Matemática
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Teoria e Exercícios
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
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Prof. Ricardo Alves
Matemática
Operações com Números Relativos
Soma ou Adição
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são
contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o
sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o
oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará
implícito que o sinal será o de mais (+).
a)
b)
c)
d)
(+10) + (+2) = +10 + 2 = +12
(+10) + (−2) = +10 − 2 = +8
(−10) + (+2) = −10 + 2 = −8
(−10) + (−2) = −10 − 2 = −12
Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando o primeiro com o
segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última parcela.
(+5) + (−3) + (−7) + (+3) + (+4) =
= (+2) + (−7) + (+3) + (+4) =
= (−5) + (+3) + (+4) =
= (−2) + (+4) = 2
Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas e, em seguida,
somar os dois números de sinais contrários obtidos.
Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:
— soma das parcelas positivas:
— ( +5) + ( +3) + ( +4) = +12
— soma das parcelas negativas:
— ( −3) + ( −7) = −10
— soma de ambos os resultados:
— ( +12) + ( −10) = +2
Subtração ou Diferença
Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do número que está entre
parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.
a)
b)
c)
d)
(+10) − (+2) = +10 − 2 = +8
(+10) − (−2) = +10 + 2 = +12
(−10) − (+2) = −10 − 2 = −12
(−10) − (−2) = −10 + 2 = −8
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números
de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre
à resultados negativos”.
Multiplicação
a)
b)
c)
d)
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(+10) × (+2) = +20
(+10) × (−2) = −20
(−10) × (+2) = −20
(−10) × (−2) = +20
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Divisão
(+10) ÷ (+2) = +5
(+10) ÷ (−2) = −5
(−10) ÷ (+2) = −5
(−10) ÷ (−2) = +5
a)
b)
c)
d)
Potenciação
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de
potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:
→ expoente (n.º de repetições dos fatores iguais)
a p→ base (é o número ou fator em questão)
Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal
da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base.
a)
b)
c)
d)
(+ 2)4 = (+ 2) × (+ 2) × (+2) × (+ 2) = 16
(−2) 4 = (− 2 ) × (− 2) × (− 2) × (− 2) = 16
(+ 2)3 = (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) = 8
(−2)3 = (− 2) × (− 2) × (− 2) = −8
a) Potenciação Seqüencial:
[(2) ] = [4] = 64 ,
2 3
3
que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e
multiplicando-se os expoentes:
2 2×3 = 2 6 = 64
b) Potenciação Escalonada:
3
2
3
2 2 que pode ser entendida como
3
2 2 = 28 = 256
2
, ou seja:
Radiciação
a) Raiz n-ésima de um número:
Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando
a = bn
e ela é representada por
n
a =b
Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas operações exatas, a
radiciação é a operação inversa da potenciação.
Temos então:
⎧O sinal
é o radical
⎪
⎨O número " a" é o radicando
⎪O número " n" é o índice do radical
⎩
Assim sendo
3
9 =3
8=2
porque
32 = 9
23 = 8
porque
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical.
2
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1.º caso
2.º caso
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪4
⎪
⎩
⎧5
⎨5
⎩
⎧(+ 8)2 = +64
+ 64 = ±8 pois ⎨
⎩ (− 8) = +64
⎧(+ 5)4 = +625
+ 625 = ±5 pois ⎨
4
⎩(− 5) = +625
+ 32 = +2 pois (+ 2) = +32
5
− 32 = −2 pois (− 2) = −32
5
Obs.: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de
pedido o valor algébrico do
9
9,
a resposta e simplesmente 3. Agora se for
teremos então ± 3.
Produto e Divisão de Potências de Mesma Base
a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do expoente do
numerador.
a)
1
2
−4
a ×a ×a ×a = a
3
2
3+ 2 − 4 +
1
2
=a
3
2
b8
b)
= b 8 −5 = b 3
b5
x2
= x 2 − 5 = x −3
5
x
I3
d)
= I 3 − ( −4 ) = I 7
I −4
c)
Expoente Nulo
Toda potência de expoente nulo é igual à unidade.
a0 = 1
Observação:
São exceções 0 e ∞ , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de indeterminação.
Expoente Negativo
Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o denominador é a potência com
0
0
o expoente positivo ou seja:
a)
b)
a−n =
1
an
.
1
1
=
4
2 16
1 1
3− 2 = 2 =
3
9
2− 4 =
Obs.:
1ª) Em conseqüência do exposto anteriormente temos:
an =
1
a−n
2ª) Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustração por outro caminho:
3
I
= I3 × I4 = I7
I −4
Expoente Fracionário
Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da fração e cujo radicando é a base
elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
p
q
a = ap
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q
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Determinar os valores algébricos das seguintes operações:
2
a)
8 3 = 3 82 = 3 64 = 4
1
2
b)
16 = 16 = ±4
c)
4
−
1
2
1
=
4
1
2
=
1
1
=±
2
4
Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números
a)
b)
c)
d)
2 000 = 2 × 103
4 000 000 = 4 × 106
0,0003 = 3 × 10−4
0,025 = 25 × 10−3
Produtos Notáveis
Quadrado de um binômio
a)
ou
b)
c)
ou
(a + b) 2 : (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 : (a − b) 2 = (a − b) (a − b) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles
( a + b) ( a − b) :
(a + b) (a − b) = a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2
ou
( a + b) ( a − b) = a 2 − b 2
(a + 5 x )2 = a 2 + 2 (a )(5 x ) + (5 x )2 = a 2 + 10ax + 25 x 2
2
2
2
4
2
2
2
2 2
b) (5 x − 3 y ) = (5 x ) − 2(5 x ) (3 y ) + (3 y ) = 25 x − 30 x y + 9 y
a)
c)
d)
(
x+ y
)(
) ( x) − ( y) = x − y
x− y =
2
2
(2 x + 3 y )3 = (2 x )3 + 3 (2 x )2 (3 y ) + 3 (2 x )(3 y )2 + (3 y )3 =
= 8 x3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3
e)
(x − 2 y )3 = x 3 − 3(x 2 ) (2 y ) + 3(x )(2 y )2 − (2 y )3 =
= x 3 − 6 x 2 y + 12 xy 2 − 8 y 3
Números Primos
Quando um número natural não nulo admite apenas dois divisores naturais distintos ( o nº 1 e o próprio número) será
denominado primo.
Números primos = { 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,...}
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Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
O mínimo múltiplo comum de dois números naturais é o menor elemento encontrado na intersecção entre os conjuntos
múltiplos não nulos desses números.
Na decomposição simultânea o M.M.C. é o produto entre os fatores primos.
12 , 18
6, 9
3, 9
1, 3
1
2
2
3
3
M.M.C. {12,18} = 2.2.3.3 = 36
Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é obtido pela intersecção entre os conjuntos dos divisores
desses números. O maior número natural nesse intersecção é o máximo divisor comum.
Exemplos:
Exemplos:
36
18
9
3
1
2
2
3
3
Portanto
24 2
2 2
6 2
3 3
1
36 = 22.32
Portanto:
24 = 23.31
d(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
d(24) = { 1,2,3,4,6,8,12,24}
d(36) I d(24) ={1,2,3,4,6,12}
Assim temos que M.D.C.{36,24} = 12
Exercícios
01. A soma do antecessor de 49 com o sucessor de 86 é
a) 133
b) 134
c) 135
d) 136
e) 137
02. Qual o valor da expressão
75 – {30 – [20 – (10 – 1 + 6) + 1]}=
a) 41
b) 61
c) 51
d) 63
e) 43
03. O dobro de 8 e o quadrado de 8 são, respectivamente,
a) 16 e 16
b) 16 e 64
c) 64 e 16
d) 64 e 64
e) 16 e 32
04 O valor da expressão ( 2 + 1 . 3 ) 2 é
a) 10
b) 18
c) 25
d) 81
e) 125
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05. A expressão 3 2 + 7 0 - 4 2 é igual a
a) 6
b) -6
c) 26
d) -26
e) 0
8
06. O valor da expressão 5 . 10 . 10
a) 50
3
é
11
b) 5 . 10 5
c) 5 . 10
11
d) 5 . 10 24
15
e) 5 . 10
07. A expressão 10 5 . 10 2 .1 000 é igual a
a) 10 8
b) 10
9
c) 10 10
11
d) 10
15
e) 10
08. O resultado mais simples da expressão
(10 5 .10 2 ) : 10 7 é
a) 0
b) 1
c) 10
d) 100
e) 1000
2
3
09. A expressão (7 .7 )
a) 7
5
é igual a
10
b) 7 11
c) 7
25
d) 7 30
15
e) 7
10. O valor da expressão 2 3 - ( 2 540 : 2 537 ) é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
11. O valor da expressão ( 3 + 5 ) 2 + ( 2 + 1 ) 3 é
a) 25
b) 31
c) 43
d) 61
e) 91
12. O resultado da expressão
( 2 412 : 12 – 8 ) - 1 3 + ( 48 – 6 . 2 ) é
a) 46
b) 98
c) 226
d) 228
e) 289
13. O resultado da expressão {[16 – ( 4 : 4 )] :3} 2 . 2 3 é
a) 8
b) 16
c) 150
d) 200
e) 250
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14. O valor da expressão
a) 1
b) 7
c) 2
d) 5
e) 3
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52 − 42 é
15. Se x = y + 5 e y = 10, então x é igual a
a) 5
b) 15
c) 25
d) 35
e) 50
16. Cinco ônibus partem para uma excursão, cada um levando 39 passageiros. Participam desta excursão :
a) 185 pessoas
b) mais de 200 pessoas
c) menos de 150 pessoas
d) um número inferior a 250 pessoas
e) exatamente 180 pessoas
17.O valor da expressão;
0,04 ÷ 0,09 =
a) 0,023
b)0,666....
c)0,222...
d) 1,5
e) 0,666
18. Distribuí uma certa quantidade de borrachas em 30 caixas, colocando 48 borrachas em cada uma. Se pudesse
colocar 72 dessas borrachas em cada caixa, seriam necessárias:
a) 20 caixas
b) 22 caixas
c) 18 caixas
d) 25 caixas
e) 15 caixas
19.(FCC) A metade de 2100 é:
50
a) 2
100
b) 1
c) 251
99
d) 2
e)150
3a
20.(FCC) Se 5
= 64, o valor de 5-a é:
1
4
1
b)
40
1
c)
20
1
d)
8
1
e)
4
a) −
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21. (FCC) Qual o valor da expressão
2− 2
2 −1
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?
2
1
a)
b)
2
c)2
d)
1
2
2+1
e)
22. Qual é o valor da expressão
a)
3 +1
3 −1
=?
3
2+ 3
b)
c) 3
d) 2
2
e)
23. Um valor equivalente da expressão
a)
b)
c)
d)
e)
2
5
é
23
2
2
5
4
5
2
5
4
2
3
24. se a+b = ab = 10 então o valor de
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 20
25. A expressão
a) 3a2 + 2b2
b) 3a2 + 6ab
2
2
c) 4a + 2b
d) 4a2 + 2ab
2
2
e) 3a + 4ab +b
a b
+ é:
b a
(2a + b )2 − (a − b )2 é equivalente a:
26. Entre os números apresentados nas alternativas, qual é o único que é racional?
a) 2,333...
b) 0,01001000100001...
c)
33
d)
25
2
e)Razão do comprimento de um círculo e seu raio.
27. Sejam X e Y dois números irracionais. A única afirmativa correta é:
a) X + Y é sempre um número irracional.
b) X e Y não são números reais.
c) X . Y é sempre um número irracional.
d) X + Y não é um número real.
e) X + Y pode ser um número racional.
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28. Se 2 +
a) 9
b) 13
c) 81
d) 169
e) 121
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n =11 , então n é igual a
29. Associe V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas:
I) A soma de dois números irracionais poderá ser um número racional.
II) O produto de dois números irracionais poderá ser um número racional.
III) A razão entre dois números racionais poderá ser um número inteiro.
A seqüência que representa a referida associação é
a) V-F-V
b) V-F-F
c) F-V-V
d) F-V-F
e) V-V-V
30. Entre os seguintes números:
a = 0,17171717171717...
b = 0,313113111311113...
c = 0,424224222422224...
d = 0,897638976389763...
e=3
a) nenhum é racional
b) todos são racionais
c) apenas e é racional
d) apenas a, d e e são racionais.
e) apenas b e c são racionais.
31. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. A fração do conjunto de bolas que corresponde às
vermelhas é
5
9
4
b)
9
4
c)
5
a)
d) 1/5
e) 1
32. Numa praça há 56 homens, 24 mulheres e 16 crianças. A fração que representa a quantidade de homens é
a)
b)
c)
d)
e)
5
7
1
4
7
12
5
12
1
3
0
33. O resultado de
50
5
⎛5⎞
+
+ ⎜ ⎟ é
0
6
6
⎝6⎠
a) 0
b)
37
6
c) 3
d)
5
2
e) 1
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34. O resultado de 3 .
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
2
81
+
16
é
3
9
14
14
9
9
4
4
9
7
2
36. O resultado de
a)
25
é
64
15
8
5
24
15
64
75
64
3
5
35. O resultado de
a)
Matemática
1
+
9
1
é
16
1
5
1
25
7
12
5
12
1
7
37. O resultado de
1⎞ 2
⎛
é
⎜1 − ⎟ −
3
⎝
⎠ 9
a) 0
1
3
2
c)
3
4
d)
9
b)
e) 1
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38. O valor da expressão
a)
b)
c)
d)
e)
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1
1
4
.
é
3 10 3
1
5
14
15
4
21
7
30
2
5
2
⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 1⎞
+ ⎟ : ⎜ : ⎟ é
⎝2 2⎠ ⎝4 2⎠
39. O valor da expressão ⎜
a) 16
b)
1
16
c) 32
d)
1
32
e) 8
4
40. O valor da expressão
36 ⎛ 1 ⎞
: ⎜ ⎟ é
25 ⎝ 2 ⎠
48
5
96
b)
5
12
c)
5
24
d)
5
a)
41. Uma fração equivalente a
a)
b)
c)
d)
e)
3
cujo denominador é um múltiplo dos números 3 e 4 é
4
6
8
9
12
15
24
12
16
15
16
42.Quantas garrafas de 2/3 de litro podem ser cheias com 20 litros de água?
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
e) 45
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43. Se 6 garrafas de vinho custam 70 reais, qual deve ser, em reais, o preço de 9 garrafas?
a) 105
b) 110
c) 115
d)120
e) mais que 125
44. Uma cesta pequena de morango pesa 0,35 Kg. Um feirante leva, para vender, 800 dessas cestas. A quantos kg
isso corresponde?
a) 280
b) 70
c) 28
d) 7
e) 5
45. Cada bolacha recheada pesa 0,01 Kg. Essas bolachas são embaladas em pacotes de 20, que são agrupados em
caixas com 100 pacotes. Quantos quilos têm cada caixa?
a) 2
b) 8
c) 10
d) 12
e) 20
46. Qual é a alternativa que representa a fração 9/2 em números decimais?
a) 3,333
b) 4,25
c) 5,01
d) 4,5
e) 45
47. Qual é a alternativa que representa a fração 35/1000 em números decimais?
a) 0,35
b) 3,5
c) 0,035
d) 35
e) 35000
48. Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração?
a) 65/10
b) 65/100
c) 65/1000
d) 65/10000
49. Observe as frações e suas respectivas representações decimais.
I. 3/1000 = 0,003
II. 2367/100 = 23,67
III. 129/10000 = 0,0129
IV. 267/10 = 2,67
Utilizando as igualdades acima, escolha as alternativas corretas?
a) I e II
b) I e IV
c) I, II e III
d) I, II, III e IV
e) II, III e IV
50. Qual é a alternativa que representa a soma dos números decimais 0,65 e 0,15?
a) 0,70
b) 0,77
c) 0,67
d) 1,00
e) 0,80
51. Qual é a alternativa que é igual à subtração do número decimal 242,12 do número decimal 724,96?
a) 48,284
b) 586,28
c) 241,59
d) 482,84
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52. Para comprar um bolo, João deu R$ 9,00, Sílvia R$ 15,00 e Lauro R$ 21,00. Que fração do bolo coube a cada um ?
1
3
1
, Sílvia , Lauro
3
5
4
1
1
7
b) João
, Sílvia , Lauro
5
3
15
1
1
1
c) João
, Sílvia , Lauro
5
3
2
1
2
1
, Sílvia , Lauro
d) João
6
5
4
1
2
1
e) João , Sílvia , Lauro
4
6
5
a) João
53. Uma fração equivalente a
a)
b)
c)
d)
e)
3
cujo denominador é um múltiplo dos números 6 e 4 é
4
6
8
9
12
15
24
12
16
15
16
2 4 3
1
, ,
e
3 5 4
2
2
e o menor é
3
1
e o menor é
2
2
e o menor é
3
1
e o menor é
2
54. Dos números
4
5
4
b) o maior é
5
3
c) o maior é
4
3
d) o maior é
4
a) o maior é
55. (FCC) No esquema abaixo têm-se indicadas as operações que devem ser sucessivamente efetuadas a partir de
um número X, a fim de obter-se como resultado o número 12.
