Capacitação Tecnológica do
Professor de Matemática
Graph 3.3.1
Versão EaD
y
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Prof. Jorge Luís Costa
5
6
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8
9
x
Considerações iniciais
Este material foi preparado para que você possa estudar sozinho, executando
ações e fazendo observações sobre o conteúdo disponibilizado.
Durante seus estudos, você realizará ações que são numeradas. Veja o
exemplo abaixo.
1. Ação 1 a ser executada
2. Ação 2 a ser executada
Se você pular alguma dessas ações, o seu curso acabará sendo interrompido
sem possibilidade de prosseguimento porque, à medida que você evoluir no
roteiro, novas ações contarão com o que você fez por meio de outras anteriores,
de forma que chegará o momento em que você não conseguirá fazer mais nada.
Portanto, cuidado com isso!!!
Leia e realize com muita atenção todas as ações, concretas e auxiliares. Para
facilitar, são colocadas ilustrações dos resultados esperados. Procure orientar-se
sempre por elas.
Em alguns pontos você encontrará a figura de uma coruja. Elas têm
significados especiais. Veja a seguir:
Dúvida
Destaque para alguma
provável dúvida, ou um
ponto para discussão.
Atenção
Destaque para algum
detalhe importante que
você dever ficar mais
atento. Também usado
para dicas importantes.
Comentário
Destaque para algum
comentário relevante
sobre o assunto ou sobre a
ação executada.
Preste muita atenção. Ela sempre trará alguma informação ou dica que
poderá ajudá-lo bastante.
Módulo 1 – Graph 3.3.1
•
Justificativa
A aprendizagem, de forma geral, é facilitada e mais intensa quando o aluno participa
ativamente na construção do seu conhecimento.
Algumas ferramentas estão sendo introduzidas, em várias áreas, procurando facilitar este
processo, seja no ensino, seja na aprendizagem.
O programa Graph 3.3.1 vem atender a esta expectativa. Uma ferramenta de construção de
gráficos baseados em funções que pode facilitar o trabalho do professor e auxiliar ao aluno.
•
Objetivos
Ao final deste módulo você deverá ser capaz de:
a) Construir gráficos de funções;
b) Alterar a aparência do trabalho atuando nas diversas configurações do programa;
c) Ajuste das unidades e escalas dos eixos cartesianos;
d) Salvar e carregar trabalhos feitos neste programa;
e) Gerar imagens a partir dos trabalhos construídos no Graph 3.3.1
•
Instruções para o aluno
a) Leia o material atentamente,
b) Concentre-se nos objetivos definidos acima, assim você poderá focar melhor o
seu empenho,
c) Ao longo do texto aparecerá uma corujinha em diversas situações. Ela sempre
chamará a sua atenção para um destaque. Leia atentamente.
1.1 – Instalação do Graph 3.3.1
O Graph 3.3.1 é um programa de livre circulação (freeware), usado para desenhar gráficos
matemáticos em um sistema cartesiano. Qualquer pessoa que precise desenhar gráficos de
funções achará este programa muito bom. Ele faz, de forma muito simples, a visualização
de funções e usando recursos de copiar e transferi-la para outros programas. Ele também
permite que sejam feitos alguns cálculos matemáticos com estas funções.1
O programa pode ser conseguido diretamente da página do seu criador, o engenheiro
elétrico Ivan Johansen, no endereço http://www.padowan.dk/graph/ na área Download. O
programa de instalação chama-se SETUPGRAPH.EXE e tem o tamanho de 1.151.414
bytes (± 1.125 Kbytes).
Para fazer a instalação, siga os seguintes passos:
1 - Abra o Windows Explorer,
2 – Localize o arquivo SETUPGRAPH.EXE e dê um clique duplo sobre ele.
3 – Na primeira janela do Installing Graph 3.3.1, Welcome to the Graph 3.3.1 installtion,
clique sobre o botão Next (destaque 1 na figura 1a); selecione o idioma Português e clique
sobre o botão Avançar (destaque 1 na figura 1b).
Figura 1a
1
Tradução do texto para página inicial do programa. http://www.padowan.dk/graph/
Figura 1b
4 – Para fazermos a instalação é necessário que seja aceito o acordo de licença, portanto,
clique no botão Avançar (destaque 1 na figura 2a); a instalação do Graph 3.3.1 será feita na
pasta padrão, portanto, na janela Diretório de destino, clique novamente sobre o botão
Avançar (destaque 1 na figura 2b).
Figura 2a
Figura 2b
5 – Aguarde a descompactação dos arquivos e a transferência dos mesmos para a pasta de
instalação. Selecione as opções de acordo que fique como a figura 3 e clique no botão
Avançar (destaque 1 na figura 3), na janela do Graph 3.3.1 aparecerá um indicador do
progresso da instalação semelhante à figura 4.
Figura 3
Figura 4
6 – Se não houve nenhum problema, você deverá agora estar na última janela: O GRAPH
FOI INSTALADO COM SUCESSO! (Figura 5). Para finalizar o processo, clique no botão
Finalizar.
Figura 5
Agora, você poderá executar o programa, clicando no ícone que foi inserido no menu
Iniciar do Windows.
No caso de dúvidas, siga os passos a seguir.
1 – Clique no botão Iniciar da barra de tarefas
(Na figura 6, destaque 1).
2 – Aponte o ponteiro do mouse para a opção
Programas (Na figura 6, destaque 2).
