Caderno
de
Atividades
ENSINO MÉDIO
LIVRO DO PROFESSOR
matemática
2 . série
a
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
M319
Marciano Neto, Mário.
Matemática : ensino médio, 2ª. série : caderno de atividades /
Mário Marciano Neto e Dirceu Luiz Fedalto ; ilustrações Cesar Stati. –
Curitiba : Positivo, 2012.
: il.
Sistema Positivo de Ensino
ISBN 978-85-385-5506-3 (Livro do aluno)
ISBN 978-85-385-5507-0 (Livro do professor)
1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos I. Fedalto, Dirceu Luiz. II.
Stati, Cesar. III. Título.
CDU 510
© Editora Positivo Ltda., 2012
Diretor-Superintendente
Diretor-Geral
Diretor Editorial
Gerente Editorial
Gerente de Arte e Iconografia
Ruben Formighieri
Emerson Walter dos Santos
Joseph Razouk Junior
Maria Elenice Costa Dantas
Cláudio Espósito Godoy
Autoria
Mário Marciano Neto
Dirceu Luiz Fedalto
Edição
Fernanda Rosário de Mello
Angela Ferreira Pires da Trindade
Solange Gomes
Ilustração
Projeto gráfico e capa
Editoração
Pesquisa iconográfica
Cesar Stati
Roberto Corban
Expressão Digital
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Produção
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80440-120 – Curitiba – PR
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2012
Contato
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Matemática
sumário
matrizes e determinantes..........................................5
sistemas lineares.......................................................14
geometria espacial.....................................................21
análise combinatória................................................35
probabilidades...........................................................46
3
Matemática
Matrizes e DETERMINANTES
 1 −1
0 4
1.Dada a matriz A = 
2 3
 3 2
0
1
2
4
1
4
4
2
−3
−2
 , pede-se:
1
5 
a) a ordem da matriz A;
4x5
b)o elemento a32 de A;
a32 = 3
c) a soma dos elementos da 2.a linha de A;
0 + 4 + 1 + 4 + (–2) = 7
d)a soma dos elementos da 4.a linha de A.
3 + 2 + 4 + 2 +5 = 16
 2 −1
2.Sendo a matriz A =  3 0  , escreva:


4 2 
a) a matriz oposta;
 −2 1 
A =  −3 0 


 −4 −2
b)a matriz transposta.
 2 3 4
At = 
 −1 0 2
3.Escreva a matriz identidade de ordem:
a) 2 x 2
 1 0
I2 = 
 0 1
4.Dada a matriz identidade de ordem 6, pergunta-se:
a) Quantos são os seus elementos?
36
b)Quantos elementos são iguais a zero? E quantos
elementos são iguais a 1?
30 elementos iguais a zero.
6 elementos iguais a 1.
5.Construa a matriz M = (aij)3x2, tal que aij = i + j.
 a11 a12 
 2 3




M = a21 a22  ⇒ M =  3 4
a31 a32 
 4 5
6.Determine os valores de x, y e z nas igualdades
abaixo:
9
 x + 1 y − 2  7
a) 
=

0   2z − 3 0
 z
x+1=7
x=6
y–2=9
y = 11
z = 2z – 3
z=3
 x − y y 2   3 81
b) 
 =

 x + y 6  7 6 
x − y = 3

x + y = 7
2x = 10
x = 5
b)3 x 3
z² = 81
 1 0 0
I3 =  0 1 0


 0 0 1
z=±9
y=2
5
Caderno de Atividades
7.Dadas as matrizes A, B e C, calcule o que se pede:
 1 2 −5
 0 −1 3
A=
 B= 

4 0 3 
 −1 −2 0
 1 2 3
C= 

 0 0 2
a) A + B + C
10.Construa a matriz R definida da seguinte forma:

0 se i < j

R = ( aij)3x3, tal que aij =  3i + 2 j se i = j
 2
 i − 2 se i > j
5 0 0 


R = 2 10 0 
7 7 15
2 3 1
A=

3 −2 5
a11 = 3 . 1 + 2 . 1 = 5
b)2A – B + 3C
2 4 −10 0 1 −3 3 6 9   5 11 −4
8 0 6  + 2 2 0  + 0 0 6 = 10 2 12 


   
 −B
2A
3C
1 3 4 
8.Sendo A = 

2 . A – Bt.  5 3 −1
0
e B=1

 3
4
7  , calcule

2
 2 6 8   0 −1 −3  2 5 5 
10 6 −2 +  −4 −7 −2 = 6 −1 −4


  
2⋅A
− Bt
a12 = 0
a21 = 2² – 2 = 2
a22 = 3 . 2 + 2 . 2 = 10 a13 = 0
a31 = 3² – 2 = 7
a33 = 3 . 3 + 2 . 3 = 15 a23 = 0
a32 = 3² – 2 = 7
5 0 0 


R = 2 10 0 
7 7 15
11.Considere um quadrado de lado 4 cm, com seus
vértices numerados de 1 a 4, no sentido horário.
Escreva a matriz Q = (aij)4x4 na qual os índices i e j
são os vértices de 1 a 4 e os elementos aij são as
distâncias entre os vértices.
4
4 cm
1
9.Dadas as matrizes A = (aij)2x2 com aij= i + j, B = (bij)2x2
com bij = i . j e C = (cij)2x2 com cij = i2 + j2, calcule o
valor de 2A + 3B – C.
4
2
2 3 
 1 2
2 5
A=
 B = 2 4  C =  5 8 
3
4






3
2A + 3B – C
 4 6  3 6   −2 −5 5 7 
 6 8  + 6 12 +  −5 −8 = 7 12

 
 
 

6
4 cm
cm
4 cm
 a11
a
21
Q=
a31

a41
4 cm
 0
a12 a13 a14 


a22 a23 a24 
 4
⇒Q= 

a32 a33 a34
4 2


a42 a43 a44 
 4
2
4
4 2
0
4
4
0
4 2
4
4 

4 2

4 

0 
Matemática
 1 1
 1 2 3
12.Sendo A = 
e B =  2 4 , calcule:


 0 −1 2
 3 0
a) A . B
 1⋅1+ 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3
0 ⋅1+ ( −1) ⋅ 2 + 2 ⋅ 3

1⋅1+ 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 0   1+ 4 + 9
=
0 ⋅1+ ( −1) ⋅ 4 + 2 ⋅ 0  0 − 2 + 6
1+ 8 + 0  14
=
0 − 4 + 0   4
9
−4 2x 2
b)B . A
1
1
4 ⋅ 
 0
0
1
2

 3
2
−1
 1⋅1+ 1⋅ 0
3 
=
2 ⋅1+ 4 ⋅ 0
2 
 3 ⋅1+ 0 ⋅ 0
 1 2
1⋅ 2 + 1⋅ ( −1)
2 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( −1)
3 ⋅ 2 + 0 ⋅ ( −1)
 0 3
1⋅ 3 + 1⋅ 2   1
 
2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 = 2
3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2 3
1
0
6
5

14
9 
13.Dadas as matrizes A = 
e B=
, calcule:
 3 2
 1 4
a) A . B
c) A²
 1 2  0 3  2 11
 3 2 ⋅  ↓ 1 4 =  2 17
 1 2  1 2  7 6 
 3 2 ⋅  3 2 =  9 10
b)B . A
d)B²
 0 3  1 2  9 6 
 1 4 ⋅  ↓ 3 2 =  13 10
 0 3  0 3  3 12
 1 4 ⋅  1 4 =  4 19
→
→
 2 2
14.Sendo a matriz A = 
, calcule A² + 4A – 5I2 (I2: Matriz identidade de ordem 2x2).
 1 2
 2 2  2 2  6 8
A2 = 
⋅
=
 1 2  1 2  4 6
 6 8  8 8  5 0  9 16
 4 6 +  4 8 −  0 5 =  8 9 
 1

15.Dadas as matrizes A = [ 1 7 0 ] e B =  −2 , calcule:
 5 
a) A . B
 1
 
1 7 0 1x 3 ⋅  −2 = [ −13]1x1
 5 
3x1
b)B . A
7 0
1
 1


 
⋅
=
−
−
−
2
1
7
0
2
14 0



 1x 3 
 
 5 35 0
 5 
3x1
3x 3
7
Caderno de Atividades
4
1
16.Obtenha a matriz inversa da matriz A = 
 11 3
 4 1  a b  1 0
11 3 ⋅ c d = 0 1

 
 

 4a + c = 1 ⋅ ( −3)

11a + 3c = 0
 −12a − 3c = −3

11a + 3c = 0
–a=–3
a=3
inversa da matriz A.
 a11
1
A=
a21
 −2
a12 
3
a22 
0 
a=0
1
c=
3
b + 3d = 0
 −12b − 3d = 0

11b + 3d = 1
b=−
b = –1
11 . 3 + 3c = 0
c = –11
4 . (–1) + d = 0
d=4
 3 −1
A −1 = 

 −11 4 
 2 1
17.Verifique se a matriz A = 
é inversa da ma 5 3
 3 −1
triz B = 
.
 −5 2 
 2 1  3 −1  1 0
A ⋅B = 
⋅
=
 5 3  −5 2   0 1
A é inversa de B, pois A . B = I
 1 3  a b   1 0 
 −2 0  ⋅ c d = 0 1

 

 
a + 3c = 1

 −2a = 0
4b + d = 0 ⋅ ( −3)

11b + 3d = 1
–b=1
8
18.Seja A = (aij)2x2 com aij = 2j – i2. Determine a matriz
– 2b = 1
1
2
1
− + 3d = 0
2
1
3d =
2
1
d=
6

0
A=
1
 3
1
− 
2

1 
6 
19.Seja a matriz A= (aij)2x2, onde
i + j, se i = j
aij = aij = 
. Se At é a matriz transi
−
j
se
i
≠
j
,

posta de A, então determine a matriz B = A2 + At.
2 −1
A=

1 4 
2 −1 2 −1  3
A2 = 
⋅
=
 1 4   1 4  6
3 −6   2 1 5
B= 
+
=
6 15   −1 4 5
−6
15 
−5
19 
Matemática
 1 2
.
 2 3
20.Obtenha a matriz inversa da matriz M = 
22.Calcule o valor dos seguintes determinantes:
a)
 1 2  a b  1 0
 2 3 ⋅  c d =  0 1
1 3
4 2
1 3
= 2 − 12 = −10
4 2
a + 2c = 1 ⋅ ( −2)

2a + 3c = 0
b)
−2a − 4c = −2
2a + 3c = 0
−c = −2
c=2
a = −3
1 −5
2 1
1 −5
= 1− ( −10) = 11
2 1
23.Calcule o valor dos seguintes determinantes:
b + 2d = 0 ⋅ ( −2)

2b + 3d = 1
1 3 2
a) 4 1 0
1 2 1
−2b − 4d = 0
2b + 3d = 1
−d = 1
d = −1
b=2
1 3 21 3
4 1 04 1
1 2 11 2
– 2 0 – 12 1 0 16
– 14 + 17 = 3
 −3 2 
M−1 = 

 2 −1
 2
21.Considere a matriz A = 
 3
A2008.
 2
A⋅A = 
 3
− 3  2
⋅
−2   3
− 3
 . Determine
−2 
− 3   1 0
=

