7
7ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO
7.1 Tipos de aderência
A aderência entre o concreto e o aço pode ser obtida:
−
por adesão (Figura 7.1a);
−
por atrito (Figura 7.1b); e
−
mecanicamente (Figura 7.1c)
concreto
aço
a)
b)
c)
Figura 7.1 - Tipos de aderência
A aderência mecânica, conseguida através de mossas ou saliências, é a mais eficiente de
todas.
A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras
para concreto armado é feita pelo coeficiente de conformação superficial η, através ensaio
estabelecido na NBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na NBR 7480
são estabelecidos em função da categoria do aço. Para a NBR 6118, a conformação superficial é
medida pelo coeficiente η1. Os valores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo
de superfície lateral das barras. As relações entre os coeficientes η e η1, apresentadas pela
NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela 7.11.
Superfície
Lisa (CA-25)
Entalhada (CA-60)
Nervurada (CA-50)
η1
1,00
1,40
2,25
η
≥ 1,0
≥ 1,5
≥ 1,5
Tabela 7.1 - Relação entre η e η1
7.2 Ancoragem de barras tracionadas
Seja a Figura 7.2 onde é mostrada a transferência da força normal Fs atuante na barra de
aço para o bloco de concreto. Esta transferência de força é possível devido ao desenvolvimento
de tensões tangenciais de aderência τb,x entre a armadura e o concreto.
1
A NBR 6118, item 8.3.2, define o coeficiente de conformação superficial da NBR 7480 como sendo ηb.
As barras nervuradas são, também, referidas como de alta aderência.
2004
7-1
ufpr/tc405
τb,x
φ
Fs
As = πφ2/4
u = πφ
x
dx
tensões tangenciais de aderência
tensões normais na barra
τb,x
σs = Fs / As
σs,x
σs,x + dσs,x
φ
dx
Figura 7.2 - Transferência de força normal
Fazendo o equilíbrio de forças atuantes no seguimento de barra dx, tem-se:
A s σ s,x + u dx τ b,x = A s (σ s,x + d σ s,x )
u dx τ b,x = A s d σ s,x
πφ 2
d σ s,x
4
φ d σ s,x
τ b,x = ⋅
4 dx
d σ s,x 4
= ⋅ τ b,x
dx
φ
π φ dx τ b,x =
Equação 7.1
A solução da Equação 7.1 só é possível se for conhecida a variação de τb,x ao longo de x. A
solução simplificada (usada em projeto com a introdução de coeficientes de segurança
adequados) consiste em adotar para τb,x um valor constante, admitindo as tensões de aderência
uniformemente distribuídas ao longo do trecho da barra situado dentro do bloco de concreto
(Figura 7.3). Nestas condições tem-se:
d σ s,x 4
= ⋅ τ b,unif
dx
φ
4

d σ s, x =  ⋅ τb,unif  dx
φ


4
d σ s,x =  ⋅ τ b,unif  dx
φ


∫
∫
4

σ s,x =  ⋅ τ b,unif  x
φ

2004
Equação 7.2
7-2
ufpr/tc405
A Equação 7.2 corresponde a uma reta e a Figura 7.3 mostra o esquema simplificado de
transferência de força atuante na barra para o bloco de concreto (τb,unif é constante e σs,x varia
linearmente). Em se tratando de valores de projeto (valores de cálculo), o valor da tensão normal
σs deve ficar limita a fyd.
τb,unif
φ
Fs
x
lb,nec
τb,unif
tensões tangenciais de aderência
tensões normais na barra
σs,x = (4/φ) (τb,unif) x
σs = (Fs / As) ≤ fyd
Figura 7.3 - Comprimento de ancoragem
Do exposto na Figura 7.3, torna-se possível determinar o comprimento de ancoragem
necessário lb,nec para tornar nula, no final da barra, a tensão normal nela atuante, ou seja, o
comprimento de ancoragem necessário para que a força atuante na barra possa ser transferida
para o concreto. Do diagrama de tensões normais mostrado na Figura 7.3 pode-se estabelecer:
x=0
⇒ σ s,x = 0
F
x = l b,nec ⇒ σ s,x = σ s = s
As
Introduzindo os valores de lb,nec e σs na Equação 7.2, tem-se:
4