3 – Clique sobre o ícone Graph localizado no
menu (Na figura 6, destaque 3).
Figura 6
1.2 – Conhecendo a interface do Graph
Após iniciar o programa Graph, compare a sua tela com a figura 7, a seguir, localizando na
tela do seu computador, cada área da figura.
Figura 7
Área
Barra de Menu
Aplicação e uso
Contém todos os recursos disponíveis no programa. Todos eles são
acessíveis através dos diversos menus, que podem ser ativados
clicando sobre o nome.
Barra de Ferramentas
As ações, que são usadas com maior freqüência, são transformadas
em botões que aparecem nesta barra. O uso da barra de
ferramentas agiliza a operação do programa.
Área de plotagem
Área onde será desenhado o gráfico.
Área de elementos
Área onde aparecerão os diversos elementos que permitirão a
construção do gráfico na área de plotagem e demais recursos do
programa.
Barra de Mensagem
Quando você apontar, com o ponteiro do mouse, algum botão ou
elemento importante, aparecerá nesta barra uma mensagem ou
instrução relativa a este elemento.
É uma indicação muito interessante.
1.3 - Gerando gráfico de uma função
Para inserir uma função no Graph, podemos fazê-lo de três modos: via Barra de Menu,
ou, pela tecla de atalho INS, ou, pela barra de ferramentas no botão Insere uma nova
função.
1.3.1 – Usando o menu Função, na Barra de Menu.
A Barra de Menu, como dizemos anteriormente, contém todas as ações disponibilizadas
no programa.
No Menu Função (figura 8), estão todas as opções de trabalho com funções. Vamos
conhecer algumas delas.
Inserir função...
Insere uma nova função.
Inserir
tangente/normal
Insere uma tangente ou uma
normal à função selecionada, em
ponto determinado.
Inserir sombra...
Insere sombreamento em regiões
limitadas pela função.
Inserir serie de Insere uma nova serie de pontos.
pontos
Figura 8
Editar...
Editar
a
seleção:
função,
tangente/normal ou serie de
pontos.
Apagar
Remove a função selecionada.
Portanto, para inserir uma nova função, vamos clicar na primeira opção deste menu.
1.3.2 – Pela tecla de atalho INS
Observe na figura 8, o destaque 1. Todas as vezes que você encontrar alguma referência
deste tipo, saiba que é a tecla que faz a mesma função da opção do menu, nós a chamamos
de tecla de atalho.
Neste caso, se pressionarmos a tecla INS o programa entenderá que queremos executar a
mesma ação do Menu Função, opção Inserir função...
1.3.3 – Usando o botão Insere uma nova função da barra de ferramentas
Na figura 9, ao lado, o botão
Insere uma nova função está
indicado pelo destaque 1.
Como falamos anteriormente, a
função da Barra de Ferramentas
é agilizar a operação do
programa.
Observe na mesma figura, a
indicação do destaque 2.
Está é a mensagem referente ao
botão Insere uma nova função.
Figura 9
Para digitar a função é necessário observar algumas notações. Veja a
seguir:
x² - deve-se digitar x^2
4x – direto não é necessário notação especial
Cuidado com as prioridades das operações aritméticas. O Graph as
respeita.
Agora que já vimos várias formas de inserir a função no Graph 3.3.1, escolha uma delas.
Na janela Inserir função (figura 10), na caixa de texto
f(x) (destaque 1, na figura 10), digite a função: x2 - 4x +
3
Observe que podemos alterar várias propriedades do
gráfico que será gerado para está função.
Dentre eles temos o Intervalo (intervalo que será
apresentado no gráfico, por exemplo, o intervalo de –2 a
2), Estilo da linha, Tipo (linha ou pontos) Largura
(espessura da linha) e a Cor.
Para confirmar a inserção, clique no botão OK.
Você pode inserir várias funções em um único gráfico,
podendo assim resolver sistemas, comparar funções,
etc...
Figura 10
1.4 - Alterando as propriedades dos eixos x e y
A tela do seu Graph
deve estar semelhante à figura
11. Existe uma série de
informações (os valores da
escala,
o
rótulo
de
identificação dos eixos, etc...)
que podem ser alteradas e que
mudarão a aparência do
gráfico gerado. Há como
configurá-los.
Figura 11
Para alterar estas propriedades temos três formas: via Menu Editar, opção Eixos, ou
pela tecla de atalho crtl+A, ou pelo Botão Editar as configurações dos eixos
na Barra
de Ferramentas. Faça a sua escolha e observe a figura 12, que representa a janela Editar
Eixos.
Veja os elementos desta janela:
Guia dos eixos (destaque 1 da figura 12): aqui
você seleciona o eixo em que trabalhar. O que
falarmos para o eixo x será idêntico para a
execução com o eixo y.
Mínimo e Máximo: determina os valores
extremos para o eixo.
Unidade de Marcas: a unidade da escala: 1
indica de 1 em 1, 2 indica de 2 em 2, e assim por
diante.
Figura 12
Unidade de Grade: a unidade da escala da
grade: 1 indica de 1 em 1, 2 indica de 2 em 2, e
assim por diante.
Escala Logarítmica: se marcada, o Graph passa a trabalhar com escala logarítmica.
Mostrar números: se marcada, mostra os números da escala, nos eixos.
Auto marcas: se marcada, usará uma escala automática que melhor se adapte à função.
Atenção: isto pode não ser a melhor opção para o que você deseja.