−2  0 1
 1 0
A2008 = A⋅A ⋅ A ⋅ A ... A⋅A = 

0 1
 1 0  1 0  1 0
0 1 0 1 ... 0 1



 
2 5 4
b) 6 5 8
0 0 0
2 5 42 5
6 5 86 5
0 0 00 0
0 0 0
0 0 0
=0
24.Calcule o valor do determinante:
1 2 5
2 4 1
3 6 2
1 2 51 2
2 4 12 4
3 6 23 6
– 60 – 6 – 8 8 6 60
=0
9
Caderno de Atividades
25.Determine o valor de m de modo que o determi2 1 m
nante de 3 4 3 seja igual a 0.
−1 2 −1
2 1 m 2 1
3 4 3 3 4
−1 2 −1 −1 2
4m –12 +3 – 8 – 3 6m
−2 5 −3
28.Sendo a = 2 0 1
4 −3 2
calcule 9a + b2.
−2 5 −3 −2 5
a= 2 0
1 2 0
4 −3 2 4 −3
0 – 6 – 20 0 20 18
a = 38 – 26 = 12
8 0 −3 8 0
b = 4 0 −1 4 0
4 3 −2 4 3
10m – 20 = 0
0 24
0 0 0 – 36
10m = 20
b = 24 – 36 = –12
m=2
9a + b² =
9 . 12 + (–12)²
2 3 −2
1 −3
26.Calcule
.0 4 1 .
4 1
0 5 −3
108 + 144 = 252
29.Resolva as equações:
a)
1 −3
= 1+ 12 = 13
4 1
5
2
= –4
2x + 3 x
5 . x – 2 . (2x + 3) = –4
5x – 4x – 6 = –4
2 3 −2 2 3
0 4 1 0 4 = −34
0 5 −3 0 5
0 – 10 0 – 24 0 0
13 . (– 34) = – 442
x = –4 + 6
x=2
b)
x
2
= –10
3x + 5 2x + 1
x . (2x + 1) – 2 . (3x + 5) = –10
2x² + x – 6x – 10 = –10
4
5
27.Resolva a equação
= 6.
x−2 x
2x² – 5x = 0
x . (2x – 5) = 0
x = 0
4 . x – 5 . (x – 2) = 6
4x – 5x + 10 = 6
– x = 6 – 10
c)
x=
5
2
x − 2 2 1 16
=
2x + 3 x 1 1
–x=–4
x . (x – 2) – 2 . (2x + 3) = 1 – 16
x=4
x² – 2x – 4x – 6 = –15
x² – 6x – 6 + 15 =0
x² – 6x + 9 = 0
x=3
10
e
8 0 −3
b = 4 0 −1 ,
4 3 −2
Matemática
a b a+b
d) c d c + d
m n m+n
30.Resolva a equação:
x x x
5
x x 3= 2
x
x 4 2
x
−1
x x x x x
5
x x 3 x x = 2
x
x 4 2 x 4
0, pois C1 + C2 = C3
x
−1
1 3 2
e) 1 2 1
5 12 7
– x³ – 12x – 2x² 2x² 3x² 4x²
–x³ + 7x² – 12x = –5 – x³
7x² – 12x + 5 = 0
0, pois C1 + C3 = C2
12 ± 144 − 140
14
12 ± 2
x=
14
x’ = 1
10 5
x ’’ =
=
14 7
x=
x2
31.Determine os valores de x, de modo que
7
x² – 7x = 18
2
x
= 18.
1
x’ = 9 e x” = –2
32.Calcule o valor dos seguintes determinantes, justi-
0, pois L1 = 0
2 0 2
b) 3 4 3
−1 7 −1
0, pois C1 = C2
2 3 5
c) 4 6 10
−1 7 9
5
33.O valor de x que satisfaz a equação 7 −1 6 = 0
x² – 7x – 18 = 0
ficando:
0 0 0
a) 3 4 2
−1 7 9
3
é:
a) 1
b)2
c) 3
d)4
xe) 5
1
4
x
C1 + C2 = C3 ⇒ x = 5
a b c
34.Seja A = m n p e detA = 10. Calcule o valor dos
z y z
seguintes determinantes:
m n p
a) a b c
2x 2y 2z
– (2 . 10) = –20
2m 3n p
b) 2x 3y z
2a 3b c
(–1) . (–1) . 2 . 3 . 10 = 60
0, pois L2 = 2.L1
11
Caderno de Atividades
a b c
35.Seja A = m n p e detA = 8, determine:
z y z
a) det(2A)
det(2A) = 2³ . 8 = 8 . 8 = 64
b)det(–3A)
det(–3A) = (–3)³ . 8 = –27 . 8 = –216
1 0 −1
36.Dada a matriz M = 2 4
6 , pede-se:
3 2 3
a) o cofator do elemento a23;
1 0
A23 = (–1)2+3 .
3 2
37.Calcule o valor dos seguintes determinantes:
3
0
a) 0
0
0
4
1
1
1
−1
1
1
1
2
3
5
1
1
3
2
1
1
2
4
4
= a11⋅ A11 + a21 ⋅ A21 + a31 ⋅ A31 + a41 ⋅ A 41 + a51 ⋅ A51 = 3 ⋅ ( −5) = −15
0
0
0
1
1
A11 = ( −1)1+1 ⋅
1
1 1 1
1 1 2
= ( −1)1+1 ⋅ (a24 ⋅ A24 ) =
2 3 4
−1 3 2 4
1 1 1 1 1
= ( −1)1+1⋅ ( −1)2+ 4 ⋅ 0 1 2 0 1 = −5
↓
↓
−2 2 1 −2 2
1
1
2 –4 0
A23 = (–1) . 2 = –2
b)o valor do det M, utilizando a Regra de Sarrus;
1 0 −1 1 0
M= 2 4 6 2 4
3 2 3 3 2
0
3 4
−1 2
b)
2 −3
1 2
2
1
1
5
1–4 0
1
0
0
2
– 12 + 120 + 12 0 – 4
det M = 8
= a14 ⋅ A14 + a24 ⋅ A24 + a34 ⋅ A34 + a44 ⋅ A 44 = 6 + 50 = 56
0
c) o valor do detM, utilizando o Teorema de Laplace.
det M = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13
det M = 1
⋅ 0 + 0
⋅ A12 + (
−1) ⋅
−8
0
0
A11 = ( −1)
2⋅25
−1 2 1 −1 2
A14 = ( −1)1+ 4 ⋅ 2 −3 1 2 −3 = ( −1) ⋅ ( −6) = 6
1 2 5 1 2
3
2 – 20 15 – 2 – 4
8
det M = –16
1+1
0
4 6
⋅
= 1⋅ (12 − 12) = 0
2 3
3 4 2 3 4
A 44 = ( −1)4 + 4 ⋅ −1 2 1 −1 2 = 1⋅ 25 = 25
2 −3 1 2 −3
– 8 +9 +4 6 +8 +6
2 4
A13 = ( −1)1+ 3 ⋅
= 1⋅ ( 4 − 12) = −8
3 2
12
Matemática
38.Resolva a equação, sendo x um número real:
2
0
0
0
x −2 1
3 2 −2
= −36
0 1 x
0 0 −6
 1 3
 −1 0
,
2
40.Dadas as matrizes A = 
 e B =  1
4
2

calcule:
a) detA
det A =
1 3
= 2 − 12 = −10
4 2
O valor do determinante é –36 para qualquer valor de x.
39.Dadas as matrizes
b)detB
 1 −2 3 
 −2 3 1
A =  1 4 5  e B =  0 −4 2 ,




 6 2 −1
 −6 3 4
calcule o det(A + B).
detB =
−1 0
= −2 − 0 = −2
1 2
c) det(A + B)
det(a + B) =
−1 1 4 −1 1
det (A + B) = 1 0 7 1 0
0 5 3 0 5
0 35 – 3
det (A + B) = 52
0 0 20
0 3
= 0 − 15 = −15 ∴ det (A + B) ≠ det A + det B
5 4
d)det(A . B)
det( A ⋅ B) =
2 6
= 8 − ( −12) = 20 ∴ det (A . B) = det A . det B
−2 4
Anotações
13
Caderno de Atividades
Sistemas Lineares
mx + 2y = 0
8x + my = 0
3.Discuta o sistema 
1.Resolva pela Regra de CRAMER:
x + y = 3

 2x + y = 4
D=
D=
1 1
= 1− 2 = −1
2 1
3 1
Dx =
= 3 − 4 = −1
4 1
Dy =
1 3
= 4 − 6 = −2
2 4
Dx −1
x=
=
=1
D −1
x=
sistema:
x + y = 1

 −2x + 3y − 3z = 2
x + z = 1

x − y + z = 3

 2x + y − z = 0
3x − y + 2z = 6

1 1 0
D = −2 3 −3 = 3 − 3 + 2 = 2
1 0 1
1 −1 1
D = 2 1 −1 = 2 + 3 − 2 − 3 − 1+ 4 = 3
3 −1 2
3 −1 1
Dx = 0 1 −1 = 6 + 6 − 6 − 3 = 3
6 −1 2
1 3 1
Dy = 2 0 −1 = −9 + 12 + 6 − 12 = −3
3 6 2
14
Se m² – 16 ≠ 0 → o sistema é determinado m ≠ 4 e m ≠ –4
4.Resolva, aplicando a Regra de Cramer, o seguinte
2.Resolva pela Regra de CRAMER:
S = {(1 ; –1 ; 1)}
Se m² – 16 = 0 → o sistema é indeterminado m = 4 ou m = –4
Dy −2
=
=2
−1
D
S = {(1 ; 2)}
1 −1 3
Dz = 2 1 0 = 6 − 6 − 9 + 12 = 3
3 −1 6
m 2
= m2 − 16
8 m
x=
y=
z=
Dx 3
= =1
D 3
Dy −3
=
= −1
D
3
Dz 3
= =1
D 3
1 1 0
Dx = 2 3 −3 = 3 − 3 − 2 = −2
1 0 1
1 1 0
Dy = −2 2 −3 = 2 − 3 + 3 + 2 = 4
1 1 1
1 1 1
Dz = −2 3 2 = 3 + 2 − 3 + 2 = 4
1 0 1
S = {(–1 ; 2 ; 2)}
x=
Dx −2
=
= −1
D
2
y=
Dy 4
= =2
D 2
z=
Dz 4
= =2
D 2
Matemática
5.Determine o valor de p para que o sistema tenha
6.(F.G.V.) – Para que valores de k o sistema abaixo (nas
incógnitas x, y e z) é indeterminado?
 x + 2y − z = 0

3x + ky = 0
 2x + y − z = 0

solução diferente da trivial:
 2x − y + z = 0

x + y + pz = 0
 2x + y + 2z = 0

2 −1 1
D= 1 1 p =0
2 1 2
4 – 2p + 1 – 2 – 2p + 2 = 0
1 2 −1
D= 3 k 0 =0
2 1 −1
– 4p + 5 = 0
–k – 3 + 2k + 6 = 0
p=
k+3=0
5
4
k = –3
7.Resolva o sistema linear homogêneo
3x + 4 y + z = 0

 2x − y − z = 0
 − x + 3y − z = 0

3 4 1
D = 2 −1 −1 = 3 + 4 + 6 − 1+ 9 + 8 = 29
−1 3 −1
0 4 1
Dx = 0 −1 −1 = 0
0 3 1
x=
0
=0
29
0 4 1
Dx = 0 −1 −1 = 0
0 3 1
x=
3 0 1
Dy = 2 0 −1 = 0
−1 0 1
0
=0
29
y=
0
=0
29
S = {(0 ; 0 ; 0)}
3x − 5y = 0
for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de x será dado por uma
4 x + 7y = 19
fração cujo denominador vale:
8.(F.G.V.) – Se o sistema linear 
xa) 41 b) 179 c) –179 d) 9 e) –9
D=
3 −5
= 21− ( −20) = 41
4 7
9.No estacionamento de uma universidade, em um determinado horário, existiam automóveis e bicicletas. O número total de rodas era de 130 e o número de bicicletas era o triplo do número de automóveis. Então, o número
total de veículos que se encontravam no pátio era de:
a) 50 b) 42 x c) 52 d)54 e)62
b : nº de bicicletas
2 . (3a) + 4a = 130
a : nº de automóveis
6a + 4a = 130
a+b=?
10a = 130
b = 3a

2b + 4a = 130
a = 13
b = 3 . 13
b = 39
a + b = 52
15
Caderno de Atividades
10.Resolva os sistemas escalonados abaixo:
 2x + y − z = 7

y + 2z = 3
a) 

5z = 10

 x − y + 2z − w = 1

y+z+w=4

b) 
2z − w = 0


−w= 4
5z = 10
y + 2z = 3
2x + y – z = 7
z=2
y+2.2=3
2 . x + (–1) – 2 = 7
–w = 4
y+z+w=4
y = –1
2x = 7 + 3
w = –4
y + (–2) + (–4) = 4
2x = 10
y = 10
x=5
S = {(5 ; –1 ; 2)}
2z – w = 0
x – y + 2z – w = 1
2z – (–4) = 0
x – 10 – 4 + 4 = 1
2z + 4 = 0
x = 1 + 10
z = –2
x = 11
S = {(11 ; 10 ; –2 ; –4)}
11.Resolva os sistemas abaixo, por escalonamento:
x + y − 2z = −1

a) 2x + y + z = 0
x + 4 y − 6 z = 4

x + y − 2z = −1

2x + y + z = 0
x + 4y − 6z = 4

−2x − 2y + 4z = 2
2x + y + z = 0
− y + 5z = 2
x + y – 2z = –1
x + 3 – 2 = –1
x + 1 = –1
x = –2
S = {(–2 ; 3 ; 1)
16
⋅ ( −2) ⋅ ( −1)
↵
↵
− x − y + 2z = 1
x + 4y − 6z = 4
3y − 4z = 5
 − y + 5z = 2 ⋅ (3)

