UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
BRUNO CESAR CAYRES ANDRADE / 06021003201
ANÁLISE MODAL NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DE UMA CHAPA DE AÇO
GALVANIZADO TOTALMENTE ENGASTADA
BELÉM
2011
BRUNO CESAR CAYRES ANDRADE / 06021003201
AVALIAÇÃO COMPARATIVA ENTRE MODELOS DE ANÁLISES MODAIS
NUMÉRICO-EXPERIMENTAIS DE UMA CHAPA VIBRANTE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Faculdade de Engenharia Mecânica do Instituto de
Tecnologia da Universidade Federal do Pará para
obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Orientador: Prof. Dr. Newton Sure Soeiro
Coorientador: Prof. Me. Fábio Antônio do
Nascimento Setúbal
BELÉM
2011
BRUNO CESAR CAYRES ANDRADE / 06021003201
AVALIAÇÃO COMPARATIVA ENTRE MODELOS DE ANÁLISES MODAIS
NUMÉRICO-EXPERIMENTAIS DE UMA CHAPA VIBRANTE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico
pela Universidade Federal do Pará
Submetido à banca examinadora constituída por:
___________________________________________________
Prof. Dr. Eng. Newton Sure Soeiro.
UFPA – Orientador
__________________________________________
Prof. Dr. Gustavo da Silva Vieira de Melo
UFPA – Membro Examinador
__________________________________________
Prof. Me. Eng. Fábio A. do Nascimento Setúbal
UFPA – Co-orientador.
Julgado em _____ de_____________de 2011
Conceito: ________________
BELÉM
2011
Aos meus pais, Laury e Gracineide Andrade
À minha irmã Camila Andrade
AGRADECIMENTOS
 Primeiramente, a Deus pela oportunidade de viver e por todas as experiências que tive
no decorrer dos anos.
 Aos meus familiares que, por diversos momentos, me ajudaram a seguir em minha
vida acadêmica. Em especial, ao meu primo Everton Caires por sempre está ao meu
lado. Tenho nele, um irmão mais velho.
 Aos amigos Leonardo Dias Pereira e Jordane Beltrão de Lima, que desprenderam
noites de estudo e momentos de descontração memoráveis. Sem os mesmos, minha
trajetória na graduação não seria tão proveitosa quanto foi. Amigos que levarei para
vida toda.
 Ao Eng. Deusdeth de Lima, pai do Jordane, por nos acolher muito bem em sua
residência para diversas noites de estudos, sempre nos apoiando a seguir em frente.
 Aos meus amigos de infância Romulo Pimentel, Antônio Melo Junior, Hamilton
Cavalcante e Amanda Alves pela amizade, companheirismo e descontrações. Sei que
com os mesmos, poderei sempre contar.
 Ao Prof. Dr. Newton Soeiro pela orientação, pelos conselhos, por me apresentar mais
profundamente à área de vibrações e acústica e pela oportunidade de crescer que me
foi apresentada.
 Ao Prof. Gustavo Melo e ao Prof. Alcides Canêjo por serem exemplos de conduta
profissional e pessoal.
 Ao Eng. Fábio Setúbal pela coorientação e apoio nesta empreitada, sempre disposto a
ajudar.
 Aos meus amigos do Grupo PET de Engenharia Mecânica pelas conquistas e pelas
descobertas durante a minha estadia no grupo, bem como os amigos do LabFluidos
com muito apoio, principalmente Yuu Itai e Priscila Campos.
 Ao Grupo de Vibrações e Acústica – GVA pelos recursos indispensáveis na realização
deste trabalho, bem como aos integrantes deste grupo que sem os mesmos seria difícil
essa realização pessoal, em especial, ao Eng. Gabriel Ohana, Eng. Rodrigo Galvão,
Danilo Braga e Eng. Adry Kleber de Lima.
 Aos meus companheiros de graduação que contribuíram direta e indiretamente.
 Ao Prof. Dr. Severiano Lima pela oportunidade única de um intercâmbio para França
através do programa BRAFITEC.
 Aos amigos que fiz durante minha estadia na França, Matheus Carniatto e Hadrien
Zerah pelas descontrações, brincadeiras e estudo.
 À minha namorada, Bárbara Lavôr, que desperta o melhor de mim. Faz-me sentir mais
disposto a enfrentar as barreiras e os problemas que surgem, e surgirão, ao longo da
vida. Sem seu apoio, seria impossível a confecção deste trabalho.
“É melhor atirar-se à luta em busca de dias
melhores, mesmo correndo o risco de perder tudo,
do que permanecer estático, como os pobres de
espírito, que não lutam, mas também não vencem,
que não conhecem a dor da derrota, nem a glória
de ressurgir dos escombros. Esses pobres de
espírito, ao final de sua jornada na Terra não
agradecem a Deus por terem vivido, mas
desculpam-se perante Ele, por terem apenas
passado pela vida.”
Robert Nesta Marley
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS............................................................................................................. 10
RESUMO................................................................................................................................. 12
ABSTRACT ............................................................................................................................ 13
1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................. 14
1.1.
Motivação .................................................................................................................................................. 14
1.2.
Objetivos e Organização do Trabalho .................................................................................................... 15
1.2.1. Objetivo Geral ......................................................................................................................................... 15
1.2.2. Objetivos Específicos .............................................................................................................................. 15
1.2.3. Organização do Trabalho ........................................................................................................................ 15
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................... 16
2.1.
Introdução................................................................................................................................................. 16
2.2.
Hipóteses para Placas e Cascas ............................................................................................................... 17
2.3.
Método De Elementos Finitos (MEF) ..................................................................................................... 17
2.3.1. Formulação Energética ............................................................................................................................ 18
2.3.1.1.
Problemas Estáticos (Energia Potencial) ........................................................................................ 19
2.3.1.2.
Problema Dinâmico (Princípio de Hamilton).................................................................................. 21
2.4.
Método de Newmark ................................................................................................................................ 22
2.5.
Análise Modal ........................................................................................................................................... 23
2.6.
Softwares Utilizados ................................................................................................................................. 25
2.6.1. Ansys® .................................................................................................................................................... 25
2.6.2. Matlab® .................................................................................................................................................. 26
2.6.3. Testlab ..................................................................................................................................................... 27
2.7.
Modal Assurance Criterion (MAC) ........................................................................................................ 28
3. MODELGEM COMPUTACIONAL DA CHAPA: MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS (MEF) ..................................................................................................................... 29
3.1.
Considerações Iniciais .............................................................................................................................. 29
3.2.
CARACTERÍSTICAS DA CHAPA ....................................................................................................... 29
3.3.
MODELO NUMÉRICO DA CHAPA NO MEF ................................................................................... 30
3.3.1. Geometria ................................................................................................................................................ 30
3.4.
Tipo do Elemento ..................................................................................................................................... 31
3.4.1. Elemento SHELL63 ................................................................................................................................ 31
3.4.2. Elemento MASS21 .................................................................................................................................. 32
3.4.3. Elemento COMBIN14 ............................................................................................................................. 33
3.5.
Teste de Convergência ............................................................................................................................. 33
3.6.
Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos .......................................................................... 35
3.6.1. Primeira Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos .............................................................. 36
3.6.2. Segunda Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos ............................................................ 37
4. MODELAGEM EXPERIMENTAL DA CHAPA: ANÁLISE MODAL
EXPERIMENTAL DA CHAPA ........................................................................................... 39
4.1.
CONSIDERAÇÕES INICIAIS ............................................................................................................... 39
4.2.
MATERIAIS E MÉTODOS .................................................................................................................... 39
5. ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS .................................................... 45
5.1.
Considerações Iniciais .............................................................................................................................. 45
5.2.
Análise Modal ........................................................................................................................................... 45
5.2.1. Frequências Naturas e Formas Modais .................................................................................................... 45
5.2.1.1.
Chapa Com e Sem a massa da Cabeça de Impedância concentrada ............................................... 46
5.2.1.2.
Influência da rigidez no comportamento modal da chapa ............................................................... 49
5.2.1.3.
Comparação dos dados Numérico-Experimentais .......................................................................... 52
5.2.1.4.
Modal Assurance Criteria (MAC) ................................................................................................... 56
6. CONCLUSÃO E RECOMENDAÇÕES.......................................................................... 57
6.1.
Conclusão .................................................................................................................................................. 57
6.2.
Recomendações ......................................................................................................................................... 58
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 59
APÊNDICE A - COMPARAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS (ANSYS|B&K) 61
APÊNDICE B – GRÁFICOS DA FREQUÊNCIA EM FUNÇÃO DA RIGIDEZ. .......... 63
ANEXO A – ALGORITMO PARA O CÁLCULO DO MAC ........................................... 65
Lista de Figuras
Figura 2.1 – Exemplos de estruturas modeladas pelo MEF ..................................................... 18
Figura 2.2 – Pontos singulares de uma função 𝐹(𝑥). ............................................................... 19
Figura 2.3 – À esquerda, resposta no domínio do tempo; à direito: resposta no domínio da
frequência. ................................................................................................................................ 24
Figura 2.4 – Superposição das respostas. ................................................................................. 25
Figura 2.5 – Sequência básica de etapas para aplicação do MEF. ........................................... 26
Figura 2.6 – Tela inicial do MATLAB. .................................................................................... 27
Figura 2.7 – Interface para elaboração de scripts e functions. ................................................. 27
Figura 2.8 – Interface do software Testlab. .............................................................................. 28
Figura 3.1 – Criação dos pontos de base (keypoints) e depois as linhas do retângulo. ............ 30
Figura 3.2 – Geração da área a partir das linhas (vista frontal e isométrica, respectivamente).