Auto grades: se marcada, usará uma escala automática para a grade e que melhor se adapte
à função. Atenção: isto pode não ser a melhor opção para o que você deseja.
Mostrar marcas: marcada, mostra a marca dos números da escala, nos eixos.
Mostrar grade: marcada, mostra a grade para o eixo.
Rótulo: marcada, exibe o texto que está na caixa de texto à sua frente. Esta opção é
interessante quando estivermos representando um gráfico onde o eixo x, por exemplo, deve
ser identificado com a palavra horas.
O eixo-y cruza o x=: este é o ponto onde o eixo y, irá cruzar o eixo x. Quando você estiver
na guia do eixo y, está opção será o contrário, ou seja, onde o eixo do x irá cruzar o eixo y.
Salva como padrão: se marcada, o Graph usará esta configuração como a configuração
padrão, ou seja, todos os gráficos que forem feitos terão esta aparência.
Muita atenção com as propriedades Mínimo, Máximo e Unidades
Estas propriedades dos eixos permitirão um ajuste individual dos eixos
aos valores que serão apresentados no gráfico.
Muitas vezes, as unidades usadas não serão as mesmas para ambos os
eixos. Veja atentamente os exemplos a seguir.
Exemplo 1
A função d=25 t + 40 expressa a distância
percorrida por um veículo que se desloca a
uma velocidade constante de 25 m/s e que
teve seu tempo marcado depois de ter
percorrido 40 metros.
Observe que no eixo y, temos a distância
percorrida e no eixo x o tempo.
Observe também que as unidade do eixo y
é 10 e no eixo x é 1.
Altere as propriedades para:
Eixo x: Mínimo: -1
Eixo y:
Máximo: 10
Unid.Marca: 1
Unid.Grade: 1
Mínimo: -10
Máximo: 190
Unid.Marca: 10
Unid.Grade: 10
Exemplo 2
Segundo testes apresentados pela revista
Quatro Rodas, deduzimos que o Fiat Uno
tem sua resposta de freagem representada
pela função d = (v2) ÷ 200 . Onde d é a
distância necessária para o veiculo parar
estando a uma velocidade v. Baseado nesta
função, geramos o gráfico ao lado.
Aqui também alteramos as propriedades
dos eixos. Veja como elas ficaram.
Eixo x: Mínimo: -10
Máximo: 140
Unid.Marca: 10
Unid.Grade: 10
Eixo y: Mínimo: -5
Máximo: 110
Unid.Marca: 5
Unid.Grade: 5
Experimente.
Aproveite para pesquisar, explorar e experimentar outros valores.
Lembre-se que você é o construtor do seu conhecimento.
1.5 – Outras propriedades dos eixos x e y
Na janela Editar Eixos, que altera as propriedades dos eixos x e y, existe a opção
Configurações e a opção Fonte e Cor.
A opção Configurações possibilita:
• que seja dado um título para o
gráfico;
• que a legenda fique visível ou não;
Também é possível nessa janela, em Estilo
dos Eixos, configurar a tela do gráfico.
Porém a melhor forma de visualisá-lo é em
Cruzado.
Em Trigonometria, você poderá escolher a
escala em que se deseja trabalhar, Radiano
ou Graus
Na opção Fonte e Cor, em Cor do fundo
podemos alterar a cor do fundo da área do
gráfico.
Em Cor dos eixos altera-se a cor dos eixos.
E em Cor da grade a cor das linhas de
grade.
Todas essas cores são alteradas quando
clica-se sobre a cor e seleciona a cor
pretendida.
Em Fontes altera se o tipo de fonte do nome
dos eixos, dos números e da legenda.
1.6 – Salvando o trabalho
Você poderá salvar seu trabalho para consulta posterior, ou para continuar trabalhando nele
em outro momento.
Este recurso é fundamental, pois imagine quando você estiver montando uma solução
gráfica de várias funções e todas as vezes que fosse mostrá-las, tivesse que digitar tudo
novamente. Seria uma grande perda de tempo.
Para fazê-lo, temos novamente três modos:
•
via Barra de Menu: menu Arquivo, opção Salvar
•
via tecla de atalho: crtl+s
•
via botão Grava o sistema de coordenadas e as funções em um arquivo :
Após escolher um dos modos de salvar arquivos, observe a janela “Salvar como” (figura
12) e acompanhe os destaques.
Figura 13
Área em destaque
O que representa
1 – Salvar em
Aqui você seleciona o local onde vai salvar o arquivo, escolhendo a
unidade de disco (A para disquete, C para HD ou qualquer outra
unidade de disco disponível) e a pasta ou diretório. Para mudar de
unidade ou pasta, clique na seta para baixo
e escolha outro local
(Destaque 1 na Figura 13).
2 – Arquivos
Após selecionar o local onde o arquivo será salvo, o Windows
mostrará os arquivos do mesmo tipo existente neste local. Os nomes
destes arquivos aparecerão na área 2
3 – Nome do arquivo Aqui você deverá informar o nome que identificará o arquivo do seu
trabalho.
4 – Salvar com o tipo Quando o programa permite, podemos alterar o tipo do arquivo, mas
no nosso caso só poderemos usar o tipo GRF, próprio do Graph.
Quando estivermos fazendo os nossos trabalhos em computador que não seja nosso,
podemos salvar os arquivos em disquete (unidade A) evitando assim, que fiquem no HD do
computador e alguém o apague.