3y = 4z = 5
−3y + 15z = 6
3y − 4z = 5
11z = 11
z =1
3y – 4z = 5
3y – 4 . 1 = 5
3y = 9
y=3
Matemática
 x+y+z=2

b)  x + 3y = 2
3x + 2y − 2z = −5

⋅ (2)
 x+y+z=2

3
2
x
+
y
=

3x + 2y − 2z = −5 ↵

−5x − 15y = − 10
x + 3y = 2 ⋅ ( − 5)

5x + 4y = − 1
5x + 4y = − 1
−11y = − 11
y = 11
2x + 2y + 2z = 4
3x + 2y − 2z = -5
5x + 4y = − 1
x + 3y = 2
x+ y +z = 2
x+3=2
z + 1 +(–1) = 2
x = –1
z=2
S = {(–1 ; 1 ; 2)}
x − 2y + 3z = 1

c) 2x + y − z = 0
3x − y + 2z = 4

x − 2y + 3z = 1

2x + y − z = 0
3x − y + 2z = 4

⋅ ( −3))
⋅ ( −2)
↵
↵
−3x + 6y − 9z = − 3
3x − y + 2z = 4
5y − 7z = 1
−2x + 4y − 6z = − 2
2x + y − z = 0
5y − 7z = − 2
 5y − 7z = − 2 ⋅ ( − 1)

 5y − 7z = 1
−5y + 7z = 2
5y − 7z = 1
0=3
(impossível)
S=∅
x + 2y + 3z = 4

d) 2x + 3y + z = 2
5x + 8y + 5z = 8

x + 2y + 3z = 4 ⋅ ( −2)

↵
2x + 3y + z = 2
5x + 8y + 5z = 8

−2x − 4y − 6z = − 8
2x + 3y + z = 2
− y − 5z = − 6
⋅ ( −5)
↵
−5x − 10y − 15z = − 20
5x + 8y + 5z = 8
− 2y − 10z = − 12
⋅( −2)
 − y − 5z = −6

2
y
−
10
z
=
−
12

2y + 10 z = 12

 −2y − 10z = −12
x + 2y + 3z = 4
x + 2 . (6 – 5z) + 3z = 4
–y – 5z = –6 . (–1)
y + 5z = 6
y = 6 – 5z
0=0
x + 12 + 10z + 3z = 4
x = 10z – 3z + 4 – 12
x = 7z – 8
S = {(7z – 8 ; 6 – 5z ; z) / z ⊂
17
Caderno de Atividades
 2x + 2y − 2z = 6

12.O valor de x no sistema x − y + 3Z = 3 é:
−y + z = 2

a) 4 b) 8 c) –1 d) 0 x e) nda
13.Sabendo que x + y = 800, x + z = 1 000 e y + z = 1 200,
calcule o valor de 2x + 3y – z.
x + y = 800
x + z = 1000
y + z = 1200
− x − y + z = −3 ( ÷( −2))
x − y + 3z = 3
2x + 2y + 2z = 3000
x + y + z = 1500
−2y + 4z = 0
y − 2z = 0 [ ÷( −2)]
−y + z = 2
x + y +z = 1500
−y = 2
z = −2
z = 700
y = 500
–y + z = 2
x = 300
–y – 2= 2
–y = 4
y = –4
2x + 3y – z = 600 + 1500 – 700 = 1400
x – y + 3z = 3
x+4–6=3
x–2=3
x=5
14.Numa loja, podem ser comprados: uma faca, duas colheres e três garfos por R$23,50; duas facas, cinco colheres
e seis garfos por R$50,00; duas facas, três colheres e quatro garfos por R$36,00. Qual seria o valor pago por meia
dúzia de cada?
f + 2c + 3g = 23, 50 ⋅ ( −2)

2f + 5c + 6g = 50↵
2f + 3c + 4g = 36↵

c + 2g = 11
3 + 2g = 11
2g = 8
g=4
−2f − 4c − 6g = −47
2f + 5c + 6g = 50
f + 2c + 3g = 23,50
c=3
f + 6 + 12 = 23,50
−2f − 4c − 6g = −47
2f + 3c + 4g = 36
−c − 2g = −11
18
f = 23,50 – 18
f = 5,50
6f + 6c + 6g = 33 + 24 + 18 = 75,00
Matemática
15.Para pesar três maçãs, dispomos de um massor
(peso) de 100 g e de uma balança de pratos iguais.
A massa da maçã maior é igual à massa das duas
outras juntas. A massa da menor mais 100 g igual a
massa das outras. A maior mais a menor pesam 100
g. A massa das três será:
a) 125 g x b) 150 g c) 175 g d) 200 g e) 225 g
a) é impossível se a = 4 e b = – 2;
b)é possível e determinado se a = 4 e b = – 2;
c) é impossível se a ≠ 4 e b ≠ – 2;
d)é determinado se a = 4;
xe) é indeterminado se a = 4 e b = – 2.
x + 2y = −1⋅ ( −2)

2x + ay = b↵
x−y−z=0
x + z = 100
x=y+z
z + 100 = y + x
2x − y = 100
2x − 50 = 100
2x = 150
x = 75
x + z = 100
x − y − z = 0

 − x − y + z = −100
x + z = 100

−2x − 4 y = 2
2x + ay = b
( −4 + a)y = 2 + b
x + z = 100
x−y−z=0
− x − y + z = −100
y=
75 + z = 100
a ≠ 4 ⇒ S.P.D
a = 4 e b = –2 ⇒ S.P.I
2+b
a− 4
a = 4 e b ≠ –2 ⇒ S.I
z =25
−2y = −100
y = 50
x + y + z = 150g
16.Considere o seguinte sistema de equações lineares
e, em seguida, calcule o produto x . y . z . t.
x + y + z + t = 11
x − y − z − t = −9


 − x + y − z − t = −7
 − x − y + z − t = −5
18.Faça a discussão dos sistemas em função dos parâmetros a e b:
x + by = 3
a) 
 2x − 4 y = a
b ≠ – 2 ⇒ sistema possível e
determinado
−2x − 2by = −6
2x − 4y = a
( −2b − 4)y = −6 + a b = – 2 e a = 6 ⇒ sistema possível e
indeterminado
a) 15 b) 20 d) – 20 e)– 30
x c) 30
x + y + z + t = 11
x − y − z − t = −9
2x = 2
x =1
x + y + z + t = 11
− x + y − z − t = −7
x + y + z + t = 11
2y = 4
y=2
t = 11 – 6
x + y + z + t = 11
1+ 2 + 3 + t = 11
x + 2y = −1
2x + ay = b
17.O sistema 
1 + 2 + 3 + t = 11
t=5
x . y . z . t = 30
y=
b = – 2 e a ≠ 6 ⇒ sistema impossível
−6 + a
−2b − 4
 x + 2y − z = 3

b) 2x + 5y + z = 1
x + y + az = b

−2x − 4 y + 2z = −6 y + 3z = −5
a ≠ –4 ⇒ S.P.D


2x + 5y + z = 1
− y + (a + 1)z = −3 + b ⇒ a = –4 e b = 8 ⇒ S.P.I

+ y + 3z = −5
a = –4 e b ≠ 8 ⇒ S.I
(a + 4)z = −8 + b
− x − 2y + z = −3
x + y + az = b
− y + (a + 1)z = −3 + b
z=
−8 + b
a+ 4
2z = 6
z=3
19
Caderno de Atividades
x + my + z = 0

19.Para que o sistema mx + y − z = 4 seja possível e determinado, é necessário que:
x − z = 2