σ s =  ⋅ τ b,unif  l b,nec
φ

l b,nec =
φ σs
⋅
4 τ b,unif
Equação 7.3
7.3 Influência da posição da barra
A qualidade da aderência varia em função da posição da barra. Barras horizontais situadas
na parte superior de uma viga ou de uma laje têm qualidade de aderência inferior àquelas
colocadas na parte inferior. Devido à segregação do concreto fresco, ocorre um acúmulo de água
sob as barras horizontais superiores, conforme mostrado na Figura 7.4. Posteriormente, sendo
esta água absorvida pelo concreto, vazios serão formados na parte inferior das barras superiores
diminuindo, conseqüentemente, a qualidade da aderência. A sedimentação do cimento que ocorre
antes do início da pega e a exudação do excesso de água de amassamento também contribuem
para a pior qualidade de aderência do concreto situado na parte superior de uma viga ou laje
(Figura 7.4).
2004
7-3
ufpr/tc405
armadura superior
água acumulada sob a barra
concreto
água de exudação
Figura 7.4 - Qualidade da aderência - armadura horizontal superior
A NBR 6118, item 9.3.1, considera os trechos de barras em boa situação de aderência
quando estiverem em uma das posições seguintes:
a.
com inclinação maior que 45° sobre a horizontal;
b.
horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que
(Figura 7.5):
−
para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima
da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima;
−
para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo
da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima.
Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem
ser considerados em má situação quanto à aderência.
má aderência
30 cm
h < 60 cm
boa aderência
má aderência
30 cm
h ≥ 60 cm
boa aderência
Figura 7.5 - Situações de boa e má aderência para armaduras horizontais
Em termos gerais pode-se dizer que as armaduras negativas (armaduras horizontais
superiores) de vigas e lajes com altura superior a 30 cm então em situações de má aderência. As
armaduras positivas de lajes e vigas (armaduras horizontais inferiores), bem como as armaduras
de pilares (armaduras verticais), de modo geral, estão em situação de boa aderência.
má aderência
h > 30 cm
boa aderência
boa aderência
vigas ou lajes com h > 30 cm
(h ≤ 30 cm ⇒ só boa aderência)
pilares
Figura 7.6 - Armaduras em situações de boa e má aderência
2004
7-4
ufpr/tc405
7.4 Resistência de aderência de cálculo
A NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistência de aderência de cálculo entre
armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte
expressão:
fbd = η1 η 2 η 3 f ctd
Equação 7.4
sendo:
fctd =
f ctk,inf
γc
1,00

η1 = 1,40
2,25

barras lisas
1,00
η2 = 
0,70
1,00
η3 = 
0,92
situações de boa aderência
situações de má aderência
barras entalhadas
barras nervuradas ou alta aderência
φ ≤ 32 mm
φ = 40 mm
Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do
concreto característica, é permitido pela NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões:
2
f ct,m = 0,3 3 fck
f ctk,inf = 0,7 f ct,m
f ctk,sup = 1,3 f ct,m
Equação 7.5
valores em MPa
Sendo fckj ≥ 7MPa, as expressões da Equação 7.5 podem também ser usadas para idades
diferentes de 28 dias.
Combinando a Equação 7.4 e a Equação 7.5, tem-se:
2 
2
fctk,inf = 0,7 fct,m = 0,7 ×  0,3 3 fck
 = 0,21 3 fck


f ctd =
fctk,inf
γc
=
2
0,21 3 f ck
γc
 0,21 3 f 2 
ck 
fbd = η1 η 2 η 3 f ctd = η1 η 2 η 3 

γc



 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γc


Equação 7.6
Os valores de γc estão mostrados na Tabela [3.7] e para o ELU valem:
1,40 combinaçõe s normais

γ c = 1,20 combinaçõe s especiais ou de construção
1,20 combinaçõe s excepcionais

Exemplo 7.1: Determinar o valor de fbd para a região superior de uma viga de concreto armado
que terá 70 cm da altura.
Considerar:
– concreto: C25;
– barra nervurada: φ 40 mm; e
– combinação normal de carregamento - ELU.
Solução:
2004
O valor de fbd é determinado pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor
2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7
que corresponde a situação de má aderência, região superior de viga de 70 cm
(ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 0,92 que corresponde a barra
7-5
ufpr/tc405
de diâmetro 40 mm; e para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a
combinação de normal de carregamento - ELU.
a.
Dados
f ck = 25 MPa
η1 = 2,25
barra nervurada
η 2 = 0,70
situação de má aderência
η3 = 0,92
φ = 40 mm
γ c = 1,40
b.
C25
ELU - combinação normal
fbd
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γ
c