.................................................................................................................................................. 31
Figura 3.3 – Geometria do elemento SHELL63. ...................................................................... 32
Figura 3.4 – Elemento pontual MASS21 no sistema de coordenada local............................... 32
Figura 3.5 – Geometria do Elemento COMBIN14................................................................... 33
Figura 3.6 – Teste de convergência de frequência em relação ao número de elementos. ........ 34
Figura 3.7 – Malha gerada após teste de convergência. ........................................................... 35
Figura 3.8 – Primeira validação do modelo numérico com base em valores teóricos. ............ 37
Figura 3.9 – Balança DAYHOME EK3052. ............................................................................ 38
Figura 3.10 – Vibrômetro, haste conectora e cabeça de impedância. ...................................... 38
Figura 3.11 – Novo modelo com a massa concentra (M0) e com a rigidez (K0)..................... 39
Figura 4.1 – Câmera geminada. ................................................................................................ 40
Figura 4.2 – Câmera e chapa dividida. ..................................................................................... 40
Figura 4.3 – Quadro de compensado, furadeira, brocas, e serra tico-tico. ............................... 41
Figura 4.4 – Excitador de vibração da B&K 4808. .................................................................. 41
Figura 4.5 – PULSE Analyzer Platform 7536 da B&K. .......................................................... 42
Figura 4.6 – Acelerômetro PCB 353B16. ................................................................................ 42
Figura 4.7 – Cabeça de Impedância B&K 8001. ...................................................................... 43
Figura 4.8 – Montagem completa do instrumentos de medida. ............................................... 43
Figura 4.9 – Martelo de Impacto da PCB 086C03. .................................................................. 44
Figura 4.10 – Haste flexível conectora e conexão entre o vibrômetro e cabeça de impedância.
.................................................................................................................................................. 44
Figura 4.11 – Geometria criada no TestLab. ............................................................................ 45
Figura 5.1 – Primeiro modo de vibração sem massa e com massa concentrada,
respectivamente. ....................................................................................................................... 46
Figura 5.2 – Segundo modo de vibração sem massa e com massa concentrada,
respectivamente. ....................................................................................................................... 47
Figura 5.3 – Terceiro modo de vibração sem massa e com massa concentrada,
respectivamente. ....................................................................................................................... 47
Figura 5.4 – Quarto modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente.
.................................................................................................................................................. 48
Figura 5.5 – Quinto modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente.
.................................................................................................................................................. 48
Figura 5.6 – 1° e 2° modo com rigidez de 1 000 N/m. ............................................................. 49
Figura 5.7 – 1° e 2° modo com rigidez de 3 000 N/m. ............................................................. 50
Figura 5.8 – 1° e 2° modo com rigidez de 5 000 N/m. ............................................................. 50
Figura 5.9 – 1° e 2° modo com rigidez de 15 000 N/m. ........................................................... 50
Figura 5.10 – 1° e 2° modo com rigidez de 30 000 N/m. ......................................................... 51
Figura 5.11 – 1° e 2° modo com rigidez de 50 000 N/m. ......................................................... 51
Figura 5.12 – 1° e 2° modo com rigidez de 100 000 N/m. ....................................................... 51
Figura 5.13 – 1° e 2° modo com rigidez de 150 000 N/m. ....................................................... 52
Figura 5.14 – 1° e 2° modo de vibração obtidos no TestLab. .................................................. 54
Figura 5.15 – 3° e 4° modos de vibração obtidos no TestLab. ................................................. 54
Figura 5.16 – 1° e 2° modos de vibração obtidos no TestLab. ................................................. 55
Figura 5.17 – 3° e 4° modo de vibração visualizado pelo TestLab. ......................................... 55
Figura B.1 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o primeiro modo. ...... 63
Figura B.2 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o segundo modo de
vibração. ................................................................................................................................... 63
Figura B.3 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o terceiro modo. ........ 64
Figura B.4 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o quarto modo........... 64
RESUMO
Em alguns projetos, são adotados carregamentos estáticos, para simplificação do
problema, ou por tratar-se de cargas com aplicação extremamente lenta. No entanto, diversas
estruturas e equipamentos, sejam: viadutos, ferrovias, máquinas rotativas, dispositivos do
sistema gerador de energia, entre outros, estão submetidos a diversas solicitações estruturais,
sobretudo vibrações, que podem provocar desconforto dependendo da sua intensidade, ou
mesmo levar a estrutura ao colapso, caso não sejam corretamente calculadas na etapa de
projeto. Consequentemente, o controle de vibrações é uma das iniciativas que visa atender as
condições de conforto, salubridade e integridade dos sistemas, fazendo-se necessário o estudo
de parâmetros de vibração através da análise modal. Tais parâmetros são modos de vibração,
frequências naturais e fatores de amortecimento. Assim, neste trabalho, apresenta-se a
metodologia a ser usada para a análise modal de uma chapa de aço, uma vez que diversas
estruturas são constituídas por este componente, como por exemplo, a tampa de um gerador.
Para tanto, apresenta-se a modelagem numérica do problema através do Método de Elementos
Finitos (MEF), no programa computacional ANSYS® de onde são extraídas as características
vibratórias da chapa. A fim de validar o modelo numérico é realizada a análise modal
experimental com uma chapa de 518mm x 527mm x 0,9mm, totalmente engastada, primeiro
com a utilização de um vibrômetro e, posteriormente com um martelo de impacto. A
avaliação dos resultados demonstra que houve algumas incongruências devido às
interferências na rigidez e nas formas modais provocadas por alguns componentes do sistema
de ensaio. O procedimento adotado e o resultado do experimento são importantes por
fornecerem subsídios para ensaios mais detalhados e complementares, como a determinação
das características acústicas para estudar os ruídos gerados por vibrações excessivas.
Palavras-chave: Vibrações, Análise Modal, Método de Elementos Finitos, Chapa.
ABSTRACT
In some projects static loads are adopted to simplify the problem or because the load
application is extremely slow. However, several structures and equipments, such: viaduct
bridges, railways, rotating machines, devices of a power generator system, among others, are
submitted to various structural solicitations, particularly vibrations, which can cause
discomfort depending on its intensity, or lead to structure to collapse, if not correctly
calculated in the project design. Consequently, the vibration control is an initiative that aims
to achieve the conditions of comfort, health and integrity of the systems, making it necessary
to study the vibration parameters through with modal analysis. These parameters are vibration
modes, natural frequencies and damping factors. Thus, this paper presents the methodology to
be used for the modal analysis of a steel plate, since different structures are formed by this
component, for example, the cover of an electrical generator. For this purpose, presents the
numerical modeling of the problem using the finite element method (FEM), in computer
program ANSYS ®, where are extracted the vibration characteristics of the plate. In order to
validate the numerical model is performed an experimental modal analysis on a plate with
dimensions 518 mm x 527 mm x 0,9 mm, totally clamped, firstly using a vibrometer and later
using an impact hammer. The evaluation of the results shows that occurred some
inconsistencies due to interference in the mode shapes and the stiffness caused by some
components of the test system. The procedure adopted and the results of the experiment are
important because they provide subsidies for more detailed and complementary tests, such as
determining the acoustic characteristics to study the noise generated by excessive vibrations.
Keywords: Vibrations, Modal Analysis, Finite Element Method, Plate
14
1. INTRODUÇÃO
1.1. Motivação
Avaliações das propriedades dinâmicas de uma estrutura mostram-se importantes para
descrição dos comportamentos quando estas estão submetidas a esforços que possam excitar
os modos de vibração. Saber quais são as características dinâmicas dos sistemas estruturais
evita erros graves de projeto. Isso é feito através da análise modal, que pode ser experimental
ou numérica.
Em um sentido amplo, pode-se dizer que a análise modal é um processo por meio do
qual se descreve uma estrutura em termos de suas características naturais, que são as
frequências naturais, os fatores de amortecimento e as formas modais (SOEIRO, 2001).
Dentre várias aplicações, a análise modal experimental é utilizada como validação de
modelos numéricos. Sousa (2008) explica que esse procedimento é bastante comum, pois se
tem a necessidade de desenvolver um modelo que represente com fidelidade a estrutura em
estudo.
No caso da construção civil existem muitas estruturas metálicas submetidas aos efeitos
corrosivos da umidade e da salinidade presentes na atmosfera. Tais efeitos promovem o
desgaste progressivo das estruturas. Portanto, recomenda-se que periodicamente seja realizado
um teste de vibração nestas estruturas, que consiste na aplicação de uma carga impulsiva
como o martelo de impacto em alguns pontos da estrutura e a captação da resposta
proveniente desta excitação (GALVÃO, 2011 apud RIZZATI, 1999), uma vez que diante das
mudanças mecânicas, também ocorrem mudanças nas propriedades dinâmicas.
No entanto, existem dificuldades nas análises modais experimentais com objetivo de
validar um determinado modelo numérico. Equipamentos mal calibrados, falta de estrutura
adequada para confecção do modelo, problemas com sensores e sistemas de aquisição de
dados, ou rotinas de otimização demoradas podem inferir empecilhos na obtenção dos
resultados. No âmbito industrial, as dificuldades são ainda maiores. A disponibilidade do
maquinário nem sempre favorece o processo de medição e quando este se encontra
disponível, na maioria das vezes, o processo tem que ser feito uma única vez.
Este trabalho contém a análise modal numérica e experimental de uma chapa de aço
galvanizado, totalmente engastada e submetida à vibração que foi realizada no Laboratório de
Vibrações e Acústica da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Pará
15
(LVA/FEM/UFPA). São realizadas comparações entre diferentes modelos e, ao final, obtêmse informações importantes sobre configuração, procedimentos experimentais e numéricos na
aquisição de dados para a caracterização dinâmica da estrutura, além de embasamento para
futuros trabalhos envolvendo análises vibro-acústica e projetos de absorvedores dinâmicos em
chapas.
1.2. Objetivos e Organização do Trabalho
1.2.1. Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é realizar a análise modal experimental e numérica de
uma chapa de aço galvanizado totalmente engastada.
1.2.2. Objetivos Específicos
1 – Fazer um modelo em Elementos Finitos da chapa usando elementos do tipo
SHELL para obter as frequências naturais e os modos de vibração.