a) m = 2 ou m = – 1
b)m = 2 ou m ¹ – 1
xc) m ≠ 2 e m ≠ – 1
d)m = – 2 ou m = 1
e) m ¹ 2 e m = – 1
1 m 1
D = m 1 −1 ≠ 0
1 0 −1
–1 – m – 1 + m² ≠ 0
m² – m – 2 ≠ 0
m ≠ 2 e m ≠ –1
Anotações
20
Matemática
geometria espacial
1.Um poliedro convexo possui 8 faces e 6 vértices.
Calcule o número de arestas.
V+F=A+2
6+8=A+2
A = 12
5.Calcule o número de vértices de um poliedro
convexo de 6 faces quadrangulares e 12 faces
triangulares.
A=
6 ⋅ 4 + 12 ⋅ 3 24 + 36
=
2
2
A = 30
2.O número de vértices de um poliedro convexo de
10 faces quadrangulares é:
a) 32 b) 12 c) 20
d)15 e) 18
A=
10 ⋅ 4
= 20
2
V+F=A+2
V + 10 = 20 + 2
V = 12
V+F=A+2
V + 18 = 30 + 2
V = 14
6.Um poliedro convexo tem 10 vértices, 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. O número total de
faces desse poliedro é:
xa) 12 b) 10 c) 8
d)6 e) 4
F=8+x
V = 10
3.Um turista ecológico encontrou, em uma de suas
viagens, um cristal de rocha no formato de um poliedro convexo de 60 faces triangulares. Calcular o
número de arestas e vértices desse cristal.
60 ⋅ 3
A=
= 90
2
V+F=A+2
V + 60 = 90 + 2
V = 92 – 60
V = 32
4.Um poliedro convexo possui 12 faces pentagonais.
Calcule o número de vértices desse poliedro.
A=
12 ⋅ 5
= 30
2
A=
8⋅3 + x ⋅ 4
2
A = 12 + 2x
V+F=A+2
10 + 8 + x = 12 + 2x + 2
18 – 14 = 2x –x
x=4
F=8+X
F = 12
7.A soma de todos os ângulos das faces de um poliedro convexo é 1 800º. O número de vértices desse
poliedro é:
a) 5 b) 6 x c) 7
d)8 e) 9
SF = (V – 2) . 360º
V+F=A+2
1800º = (V – 2) . 360º
V + 12 = 30 + 2
1800o
= V −2
360o
V = 20
5=V–2
V=7
21
Caderno de Atividades
8.A soma de todos os ângulos de todas as faces de
12.O cubo octaedro é um poliedro convexo que tem 6
um poliedro regular é 3 600º. O número de arestas
desse poliedro é:
a) 6 b) 12 x c) 30 d) 20 e) 8
faces quadradas e 8 faces triangulares. Determine:
a) o número de arestas;
A=
SF = (V – 2) . 360º
3600º = (V – 2) . 360º
3600o
= V −2
10 = V – 2
V = 12
360o
O poliedro regular que tem 12 vértices é o icosaedro
6⋅ 4 + 8⋅3
2
A = 24
b)o número de vértices;
V=?
A = 30
V+F=A+2
9.O hexaedro regular é um poliedro convexo com:
V + 14 = 24 + 2
a) 4 faces quadradas, 8 arestas e 8 vértices;
b)6 faces quadradas, 8 arestas e 12 vértices;
xc) 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices;
d)4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices;
e) 8 faces triangulares, 12 arestas e 8 vértices.
10.São classificados como poliedros de Platão:
a) a esfera e o cubo;
xb)o cubo e o octaedro;
c) a circunferência e a esfera;
d)o cubo e o decaedro;
e) o hexaedro regular e o pentaedro.
V = 12
c) a soma das medidas dos ângulos das faces.
SF = (v – 2) . 360º
SF = (12 – 2) . 360º
SF = 3 600º
13.A figura a seguir representa a planificação de um
sólido. O volume desse sólido é:
3
3
3
11.A figura abaixo é a planificação de um poliedro convexo. Após a contagem do número de faces, determine o número de arestas e vértices do poliedro:
F = 14
A=
a) 8
b)75
c) 32/5
d)13/7
xe) 81/4
8⋅6 + 6⋅4
= 36
2
V+F=A+2
V + 14 = 36 + 2
22
3 3
V = 24
2
ℓ⋅ 3
4
32 ⋅ 3 9 3
AB =
=
cm2
4
4
AB =
V = AB . h
V=
9 3
81
⋅ 3 3 = cm3
4
4
Matemática
14.Calcule o volume de um prisma quadrangular re-
16.Num prisma triangular regular, a altura mede
gular cujo lado da base é 3 cm e cuja altura é 6 cm.
2 3 cm e a área lateral é o quádruplo da área da
base. Calcule a área total desse prisma.
AB = 3² = 9 cm²
h = 6 cm
6 cm
h = 2 3 cm
AL = 4 ∙ AB
V = AB . h
V=9.6
3 ⋅ ℓ⋅ h = 4 ⋅
V = 54 cm³
ℓ 2⋅ 3
4
3 ∙ ℓ ∙ 2 3 = ℓ² ∙ 3
3 cm
6ℓ = ℓ²
3 cm
ℓ² – 6ℓ = 0
ℓ = 0 ou ℓ = 6 cm
15.Calcule o volume e a área total de um prisma triangular regular, com altura 6 cm e altura da base 3 3 cm.
AB =
62 ⋅ 3
= 9 3 cm2
4
AL = 3 ∙ (6 ∙ 2 3 ) = 36 3 cm²
AT = 2 ∙ AB + AL
AT = 18 3 + 36 3 = 54 3 cm²
6 cm
ℓ
ℓ
3 3 cm
ℓ
3 3 cm
ℓ 3
2
ℓ 3
3 3=
2
h=
ℓ = 6 cm
2
2
ℓ ⋅ 3 6 ⋅ 3
AB =
=
= 9 3 cm2
4
4
AL = 3∙ (6 ∙ 6) = 108 cm²
AT = 2 ∙ AB + AL
AT = (18 3 + 108) cm²
V = AB ∙ h
V = 9 ∙ 36
V = 54 3 cm³
17.A área lateral de um prisma regular hexagonal é o
triplo da área da base desse prisma. Calcule o volume, sabendo que a base desse prisma tem perímetro igual a 12 cm.
AL = 3 . AB
6 ⋅ ℓ 2⋅ 3
4
6 ⋅ 22 ⋅ 3
6 ⋅ 2⋅h = 3⋅
4
6 ⋅ ℓ ⋅h = 3⋅
2h = 3
3
cm
2
12
ℓ = cm
6
ℓ = 2 cm
V = AB . h
h=
V = 6⋅
2
ℓ ⋅ 3
⋅h
4
22 ⋅ 3 3
⋅
4
2
V=3.3
V = 6⋅
V = 9 cm³
23
Caderno de Atividades
18.Calcule o volume de um cubo de área total de
2
150 cm .
AT = 6 ∙ a²
150 = 6 ∙ a²
25 = a²
a = 5cm
V = a³
V = 5³
V = 125cm³
19.Dado um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões são 3 cm, 4 cm e 12 cm, calcule:
a) a área total;
AT = 2 ∙ (3 ∙ 4 + 3 ∙ 12 + 4 ∙ 12)
21.Aumentando-se a medida da aresta de um cubo
em 10%, a área total desse cubo ficará aumentada
em:
a) 10%
b) 11%
x
c) 32%
d) 20%
x
e) 21%
x
x
AT1 = 6 ∙ x²
x
AT2 = 6 ∙ (1,1x)²
1 ∙ 1x
AT2 = 1,21 ∙ 6x²
1,21 = 121%
1 ∙ 1x
121% – 100% = 21%
1 ∙ 1x
AT = 192 cm²
b) a medida da diagonal;
D² = a² + b² + c²
D² = 9 + 16 + 144
D² = 169
D = 13 cm
c) o volume.
V=a∙b∙c
V = 3 ∙ 4 ∙ 12
V = 144 cm³
20.Dado um cubo cuja diagonal mede 2 3 m, calcule:
22.O lado, a diagonal de uma face e o volume de um
cubo são dados, nessa ordem, por três números em
progressão geométrica. Calcule:
a) a área total desse cubo;
a , a 2 e a³
(a 2 )² = a³ ∙ a
2a² = a4 ÷ (a²)
a² = 2
a= 2
AT = 6 ∙ a²
AT = 6 ∙ ( 2 )² = 12
a) a área total do cubo;
D=a 3
2 3 =a 3
a=2m
AT = 6 ∙ 2²
AT = 24 m²
b) o volume desse cubo.
V = 2³ = 8 m³
24
b) a medida da diagonal desse cubo;
D=a 3 ∴ D= 2 ∙
3
D= 6
c) o volume desse cubo.
V = a³ = ( 2 )³ = 2 2
Matemática
23.Para construir um prisma regular hexagonal de
26.Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com
5 cm de altura e aresta da base 4 cm, um menino pretende recortar as faces laterais e as bases
em uma folha retangular de cartolina com 30 cm
de comprimento por 20 cm de largura. Calcule o
percentual de cartolina usado nessa construção.
(Use 3 = 1,7.)
arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos
à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo retângulo de arestas 8
cm, 8 cm e x cm. Determine o valor de x.
Área da folha: 30 x 20 = 600 cm²
1216 = 64x
1216
x=
64
Área total do prisma: 2 . AB + AL
AT = 2⋅
6 ⋅ 42 ⋅ 3
+ 6⋅ 4⋅5
4
10³ + 6³ = 8 . 8 . x
1000 + 216 = 64x
x = 19 cm
AT = 48 3 + 120 = 201,6 cm²
600 cm² _______ 100%
201,6 cm² ______ x
x = 33,6%
27.Um prisma regular triangular tem todas as nove
arestas congruentes entre si. Calcule a área total
desse prisma, sabendo que o volume é 16 3 cm3.
V = AB . h
16 3 =
24.Uma caixa de papelão foi construída na forma de
um paralelepípedo retângulo de dimensões 20 cm,
40 cm e 50 cm. Calcule o “peso” desta caixa, sabendo que cada 1 cm2 pesa 0,5 gramas.
AT = 2 ∙ (20 ∙ 40 + 20 ∙ 50 + 40 ∙ 50)
AT = 7600 cm²
7600 ∙ 0,5 = 3800 g
ℓ 2⋅ 3 ℓ
⋅
4
64 = ℓ³
ℓ = 4 cm
AT = 2 . AB + AL
2
ℓ ⋅ 3
+ 3⋅ ℓ ⋅h
4
42 ⋅ 3
AT = 2⋅
+ 3⋅ 4 ⋅ 4
4
AT = 2⋅
AT = 8 3 + 48 = 8( 3 + 6) cm²
28.1. A pirâmide abaixo representada é regular. Escreva
o nome dos segmentos destacados:
25.Numa cozinha de 3 m de comprimento, 2 m de
V
largura e de 2,80 m de altura, as portas e janelas
ocupam uma área de 4 m2. Para azulejar as quatro
paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a
mais da metragem. Determine a metragem de azulejos a comprar.
O
Área das paredes: 2 ∙ (3 ∙ 2,80 + 2 ∙ 2,80) = 28 m²
28 m² – 4 m² = 24 m²
24 m² + 10% de 24 = 26,4 m²
A
vO:
vA:
vm:
Om:
AO:
M
altura
aresta lateral
apótema
raio da circunferência inscrita
raio da circunferência circunscrita
25
Caderno de Atividades
29.Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 cm de
altura e 12 cm de aresta da base. Obtenha:
a) a área da base;
Ab = 12² = 144cm²
31.A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é 3 600 cm2. Se a medida da altura da pirâmide é 50 cm, calcule a área total e o volume dessa
pirâmide.
b) a medida do apótema;
50
ap² = 6² + 8²
ap² = 36 + 64
ap = 100
8cm
60
ap
60
6cm
ap = 10 cm
ℓ = 3600
ℓ = 60
1 cm
V = 1 ⋅ AB ⋅ h
V = 3 ⋅ AB ⋅ h
3
c) a área lateral;
AL = 4 ⋅
12 ⋅10
= 240 cm2
2
1
V = 1 ⋅ 3 600 ⋅ 50 = 60 000 cm3
V = 3 ⋅ 3 600 ⋅ 50 = 60 000 cm3
3
ap² = 50² + 30²
d) a área total.
ap² = 2 500 + 900
AT = 144 + 240
ap = 3 400
AT = 384 cm²
ap = 10 34 cm
AL = 4 ⋅
30.Em uma pirâmide hexagonal regular, o apótema
AL = 1 200 34 cm²
mede 13 cm e o raio da circunferência circunscrita,
5 cm. Calcule a área total dessa pirâmide.
AT = (3 600 + 1 200 34 ) cm²
R = ℓ = 5 cm
2
⋅ 3
AB = 6 ⋅ ℓ
4
52 ⋅ 3
AB = 6 ⋅
4
AB =
75 ⋅ 3
cm2
2
AL = 6 ⋅
5 ⋅13
2
AL = 195 cm²
AT = AB + AL
 75 3