 0,21× 2,25 × 0,7 × 0,92  3
fbd = 
 25 2 = 1,86 MPa
1
,
4


Os valores de fbd para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor
que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.2.
fbd
φ ≤ 32 mm
concreto
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
(boa aderência)
barras
lisas
entalhadas
1,11 MPa
1,55 MPa
1,28 MPa
1,80 MPa
1,45 MPa
2,03 MPa
1,60 MPa
2,25 MPa
1,75 MPa
2,46 MPa
1,90 MPa
2,66 MPa
2,04 MPa
2,85 MPa
γc = 1,40
nervuradas
2,49 MPa
2,89 MPa
3,26 MPa
3,61 MPa
3,95 MPa
4,27 MPa
4,58 MPa
Tabela 7.2 - Valores de fbd1
7.5 Comprimento de ancoragem - valores de cálculo
Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras, a serem usados em
projetos de estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 7.3 substituindo τb,unif por fbd,
de tal forma que:
φ σ
l b,nec = ⋅ s
Equação 7.7
4 fbd
No caso particular em que a tensão normal σs corresponde ao valor limite de cálculo fyd,
tem-se:
φ f yd
lb = ⋅
Equação 7.8
4 fbd
A NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de lb da Equação 7.8 como sendo o comprimento
de ancoragem básico, necessário para ancorar a força limite As fyd, atuante na barra, admitindo, ao
longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd.
Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,nec da
Equação 7.7) será sempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico (lb da
Equação 7.8) pois σs ≤ fyd.
1
Para situação de má aderência, multiplicar os valores da tabela por 0,7.
2004
7-6
ufpr/tc405
NBR 6118:
9.4.2.4 Comprimento de ancoragem básico
"Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra
de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra,
admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a
fbd, conforme item 9.3.2.1.”
O comprimento de ancoragem básico é dado por:
φ fyd
lb = ⋅
4 fbd
9.4.2.5 Comprimento de ancoragem necessário
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:
A s,cal
l b,nec = α l b
≥ l b,min
A s,ef
sendo:
α=
α=
1,0 para barras sem gancho;
0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal
ao do gancho ≥ 3φ;
α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2;
α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e
gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ;
lb
calculado conforme 9.4.2.4;
lb,min o maior valor entre 0,3lb, 10φ e 100 mm
Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento
de ancoragem necessário.
Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário
apresentado pelo item 9.4.2.5 da NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela
Equação 7.7. No entanto, os dois modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a
seguir.
A Equação 7.7 decorre da Figura 7.3 onde é mostrado que:
F
F
σs = s = s
A s A s,ef
onde As representa a área da seção transversal efetiva (As,ef) da barra tracionada pela força Fs.
Desta forma, a Equação 7.7 pode ser escrita
F
φ σ
φ 1
l b,nec = ⋅ s = ⋅
⋅ s
4 fbd 4 fbd A s,ef
Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão,
para a força Fs vale:
Fs = A s,cal × f yd
onde As,cal representa a área a ser calculada (As,cal ≤ As,ef), para que a tensão σs atuante na barra
tracionada pela força Fs resulte igual a fyd. Desta forma, tem-se:
F
φ 1
φ 1 A s,cal × f yd
l b,nec = ⋅
⋅ s = ⋅
⋅
4 fbd A s,ef
4 fbd
A s,ef
ou ainda:
l b,nec =
A s,cal
φ f yd A s,cal
⋅
⋅
= lb
4 fbd A s,ef
A s,ef
Equação 7.9
A Equação 7.9 é, portanto, a mesma apresentada pela NBR 6118, item 9.4.2.5, a menos do
fator α.
Desta forma, o valor de lb,nec pode ser calculado por:
2004
7-7
ufpr/tc405
l b,nec = α l b
A s,cal
A s,ef
0,3 l b

≥ 10 φ
10 cm

Equação 7.10
A combinação da Equação 7.7 com a Equação 7.9, resulta em:
φ σ
φ f yd A s,cal
l b,nec = × s = ×
×
4 fbd 4 fbd A s,ef
de tal forma que, a tensão atuante na barra tracionada fica definida por:
A s,cal
σs =
× f yd
A s,ef
Equação 7.11
Exemplo 7.2: Determinar o valor do comprimento de ancoragem básico das barras de
armadura positiva (armadura inferior) a ser usado em vigas de concreto armado
a serem construídas com concreto classe C20 e aço CA-50. Considerar apenas
barras nervuradas com diâmetros inferiores a 40 mm e combinações normais de
carregamento - ELU.
Solução:
O valor de lb é determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela
Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra
nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de
boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado
o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc
deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de
carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a
combinações normal de carregamento - ELU.
a. Dados
f ck = 20 MPa C20
f yk = 500 MPa
η1 = 2,25
barra nervurada
η 2 = 1,00
situação de boa aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
γ c = 1,40
ELU - combinação normal
γ s = 1,15
ELU - combinação normal
f yd =
b.
CA50
f yk
γs
=
500
= 435 MPa
1,15
fbd
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γ
c


