: 2r2 < A < 4r2 A área A é obtida pelo produto de um número próximo de 3 por r2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4 Determinação da área circular Temos duas maneiras para determinar a área do círculo. β’ 1ª maneira: Usando círculo dividido em setores. O círculo a seguir foi dividido em um número par de setores circulares que formaram uma figura cujo contorno lembra um retângulo. r r ο°r UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5 Determinação da área circular Onde a área da figura anterior (βretânguloβ), que é também a área do círculo, é A = (ο°r).r ο ο°r2, isto é: A = ο°r2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6 Determinação da área circular β’ 2ª maneira: Usando polígonos regulares Área da região determinada por uma polígono regular é ππ· dado por A = , em que a é a medida do apótema e P é o π perímetro. Analise as figuras a abaixo: a a a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS a r 7 Determinação da área circular À medida que aumentamos o número de lados dos polígonos regulares, a tendência é chegar ao círculo, no qual o apótema passa a ser o raio (r) e o perímetro passa a ser o comprimento da circunferência (2ο°r). Assim, a área do círculo pode ser representada por: ππ π . 2ο° π A= οA= ο A = ο°r2 2 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8 Vamos praticar... Obtenha quantas pessoas cabem, aproximadamente, em uma praça circular de 20m de raio, considerando 5 pessoas por metro quadrado. A = ο°r2 ο A = 3,14 . 202 ο A = 1256 m2 Número aproximado de pessoas = 1256 . 5 Número aproximado de pessoas = 6280 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9 Vamos praticar... Calcule a área da varanda representada na figura abaixo. Analisemos a imagem da seguinte forma: 1,5m 1,5m 3m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10 Vamos praticar... Assim, para obter a área da varanda somamos a área do retângulo e a do semicírculo. Área do retângulo = 3 . 1,5 Área do retângulo = 4,5m2 ο° . (1,5)2 ο° . 2,25 Área do semicírculo = ο ο 7,065 π π π ο 3,5325m2 Área da varanda = 4,5 + 3,5325 ο 8,0325m2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11 Vamos praticar... Um ajudante leva 2 h para limpar o piso de um galpão, de forma circular com 4 m de raio. Se o raio desse galpão fosse 8 m, quanto tempo ele levaria? Calculamos a área dos dois galpões: o 1º com 4 m de raio e o 2º com 8 m de raio. 1º galpão: A1 = ο°42 ο A1 = 16 ο° ο A1 = 50,24m2 A2 = ο°82 ο A2 = 64 ο° ο A2 = 200,96m2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12 Vamos praticar... Para limpar o 1º galpão de 50,24 m² gastase 2 h e para limpar o 2º galpão de 200,96m2 gasta-se um tempo desconhecido de x h. Quanto maior for a área do galpão, maior será o tempo gasto para limpá-lo, têm-se grandezas diretamente proporcionais. Logo: 2 π₯ 50,24 200,96 = x = 8h ο 50,24x = 401,92 ο x = UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 401,92 50,24 ο 13 Vamos praticar... Um terreno tem a forma da figura abaixo. Na figura estão registrados alguns dados do terreno, que nos permite calcular a sua área. Calcule então a área desse terreno. 6m 8m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14 Vamos praticar... Como o terreno é formado por duas figuras sendo elas um triângulo e um semicírculo. Assim, vamos obter a área do triângulo e depois do semicírculo. Área do triângulo = Área do triângulo = 8 .6 2 48 2 6m 8m Área do triângulo = 24m2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15 Vamos praticar... Agora iremos obter a área do semicírculo. Para isso precisamos do raio do semicírculo que é a metade do diâmetro. Onde nesse caso a hipotenusa do triângulo é o diâmetro do semicírculo(D). Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras para obter o diâmetro(D). D2 = 62 + 82 D2 = 36 + 64 D2 = 100 D = 10m Logo o raio do semicírculo é 5m. 6m 8m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16 Vamos praticar... Agora vamos semicírculo: determinar Área do semicírculo = ο° ππ π Área do terreno = 24 + 48 +78,5 2 ο 126,5 2 ο a área do ππο° 2 m π 25ο° 2 ο 48+25ο° 2 ο ο 63,25m2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17 Vamos praticar... O perímetro do quadrado ABCD da figura é 32cm. Calcule a área da região colorida da figura. D C A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18 Vamos praticar... A região colorida representa a diferença entre a área do quadrado e dos quatro setores. Então, vamos calcular a área do quadrado: Através do perímetro do quadrado (P) determinaremos o lado (π), que será usado para a o calculo da área, assim: P = 4 . π ο 32 = 4 . π ο π = 32 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS ο π = 8cm 19 Vamos praticar... Área do quadrado = π 2 ο 82 ο 64cm2 Observando a imagem vemos que o lado (π) equivale a 2r. Assim: D 8 2 8 = 2r ο r = ο r = 4cm r C r r r r A UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS r r r B 20 Vamos praticar... Observe a imagem ao lado: D r r C r r r r A r r ο C r r B π π Vemos que cada setor circular corresponde a da área do circulo, logo os 4 setores representam a área do circulo. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21 Vamos praticar... Área do círculo = ο°r2 ο 16ο°cm2 Região colorida = Área do quadrado Área do círculo Região colorida = 64 - 16ο° Região colorida = 64 β 50,24 ο 13,76cm2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22 Razão de semelhança Duas figuras são semelhantes quando uma é a ampliação da outra. A figura mostra dois quadriláteros semelhantes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23 Razão de semelhança A razão entre duas linhas de figuras semelhantes é denominada de razão de semelhança(k). L1 Lπ =k Lπ UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS L2 24 Razão de semelhança para área A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança(k2). A2 A1 A2 = k2 A1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25 Vamos praticar... A área do triângulo retângulo é de 30cm2. A área de um triângulo retângulo semelhante ao primeiro é de 120cm2. Se a hipotenusa do primeiro triângulo mede 13cm, quanto mede a hipotenusa do segundo triângulo? A razão entre as áreas é: A2 120 2 2 k = οk = ο k2 = 4 ο k = 2 30 A1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26 Vamos praticar... A razão entre as hipotenusas é: hipot2 hipot2 hipot2 k= οk= ο2= ο 13 13 hipot1 hipot2 = 26cm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
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