AT = 
+ 195 cm2
 2

26
60 ⋅10 34
2
32.Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular cujo perímetro da base é 36 cm e a altura, 15 cm.
ℓ=
36
= 12 cm
3
AB =
ℓ 2⋅ 3
4
AB =
122 ⋅ 3
4
AB = 36 3 cm2
1
V = ⋅ A B⋅ h
3
1
V = ⋅ 36 3 ⋅15
3
V = 180 3 cm3
Matemática
33.Em uma pirâmide hexagonal regular, a aresta da
36.A pirâmide de Quéops, a Grande Pirâmide de Gizé,
base mede 20 cm e a aresta lateral, 26 cm. Determine a área total e a medida da altura dessa pirâmide.
tem base quadrada com 230 m de lado e altura de
147 m. Um caminhão basculante, desses utilizados
no transporte de areia, costuma transportar,.quando cheio, 6 m³ de areia. Determine quantas viagens
um caminhão desse tipo deveria fazer, para transportar um volume de areia equivalente ao da pirâmide.
26 cm
26² = 10² + ap²
26
ap
676 – 100 = ap²
ap =
10
ap = 24 cm
20 cm
26² = h² + 20²
AT = 6 ⋅
276
h ≅ 16,6 cm
1
V = ⋅ A B⋅ h
3
1
V = ⋅ 2302 ⋅147
3
V ≅ 2.592.100 m³
AT = AB + AL
676 – 400 = h²
h=
576
202 ⋅ 3
20 ⋅ 24
+ 6⋅
4
2
AT = (600 3 + 1 440) cm²
1 caminhão _____ 6m³
34.Todas as arestas de uma pirâmide quadrangular re-
gular apresentam a mesma medida, e a soma delas
é 240 cm. Determine a área total dessa pirâmide.
x _____ 2.592.100m³
x = 432.017 caminhões
Medida de cada aresta ℓ:
ℓ=
30
240
cm
8
ℓ = 30 cm
A T = 302 + 4 ⋅
30
30
37.No desenho abaixo, você tem a planificação de
uma pirâmide triangular regular. Calcule a área total
e a medida da altura dessa pirâmide:
302 ⋅ 3
4
4 3 cm
6 cm
AT = (900 + 900 3 ) = 900(1 + 3 ) cm²
35.Rogério comprou papelão colorido para recobrir
todas as faces de uma pirâmide quadrangular regular de 40 cm de altura e 60 cm de aresta da base. Na
balança de sua casa, ele constatou que cada 1 cm2
de papelão pesava 0,1 g e que a pirâmide, antes
do recobrimento, pesava 385 g. Se ele, depois do
recobrimento, pesar novamente a pirâmide, qual a
massa (peso) que ele irá encontrar?
AT = AB + AL
A T = 602 + 4 ⋅
60 ⋅ 50
2
ap² = 30² + 40²
AT = 3 600 + 6 000
ap² = 900 + 1 600
AT = 9 600 cm²
ap =
9 600cm² . 0,1 g/cm² = 960 g
2 500
ap = 50 cm
AT =
62 3
6⋅4 3
+ 3⋅
4
2
AT =9 3 + 36 3
AT = 45 3 cm²
(4 3 )² = h² + ( 3 )²
h
4 3 cm
3
48 – 3 = h²
45 = h²
h=
45
h = 3 5 cm
1 345 g
27
Caderno de Atividades
38.De um cubo de aresta 12 cm, retira-se através de
40.(PUC –SP) – O volume de uma pirâmide hexagonal
uma secção, o tetraedro VABC, conforme ilustra a
figura. O volume da parte restante é igual a:
regular cuja aresta lateral tem 10 m e o raio da circunferência circunscrita à base mede 6 m, em m3,
é igual a:
a) 144 2
b) 144 3
c) 144 6
d) 144 5
e) 144 7
A
B
V
C
a) ( ) 576 cm3
b) (x) 1 440 cm3
c) ( ) 1 152cm3
d) ( ) 288 cm3
e) ( ) 1 200 cm3
Vcubo = 12³
10² = h² + 6²
Vcubo = 1728 cm³
h = 8m
1  12 ⋅12 
Vtetraedro = ⋅ 
 ⋅12
3  2 
1
V = ⋅ AB ⋅ h
3
1728 – 288 = 1440 cm³
zação mandou construir uma pirâmide que seria
usada como seu túmulo. As características dessa
pirâmide são:
• sua base é um quadrado com 100 m de lado;
• sua altura é de 100 m.
Para construir cada parte da pirâmide equivalente
a 1 000 m3, os escravos, utilizados como mão-deobra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa
média, calcule o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias.
1
V = ⋅1002 ⋅100
3
1 000 000 3
V=
m
3
_____ 54 dias
1 000 000 ______ x
3
54 000
3
x = 18.000 dias = 50 anos
x=
1
62 3
V = ⋅6⋅
⋅ 8 = 144 3 m3
3
4
41.A altura e o apótema de uma pirâmide quadrangular regular medem, respectivamente, 20 cm e
25 cm. Calcule o volume e a área total dessa pirâmide.
25² = 20² + r²
20
25
r
625 – 400 = r²
225 = r²
30cm
r = 15 cm
30cm
1
V = ⋅ AB ⋅ h
3
1
V = ⋅ 900 ⋅ 20
3
AT = AB + AL
A T = 302 +
4 ⋅ 30 ⋅ 25
2
AT = 2400 cm²
V = 6 000 cm³
42.Um cilindro circular reto tem 12 cm de altura e
10 cm de diâmetro na base. Calcule a área total e o
volume desse cilindro.
AT = 2π R (R + H)
AT = 2π . 5 . (5 + 12)
AT = 170π cm²
V = π . R² . H
V = π . 5² . 12
V = 300π cm²
28
10m
6m 6m
V T = 288 cm³
39.(PUC – SP) – Um imperador de uma antiga civili-
1 000m³
h
Matemática
43.O volume de um cilindro circular reto é 1 500 π cm3.
Se a medida da altura do cilindro é 15 cm, calcule a
medida do raio da base e a área total.
46.Em um cilindro equilátero, a área da base é 900 π
cm2. Calcule o volume desse cilindro.
H = 2R
AB = πR²
V = π . R² . H
900π = πR²
1500π = π . R² . 15
R = 30 cm
1500
= R2
15
R² = 100
R = 10cm
V = π . 30² . 60
AT = 2πR (R + H)
AT = 2π . 10 . (10 + 15)
AT = 500π cm²
V = 54 000π cm³
47.Um retângulo gira em torno de um de seus lados,
que mede 6 cm. O volume do sólido gerado por
esse retângulo é de 600 π cm3. Calcule a área lateral
e a área total do sólido.
44.Um tanque com a forma de um cilindro reto, cujo
diâmetro da base mede 8 m e a altura 10 m, armazena um certo combustível, que ocupa 40% de sua
capacidade total. Calcule:
a) a capacidade total do tanque;
6 cm
r
V = p . R² . H
V = p . 4² . 10 ∴ V = 160 π m³
V = π . R² . H
600π = π . R² . 6
b)o volume de combustível contido nesse tanque,
em litros. (1 m3 = 1 000 L e π = 3,14)
160 . 3,14 = 502,4 m³ = 502 400 litros
502.400 . 0,4 =
= 200.960 litros
600
= R2
6
R² = 100 π ∴R = 10cm
AT = 2 . R . (R + H)
AL = 2 . R . H
AL = 2 . 10 . 6
AT = 2 . 10 . (10 + 6)
AL = 120 cm²
AT = 320 cm²
48.A altura de um cilindro circular reto mede o triplo
45.Um recipiente com a forma de um cilindro reto cujo
100
cm
≠
armazena um certo líquido que ocupa 40% de sua
diâmetro da base mede 40 cm e a altura
da medida do raio da base. Se o comprimento da
circunferência da base é 8 π cm, determine o volume do cilindro em centímetros cúbicos.
C = 2π . R
8π = 2π . R
capacidade. Calcule, em litros, o volume de líquido
R = 4 cm
contido nesse recipiente.
H=4.3
100
V = π ⋅ 202 ⋅
π
H = 12 cm
V = 40 000 cm³ = 40 litros
V = π . R² . H
40% de 40 litros = 16 litros
V = π . 4² . 12
V = 192 π cm³
29
Caderno de Atividades
49.Um produto é embalado em recipiente com forma-
51.Uma tornearia confecciona colunas de madeira
to de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20 cm
e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e
raio da base 10 cm.
a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos
material?
de forma cilíndrica usando blocos que têm a forma de paralelepípedos retângulos. O processo é
simples: o bloco de madeira é colocado em um
torno que o faz girar e uma lâmina metálica retira
os “cantos”, transformando-o em um cilindro. Dessa forma, um bloco de 20 cm x 20 cm x 50 cm é
transformado num cilindro de 10 cm de raio por
50 cm de altura, fazendo com que as perdas sejam
mínimas. Calcule, em porcentagem, a quantidade
de madeira que é retirada do bloco.
ATA = 2π . R . (R + H)
ATA = 2π . 5 . (5 + 20)
ATA = 250 π cm²
ATB = 2π . 10 . (10 + 10)
ATB = 400 π cm²
b)O produto embalado no cilindro A é vendido a
R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B, a R$ 7,00
a unidade. Para o consumidor, qual é a embalagem mais vantajosa?
(Use π = 3,14.)
VA = π . 5² . 20
VA = 500π cm³
V1 = 20 . 20 . 50
VB = π . 10² . 10
V1 = 20 000 cm³
VB = 1 000 π cm³
V2 = π . R² . H
R: A embalagem B, pois tem o dobro do volume e o preço
é menor que o dobro de A.
V2 = 3,14 . 10² . 50
V2 = 15 700 cm³
50.No projeto de um prédio foi inicialmente prevista
a construção de um reservatório de água com formato cilíndrico cujas medidas seriam: raio da base
igual a 2 m e altura igual a 3 m. Depois, foi constatado que o volume do reservatório havia sido subestimado, sendo necessário, na verdade, o dobro do
volume. Qual deverá ser a medida do raio da base,
sabendo-se que a altura do reservatório não poderá
ser alterada?
Vantes = π . 2² . 3
Vantes = 12 π m³
Madeira retirada: 4 300 cm³
4300
= 0,215 = 21,5%
20000
52.Considere os dois cilindros circulares retos abaixo representados. Se V1 é o volume do cilindro de
maior altura e V2 o volume do outro cilindro, é verdade que:
2a
a
24π = π . R² . 3
R² = 8
R= 8 =2 2 m
30
a
2a
Matemática
55.(FUVEST – SP) – Sabe-se que uma lata de azeite ci-
a) V1 = 2V2
líndrica tem 8 cm de diâmetro e 18,5 cm de altura e,
ainda, que nela vem marcado o conteúdo 900 mL.
Qual o volume de ar contido na lata “cheia” e “fechada”? (Adote π = 3,14.)
b)V1 = V2
V2
2
V
d)V1 = 2
4
V
e) V1 = 2
a
xc) V1 =
VLATA = π . r² . h
VL = 3,14 . 4² . 18,5
VL = 929,44 cm³ = 929,44 mL
VAR = VLATA – VAZEITE
2
 a
V1 = π ⋅   ⋅ 2a
 2
V1 = π ⋅
V1 =
V2 = π . a² . a
V2 = πa³
2
a
⋅ 2a
4
VAR = 29,44 mL
56.Um recipiente tem a forma de um cilindro reto cujo
raio da base mede 10 cm. Ao colocar-se uma pedra
nesse recipiente, o nível da água sobe 3 cm. Determine, nessas condições, o volume da pedra.
π a3
2
53.Duzentos litros de um líquido serão armazenados
em latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm.
Cada lata deverá ser preenchida em até 80% do seu
volume. Quantas latas, no mínimo, serão necessárias?
3 cm
10
vpedra = vdeslocado
V = π . 5² . 13
V = π . r² . h
V = 3,14 . 25 . 13
V = π . 10² . 3 = 300 π cm³
V = 1020,5 cm³ π 1,02 L
1,02 L . 0,80 = 0,816 L
0,816 L ________ 1 lata
200L ________ x
x = 245 latas
54.Considere os cilindros de revolução obtidos pela
rotação de um retângulo de lados medindo 3 cm
e 6 cm. Analise as afirmações e marque ( V ) para as
verdadeiras e ( F ) para as falsas:
(F) O cilindro formado pela rotação do retângulo
em torno do lado menor é equilátero.
(V) A secção meridiana do cilindro formado pela
rotação do retângulo em torno do lado menor
tem área igual a 36 cm2.
(F) O volume dos dois cilindros é 108 π cm3.
(V) A secção meridiana de um cilindro equilátero é
um quadrado.
57.Um cone circular reto tem 10 cm de raio na base
e 24 cm de altura. Calcule a área total e o volume
desse cone.
1
V = ⋅ π ⋅ R2 ⋅ H
3
1
V = ⋅ π ⋅102 ⋅ 24
3
V = 800π cm³
g² = h² + r²
g² = 24² + 10²
g=
676
g = 26 cm
AT = π . r . (r + g)
AT = π . 10 . (10 + 26)
AT = 360π cm²
31
Caderno de Atividades
58.A superfície lateral de um cone é um setor circular
o
de 12 cm de raio e ângulo central de 120 . Calcule a
área total desse cone.
120o
60.Um cone é gerado pela rotação completa de um
triângulo retângulo, de catetos medindo 15 cm e 8
cm, em torno do cateto maior. Calcule a área total e
o volume desse cone.
12 cm
12 cm
g
15
π . 12² ___360º
AL ___120º
8 cm
144π
AL =
3
AL = 48π cm²
AL = π . r . g
g² = 15² + 8²
g² = 225+64
289
48π= π . r . 12
g=
r = 4 cm
g = 17 cm
AT = π . r . (r + g)
AT = π . 4 . (4 + 12)
AT = 64π cm²
59.Calcule a área total e o volume de um
cone equilátero cuja geratriz mede 20 cm.
(Obs.: Em um cone equilátero, a geratriz é igual ao
diâmetro da base.)
g=2R
g = 20 cm
R = 10 cm
AT = π . r . (r + g)
AT = π . 8 . (8 + 17)
AT = 200π cm²
1
V = ⋅ π ⋅ r2 ⋅ h
3
1
V = ⋅ π ⋅ 82 ⋅15
3
V = 320π cm³
g² = h² + r²
20² = h² + 10²
h² = 300
h = 10 3 cm
AT = π . r . (r + g)
AT = π . 10 . (10 + 20)
AT = 300π cm²
1
V = ⋅ π ⋅ r2 ⋅ h
3
1
V = ⋅ π ⋅102 ⋅10 3
3
V=
32
1 000 3
π cm3
3
61.Considere um triângulo retângulo de catetos medindo 5 cm e 12 cm. Gira-se o triângulo em torno do cateto maior, obtendo-se um cone circular
reto. Analise as proposições abaixo, marcando ( V )
para as verdadeiras e ( F ) para as falsas:
a) (V) A geratriz do cone mede 13 cm.
b)(F) A área lateral do cone é igual a 60 π cm2.
c) (V) O volume do cone é igual a 100 π cm3.
d)(V) A área total do cone é igual a 90 π cm2.
e)(F) O volume do cone obtido pela rotação em
torno do cateto menor é o mesmo que daquele
que se obtém em torno do cateto maior.
Matemática
62.Uma ampulheta é formada por dois cones circula-
64.Uma jarra tem a forma de um cilindro circular reto
res retos idênticos, tendo cada um deles 6 cm de
diâmetro na base e 10 cm de altura. Um deles está
completamente cheio de areia e esta escoa para o
outro cone à razão de 0,5 cm3 por segundo. O tempo necessário para escoar totalmente a areia de um
cone para o outro é:
xa) menor que 2 min;
b)entre 2 min e 3 min;
c) entre 3 min e 4 min;
d)entre 4 min e 5 min;
e) maior que 5 min.
com 12 cm de diâmetro e 30 cm de altura. Ela está
cheia de suco e este será transferido para copos
com a forma de um cone circular reto invertido de
6 cm de diâmetro e 15 cm de altura. Quantos copos serão necessários para transferir todo o suco da
jarra?
V=
π ⋅ r2 ⋅ h
3
0,5cm³ ___ 1s
Vjarra = π . 6² . 30
Vjarra = 1 080 π cm³
1
. π . 32 . 15
3
Vcopo = 45π cm³
Vcopo =
1 copo ___ 45π
30cm³ ___ x
x ___ 1080π
30
x=
0, 5
π ⋅ 32 ⋅10
3
V = 30π cm³
V=
x=
1 080
= 24
45
x = 60 s
63.(FUVEST – SP) – Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio na base e 3 cm de altura.
Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular
para a superfície lateral e um círculo para a base. A
medida do ângulo central do setor circular é:
a) 144o
b)192o
c) 240o
xd)288o
e) 336o
65.A área lateral de um cone circular reto é 80 π cm².
Se a geratriz do cone mede 10 cm, determine:
a) a medida do raio da base;
AL = π . r . g
80π = π . r . 10
r = 8 cm
b)a medida da altura.
g² = h² + r
10² = h² + 8²
h = 6 cm
g
g
3 cm
4 cm
g
α
66.Num cone circular reto, a área da base é 49 π cm2.
Se a medida da geratriz é 25 cm, calcule o volume
desse cone.
AB = 49π cm²
g² = 4² + 3²
20π ___ π
πr² = 49π
g = 5 cm
25π ___ 360º
r = 7 cm
AL = π . r . g
20
α
=
25 360”
AL = π . 4 . 5
AL = 20π cm²
5α = 14 440
α = 288”
g² = h² + r
1
V = ⋅ π ⋅ r2 ⋅ h
3
1
V = ⋅ π ⋅ 72 ⋅ 24
3
25² = h² + 7²
625 – 49 = h²
V = 392 π cm3
h² = 576
h = 24 cm
33
Caderno de Atividades
67.A tabela abaixo mostra as medidas de dois cones
70.(UFPE) – Um recipiente na forma de um cone reto
circulares retos. Calcule a massa do segundo cone,
sabendo que são feitos do mesmo material e que a
massa é diretamente proporcional ao volume.
invertido está preenchido com água e óleo, em
duas camadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo é metade da
altura da parte de água, como ilustrado a seguir.
Cones
Raio
Altura
Volume
Massa
1
4 cm
9 cm
48π cm³
240 g
2
6 cm
8 cm
96π cm³
480g
V1 =
h
π ⋅ 42 ⋅ 9
= 48π cm3
3
2h
V2 =
2
π ⋅6 ⋅8
3
V2 = 96π cm³
Se o volume do recipiente é 54 cm3, qual é o volume da camada de óleo?
68.Um chapéu de aniversário é a superfície lateral de
um cone circular reto de 10 cm de raio e de geratriz
medindo 25 cm. Calcule quanto papel será necessário para confeccionar 5 000 desses chapéus. (Use
π = 3,14 e 1 m2 = 10 000 cm2..)
a) 32 cm3 b) 34 cm3 c) 36 cm3
x d) 38 cm3 V` GUA  2h 
= 
VTOTAL  3h 
e) 40 cm3
3
AL= π . r . g
8
VA
=
54 27
AL =3,14 . 10 . 25
AL = 785 cm²
VA = 16cm³
785 cm² . 5 000 = 3 925 000 cm² = 392,5 m²
69.Um cone circular reto tem raio da base e altura
iguais a 3 cm e 4 cm, respectivamente. É correto
afirmar que a área lateral, em cm2, de um cilindro
circular reto de raio da base igual à terça parte do
raio da base do cone e que comporta o mesmo volume do cone é igual a:
xa) 24 π b) 14 πc) 21 π d)24 e) 12
V1 =
π ⋅ 32 ⋅ 4
3
V1 = 12π cm²
VÓLEO = 54 – 16 = 38cm³
71.Uma torneira enche um funil cônico à razão de
100 π cm3/s, enquanto outra torneira o esvazia à
razão de 28 π cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do
funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos,
necessário para que o funil fique completamente
cheio é correspondente a:
xa) 2 V2 = π . r² . h
AL = 2π . r . h
12π = π . 1² . h
AL = 2π . 1 . 12
h = 12 cm
AL = 24π cm²
b) 3 c) 4
d)5 e) 6
π ⋅ 62 ⋅12
3
VCONE = 144π cm³
VCONE =
100π cm³/s – 28π cm³/s = 72π cm³/s
Re sposta =
34
144π cm3
=2 s
72π cm3 / s
6 cm
12 cm
Matemática
análise combinatória
1.Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma
7.Quantos números de telefone de oito dígitos po-
pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?
dem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
e 8, de modo que os três primeiros dígitos sejam
distintos entre si?
Entrada Saída
⇓ ⇓
8
7
•
=
56
2.Num concurso com 12 participantes, se nenhum
puder ganhar mais que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um
segundo prêmios?
1º. 2º.
12
11
.
= 132
8 7 6 8 8 8 8 8 = 11.0101.048
Dist int os
entresi
8.Quantos números naturais maiores do que 400 e de
três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 6?
C
3.Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares
C
.
3
de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um
terno, uma camisa e um par de sapatos?
T
D
↓
5
U
.
5 = 75
5
5
(4, 5 ou 6)
S
10 . 12 . 5 = 600
9.De um ponto A a um ponto B há cinco caminhos;
4.De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário cujas respostas para
cada pergunta são “sim” ou “não”?
2¹² = 4 096
de B a um terceiro ponto C, seis caminhos; e de C a
um quarto ponto D, também seis caminhos. Quantos caminhos distintos existem para ir do ponto A
ao ponto D?
A
B
C
D
5.Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2,
6, 8 e 9?
C
5
D
.
4
U
.
3
= 60
6.Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1,
2, 6 e 8?
C
4
D
. 4 .
5 .
6
. 6 = 180
10.Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de
bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa
deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida
e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa
poderá fazer seu pedido?
U
3
= 48
S
2
C
.
4
B
.
5
Sobremesa
.
3
= 120
35
Caderno de Atividades
11.As placas de automóveis de uma cidade constam
16.Dispondo de 8 cores, queremos pintar uma bandei-