 0,21× 2,25 × 1,0 × 1,0  3
fbd = 
 20 2 = 2,49 MPa
1
,
4


c.
lb
φ f yd
⋅
4 fbd
φ 435
lb = ⋅
= 44 φ
4 2,49
lb =
Os valores de lb para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou
menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.3.
2004
7-8
ufpr/tc405
lb
γc = 1,40
γs = 1,15
φ ≤ 32 mm
(boa aderência)
Barras
Lisas
entalhadas
98φ
70φ
85φ
61φ
75φ
54φ
68φ
48φ
62φ
44φ
57φ
41φ
53φ
38φ
concreto
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
CA-50nervuradas
44φ
38φ
33φ
30φ
28φ
25φ
24φ
Tabela 7.3 - Comprimento de ancoragem básico - CA-501
7.6 Redução do comprimento de ancoragem
7.6.1 Ganchos das armaduras de tração
Uma das maneiras permitida pela NBR 6118 para a redução de comprimentos de
ancoragem é através do uso de ganchos em armaduras tracionadas. Estes ganchos podem ser
(item 9.4.2.3):
a.
semi-circulares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ (Figura 7.7.a);
b.
em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ
(Figura 7.7.b); e
c.
em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ (Figura 7.7.c).
2φ
4φ
φpin
8φ
φpin
φ
a)
φpin
φ
b)
φ
c)
Figura 7.7 – Tipos de ganchos
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semi-circulares.
O diâmetro interno da curvatura (φpin) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração
deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 7.4.
Bitola (mm)
<20
≥20
CA-25
4φ
5φ
Tipo de Aço
CA-50
5φ
8φ
CA-60
6φ
-
Tabela 7.4 – Diâmetro dos pinos de dobramento
É importante observar que o uso de ganchos em barras tracionadas é bastante restrito. A
necessária cobertura de concreto (3φ), no plano normal ao do gancho, praticamente, só ocorre
nas extremidades de vigas que terminam em vigas, como mostrado na Figura 7.8. O gancho da
armadura da viga V2, tem, dentro da viga V1, cobertura lateral de concreto maior que 3φ. Para
outras barras da viga V1, posicionadas fora do encontro das vigas, torna-se mais difícil a obtenção
do cobrimento exigido pela NBR 6118.
1
Para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7.
2004
7-9
ufpr/tc405
V2
V2
≥ 3φ
V1
V1
Figura 7.8 – Ganchos em extremidade de viga
7.6.2 Barras transversais soldadas
Outra maneira permitida pela NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é
através do uso de barras transversais soldadas (Figura 7.9), desde que (item 9.4.2.2):
a.
o diâmetro da barra soldada seja maior ou igual a 60% do diâmetro da barra ancorada
(φt ≥ 0,6 φ);
b.
a distância da barra transversal ao ponto de início da ancoragem seja maior ou igual 5
vezes o diâmetro da barra ancorada (≥ 5 φ); e
c.
a resistência ao cisalhamento da solda seja maior ou igual a 30% da resistência da
barra ancorada (0,3 As fyd).
φt
φ
φ
≥ 5φ
≥ 5φ
lb,nec
lb,nec
φ
φ
≥ 5φ
≥ 5φ
lb,nec
lb,nec
Figura 7.9 – Ancoragem com barras transversais soldadas
7.7 Diagrama Rsd1
Conforme mostrada na Figura 7.3, as armaduras necessitam, em sua parte final, de um
determinado comprimento para se fixarem (ancorarem) dentro da massa de concreto. Desta forma
o diagrama de tensões normais possível de ser desenvolvido em uma barra de aço destinada a
armadura para concreto armado é o mostrado na Figura 7.10.
1
R de resistência, s (minúsculo) de "steel" (aço) e d de "design" (projeto/cálculo).
2004
7-10
ufpr/tc405
As
início da ancoragem
lb,nec
lb
σs
fyd
Figura 7.10 - Diagrama de tensões normais em barras de aço para
concreto armado
Deve ser observado na Figura 7.10 que a tensão normal na barra σs só pode atingir o valor
máximo fyd se houver espaço suficiente para ancoragem com o desenvolvimento do comprimento
de ancoragem básico lb (lado direito do diagrama). Quando o espaço necessário para a
ancoragem da barra é restrito (lado esquerdo do diagrama), onde somente o comprimento de
ancoragem necessário lb,nec pode ser desenvolvido, a tensão normal σs é menor que fyd.
Se as ordenadas mostradas no diagrama de tensões da Figura 7.10 forem multiplicas por As
(área da seção transversal da barra) chega-se ao diagrama de força resistente Rsd, como
mostrado na Figura 7.11 (trocou-se tensão por força).
As
início da ancoragem
lb,nec
lb
Rsd = As σs
Rsd = As fyd
Figura 7.11 - Diagrama Rsd (esforço resistente de cálculo)
2004
7-11
ufpr/tc405
Exemplo 7.3: Determinar o diagrama de força resistente de cálculo Rsd para as armaduras
negativas (tracionadas) da viga abaixo indicada.
Considerar:
– concreto: C20;
– barra nervurada: CA-50;
– combinação normal de carregamento - ELU; e
– σs = fyd (máximo aproveitamento das barras).
N1 φ 12,5 – 280 cm
N2
2N2 φ 16 – 510 cm
N1
2N3 φ 16 – 620 cm - 2ª cam
A
N3
A
Corte AA
Solução:
a.
O valor de lb deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com
fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que
corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que
corresponde a situação de má aderência, região superior de vigas (ver Figura 7.6);
para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor
que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações
normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que
corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. Os diagramas
individuais Rsd (N1, N2 e N3) são obtidos de módulo análogo ao apresentado na
Figura 7.11 usando somente valores lb na horizontal e As fyd na vertical. Por se
tratar de armadura negativa, os valores das forças deverão ser posicionados "para
cima", contrário ao apresentado na Figura 7.11 que corresponde a armaduras
positivas ("para baixo"). O diagrama final Rsd corresponde à somatória dos
diagramas individuais.
Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
f ck = 20 MPa = 2 kN/cm 2 C20
f yk = 500 MPa = 50,0 kN/cm 2
η1 = 2,25
barra nervurada
η 2 = 0,70
situação de má aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
γ c = 1,40
ELU - combinação normal
γ s = 1,15
ELU - combinação normal
f yd =
b.
CA50
f yk
γs
=
500
= 435 MPa = 43,5 kN/cm 2
1,15
fbd
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γ
c