Será este o padrão adotado nos exemplos que usamos.
Para exemplificar, siga os passos a seguir:
1. Na área “Salvar em”, selecione a unidade A (Disquete de 3 ½ A:) conforme
ilustrado na figura 14.
2. Na caixa de texto do campo “Nome do arquivo”, escreva grafico1.grf (sem
acento).
3. Como não vamos alterar o tipo do arquivo, basta clicar no botão Salvar.
Figura 14
1.7 – Carregando um trabalho salvo em disco
Este é o processo inverso ao que fizemos no item 1.6.
Imagine que você salvou o seu arquivo e desligou o computador. Agora você quer dar
continuidade a aquele trabalho e vai precisar novamente do gráfico. A ação que você vai
fazer é carregar ou abrir o arquivo.
Para fazê-lo, temos novamente 3 modos:
•
via Barra de Menu: menu Arquivo, opção Abrir
•
via tecla de atalho: crtl+o
•
via botão Lê o sistema de coordenadas e as funções a partir de um arquivo :
Vamos ao nosso roteiro:
1. Se você não estiver executando o Graph, abra-o agora.
2. Escolha uma das formas para abrir o arquivo e observe a janela Abrir,
comparando-a com a figura 14, a seguir. Veja que ela é muito semelhante à
janela Salvar como
Figura 15
3. Coloque o disquete no drive A. No campo Examinar, selecione Disquete de 3 ½
A: .
4. Observe que na região 1 da figura 14 irá aparece o nome grafico1.grf. Clique
sobre ele. O nome do arquivo irá para o campo Nome do arquivo
automaticamente.
5. Para finalizar, clique no botão Abrir.
Pronto! O seu trabalho está novamente no Graph e no ponto para você continuar.
IMPORTANTE!!!
As janelas Salvar como e Abrir são semelhantes em todos os
programas do Windows.
Portanto o que vimos aqui servirá para qualquer outro programa.
1.8 – Salvando o gráfico como imagem
Como professor de matemática, provavelmente você precisará ilustrar uma prova, uma
apostila ou qualquer outro texto matemático com um gráfico de função.
O Graph tem uma opção que é transformar o trabalho em um arquivo de imagem que
poderá ser utilizado em qualquer editor de texto ou outro programa.
Desta fez, teremos somente duas formas para executar esta tarefa:
•
via Barra de Menu: menu Arquivo, opção Salvar como imagem
•
via tecla de atalho: crtl+b
A janela que aparecerá, após você executar a ação através de uma das opções anteriores, é
muito semelhante à janela Salvar como. Observe a figura 16.
O único ponto que merece uma atenção um
pouco maior é o tipo do arquivo. Ele agora
terá fundamental importância para nós.
Usaremos arquivo de imagem do tipo BMP.
Figura 16
Em muitos casos, este tipo de arquivo ocupa
um espaço muito grande em disco, mas a sua
compatibilidade com vários programas pesa
muito nesta escolha. Se bem que no nosso
caso, os arquivos gerados são pequenos.
Vamos ao roteiro para salvar o gráfico como uma figura, no disco A:
1. Após ter construído o gráfico ou tê-lo carregado de uma unidade de disco,
execute a opção de Salvar como imagem (escolhendo uma das formas
apresentadas acima).
2. Na janela Salvar como, na área Salvar em selecione Disquete de 3 ½ A:
3. Na caixa de texto Nome do arquivo escreva grafico1
ATENÇÃO!!!
Ao escrever o nome do arquivo, coloque também a extensão
“.bmp”. Normalmente os programas colocam as extensões
automaticamente, mas o Graph não faz isto.
4. Na área Salvar com o tipo selecione Windows Bitmap (*.bmp)
5. E para finalizar, clique no botão Salvar.
Outra forma de usar o Graph para ilustrar textos é por meio do recurso de Copiar/Colar,
porém devemos usar a opção específica de para copiar como imagem.
Após criar o gráfico desejado, clique no menu Editar opção Copiar imagem (Figura 17).
Figura 17
Com esta ação colocamos a imagem da área de plotagem na área de transferência do
Windows.
Entrando em outro programa, por exemplo, um editor de texto como o Microsoft Word ou
mesmo o WordPad que acompanha o Windows, clique sobre o menu Editar opção Colar,
veja as figuras 18 e 19.
Figura 18
Figura 19
Dica interessante!
Tanto para Salvar como imagem ou para Copiar imagem se você estiver com a janela do
Graph maximizada, ou seja, ocupando toda a área de trabalho do Windows, sua imagem
poderá ficar sem muita definição, principalmente, se você tiver que mudar o tamanho da
imagem.
A dica é deixar a janela do Graph no modo restaurar (não maximizado) e ajustá-la para um
tamanho próximo do que você precisará, depois sim, salve como imagem ou copie a
imagem.
Veja a seqüências das figuras a seguir:
Figura 20
Figura 21
Na figura 20, você está vendo a janela do Graph maximizada. Observe o botão Restaurar
que aparece no controle da janela.
Clicando sobre o botão Restaurar sua janela terá a aparência da figura 21. Observe o
destaque que demos à aba de ajuste da janela. Nesta aba você poderá ajustar o tamanho da
janela para obter uma definição maior na figura.
Meus parabéns !!!
Terminamos a primeira parte de estudos do Graph.
Não deixe nenhuma dúvida para o próximo módulo.