2 – Fazer uma análise modal experimental impulsiva com um vibrômetro e obter as
propriedades dinâmicas da estrutura.
3 - Fazer outra análise modal experimental impulsiva, desta vez, com o martelo de
impacto.
4 – Discriminar as incongruências obtidas entre os modelos a fim de evitar possíveis
erros de medição em futuros trabalhos a desenvolver.
1.2.3. Organização do Trabalho
O trabalho aqui exposto apresenta 6 (seis) capítulos, divididos da seguinte forma:
No Capítulo 1 é apresentada uma explanação sobre a importância do estudo de
vibrações, mais precisamente, no que concerne a caracterização dos parâmetros dinâmicos.
Ainda neste capítulo, encontra-se um histórico e importância sobre a análise modal e suas
aplicações em campo, além do objetivo geral e objetivos específicos deste trabalho.
16
No Capítulo 2 é apresentada a fundamentação teórica necessária para abordagem do
assunto aqui proposto bem como alcançar os objetivos que este trabalho tem por fim.
No Capítulo 3 encontra-se a simulação numérica computacional da chapa utilizando o
Método de Elementos Finitos (MEF), com a descrição do procedimento adotado para a
elaboração da malha e extração das características dinâmicas. Também são descritas as
condições de fixação da chapa e a sua geometria.
No Capítulo 4 descreve-se o procedimento da análise experimental na câmara
germinada em escala reduzida: configuração da chapa; listagem, posição e configuração do
equipamento.
No Capítulo 5 são feitas comparações entre os diferentes modelos e são apresentados
os resultados sobre a correlação entre o modelo numérico e o experimental.
No Capítulo 6, por fim, apresentam-se as conclusões sobre os resultados obtidos e
recomendações importantes, tendo por base as informações extraídas das análises
desenvolvidas.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Introdução
Os problemas de engenharia apresentam difíceis soluções analíticas ou apresentam
soluções não satisfatórias a partir das simplificações adotadas. Com o avanço tecnológico e o
advento de ferramentas computacionais mais robustas, outros métodos de solução podem ser
utilizados para obtenção de respostas mais próximas da realidade. Várias abordagens de
discretizações finitas, incluindo diferenças finitas, faixas finitas, elementos de contorno e
elementos finitos, tem sido largamente utilizadas para estudos de vibrações em chapas.
Dentre os diversos softwares comerciais existentes, pode-se citar o ANSYS, que
utiliza o Método de Elementos Finitos (MEF) além de outros métodos de solução numérica
para as equações diferencias, como por exemplo, Newmark, Houbolt e Wilson-𝜃.
Na modelagem de um sistema real por métodos numéricos, seja uma barragem ou um
componente mecânico, por exemplo, é necessário tomar cuidado com alguns parâmetros para
que o resultado se aproxime da realidade, principalmente com as condições de contorno e tipo
17
de elemento. Por isso é importante criar uma metodologia de validação do modelo numérico a
partir de procedimentos experimentais, pois se certifica que tal modelo representa a realidade.
Problemas de engenharia vinculados a vibrações, geralmente, abrangem problemas de
ruído. Uma estrutura de grande flexibilidade (por exemplo, uma chapa) quando submetida a
esforços dinâmicos gera grandes níveis de vibração e ruído, pois, devido a sua configuração
geométrica, é facilmente excitada nas frequências naturais.
2.2. Hipóteses para Placas e Cascas
Uma placa é um corpo sólido dotado de duas superfícies e considera-se que a
espessura é muito pequena quando comparada com as demais dimensões. Algumas hipóteses
são adotadas para a Teoria de Placas Finas de Kirchoff (1850), tais como:
1. O ponto médio da placa não sofre deformação permanecendo no plano neutro
depois de deformações e flexões.
2. As deformações oriundas do cisalhamento são desprezadas.
3. As componentes de deslocamento na superfície média da placa são pequenas
comparadas com espessura.
4. A deformação normal 𝜀𝑧𝑧 sob carregamento transversal pode ser negligenciado. A
tensão normal transversal 𝜍𝑧𝑧 é pequena e, portanto, é negligenciado quando
comparada as outras componentes de tensão.
Essa teoria incorpora grandes erros e foi necessária uma nova teoria que englobasse
deformações por cisalhamento. Em 1947, Reissner adiciona tensões e deformações
cisalhantes e Mindlin, em 1951, implementa pequenas modificações criando, como é
conhecida na literatura, a teoria de placa espessa ou teoria de Reissner-Mindlin.
2.3. Método De Elementos Finitos (MEF)
O método de elementos finitos, MEF, é bastante difundido na engenharia para a
análise de diversos tipos de problemas. Esse método possibilita o estudo dos deslocamentos e
o cálculo de tensões em diversas estruturas como peças mecânicas, barragens, edifícios entre
outros, além de analisar problemas como, fluxo de calor, percolação ou vibrações. Todos
18
esses casos tem em comum o fato de se basearem em um problema que envolve a solução de
equações diferenciais que relacionam variáveis fundamentais em um domínio definido, onde
devem ser satisfeitas as restrições para as variáveis fundamentais e suas derivadas na fronteira
do domínio (condições de contorno). Em outras palavras, o MEF, trabalha com a divisão do
domínio de integração em um número finito de pequenas regiões denominadas elementos
finitos, transformando assim, o meio contínuo em discreto.
As simplificações do domínio em análise estrutural se baseiam em três simplificações
de geometria presentes nos modelos de barras, placas e cascas. As barras são elementos que
possuem o comprimento muito maior que as dimensões de sua seção transversal, enquanto
que as placas e cascas possuem uma dimensão muito menor que as outras duas.
Para a utilização desse método é importante observar o tipo análise, por
exemplo, análise dinâmica ou estática, linear ou não linear, e tipo de estrutura (sólida
reticulada ou laminar), pois o modo como o MEF é formulado e aplicado depende das
simplificações inerentes a cada tipo de problema.
Figura 2.1 – Exemplos de estruturas modeladas pelo MEF
Fonte: SILVA, 2006.
2.3.1. Formulação Energética
Em virtude da hiperestaticidade (ou seja, múltiplos graus de liberdade existentes nas
estruturas analisadas), não é possível determinar a matriz de rigidez das estruturas por
equilíbrio sendo necessário, portanto, utilizar métodos energéticos, dentre eles: princípio da
19
energia complementar, o principio misto de Reissner, os principios híbridos e o princípio da
energia potencial estacionária (ou energia potencial mínima) que será detalhado a seguir.
Em termos simples, o termo estacionário pode significar um máximo, um mínimo ou
um ponto de sela de uma função qualquer 𝐹(𝑥) (Fig 2.2) (SOEIRO, 2003). Para encontrar
esses pontos, basta derivar a função em relação à 𝑥 e igualar a zero.
Figura 2.2 – Pontos singulares de uma função 𝐹(𝑥).
Fonte: SOEIRO, 2005.
2.3.1.1. Problemas Estáticos (Energia Potencial)
Assumindo que um sistema possui uma configuração de referência e uma
configuração deformada, diz-se que ele é conservativo se o trabalho realizado pelas forças
internas e o trabalho realizado pelas cargas externas independem do caminho percorrido entre
as configurações. No regime elástico, o trabalho realizado pelas forças internas é igual, em
magnitude, à diferença de energia de deformação.
“Dentre todas as configurações admissíveis de um sistema conservativo, aquelas que
satisfazem as condições de equilíbrio fazem com que a energia potencial total seja
estacionária com respeito às pequenas variações de deslocamento.”
Em outras palavras, considera-se que um corpo elástico submetido a esforços
conservativos assume uma energia mínima potencial para uma determinada deformação.
Assim, define-se a energia potencial como a soma da energia de deformação 𝑈 e do trabalho
das forças externas (força de campo, forças de superfície e forças nodais) 𝑊 de acordo com a
equação (2.1):
20
𝜋𝑝 = 𝑈 + 𝑊
(2.1)
onde o subscrito 𝑝 significa potencial.
A energia interna de deformação de um corpo e o trabalho das forças externas são
dadas por:
𝑈=
𝜍𝜀 𝑑𝑉
𝑊 = − 𝑢𝐹𝑑𝑉 − 𝑢𝜑 𝑑𝑆 −
(2.2)
𝑛
𝑗 =1 𝑑𝑗 𝑃𝑗
(2.3)
onde 𝐹 são forças de campo, 𝜑 são forças de superfície, 𝑃𝑗 são esforços nodais.
Existe ainda no método a aplicação de funções de forma para cada um dos nós do
elemento. É importante ressaltar que a soma das funções de forma, ou funções interpoladoras
é igual a 1, isto é, a função de forma 𝑁𝑖 𝑥𝑗 = 1, para 𝑖 = 𝑗 e 𝑁𝑖 𝑥𝑗 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗. É
possível encontrar na bibliografia diversas funções de forma para vários elementos e suas
aplicações.
Sendo o sistema elástico linear:
𝜍 = 𝐸𝜀
(2.4)
𝑢𝑗 = 𝑁𝑖 𝑑𝑖 + 𝑁𝑖+1 𝑑𝑖+1 + ⋯ + 𝑁𝑛 𝑑𝑛
(2.5)
𝜀=
𝐵=
𝜕𝑢 𝑗
𝜕𝑗
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑗
(2.6)
(2.7)
onde 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 significa as direções do deslocamento e 𝑖 refere-se ao nó. Após as
operações matemáticas adequadas, chega-se a equação (2.8) abaixo:
1
𝜋𝑝 = 2 𝒅𝑻 𝑩𝑻 𝑬𝑩𝒅 𝑑𝑉 − 𝒅𝑻 𝑷 − 𝒅𝑻 𝑵𝑻 𝝋 𝑑𝑆 − 𝒅𝑻 𝑵𝑻 𝑭𝒃 𝑑𝑉
(2.8)
21
onde 𝒅 é o vetor de deslocamentos; 𝑩 é matriz da derivada das funções de forma; 𝑬 é a matriz
constitutiva; 𝑷 vetor de cargas nodais; 𝝋 é o vetor de forças de superfície, 𝑵 é a matriz das
funções de forma; e 𝑭𝒃 é o vetor de forças de campo.