 0,21× 2,25 × 0,7 × 1,0  3
fbd = 
 20 2 = 1,74 MPa = 0,174 kN/cm 2
1
,
4


2004
7-12
ufpr/tc405
c.
lb
φ f yd
⋅
4 fbd
φ 43,5
= 63 φ
lb = ⋅
4 0,174
φ = 12,5 mm ⇒ l b = 63 × 12,5 = 787,5 mm ≈ 80 cm
φ = 16 mm
⇒ l b = 63 × 16 = 1008 mm ≈ 100 cm
lb =
d.
Diagramas individuais das forças resistentes de cálculo
d.1. φ 12,5 mm, lb = 80 cm
πφ 2 π 1,25 2
As =
=
= 1,23 cm 2
4
4
R sd = A s f yd = 1,23 × 43,5 = 53,5 kN
53,5 kN
80 cm
d.2. φ 16 mm, lb = 100 cm
πφ 2 π 1,6 2
=
= 2,01 cm 2
As =
4
4
R sd = A s f yd = 2,01 × 43,5 = 87,4 kN
87,4 kN
100 cm
e.
Diagrama Rsd
1 x 53,5 = 53,5 kN
N1
80 cm
2 x 87,4 = 174,8 kN
2N2
100 cm
2 x 87,4 = 174,8 kN
2N3
403,1 kN
100 cm
349,6 kN
174,8 kN
Rsd
0 kN
2004
7-13
ufpr/tc405
7.8 Diagrama MRd1
Seja a Figura 7.12, onde são mostradas as solicitações e resistências atuantes em um
trecho de viga de concreto armado de seção retangular.
εc
σc
Rcd
y
MRd
h
d
MSd
z = d - 0,5y
As
Rsd
bw
εs
∆l
esforço resistente
de cálculo
solicitação de
cálculo
Figura 7.12 - Esforços e solicitações em vigas de concreto armado
Se neste trecho de viga a solicitação de cálculo corresponder somente ao momento fletor
MSd, são válidas as seguintes expressões:
R cd = R sd
R cd = 0,85 b w y fcd
R sd = A s σ s
MRd = R cd z = R sd z
Portanto:
0,85 b w y f cd = A s σ s
1 A s σs
⋅
⋅
0,85 b w f cd
y
z = d−
2
 1 A s σs
z = d − 
⋅
⋅
 1,7 b w f cd
y=



  1 A s σ s 

⋅
⋅
z = d 1 − 
  1,7 b w d f cd 
 1 A s σs
z
β z = = 1 − 
⋅
⋅
d
 1,7 b w d f cd



Equação 7.12
Introduzindo o valor de βz na equação de MRd, tem-se:
MRd = R sd z = R sd (β z d) = (A s σs )(β z d)
MRd = A s σs β z d
Equação 7.13
2
Admitindo que εyd ≤ εs ≤ 10‰ , do diagrama tensão-deformação do aço (Figura [4.5])
pode-se estabelecer:
σ s = f yd
1
2
M de momento, R (maiúsculo) de resistência e d de "design" (projeto/cálculo).
Esta condição para εs corresponde aos domínios 2 e 3 da Figura [5.3]. Corresponde, também, às vigas
subarmadas (dúteis, se βx observar os limites estabelecidos pela Equação [5.2]).
2004
7-14
ufpr/tc405
βz =
 1 A s f yd 
z