Se achar necessário, antes de fazer os exercícios, refaça os roteiros
da apostila. Desse modo o aprendizado ficará mais eficiente.
1.9 – Exercícios
A seguir, temos uma lista de exercícios cujo objetivo é fazer com que você aumente sua
habilidade no manuseio do programa Graph.
Estes exercícios serão avaliados e farão parte de sua
nota final no curso.
Eles deverão ser colocados na ferramenta PORTIFÓLIO do ambiente Teleduc.
Se houver alguma dúvida quanto ao uso desta ferramenta, faça uma consulta rápida
ao Guia do Cursista EaD ou entre em contato via ferramenta CORREIO com o Tutor.
01) A seguir, será dado uma lista com várias funções. Você deverá salvá-las
individualmente em arquivo padrão GRF. Para facilitar, colocamos uma referência na
coluna “Exemplo do gráfico” de como deverá ser o gráfico da função.
Função
Nome do arquivo
a)
F(x)=2x-3
Ex1-a.grf
b)
F(x)=x2+2
Ex1-b.grf
c)
F(x)=2x3-5x-1
Ex1-c.grf
d)
1
f ( x) =   − 1
3
Ex1-d.grf
e)
f ( x ) = 5 ( x − 3) + 1
Ex1-e.grf
f)
f ( x) = − x 2 + 16
Ex1-f.grf
f ( x) = − − x 2 + 16
Obs.: Em caso de dúvidas como colocar
, consulte o menu Ajuda do Graph.
x
Exemplo do gráfico
g)
f(x)=sen(x)
Ex1-g.grf
fx(x)=cos(x)
f(x)=tg(x)
02) Baseado no exercício 1, gere as figuras BMP de todos os gráficos, salve no mesmo
disquete com o mesmo nome e altere somente o tipo do arquivo de grf para bmp. Desse
modo, o gráfico da letra “a”, do exercício 1 deverá ser nomeado ex1-a.bmp e assim
sucessivamente.
3) Gere os arquivos correspondentes às seguintes funções de variável real, mantendo ativa a
grade e as unidades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Função
y=2
y=x+2
y=-x+3
y = x2 – 5x + 6
y = -x2 + 4x - 3
y = (x – 3) (2 – x)
y = x2 – 10x + 25
y = x2 – 2x + 5
y = x3
1
y=
x
Nome do arquivo
ex2-a.grf
ex2-b.grf
ex2-c.grf
ex2-d.grf
ex2-e.grf
ex2-f.grf
ex2-g.grf
ex2-h.grf
ex2-i.grf
ex2-j.grf
Fonte: LEMOS, Aluisio Andrade; HIGUCHI, Fidefico; FRIDMAN, Salomão. Matemática
– Série Sinopse. São Paulo: Moderna, 1985, p. 70-71.
4 – Gere a solução gráfica dos sistemas a seguir. E faça que o arquivo gerado pelo Graph
seja idêntico à figura da coluna. Exemplo. Preste bastante atenção às propriedades dos
eixos.
Sistema
Nome do
arquivo
a)
 y = 2x −1

 y = −x + 5
ex4-a.grf
b)
3 x − y = −5

− x + y = 3
ex4-b.grf
c)
 x − y = −1

2 x + y = −5
ex4-c.grf
d)
x − 3 y − 9 = 0

x + 3 y + 3 = 0
ex4-d.grf
Exemplo
Exercício baseado em: IEZZI, Gelson; et. al.. Matemática – 1ª Série. São Paulo: Atual,
1973, p.73.
5 – Gere o gráfico para o enunciado abaixo salvando-o com o nome de ex5.grf e tome
como referência a figura a seguir.
Porém, no gráfico que você irá entregar, deverá aparecer os valores nos eixos x e y de
forma que seja fácil identificar a altura máxima atingida pelo corpo e a distância percorrida
por ele.
Enunciado do problema
Sabendo-se que a trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezados os efeitos do
ar, é uma parábola.
Um corpo lançado a partir do solo (figura) descreve uma parábola de equação:
Y = 120x – 4x2 (x e y em metros)
Dica: Use unidades diferentes para o eixo X e para o eixo Y.
y
x
Fonte: IEZZI, Gelson; et. al.. Matemática – 1ª Série. São Paulo: Atual, 1973, p.111.
Módulo 2 - Graph 3.3.1
•
Justificativa
Motivar o aluno é sempre um desafio.
Na maioria das vezes, o aluno não é dado a atenção merecida ao estudo de funções porque
não vê aplicações práticas para elas.
Quem sabe, se introduzirmos este estudo com aplicações diretas através de exemplos
práticos não conseguimos mudar este quadro?
•
Objetivos
Ao final deste módulo você deverá ser capaz de:
a) Fazer entrada de pontos no plano cartesiano,
b) Achar as curvas e as funções que melhor se adaptem a uma série de pontos,
c) Criar tabelas para uma dada função,
d) Gerar sombreamento para funções.
•
Instruções para o aluno
a) Leia o material atentamente,
b) Concentre-se nos objetivos definidos acima, assim você poderá focar melhor o
seu empenho,
c) Ao longo do texto aparecerá uma corujinha em diversas situações. Ela sempre
chamará a sua atenção para um destaque. Leia atentamente.
2 – Inserindo
Inserindo uma série de pontos no plano
Tenho certeza que você achará muito interessante este recurso do Graph.