O principio da mínima energia potencial deriva 𝜋𝑝 e o iguala à zero. Essa variação é
composta por várias derivadas parciais, equações (2.9) e (2.10), de acordo com o número de
graus de liberdade, ou seja:
𝜋𝑝 = 𝜋𝑝 (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 )
𝜕𝜋 𝑝
𝜕𝑢 1
=
𝜕𝜋 𝑝
𝜕𝑢 2
=
𝜕𝜋 𝑝
𝜕𝑢 3
𝜕𝜋 𝑝
… 𝜕𝑢 = 0
𝑛
(2.9)
(2.10)
2.3.1.2. Problema Dinâmico (Princípio de Hamilton)
Para análise de problemas dinâmicos é necessário incluir a energia cinética à
formulação. O principio de Hamilton, diretamente relacionado ao Principio dos Trabalhos
Virtuais, pode ser utilizado e é de fácil manipulação das condições de contorno do problema.
A formulação energética assume a seguinte forma de acordo com a equação (2.11):
𝑡2
𝑡1
𝛿 𝑇 − 𝜋 𝑑𝑡 +
𝑡2
𝑡1
𝛿𝑊𝑛𝑐 𝑑𝑡 = 0
(2.11)
onde 𝑇 é a energia total do sistema; 𝜋 é a energia potencial total, considerando a energia
interna de deformação 𝑈 e energia potencial de forças conservativas 𝑊𝑐 ; 𝛿𝑊𝑛𝑐 é o trabalho de
esforços não conservativos, como forças de amortecimento; 𝑡1 e 𝑡2 são os instantes de
configurações conhecidos do sistema.
Após manipulações algébricas, encontram-se as equações de Euler-Lagrange (Eq.
2.12):
𝑑
𝜕𝑇
𝑑𝑡
𝜕𝑢 𝑖
𝜕𝑇
𝜕𝜋
𝑖
𝑖
− 𝜕𝑢 + 𝜕𝑢 = 𝐹𝑖
com 𝑖 = 1,2, … , 𝑛; e 𝑛 é número de graus de liberdade.
(2.12)
22
Com isso, pelas funções de forma para os deslocamentos 𝑢𝑖 de uma estrutura e as
devidas operações nas equações de Hamilton, obtém-se o sistema matricial para o problema
dinâmico.
2.4. Método de Newmark
Métodos iterativos com incrementos de tempo são muitos utilizados para soluções de
equações integrais. Tais métodos numéricos encontram uma resposta aproximada a partir de
condições iniciais do sistema em questão. O método de Newmark é um método numérico com
incremento temporal bastante difundido para solução das equações de movimento do sistema.
N. M. Newmark desenvolveu, em 1959, uma família de métodos de passos-tempo
baseado nas equações (2.13) e (2.14) a seguir (CHOPRA, 1995):
𝑢𝑖+1 = 𝑢𝑖 + 1 − 𝛾 ∆𝑡 𝑢𝑖 + 𝛾∆𝑡 𝑢𝑖+1
(2.13)
𝑢𝑖+1 = 𝑢𝑖 + ∆𝑡 𝑢𝑖 + 0,5 − 𝛽 ∆𝑡 ² 𝑢𝑖 + 𝛽 ∆𝑡 ² 𝑢𝑖+1
(2.14)
Os parâmetros 𝛽 e 𝛾 definem a variação da aceleração sobre o passo de tempo e
determina a estabilidade e acurácia características do método. A seleção usual para 𝛾 é
1
1
2
e
1
≤ 𝛽 ≤ 4 é satisfatório de todos os pontos de vista, incluindo de acurácia. As equações (2.13)
6
e (2.14) são utilizadas para a solução da equação diferencial de movimento, expressa abaixo
pela equação (2.15).
𝑀𝑢𝑖+1 + 𝐶𝑢𝑖+1 + 𝐾𝑢𝑖+1 = 𝑃𝑖+1
(2.15)
onde 𝑀, 𝐶 e 𝐾 são, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez.
Com o passo final de tempo e as equações (2.13), (2.14) e (2.15) é possível encontrar
𝑢𝑖+1 , 𝑢𝑖+1 e 𝑢𝑖+1 no tempo 𝑖 + 1 sabendo 𝑢𝑖 , 𝑢𝑖 e 𝑢𝑖 no tempo 𝑖. A iteração é requerida para
resolução, pois a incógnita 𝑢𝑖+1 aparece do lado direito das equações 2.17 e 2.18.
É possível, ainda, uma simplificação das equações originais de Newmark para
sistemas lineares, permitindo a solução das equações (2.13), (2.14) e (2.15)sem iterações. As
23
equações (2.16), (2.17), (2.18), (2.19) e (2.20)4 descrevem a hipótese de que a variação da
aceleração em um passo de tempo é constante (linear).
𝜏
𝑢(𝜏) = 𝑢𝑖 + ∆𝑡 𝑢𝑖+1 − 𝑢1
(2.16)
𝜏²
𝑢(𝜏) = 𝑢𝑖 + 𝑢𝑖 𝜏 + 2∆𝑡 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖
𝑢𝑖+1 = 𝑢𝑖 +
∆𝑡
2
𝑢(𝜏) = 𝑢𝑖 + 𝑢𝑖 𝜏 + 𝑢𝑖
(2.17)
𝑢𝑖+1 + 𝑢𝑖
𝜏²
2
(2.18)
𝜏3
+ 6∆𝑡 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖
𝑢𝑖+1 = 𝑢𝑖 + 𝑢𝑖 ∆𝑡 + ∆𝑡 ²
1
6
1
𝑢𝑖+1 + 3 𝑢𝑖
(2.19)
(2.20)
onde 𝜏 = ∆𝑡.
As demais equações são oriundas da equação (2.16) a partir do processo de
integração. Os valores obtidos para as o conjunto de equações acima são os mesmo dos
1
1
valores das equações (2.13) e (2.14) quando 𝛾 = 2 e 𝛽 = 6, assumindo uma variação linear, o
que verifica a acurácia da simplificação.
2.5. Análise Modal
Segundo Silva (2006) apud SCHMIDTBERG e PAL (1986), as vantagens do modelo
modal em relação ao modelo espacial são:

As propriedades dinâmicas podem ser representadas graficamente de forma
mais exata;

O modelo modal permite fácil verificação experimental e derivação;

Possibilidade de comparação das propriedades dinâmicas de diferentes
estruturas;

Efeitos de modificações estruturais podem ser mais facilmente investigados.
24
Analiticamente, a análise modal é feita a partir da representação do sistema real por
seus infinitos pontos, caracterizando o meio contínuo. Porém, na maioria dos casos, essa
modelagem torna-se impossível.
Métodos numéricos têm sido utilizados para obter essas propriedades, porém, se não é
possível à utilização de software devido motivos afins (custo da licença, falta de
conhecimentos para o manuseio, etc.), faz-se necessário uma análise modal experimental.
Usualmente, aplica-se uma força que varie ao longo do tempo, podendo a sua
frequência variar também, e a resposta da estrutura é medida por um acelerômetro fixado em
um ponto diferente de onde a força foi aplicada. No domínio do tempo, percebe-se que a
resposta varia com a variação da frequência de oscilação da força. Com isso, a estrutura
apresenta maiores amplitudes, bem como menores. O entendimento fica melhor quando se
manuseiam os dados a fim de visualizá-los no domínio da frequência, ou seja, usando a
Transformada de Fourier para obter uma Função Resposta em Frequência (FRF). No gráfico
de um FRF observa-se que os picos são os mesmos do gráfico no domínio temporal, essas
frequências são as frequências naturais da estrutura (pontos de ressonância). As Fig 2.3 e 2.4
ilustram as respostas da estrutura no domínio do tempo e no domínio da frequência.
Figura 2.3 – À esquerda, resposta no domínio do tempo; à direito: resposta no domínio da frequência.
Fonte: SOEIRO, 2001.
25
Figura 2.4 – Superposição das respostas.
Fonte: SOEIRO, 2001.
2.6. Softwares Utilizados
2.6.1. Ansys®
O software comercial ANSYS utiliza o método de elementos finitos para a obtenção
de deslocamentos e tensões. Em sua biblioteca, podem-se encontrar as funções de forma que
geram as matrizes de Massa e Rigidez do elemento escolhido para a modelagem da estrutura a
ser analisada. A Figura 2.5 ilustra as etapas da utilização do software ANSYS.
Este software dispõe de mais de 150 tipos diferentes de elementos em sua biblioteca, o
que o torna bastante versátil para diversas simulações numéricas . A geometria em análise
pode ser importada de outros softwares no qual o ANSYS apresenta compatibilidade (ProEngineer, SolidWorks, Mechanical Desktop, Inventor, AutoCad, SolidEdge, dentre outros) ou
pode ser modelado no próprio ambiente, pois ele apresenta recursos de desenho, bem como
técnicas avançada de geração de malha.
26
Figura 2.5 – Sequência básica de etapas para aplicação do MEF.
Fonte: SILVA, 2006 apud ALVES FILHO, 2000.
2.6.2. Matlab®
O MATrix LABoratory (MATLAB) é um software voltado para cálculo numérico.
Apresenta alta interatividade com o usuário e fácil linguagem de programação (alto nível). As
Figuras 2.6 e 2.7 mostram a interface do software e o ambiente para a redação de algoritmos
(scripts e functions).
27
Figura 2.6 – Tela inicial do MATLAB.
Fonte: Autor.
Figura 2.7 – Interface para elaboração de scripts e functions.
Fonte: Autor.