ADICIONAR 39
DIVIDIR POR 4
SUBTRAIR 12
X
MULTIPLICAR POR 3
12
a) primo
b) par
c) divisível por 3
d) múltiplo de 7
e) quadrado perfeito
56. Considere os números
a) X< Z< Y
b) Y<X<Z
c) Y<Z<X
d) Z<X<Y
e) Z<Y<X
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X = 2 700 , Y = 11200
e
Z = 5 300 . Assinale a alternativa correta:
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57. Um pai tem uma caixa de doces para dividir entre seus filhos. Se Luís receber
1
2
2
da caixa, Ari
, Carla
e Lia
8
6
7
1
, então quem vai receber mais doce será
4
a) Lia
b) Carla
c) Ari
d) Luís
58. Colocando os números
a)
b)
c)
d)
e)
14 17
25
,
e
em ordem crescente, obtém-se
3
6
4
25 17 14
,
,
6
3
4
17 14 25
,
,
3
6
4
17 25 14
,
,
6
3
4
25 14 17
,
,
6
3
4
14 25 17
,
,
3 6
4
GABARITO
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
C
C
B
C
B
C
C
B
C
A
E
D
D
E
B
D
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
B
A
D
E
A
B
C
C
B
A
A
C
E
D
B
C
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
B
A
B
C
D
A
E
B
D
B
A
A
E
D
C
B
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
C
E
D
B
A
B
E
A
C
A
2-RAZAO
Denominamos de razão entre dois números a e b (b
≠ 0 ),o quociente
a
b
A palavra razão significa "divisão".
A demonstração acima se lê (a está para b).
Exemplos
•
Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
•
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
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PROPORÇÃO
A Igualdade entre duas razões denomina-se proporção.
a c
= = a.d = b.c
b d
A demonstração acima se lê ( a está para b, assim como c está para d )
Propriedade fundamental – o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Para obter razões equivalentes, basta aplicar a propriedade fundamental, que é a seguinte:
Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão
equivalente à primeira.
Entretanto, por facilidade, usa-se o sinal = e costuma-se dizer razões iguais .
Observe:
:2
x4
:2
:3
x3
2
3
=
x2
4
=
6
x2
6
9
=
8
12
48
60
= ...
x3
=
:2
x4
24
30
=
:2
12
15
=
:3
4
5
Forma irredutível
2 4 6 8
, etc.
, , ,
3 6 9 12
48 24 12 4
,
,
,
60 30 15 5
razões equivalentes
razões equivalentes .
EXERCICIOS
1) (ESAF) Um homem dá um salto de 0,4m para cima, ao mesmo tempo que uma pulga dá um pulo de 400mm. A
razão entre os saltos é:
a) 2
b) 1
c) 3
d) 1/2
e) 4
2) (B. Brasil) Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e
contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?
a) 600
b) 1.000
c) 1.500
d) 1.600
e) 1.800
3) (FURNAS) A razão entre as idades de um pai e seu filho é de 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho nasceu,
qual é a idade do filho?
a) 14
b)16
c) 24
d) 28
e) 35
4) (ESAF) A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai está
para 8, assim como a do filho está para 5 e a do neto está para 2, a idade, em anos, de cada um é, respectivamente:
a) 66, 29, 10
b) 62, 31,12
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c) 56, 37, 12
d) 56, 35, 14
e) 58, 38, 9
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5) (B. Brasil) Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em $ 25.000,00,
então a soma desses capitais é de:
a) $ 75.000,00
c) $ 65.000,00
e) $ 55.000,00
b) $ 40.000,00
d) $ 60.000,00
6) (T.F.R.) Em duas caixas d'água há 6.600 litros de água. Determine as capacidades das caixas, sabendo que as
suas capacidades estão, entre si, como três está para cinco.
a) 3.125 ℓ e 3.475 ℓ
c) 4.225 ℓ e 2.375 ℓ
e) 4.175 ℓ e 2.425 ℓ
b) 4.200 ℓ e 2.400 ℓ
d) 4.125 ℓ e 2.475 ℓ
7) (FURNAS) Para que a fração
4
7
não se altere ao multiplicarmos por 3 seu numerador, quantas unidades devem
ser somadas ao seu denominador?
a) 8
b) 12
c) 14
d) 17
e) 21
8) (UFRJ) A quantia de R$ 6.000,00 foi repartida entre três sócios de modo que Joaquim recebeu 2/5 deste valor,
Carlos recebeu R$ 1.100,00 e Marina, o restante. A razão que representa o quanto do valor total Marina recebeu é:
a) 3/10
b) 5/12
c) 7/12
d) 3/5
e) 5/7
9) (INSS) A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 3/5. Sendo N o número de
funcionários (número de homens mais mulheres), um possível valor para N é:
a) 46
b) 49
c) 50
d) 54
e) 56
10) (TTN) Num mapa, cuja escala é 1/3.000.000, a estrada Belém — Brasília tem 67 cm. Calcular, em km, a distância
real:
a) 2.100
b) 2.010
c) 2.280
d) 1.910
e) 2.233
11) (TTN) Um terreno tem 100 metros de comprimento e está representado numa planta por 10 centímetros. Então
sua escala é de:
a) 1: 1.000
b) 1: 2.000
c) 1: 100
d) 1: 1.500
e) 1: 10.000
12) (TTN) A miniatura de um foguete balístico foi feita na escala 1/400. O comprimento real do foguete é de 116 m. O
comprimento correspondente na miniatura é de:
a) 0,029 cm
b) 4,6 m
c) 2,9 dm
d) 0,34 m
e) 3,44 dm
13) (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m de comprimento é representado, em escala, por um modelo de 3 cm de
comprimento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75 m de altura.
a) 2,8 cm
b) 2,5 cm
c) 2,3 cm
d) 2,0 cm
e) 1,8 cm
14) (T.F.R.) Uma estrada está representada por 15 cm em um mapa de escala 1/20.000. O comprimento real dessa
estrada é:
a) 3 km
b)30 km
c)300 m
d) 3.000 cm
e)30.000 dam
15) (F.A.E. - RJ) A planta de um edifício foi feita na escala 1/250. A área de uma sala de formato retangular, que
nessa planta está representada por 4 cm x 6 cm, é (em metros quadrados):
a) 200
b)100
c) 50
d) 150
e) 250
16) (UNICAMP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:50, as dimensões de uma sala retangular
são 10 cm e 8 cm. Calcular a área real da sala projetada.
a) 40 cm2
b) 20 m2
c) 8 m2
d) 4 m2
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17) (SERPRO) A receita bruta total de uma empresa é diretamente proporcional ao quadrado da terça parte das
quantidades vendidas. Sabe-se que quando são vendidas 6 unidades, a receita bruta total é igual a 40. Assim,
quando se vender 3 unidades, a receita bruta será igual a:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
18) (AT-PI) A receita total de uma empresa é diretamente proporcional ao quadrado da quarta parte das quantidades
vendidas. Sabe-se que quando são vendidas 4 unidades, a receita total é igual a R$ 1.000,00. Assim, quando se
vender 8 unidades, a receita total será igual a:
a) R$ 400,00
b) R$ 440,00
c) R$ 1.400,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 4.400,00
19) (TFC) Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120.
a) 52/68
b) 54/66
c) 56/64
d) 58/62
e) 60/60
20) (TJ) Este concurso se propõe a preencher 110 vagas, cujos salários variam entre R$ 643,48, a ser pago a um
cargo de nível técnico, e R$ 925,00, a ser pago a um profissional de nível superior. Aos candidatos de nível técnico,
foi cobrada uma taxa de inscrição de R$ 32,50 e aos de nível superior, R$ 42,50. A razão entre o preço da inscrição
mais barata e a mais cara é:
a) menor do que a razão entre o menor salário e o maior.
b) maior do que a razão entre o menor salário e o maior.
c) igual à razão entre o menor salário e o maior.
d)um número maior do que 2.
e) um número entre 1 e 2.
Gabarito
1.B
2.C
3.A
4.D
5.E
6.D
7.C
8.B
9.E
10.B
11.A
12.C
13.B
14.A
15.D
16.B
17.A
18.D
19.C
20.B
DIVISAO PROPORCIONAL
1) Dividindo 190 em partes proporcionais a 2, 7 e 10, qual a maior parte obtida?
a) 70
b) 80
c) 90
d) 100
e) 110
2) Dividindo 340 em partes inversamente proporcionais a 2; 3; 5; 10, a menor parte obtida é:
a) 52
b) 48
c) 36
d) 32
e) 30
3) A, B, C constituíram certa sociedade com capitais de $ 180.000,00; $ 220.000,00 e $ 150.000,00, respectivamente.
Ao se desfazer, ela deu prejuízo de $ 68.750,00. A parte nesse prejuízo que coube a A é de:
a) $ 25.000,00
c) $ 22.500,00
e) $ 18.500,00
b) $ 24.000,00
d) $ 20.000,00
4) Na constituição de uma empresa comercial, Daniela e Luiza entraram com os capitais de $ 60.000,00 e $
90.000,00, respectivamente. Após 9 meses, admitiram Rafael na sociedade, com o capital de $ 120.000,00. Se ao fim
dos primeiros 12 meses a empresa apresentou um lucro de $ 13.200,00, qual a parte de Rafael no lucro?
a) $ 3.300,00
c) $ 2.500,00
e) $ 1.100,00
b) $ 3.000,00
d) $ 2.200,00
Exercícios
1) (TRT) As sucessões (-2; x; y + 1) e( z; 5; 8) são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade entre
elas é 120. Então, o valor de x + y - z é:
a) 22
b) 98
c) 22
d) 15
e) -15
2) (PGR) Uma peça de tecido foi dividida em 4 partes proporcionais aos números 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a
peça tinha 232 metros, o comprimento do menor corte foi de:
a) 20m
b) 40m
c) 30m
d) 48m
e) 64m
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3) (ESAF) O TJ do Ceará verificou, em pesquisa de opinião pública, que, em cada 13 eleitores, 5 votam no PFL, 4 no
PMDB, 3 no PT e 1 no PDS. Então, para 6.539.000 eleitores, a distribuição dos votos seria, respectivamente, para o
PFL, PT, PDS e PMDB de:
a) 2.650.000; 1.590.000; 530.000; 2.120.000.
b) 2.515.000; 2.012.000; 1.509.000; 503.000.
c) 265.000; 159.000; 53.000; 212.000.
d) 2.650.000; 2.120.000; 1.239.000; 530.000.
e) 2.515.000; 1.509.000; 503.000; 2.012.000.
4) (ESAF) Um pai deixou para seus filhos uma herança no valor de $ 5.500,00 para ser dividida entre eles na razão
direta do número de dependentes de cada um. Sabendo-se que o primeiro herdeiro tem 2 dependentes, o segundo 3
e o terceiro 5, coube na partilha ao primeiro herdeiro a quantia de $:
a)1.000,00
b)1.100,00
c)1.200,00
d)1.500,00
e)1.650,00
5) (U.M.T) Carlos e João trabalham em Teresópolis. Carlos mora em Petrópolis e João mora exatamente no meio do
caminho entre Petrópolis e Teresópolis. Carlos tem carro e dá carona a João, todos os dias. Eles combinaram
dividir os gastos de combustível, proporcionalmente à distância que cada um percorre. Em um mês em que
gastaram R$ 60,00 em combustível, qual deve ser a contribuição de João?
a)R$10,00
b)R$ 15,00
c)R$20,00
d)R$25,00
e)R$30,00
6) (B. Brasil) Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões proporcionais ao número de carros que
vendem. Se, em uma semana, o gerente pagou um total de $ 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 e 9
carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu?
a)$993,60
b)$808,00
c)$679,30
d)$587,10
e)$500,40
7) (B. Brasil) 165 balas foram distribuídas entre 3 irmãos, cujas idades somadas totalizavam 33 anos. Sabendo-se
que a distribuição foi diretamente proporcional à idade de cada um, que o mais moço recebeu 40 balas e o do meio,
50, calcular suas idades.
a) 6, 13 e 14
c) 3, 12 e 18
e) 8, 10 e 15
b) 7, 9 e 17
d) 6, 11 e 16
8) (PETROBRAS) Um milionário viúvo decidiu repartir sua fortuna entre seus 3 filhos e 2 sobrinhos, de modo que a
parte de cada filho e a de cada sobrinho fosse diretamente proporciona! aos números 5 e 2, respectivamente. A
fração de fortuna que coube a cada sobrinho foi de:
a) 2/7
b) 2/9
c) 2/13
d) 2/15
e) 2/19
9) (F.A.E. - São Gonçalo) Um certo número de documentos foi distribuído entre três fiscais, em partes diretamente
proporcionais a 6, 6 e 9, respectivamente. O primeiro fiscal recebeu 960 documentos. O número de documentos
distribuídos entre os três fiscais corresponde a:
a) 2.880
b) 2.960
c) 3.680
d) 3.840
10) (F.T.U.) Na divisão de 115 em três partes diretamente proporcionais a 0,5; 2 e 3 1/4 a maior das três partes
equivale a:
a) 36
b) 48
c) 52
d) 65
e) 92
11) (CVM) Uma partida de 15 dúzias de canetas deve ser repartida por 3 seções, proporcionalmente ao número de
seus funcionários. Na primeira secão há 20 funcionários; na segunda há 3/4 do número de funcionários da primeira
e na terceira 2/3 do número de funcionários da segunda. A secão de maior número de funcionários recebe um total
de:
a)80canetas
b)100canetas
c)20canetas
d)60canetas
e)40caretas
12) (PETROBRAS) Dividindo-se $ 3.800,00 em partes inversamente proporcionais a 1, 3 e 4, a menor parte
corresponderá a:
a)$475,00
b)$520,00
c)$600,00
d)$620,00
e)$650,00
13) (C.N.) Dividindo-se 5/6 em partes inversamente proporcionais a 6, 3/2, 4/3 e 2,uma das partes NÃO é:
a) 1/15
b) 2/15
c)4/15
d) 3/10
e) 1/5
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14) (TELERJ) Dividindo R$ 66.000,00 em panes inversamente proporcionais a 1, 2 e 3, a maior parte corresponderá
a:
a) R$24.000,00
c) R$36.000,00
e) R$66.000,00
b) R$33.000,00
d) R$44.000,00
15) (TRT) Certa quantia foi dividida entre duas pessoas, em partes inversamente proporcionais a 7 e 15. Sabendo
que a diferença entre as partes é de 160,00, o valor, em reais, da menor parte é de:
a) 160,00
b) 120,00
c) 260,00
d) 240,00
e) 140,00
16) (TRF) O juiz da 99ª Vara resolveu distribuir 3.800 processos entre 3 auxiliares em parcelas inversamente
proporcionais ao tempo de serviço de cada um, Antonio tem 25 anos de serviço, Bernardo, 20 e Carlos, 10. O
número de processos que Bernardo recebeu é Igual a:
a) 800
b) 1.000
c) 1.200
d) 1.400
e) 1.600
17) (TTN) Um prêmio de $ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de
forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas
foram 1, 2, 2, 3 e 5? ($)
a) 60.000,00; 30.000,00; 30.000,00; 22.000,00; 10.000,00
b) 60.000,00; 30.000,00; 30.000,00; 20.000,00; 12.000,00
c) 58.100,00; 35.800,00; 23.200,00; 23.200,00; 11.700,00
d) 42.000,00; 40.000,00; 40.000,00; 20.000,00; 10.000,00
e) 40.000,00; 38.000,00; 38.000,00; 24.000,00; 12.000,00
18) (TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que
chegarem ao seu estabelecimento, dividindo $ 507.000,00 em partes inversamente proporcionais a 9/4, 5/3 e 1,2.
Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será de:
a) $ 110.000,00
c) $ 225.000,00
e) $ 120.000,00
b) $ 118.905,54
d) $ 222.947,88
19) (T.F.R) Paulo, António e Francisco ganharam juntos o prêmio da loteria esportiva, que foi dividido em partes
inversamente proporcionais aos números 1/2; 0,25 e 0,75, respectivamente. Sabendo-se que Paulo recebeu $ 30,00
mais do que Francisco, o total do prêmio rateado foi de $:
a) 300
b) 310
c) 320
d) 330
e) 350
20) (AG. ADM-RJ) Uma escola recebeu 6.900 kg de mantimentos e dividiu-os entre os seus três turnos,
proporcionalmente à quantidade de alunos de cada turno. Se há, respectivamente, 230, 150 e 80 alunos em cada
turno, a parte de mantimentos que coube ao terceiro turno é, em kg, igual a:
a) 1.000
b) 1.200
c) 1.500
d) 1.600
e) 1.800
21) (FURNAS) Dividindo-se um terreno em 3 lotes proporcionais a 3, 4 e 6, o menor lote será 360m2. A área total do
terreno, em m2, corresponde a:
a) 720
b) 780
c) 1.170
d) 1.560
e) 1.800
22) (AG. ADM-RJ) O pai de Guilherme, Alexandre e Hélio comprou uma caixa com 145 bolas de gude e resolveu
dividi-las proporcionalmente às idades dos filhos. Se as idades são, respectivamente, 8, 10 e 11 anos, a quantidade
de bolinhas que coube a Hélio é igual a:
a) 42
b) 45
c) 52
d) 55
e) 60
23) (MAG-RJ) Guilherme e Luiza compraram um bilhete de loteria para o qual contribuíram com R$ 5,00 e R$ 2,00,
respectivamente. Se o premio de R$ 105.000,00 for dividido proporcionalmente à contribuição de cada um, a parte
que caberá à Guilherme, em reais, será de:
a) 49.000,00
c) 56.000,00
e) 35.000,00
b) 60.000,00
d) 75.000,00
24) (MAG-RJ) Em um concurso literário, o prêmio de 21 livros deve ser dividido proporcionalmente ao número de
pontos recebidos pelos três primeiros colocados. Se os candidatos A, B e C conseguiram 72, 84 e 96 pontos,
respectivamente, a quantidade de livros que recebeu o primeiro colocado foi:
a) 21
b) 8
c) 15
d) 12
e) 10
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25) (BACEN) No mês de agosto, 132 processos deram entrada num certo setor para serem examinados e foram
divididos entre dois técnicos, em quantidades inversamente proporcionais aos seus tempos de serviço no setor. Se
o primeiro trabalha há três anos e o segundo há dois anos e meio, a quantidade de processos que coube ao
primeiro é:
a) 48
b) 56
c) 60
d) 72
e) 84
26) (PGR) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de 7.680.000
litros, são proporcionais, respectivamente, aos números 10, 6 e 2; nessas condições, a medida da largura desse
depósito é de
a) 8m
b) 12m
c) 40m
d) 16m
e) 24m
27) (TTN) Duas pessoas devem dividir entre si a importância de $ 180.000,00. A primeira pretende receber 2/3 da
importância total e a segunda acha que tem direito a receber $ 72.000,00. Por fim concordaram em dividir a
importância total proporcionalmente às respectivas pretensões. Quanto recebeu cada uma?
a) $ 120.000,00 e $ 60.000,00
b) $ 115.500,00 e $ 64.500,00
c) $ 112.500,00 e $ 67.500,00
d) $ 108.000,00 e $ 72.000,00
e) $ 96.000,00 e $ 84.000,00
28) (B. Brasil) Na repartição de um prêmio, a parte correspondente a Fábio foi de $ 28.800,00. Se ele gastou $ 24,00 e
os outros 3 ganhadores $ 26,00, $ 28,00 e $ 32,00, respectivamente, qual era o valor do prêmio ?
a) $ 131.200,00
c) $ 132.000,00
e) $ 138.400,00
b) $ 131.500,00
d) $ 133.500,00
29) (B. Brasil) Certa herança foi dividida de forma diretamente proporcional às idades dos herdeiros, que tinham 35,
32 e 23 anos. Se o mais velho recebeu $ 525.000,00, quanto coube ao mais novo?
a) $ 230.000,00
c) $ 325.000,00
e) $ 350.000,00
b) $ 245.000,00
d) $ 345.000,00
30) (BANERJ) Repartiu-se certa quantia entre Adriana, Fabiana e Marcelo em partes proporcionais a 3/4; 4/5 e 3/8,
respectivamente, Adriana recebeu $ 8.000,00 menos do que Fabiana. A quantia recebida por Marcelo corresponde
a:
a) $ 72.000,00
c) $ 60.000,00
e) $ 48.000,00
b) $ 64.000,00
d) $ 50.000,00
31) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo
proporcionais diretamente a 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/9 e 2/21. Quantas balinhas cada criança receberá?
a)27e108
b)35e100
c) 40 e 95
d)25e110
e)30e105
32) (TTN) A família A, de cinco pessoas, e a família B, de quatro pessoas, combinaram passar as férias numa casa
de campo, com despesas em comum, distribuídas de acordo com o número de pessoas de cada uma. Terminadas
as férias, verificou-se que a família A gastara $ 842.400,00 e a família B, $ 934.200,00, razão pela qual tiveram de
fazer um acerto de contas. Que quantia a família A teve que dar à família B?
a) $ 91.800,00
b) $ 144.600,00
c) $ 197.400,00
d) $ 240.000,00
e) $ 475.200,00
33) (BEMCE) Duas pessoas A e B constituíram uma sociedade comercial, nas seguintes condições: A contribuiu
com 5/8 do valor do capital e B com o restante. Se o lucro de $ 12,8 milhões deve ser repartido entre eles, a parte
que caberá a B é:
a) $ 5,8 milhões
c) $ 4,8 milhões
e) $ 4 milhões
b) $ 5,2 milhões
d) $ 4,2 milhões
34) (TTN) Duas pessoas formaram sociedade comercial. A primeira empregou $ 90.000,00 e a segunda $ 110.000,00.
No fim de um ano, o lucro da sociedade foi de $ 480.000,00. A parte de cada uma no lucro obtido foi,
respectivamente, de$:
a) 210.000,00 e 270.000,00
b) 226.000,00 e 254.000,00
c) 216.000,00 e 264.000,00
20
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d) 220.000,00 e 260.000,00
e) 196.000,00 e 284.000,00
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35) (B. Brasil) Os sócios A e B constituíram uma empresa. Entraram cada um com o capital de $ 78.000,00 e $
152.000,00, respectivamente. Após 1 ano de atividade lucraram $ 46.000,00. Quanto coube ao sócio A?
a) $ 15.200,00
c) $ 15.750,00
e) 30.400,00
b) $ 15.600,00
d) $ 16.500,00
36) (TFC) Uma sociedade constituída por três pessoas dissolve-se com um lucro de R$ 23.000,00. Sabendo-se que
o primeiro sócio entrou com R$ 21.000,00, o segundo com R$ 11.000,00 e que do lucro coube ao terceiro sócio a
importância de R$ 15.000,00, pergunta-se: a contribuição do terceiro sócio na constituição da sociedade foi de R$:
a) 30.000,00
c) 60.000,00
b) 40.000,00
d) 70.000,00
e) 80.000,00
37) (UFLa) Dois sócios tiveram lucro de R$ 9.000,00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 20.000,00 e o
segundo com R$ 25.000,00. O lucro de cada sócio foi, respectivamente:
a)R$4.250,00e R$ 4,750,00
d)R$4.500,00e R$ 4.500,00
b)R$ 4.000,00eR$ 5.000,00
e)R$3.500,00e R$ 5.500,00
c)R$3.000,00e R$ 6.000,00
38) (TTN) Distribuir o lucro de $ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo-se que o primeiro aplicou $
80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou $ 20.000,00 durante 11 meses:
a) $ 18.000,00 e $ 10.200,00
d) $ 18.200,00 e $ 10.000,00
b) $ 21.000,00 e $ 7.200,00
e) $ 21.600,00 e $ 6.600,00
c) $ 20.000,00 e $ 8.200,00
39) (T.R.F.) Uma empresa foi constituída com o capital de dois sócios. O primeiro participou com $ 500,00 e o
segundo com $ 300,00. Sabendo-se que na distribuição do lucro anual coube ao sócio majoritário $ 30,00 a mais do
que ao outro, o lucro auferido pelo sócio minoritário foi de $:
a) 30,00
b) 35,00
c) 40,00
d) 45,00
e) 50,00
40) (T.C.) Três sócios empregaram num negócio 300 milhões de unidades monetárias e obtiveram de lucro,
respectivamente, 20, 25 e 30 milhões de unidades monetárias. O primeiro sócio empregou no negócio, em milhões
de unidades monetárias, o seguinte valor:
a) 80
b) 90
c) 100
d) 120
41) (TTN) Certa sociedade constituída por 3 sócios, com o capital de $ 180.000,00, teve $ 25.200,00 de lucro.
Sabendo-se que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o
restante, determinar o lucro de cada sócio.
a) $ 8.200,00; $ 8.500,00 e $ 8.500,00
b) $ 9.000,00; $ 10.200,00 e $ 6.000,00
c) $ 8.400,00; $ 10.080,00 e $ 6.720,00
d) $ 9.200,00; $ 10.000,00 e $ 6.000,00
42) (UFMG) Dois empresários, A e B, investiram um total de $ 490.000,00 em uma fábrica. Todo o lucro da fábrica é
dividido, entre os dois, proporcionalmente ao capital empregado. Se o lucro de A foi de $ 15.000,00 e o de B de $
20.000,00, a diferença entre os capitais investidos, em milhares, foi de:
a) $ 5
b) $ 70
c) $ 110
d) $ 210
e) $ 262
43) (TTN) João e Paulo constituíram uma empresa. João contribuiu com $70.000,00 e Paulo com $ 30.000,00.
Sabendo-se que na distribuição do lucro apurado João recebeu $ 25.600,00 mais do que Paulo, o lucro da empresa
foi de $:
a)60.000,00
b)62.000,00
c)64.000,00
d)65.000,00
e)66.000,00
44) (TTN) João, Pedro e Saulo formaram uma sociedade. Após certo prazo, a empresa apresentou um lucro de $
36.000,00. Na repartição do lucro, coube a Pedro $ 6.000,00 a mais do que João e Saulo recebeu $ 6.000,00.
Sabendo-se, ainda que o capital de Pedro era $ 60.000,00 superior ao de Saulo, o capital total da empresa era de:
a) $ 180.000,00
c) $ 210.000,00
e) $ 220.000,00
b) $ 200.000,00
d) $ 216.000,00
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Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
45.
B
B
E
B
C
A
E
E
C
D
A
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
C
B
C
E
B
B
E
D
B
D
D
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
D
B
C
E
C
C
D
C
A
B
C
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
C
B
C
B
E
D
A
D
B
C
A
03-REGRAS DE TRÊS SIMPLES
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Duas grandezas são ditas proporcionais se existir uma proporção entre suas variações.
Grandezas:
– diretamente proporcionais: ↑↑ ou ↓↓
(setas no mesmo sentido)
– inversamente proporcionais: ↑↓ ou ↓↑
(setas em sentidos inversos)
Regra prática:
1a) identificar as grandezas envolvidas;
2a) localizar a incógnita (x);
3a) definir uma seta ( ↑ ou ↓ ) para a grandeza na qual se encontra a incógnita;
4a) comparar cada grandeza com aquela em que se encontra a incógnita.
APLICAÇÕES
01. Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$ 120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?
RESOLUÇÃO
02. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
RESOLUÇÃO
REGRA DE TRES COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, diretas ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
01. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários
3
para descarregar 125 m ?
Resolução
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02. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por
4 homens em 16 dias?
Resolução
Exercícios
1) (CPRM) Um ônibus faz 2/3 de uma viagem em três horas. Em quanto tempo ele fará 4/9 dessa viagem?
a) 1 h
b) 2 h
c) 3 h
d) 4 h
e) 5 h
2) (TELERJ) Em uma hora, 4 máquinas produzem 1.200 parafusos. Nesse mesmo tempo, 3 máquinas produzirão
quantos parafusos?
a) 800
b) 900
c) 1.000
d) 1.100
e) 1.600
3) (MAG-RJ) Uma pessoa caminha à razão de 0,8m por segundo. Para esta pessoa percorrer 1,92 km, o tempo
necessário, em minutos, é igual a:
a) 40
b) 60
c) 72
d) 80
e) 108
4) (TRF) Dona Margarida toma remédios para osteoporose que só são encontrados nos Estados Unidos. Quando a
cotação do dólar era R$ 1,20, ela gastava R$ 240,00 por mês com os remédios. Quando o dólar estiver cotado a R$
1,95, Dona Margarida vai gastar por mês para comprar esses remédios:
a)R$350,00
b)R$360,00
c)R$370,00
d)R$380,00
e)R$390,00
5) (TTN) Quanto tempo levariam 10 homens para furar um buraco que 40 homens furaram em 80 horas?
a) 160 horas
b) 180 horas
c) 320 horas
d) 640 horas
6) (CVM) 5 homens constroem uma casa em 20 dias. Quantos dias levariam 10 homens nas mesmas condições para
construir a mesma casa?
a) 15 dias
b) 12 dias
c) 10 dias
d) 8 dias
7) (TELERJ) Numa fábrica de aparelhos telefónicos, 8 robôs fazem um trabalho em 24 horas. Qual o tempo gasto por
6 robôs para fazerem o mesmo serviço?
a) 40 h
b) 32 h
c) 30 h
d) 29 h
e) 18 h
8) (TTN) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, asfalta uma estrada em 85 dias. Admitindo-se que a
jornada de trabalho fosse prorrogada em 2 horas, o número de dias em que a equipe realizaria a mesma tarefa seria
de:
a) 68
b) 70
c) 73
d) 75
e) 76
9) (TELERJ) 12 empregados, trabalhando 6 horas por dia, conseguem responder a toda correspondência de uma
firma. Se trabalhassem 8 horas por dia, quantos empregados seriam suficientes?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
10) (B. Brasil) Numa viagem, um automóvel consumiu 18 t de gasolina, o que representou uma média de 11 km por
litro. Quantos litros de gasolina gastará uma moto para fazer o mesmo percurso se a sua média é de 33 km por
litro?
a) 5
b) 6
c) 9
d) 10
e) 12
11) Um relatório foi datilografado em 20 folhas, contendo, cada folha, 18 linhas. Para que o relatório seja reduzido
a 15 folhas, cada folha deverá conter:
a) entre 15 e 18 linhas
c) 24 linhas
e) 14 linhas
b) de 18 a 20 linhas
d) 13 linhas e meia
12) Um motorista viajando a uma velocidade média de 100 km/h percorre um certo trajeto em 6 horas. Na volta, ao
manter uma velocidade média de 80 km/h, ele faz o mesmo percurso no seguinte número de horas:
a) 7,0
b) 7,5
c) 8,0
d) 8,5
e) 9,0
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13) (CVM) Um carro percorre a 60 km/h um percurso em duas horas. Quanto tempo levaria para fazer este mesmo
percurso se a sua velocidade fosse reduzida à metade?
a) 10 horas
b) 8 horas
c) 6 horas
d) 4 horas
14)
(TTN) Se 2/3 de uma obra foram realizados em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o restante
da obra será feito agora, com 6 operários trabalhando 10 horas por dia, em:
a) 7 dias
b) 6 dias
c) 2 dias
d) 4 dias
e) 3 dias
15) (T.F.R) Uma turma de 12 operários deveria executar certa obra. Depois de 5 dias de trabalho, 2 operários
adoeceram e abandonaram o serviço. Em quantos dias os operários restantes poderão concluir o trabalho, se,
quando os 2 operários se retiraram, a turma completa já havia feito metade da obra?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
16) (ACADM-RJ) Ao se planejar um serviço, pensaram-se em usar 16 pessoas que fariam a tarefa em 20 dias. Na
verdade, deste total de pessoas, 6 foram encaminhadas a outro setor, tendo sido a tarefa realizada pelas pessoas
restantes, num ritmo de trabalho como o inicialmente planejado. O tempo gasto para a execução deste serviço, em
dias, foi:
a) 45
b) 40
c) 36
d) 32
e) 24
17) (PETROBRAS) Em um acampamento, havia comida para alimentar as 10 pessoas presentes, durante 15 dias.
Após uma permanência de 3 dias, 2 das pessoas foram embora. A comida restante pode alimentar as 8 pessoas que
ficaram durante alguns dias mais. Quantos?
a) 13
b) 15
c) 16
d) 18
e) 24
18) (T. C.) Quatro máquinas imprimem 9.000 folhetos em 12 dias. Trabalhando o mesmo número de horas por dia, 8
dessas máquinas imprimirão 12.000 folhetos no seguinte número de dias:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
19) (TRF) 5 datilógrafos preparam 2.500 páginas em 21 dias, trabalhando 6 horas por dia. Um trabalho de 4.000
páginas com 7 datilógrafos, trabalhando 8 horas por dia, será feito em:
a) 15 dias
b) 17 dias
c) 18 dias
d) 20 dias
e) 21 dias
20) (TTN) Um navio, com guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros de água para efetuar uma viagem
de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros, determine qual poderá ser a duração
da viagem.
a) 24 dias
b) 22 dias
c) 20 dias
d) 18 dias
e) 16 dias
21) (TELERJ) Se 3 homens constroem 6 casas em 9 meses, em quantos meses 6 homens construirão 4 casas?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
22) (TTN) 12 pedreiros constroem 27 m² de um muro em 30 dias de 8 horas. Quantas horas devem trabalhar por dia
16 pedreiros, durante 24 dias, para construírem 36 mz do mesmo muro?
a) 7
b) 8
c) 10
d) 12
e) 17
23) (PGR) Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8 horas por dia. O encarregado,
após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estava pronta. Para entregar o seu serviço na data fixada, quantas horas
por dia devem os operários trabalhar nos dias restantes?
a) 10 horas
b) 15 horas
c) 9 h 36 min
d) 16 horas
e) 12 horas
24) (PGR) Para a construção de um prédio de 680 m² de área, inicialmente foram empregados 28 operários, que
terminariam a obra em 34 dias. Mas no 14º dia após o início da obra o número de operários foi aumentado para 36.
Sabendo-se que os operários trabalham 8 horas por dia, o tempo gasto para construir o prédio foi de:
a) 15 d 20 h
c) 26 d 20 h 32 min
e) 32 d 20 h
b) 22 d 20 h 32 min
d) 29 d 2 h 40 min
24
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25) (PGR) 540 operários, cuja capacidade de trabalho está avaliada pelo número 5, construíram 18 km de uma
estrada, trabalhando 300 dias de 8 horas cada um. Qual a capacidade de trabalho de 270 operários que construíram
outro trecho de 27,720 km da mesma estrada, em 640 dias, trabalhando 8 h 45 min por dia?
a) 9,6
b) 3,6
c) 6,6
d) 7,2
e) 2,8
26) (PETROBRAS) 6 homens, trabalhando 6 horas por dia, constroem 6 muros em 6 dias. Em quantos dias 12
homens, trabalhando 12 horas por dia, construirão 12 muros?
a) 3
b) 6
c) 12
d) 36
e) 48
27) (CONTADOR) Uma fábrica funcionando 8 horas por dia produz 75 mil unidades de um certo produto em 9 dias.