O problema a seguir:
“Uma cidade concedeu isenção de impostos às fábricas que lá se
instalassem. Diversas fábricas se mudaram para lá e a população
começou a crescer muito depressa, desencadeando problemas de
moradia, abastecimento de água, e outros. A prefeitura deseja estimar a
população da cidade no ano de 2002 para planejar suas ações”.
Observe a tabela criada:
Ponto
1
3
6
9
12
15
Ano
1987
1990
1993
1996
1999
2002
População
10000
15000
25000
40000
?
?
Vamos agora colocar os pontos de 1 a 9 no plano cartesiano.
Adotaremos a coluna Ponto para o eixo x e a coluna População, dividia por 1000, para o
eixo do y, assim refazendo nossa tabela teremos:
Ponto (x)
1
3
6
9
12
15
Ano
1987
1990
1993
1996
1999
2002
População (y)
10
15
25
40
?
?
Para entrar com estes valores, siga o roteiro
a seguir:
1 – Clique no menu Função, opção Inserir
serie de pontos, ou clique no botão Insere
uma nova serie de pontos, na barra de
Ferramentas;
2 – Na janela Inserir serie de pontos, entre
com os valores para x e para y, veja a
figura 9. Clique no botão OK.
3 – Altere as propriedades dos eixos:
x→ mínimo: -5 , máximo: 20 , mostrar
grade e unidade.
y→ mínimo: -5 , máximo: 50 , unidade:
5 , mostrar grade e unidade.
Figura 1
A sua área de trabalho deve estar parecida com a figura 2.
Caso não esteja, verifique todas as ações anteriores.
Figura 2
Mas qual a grande vantagem?
Até agora não vi nenhuma “maravilha”!!!
Realmente até agora nenhuma, mas vamos continuar...
Observando a disposição dos pontos no plano, podemos tentar traçar uma curva que passa
por todos os pontos. Isto manualmente é fácil, o complicado é saber qual a função desta
curva.
Vamos continuar...
1 – Se o elemento Series 1, da Área de
Elementos, não estiver selecionada, clique sobre
ele.
2 – Clique no menu Função, opção Inserir
ajuste de curva, ou clique no botão Inserir a
melhor curva para sua serie de pontos
selecionada
, na barra de Ferramentas.
3 – Observe a janela Inserir ajuste de curva,
figura 3, que se abriu.
Figura 3
4 – Temos a opção de escolher um dos tipos de curva de tendência. No nosso exemplo,
utilizaremos o Polinomial de ordem 2, para isso clique sobre ela e em seguida sobre o
botão OK.
Observe que foi inserida uma curva (destaque 1 na figura 4) que mais se aproximou de
todos os pontos e uma função foi inserida (destaque 2 na figura 4).
Figura 4
Se houver necessidade de alterar a função, dê um clique duplo sobre ela na área dos
elementos e a janela de Edite a função, já conhecida nossa, aparecerá.
2.1 – Calculando f(x) para um determinado
valor
Fizemos algumas coisas interessantes, mas não obtivemos o valor que queremos: qual o
valor estimado da população em 1999 e em 2002?
O Graph tem outro recurso interessante, vamos conhecê-lo...
1 - Com a função selecionada, clique no menu Calc, opção Calcular; ou clique no botão
Calcula ou traçar a função desejada
na barra de Ferramentas.
2 – Na janela Calcular que apareceu, digite o valor 12 no campo da variável x.
Porque 12?
Dê uma olhada na nossa tabela. O ponto 12 é equivalente ao ano 1999, assim
como o ponto 15 é equivalente ao ano de 2002.
Observe que o Graph calcula automaticamente o f(x), o f´(x) e o f´´(x), veja no destaque 1
da figura 5. Observe também que ele mostra este ponto na curva (destaque 2 na figura 5).
Figura 5
Se você não está conseguindo ver o detalhe mostrado no destaque 2 da figura 5, pode ser
porque a figura está muito grande.
Para aumentar o campo de visualização clique sobre o botão de zoom na barra de
Ferramenta destaque 1 na figura 6. Você poderá escolher a lupa que melhor atende a sua
necessidade, no nosso caso clique na lupa com o sinal de “-”.
Figura 6
Uma outra forma de analisar um ponto sobre a curva é usando o ponteiro do mouse. Com a
janela Cálculo aberta, clique sobre um ponto qualquer da curva e mantendo o botão do
mouse pressionado, arraste-o sobre a curva, observando os valores que são calculados na
janela Cálculo.
Assim chegamos aos valores: para o ano de 1999 a população estimada será de
aproximadamente 589100 e para o ano de 2002, será de aproximadamente 82139.
2.2 – Ligando pontos de uma série
No exemplo acima, vimos uma série sendo usada para gerar uma função, mas poderá
acontecer de não precisarmos gerar a função, queremos trabalhar uma simples interpretação
de dados. O exemplo abaixo ilustra uma questão que um professor propõe a seus alunos.
Exemplo 1
Dudu ligou para Edu e combinaram de chegar ao clube no mesmo horário. Ambos moram
à mesma distância do clube, 1500 metros. O percurso feito por eles, gerou o gráfico ao
lado, sendo a linha contínua, o trajeto feito por Dudu e o pontilhado, o trajeto feito por
Edu.
Crie uma história, baseada no gráfico, que o justifique.
Para a construção do gráfico teremos que entrar com duas séries de pontos: uma para Dudu
e outra para Edu. Conforme destacamos não estamos querendo achar a função, queremos
simplesmente uma interpretação do gráfico.