2.6.3. Testlab
Este software possibilita a análise de arquivos universais contendo informações das
FRF’s do modelo experimental. Gera-se a geometria com as coordenadas dos pontos de
medição e depois é inserida em cada nó sua respectiva FRF. A Fig. 2.8 ilustra a interface
deste software.
28
Figura 2.8 – Interface do software Testlab.
Fonte: Autor.
2.7. Modal Assurance Criterion (MAC)
O MAC é um critério muito utilizado na comparação de frequências e modos de
vibração entre modelos experimentais e modelos numéricos. Resultando em um valor que
pode variar de zero até um. Quanto mais próximo de 1 (um) é o MAC, mais compatíveis são
os dois modelos em análise. O critério é definido pela seguinte expressão:
𝑀𝐴𝐶𝑖𝑗 =
𝜙 𝑖𝑅
𝜙 𝑖𝑅
𝑇
𝜙 𝑖𝑅
𝑇
𝜙 𝑗𝐴 ²
𝜙 𝑗𝐴
𝑇
𝜙 𝑗𝐴
(2.21)
onde,
𝜙𝑖𝑅 é um vetor modal de referência
𝜙𝑗𝐴 é um vetor modal que se deseja comparar.
O índice “T” significa que o vetor é transposto.
Segundo LAVÔR et al. (2011), o MAC possui uma interpretação geométrica, ou seja,
para vetores em R3, o MAC corresponde ao quadrado do cosseno do ângulo formado entre os
dois vetores. Se os vetores forem paralelos (colineares) o valor do MAC é igual a 1, indicando
29
máxima correlação. Caso os vetores sejam ortogonais o valor do MAC é igual 0, indicando
correlação nula.
3. MODELGEM COMPUTACIONAL DA CHAPA: MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS (MEF)
3.1. Considerações Iniciais
As propriedades de vibração de uma estrutura são caracterizadas pelos modos de
vibração estrutural. Sob certas circunstâncias, a estrutura vibrará segundo uma forma
deformada, denominada “forma modal”, que não está relacionada a qualquer fator externo e
pode refletir as propriedades físicas inerentes à estrutura vibrante (SOEIRO, 2000).
A utilização de métodos numérico otimizam o tempo de trabalho e de aquisição dos
resultados. Além disso, várias hipóteses de possíveis problemas estruturais poderão ser
previstos pelo Método de Elementos Finitos a partir do modelo numérico. O software
comercial ANSYS® possibilita um variedade de simulações.
Neste capítulo será descrito o procedimento no ambiente ANSYS 11.0 para obtenção
dos modos de vibração, bem como a análise harmônica do componente.
3.2. CARACTERÍSTICAS DA CHAPA
As características da chapa estão descritas na Tab. 3.1. Nesta tabela, têm-se
informações, geométricas, físicas e restritivas (condições de contorno), necessárias para
simulação numérica. Esta chapa foi disponibilizada pelo Eng. Mst. Erick Guimarães para
simular, a priori, um componente que possa ser validado experimentalmente na câmera
germinada com fator de escala 1:6, procedimento este que será mais bem abordado adiante
neste trabalho.
30
Tabela 3.1 – Características da Chapa em estudo.
CHAPA
0,0518 𝑚
0,0527 𝑚
0,0009 𝑚
Totalemente
Engastada
Galvanizado
7800 𝑘𝑔/𝑚3
Comprimento
Altura
Espessura
Configuração
Aço
Massa especifica
Modulo
Elasticidade
Coeficiente
Poisson
de
206,8 . 109 𝑃𝑎
de
0,3
Fonte: Autor.
Considera-se que o componente é isotrópico, ou seja, as propriedades físicas do
mesmo estão igualmente distribuídas ao longo de sua geometria.
3.3. MODELO NUMÉRICO DA CHAPA NO MEF
3.3.1. Geometria
O componente apresenta geometria simples, portanto, de fácil modelagem.
Abaixo, Fig. 3.1 e 3.2, ilustram a criação da geometria da chapa em análise no ANSYS 11.0.
Figura 3.1 – Criação dos pontos de base (keypoints) e depois as linhas do retângulo.
Fonte: Autor.
31
Figura 3.2 – Geração da área a partir das linhas (vista frontal e isométrica, respectivamente).
Fonte: Autor.
Sendo uma chapa, pode-se elaborar o modelo como uma superfície e adicionar a
espessura no elemento finito escolhido. Isso diminui o custo computacional, se em vez de um
elemento SHELL, fosse escolhido um elemento SOLID. Este último apresenta muitas
equações a serem resolvidas e os resultados seriam equivalentes.
3.4. Tipo do Elemento
3.4.1. Elemento SHELL63
Sendo necessário um único tipo de elemento para discretizar o modelo geométrico da
chapa, neste trabalho foi utilizado o SHELL63. Este apresenta capacidade de flexão e de
membrana convenientes para um componente estrutural de chapa. O elemento dispõe de seis
graus de liberdade em cada nó: translação e rotação em x, y e z, e permite simulações dos
efeitos de vibração em um chapa plana O elemento é definido por quatro nós, espessura e
propriedades ortotrópicas do material, é importante ressaltar que Os esforços de cisalhamento
não são considerados para esse elemento. A Figura 3.3 mostra a configuração do elemento em
questão.
32
Figura 3.3 – Geometria do elemento SHELL63.
Fonte: Release Documentation for ANSYS.
3.4.2. Elemento MASS21
O elemento de massa é o MASS21 (Fig. 3.4), que se encontra na biblioteca do
software ANSYS® e se caracteriza por ser um elemento pontual que tem seis graus de
liberdade: translação e rotação nas coordenadas x, y e z. Permite atribuir um valor diferente de
massa e momento de inércia para cada coordenada. Este elemento simula a massa da cabeça
de impedância no sistema em análise.
Figura 3.4 – Elemento pontual MASS21 no sistema de coordenada local
Fonte: Release 11.0 documentarion for ANSYS.
33
3.4.3. Elemento COMBIN14
O elemento COMBIN14 é um elemento que será utilizado para simular o efeito da
haste conectora no sistema. Esta haste é responsável pela transmissão do ruído branco para
chapa.
Segundo SILVA (2006), este elemento apresenta aplicações longitudinais e torcionais
em até três coordenadas. Consiste em dois nós conectados por uma mola/amortecedor
podendo ser longitudinal ou torcional. Cada configuração tem três graus de liberdade:
translações em x, y e z, para a configuração longitudinal e rotações em x, y e z, para torcional.
A Fig. 3.5 ilustra o elemento em questão.
Figura 3.5 – Geometria do Elemento COMBIN14.
Fonte: SILVA, 2006 apud ANSYS, 1994.
3.5. Teste de Convergência
No ANSYS, fez-se um teste de convergência para encontrar uma quantidade de nós
que permitisse adquirir valores precisos com baixo custo computacional, sem que haja um
refinamento excessivo da malha. O algoritmo utilizado para extração das formas modais e
frequências naturais, através do modelo de elementos finitos, é o Block Lanczos e são
considerados engastes para as condições de contorno. Este algoritmo permite utilizar grandes
quantidades de nós com uma taxa de convergência mais rápida quando comparado com outros
34
métodos. Segundo SILVA (2006), apresenta a desvantagem de exigir uma elevada capacidade
de memória computacional por empregar blocos iterativos em vez de vetores isolados.
A chapa apresenta medidas de 0,518m x 0,527m. A cada simulação, as linhas do
quadrilátero são divididas de forma igual. Tais divisões variam de cinco até quarenta nós em
cada linha do quadrilátero gerado no software. A análise modal para extrair as frequências
naturais da estrutura foi feita numa faixa de 0 a 1000 Hz. Dentre os 100 modos extraídos, as
primeiras frequências convergem mais rapidamente, pois a forma modal é mais simples, e as
últimas frequências convergem um pouco depois devido a complexidade das mesmas. Por
isso, verifica-se que a sexagésima frequência converge com, aproximadamente, 841 nós (784
elementos), o que corresponde a 29 divisões em cada linha do retângulo, como ilustra a Fig.
3.6. Porém, para que haja uma semelhança nos pontos medidos experimental e o modelo
numérico, adotou-se a simulação com 33 divisões (1089 elementos). A Tabela 3.2 apresenta
os resultados do teste de convergência.
Figura 3.6 – Teste de convergência de frequência em relação ao número de elementos.
30,400
30,200
30,000
29,800
29,600
29,400
29,200
29,000
Fonte: Autor.
35
Tabela 3.2 – Resultados do teste de convergência.
N° de Divisões
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Frequências Naturais
1°
20°
40°
60°
30.150
30.153
30.155
30.158
30.160
30.162
30.163
30.165
30.166
30.167
308.230
308.480
308.690
308.890
309.060
309.220
309.360
309.490
309.610
309.720
557.200
557.870
558.480
559.030
559.540
559.990
560.410
560.790
561.140
561.460
785.900
786.260
786.600
786.910
787.200
787.480
787.730
787.970
788.190
788.400
Fonte: Autor.
Esta é uma prática que se aplica em grande parte dos problemas de geração de malha
para modelos de elementos finitos. Com isso, verifica-se a influência da quantidade de
elementos sobre a resposta do sistema o que possibilita dizer o grau de refino da malha da
estrutura. Na Figura 3.7 é possível visualizar a estrutura com a malha e as condições de
contorno em que a estrutura está submetida (totalmente engasta).
Figura 3.7 – Malha gerada após teste de convergência.
Fonte: Autor.
3.6. Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos
Como já foi explicitado, o modelo numérico precisa ser validado com a realização de
ensaios com um modelo experimental que o represente, embora, as minúcias dessa análise
36
experimental sejam detalhadas apenas no capítulo 4, segue o procedimento realizado na
validação.