de duas letras e quatro algarismos. Determine o número de placas que são fabricadas com as letras P,
Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8.
ra de 5 listras com cores diferentes, cada listra de
uma cor. De quantas formas isso pode ser feito?
3 3
4 4 4 4 = 2304
letras
algarismos
12.Um automóvel comporta duas pessoas no banco
da frente (uma delas é o motorista) e três no de trás.
De quantos modos podemos lotar o veículo com
pessoas escolhidas entre sete pessoas, sabendo
que entre elas há quatro que podem dirigir?
motorista
4
6
5 4 3 = 1 440
13.13. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números naturais pares de quatro algarismos distintos
podem ser formados?
M C D U
6 5 4 4
= 480
2, 4, 6 ou 8
14.14. Empregando três vogais e cinco consoantes,
calcule o número de palavras de cinco letras que
podem ser formadas sem usar vogais nem consoantes juntas:
a) sem repetição;
C V C V C
V C V C V
5 3 4 2 3
ou 3 5 2 4 1
360 +
C V C V C
V C V C V
5 . 3 . 5 . 3 . 5 ou 3 . 5 . 3 . 5 . 3
1125 + 675 = 1800
15.De um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos são os resultados possíveis para os
três primeiros lugares?
20 19 18 = 6 840
36
17.Uma bandeira é formada por 7 listras, havendo 3
cores diferentes para pintá-las. De quantas maneiras distintas será possível pintá-las de modo que
duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da
mesma cor?
3 2 2 2 2 2 2 = 192
18.Calcule o valor de:
a) 2! + 4! – 3! =
2 + 24 – 6 = 20
b)(2 . 3)! + 2 . 3! =
6! + 2 . 6 = 720 + 12 = 732
c) (4+2)! – (4!+2!)
720 – 26 = 694
d)
10 !
=
8!
10 ⋅ 9 ⋅ 8 !
= 90
8!
120 = 480
b) podendo haver repetição.
1º. 2º. 3º.
8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6 720
e)
10 !+ 8 !
=
8!
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ! 8 !
+ = 90 + 1= 91
8!
8!
f )
100! - 99!
99!
100 ⋅ 99 ! 99 !
−
= 100 − 1= 99
99 !
99 !
Matemática
19.Resolva as equações:
20.Considere a seqüência definida por an =
Qual é o valor de a1000?
( x + 2)!
= 56
a)
x!
a1000 =
( x + 2) ⋅ ( x + 1) ⋅ x !
= 56
x!
a1000 =
x² + x + 2x + 2 – 56 = 0
n!(n2 − 1)
.
(n + 1)!
1000 ! ⋅ (10002 − 1) 1000 ! ⋅ (1000 + 1)
1001⋅ 999
=
⋅ (1000 − 1) =
= 999
(1001)!
1000 ⋅ (1000)!
1001
1001⋅ 999
1000 ! ⋅ (10002 − 1) 1000 ! ⋅ (1000 + 1)
=
⋅ (1000 − 1) =
= 999
1001
(1001)!
1000 ⋅ (1000)!
x² + 3x – 54 = 0
ou
x’ = 6
an =
( x + 2)!
= 10
b)
( x + 1)
Logo a1000 = 1000 – 1 = 999
x + 2 = 10
21.Uma família de 7 pessoas vai posar para uma foto.
x=8
De quantas maneiras distintas seus membros podem se dispor, permanecendo em pé, um ao lado
do outro, de modo que marido e mulher fiquem
sempre juntos?
( x + 1)!+ x !
= 11
x!
P2 . P5 = 2 . 120 = 240
( x + 1) ⋅ x ! x !
+ = 11
x!
x!
22.Quantos anagramas da palavra FÓRMULAS têm as
x + 1 + 1 = 11
x + 2 = 11
x=9
d)
n! ⋅ (n − 1) n! ⋅ (n + 1) ⋅ (n − 1)
=
(n + 1)
(n + 1) ⋅ n!
an = n – 1
( x + 2) ⋅ ( x + 1)!
= 10
( x + 1)!
c)
2
letras M e U ocupando a posição central?
P6 . P2 = 720 . 2 = 1 440
( x + 2)!( x − 2)!
=4
( x + 1)!( x − 1)!
23.Quantos anagramas da palavra PROBLEMAS:
( x + 2) ⋅ ( x + 1)! + ( x − 2)!
=4
( x + 1)! + ( x − 1) ⋅ ( x − 2)!
a) começam e terminam por vogal?
x+2
=4
x −1
b)começam e terminam em consoante?
3
7
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 2 = 30 240
6 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 5 = 151 200
4x – 4 = x + 2
3x = 6
x=2
c) começam com vogal e terminam em consoante?
3 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 6 = 90 720
e) (x – 2)! = 720
(x – 2)! = 6!
d)contêm as letras P, R e O juntas?
x–2=6
P3 . P7 = 3! . 7! = 30 240
x=8
f ) (x – 8)! = 1
(x – 8)! = 1!
(x – 8)! = 0!
x – 8 = 0
x=8
ou
x–8=1
e) contêm as letras P, R e O juntas e nessa ordem?
P7 = 5 040
x=9
37
Caderno de Atividades
24.Numa prateleira, existem 5 livros de Matemática, 3
de Física e 4 de História, todos distintos entre si.
a) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los?
P12 = 12! = 479.001.600
↓ ↓ ↓
= 120 . 6 . 24 . 6 = 103 680
Matérias
M F H
c) De quantos modos diferentes podemos arrumálos de forma que os livros de Física fiquem sempre juntos?
P3 . P10 = 3! . 10! = 21.772.800
d)De quantos modos diferentes podemos arrumálos de maneira que o primeiro e o último livro
sejam de Matemática?
5 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 4 = 806 400
25.Num veículo viajam 7 pessoas, das quais 2 são motoristas. De quantos modos é possível acomodá-las
sabendo-se que no banco dianteiro há 3 lugares e
no traseiro, 4?
2 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 1 440
26.Com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7, pergunta-se:
a) quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar?
P5 = 5! = 120
b)quantos números ímpares de 5 algarismos diferentes podemos formar?
4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 72
c) quantos números pares de 5 algarismos distintos
podemos formar?
120 – 72 = 48
d)quantos números de algarismos diferentes
maiores que 40 000 podemos formar?
4 . 4 . 3 . 2 . 1 = 96
38
não têm vogais e consoantes juntas?
2 . P3 . P3 = 2 . 6 . 6 = 72
28.Quantos são os anagramas da palavra PROFESSOR?
b)De quantos modos diferentes podemos arrumálos de maneira que os livros de cada matéria fiquem sempre juntos?
PS . P3 . P4 . P3 27.Quantos são os anagramas da palavra MÉDICO que
P92,2,2 =
9!
= 45 360
2! 2! 2!
29.Considerando os anagramas da palavra DESERTO,
quantos começam pela letra T?
P62 =
6 ! 720
=
= 360
2!
2
30.Quantos são os anagramas da palavra CONSTITUINTE que começam pela letra T?
2T
2I
2N
2, 2, 2
P11
=
11!
= 4 989 600
2! 2! 2!
31.Determine a quantidade de números inteiros maiores que 400 000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 4, 5, 6, 8 e 9, de modo que
não figurem algarismos repetidos?
5 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 600
O 1º. deve ser ≠ 2
32.Quantos números pares podemos obter permutando os algarismos do número 55 788?
Par ⇒ terminar em 8
2, 2, 2
P11
=
11!
= 4 989 600
2! 2! 2!
33.Determine a quantidade de anagramas da palavra
VESTIBULAR que apresentam todas as vogais à esquerda de todas as consoantes.
P4 . P6 = 24 . 720 = 17.280
Matemática
34.Uma moeda é lançada 7 vezes consecutivas. Quantos são os resultados possíveis nos quais ocorrem 4
caras e 3 coroas?
P74 ,3 =
7!
= 35
4 ! 3!
35.Você deve escolher 6 algarismos para formar uma
senha com base nos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Então, calcule:
a) o número de senhas que podem ser formadas;
66 = 46 656
37.Calcule o valor de:
3
a) C10
= 120
b) C58 = 56
2
c) C12
= 66
d) C110 = 10
38.Um grupo é formado por 8 alunos. Considerando
esses alunos, responda:
a) Quantas duplas distintas podem ser formadas?
C28 = 28
b)o número de senhas que podem ser formadas
sem se repetirem os algarismos.
P6 = 6! = 720
b) Quantas equipes com 5 elementos podem ser
formadas?
C58 = 56
36.O mapa a seguir representa as regiões em que está
dividido o Brasil. Cada uma delas deve ser colorida
de modo que aquelas com uma fronteira comum
tenham cores distintas. Tendo como base essa condição, responda:
39.Considere o conjunto A, onde A = {0; 1; 2; 3; 4}.
a) Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 1 elemento?
C15 = 59
b)Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 3 elementos?
Norte
Nordeste
Centrooeste
Sudeste
Sul
a) Quantas cores no mínimo são necessárias para
colorir o mapa?
3
b)Dispondo de cinco cores e usando-as, de quantas maneiras o mapa pode ser colorido?
P5 = 5! = 120
c) Dispondo de cinco cores e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul da mesma cor, de quantas
maneiras o mapa pode ser colorido?
C35 = 10
c) Quantos subconjuntos admite (ao todo) o conjunto A?
25 = 32
40.Uma comissão de cinco membros será escolhida
entre oito pessoas. Calcule o número de comissões
diferentes que podem ser formadas.
C58 = 56
41.Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja,
maçã, mamão e melão, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco usando-se
três frutas distintas.
C73 = 35
5 . 4 . 3 . 2 = 120
39
Caderno de Atividades
42.Com oito pontos sobre uma circunferência, quan-
46.Considere duas retas distintas e paralelas r e s. To-
tos triângulos com os vértices nesses pontos podem ser formados?
mam-se 7 pontos sobre a reta r e 9 pontos sobre a
reta s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos podem ser construídos?
C38 = 56
3
C16
− C73 − C39 = 560 − 35 − 84 = 441
43.Sete pontos foram marcados na circunferência
abaixo:
47.Em uma câmara de vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4
vereadores do partido C. Determine o número de
comissões de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3
vereadores do partido A, 2 vereadores do partido B
e 2 vereadores do partido C.
C36 ⋅ C25 ⋅ C24 = 20 ⋅10 ⋅ 6 = 1 200
a) Quantos segmentos com extremidades em 2
desses pontos podem ser formados?
C72 = 21
48.Numa sala existem 5 homens e 4 mulheres. Quantos grupos de 5 pessoas contendo 2 homens e 3
mulheres poderemos formar?
C25 ⋅ C34 = 10 ⋅ 4 = 40
b)Quantos triângulos ficam determinados com
vértices em 3 desses pontos?
C73 = 35
c) Quantos polígonos convexos ficam determinados com vértices nesses pontos?
C73 + C74 + C75 + C76 + C77 = 35 + 35 + 21+ 7 + 1= 99
49.Um técnico de basquetebol dispõe de 12 jogadores, 5 dos quais devem ser selecionados para disputar um campeonato. Se Xazam e Heureka não podem ficar fora da equipe selecionada e os demais
jogadores jogam em quaisquer posições, calcule o
número total de equipes que esse técnico poderá
formar.
3
C10
= 120
44.Numa sala existem 5 homens e 4 mulheres. Quantos grupos de 5 pessoas, sendo 2 homens e 3 mulheres, poderemos formar?
C25 ⋅ C34
= 10 ⋅ 4 = 40
45.Numa classe existem 10 alunas, das quais uma se
chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome de
um deles. Formaram-se comissões com 4 alunas e
3 alunos. Quantas são as comissões das quais Maria
participa e João, não?
C39 ⋅ C35 = 84 ⋅10 = 840
40
50.(UESC – BA) – Em um grupo de 15 professores, existem 7 de Matemática, 5 de Física e 3 de Química. O
número máximo de comissões que se pode formar
com 5 professores, cada uma delas constituída por
2 professores de Matemática, 2 de Física e 1 de Química, é igual a:
a) 2 520
xb)630
C72 ⋅ C25 ⋅ C13 = 21⋅10 ⋅ 3 = 630
c) 120
d)65
e) 34
Matemática
51.(ACAFE –SC) – Uma confeitaria produz 6 tipos di-
55.(ITA – SP) – Entre 4 moças e 5 rapazes, deve-se for-
ferentes de bombons de frutas. O número de embalagens diferentes que ela pode formar, sabendo
que cada embalagem deve conter 4 tipos diferentes de bombons, é:
a) 10 b) 30
C64 = 15
c) 120 d) 45
xe) 15
mar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos,
1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal
comissão poderá ser formada?
52.(UFPE) – Um quarteto de cordas é formado por dois
violinistas, um violista e um violoncelista, e os dois
violinistas exercem funções diferentes. De quantas
maneiras podemos compor um quarteto escolhendo entre quatro violinistas, três violistas e dois violoncelistas?
C14 ⋅ C13 ⋅ C13 ⋅ C12 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 72
53.(UECE-CE) – Bruno fez 1 (um) jogo na SENA apostando em 6 (seis) números: 8, 18, 28, 30, 40 e 50.
Automaticamente, Bruno também estará concorrendo à quina (grupo de 5 números), à quadra (grupo de 4 números) e ao terno (grupo de 3 números),
a partir do grupo inicialmente apostado. Se n é o
número de quinas, q o número de quadras e p o
número de ternos incluídos na aposta de Bruno, então n + q + p é igual a:
a) 12 x b) 41
c) 60 d) 81
n=
C56
C14 ⋅ C54 + C24 ⋅ C35 + C34 ⋅ C25 + C44 ⋅ C15
4 . 5 + 6 . 10 + 4 . 10 + 1 . 5
20 + 60 + 40 + 5 = 125
56.Quantos números naturais distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9?
A19 + A29 + A39 + A94 + A59 + A96 + A79 + A89 + A99
9 + 72 + 504 + 3.024 + 15.120 + 60.480 + 181.440 + 362.880 + 362.880
= 1.312.416
57.De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se
num banco que tem apenas 7 lugares?
P7 = 7! = 5 040
58.Quantos números de quatro algarismos distintos
podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7, 8
e 9?
A94 = 3 024
=6
q = C64 = 15
59.Em uma prova de atletismo, participam 16 atletas
p = C36 = 20
que concorrem a uma medalha de ouro, uma de
prata e uma de bronze. Quantas maneiras distintas
pode apresentar o resultado dessa prova?
54.(UEL – PR) – Um professor entrega 8 questões aos
alunos para que, em uma prova, escolham 5 para
resolver, sendo que duas destas são obrigatórias.
Ao analisar as provas, o professor percebeu que não
havia provas com as mesmas 5 questões. Assim, é
correto afirmar que o número máximo de alunos
que entregou a prova é:
a) 6 x b) 20
C36 = 20
c) 56 d) 120
e) 336
3
A16
= 3360
60.Quantos são os números de quatro algarismos distintos formados com os algarismos de 0 a 7 divisíveis por 5?
FINAL 0 : 7
6
5
1 = 210
FINAL 5 : 6
6
5
1 =
41
Caderno de Atividades
61.Considere os números de cinco algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos de
0 a 6 e determine:
a) o total deles;
66.Com os números 2, 3, 4 , 5 e 7, quantos números
fracionários diferentes de 1 podemos escrever?
A25 = 5 ⋅ 4 = 20
6 . 6 . 5 . 4 . 3 = 2 160
b)quantos são ímpares;
5 . 5 . 4 . 3 . 3 = 900
c) quantos são pares.
2160 – 900 = 1 260
62.As placas dos carros são formadas por 3 letras seguidas de quatro algarismos. Considere um estado
no qual a primeira letra das placas pode ser L, M ou
N. Determine:
a) o total de placas possíveis para esse estado;
3 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 20 280 000
b)a quantidade de placas formadas por letras e algarismos distintos.
3 . 25 . 24 . 10 . 9 . 8 . 7 = 9 072 000
63.O botão de um cofre tem os números 00, 01, 02, 03,
... , 99. O segredo dele é uma sequência de quatro
números do botão. Assim, 15 – 11 – 18 – 97 ou 11
– 15 – 18 – 97 ou 00 – 00 – 43 – 62 são exemplos
de segredos. Calcule o número total de possíveis
segredos.
1004 = 100 000 000
64.Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 4 listras, cada uma de uma cor. De quantas
formas isso pode ser feito?
A84 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 1 680
65.Cinco pessoas entram em um ônibus onde há oito
lugares vagos. Determine o número de modos dessas pessoas escolherem os lugares para se sentar.
A58 = 6 720
42
67.O segredo de um cofre é constituído de 2 letras distintas (escolhidas entre as 26 do alfabeto) seguidas
de três algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9).
Sabendo-se que a letra da esquerda é uma vogal e
que o último algarismo é par, qual é o número máximo de tentativas que devem ser feitas para abrir
esse cofre?
VOGAL
par (0 , 2 , 4 , 6 ou 8)
5 25 9 8 5 = 45 000
letras algarismos
68.De quantas maneiras distintas podemos classificar
os 6 primeiros colocados numa corrida de bicicleta
disputada por 10 ciclistas?
6
A10
= 151 200
69.Uma bandeira tem 3 faixas verticais.
a) Quantas são as possibilidades de pintá-la de 3
cores distintas escolhendo entre as 7 cores do
espectro solar (vermelho, alaranjado, amarelo,
verde, azul, anil, violeta)?
A73 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 210
b)E quantas bandeiras posso pintar se, além da
condição do item a, a cor amarela precisar estar
sempre presente?
3 ⋅ A72 = 126
70.Quantos são os números compreendidos entre
40 000 e 50 000 compostos por algarismos distintos
escolhidos entre os algarismos de 1 a 9?
A84 = 1 680
Matemática
71.A placa de um carro é uma seqüência de 3 letras
seguidas de 4 algarismos. Quantos carros podem
ser emplacados usando-se apenas as vogais e sem
haver repetição de letras e algarismos?
5
⋅ 4 ⋅ 3 ⋅10
⋅
9 ⋅ 8
⋅ 7 = 302.400
A35
4
A10
72.Um clube tem 20 membros. A diretoria é formada
por um presidente, um vice, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um
desses cargos, de quantas maneiras pode-se compor uma diretoria?
4
A20
= 116 280
73.Calcule o valor de:
 8  8  8
 8
a)   +   +   + ... +   =
 0  1   2
 8
28 = 256
2
− C08
− C88
210 = 1 024
74.Resolva as equações abaixo:
 8  8
a)   =  
 x   5
x = 5 ou x = 3
 12   12
b) 
=
 x + 3  2x
x + 3 = 2x
x=3
ou
x + 3 + 2x = 12
3x = 9
3x – x = 6
2x = 6
x=3
ou
3x + x + 6 = 14
4x = 14 – 6
4x = 8
x=2
 8  8  9 
d)   +   = 
 6  7  x + 3
x=4
x+3=2
x = –1
= 256 − 1− 1= 254
 10  10  10
 10
c)   +   +   + ... +   =
 0  1   2 
 10
3x = 12 – 3
3x = x + 6
x+3=7
 8  8  8
 8
b)   +   +   + ... +   =
 1   2  3
 7
8
 14  14 
c)   = 
 3x   x + 6
75.(UNIFOR – CE) – A soma dos números binomiais
 100  100  100
 100  100
+
+
+
+
...
 0   1   2 
 99  +  100
igual a:
a) (
é
) 211
b)( x ) 2100
c) (
) 1000
d)(
) 1002
e) (
) 100100
76.Para preparar um suco, podemos escolher livremente as seguintes frutas: laranja, mamão, manga,
morango, acerola, abacaxi e melão. Se podemos
usar de uma a todas as frutas para fazer o suco,
quantas maneiras existem para prepará-lo?
27 – 1 = 127
x=3
43
Caderno de Atividades
77.Tomando 8 pontos distintos pertencentes a uma
circunferência, quantos polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses
pontos?
C38 + C84 + ... + C88 = 28 − C08 − C18 − C28
80.Determine o termo independente de x no desen6
1