= 1 − 
⋅
⋅

d
 1,7 b w d f cd 
Equação 7.14
MRd = A s fyd β z d
Equação 7.15
A Equação 7.13 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas
com lb,nec (σs < fyd) e a Equação 7.15 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para
barras ancoradas com lb (σs = fyd).
O diagrama de momento fletor resistente MRd de uma barra, definido pela Equação 7.13 e
pela Equação 7.15, é análogo ao diagrama da Figura 7.11, com ordenada As σs βz d para
ancoragem lb,nec (σs < fyd) e ordenada As fyd βz d para ancoragem lb (σs = fyd), como mostrado na
Figura 7.13. De modo simplificado pode-se dizer que o digrama de momento fletor resistente MRd
é obtido do diagrama Rsd multiplicando suas ordenadas pelo braço de alavanca z (βz d).
d
As
início da ancoragem
lb,nec
lb
MRd = Rsd z =
As σs βz d
MRd = Rsd z =
As fyd βz d
Figura 7.13 - Diagrama MRd (momento resistente de cálculo)
Exemplo 7.4: Determinar o diagrama de momento resistente de cálculo MRd para as armaduras
positivas (tracionadas) da viga abaixo indicada. A viga tem 20 cm de base e
50 cm de altura útil.
Considerar:
– concreto: C25;
– barra nervurada: CA-50;
– combinação normal de carregamento - ELU; e
– σs = fyd (máximo aproveitamento das barras).
A
B
N3
A
210
B
N1 φ 16 – 350 cm
AA
N2
N3
BB
2N2 φ 16 – 750 cm
2N3 φ 16 – 880 cm
2004
7-15
ufpr/tc405
Solução:
a.
O valor de lb deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com
fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que
corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que
corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6);
para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor
que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações
normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que
corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. O diagrama MRd é
obtido de módulo análogo ao diagrama Rsd do Exemplo 7.3, com o uso da
Equação 7.15 para determinação dos valores dos momentos resistentes de
cálculo. Por se tratar de armadura positiva, os valores dos momentos deverão ser
posicionados "para baixo", como apresentado na Figura 7.13.
Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
f ck = 25 MPa = 2,5 kN/cm 2 C20
f yk = 500 MPa = 50,0 kN/cm 2
CA50
η1 = 2,25
barra nervurada
η 2 = 1,00
situação de boa aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
γ c = 1,40
ELU - combinação normal
γ s = 1,15
ELU - combinação normal
b w = 20 cm
d = 50 cm
largura da viga
altura útil da viga
φ = 16 mm = 1,6 cm
diâmetro da barra
f ck
25
=
= 17,9 MPa = 1,79 kN/cm 2
γ c 1,4
f yk
500
=
=
= 435 MPa = 43,5 kN/cm 2
γ s 1,15
f cd =
f yd
b.
fbd
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γc


 0,21× 2,25 × 1,0 × 1,0  3
fbd = 
 25 2 = 2,89 MPa = 0,289 kN/cm 2
1,4


c.
lb
φ f yd
⋅
4 fbd
φ 43,5
lb = ⋅
= 38 φ
4 0,289
l b = 38 φ = 38 × 16 = 608 mm ≈ 60 cm
lb =
d.
βz
d.1. 2 φ 16 mm (seção BB)
πφ 2
π 1,6 2
As = 2
=2
= 4,02 cm 2
4
4
 1 A s f yd 

β z = 1 − 
⋅
⋅

 1,7 b w d f cd 
2004
7-16
ufpr/tc405
4,02 43,5 
 1
βz = 1− 
⋅
⋅
 = 0,943
 1,7 20 × 50 1,79 
d.2. 4 φ 16 mm (seção AA)
πφ 2
π 1,6 2
As = 4
=4
= 8,04 cm 2
4
4
8,04 43,5 
 1
βz = 1− 
⋅
⋅
 = 0,885
 1,7 20 × 50 1,79 
d.3. 5 φ 16 mm (seção situada entre 2,1 m e 5,6 m da face interna do pilar esquerdo)
πφ 2
π 1,6 2
As = 5
=5
= 10,05 cm 2
4
4
 1 10,05 43,5 
βz = 1− 
⋅
⋅
 = 0,856
 1,7 20 × 50 1,79 
d.4. Adoção de um único valor para βz
Deve ser observado, neste exemplo, que para uma variação de armadura de
150% (de 2 barras para 5 barras) a variação de βz foi de -9% (de 0,943 para 0,856).
Com o objetivo de não perder a linearidade entre os valores de MRd para as
diversas combinações de barras, é prática comum no detalhamento de vigas de
concreto armado adotar, independentemente do número de barras atuantes na seção
transversal de qualquer trecho de viga, um único valor para o braço de alavanca z, ou
seja adotar um único βz (z = βz d). Para que as condições de segurança não sejam
violadas, adota-se o menor βz (menor braço de alavanca, menor fletor resistente MRd)
que justamente correspondente à seção transversal com maior número de barras, ou
seja adota-se o βz correspondente à seção transversal mais solicitada (onde atua o
máximo momento fletor solicitante de cálculo MSd). Desta forma, o modo simplificado
de determinar o valor de βz é através do uso da equação:
 1 A s,max f yd 