3.6.1. Primeira Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos
Para o sistema estudado nesse trabalho, após a análise modal feita no ANSYS, um
algoritmo no MATLAB foi desenvolvido para comparar as frequências naturais obtidas
numericamente com as frequências calculadas analiticamente a partir da mesma configuração
geométrica e das condições iniciais. Tal procedimento é conhecido, segundo a ASME
revisada 29/03/2009, como verificação (Apêndice A). Esse processo é importante para
determinar o quão o modelo computacional representa com precisão o modelo matemático
analítico, sendo uma comparação entre resultados numéricos ou numérico-analíticos.
A formulação implementada no MATLAB para comparação com os dados obtidos na
modelagem numérica é baseada na análise de vibrações por meio de parâmetros contínuos e é
regida pela seguinte expressão (para placa totalmente engastada em suas extremidades):
𝜔𝑛
𝐷
𝜌ℎ𝑎4
=𝐾
(3.1)
onde 𝐾 = (35,99; 73,41; 108,27; 131,64; 132,25; 165,15) para os seis primeiro modos de
vibração; 𝐷 é a rigidez a flexão; ℎ é a espessura da placa; 𝜌 é a massa específica; 𝑎 é o
comprimento da placa; e 𝜔𝑛 é a frequência natural.
𝐸ℎ 3
𝐷 = 12(1−𝜐 2 )
(3.2)
onde 𝐸 é o módulo de elasticidade; e 𝜐 é o coeficiente de Poisson do material.
Nesta etapa do trabalho, faz-se a hipótese de que a diferença entre os lados da chapa é
desprezível para esse cálculo da frequência natural, porém a chapa utilizada apresenta as
dimensões 0,518 x 0,527 m. Tal consideração é feita para uma rápida validação do modelo
(Fig. 3.8).
37
Figura 3.8 – Primeira validação do modelo numérico com base em valores teóricos.
Fonte: Autor.
Os valores dos modos foram obtidos do livro da B&K Mechanical Vibration and
Shock Measurements.
Ao analisar experimentalmente, observa-se que há fatores que distanciam os valores
do primeiro modelo descrito acima do modelo experimental. Neste trabalho, a rigidez
induzida pela haste conectora entre o excitador e a cabeça de impedância (equipamentos serão
mais bem descritos na próxima seção) influi significativamente nos resultados. Portanto, é
necessária a criação de um novo modelo que represente a situação real com mais fidelidade. A
massa do acelerômetro PCB 353B16 é muito pequena e não influencia com grande variação
na frequência natural e na resposta do sistema, portanto é desconsiderada.
3.6.2. Segunda Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos
Para esse novo modelo, pesou-se a cabeça de impedância para adicionar um elemento
de massa de 0,032 kg ao modelo numérico. A balança é da DAYHOME EK3052 com
precisão de dois gramas e peso máximo de cinco quilogramas (Fig. 3.9), localizada no
Laboratório de Vibrações e Acústica (LVA). Com isso, concentra-se esta massa no ponto
onde se localiza o sensor no modelo experimental.
38
Figura 3.9 – Balança DAYHOME EK3052.
Fonte: Autor
Um elemento de rigidez é adicionado para simular a flexibilidade da haste conectora
(Fig. 3.10) e sua influência no sistema.
Figura 3.10 – Vibrômetro, haste conectora e cabeça de impedância.
Fonte: Autor.
O valor da rigidez foi descoberto com tentativas de valores e com análises do
comportamento das frequências com aumento da rigidez. O novo modelo numérico validado
configura-se como mostra a Figura 3.11.
39
Figura 3.11 – Novo modelo com a massa concentra (M0) e com a rigidez (K0).
Fonte: Autor.
4. MODELAGEM EXPERIMENTAL DA CHAPA: ANÁLISE MODAL
EXPERIMENTAL DA CHAPA
4.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Nesta etapa do trabalho, faz-se uma análise modal experimental visando à obtenção
das Funções de Respostas em Frequência (FRF’s). Esse procedimento objetiva validar o
modelo numérico por elementos finitos.
4.2. MATERIAIS E MÉTODOS
Para a análise experimental da estrutura, utiliza-se um lado de uma câmera geminada
com um fator de escala de 1:6. Tal câmera foi desenvolvida pelo Eng. Me. Erick Guimarães e
tem aplicação na determinação de transmissibilidade de materiais e estruturas. A Fig. 4.1
ilustra a câmera em questão e a Fig. 4.2 ilustra a chapa dividida em cem pontos fixada na
câmera.
40
Figura 4.1 – Câmera geminada.
Fonte: Autor.
Figura 4.2 – Câmera e chapa dividida.
Fonte: Autor.
A chapa foi engastada utilizando um quadro feito de madeira compensada (Fig. 4.3)
no Laboratório de Vibrações e Acústica (LVA). Cada lado da câmera apresenta cinco furos,
sendo dois que atravessam a chapa, para garantir que a mesma esteja com as extremidades
fixas. A Fig. 4.3 ilustra, também, os materiais utilizados na confecção do quadro.
41
Figura 4.3 – Quadro de compensado, furadeira, brocas, e serra tico-tico.
Fonte: Autor
Por se tratar de uma análise modal via excitação impulsiva, a estrutura foi excitada por
um ruído branco1 emitido pelo Vibration Exciter 4808 da B&K (Fig.4.4). Trabalhou-se com
uma faixa de frequência de 0 a 1000 Hz. Escolheu-se o ponto 74 da chapa para fixar o
vibrômetro/cabeça de impedância.
Figura 4.4 – Excitador de vibração da B&K 4808.
Fonte: Autor.
O analisador utilizado no experimento é o PULSE Analyser Platform 7536 (Fig. 4.5),
desenvolvido pela B&K. Sob a posse do Grupo de Vibrações e Acústica (GVA), este
equipamento consiste de dois módulos: um controlador e um de entrada e saída de sinais.
Dispõe de quatro entradas e duas saídas. No PULSE labshop, configurou-se para trinta
médias, pois observou que depois desse valor não havia alteração na obtenção dos resultados.
1
Ruído Branco é um sinal que excita a estrutura em uma faixa de frequência com a mesma energia.
Esse sinal é importante para que as frequências naturais sejam bem visualizadas nos gráficos obtidos no
analisador de sinais. Por ser um ruído que produz uma combinação simultânea de sons de todas as frequências,
recebe esse nome em analogia ao funcionamento da luz branca.
42
Figura 4.5 – PULSE Analyzer Platform 7536 da B&K.
Fonte: Autor.
O acelerômetro utilizado foi um PCB modelo 353B16 (Fig. 4.6) por apresentar
pequena massa o que garante a menor influência possível no comportamento da estrutura.
Esse instrumento apresenta, pelo fabricante (PCB Piezotronics INC), sensibilidade de
10,07 𝑚𝑉 𝑔 1,027 𝑚𝑉
.
𝑚/𝑠²
Figura 4.6 – Acelerômetro PCB 353B16.
Fonte: Autor.
A cabeça de impedância é um instrumento que contém um sensor de aceleração e um
sensor de força. O equipamento da B&K 8001 (Fig.4.7) será usado para a FRF pontual.
Apresenta, de acordo com o fabricante, 3,56 𝑚𝑉 𝑚
315 𝑚𝑉 𝑚
para o sensor de força.
𝑠²
para o sensor de aceleração e
𝑠²
43
Figura 4.7 – Cabeça de Impedância B&K 8001.
Fonte: Autor.
Ao terminar a montagem, os equipamentos acima conectados se apresentam como
ilustra a Figura 4.8.
Figura 4.8 – Montagem completa do instrumentos de medida.
Fonte: Autor.
Além da análise modal impulsiva com o excitador, realizou-se uma análise modal
impulsiva com o martelo de impacto a fim de comparar os resultados numéricoexperimentais. O martelo de impacto foi fabricado pelo PCB e seu modelo é 086C03
(Fig.4.9). Este instrumento consiste em uma célula de carga com uma faixa de medição de 0
até 4448 N. Este instrumento foi calibrado e encontrou-se uma sensibilidade de 1,88 𝑚𝑉 𝑁 .
Nesta análise, o martelo impacta contra a chapa nos pontos marcados, sendo este que
varia enquanto o acelerômetro PCB 353B16 permanece fixo no ponto 74 da chapa.
44
Figura 4.9 – Martelo de Impacto da PCB 086C03.
Fonte: Autor.
A haste utilizada para conectar o vibrômetro à cabeça de impedância esta mostrada na
Fig. 4.10.
Figura 4.10 – Haste flexível conectora e conexão entre o vibrômetro e cabeça de impedância.
Fonte: Autor.
Os arquivos foram salvos em formato universal para que houvesse uma interface entre
o PULSE e o TestLab. Criou-se a geometria de acordo com as coordenadas de cada ponto
(Fig. 4.11) no ambiente do software e vinculou a cada ponto sua respectiva função de resposta
em frequência.
45
Figura 4.11 – Geometria criada no TestLab.
Fonte: Autor.
O TestLab utiliza o método LSCE (Exponencial Complexa com Mínimos Quadrados)
para identificação dos parâmetros modais da chapa. Trabalha no domínio do tempo quando
faz somente a extração dos parâmetros modais e no domínio da frequência quando considera a
inserção de resíduos acima e abaixo, considerando a contribuição dos modos vizinhos.
5. ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS
5.1. Considerações Iniciais
Mediram-se as acelerações em pontos conhecidos da chapa que foram comparados
com os pontos do modelo numérico por MEF. Tais medições foram feitas no Laboratório de
Vibrações e Acústica (LVA) localizado no Laboratório de Engenharia Mecânica (LabEM) do
Instituto de Tecnologia (ITec) da Universidade Federal do Pará (UFPA) . Para tanto, utiliza-se
o PULSE Analyzer Platform como analisador de sinais e o TestLab como analisador de
dados.
5.2. Análise Modal
5.2.1. Frequências Naturas e Formas Modais
46
5.2.1.1. Chapa Com e Sem a massa da Cabeça de Impedância concentrada
Com base na primeira simulação, a Tabela. 5.1 apresenta os valores de frequência
natural e as formas modais entre os dois modelos são apresentadas nas Figuras de 5.1 a 5.5.