Vamos ao roteiro? Ótimo...
Inserindo os pontos referente ao trajeto feito
pelo Edu.
1 – Entre na janela Inserir serie de pontos e
insira os pontos conforme indicado na figura 7.
2 – Na área Linha, campo Estilo (destaque 1 na
figura 7) selecione o estilo de linha contínuo
3 – Clique no botão OK.
Figura 7
Inserindo os pontos referente ao trajeto
feito pelo Edu.
1 – Entre na janela Inserir serie de pontos
e insira os pontos conforme indicado na
figura 8.
2 – Na área Linha, campo Estilo (destaque
1 na figura 8) selecione o estilo de linha
pontilhado.
3 – Clique no botão OK.
4 - Faça agora o ajuste de máximo,
mínimo e unidades para os eixos X e Y,
conforme indicado na figura 9 e 10,
respectivamente.
Figura 9
Figura 8
Figura 10
Experimente!
Mude os valores de espessura de linha, as cores dos pontos e das linhas, na janela
Inserir serie de pontos e veja como o efeito pode ser interessante.
2.3 – Calculando a área
Podemos usar o Graph também para calcular a área, por aproximação, de uma região entre
a função e o eixo dos x.
Veja o exemplo a seguir:
1 – Insira a função x2-4x
2 – Clique no menu Calc, opção Área; ou;
clique no botão Calcular a área sob a curva na
barra de Ferramentas.
3 – Na janela Calcule a área, que apareceu,
informe o intervalo e a variação para o x. Para o
nosso exemplo, usaremos o intervalo de 0 a 4.
4 – Clique no botão Calc. Observe a área de
texto Área, nela será colocado o valor da área
calculada. No gráfico, a área referente ao limite
informado até o eixo do x, ficará sombreado.
Veja a figura 11.
Figura 11
2.4 – Preenchendo tabela
Mais um recurso que pode ser usado para análise de funções, é o calculo por tabela. Este
recurso é muito simples de ser usado, veja:
1 – Usando ainda a função x2-4x, do exemplo
anterior, clique no menu Calc, opção Tabela;
ou; clique no botão Mostra a tabela de cálculo
na barra de Ferramentas.
3 – Na janela Calcular tabela, que apareceu,
informe o intervalo e a variação para o x. Para o
nosso exemplo, usaremos o intervalo de -2 a 6
com um dx de 1.
4 – Clique no botão Calc e observe a tabela
gerada para o intervalo dado ao x. Veja a figura
12.
Nesta janela ainda temos a derivada primeira,
f’(x), e a derivada segunda, f’’(x), informada
nas respectivas colunas.
Figura 12
2.5 – Calculando a tangente da função
função em um
ponto determinado
1 – Continuaremos com a função x2-4x, dos exemplos
anteriores, clique no menu Função, opção Inserir
tangente/normal; ou; clique no botão Insere uma nova
tangente na função selecionada na barra de
Ferramentas.
3 – Na janela Inserir tangente/normal, informe o ponto
de tangência, para o nosso exemplo, usaremos x = 1
(figura 13).
4 – Clique no botão OK. Veja a representação gráfica e a
inserção da tangente na área dos elementos.
Figura 13
2.6 – Sombreando uma região
Este recurso é muito interessante quando queremos destacar alguma região limitada pela
função.
Siga os passos:
1 – Continuaremos com a função x2-4x, dos exemplos
anteriores, clique no menu Função, opção Inserir sombra; ou;
clique no botão Adicionar um sombreamento na função na
barra de Ferramentas.
3 – Na janela Inserir sombra, figura 14, selecione uma das 6
opções para a inserção do sombreamento (detalhe das letras na
figura 14):
a) entre a função e o eixo x
b) abaixo da função
c) acima da função
d) entre funções (veja mais detalhes a seguir)
e) dentro da função
f) entre funções
4 – Clique no botão OK e observe o resultado no gráfico. Para
a opção f, insira a função.
Figura 14
Para usar a opção de sombreamento entre funções, devemos observar alguns parâmetros
específicos.
1 – Como vamos sombrear uma área entre funções, é lógico que precisaremos de duas
funções.
2 – Para melhorar a visualização, podemos determinar limites para o sombreamento.
Exemplificaremos usando como funções x2-4x e –x+4.
Na figura 15 temos o gráfico das duas funções. Vamos ao roteiro:
1 – Selecione a função x2-4x, na área de elementos, dando um clique sobre ela.
2 – Entre na janela Inserir sombra e na guia Sombreamento selecione a opção Entre
funções.
3 – Clique na guia 2nd função e selecione a função -x+4 (figura 16).
Figura 15
Figura 16
4 – Clique na guia Opções e informe o limite
inicial (De) e o final (A) para o sombreamento.
No nosso exemplo, a intersecção das funções
ocorreu nos pontos –1 e 4, assim informamos
estes valores nos respectivos campos. Veja a
figura 17. Existem duas opções interessantes
que devem ser usadas quando não temos um
limite tão bem definido como o nosso, que são
Diminuir até a interseção e Aumentar até
interseção. Ao selecionar estas opções, o
Graph aproximará os valores informados nos
campos De e A até os pontos de intersecção
das funções.
Figura 17
Experimente!
Mude os valores dos campos De e A para 0 (zero) e mantenha as opções Diminuir
até a interseção e Aumentar até interseção marcadas.