β z = 1 − 
⋅
⋅

 1,7 b w d f cd 
A s,max = 10,05 cm 2 5 φ 16
 1 10,05 43,5 
βz = 1− 
⋅
⋅
 = 0,856
 1,7 20 × 50 1,79 
β z = 0,856
e.
Diagrama MRd para uma barra de 16 mm
πφ 2 π 1,6 2
As =
=
= 2,01 cm 2
4
4
MRd = A s fyd β z d = 2,01× 43,5 × 0,856 × 50
37 kNm
MRd = 3742 kNcm = 37 kNm
60 cm
Existindo barras com bitolas diferentes, para cada uma delas deverá ser
desenvolvido o diagrama MRd.
2004
7-17
ufpr/tc405
f.
Diagrama MRd
1 x 37 = 37 kNm
N1
60 cm
2 x 37 = 74 kNm
2N2
60 cm
2 x 37 = 74 kNm
2N3
60 cm
0 kNm
74 kNm
MRd
148 kNm
185 kNm
g.
Condição de segurança
MSd,desl
MRd
A viga será segura se, em qualquer seção transversal, for verificada a condição
MRd ≥ MSd,desl (R d ≥ S d )
Além do exposto neste exemplo, outras condições para detalhamento de armadura
longitudinal de vigas são estabelecidas no item 18.3.2.3 da NBR 6118.
2004
7-18
ufpr/tc405
7.9 Posição relativa entre os diagramas MSd, desl e MRd
7.9.1 Vãos e apoios intermediários de vigas
Segundo a NBR 6118, item 18.3.2.3.1, o diagrama MRd, nos pontos onde a tensão normal
atuante nas barras é nula (pontas das barras), deve ficar afastado de 10 φ (diâmetro da barra que
esta sendo ancorada) do diagrama MSd,desl, (diagrama de momentos fletores solicitantes,
deslocado) como mostrado na Figura 7.14.
barra n – diâmetro φ
início da ancoragem
lb
lb
barra n
final da ancoragem
barra n + 1
MRd
barra n
MSd
≥ 10 φ
≥ 10 φ
MSd,desl
al
≥ 10 φ
≥ 10 φ
barra m + 2
barra m + 1
barra m
≥ 10 φ
lb
lb
barra m – diâmetro φ
barra m + 1 – diâmetro φ
Figura 7.14 – Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd
Exemplo 7.5: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de
base e 50 cm de altura.
Dados:
– concreto: C20; e
– barra nervurada: CA-50.
Considerar:
– somente solicitações normais;
– viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente
tttttttapoiada nos pilares;
pilares com 20 cm de largura;
– estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4,
tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15);
al = d;
– armadura transversal (estribos): 6,3 mm;
2004
7-19
ufpr/tc405
– cobrimento nominal: 3 cm; e
– dimensão máxima do agregado: 12,5 mm.
Obs.:
– peso próprio da viga incluído na carga gk.
gk = 30 kN/m
1,5 m
5,0 m
1,5 m
Esc.: 1:0,667
Solução:
a.
O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2.
A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor
positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1].
O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na
Figura 7.14.
Diagrama MSd
47,25 kNm
-
-
84,00 kNm
+
Esc. hor.: 1:0,667
Esc. vert.: 1:20
b.
Dados
f ck = 20 MPa
γ c = 1,40
f cd =
C20
ELU - combinação normal
f ck
20
=
= 14,3 MPa = 1,43 kN/cm 2
γ c 1,4
η1 = 2,25
barra nervurada
η 2 = 1,00
situação de boa aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γc


 0,21× 2,25 × 1,0 × 1,0  3
fbd = 
 20 2 = 2,49 MPa = 0,249 kN/cm 2
1,4


fyk = 500 MPa
2004
CA50
7-20
ufpr/tc405
γ s = 1,15
f yd =
f yk
γs
ELU - combinação normal
=
500
= 435 MPa = 43,5 kN/cm 2
1,15
φ f yd
⋅
4 fbd
φ 43,5
= 44 φ
lb = ⋅
4 0,249
b w = 15 cm
h = 50 cm
d = 50 - 6 = 44 cm (assumido)
c nom = 3 cm
φ t = 6,3 mm = 0,63 cm
dmax = 12,5 mm = 1,25 cm
lb =
A c = 15 × 50 = 750 cm 2
A s,min
1,43