Esse modelo é importante, pois permite visualizar uma situação idealizada e serve como
ponto de partida para melhores aproximações ao sistema real.
Tabela 5.1 – Comparação entre as frequências naturais com e sem massa concentrada.
Modos
1°
2°
3°
4°
5°
6°
Sem Masa Concentrada
29.409
59.332
60.587
88.331
106.21
109.24
Com Masa Concentrada
28.842
56.732
60.251
86.116
105.37
109.24
Erro %
1.966
4.583
0.558
2.572
0.797
0.000
Fonte: Autor.
Figura 5.1 – Primeiro modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente.
Fonte: Autor.
47
Figura 5.2 – Segundo modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente.
Fonte: Autor.
Figura 5.3 – Terceiro modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente.
Fonte: Autor.
48
Figura 5.4 – Quarto modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente.
Fonte: Autor.
Figura 5.5 – Quinto modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente.
Fonte: Autor.
49
5.2.1.2. Influência da rigidez no comportamento modal da chapa
No modelo numérico, considerando a massa concentrada e a rigidez da haste,
verificou-se os seguintes resultados mostrados da Tab. 5.2. As figuras abaixo mostram as
formas deformáveis da chapa com a influência da rigidez.
Tabela 5.2 – Resultados da relação entre frequência natural e rigidez da haste.
Rigidez K (N/m)
0
500
1000
1500
2000
3000
4000
5000
10000
15000
20000
30000
40000
50000
100000
150000
Modo 1
Modo 2
Modo 3
Modo 4
28.842
29.109
29.363
29.604
29.833
30.257
30.642
30.992
32.343
33.253
33.899
34.748
35.276
35.634
36.461
36.774
56.732
57.062
57.387
57.705
58.016
58.606
59.131
59.539
60.044
60.096
60.114
60.128
60.135
60.138
60.144
60.146
60.251
60.261
60.273
60.288
60.307
60.365
60.471
60.677
62.956
65.213
67.069
69.767
71.520
72.697
75.201
76.028
86.116
86.218
86.322
86.426
86.532
86.747
86.966
87.190
88.366
89.610
90.878
93.299
95.349
96.930
100.310
101.210
Fonte: Autor.
Figura 5.6 – 1° e 2° modo com rigidez de 1 000 N/m.
Fonte: Autor.
50
Figura 5.7 – 1° e 2° modo com rigidez de 3 000 N/m.
Fonte: Autor.
Figura 5.8 – 1° e 2° modo com rigidez de 5 000 N/m.
Fonte: Autor.
Figura 5.9 – 1° e 2° modo com rigidez de 15 000 N/m.
Fonte: Autor.
51
Figura 5.10 – 1° e 2° modo com rigidez de 30 000 N/m.
Fonte: Autor.
Figura 5.11 – 1° e 2° modo com rigidez de 50 000 N/m.
Fonte: Autor.
Figura 5.12 – 1° e 2° modo com rigidez de 100 000 N/m.
Fonte: Autor.
52
Figura 5.13 – 1° e 2° modo com rigidez de 150 000 N/m.
Fonte: Autor.
5.2.1.3. Comparação dos dados Numérico-Experimentais
5.2.1.3.1. Excitação Impulsiva utilizando o Vibrômetro
Os pontos no modelo experimental que correspondem ao modelo numérico estão
expressões na tabela 5.3. As coordenadas foram medidas do modelo real e comparados com
as coordenadas do ANSYS. Em seguida, os valores de deslocamento na direção normal à
superfície foram computados e comparados. As Tab. 5.4 e Tab. 5.5 possuem valores
importantes para uma análise criteriosa do fenômeno abordado.
53
Tabela 5.3 – Coordenadas correspondentes entre os modelos.
Nós
Nós
Nós
Nós
Nós
REAL ANSYS REAL ANSYS REAL ANSYS REAL ANSYS REAL ANSYS
1
1063
21
871
41
679
61
519
81
327
2
1066
22
874
42
682
62
522
82
330
3
1069
23
877
43
685
63
525
83
333
4
1072
24
880
44
688
64
528
84
336
5
1074
25
882
45
690
65
530
85
338
6
1077
26
885
46
693
66
533
86
341
7
1080
27
888
47
696
67
536
87
344
8
1083
28
891
48
699
68
539
88
347
9
1086
29
894
49
702
69
542
89
350
10
1089
30
897
50
705
70
545
90
353
11
967
31
775
51
583
71
423
91
231
12
970
32
778
52
586
72
426
92
234
13
973
33
781
53
589
73
429
93
237
14
976
34
784
54
592
74
432
94
240
15
978
35
786
55
594
75
434
95
242
16
981
36
789
56
597
76
437
96
245
17
984
37
792
57
600
77
440
97
248
18
987
38
795
58
603
78
443
98
251
19
990
39
798
59
606
79
446
99
254
20
993
40
801
60
609
80
449
100
257
Fonte: Autor.
Tabela 5.4 – Valores de frequências naturais, experimental e numericamente.
Frequência Naturais - PULSE
1°
2°
3°
4°
Frequência Naturais - ANSYS
1°
2°
3°
4°
Hz
36.50
55.50
71.63
88.63
Hz
36.544
60.145
75.429
100.57
rad/s
229.336
348.717
450.065
556.879
rad/s
229.613
377.902
473.934
631.900
Fonte: Autor.
Tabela 5.5 – Valores de erro relativo entre os dois modelos.
Erro Relativo
PULSE - ANSYS
%
1°
0.121
2°
8.369
3°
5.304
4°
13.472
Fonte: Autor.
54
A Figura 5.14 e Figura 5.15 abaixo mostram as formas deformadas da chapa para os
quatro primeiros modos.
Figura 5.14 – 1° e 2° modo de vibração obtidos no TestLab.
Fonte: Autor.
Figura 5.15 – 3° e 4° modos de vibração obtidos no TestLab.
Fonte: Autor.
Tabela 5.6 – Frequências naturais e fatores de amortecimento dos quatro primeiros modos de vibração.
Modos Frequências Naturais
1°
36,467
2°
54,883
3°
71,017
4°
88,269
Fonte: Autor.
𝝃 (%)
1,36
0,67
0,51
0,54
55
5.2.1.3.2. Excitação Impulsiva utilizando o Martelo
Os valores de frequências naturais foram comparados, porém o modelo numérico
utilizado nessa comparação foi o modelo sem a massa concentrada da cabeça de impedância,
pois este instrumento não foi utilizado nesta etapa do trabalho.
A excitação com o martelo de impacto não conseguiu obter modos em frequências
abaixo de 40 Hz, apresentando, com isso, um erro entre as frequências muito grande. As
figuras 5.14 ilustram os modos de vibração (até o quarto modo) obtidos no software TestLab.
As frequências naturais obtidas neste ensaio estão descritas na Tab. 5.7.
Figura 5.16 – 1° e 2° modos de vibração obtidos no TestLab.
Fonte: Autor.
Figura 5.17 – 3° e 4° modo de vibração visualizado pelo TestLab.
Fonte: Autor.
56
Tabela 5.7 – Frequências naturais e fatores de amortecimento dos quatro primeiros modos de vibração.
Modos FrequênciasNaturais 𝝃 (%)
1°
44,777
1,86
2°
67,041
0,86
3°
71,214
0,94
4°
98,790
0,95
Fonte: Autor.
5.2.1.3.3. Comparação entre os modelos experimentais
Com relação à comparação dos dados experimentais, a Tabela 5.8 imprime valores de
erros relativos.
Tabela 5.8 – Resultados do erros relativos de frequências naturais e fatores de amortecimento.
Modos
1°
2°
3°
4°
Frequências
Naturais
Erro (%)
22,788
22,153
0,277
11,919
𝝃
Erro (%)
26,882
22,093
45,745
43,158
Fonte: Autor.
5.2.1.4. Modal Assurance Criteria (MAC)
A Tab. 5.9 mostra os resultados para o MAC da análise modal impulsiva com
vibrômetro e com o martelo de impacto. Como explicado anteriormente, no modelo numérico
de comparação para a excitação impulsiva com o vibrômetro foi concentrada uma massa
oriunda da cabeça de impedância. Para o martelo de impacto, o modelo numérico não possui a
massa proveniente da cabeça de impedância, pois se considera que o sistema está livre de
influências externas. O algoritmo utilizado para o cálculo do critério encontra-se em anexo
(de Me. Edilson Morais Lima e Silva e modificado pelo autor deste trabalho).
57
Tabela 5.9 – Valores de MAC para os modelos.
Critério de Comparação
Com Vibrômetro Com Martelo
Modos MAC Modos MAC
1°
0.77
1°
0.00
2°
0.00
2°
0.48
3°
0.11
3°
0.43
4°
0.05
4°
0.62
Fonte: Autor.
6. CONCLUSÃO E RECOMENDAÇÕES
6.1. Conclusão
A partir dos resultados expostos conclui-se que, para a chapa utilizada, a cabeça de
impedância, embora detenha pequena massa e pouco influencie na frequência natural do
sistema, modifica as formas deformadas do componente. Tais formas modais são importantes
para análises como: análise vibro-acústica e critérios de comparação modal.
Outro fenômeno observado é a rigidez induzida pela haste conectora disposta entre o
vibrômetro e a cabeça de impedância. Esta peça estabelece uma conexão rígida entre os
instrumentos mudando as formas modais da chapa. Essa rigidez se justifica pelo apoio
regulável do vibrômetro que apresentava contato íntegro com o solo. Concomitantemente ao
ensaio, obras de reforma no espaço físico do edifício do Laboratório de Engenharia Mecânica
que imprimiam sinais com altos níveis de ruído, contribuíram para obtenção de resultados
díspares entre o modelo numérico e o modelo experimental. Observou-se, também, que a
haste apresenta um comportamento não linear a partir do segundo modo de vibração.