Veja o resultado. Você pode também procurar um melhor efeito estético mudando
a cor e o estilo do sombreado.
1.14 – Exercícios
Estes exercícios serão avaliados e farão parte de sua nota final no curso.
Eles deverão ser colocados na ferramenta PORTIFÓLIO do ambiente Teleduc.
Se houver alguma dúvida quanto ao uso desta ferramenta, lembre-se de usar a ajuda
disponível na janela do PORTIFÓLIO (veja MANUAL DO ALUNO) ou então entre
em contato via ferramenta CORREIO com o Tutor.
06) Observando a uma pessoa atirar uma pedra para o alto, criou-se a seguinte tabela:
x
1
2
3
4
5
y
x
6
7
8
9
10
2,3438
4,3750
6,0938
7,5000
8,5938
y
9,3750
9,8438
10,0000
9,8438
9,3750
Onde x é a distância percorrida pela pedra, em metros e y é a altura atingida pela pedra,
também em metros. Ache no Graph a função que melhor expressa esta relação e salve o
arquivo com o nome de ex-6.grf .
07) Uma piscina tem capacidade para 100 m3 de água. Quando a piscina está
completamente cheia, é colocado 1 kg de cloro na piscina. Água pura (sem cloro) continua
a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso de água eliminado através
de um ladrão.
De hora em hora foi coletado dados sobre a quantidade de cloro na piscina e estes dados
geraram a tabela a seguir.
Tempo
(Horas)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Qtde. de cloro na
piscina (gramas)
1000,0
900,0
810,0
729,0
656,1
590,5
531,4
478,3
430,5
387,4
348,67
Baseado na tabela acima, gere no Graph o arquivo ex-7.grf contendo as funções que melhor
se adequam aos dados, no mesmo gráfico destaque com linha mais grossa a função que
atende ao problema de forma específica.
08) – O objetivo dos exercícios a seguir é produzir imagens para ilustrarem problemas ou
conteúdos. Assim você deverá digitar as questões e, usando o Graph, gerar as imagens
idênticas às do modelo. Lembre-se do ajuste de mínimo, máximo e unidade para os eixos
dos x e y.
08.a – Um trem transporta uma carga da cidade A para a cidade B. É uma viagem de 200
km. A distância d percorrida é função do tempo t transcorrido após a partida. Veja:
a) Que distância o trem percorreu nas 2
primeiras horas após a partida? E nas 3
primeiras horas?
b) No gráfico, a distância não varia entre a
segunda e a terceira hora. Como isso se
explica?
c) Que distância o trem percorreu entre as
horas 3 e 6?
d) Da terceira até a sexta hora, qual foi a
velocidade média do trem?
e) Considerando as 6 horas de viagem, qual
foi a velocidade média do trem?
Obs.: Salve o gráfico gerado no Graph com o nome de ex-08a.grf .
Fonte: IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática - 8 série. São Paulo:
Scipione, 1999, p. 238-239.
08.b – Observando o gráfico ao lado, ache a equação
da reta e grave-a no arquivo ex-08b.grf .
Fonte: IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo. Geometria
Analítica. São Paulo: Moderna, 1972.
09) Resolva graficamente os sistemas a seguir, salvando os arquivos com os respectivos
nomes..
 y = 2x −1
a) ex-09a.grf 
 y = −x + 5
 x − y = −1
c) ex-09c.grf 
2 x + y = −5
3 x − y = −5
b) ex-09b.grf 
− x + y = 3
x − 3 y − 9 = 0
d) ex-09d.grf 
x + 3 y + 3 = 0
Exercício baseado em: IEZZI, Gelson; et. al.. Matemática – 1ª Série. São Paulo: Atual,
1973, p.73.
10) Resolva graficamente o problema a seguir e salve o arquivo com o nome de ex-10.grf .
“A estação ferroviária A fica a 300 Km da estação B. No mesmo instante em que um trem
parte da estação A, com um velocidade de 60 Km/h, também parte um trem da estação B,
com uma velocidade de 40 Km/h.
Ache, graficamente, a que distância da estação A ocorrerá a colisão entre os dois trens e a
quanto tempo da partida da estação A isto ocorrerá.”
Obs.: Use cores diferentes para identificar a reta do trem A e do trem B.
11) Junior ganhou de presente de aniversário um filhote de Chihuahua (aquele cachorro
pequenininho com latido agudo). Ganhou também 10 metros de tela para fazer um pequeno
canil. Para aproveitar ao máximo a tela, irá utilizar uma parede, restando então somente três
lados para serem cercados.
a) Quais as medidas dos lados, para que Junior tenha a área máxima no canil?
b) Gere o gráfico e salve-o com o nome de ex-11.grf .
c) Quais as alternativas para você achar estes valores com o Graph?
1.15 – Bibliografia
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de matemática. São Paulo: Moderna
1996.
DOMINGUES(Trad.), Hygino H. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual
1997.
IMENES, Luiz M.; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione 1999.
MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO. Disponível em: <http://www.ensinomedio.impa.br
/materiais/index.htm>. Acesso em: 29 mar. 2003.
HOME PAGE GRAPH. Disponível em: <http://www.padowan.dk/graph/>. Acesso em: 29
mar. 2003.
Meus parabéns !!!
Espero que você tenha aproveitado e que tudo o que vimos juntos
possa refletir em benefícios para seus alunos.