Para produzir 65 mil unidades do mesmo produto em 6 dias, essa fábrica deverá prorrogar o trabalho diário de:
a) 2 h 24 min
b) 1 h 40 min
c) 10 h 36 min
d) 10 h 40 min
e) 2 h 40 min
28) (MAC.-CMRJ) Na correção das provas de um concurso, 10 professores corrigem as provas trabalhando 6 horas
por dia, durante 8 dias. Em quanto tempo deve ser prorrogado o trabalho diário, para que estes professores
corrijam essas provas em 5 dias?
a) 3 h
b) 3 h 36 min
c) 3 h 48 min
d) 6 h
e) 9 h 30 min
29) (AG.ADM-RJ) Em uma repartição pública, um grupo de 6 funcionários é capaz de despachar 120 processos em
8 horas de trabalho. Com a falta de um destes funcionários, o número de horas necessárias para que esse grupo
despache 50 processos é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
30) (TTN) Um agricultor sabe que 1.200 frangos consomem 9.000 kg de ração em 30 dias. Admitindo-se que ele
tenha adquirido 1.500 frangos e 16.500 kg de ração, essa quantidade será suficiente para alimentar as aves por:
a) 42 dias
b) 44 dias
c) 45 dias
d) 46 dias
e) 48 dias
31) (TRT) Uma equipe de 10 datilógrafos prepara 5.000 páginas datilografadas, em 20 dias de trabalho, trabalhando
4 h por dia. A equipe recebeu a incumbência de datilografar 6.000 páginas em 15 dias, mas teve dois de seus
datilógrafos afastados por motivo de saúde. Nessas condições, para poder atender o pedido no prazo determinado,
a jornada de trabalho deve ser prorrogada em:
a) 2 h
b) 2 h 30 min
c) 3 h
d) 3 h 30 min
e) 4 h
32) (B. Brasil) Quinze operários, trabalhando 8 h por dia, em 30 dias manufaturaram 900 pares de sapatos. Quantos
pares serão manufaturados por 8 operários, trabalhando 40 dias de 6 horas, sabendo-se que os novos sapatos
apresentam o dobro da dificuldade dos primeiros?
a) 85
b) 135
c) 240
d) 480
e) 960
33) (BANERJ) Um funcionário, trabalhando 8 horas por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo
funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de um tempo
correspondente a:
a) 3 h 56 min
b) 3 h 42 min
c) 3 h 10 min
d) 2 h 50 min
e) 2 h 24 min
34) (TFC) Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao todo 40 kg
de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma encomenda de 1,5 tonelada de castanha
para ser entregue em 15 dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se
atingir a meta pretendida, trabalhando dez horas por dia?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
35) (TJ) Através de um contrato de trabalho, ficou acertado que 35 operários construiriam uma casa em 32 dias,
trabalhando 8 horas diárias. Decorridos 8 dias, apesar de a obra estar transcorrendo no ritmo previsto, novo
contrato foi firmado: trabalhando 10 horas por dia, 48 operários terminariam a obra. 0
número de dias gastos,
ao todo, nesta construção foi:
a) 14
b) 19
c) 22
d) 27
e) 50
36) (TTN) Fiz em 50 minutos o percurso de casa até a escola. Quanto tempo gastaria de volta, se utilizasse uma
velocidade 20% menor?
a) 40 min
b) 60 min
c) 62,5 min
d) 55 min
e) 57,5 min
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37) (TTN) Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada tem 1h 30 min. Em quanto tempo o
mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial?
a) 3 h 36 min
b) 3 h
c) 3 h 30 min
d) 2 h 16 min
e) 2 h 36 min
38) (TTN) Uma artesã deve fazer dois tipos de tapetes, tais que a dificuldade de confeccionar o primeiro está para
o segundo assim como 4 para 6. Quantos metros do segundo tapete poderá ela fazer em 60 horas, supondo-se que
fez 180 metros do primeiro em 90 horas?
a) 180 m
b) 160 m
c) 120 m
d) 80 m
e) 60 m
Gabarito
1) B
2) B
3) A
4) E
5) C
6) C
7) B
8) A
9) C
10) B
11) C
12) B
13) D
14) C
15) B
16) D
17) B
18) C
19) C
20) D
21) C
22) C
23) B
24) D
25) C
26) A
27) A
28) B
29) B
30) B
31) E
32) C
33) E
34) B
35) C
36) C
37) A
38) D
04-PORCENTAGENS
Exercícios Exemplos:
1) Uma casa com aluguel de valor R$ 200,00 teve esse valor reajustado para R$ 320,00. Qual foi o porcentual de
aumento?
a) 50%
b) 60%
c) 70%
d) 80%
2) Por quanto devo multiplicar um valor C para atualizá-lo após um aumento de 35%?
a) 4,5
b) 3,5
c) 1,35
d) 1,035
3) Certo artigo que custava R$ 200,00 teve seu preço reajustado em 18%. Qual o seu preço atual, em reais?
a) 218,00
b) 224,00
c) 230,00
d) 236,00
4) Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%; 8% e 10% ao mês, respectivamente, qual o valor mais
próximo da inflação acumulada nesse trimestre?
a) 24%
b) 25%
c) 26%
d) 27%
5) Por quanto devo multiplicar um valor C para atualizá-lo após um desconto de 20%?
a) 1,20
b) 0,80
c) 0,20
d) 0,02
EXERCICIOS
1) (TELERJ) A fração
a) 37,5%
3
8
é igual a:
b) 38,5%
2) Transformando a fração
a) 18,25%
26
3
16
d) 41,5%
e) 42%
em percentagem, obtemos:
b) 18,75%
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c) 40%
c) 20%
d) 30%
e) 32,5%
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3) Passando
4
5
para a forma percentual, teremos:
a) 20%
b) 45%
4) (BANESPA) A fração
13
40
a) 0,0325%
b) 0,325%
c) 54%
d) 80%
e) 90%
c) 3,25%
d) 32,5%
e) 325%
é equivalente a:
5) (TRF) Das pessoas que trabalham na 101ª vara, a proporção das que são formadas em Direito é de 1 para 16.
Assim, a porcentagem de bacharéis em direito nesta Vara é:
a) 2,75%
b) 6,25%
c) 9,5%
d) 16%
e) 24,15%
6) (UERJ) Está sendo proposta a criação de um imposto sobre transações financeiras de 0,3% sobre o valor de
cada cheque. Se esse imposto for criado, quem descontar um cheque de $ 250.000,00 receberá:
a) $ 242.250,00
b) $ 242.500,00
c) $ 247.500,00
d) $ 249.250,00
e) $ 249.925,00
7) (T.C.) Consultadas 500 pessoas sobre o plebiscito de 21 de abril de 1993, obteve-se o resultado abaixo:
Presidencialismo
Parlamentarismo
Não sabem
196
192
112
De acordo com essa pesquisa, o percentual de indecisos corresponde a:
a) 21,6%
b) 21,8%
c) 22,2%
d) 22,4%
8) (AC. ADM. - Quatis) O esporte sempre fascina o homem, o Brasil está em festa, afinal vai sediar um PanAmericano, e candidatar-se a uma olimpíada é realmente uma façanha. Entretanto, no mundo esportivo, sempre
aparece uma preocupação , o doping. A revista Super Interessante na edição n9 5 do ano 13, fez a seguinte
pesquisa: "Você acha que a batalha pelo record, justifica o uso de doping pelos atletas?" Essa pesquisa foi
respondida por 343 leitores, sendo que 14 disseram que a busca do record justifica o uso do doping. Perguntase:qual é a taxa percentual que representa a quantidade de leitores que se mostraram contrários ao uso do doping?
a) 88%
b) 90%
c) 92%
d) 94%
e) 96%
9) (C.V.R.) Seu ordenado é de $ 6.870,00. Porque trabalhou horas extras, seu contracheque indica um bruto de $
8.300,00. O percentual do salário correspondente às horas extras foi de, aproximadamente:
a) 25%
b) 24%
c) 22%
d) 21%
e) 15%
10) (BANESPA) Num certo dia, 87,5% dos funcionários de uma Agência Bancária compareceram ao serviço,
enquanto que quatro faltaram. Supondo que não houve contratação e nem demissões, o número de funcionários da
Agência é:
a) 21
b) 32
c) 35
d) 43
e) 45
11) (INSS) Do total de funcionários da empresa Fios S/A, 20% são da área de informática e outros 14% ocupam os
21 cargos de chefia. Quantos funcionários dessa empresa NÂO trabalham na área de informática?
a) 30
b) 99
c) 110
d) 120
e) 150
12) (ANP) Uma refinaria vende 20% de sua produção de gasolina para distribuidoras do Estado de São Paulo. Do
restante da produção, 60% são vendidos para distribuidoras da Região Sul. O que sobra é comprado por
distribuidoras da Região Centro-Oeste. O percentual da produção de gasolina dessa refinaria destinado à Região
Centro-Oeste é de:
a) 24¨%
b) 32%
c) 36%
d) 40%
e) 44%
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13) (B. Brasil) Uma indústria dispõe de 15 máquinas produzindo, cada uma, 120 peças por dia. Quantas peças a
empresa produzirá diariamente, se aumentar em 20% o seu parque de máquinas?
a) 1.920
b) 2.160
c) 2.196
d) 2.220
e) 2.232
14) (TRF) Numa Universidade são consumidos 2.000 litros de combustível por semana. Se o preço do combustível
sofrer um aumento de 4% e a Administração decidir gastar a mesma quantia de antes do aumento, deverá então
determinar uma redução no consumo semanal de aproximadamente:
a) 77 litros
b) 85 litros
c) 103 litros
d) 121 litros
e) 139 litros
15) (TTN) José comprou uma geladeira pagando 15% de imposto ad valorem (sobre o preço de aquisição).
Admitindo-se que ele tenha pagado $ 375,00 de imposto, o preço final de compra do produto (preço de aquisição
mais o imposto) foi de $:
a) 2.505,00
b) 2.875,00
c) 2.928,00
d) 2.945,00
e) 2.950,00
16) (FURNAS) No mês de dezembro de 1995, o consumo de energia elétrica de certa residência aumentou 25% em
relação a novembro. Se o aumento corresponde a 120 kWh, o consumo de dezembro, em kWh, foi equivalente a:
a) 150
b) 300
c) 480
d) 520
e) 600
17) (ESAL) 24% dos alunos de um colégio pré-vestibular foram reprovados e 418 foram aprovados. O número de
alunos reprovados é:
a) 100
b) 132
c) 550
d) 317
e) 232
(F.A.E.- Niterói) Leia o texto abaixo. Ele se refere às questões 18 e 19.
“A Organização das Nações Unidas (ONU) acaba de divulgar que nosso planeta terá cerca de 8 bilhões de pessoas
no ano de 2025 — atualmente há cerca de 5,6 bilhões. A América Latina terá 700 milhões de habitantes, a Ásia 4,9
bilhões e a África 1,5 bilhão”
(Fonte: jornal O Globo – 17/08/94)
18)
De acordo com a ONU, o aumento populacional até o ano de 2025 será, em termos percentuais,
aproximadamente igual a:
a) 41%
b) 43%
c) 45%
d) 47%
e) 49%
19)
De acordo com a ONU, a população da América Latina, em relação à população mundial, corresponderá, em
2025, em termos percentuais, a:
a) 8,00%
b) 8,25%
c) 8,50%
d) 8,75%
e) 9,00%
20)
(CESCRANRIO) Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de
compra?
a) 20%
b) 21%
c) 23%
d) 25%
e) 26%
21) (C.V.M.) Dois empregados recebem salários diferentes. Foi determinado um aumento salarial geral de 41%. A
diferença entre os ordenados dos dois funcionários:
a) não se alterou
d) diminuiu de 41%
b) aumentou de 82%
e) aumentou de 41%
c) diminuiu de 82%
22) (F.T.E.S.M.) Uma eleição é disputada por dois candidatos, X e Y. 60% dos eleitores preferem o candidato X, 20%
preferem Y e os demais eleitores estão indecisos. Entre os eleitores que já se decidiram, a porcentagem dos que
preferem Y é igual a:
a) 1%
b) 20%
c) 24%
d) 25%
e) 30%
23) (TRT) Mário investiu 30% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda fixa. Após
um mês, as quotas dos fundos de ações e de renda fixa haviam se valorizado 40% e 20%, respectivamente. A
rentabilidade do capital de Mário foi, nesse mês, de:
a) 26%
28
b) 28%
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c) 30%
d) 32%
e) 34%
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(SUSEP) Uma firma tem a matriz em São Paulo e uma filial no Rio de Janeiro. A matriz é responsável por 70% do
faturamento da firma. Este ano o faturamento da matriz sofreu um aumento de 20%, e o da filial, de 10%. Responda
as questões 24 e 25 a seguir:
24) De quanto aumentou o faturamento da firma?
a) 12%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 30%
25) A matriz passou a ser responsável por que porcentagem, aproximadamente, do faturamento da firma?
a) 70%
b) 72%
c) 76%
d) 84%
e) 90%
26) (E.N.) Uma senhora extremamente gorda resolveu fazer uma dieta e perdeu em 3 meses 30% de seu peso;
entretanto, nos três meses seguintes, ela aumentou seu peso em 40%. No decorrer desse semestre, o peso da
senhora:
a) aumentou 16%
d) diminuiu 10%
b) aumentou 10%
e) diminuiu 2%
c) manteve seu valor inicial
27) (CPRM) A idade de João é inferior em 20% à de Luiz e a de José é superior em 20% à de Luiz. Em quantos por
cento a idade de José é superior à de João?
a) 50%
b) 48%
c) 45%
d) 42%
e) 40%
28) (PETROBRAS) Na compra de uma mesma calculadora, Luiz obteve 40% de desconto e André, apenas 20%.
Qual é a porcentagem, do preço pago por André, que representa o preço pago por Luiz?
a) 50%
b) 60%
c) 75%
d) 80%
e) 85%
29) (ESAL) Uma mercadoria teve 150% de acréscimo em seu preço. Para que esta mercadoria retorne ao seu preço
anterior, é necessário um desconto em seu preço atual de:
a) 150%
b) 80%
c) 60%
d) 40%
e) 30%
30) (CPRM) Comprei 10 livros por preços iguais. 7 foram vendidos com um lucro de 20% em cada um, e os outros,
com um prejuízo de 20% em cada um. Em relação ao capital investido, houve:
a) prejuízo
d) lucro de 10%
b) ausência de lucro ou prejuízo
e) lucro de 80%
c) lucro de 8%
31) (TRF) Em 1998, a 97a Vara recebeu por mês, em média, 2.400 processos nos 8 primeiros meses do ano; nos 4
últimos, essa média aumentou 40%. Assim, o número de processos que deram entrada na 97a Vara durante todo o
ano foi:
a) 28.640
b) 30.640
c) 32.640
d) 34.640
e) 36.640
32) (TELERJ) 3% de 60% é igual a:
a) 18%
b) 12%
c) 6%
d) 1,8%
e) 1,2%
33) (PETROBRAS) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale
a aumentar o preço original em:
a) 2%
b) 4%
c) 6%
d) 8%
e) 10%
34) (TELERJ) Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20%. Em seguida, o novo preço foi rebaixado em
20%. O preço final da mercadoria em relação ao preço inicial é:
a) igual
b) 4% maior
c) 4% menor
d) 8% maior
e) 8% menor
35) (TELERJ) Dois descontos sucessivos de 10% cada equivalem a um único desconto de:
a) 19%
b) 20%
c) 21%
d) 22%
Atualizada 31/08/2007
e) 23%
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36)
(MAC-RJ) O preço inicial de um videogame sofreu dois aumentos consecutivos de 25% e de 55%, motivados
pela inflação. Em porcentagem, o aumento total sofrido pelo preço desse videogame foi:
a) 80%
b) 68,75%
c) 93,75%
d) 92,85%
e) 90%
37)
(TRT) As vendas de um produto foram de 2.000 unidades em julho, cresceram 30% em agosto e reduziram-se
em 20% em setembro, em relação a agosto. Quantas unidades foram vendidas em setembro?
a) 2.600
b) 2.400
c) 2.200
d) 2.100
e) 2.080
38)
(IBGE) Suponha que o salário de um trabalhador vem sendo desvalorizado em 15% a cada ano que passa. Se
o salário hoje tem como valor x, daqui a dois anos o salário do trabalhador será:
a) 0,1275 x
b) 0,225 x
c) 0,3 x
d) 0,7225 x
e) 0,85 x
39)
(TELERJ) Plínio recebeu um aumento de 8% em fevereiro. Três meses depois, a empresa aumentou todos os
salários em 18%. Se o salário de Plínio, em janeiro, era de R$ 1.250,00, qual o salário dele, em reais, após todos os
aumentos?
a) 1.693,00
b) 1.600,00
c) 1.595,40
d) 1.593,00
e) 1.493,00
40)
(F.A.E. - São Gonçalo) Uma empresa de transportes aumentou os preços das passagens em 100%. Como o
aumento não estava autorizado, os preços voltaram aos vigentes antes do aumento. Em relação aos preços
aumentados ocorreu a seguinte porcentagem de redução:
a) 0%
b) 50%
c) 75%
d) 100%
41)
(AC.ADM-RJ) Um comerciante elevou o preço de suas mercadorias em 50% e divulgou no dia seguinte uma
remarcação com desconto de 50% em todos os preços. Qual o desconto realmente concedido em relação aos
preços originais?