volvimento de  + 2x 2  .
x

4
 1
T3 = C26 ⋅   ⋅(2x 2 )2
 x
T3 = 15 ⋅
= 256 – 1 – 8 – 28
1
⋅ 4 x 4 = 60
x4
= 219
81.No desenvolvimento de (1 + 2x2)6, determine o coeficiente do termo em x8.
78.Desenvolva os seguintes binômios:
T5 = C64 . 12 . (2x2)4
a) (2x + y)4 =
T5 = 15 . 1 . 16x8
C04 (2x )4 + C14 (2x )3 ⋅ y1 + C24 (2x )2 ⋅ y 2 + C34 (2x )1. y 3 + C44 . y 4
T5 = 240x8
82.Obtenha a soma dos coeficientes dos termos do
= 16x4 + 32 x³y + 24x²y² + 8xy³ + y4
desenvolvimento de:
a) (2x + y)6
b)(x – 1)5 =
(2 + 1)6 = 36 = 729
= x5 – 5x4 + 10x³ – 10x² + 5x – 1
b)(3a – b)10
3
c) (3x² + 2y) =
(3 – 1)10 = 210 = 1024
C03 (3x 2 )3 + C13 (3x 2 )2 ⋅ (2y )1 + C23 (3x 2 )1 ⋅ (2y )2 + C33 ⋅ (2y )3
(2 – 3)50 = (–1)50 = 1
27x6 + 54x4y + 36x²y² + 8y³
4
1