As incongruências referentes aos erros nos modelos experimentais provêm da captação
de sinal. Quando a excitação impulsiva é realizada com martelo, é indicada a utilização de um
filtro apropriado, assim são captadas faixas de frequências menores.
Constatou-se que o modelo numérico com as extremidades da chapa engastadas não
descreve o modelo real montado no laboratório. O quadro de madeira compensada não
consegue garantir total engaste do componente, induzindo amortecimento ao sistema além dos
amortecimentos modais da estrutura. Por isso, o aumento do erro relativo do modelo
58
numérico em relação ao modelo real e resultados de MAC que condenam a correlação dos
modelos.
6.2. Recomendações
Com o intuito de obter melhor correlação entre os modelos e de investigar outros
fenômenos que ocorrem numa chapa submetida à vibração, algumas propostas de melhorias e
de futuros trabalhos são feitas a seguir:

Um quadro de outro material (mais rígido) para proporcionar o engaste apropriado
deve ser testado. Com isso, o modelo experimental se aproximará do modelo
desenvolvido no ambiente ANSYS®.

Desenvolver uma rotina de otimização do modelo numérico no qual são inseridos
elementos de mola e/ou amortecimento nas extremidades da chapa com intuito de
obter as características do sistema encontrado no laboratório. Assim, o modelo
numérico se aproximará da realidade.

Após tais melhorias, medição do campo de velocidade média quadrática espacial e
temporal, bem como medição da potência sonora irradiada pela chapa utilizando o
método de varredura possibilitarão determinar a eficiência de radiação de chapa
quando esta é submetida a um carregamento aleatório.

A nível didático e para validar o modelo numérico utilizando as formas modais,
sugere-se excitar a chapa nas frequências naturais e polvilhar areia em sua superfície
observando as tendências às linhas nodais. Tal experimento será de grande acréscimo
para os alunos, pois possibilitará visualização das formas deformadas da estrutura.
A partir dessas sugestões, uma metodologia de análise vibro-acústica estará disponível
para avaliações de estruturas que apresentam em suas configurações componentes de chapa,
como pisos de hidroelétricas, tampas de geradores elétricos, carcaças de reatores,
embarcações, entre outros.
59
REFERÊNCIAS
[1] 11.0, A. Release 11.0 Documentation of ANSYS. ANSYS, 2011.
[2] ASSAN, A. E. Método dos elementos finitos: primeiros passos. 2. ed. São Paulo:
UNICAMP, 2003.
[3] BATHE, K.J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliff, New
Jersey, 1996.
[4] BROCH, J. T. Mechanical vibration and shock measuments. ed. única. Naerum:
B&K,1980.
[5] CRUZ, L. S. M. Estudo de técnicas de análise modal operacional em sistemas sujeitos
a excitações aleatórias com a presença de componente harmônico. Belém: 2006, 133 f.
Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Pará, Belém, 2006.
[6] CHOPRA, A. K. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquakes
Engineering. New Jersey: Prentice Hall, 1995.
[7] COOK, R. D. Finite element modeling for stress analysis. ed. única. New York: John
Wiley & Sons, Inc., 1995.
[8] COOK, R.D.; MALKUS, D.S.; PLESHA, M.E. Concepts and applications of finite
element analysis. 3. ed. John Wiley & Sons, Inc., 1989.
[9] GALVÃO, R. A. A. Calibração direta e indireta de acelerômetros: Curva de
Calibração de Acelerômetro. Belém: 2011, 57 f. Material didático – Curso de Engenharia
Mecânica, Instituto de Tecnologia, Universidade Federal do Pará, Belém, 2011.
[10] LAVÔR, Bárbara; SOUZA, Remo M.; SAMPAIO, REGINA A.C.; MORAES, Edilson.
Modal parameters identification of steel lattice power. In:18th INTERNATIONAL
CONGRESS ON SOUND AND VIBRATION - ICSV18. Rio de Janeiro, Brasil.2011.
[11] RAO, S. S. Vibration of continuous systems. ed. única. New Jersey: Jonh Wiley &
Sons, Inc., 2007.
[12] SILVA, J. A. B. Análise do comportamento dinâmico de um grupo hidrogerador da
usina hidroelétrica de Coaracy Nunes. Belém: 2006, 109 f. Trabalho de Conclusão de
Curso (Graduação em Engenharia Mecânica) – Curso de Engenharia Mecânica, Instituto de
Tecnologia, Universidade Federal do Pará, Belém, 2006.
[13] SOEIRO, N. S. Análise modal experimental. Belém: 2001, 74 f. Apostila de aula –
Curso de Engenharia Mecânica, Instituto de Tecnologia, Universidade Federal do Pará,
Belém, 2001.
[14] VALE, A. R. M. Análise modal numérico-experimental de hélices navais produzidos
na região amazônica. Belém: 2003, 169 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
60
Engenharia Mecânica) – Curso de Engenharia Mecânica, Instituto de Tecnologia,
Universidade Federal do Pará, Belém, 2003.
61
APÊNDICE A - Comparação das frequências naturais (ANSYS|B&K)
clear
clc
disp('
%=================================================================
========================%')
disp('
% Determina as frequências (até a sexta frequência) de acordo com a B&K e
comparar com o %')
disp('
%
com as frequências obtidos no ANSYS 11.0
%')
disp('
% A chapa apresenta engaste em todas as extremidades e uma geometria quadrada
0.51x0.51 m %')
disp('%----------------------------------------------------------------------------------------------------------%')
disp('% Este programa calcula as frequências naturais analiticamente, compara com o
resultado extraido do ANSYS, %')
disp('% calcula o comprimento de onda, o tamanho do elemento e o numero de elementos
do modelo numérico.
%')
disp('%=============================================================
==============================================%'),disp(' ')
%----------------------%
% = Entrada de Dados = %
%----------------------%
% OBS: Propriedades do aço galvanizado para esse caso
disp('- | - | - ENTRADA DE DADOS - | - | -')
E=input('Modulo de Elasticidade (Pa): '); % 206.8e9 Pa
t=input('Espessura da chapa (m): '); % 0.0009 m
v=input('Coeficiente de Poisson : '); % 0.3
ro=input('Massa especifica (kg/m3): '); % 7800 kg/m3
a=input('Comprimento da Chapa (m): '); % Considare-se o tamanho de uma chapa quadrada
0.51x0.51 m
modos=input('Insira o vetor de modos da chapa : '); % Disponivel no manual da B&K
fANSYS=input('Insira o vetor de Frequências obtidos no ANSYS : '); % Extraido do ANSYS
% Valores dos modos disponivel no manual da B&K são [35.99 73.41 108.27 131.64 132.25
165.15]
% Valores de frequências extridos do ANSYS (modelo que convergiu com 33 divisões em
cada linha)
% são [29.409 60.587 88.331 106.21 109.24 135.51]
disp(' ')
%------------------------------------%
% = Processamento e Saida de Dados = %
%------------------------------------%
D=(E*t^3)/(12*(1-v^2)); % Rigides à Flexão
disp('- | - | - RESULTADOS - | - | - ')
fprintf('
TABELA DE FREQUÊNCIAS NATURAIS OBTIDAS\n')
fprintf(' (i)
Modo (i)
Frequência Natural - B&K
Frequência Natural ANSYS
Erro\n')
for i=1:length(modos)
freqnat(i)=modos(i)*(sqrt(D/(ro*t*(a^4))))/(2*pi);
62
erro(i)=100*abs((freqnat(i)-fANSYS(i))/(freqnat(i)));
fprintf('
%d
%3.3d
%2.3d
%2.3f%%\n',i,modos(i),freqnat(i),fANSYS(i),erro(i))
end
%2.3d
63
APÊNDICE B – Gráficos da frequência em função da rigidez.
Figura B.1 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o primeiro modo.
Frequência x Rigidez
1° modo
y = 0,5829x + 27,36
R² = 0,9667
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
Frequência x Rigidez
Linear (Frequência x
Rigidez)
Fonte: Autor.
Figura B.2 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o segundo modo de vibração.
Frequência x Rigidez
2° modo
y = -0,0225x2 + 0,6318x + 55,807
R² = 0,9753
0.061
0.060
0.059
0.058
0.057
0.056
0.055
0.054
Frequência x Rigidez
Poly. (Frequência x
Rigidez)
Fonte: Autor.
64
Figura B.3 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o terceiro modo.
Frequência x Rigidez
3° modo
y = 0,1073x2 - 0,67x + 60,871
R² = 0,9783
0.090
0.080
0.070
0.060
0.050
0.040
0.030
0.020
0.010
0.000
Frequência x Rigidez
Poly. (Frequência x
Rigidez)
Fonte: Autor.
Figura B.4 – Relação da frequência natural em função da rigidez para o quarto modo
Frequência x Rigidez
4° modo
y = 0,1079x2 - 0,8294x + 87,487
R² = 0,9911
0.105
0.100
0.095
0.090
0.085
0.080
0.075
Frequência x Rigidez
Poly. (Frequência x
Rigidez)
Fonte: Autor
65
ANEXO A – Algoritmo para o cálculo do MAC
**Modificado de Me. Eng. Edilson Moraes
clc
clear
disp(
disp(
disp(
arquivo
'=========================================')
'=
Modal Assurance Criterion (MAC)
=')
'========================================='),disp(' ')
= {'modo_1_chapa';'modo_2_chapa'
'modo_3_chapa';'modo_4_chapa'};
NumArq = size(arquivo,1);
fprintf('
Modo (i)
MAC\n')
for i = 1:NumArq
arq = 0;
arq = strcat(char(arquivo(i)), '.txt');
tdeften = load(arq);
n = size(tdeften,1);
for j = 1:n
N(j,1) = tdeften(j,3);
E(j,1) = tdeften(j,2);
end
M(i)=((E'*N)^2)/((E'*E)*(N'*N));
fprintf('
%d°
end
%1.3f\n',i,M(i))