a) 75%
b) 50%
c) 25%
d) 20%
e) 10%
42)
(TELERJ) O preço de um artigo triplicou. Portanto, ele teve um aumento de:
a) 3%
b) 30%
c) 200%
d) 300%
e) 400%
43)
(TASA) O último censo apurou que, em 1990, a população de uma cidade era de 200.000 habitantes e que a
taxa de crescimento desta população era de 2% ao ano. Ao final de três anos, o número de habitantes dessa cidade
será de aproximadamente:
a) 345.651
b) 315.345
c) 245.546
d) 215.743
e) 212.241
44)
(TTN) A população de uma cidade que tem 1.800 habitantes aumenta 20% ao ano. Quantos habitantes terá
em 2 anos?
a) 2.592
b) 2.520
c) 720
d) 2.160
e) 2.000
45)
(AT-PI) O valor de uma máquina, a cada ano que passa, diminui 10% em relação ao valor do ano anterior. Se
o valor dessa máquina é, hoje, igual a R$ 20.000,00, então, daqui a três anos a percentagem equivalente à
desvalorização total no período desses três anos será igual a:
a) 10,42%
b) 27,10%
c) 30%
d) 32,20%
e) 40%
46)
(AC. ADM.- RJ) Pelo último recenseamento, o povoado Vida Feliz possuía 3.000 habitantes. Em cada ano, o
crescimento natural ou vegetativo de Vida Feliz é decorrente de:
nascimento: 12%
entrada: 5%
morte: 5%
saída: 2%
Ao fim de dois anos, essa população deve ser de:
a) 3.600 habitantes
c) 3.300 habitantes
e) 3.330 habitantes
b) 3.630 habitantes
d) 3.720 habitantes
47)
(U.F.E.S.) Um trabalhador gasta com o aluguel da sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido em
um aumento de 25% e o aluguel com aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir do novo salário:
a) 26,08%
b) 27%
c) 33.75%
d) 35%
e) 43,75%
30
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48)
(IPEA) Uma família gasta 40% de sua renda com alimentação. Se em um período, a cesta básica dessa
família aumentar 80% e sua renda familiar apenas 20%, a nova porcentagem que essa família deverá gastar de sua
renda familiar para manter o mesmo consumo de alimentos será:
a) 20%
b) 30%
c) 40%
d) 50%
e) 60%
49)
(FIOCRUZ-adaptado) O preço de um produto sofreu uma redução de 10%. Algum tempo depois, sofreu um
aumento de 20% e, mais tarde, um novo aumento de 20%. Se o comerciante deseja retornar ao preço inicial, qual o
percentual de desconto a ser aplicado sobre o último preço?
a) 30%
b) 28,36%
c) 26,14%
d) 24,08%
e) 22,84%
50)
(TTN) Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% correspondem a
despesas. O lucro líquido do comerciante é de:
a) 5%
b) 8%
c) 11%
d) 2%
e) 12%
51)
(TTN) Uma mercadoria foi vendida pagando $ 21,50 de imposto. Sabendo-se que a alíquota do imposto é de
25% ad valorem, o preço final de venda do produto, incluindo o imposto, foi de $:
a) 86,00
b) 90,50
c) 98,00
d) 103,70
e) 107,50
52)
(PUC-RJ) O tribunal concedeu a uma certa categoria profissional aumento de 100% sobre o salário,
descontadas as antecipações. Se os trabalhadores já haviam recebido uma antecipação de 20% em setembro,
receberão agora um aumento, sobre o salário de setembro, de:
a) 45%
b) 50%
c) 67%
d) 72%
e) 80%
53)
(TRT) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50% sobre os salários de
abril, descontadas as antecipações. Como ela havia recebido em maio uma antecipação de 20% (sobre o salário de
abril), a percentagem do aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é de:
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 35%
e) 40%
54)
(TFC) No mês de janeiro de determinado ano, uma categoria profissional tem direito a um aumento salarial
de 75%. Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25% em novembro, qual deve ser a porcentagem
de acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação concedida.
a) 30%
b) 40%
c) 55%
d) 65%
e) 75%
55)
(MAG-CMRJ) Certa categoria profissional obteve, a partir de Ia de novembro, no Tribunal do Trabalho,
reajuste salarial de 134% sobre os salários de julho, descontadas as antecipações recebidas no período. Se essa
categoria recebeu adiantamento de 20% em agosto e 30% em setembro sobre os vencimentos dos respectivos
meses anteriores, calcule o índice a ser aplicado em outubro, para cumprir as determinações judiciais.
a) 84%
b) 70%
c) 66%
d) 50%
e) 40%
56)
(BANESPA) Um recipiente contém 5 litros de um combustível composto de 8% de álcool e o restante de
gasolina. Para que essa porcentagem passe a 20%, deve-se acrescentar de álcool no recipiente:
a) 1/4 litro
b) 1/2 litro
c) 3/4 litro
d) 1 litro
e) 3/2 litro
GABARITO
1. A
2. B
3. D
4. D
5. B
6. D
7. D
8. E
9. D
10.B
11.D
12.B
13.B
Atualizada 31/08/2007
14.A
15.B
16.E
17.B
18.B
19.D
20.A
21.E
22.D
23.A
24.C
25.B
26.E
27.A
28.C
29.C
30.C
31.C
32.D
33.B
34.C
35.A
36.C
37.E
38.D
39.D
40.B
41.C
42.C
43.E
44.A
45.B
46.B
47.B
48.E
49.E
50.B
51.E
52.C
53.B
54.B
55.D
56.C
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05-EQUAÇÃO DO 1º GRAU
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Dizemos que uma equação é do 1º grau quando o expoente da incógnita for igual a 1. O valor obtido para a incógnita é
chamado solução ou raiz da equação.
Exemplos:
2x − 3 = 5
4x + 1 = 3x − 2
x −1
=3
2
x 2x
x
+
= 1−
3
5
2
Observação: toda equação de 1º grau tem uma única solução; entretanto, se faz necessário restringir ou não essa solução
ao Conjunto Universo, se este for dado.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Resolver um sistema é encontrar um par ordenado (x, y) onde o valor de x e o valor de y satisfazem as equações
simultaneamente.
Exemplo:
⎧2x + y = 7
⎪
, a solução do sistema ao lado é o par ordenado (2, 3).
⎨
⎪ x − y = −1
⎩
Método da substituição:
⎧ x+ y =8
⇒
⎨
⎩2 x − y = −2
y =8− x
2 x − (8 − x) = −2
⇒
2 x + x − 8 = −2 ⇒ 3x = −2 + 8 ∴ x = 2
y = 8 − 2∴ y = 6
Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (2, 6).
Método da adição:
⎧⎪2 x + y = 10
⎨
⎪⎩ x − y = 2
3 x + 0 y = 12
x=
12
∴x = 4 e y = 2
3
Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (4, 2)
01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda
recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de:
32
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EXERCÍCIOS
Resolva as seguintes equações:
01.
12 x − 4 = 10 x + 3
02. A raiz da equação
x − 3 x −1
é:
=
7
4
a) -3/5
b) 3/5
c) -5/3
d) 5/3
03. Se
3x =
x−3
+2
4
a) 0
b) 1/11
c) 5/11
d) 11
04. (UFU-MG) O valor de x tal que
4 x − 1 −2 x + 1
é:
=
2
3
a) 0
b) 5/16
c) 3
d) 16/5
05. Se
x+3
− 5 = x + 1, então:
4
a) x = 6
b) x = 8
c) x = -7
d) x = -9
06. Resolva a equação
6 − (3x − 3) − [2 − (−4 x − 1)] = −(−3x + 2)
07. (FCC) O esquema abaixo mostra, passo a passo, a seqüência de operações a serem efetuadas a partir de um
certo número, a fim de obter o resultado final 10,4.
ponto de
partida: ?
(dividir por 8) (somar
1
5
(multiplicar
) por 0,4) (subtrair 0,28) (dividir por 5)
10,4: resultado final
O número que deve ser considerado como ponto de partida está compreendido entre
a)1 000 e 1 050
b)1 050 e 1 100
c)1 100 e 1 150
d)1 150 e 1 200
e)1 250 e 1 300
08. Resolvendo-se a equação
a) x=-2,4
b) x=-1,5
c) x=-0,5
d) x=1,2
2( x + 4) = 4 x + 11 , obtém-se:
09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8
anos atrás?
a) 15 anos.
b) 16 anos.
c) 24 anos.
d) 30 anos.
e) 32 anos.
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10. Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado
por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o número original que Valéria havia
pensado. Calcule esse número.
11. (FCC) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57.
12. (OBM) Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e
obteve o número 15. O número digitado foi:
a) 31
b) 7
c) 39
d) 279
e) 27
13. Dada a proporção:
1
2
14. É dada a proporção
=
0,1 y − 0, 4
, determine y :
1 − 0, 4 y
5
0, 2
= 6 . Então, o quadrado do número x é igual a:
x 12,5
15. Sobre a equação ( x + 2)( x + 3)
a) x é igual a 0
b) x é igual a 3
c) x é igual a 6
d) todos os números são soluções
e) x é igual a 2
= x 2 + 6 x + 3 é verdade que:
16.(OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n por 17, obtemos o quociente 283 e o resto 6. podemos afirmar que
n é igual a:
a) 4 817
b) 4 917
c) 3 815
d) 4 618
e) 4 418
17. Um número decimal x o resultado da divisão de 73 por 8. Quanto vale x?
18. (TRE) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em
alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a:
a) R$ 1 200,00
b) R$ 1 500,00
c) R$ 1 800,00
d) R$ 2 100,00
e) R$ 2 400,00
19. (TRE) Em uma escola, o aluno deve obter média 6,0 em cada disciplina para ser aprovado. Essa média é
calculada dividindo-se o total de pontos que ele obteve nos quatro bimestres, por quatro. Portanto, o aluno que não
totalizar 24 pontos nos 4 bimestres deverá fazer prova final. Nessa prova, ele deverá obter, no mínimo, a diferença
entre 10,0 e a sua média anual, para ser aprovado.
As notas de Geografia de um certo aluno foram:
1º bimestre: 5,0
2º bimestre: 6,0
3º bimestre: 2,0
4º bimestre: 5,0
Logo, a nota mínima que esse aluno deverá obter na prova final de Geografia é:
a) 4,5
b) 5,0
c) 5,5
d) 6,0
e) 6,5.
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20. (FCC) Nos três andares de um prédio de apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se que: o número de residentes
no segundo andar é o dobro do número dos que residem no primeiro; os residentes no terceiro andar excedem em
20 pessoas o número dos que residem no primeiro andar. Se x, y e z são os números de residentes no primeiro,
segundo e terceiro andares, respectivamente, então
a) x = 15
b) y = 25
c) z = 36
d) x = 12
e) y = 20
21. (FGV) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando de 1 a 20
cafezinhos. São gastos 2 minutos para aquecer o resistor. Aquecido o resistor, a água flui com taxa constante,
misturando-se ao pó e transformando-se em café. Se o tempo gasto para fazer 8 cafezinhos é de 6 minutos, qual é o
tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 4 cafezinhos?
a) 3 min
b) 3 min 15 s
c) 3 min 30 s
d) 4 min
e) 5 min
22. Em Tumbólia, um quilograma de moedas de 50 centavos equivale em dinheiro a dois quilogramas de moedas
de 20 centavos. Sendo 8 gramas o peso de uma moeda de 20 centavos, uma moeda de 50 centavos pesará:
a) 15 gramas
b) 10 gramas
c) 12 gramas
d) 22 gramas
e) 20 gramas
23. Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi
vendida metade da produção; para a loja B, foram vendidos 2/5 da produção e para a loja C, foram vendidas 2500
unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica?
a) 4166 latas
b) 10000 latas
c) 20000 latas
d) 25000 latas
e) 30000 latas
24. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu
recebeu
1
4
do valor do prêmio, a segunda
1
e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de:
3
a) 2 400,00
b) 2 200,00
c) 2 100,00
d) 1 800,00
e) 1 400,00
25. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a
metade do que possuía e a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento em cada local. Se no final ainda tinha R$
8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
26.Uma empresa, a título de promoção, tira fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo de 100 folhas; o
que exceder 100 folhas a empresa cobra R$ 0,08 por folha.
Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o preço total?
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27.Para uma determinada viagem foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 300,00 mais
uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago.Qual a receita arrecadada se comparecerem 150 pessoas para a
viagem?
28. Em uma empresa, 1/3 dos funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40
funcionários têm mais de 40 anos.
a) Quantos funcionários têm a referida empresa?
b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos?
29.(UNICAMP-SP) Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo percurso um
atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.
a) Qual o comprimento total do percurso?
b) Quantos metros o atleta havia corrido?
c) Quantos metros o atleta havia caminhado?
30.(NC.UFPR) Qual é o valor de x na expressão
1+
1
1
= ?
1
2
1+
1+ x
3
4
2
−
3
1
−
2
3
−
2
4
−
3
a) −
b)
c)
d)
e)
31.(NC.UFPR) Qual o valor de x que torna a expressão
a)
b)
c)
d)
e)
0,25 ⋅ 0,4 + 0,75 ⋅ x
= 0,5 verdadeira?
0,2
0,25
–0,15
0
–0,5
–0,25
32.Na balança a seguir temos pesadas bolas de chumbo, todas iguais, e leves saquinhos de plástico, todos com a
mesma quantidade de bolinhas, iguais às que estão fora dos mesmos. Quantas bolinhas há em cada saquinho?
a) 1
36
b) 2
c) 3
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d) 5
e) 6
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33. O Sr. Eduardo gasta integralmente seu salário em 4 despesas: moradia, alimentação, vestuário e transporte. Ele
gasta ¼ do salário com moradia, 35% do salário com alimentação, R$ 400,00 com vestuário e R$ 300,00 com
transporte. Sua despesa com moradia é igual a:
a) R$ 430,00
b) R$ 432,50
c) R$ 435,00
d) R$ 437,50
e) R$ 440,00
34. Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30 cada, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos, por R$ 0,45 cada,
obterá os mesmos L reais. Determine o valor de n.
35. Um estudante comprou n canetas por 300 reais e (n + 4) lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma
caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e lapiseiras, respectivamente, que ele comprou, é:
a) 8 e 12
b) 10 e 14
c) 14 e 18
d) 12 e 16
e) 16 e 20
36. A solução da equação 5(x + 3) – 2(x – 1) = 20 é:
a) 0
b) 1
c) 3
d) 9
e) 12
37. A solução da equação 1 +
3 7
1
+x=
+ é:
8 6
2
a) 0
2
3
1
c)
24
1
d)
48
b)
e) 1
38. A raiz da equação
x−3
x −1
=
é
7
4
3
5
5
b) −
3
3
c)
5
5
d)
3
4
e)
3
a) −
39. O número inteiro que é a solução da equação
2x + 2
+
3
3x − 5
=9
2
é
a) 1
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
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40. O valor de x da equação
1−
x −1
2
=
x−
x+2
3
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é
a) x = – 7
1
7
7
c) x =
13
13
d) x =
7
b) x = –
e) x = – 1
41. Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do de
pretas, então o número de bolas brancas é
a) 72
b) 120
c) 240
d) 288
e) 324
42. Se adicionarmos um número inteiro a seu triplo e o resultado for 24, o número em questão é
a) 6
b) 8
c) 18
d) 20
e) 24
43. O dobro de um número adicionado com seu triplo é igual a 45. Então, o quádruplo desse número é
a) 36
b) 45
c) 30
d) 32
e) 28
44. Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtêm-se os
3
de sua idade. A idade de minha filha, em anos é
5
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 21
45. De um recipiente cheio de água tiram-se
2
de seu conteúdo. Recolocando-se 30 l de água, o conteúdo passa a
3
ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é
a) 75 l
b) 120 l
c) 150 l
d) 180 l
e) 200 l
46.(FCC) Alguns processos a serem arquivados foram distribuídos a três técnicos judiciários, A, B e C, do seguinte
modo: B recebeu o triplo de A e C recebeu a metade de B. Se a diferença entre a maior e a menor quantidade de
processos distribuídos era de 48 unidades, o total de processos era
a) 132
b) 148
c) 156
d) 168
e) 176
47. Em um concurso público, João acertou apenas 16 das 54 questões da prova, enquanto Paulo obteve o triplo do
número de acertos de João. Quantas questões, dessa prova, Paulo errou?
a) 6
b) 16
c) 26
d) 38
e) 48
38
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48. Dos 400 documentos recebidos por um cartório, 112 foram arquivados, e os restantes foram colocados em
envelopes. Quantos envelopes foram utilizados para que se colocasse em cada um deles uma dúzia de
documentos?
a) 12
b) 18
c) 24
d) 36
e) 48
49. Um funcionário fez, pela manhã, a digitação de
2
12
da tarefa que deveria realizar e, à tarde, mais
4
dessa
6
tarefa. Ao final do dia, que fração de sua tarefa ele conseguiu digitar?
a)
b)
c)
d)
e)
1
4
1
3
1
2
3
4
5
6
50. O número de pessoas atendidas por um recepcionista nesta semana ultrapassou em 64 o número de atendimentos da semana passada. Se o total de atendimentos nas duas semanas foi de 920 pessoas, quantas foram
atendidas nesta semana?