d)  x +  =
 2
= x 4 + 2x 3 +
d)(x – y)101
(1 – 1)101 = 0
3x 2 x 1
+ +
2
2 16
83.(UNIVALI – SC) – Desenvolvendo o binômio (x2 – 2)5
8
6
4
2
obtemos x10 + mx
+ 40x – 80x + 80x + n .
79.No desenvolvimento do binômio (x + 2y)8, determine:
a) o 3.o termo;
T3 = C28 . x6 . (2y)² = 28 . x6 . 4y² ∴ T3 = 112x6y²
b)o termo central.
T5 =
C84
. (x) . (2y) = 70 . x . 16y ∴ T5 = 1120x y
4
c) (2x – 3)50
4
4
4
4 4
Portanto, temos que m + n é:
a) 48
b)42
c) –9
xd)–42
e) –48
T2 = C15 . (x2)7 . (–2)1
T2 = 5 . x8 . (–2)
T2 = –10x²
44
T6
T2
T6 = (–2)5
T6 = –32
m = 10
n = –32
Matemática
84.(PUC – RS) – O termo independente de x no desen x 2
volvimento do binômio  − 
 2 x
12
a) 232
6
b)326
xc) 924
T7 = 924 ⋅
d)1 012
soma dos coeficientes desses termos é igual a:
a) ( ) 244
b)( ) 246
c) ( x ) 248
d)( ) 250
e) ( ) 252
é:
6  x   −2 
⋅  ⋅ 
T7 = C12
 2  x 
6
x 6 26
⋅ = 924
26 x 6
n = 12
(3 + 13)¹² = 16¹² = (24)¹² = 248
e) 1 214
88.O coeficiente de x2 no desenvolvimento de
85.Sabendo que
a5 + C15a4b + C25a3b2 + C35a2b3 + C54 ab 4 + b5 = 1024 ,
pode-se dizer que (a + b)2 é igual a:
a) (
) 144
b)(
)4
c) (
) 36
d)(
) 64
(a + b)5 = 45
(a + b)² = 4² = 16
10
x

86.Desenvolvendo-se o binômio  2x 2 +  , segun
2
do as potências decrescentes de x, o 6.o termo será:
 x
5
T6 = C10
⋅ (2x 2 )5 ⋅  
 2
T6 = 252 ⋅ 32x10 ⋅
) 15
) 60
) 160
) 192
x ) 240
2
1
= 240x 2
x2
89.Marque ( V ) para as igualdades verdadeiras e ( F )
para as falsas:
2
8
= C10
a) ( V ) C10
4
4
3
b)( V ) C15
= C14
+ C14
105 10
x
a) ( )
4
105 14
b)( )
x
2
c) ( x ) 252x15
) 252x10
é:
T3 = 15 ⋅16x 4 ⋅
a+b=4
e) (
6
 −1
T3 = C26 ⋅ (2x )4 ⋅  
 x
(a + b)5 = 1 024
) 210x15
1

 2x − 
x
a) (
b)(
c) (
d)(
e) ( e) ( x ) 16
d)(
87.No desenvolvimento de (3x+13)n há 13 termos. A
c) ( F ) C64 = C36 + C16
0
2
9
d)( V ) C10
+ C110 + C10
+ ... + C10
= 1 023
e) ( V ) C90 − C19 + C92 − C93 + C94 − C95 + C96 − C79 + C98 − C99 = 0
5
x5
= 252 ⋅ x15
32
45
Caderno de Atividades
probabilidades
1.De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao aca-
3.Um número é escolhido ao acaso entre os 100 intei-
so. Qual é a probabilidade de cada um dos eventos
abaixo?
a) Ocorrer dama de copas.
ros de 1 a 100. Qual é a probabilidade de o número
ser:
a) múltiplo de 9?
p=
1
52
p=
11
= 11%
100
b)Ocorrer dama.
p=
4
1
=
52 13
c) Ocorrer carta de naipe paus.
p=
13 1
=
52 4
d)Ocorrer dama ou rei ou valete.
4 + 4 + 4 12 3
p=
=
=
52
52 13
e) Ocorrer uma carta que não é um rei.
48 12
p=
=
52 13
2.Um número é escolhido ao acaso entre os inteiros
de 1 a 20. Qual é a probabilidade do número escolhido ser:
a) par
p=
10 1
= = 50%
20 2
b)múltiplo de 5 ou de 7?
m(5) = 20
m(7) = 14
m(5 e 7) = 2
p=
c) múltiplo de 7, sabendo que é par?
p=
8 2
= = 40%
20 5
c) quadrado perfeito
p=
10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual é
a probabilidade de a bola:
a) não ser amarela?
p=
p=
2
1
=
= 10%
20 10
e) ímpar ou quadrado perfeito
p=
46
10 + 4 − 2 12 3
=
= = 60%
20
20 5
8 4
=
18 9
b)não ser branca nem amarela?
p=
4 1
= = 20%
20 5
d)ímpar e quadrado perfeito
7
= 14%
50
4.Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e
b)primo
p=
20 + 14 − 2 32
=
= 32%
100
100
6 1
=
18 3
5.Dois dados são lançados e observados os números
das faces de cima. Qual é a probabilidade de:
a) ocorrerem números diferentes?
p=
30 5
=
36 6
Matemática
8.De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh po-
b)a soma dos números ser 7?
p=
sitivo; 100, sangue tipo O; e 80, fator Rh positivo e
sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual é a probabilidade de seu sangue:
a) ter fator Rh positivo?
6 1
=
36 6
c) a soma dos números ser 12?
p=
1
36
p=
d) o produto ser menor ou igual a 12?
1
2
3
4
5
6
1
x
x
x
x
x
x
2
x
x
x
x
x
3
x
x
x
x
4
x
x
x
5
x
x
b)não ser tipo O?
6
x
p=
p=
160 4
= = 80%
200 5
23
36
6.Jogando-se três dados, qual a probabilidade de se
100 1
= = 50%
200 2
c) ter fator Rh positivo ou ser tipo O?
p=
160 + 100 − 80 180 9
=
=
= 90%
200
200 10
obter soma menor ou igual a 4?
Resultados possíveis: 6 . 6 . 6 = 216
Resultados favoráveis: (1, 1, 1), (1, 1, 2) , (1, 2, 1) , (2, 1, 1)
4
1
p=
=
216 54
7.Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia: 150, Economia; e 10, Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual é a
probabilidade de que ele:
a) estude Economia e Engenharia?
p=
10
1
=
500 50
b)estude somente Engenharia?
p=
70
7
=
500 50
c) não estude Engenharia nem Economia?
p=
280 28 14
=
=
500 50 25
d)estude Engenharia ou Economia?
9.Numa turma de 50 alunos, fez-se uma pesquisa
para saber a preferência em relação às línguas Inglês ou Espanhol: 22 responderam preferir Inglês;
15, Espanhol; e 10, Inglês e Espanhol. Escolhendose ao acaso uma pessoa dessa turma, determine a
probabilidade de ela:
a) preferir apenas Inglês;
p=
b)não preferir nem Inglês nem Espanhol.
Nem Inglês, nem Espanhol: 50 – 27 = 23 → p =
23
= 46%
50
10.Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos
divisores positivos de 60, qual é a probabilidade de
que ele seja primo?
80 + 150 – 10 = 220
220 11
p=
=
500 25
12
= 24%
50
p=
3 1
= = 25%
12 4
47
Caderno de Atividades
11.Um casal pretende ter exatamente três filhos. Determine a probabilidade de:
a) nascerem dois meninos e uma menina;
p=
delas identificada por um número. Para essa identificação, foram utilizados todos os números da
progressão aritmética (1, 3, 5, 7, ..., 999). Retirando-se aleatoriamente da urna uma única bola,
calcule a probabilidade, em porcentagem, de que
o número dessa bola tenha o algarismo das unidades igual a 3.
3
8
M
M
F
M
F
F
M
MMM
F
MMF
M
MFM
F
MFF
M
FMM
F
FMF
M
FFM
15.(UFPR) – Um experimento consiste em imprimir as
F
FFF
letras A, B e C em ordem aleatória e sem repetição
de qualquer uma das letras. Desse experimento,
calcule a soma dos itens corretos:
V01)A probabilidade de que todas as letras ocupem
seu lugar próprio do alfabeto é 1/6.
V02)A probabilidade de a letra A não ocupar seu lugar próprio do alfabeto é 2/3.
V04)A probabilidade de que pelo menos uma das
letras ocupe o seu lugar do alfabeto é 2/3.
F08)O espaço amostral do experimento apresenta 3
elementos.
F16)A probabilidade de que nenhuma das letras
ocupe seu lugar próprio do alfabeto é 0,25.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29
p=
b)que os três filhos sejam meninos;
p=
1
8
c) que as crianças sejam do mesmo sexo.
p=
2 1
=
8 4
12.Uma prova é composta por 10 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas cada uma, sendo
apenas uma correta. Qual é a probabilidade de um
aluno acertar todas as questões no “chute”?
p=
1
410
13.Das 180 pessoas que trabalham numa empresa,
sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são
do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres
têm nível universitário, qual é a probabilidade de
selecionar-se um funcionário dessa empresa que
seja do sexo masculino e não tenha nível universitário?
p=
48
NÍVEL UNIV.
NÃO TEM
NÍVEL UNIV.
TOTAL
M
54
54
108
F
18
54
72
TOTAL
72
708
180
54
= 30%
180
14.(UFPR) – Uma urna contém 500 bolas, cada uma
1
= 20%
5
16.Escreve-se a palavra PROBABILIDADE num pedaço
de papel, recorta-se cada letra, dobra-se e elas são
colocadas em uma urna. Depois disso, uma delas é
retirada aleatoriamente. Calcule a probabilidade de
a letra retirada ser:
a) uma vogal;
p=
6
13
b)a letra D.
p=
2
13
Matemática
17.Num grupo de pessoas, há homens e mulheres. São
19.Lançam-se dois dados honestos cujas faces estão
torcedores do time A: 35 homens e 25 mulheres.
Torcem para o time B: 10 homens e 10 mulheres.
Não apreciam futebol: 5 homens e 15 mulheres.
Escolhendo-se ao acaso um homem desse grupo,
a probabilidade de que ele não goste de futebol é:
Xa) 10%
b)15%
5
1
p=
=
= 10%
10
10
c) 20%
d)5%
e) 50%
numeradas de 1 a 6 e observam-se os números das
faces voltadas para cima. Sobre esse experimento,
são feitas algumas afirmações que podem ser assinaladas como ( V ) verdadeiras ou ( F ) falsas:
a) ( V ) A probabilidade de a soma dos pontos ser
10 é menor que 10%.
b)( V ) É impossível que o produto dos pontos
seja maior que 36.
c) ( V ) A probabilidade de a soma dos pontos ser
6 é a mesma que a de a soma ser 8.
d)( F ) A probabilidade de se obterem números
iguais é a maior que a de a soma dos pontos ser
igual a 7.
e) ( F ) A probabilidade de ocorrerem dois números primos é 1/6.
18.Em uma escola, trabalham 50 professores; 36 deles
são do sexo masculino. Entre as mulheres, há 2 professoras de Matemática. Sorteia-se aleatoriamente
um dos 50 professores. A probabilidade de a pessoa
sorteada ser uma mulher que não é professora de
Matemática é:
a) 30%
b)28%
12
p=
= 24%
50
c) 26%
Xd)24%
e) 22%
20.Um baralho consiste de 100 cartões numerados de
1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma dos
dois números dos cartões retirados seja igual a 100.
p=
98 1
98
⋅ =
100 99 9 900
Anotações
49
Caderno de Atividades
Anotações
50