a) 428
b) 460
c) 492
d) 524
e) 856
51. Um escritor escreveu, em um certo dia, as 20 primeiras páginas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em
cada dia, tantas páginas quantas havia escrito no dia anterior, mais 5 páginas.Se o escritor trabalhou 4 dias ele
escreveu
a) 80 páginas
b) 85 páginas
c) 95 páginas
d) 110 páginas
e) 125 páginas
52. Uma diretora deseja formar turmas de 38 alunos. Como existem 450 alunos matriculados, uma ficará incompleta.
Para completar esta turma, ela deverá matricular
a) 6 alunos
b) 11 alunos
c) 12 alunos
d) 32 alunos
e) 36 alunos
53. De um total de 40 questões planejadas para uma prova, eliminaram-se 2x delas e, do resto, ainda tirou-se a
metade do que havia sobrado. Qual a tradução algébrica do número de questões que restaram?
a) (40 - 2x) - 20 + x
b) (40 - 2x) - 20
c) (40 - 2x) –
x
2
d) (40 - 2x) - x
e) (40 - 2x) - 20 – x
54. Um pai tem 30 anos e seu filho, 8 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o dobro da idade do filho?
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
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55. A idade de uma pessoa A é 50 anos e a de uma pessoa B é 16 anos. Daqui a quantos anos a idade de A será o
triplo da idade de B?
a) 1 ano
b) 2 anos
c) 3 anos
d) 4 anos
e) 5 anos
56. A idade de uma mãe é 65 anos e a idade de sua filha é 25 anos. Há quantos anos atrás a idade da mãe foi o
quíntuplo da idade da filha?
a) 12 anos
b) 13 anos
c) 14 anos
d) 15 anos
e) 16 anos
57. Há 19 anos atrás uma pessoa tinha um quarto da idade que terá daqui a 14 anos. A idade da pessoa, em anos,
está entre
a) 22 e 26
b) 27 e 31
c) 32 e 36
d) 37 e 41
e) 42 e 46
58. O denominador de uma fração excede o numerador
denominador, a fração torna-se equivalente a
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
em três unidades. Adicionando-se 11 unidades
ao
. A fração original é
54
57
30
33
33
36
42
45
18
21
59.(FCC) Do total X de funcionários de uma Repartição Pública que fazem a condução de veículos automotivos,
sabe-se que
1
5
efetuam o transporte de materiais e equipamentos e
2
do
3
número restante, o transporte de
pessoas. Se os demais 12 funcionários estão temporariamente afastados de suas funções, então X é igual a
a) 90
b) 75
c) 60
d) 50
e) 45
40
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GABARITO
01
02
03
7/2
C
C
13
14
15
3
9
C
25
26
27
D
18
90 000
04
B
16
A
28
a)96
b) 64
05
C
17
9,125
29
a) 2 310
b) 660
c) 1 050
06
07
08
09
10
11
12
37
38
39
40
4/5
A
B
B
9
28 e 29
A
C
B
D
D
18
19
20
21
22
23
24
49
50
51
52
A
B
D
D
B
D
A
E
C
D
A
30
31
32
33
34
35
36
E
C
B
D
45
D
B
41
D
53
D
42
43
44
45
46
47
48
A
A
C
D
A
A
C
54
55
56
57
58
59
C
A
D
B
D
E
06-SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistemas de equações lineares é o conjunto de equações com todas as incógnitas de expoente 1 (um) ou, também
denominadas de grau 1 (um).
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Solução de um sistema é o conjunto de valores, um para cada incógnita, pelos quais as incógnitas devem ser substituídas,
para que todas as equações se reduzam a igualdades numéricas ou a identidades algébricas. Costuma-se dizer que este
sistema de valores verifica ou satisfaz todas as equações. Um sistema de equações pode ter uma única solução, mais de
uma solução ou não ter nenhuma solução.
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS
É o sistema formado por duas equações lineares com duas incógnitas. O sistema neste formato, será estudado neste
capítulo.
Resolução por Adição
Resolver um sistema é encontrar um par ordenado (x, y) onde o valor de x e o valor de y satisfazem as equações
simultaneamente.
⎧2x + y = 7
⎪
⎨
⎪ x − y = −1
⎩
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Resolução por Substituição
⎧ x+ y =8
⇒
⎨
⎩2 x − y = −2
EXERCÍCIOS
Resolva os próximos sistemas lineares:
{
{
x + y = 17
01.
02.
x-y =5
2x + 5y = 18
x = 60 - y
⎧ 2x - 3y = 3
⎨
3x + 2y = 37
03. ⎩
04.Sabendo-se que a diferença de preço entre uma boneca e uma bola é R$ 15,00 e que a soma dos preços de
duas bonecas com duas bolas é R$ 118,00 , podemos afirmar que o preço de um dos brinquedos é:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 15,00.
R$ 80,00.
R$ 65,00.
R$ 37,00.
R$ 10,00.
05. (FCC) Com um balde de água, eu encho 3 garrafas. Com uma garrafa, eu encho 5 copos. Assim, o número de
copos necessários para encher 1 balde é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 15
e) 20
a
06. (FCC) Uma empresa resolveu aumentar seu quadro de funcionários. Numa 1 etapa contratou 20 mulheres,
ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2a etapa foram contratados 10
homens, ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de
funcionários dessa empresa era:
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
e) 200
07. (FCC) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os
coelhos?
08. (FCC) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os
números?
09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo
vazio é?
a) 20g
b) 25g
c) 35g
d) 40g
e) 45g
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10. (FCC) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do
número y, então a diferença y-x é igual a:
a) 18
b) 25
c) 30
d) 45
e) 60
11. Cachorro quente com uma salsicha por $ 15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $ 18,00.O gerente sabe
quantos sanduíches vendeu contando os pães.
Com essa promoção ele "faturou" $ 810,00.
Quantas salsichas foram consumidas nos sanduíches sabendo que usou 46 pães?
12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas é 38
000e o número de guarda-chuvas é o triplo do de bicicletas, então o número de guarda-chuvas é.
13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais, ele teria 4/5 da idade do seu irmão. Juntos eles têm 30 anos. A
idade de Roberto é:
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 10
14. Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Três balas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a unidade da bala b2 custa
R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O número de balas do tipo b1
vendidas foi:
a) 114
b) 113
c) 112
d) 111
e) 110
15. Três latas iguais de massa de tomate mais uma lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de massa de
tomate mais duas latas de atum (todas iguais às anteriores) custam, juntas, R$ 3,40.Qual é o preço de uma lata de
massa de tomate?
a) R$ 0,65
b) R$ 0,70
c) R$ 0,75
d) R$ 0,80
e) R$ 0,95
16. Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto representa 4/3 da
idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é:
a) 48
b) 72
c) 58
d) 60
e) 34
17. (UNB-CESPE) Se eu gastar R$ 1.200,00 ficarei com 3/4 da quantia que Paulo possui. Juntos temos R$ 4.000,00.
Nestas condições, Paulo possui a importância de R$:
a) 1.200
b) 1.680
c) 1.600
d) 2.320
e) 2.400
18. (FATEC-SP) Uma loja vendeu 112 pneus para 37 veículos entre "Fuscas" e motos. Somente dois "Fuscas"
trocaram também o pneu de estepe. Quantas motos trocaram pneus?
19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito
de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas? se me desses um saco, minha carga seria o dobro
da tua, mas se eu te der um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava?
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20. (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o
triplo do número de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontram no pátio é:
a) 50
b) 42
c) 52
d) 54
e) 62
21. Num pátio existem automóveis e motocicletas. O número total de rodas é 130 e o número de veículos é 40.
Quantos veículos de cada tipo se encontram no pátio?
22.(ESAF) Numa eleição em que dois candidatos disputaram I mesmo cargo, votaram 2 150 eleitores. O candidato
vencedor obteve 148 votos a mais que o candidato derrotado. Sabendo-se que houve 242 votos nulos, quantos
votos obteve cada candidato?
a) 1 149 e 1 001
b) 1 100 e 952
c) 1 223 e 1 075
d) 1 028 e 880
e) 1 001 e 907
23. (UDESC) Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pontos por
cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de cestas que ele acertou foi:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
24. (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda moedas de 50 centavos ou 1 real. Atualmente, ele tem 100 moedas,
num total de 76 reais. Quantas moedas de um valor ele tem a mais do que a de outro valor?
a) 48
b) 4
c) 8
d) 52
e) 96
25. (BANESPA). Um fazendeiro cria galinhas e coelhos. Num dado momento, esses animais somam um total de 50
cabeças e 140 pés. Pode-se concluir que a razão entre o número de coelhos e o número de galinhas é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 3/2
e) 3/4
26. (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se,
ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
27.(OCM) Um zoológico tem vários macacos e várias girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos e das
girafas obtém-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos macacos e quantas girafas há no zoológico? (Um macaco tem duas
pernas.)
a) 8 m e 7 g
b) 9 m e 6 g
c) 7 m e 8 g
d) 6 m e 9 g
e) 8 m e 9 g
28.(ESAF) Um copo completamente cheio de água “pesa” 275 gramas. Mas se metade da água for jogada fora, seu
“peso” cairá para 165 gramas. Então, o “peso” deste copo é em gramas:
a) 32,5
b) 42,5
c) 55
d) 75
e) 110
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29.(FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto
por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a nota de André, se cada
resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?
a) 12
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
30.(UNB-CESPE) Dois trabalhadores recebem juntos R$ 1.080,00 por 20 dias de trabalho. O mais especializado
recebeu R$ 4,00 a mais do que o outro, por dia de trabalho. A diária do operário menos especializado foi de:
a) R$ 23,00
b) R$ 23,50
c) R$ 24,00
d) R$ 24,50
e) R$ 25,00
31. (FCC) Na entrada de um estádio, em um dia de jogo, 150 pessoas foram revistadas pelos soldados Mauro,
Norberto e Orlando. O número das revistadas por Mauro correspondeu a 3/4 do número das revistadas por Orlando,
e o número das revistadas por Orlando correspondeu a 14/13 do número das revistadas por Norberto. O número de
pessoas revistadas por:
a) Mauro foi 45.
b) Norberto foi 54.
c) Orlando foi 52.
d) Norberto foi
e) Mauro foi 42.
32. (UEL-PR) Fernando fez um pedido de 4 m2 de um piso tipo A e alguns metros quadrados de um piso tipo B. O
piso tipo A custa o dobro do piso tipo B. Ao anotar o pedido, o vendedor trocou os tipos de piso, ou seja, 4 m2 de
piso tipo B e o resto tipo A. Isso fez o pedido ficar 50% mais caro. A quantidade de piso tipo B no pedido original
era:
a) 32
b) 16
c) 8
d) 6
e) 4
33. (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um
arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma
partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos
convertidos pelo jogador nesta partida foi:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20
34.(CESPE) A diferença entre dois números é 144 e o quociente entre eles é 5. Um desses números é:
a) 35
b) 180
c) 60
d) 80
35.(UNB-CESPE) A metade da diferença entre dois números é 325 e o dobro de seu quociente é 28. Calcule o menor:
a) 28
b) 25
c) 14
d) 50
36.(CESPE) Dois números tais que, multiplicando-se por 5 e o menor por 6, os produtos são iguais. Se o maior
deles, diminuído de 3 é igual ao menor aumentado de 1, então um deles é:
a) 4
b) 7
c) 18
d) 24
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37.(UNB-CESPE) A quantia de R$ 8,75 é composta de 42 moedas de, 1 centavo e de 50 centavos. A diferença entre
as quantidades de moedas de 1 centavo e 50 centavos é de:
a) 6 moedas
b) 7 moedas
c) 8 moedas
d) 9 moedas
e) 10 moedas
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
11 e 6
94, -34
9e5
D
D
B
18 e 5
33 e 17
C
D
86
3 000
E
A
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
GABARITO
A
C
C
18
7e5
C
25 e 15
D
E
B
C
C
A
C
29
30
31
32
33
34
35
36
37
E
E
E
B
C
B
D
D
C
07-Funções do 2º Grau
Denomina-se função do 2º grau toda função f: R Æ R definida por
2
f(x) = ax + bx + c, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0.
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
•
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
•
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
a)
Raízes ou zeros
2
As raízes da função f(x) = ax + bx + c são dadas por :
f(x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0
⎧
−b+ ∆
'
x
=
⎪
−b± ∆ ⎪
2a
x=
⎨
2a
⎪ x" = − b − ∆
⎪⎩
2a
2
Em que : ∆ = b − 4ac
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Observação :
∆ > 0 ⇒ duas raízes reais e desiguais
∆ = 0 ⇒ duas raízes reais e iguais
∆ < 0 ⇒ não existem raízes reais
As Coordenadas do vértice V são dadas por:
xv = −
b
2a
e
yv = −
∆
4a
Se a > 0, temos:
• o conjunto imagem é
∆⎫
⎧
Im( f ) = ⎨ y ∈ R / y ≥ − ⎬
4a ⎭
⎩
•
yv = −
∆
4a
é denominado valor mínimo.
Se a < 0, temos:
• o conjunto imagem é
∆⎫
⎧
Im( f ) = ⎨ y ∈ R / y ≤ − ⎬
4a ⎭
⎩
•
yv = −
∆
é denominado valor máximo.
4a
Exercícios
1.) Determine as raízes da equação x2 – 6x + 5 = 0
a) 5 e –6
b) –5 e 6
c) 1 e 5
d) –1 e –5
e) –1 e 5
Resp.: C
2.) As soluções da equação x2 – 4 = 0 são:
a) 2 e 2
b) 2 e –2
c) 0 e 4
d) 4 e –4
e) 2 e 4
Resp: C
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3. ) Se a função f(x) = ax2 + bx + c é representada pelo gráfico da figura, os valores de a, b e c podem ser,
respectivamente
a) 1, 2, -3
b) 2, 4, 2
c) 3, 1, 2
d) 2, -1, 2
e)-1, -1, -1
Resp: A
2
04)Se p é um número real, a equação x + x + 1 = p possui duas raízes reais distintas se, e somente se,
3
4
3
b) p <
4
4
c) p >
3
a) p >
d) p > 0
e) p é um número real qualquer.
Resp.: B
05)O lucro de uma empresa imobiliária, em um certo período de tempo, é dado em milhões de reais por
L(x) = 5 • (x - 4) • (8 - x), onde x representa o número de lotes vendidos. Para que a empresa tenha lucro máximo, o
número de lotes vendidos nesse período deve ser igual a
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 8
Resp.: C
6.(FCC-BB-DF) Depois de várias observações um agricultor deduziu que a função que melhor descreve a produção
(y) de um bem é uma função do segundo grau y = ax² + bx + c, em que x corresponde à quantidade de adubo
utilizada. O gráfico correspondente é dado pela figura abaixo.
Tem-se, então, que:
(A)
a = -3,
b = 60
(B)
a = -3,
b = 75
(C)
a = -4,
b = 90
(D)
a = -4,
b = 105
(E)
a = -6,
b = 120
e
e
e
e
e
c = 375
c = 300
c = 240
c = 180
c = 150
Resp.:A
7)O polinômio do 2º grau
a)
b)
c)
d)
e)
m≠2
m≠1e m≠2
1≤m≤2
m≤1
m≥2
b
y = (x 2 + 1) + ax , com coeficientes reais, não possui raiz real se, e somente se:
2
Resp.: a
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8) Determine os valores de m para os quais a equação x2 + (m + 2)x + (2m + 1) = 0 admite duas raízes iguais.
Resp.:m=0 ou m=4
9.)O gráfico abaixo representa uma função do tipo y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Então, podemos afirmar que:
a) a > 0,
b) a < 0,
c) a < 0,
d) a < 0,
b2 = 4ac
2
b > 4ac
b2 < 4ac
2
b > 4ac
e
e
e
e
c>0
c<0
c<0
c>0
Resp.: b
10. (FCC-BB-MT) Uma empresa, após vários anos de estudo, deduziu que o custo médio (y) em reais de sua
produção e venda de x unidades de um determinado produto é uma função do segundo grau y = x² + bx + c
representada pelo gráfico a seguir:
Tem-se então que:
a) b = 6 e
b) b = -6 e
c) b = -3 e
d) b = -3 e
e) b = -6 e
m=3
m=6
m=6
m=6
m=3
Resp.: A
11) O valor máximo da função
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
f ( x) = − x 2 + 2 x + 2 é:
Resp.: b
12) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(-1, - 4). O valor de k + m é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
Resp.: b
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13) Seja f uma função real de variável real que satisfaz a condição:
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⎛ 2002 ⎞
f ( x) + 2 f ⎜
⎟ = 3x para x > 0.
⎝ x ⎠
O valor de f (2) é igual a:
a) 1000
b) 2000
c) 3000
d) 4000
e) 6000
Resp.: B
2
14) O valor máximo da função definida por f(x) = -x + 6x + 7 é:
a) 7
b) 6
c) 3
d) 16
e) 64
Resp.: d
15).(FCC) Considere que a receita mensal, em reais, de uma pequena indústria seja calculada pela expressão R(x) =
36.000x – 3.000x2, em que x é o preço unitário de venda, em reais, do produto por ela fabricado. Para que seja
gerada uma receita de R$ 108.000,00, o preço x deve ser igual a
a) R$ 6,00
b) R$ 7,00
c) R$ 8,00
d) R$ 9,00
e) R$ 10,00
Resp.: A
16).Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y2?
a) 64
b) 109
c) 120
d) 124
e) 154
Resp.: D
17) A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
(2 x − 45)2 − (x − 21)2 = 0 é:
Resp.; A
18) O lucro de uma empresa é dado pela função L(x ) = − x 2 + 100x + 50 , onde x é o número de unidades produzidas
por dia. Com base nessas informações, é correto afirmar que o lucro será o maior possível quando x for igual a:
a) 40.
b) 50.
c) 60.
d) 70.
e) 80.
Resp:B
19) Resolver a equação 7x2 – 4x = 0
Resp.: x = 0 e x = 4/7
20) Resolver a equação 5x. (x + 4) = 10x
Resp.: x = -2
21) Encontre o conjunto solução da equação (x – 6)2 = 36 – x (x + 5)
Resp.: x= 0 e x = 7/2
50
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22) A equação 3 x 2 − ⎛⎜ 4 − m ⎞⎟ x − 32 = 0 possui raízes simétricas para que valor de m?
⎝5
⎠
Resp.: 4/5
23) O valor de m para que 5x2 – 10x + m + 4 = 0 tenha uma raiz nula é:
Resp.: m = -4
24) Resolvendo a equação (x - 1)2 = x. (8 – 2x) – 2 em R, encontramos como solução:
Resp.: x = 3 e x = 1/3
25) Se x1 e x2 forem as raízes da equação 9x2 + 9x – 4 = 0, então o valor de x1 + x2 será:
Resp.: -1
26) A maior raiz inteira da equação – x2 – 7x – 12 = 0 é:
Resp.: -3
27) Uma indústria pode produzir diariamente x refrigeradores, com 20 ≤ x ≤ 50, com o custo unitário y, em reais,
dado pela função y = x 2 − 80 x + 2000 .Considere o enunciado para responder as questões abaixo:
a) Qual será o custo unitário de produção se forem fabricados 20 refrigeradores por dia?
Resp.: R$ 800,00
b) Qual será o custo unitário de produção se forem fabricados 50 refrigeradores por dia?
Resp.: R$ 500,00
c) Quantos refrigeradores devem ser fabricados por dia para que o custo unitário de produção seja mínimo?
Resp.: 40
d) Qual é o custo unitário mínimo de produção?
Resp.: R$ 400,00
28) A soma dos inversos das raízes da equação x(3x - 5) = 7(x + 60) é aproximadamente igual a:
a) - 0,6
b) - 0,3
c) - 0,03
d) 0,01
e) 0,03
Resp.: C
Mais exercícios para você treinar
1. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m
cada azulejo em centímetros?
2
de parede. Qual é a medida do lado de
2
2. A área de um retângulo é de 64 cm . Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o
comprimento mede (x+6) cm e a largura mede (x- 6) cm.
3. Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do resultado, subtrair 9, você obterá 112. Qual é o
número?
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4. Qual deve ser o valor real de y para que as frações
2 y +1 y + 5
e
y+2
y+3
sejam numericamente iguais?
5. Se você adicionar a cada uma das seguintes expressões um determinado número, elas se transformarão em um
trinômio quadrado perfeito. Nessas condições, escreva um número para cada expressão:
x 2 + 4x
2
b) x − 20 x
2
c) x − 16 x
2
d) x + 14 x
2
e) x + 3 x
2
f) x − 7 x
a)
6. As equações seguintes estão escritas na forma normal reduzida. Calcule o discriminante
identifique o tipo de raízes que cada equação apresenta.
a)
b)
c)
d)
e)
∆
de cada uma e
x2 − 4x − 5 = 0
x 2 + 8 x + 20 = 0
x2 + 6x − 4 = 0
9x2 + 6x + 1 = 0
5 x 2 − 3x + 1 = 0
7. Encontrar o conjunto-solução de cada equação do 2o grau abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
x 2 − 6 x − 16 = 0
6x2 − x − 5 = 0
25 x 2 + 10 x + 1 = 0
3x 2 + 4 x + 2 = 0
y 2 − 16 y + 64 = 0
8. Num Congresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra quantas mulheres e quantos homens
estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade de
mulheres é maior do que a quantidade de homens. Justifique a resposta pelo método da equação do 2o grau.
9. Determine os valores reais de x para que o valor numérico da expressão
10. Quais os valores reais de y para que as expressões
13. Sabendo que a expressão
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x
x−2
+
1`+ x
x
seja igual a - 3.
y 2 − 3 e 2y + 1 sejam iguais?
11. Quais os valores reais de x que tornam verdadeira a equação
12. Determine o conjunto-solução da equação
x2 + 4x
x −3 = −
1
⎛3
⎞
x⎜ − x ⎟ = x + ?
2
⎝4
⎠
1
.
x −5
é igual a 1, determine os valores reais de x.
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14. Sendo x' e x" as raízes da equação
x +1 =
8− x
2
2
, determine o valor de ( x ') + ( x") .
x
15. A soma de um número real com seu quadrado dá 30. Qual é esse número?
16.Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse
número?
17. Se você adicionar um número inteiro diferente de zero com o inverso do número, vai obter
17
. Qual é esse número inteiro?
4
18. A soma S dos n primeiros números inteiros positivos pode ser calculada pela fórmula
S=
n(n + 1)
. Nessas condições,
2
determine a quantidade de números inteiros positivos que dá 120 como soma.
19. A distância entre Curitiba e Florianópolis é de 300 km. Para cobrir essa distância, a certa velocidade média, um automóvel
gastou x horas. Sabe-se que a mesma distância seria percorrida em 2 horas a menos se o automóvel aumentasse de 40 km/h a sua
velocidade média. Qual o tempo x gasto para percorrer os 300 km? Lembre-se: velocidade média=
20. A equação
ax 2 − 4 x − 16 = 0
Dis tan cia
.
Tempo
tem uma raiz cujo valor é 4. Nessas condições, qual é o valor do coeficiente a?
o
21. Vamos determinara equação do 2 grau, na incógnita x, cujas raízes são os números reais seguintes:
a) 7 e 12
b) - 10 e - 3
c) 4/7 e - 3
d) 9 e - 6
e) - 8 e + 8
f) 0 e - 4/9
GABARITO
1. R: 15 cm
2. R: 16 cm e 4 cm
3. R: 11
4. R:
± 7
5.
a)R: 4
b)R: 100
c)R: 64
d)R: 49
e)R:
f)R:
∆ = 52
c)R:
tem duas
diferentes.
A equação
raízes reais
d)R: ∆ = 0 A equação
tem uma única raiz real
∆ = −11
A
e)R:
equação não tem raízes
reais
7. Encontrar o conjuntosolução de cada equação
o
do 2 grau abaixo:
94
a)R:
49 4
b)R:
6.
a)R: ∆ = 36 A equação
tem duas raízes reais
diferentes.
∆ = −16
b)R:
A
equação não tem raízes
reais
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c)R:
d)R:
{− 2,8}
⎧ 5 ⎫
⎨− ,1⎬
⎩ 6 ⎭
⎧ 1⎫
⎨− ⎬
⎩ 5⎭
{}
e)R:
{8}
17. R: 4
8. R: 27 mulheres e 23
homens
19. R: 5 h
9R: x= - 1 ou x= - 3
10.
18.R: 15
R:
y = 1 + 5 ou y = 1 - 5
20. R: 2
21.
2
a) R: x - 19x + 84 = 0
2
11. R: Não existem esses
valores reais de x.
12.R:
b) R: x +13x+30=0
2
c) R: 7x + 17x - 12 = 0
2
d) R: x - 3x - 54 = 0
2
e) R: x - 64 = 0
{4}
2
13.
R:
f) R: 9x + 4x = 0
x = −1 + 3 ou x = 1 - 3
14. R: 20
15. R: 5 ou - 6
16. R: 10 ou - 6
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08-ANÁLISE COMBINATÓRIA
Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode ocorrer um determinado evento.
Vejamos alguns exemplos:
1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema?
2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)?
3) Quantos tipos de saladas, feita de três tipos de frutas diferentes, podem ser formados com as seguintes frutas: banana,
maçã, pêra, uva, laranja, mamão, melão?
Enfim! Situações como essas acima serão resolvidas por meio de técnicas que conheceremos a partir de agora. Ou seja, a
Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número de maneiras possíveis de se realizar um determinado
evento, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras!
Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito: suponhamos que eu tenho uma moeda na mão e vou lançá-la três vezes
para o ar.
A pergunta é: quantos são os resultados possíveis para esses três lançamentos da moeda?
Ora, se fôssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderíamos fazê-lo por intermédio de um desenho, chamado
diagrama da árvore. Da seguinte forma:
Nos resultados, chamamos cara de C, e coroa de k. E assim, por meio do desenho acima, percebemos que há oito
diferentes possíveis resultados para o lançamento de uma moeda três vezes! Ocorre que seria muito custoso termos que, a
cada novo problema, fazer o tal do diagrama da árvore!
Chamaremos essa primeira técnica apenas de Princípio Fundamental. Ok?
Consiste em quê? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada
uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu número de
resultados possíveis!
Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lançar uma moeda três vezes. Daí, fica bem fácil dividi-lo em
etapas: cada etapa será um lançamento. Confere?
Destarte, teremos:
1ª etapa) 1º lançamento da moeda;
2ª etapa) 2º lançamento da moeda;
3ª etapa) 3º lançamento da moeda.
Pois bem! Conforme dissemos, temos que descobrir os resultados possíveis individuais de cada etapa.
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Ou seja, ao lançarmos a moeda a primeira vez, quantos serão os resultados possíveis para esse primeiro lançamento? Dois,
obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dará com o segundo lançamento e com o terceiro. Daí, teremos:
1ª etapa) 1º lançamento da moeda 2 resultados possíveis
2ª etapa) 2º lançamento da moeda 2 resultados possíveis
3ª etapa) 3º lançamento da moeda 2 resultados possíveis
Finalmente, o Princípio Fundamental vem nos dizer: agora, basta multiplicar os
resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)!
Teremos: 2x2x2= 8 A mesma resposta do diagrama da árvore!
FATORIAL
Para o estudo da análise combinatória é de fundamental importância o conceito de fatorial. Isto ocorre devido ao fato de que
no estudo do princípio da contagem é muito comum aparecerem produtos de números consecutivos.
Definimos por fatorial de um número n (e indicamos por n!)
n! = n.(n - 1).(n - 2).... 3.2.1
OBS.: 0! = 1
1! = 1
Exemplos:
3! = 3.2.1= 6
5! = 5.4.3.2.1=120
ARRANJOS SIMPLES
Os Arranjos são agrupamentos em que os elementos ,se diferem pela ordem ou pela natureza.
Observe
(AMOR) ≠(ROMA)
Difere após a mudança das letras , obtendo outra palavra.
Então se ( a, b, c) ≠ (b,c ,a) temos um problema de arranjo simples.
Notação:
p
n
A
ou An, p com n ≥ p
O número de arranjos simples de um conjunto pode ser calculado com a seguinte fórmula:
Anp =
n!
(n − p )!
EXEMPLO:
Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem ser conquistados os três primeiros
lugares?
Resolução:
Primeiro passo
Se formarmos um trio de primeiros lugares em ordem de posição:
1º Lugar = Palmeiras
2º Lugar = COC
3º Lugar = Osasco
e se invertermos as posições teremos:
1º Lugar = COC
2º Lugar = Palmeiras
3º Lugar = Osasco
A ordem mudou, e , as posições dos times são relevantes no exercício , então temos um problema de arranjo simples:
A363 =
36!
36.35.34.33!
=
= 36.35.34 = 42.840
(36 − 3)!
33!
Portanto teremos 42.840 maneiras diferentes de se obter os três primeiros lugares.
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COMBINAÇÕES SIMPLES
As combinações são agrupamentos em que a ordem dos elementos não altera o conjunto.
Observe:
Seja um trio escolhido , entre um conjunto de pessoas para formação de uma comissão.
(Cristiane, Malu, Ricardo) = (Malu, Ricardo,Cristiane)
A ordem foi alterada mas a natureza (trio) é a mesma
Notação
p
n
n, p
C
ou C
com n ≥ p
O número de combinações pode ser calculado da seguinte forma:
Cnp =
n!
p!(n − p)!
Exemplo:
De quantas maneiras podemos escolher um comitê de cinco pessoas dentre oito?
Lembre-se : Comissões é combinação:
C85 =
8!
8.7.6.5! 8.7.6
=
=
= 56
5!(8 − 5)!
5!.3!
6
Portanto teremos 56 comissões.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
A Permutação Simples (Pn) é um arranjo de n elementos tomados n a n., ou seja:
Ann =
n!
n! n!
= = = n!
(n − n)! 0! 1
Com isso
Pn = n! = n.(n - 1).(n - 2)....3.2.1
Exemplo:
1) Determine o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra OCA.
Resolução:
Como temos uma palavra com três letras e sem repetição de nenhuma letra temos:
P3 = 3!
P3 = 3.2.1 = 6
Portanto temos 6 anagramas da palavra OCA.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÂO.
Entretanto existem casos onde os elementos podem repetir dentro de um mesmo agrupamento. Neste caso temos a
permutação com repetição.
Definimos como permutação com repetição a seguinte relação:
Pnα , β ,γ =
n!
α! β !γ !...
onde n é o número total de elementos a serem agrupados e
α , β ,γ
é a quantidade de elementos que se repetem.
Exemplo:
Determine o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra URUBU.
Neste caso temos uma permutação com repetição e então, calculamos da seguinte forma:
Observe que a letra U repete-se 3 vezes então:
P53 =
5! 5.4.3!
=
= 20
3!
3!
Portanto temos 20 anagramas da palavra URUBU.
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Exercícios
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado,
na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas
moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120
02.O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que
somente as moças fiquem todas juntas é igual a:
a) 6
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
03. Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo
o desenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo. O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo
menos quatro deles sejam vermelhos. É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é
de:
a) 6
b) 12
c) 22
d) 24
e) 36
04.Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco
crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é
dado por:
a) 5.400
b) 6.200
c) 6.800
d) 7.200
e) 7.800
05.Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por
um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da
diretoria, onde José não é o presidente, será:
a) 120
b) 360
c) 60
d) 150
e) 300
06. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no
mínimo um diretor?
a) 25
b) 35
c) 45
d) 55
e) 65
07. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de
10 pessoas, de modo que nenhum membro seja matemático?
a) C20,10
b) C15,10
c) C20,15
d) C10,10
e) C20,20
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08. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de
10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão?
a) C20,10
b) C15,10
c) C20,15
d) C15,5
e) C20,20
09.Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do
desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro
das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente,
Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
10. Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-lo sem uma mesma parede, lado a lado.
Todos os seis quadros são assinados e datados.Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem,
desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número
de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a
a) 20.
b) 30.
c) 24.
d) 120.
e) 360.
11. Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que
existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções
da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando
necessariamente por B?
a) Oito
b) Dez
c) Quinze
d) Dezesseis
e) Vinte
12. A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra
qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou
não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos.
Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes
senhas possíveis é dado por:
a) 226 310
b) 262 103
c) 226 210
d) 26! 10!
e) C26,2 C10,3
13. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio
de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de
tentativas para abrir os cadeados é
a) 518 400
b) 1 440
c) 720
d) 120
e) 54
14.Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de
diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que :
a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados;e que:
b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,
a) 1112 e 1152.
b) 1152 e 1100.
c) 1152 e 1152.
d) 384 e 1112.
e) 112 e 384.
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15.Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na
mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti
fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 46
e) 48
16. Com os algarismos 1,3,4 5 e 7 , sem repeti-los , podemos formar n números de três algarismos divisíveis por 5.
Então n, é igual a:
a) 12
b) 16
c) 25
d) 60
e) 80
17. Marcam-se 20 pontos em uma circunferência. O número de cordas que esses pontos determinam é:
a) 380
b) 190
c) 160
d) 120
e) 80
18. Numa clínica oftalmológica, foram catalogados 20 clientes e encontrados oito mulheres com visão normal, cinco
mulheres daltônicas e um homem daltônico. De quantas maneiras podem ser selecionados três desses clientes,
sendo duas mulheres e um homem, todos com visão normal?
a) 6
b) 28
c) 168
d) 336
e) 1008
19. (UnB) Sobre uma reta marcam-se três pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se cinco pontos.
Determine quantos triângulos serão obtidos unindo três quaisquer desses oito pontos.
20. (MACK-SP) Temos seis cartões postais distintos e queremos enviá-los para seis pessoas, um cartão para cada
pessoa. O número de maneiras diferentes de fazê-lo é:
a) 72
b) 6
c) 36
d) 720
e) 10
21.Deseja-se dispor em fila cinco crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Danielle e Márcio. Calcule o número das
distintas maneiras que elas podem ser dispostas, de modo que Rogério e Reginaldo fiquem sempre vizinhos.
22. O número de maneiras pelas quais seis pessoas podem ser distribuídas em três grupos, cada um formado por
duas pessoas, é:
a) 60
b) 75
c) 80
d) 85
e) 90
23. A quantidade de números de três algarismos que têm pelo menos dois algarismos repetidos é:
a) 38
b) 252
c) 300
d) 414
e) 454
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24. Nove times de futebol vão ser divididos em três chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da
primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um “cabeça-de-chave” definido. Nessas condições, o
número de maneiras possíveis e diferentes de se completar as chaves é:
a) 21
b) 30
c) 60
d) 90
e) 120
25. Dezoito equipes disputam um torneio de futebol, no qual cada participante enfrenta todos os outros uma só vez.
Quantas partidas deverão ser disputadas?
a) 153
b) 170
c) 242
d) 306
e) 492
26. Uma prova compõe-se de 20 questões do tipo múltipla escolha tendo cada uma 4 alternativas distintas. Se todas
as 20 questões forem respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de resposta será:
a.) 204
b.) 20!
c.) 116.280
d.) 4.845
e.) 420
27. Cinco bandeiras coloridas e distintas, hasteadas em um mastro, constituem um sinal em código. Quantos sinais
podem ser feitos com sete bandeiras de cores diferentes?
a.) 5.040
b.) 120
c.) 480
d.) 2.520
e.) 1.250
28. As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que
podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, som repetir nenhum algarismo.
a.) 120
b.)240
c.)480
d.) 2.500
e.) 1.250
29. Um cofre possui um disco com 26 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras distintas, numa cena
ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o n0 máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o
cofre?
a.) 17.576
b.)2.600
c.) 26!
d.) 15.600
e.) 10.000
30. De quantos modos diferentes se podem vestir 3 meninos do mesmo tamanho, cada um com uma calça e uma
camisa, dispondo-se de 5 calças e 4 camisas de cores diferentes?
a.) 40
b.) 1.440
c.) 84
d.)14
e.) 584
31.Cinco pessoas vão ao cinema, encontrando 5 lugares. De quantas maneiras poderão sentar-se indistintamente?
32. É necessário colocar 7 livros diferentes em uma estante. De quantas maneiras poderão ajeitar esses livros na
estante indistintamente?
33. Determinar quantos anagramas tem a palavra representante?
34. Um cofre possuiu um disco com 12 letras. A combinação do cofre é uma palavra de 5 letras.Quantas tentativas
podem ser efetuadas por uma pessoa que desconheça a combinação?
a.) 125
b.) 12!
c.) 95.040
d.) 792
e.) 512
35. Quantas comissões de 4 mulheres e 3 homens podem ser formadas com 10 mulheres e 8 homens?
a.) 1.693.440
b.) 876.000
c.) 11.760
d.) 1.450
e.) 720
36. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca
pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de
telefones será:
a.) 408.240
b.) 81.000
c.) 810.000
d.) 9.000.000
e.) 8.100.000
37. Uma sociedade é composta de 7 dentistas, 5 escritores e 8 médicos. Quantas comissões de 7 membros podem
ser formadas de tal modo que se tenha 2 dentistas, 4 escritores e 1 médico.
a.) 840
b.) 40.320
c.) 8.100
d.) 90.450
e.) 58.100
38. Uma prova compõe-se de 10 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada uma 5 alternativas distintas. Se
todas as 10 questões forem respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de
respostas será:
a.) 105
b.) 10!
c.) 30.240
d.) 10!
e.) 510
5! . 5!
60
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39. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos distintos. Sabendo que o primeiro dígito
nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos distintos, o aumento possível na
quantidade de telefones será:
a.) 408.240
b.) 81.000
c.) 810.000
d.) 9.000.000
e.) 8.100.000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
D
C
C
A
E
D
B
D
A
D
C
GABARITO
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
B
A
C
E
A
B
C
45
D
48
E
B
D
A
E
D
C
D
B
120
5040
33
P13
34
35
36
37
38
39
A
C
E
A
E
A
4, 2, 2, 2
GEOMETRIA PLANA
ÁREAS E PERÍMETROS DAS SUPERFÍCIES PLANAS
TRIÂNGULOS
•
De modo geral podemos calcular a área de um triângulo usando a fórmula a seguir.
c
a
h
A =
b .h
2
b
Fórmula de Herão
A =
p .(p - a ).(p - b ).(p - c )
(onde p é o semiperímetro do triângulo)
TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
c
b
h
B
C
a
Área :
A=
QUADRILÁTEROS
Retângulo
b.c
2
ou
A=
a.h
2
Teorema de Pitágoras ⇒ a2 = b2 + c2
Paralelogramo
h
h
b
b
A = b .h
A = b .h
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Quadrado
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Losango
l
d
l
l
D
l
A = l2
A =
D .d
2
Perímetro: 2p = soma dos lados
Trapézio
b
h
B
(B + b )
A =
.h
2
Perímetro: 2p = soma dos lados
CÍRCULO e CIRCUNFERÊNCIA
R
Área :
.c
A = π.R 2
Perímetro :
C = 2π.R
EXERCÍCIOS
01. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura abaixo.
Qual é a área do retângulo ABCD?
A
D
16
12
B
27
C
a) 80
b) 84
c) 86
d) 88
e) 91
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02. Na figura, os triângulos ABC e EGF são eqüiláteros. O perímetro do triângulo ABC é 132cm e, além disso,
AE = EC
BD = DC
DG = GE
EF = FC
B
D
G
A
E
F
C
Qual o perímetro da área sombreada?
03. O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?
a) 625 – x2
x2
b) 625 –
2
x2
c) 1250 –
2
2
x
d) 250 –
2
x2
e) 2500 –
2
04.Traçando segmentos, podemos dividir um quadrado em dois quadradinhos congruentes, quatro trapézios
congruentes e dois triângulos congruentes, conforme indica o desenho abaixo, à esquerda. Eliminando algumas
dessas partes, podemos montar o octógono representado à direita. Que fração da área do quadrado foi eliminada?
Figura 1
Figura 2
a) 1/9
b) 2/9
c) 1/4
d)1/3
e)3/8
06. Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
07. A figura abaixo é um quadrado de área igual a 9 unidades. Ache a área da parte sombreada, sabendo-se que os
lados do quadrado estão divididos em três partes iguais.
a) 4,5
b) 4
c) 9
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d) 6
e) 12
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08. Na figura abaixo todos os triângulos são eqüiláteros. Que fração de área da figura está sombreada?
a)1/2
b)4/5
c)3/10
d)2/5
e)2/3
09.Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é
sombreada?
a)7/18
b)4/9
c)1/3
d)5/9
e)1/2
10.Um designer quer fazer um cartão de papel retangular de comprimento C e largura L, tal que quando dobrado ao
meio, como na figura, o retângulo obtido seja semelhante ao primeiro. Qual o valor da razão
C
?
L
L
2
a)
C
3
b)
2
c) 2
d)
5
2
e) 3
11. Dado o triângulo ABV inscrito no retângulo ABCD da figura a seguir, mostre que qualquer que seja a posição de
V, sobre o lado CD, a área do triângulo permanece constante.
V
D
C
A
B
12. Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferências que tocam a
circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas indicadas na figura. Então a razão
a
é igual a:
b
b
a
a)
64
1
2
b)
2
3
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c) 1
d) 3
2
e) 2
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13. A diagonal do quadrado inscrito no círculo mede 4cm, calcule a área da região sombreada.
14 Os quatro círculos da figura a seguir tem 10cm de raio e são tangentes entre si. Calcule a área sombreada.
15. Os diâmetros dos três semicírculos estão sobre o segmento AB, que mede 20cm. Sendo O centro do
semicírculo maior e ponto de tangência dos dois menores e sabendo que AO ≡ OB, calcule a área da região
assinalada.
A
B
O
16. O lado do quadrado da figura a seguir mede 4cm e os semicírculos se tangenciam no centro do quadrado.
Calcule a área sombreada.
17. O retângulo ABCD a seguir têm 42cm de perímetro. M é ponto médio do lado AB e O é centro do círculo e ponto
médio do lado CD. Sabendo ainda que os arcos de circunferência MD e MC são iguais, calcule a área sombreada.
D
A
O
M
C
B
18. Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 km sobre uma pista circular de raio 200 m. Qual é o
número aproximado de voltas que ele deve dar?
Considere π = 3,14
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500
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19. A figura a seguir mostra duas circunferências concêntricas. A corda AB mede 8 cm e é tangente à circunferência
menor. Calcule a área da coroa circular.
A
B
20. Um retângulo de 6 m por 12 m está dividido em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de
modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C.
B
C
A
Com base nessas informações, classifique em falsa e verdadeira:
I. ( ) A soma das áreas de A, B e C é 72 m2.
II. ( ) A área de A é 1/6 da área de C.
III. ( ) A área de A é 24 m2.
IV. ( ) Um dos lados de A mede 2 m.
V. ( ) Um dos lados de C mede 8 m.
21. Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em três depósitos e um hall de entrada de 20 m2,
conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90,
60 e 120 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades. A largura do depósito
III deve ser, em metros, igual a:
Hall
20 m2
I
III
10 m
II
11 m
22 Uma pessoa sai do ponto A e, passando por B e C, percorre um total de 270 m até chegar ao ponto D, como
indicado na figura abaixo.
Se essa pessoa saísse de A e fosse diretamente para o ponto D, a distância total percorrida, em metros, seria de:
a) 100
b) 110
c) 120
d) 130
e) 150
23. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do retângulo é aumentada
de:
a) 35%
b) 30%
c) 3,5%
d) 3,8%
e) 38%
66
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24.Na figura abaixo, o retângulo ABCD é dividido em dois trapézios pelo segmento PQ, de tal forma que a área de
APQD é o dobro da área de PBCQ. Sabendo-se que AB = 12 cm, PB = 2 cm, e PQ = 5 cm, podemos afirmar que o
lado AD, em centímetros, mede:
a)
b)
c)
d)
e)
3
3,5
4
5
6
25. Quantos quadrados há na figura abaixo?
26 Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângulos congruentes, conforme indicado no desenho figura 1. Em
seguida, os quatro retângulos foram reagrupados de maneira a formar um quadrado, com um buraco quadrado no
centro, conforme indica o desenho da figura 2.
Figura 1
Figura 2
A área do buraco é igual a:
a) ½
b) 9/16
c) 16/25
d) 3/4
e) 1
27)Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2
metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas,
respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações,
pode-se concluir que
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
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28 Considere os pontos do plano (0,0), (0,1), (2,1), (2,3),(5,3) e (7,0). Representando geometricamente esses pontos
no plano cartesiano e ligando-os por meio de segmentos de retas obedecendo a seqüência dada, após ligar o
último ponto ao primeiro obtém-se uma região limitada do plano. Se a unidade de medida é dada em centímetros, a
área dessa região, em cm2, é:
a) 9.
b) 10.
c) 13.
d) 14.
e) 15
Plano Cartesiano
Gabarito
01
E
14
100 ( 4 − π )
02
121
15
25 π
03
C
16
16-4 π
04
B
17
98
05
A
18
D
06
D
19
16 π
07
A
20
V F
V V
F
08
D
21
4
09
B
22
D
10
A
23
E
11
*
24
A
12
C
25
14
13
4 π -8
26
B
27
28
E
D
*Qualquer que seja a variação do vértice V, sobre o lado CD, a área permanecera constante.
GEOMETRIA ESPACIAL
ÁREAS E VOLUMES DAS FIGURAS ESPACIAIS
PRISMAS
h
Características
l
FÓRMULAS
Área da base
Depende do formato da base
B
Área lateral
Depende do formato da base
AL
Área total
Volume
AT = AL + 2.B
V = B.h
68
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PARALELEPÍPEDO
c
b
a
FÓRMULAS
D2 = a2 + b2 + c2
AT = 2.(ab+ac+bc)
V = a.b.c
Diagonal do sólido
Área total
Volume
CUBO
a
a
a
FÓRMULAS
Diagonal do sólido
D=a 3
Área total
Volume
AT = 6.a2
V = a3
CILINDRO CIRCULAR RETO
h
R
FÓRMULAS
Área da base
B=π .R2
Área lateral
AL = 2.π.R.h
Área total
AT = AL + 2.B
Volume
V = π .R2. h
Cilindro Eqüilátero: h = 2.R
ESFERA
R
Área
Volume
FÓRMULAS
A = 4.π.R2
V=
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4.π.R 3
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EXERCÍCIOS
01. Calcule a área total do cilindro circular reto de diâmetro igual a 6 cm e de altura 5cm.
a) 90π
b)
c)
d)
e)
70π
48π
900π
30π
02. (OBM) Num armazém foram empilhadas embalagens cúbicas conforme mostra a figura a seguir. Se cada caixa
pesa 25 kg, quanto pesa toda a pilha.
a) 300 kg
b) 325 kg
c) 350 kg
d) 375 kg
e) 400 kg
03 Calcular a superfície lateral de um cilindro reto em cm2 , cuja altura mede 3 cm e a circunferência de base mede
4 π cm.
10π
8π
c) 3π
d) 12π
e) 90π
a)
b)
04. A área da superfície lateral de um cilindro reto vale 24 π m2 . Se a altura mede 3 m , qual e a medida do
diâmetro do circulo da base?
a) 6 m
b) 8 cm
c) 4 m
d) 8 dm
e) 8 m
05. Considere um cilindro reto no qual a altura e igual o diâmetro da base. Se o volume desse cilindro e 54 π cm3 , a
sua área total , em cm2 e?
a) 42π
45π
52π
d) 54π
e) 90π
b)
c)
06.A área total de um cubo cuja diagonal de face e
2 2 cm
em cm2 e :
07."Para cada peixinho ornamental, você vai precisar de um litro de água", informou o vendedor. Cristiane deseja
construir um aquário em forma de paralelepípedo retângulo para 40 peixinhos. Se a base tiver dimensões 40 cm e
20 cm. A medida da altura será igual a:
a) 6 dm
b) 7 dm
c) 8 cm
d) 5 dm
e) 12 dm
70
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08.A figura abaixo representa um hexaedro regular. A área da secção (ABCD) é
é:
Matemática
6 m2. O volume do sólido, em m3,
B
A
D
C
a) 3 3
b) 2 4 3
c) 3 3 9
d) 4 27
e) 3
09. A soma dos comprimentos de todas as arestas de um cubo é igual a 60 metros. A diagonal, em metros, mede:
a)
3
b) 3 3
c) 5 3
d) 6 3
e) 7 3
10. O transporte de um determinado cereal para exportação é feito em vagões que têm a forma de um
paralelepípedo retângulo com 4,00 m de comprimento, 2,20 m de largura e 0,80 m de altura. Sabendo-se que o
volume útil aproveitável de cada vagão é de 80% de seu volume total, o número de vagões necessários para
transportar 140,80 m3 de cereais é:
a) 14
b) 18
c) 20
d) 24
e) 25
11.Uma piscina retangular de 10 m x 15 m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m. Um produto
químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a serem
usados é:
a) 45
b) 50
c) 55
d) 60
e) 75
12. As dimensões de uma caixa retangular são 3 cm, 20 mm e 0,07 m. O volume dessa caixa em milímetros, é:
a) 0,42
b)4,2
c)42
d)420
e)42000
13.Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em
seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
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14.A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:
x/5
x
x/5
2x
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.
b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros
considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?
15. O volume do paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede 7 cm e duas de suas dimensões medem,
respectivamente, 2 cm e 3 cm é:
a) 36 cm3
b) 6 cm3
c) 49 cm3
d) 7 cm3
e)
13 cm3
16. A diagonal de um paralelepípedo de dimensões 2, 3 e 4 mede:
a) 5
b) 5 2
c) 4 3
d) 6
e)
29
17. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 2, 3 e 5. Se a diagonal do
paralelepípedo mede 10 38 cm, o seu volume, em cm3, é:
a) 100
b) 300
c) 1000
d) 3000
e) 30 000
18.Dispondo-se de uma folha de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir
uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O volume dessa caixa, em
cm3, será:
a) 1244
b) 1828
c) 2324
d) 3808
e) 12000
19.Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
20.Um cubo esta circunscrito a uma esfera de raio
72
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3
3
. O volume do cubo em metros cúbicos é?
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21.No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo
possível de uma bola menor, de raio 2. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas
ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o
chão, é:
A
B
a) 8
d) 34
b) 26
e) 36
c) 28
22. Se o volume de uma esfera é 288π cm3, a medida de seu diâmetro é, em cm, igual a:
a) 6
b) 12
c) 6 6
d) 12 6
e) 24 6
23.Certa peça de um motor é feita de aço maciço e tem a forma de três cilindros retos, de alturas iguais, um sobre o
outro. Se a peça for seccionada por um plano contendo os centros das bases dos cilindros, tem-se a situação
abaixo ilustrada:
a = 9cm
Raio = c
Raio = b
30 cm
altura total
b=
2
a
3
c=
2
b
3
Raio = a
O volume dessa peça, em centímetros cúbicos, é:
a) 1580 π
b) 1330 π
c) 1170 π
d) 970 π
e) 190 π
24 – Uma caixa d’água tem a forma de um cilindro, medindo internamente 60 dm de diâmetro e 15 dm de altura.
Estando a água até 2/3 da altura interna, quantos litros de água estão na caixa? (Dados: π = 3,14 e 1litro = 1 dm3)
a) 113.040
b) 2.826
c) 28.260
d) 11.304
e) 6.280
25 Calcule o volume da esfera em cm3 , inscrita num hexaedro regular de arestas medindo 6 cm.
a) 8π
10π
c) 36π
d) 40π
b)
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26 O circulo máximo de uma esfera mede
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36π cm 2 . Qual é a medida do seu volume?
144π
168π
c) 256π
d) 262π
e) 288π
a)
b)
27 Considere uma sala na forma de um paralelepípedo retângulo, com altura igual 3 m e julgue os itens que se
seguem.
I) Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 5 m, então o volume da sala é superior a 44 m³.
II) Se as medidas dos lados do retângulo da base são 4 m e 5 m, então a área total do paralelepípedo é inferior a 93 m².
III) Se as medidas dos lados do retângulo da base são 6 m e 8 m, então a medida da diagonal desse retângulo é inferior a 9
m.
IV) Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 4 m, então a medida da diagonal do paralelepípedo é inferior a
6 m.
Gabarito
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
74
C
C
D
E
D
24
D
D
C
E
B
E
D
50; $ 8,40
15 A
16 E
17 E
18 E
19 C
20 24
21 A
22 B
23 B
24 C
25 C
26 E
27 V F F V
X xxxxxxx
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