× 750 = 0,86 cm2
0,035 ×
≥
43,5
0,0015 × 750 = 1,13 cm2 ⇐ ⇐ ⇐
A s,max = 0,04 × 15 × 50 = 30,0 cm2
MSd = 84 kNm = 8400 kNcm
MRd1,lim = 0,272 × 15 × 44 2 × 1,43 = 11295 kNcm
MSd
{
8 400 kNcm
< MRd1,lim ⇒ não há necessidade de armadura de compressão
123
11295 kNcm
MSd = MRd = MRd1 = 8 400 kNcm
c.
Armadura longitudinal
8 400
βc =
= 0,202 < 0,272 OK
15 × 44 2 × 1,43
β z = 0,862
β c = 0,202 ⇒ ⇒ 
123 β = 1,000
tabela  s
AS =
15 cm
> 1,13 cm 2
8 400
= 5,09 cm 2 
OK
2
0,862 × 44 × 1,000 × 43,5
< 30,0 cm
π × 1,252
= 3,68 cm2
4
π × 1,0 2
= 2×
= 1,57cm2
4
3 φ12,5 + 2 φ10 = 5,25 cm2
12,5 mm
3 φ12,5 = 3 ×
2 φ10
2 cm
ah
A S,ef = 5,25 cm 2
2004
6,3 mm
3 cm
A S,cal = 5,09 cm 2
d.
10 mm
Verificação de ah e av
a v = 2,00 cm
15 − (2 × 3,0 + 2 × 0,63 + 3 × 1,25 )
= 2,00 cm
ah =
3 −1
2 cm ⇐
2 cm ⇐


a v ≥ φl = 1,25 cm
OK
ah ≥ φl = 1,25 cm
OK
0,5 d

max = 0,5 × 1,25 = 0,63cm

1,2 dmax = 1,2 × 1,25 = 1,50cm
7-21
ufpr/tc405
e.
Verificação de d
  π × 1,25 2   1,25    π × 1,02  
1,0 
 × 1,25 + 2,0 +

×
+
×
2



3 × 



  2 
4
2 
 
   4  

y cg =
  π × 1,25 2    π × 1,02 
  + 2 × 

3 × 



4
 
   4 
1,0 
1,25  


2
2

 3 × 1,25 ×
 + 2 × 1,0 × 1,25 + 2,0 +
2 
2  


= 1,56 cm
y cg =
3 × 1,25 2 + 2 × 1,02
d = h − y cg + φ t + c nom
h
d = 50 − (1,56 + 0,63 + 3,0 ) = 44,81cm > 44 cm OK
d
d = 44,81cm
a l = d ≈ 45 cm
(
f.
(
) (
)
)
Determinação de MRd
 0,68 b w d fcd 
 βx
βs = 


A
f
s yd


 0,68 × 15 × 44,81× 1,43 
βs = 
 × βx
5,25 × 43,5


φl
av
cg
(ycg + φt + cnom)
ycg
cnom
φt
βs = 2,862 β x
β x = 0,349 β s
β c = 0,204

β x = 0,349 ⇒ ⇒ β z = 0,860
123
tabela β = 1,000 OK
 s
MRd1 = βc b w d2 fcd
MRd = MRd1 = 0,204 × 15 × 44,812 × 1,43 = 8 786 kNcm > 8 400 kNcm
142
4 43
4
MSd
2
π × 1,25
4
MRd,φ12,5 = 8 786 ×
= 6 158 kNcm = 62 kNm
π × 1,25 2
π × 1,02
3×
+ 2×
4
4
2
π × 1,0
2×
4
= 2 628 kNcm = 26 kNm
MRd,φ10 = 8 786 ×
2
π × 1,25
π × 1,02
+ 2×
3×
4
4
Verificação do valor de βz e MRd (Equação 7.14 e Equação 7.15)
 1 A s f yd 
z

β z = = 1 − 
⋅
⋅

d
1
,
7
b
d
f
w
cd 

5,25
43,5 
 1
βz = 1− 
×
×
 = 0,860 OK
1
,
7
15
44
,
81
1,43 
×

MRd = A s fyd β z d
3×
MRd = 5,25 × 43,5 × 0,860 × 44,81 = 8 801kNcm ≈ 8 786 kNcm OK
Determinação dos comprimentos de ancoragem
l b,φ10mm = 44 × 10 = 440 mm = 44 cm
l b,φ12,5mm = 44 × 12,5 = 550 mm = 55 cm
2004
7-22
ufpr/tc405
g.
Diagrama MSd,desl
47,25 kNm
MSd
MSd,desl
84,00 kNm
al = 45 cm
h.
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. vert.: 1:20
Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. vert.: 1:20
φ 12,5 mm
φ 12,5 mm
62 kNm
φ 12,5 mm
φ 10 mm
88 kNm
φ 10 mm
i.
Leque de ancoragem
lb
55 cm
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. vert.: 1:20
55 cm
φ 12,5 mm
φ 10 mm
44 cm
lb
44 cm
2004
7-23
ufpr/tc405
j.
Paralelismo de ancoragem
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. vert.: 1:20
lb
lb
3
3
2
2
≥ 10 φ
≥ 10 φ
1
1
φ 12,5 mm
2
0
1
2
0
paralelas
1
paralelas
φ 10 mm
0
0
lb
lb
2 φ 10 mm - 310 cm
k.
Diagramas MRd dos conjuntos de barras
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. vert.: 1:20
lb
lb
3
3
2
2
paralelas
1
1
paralelas
φ 12,5 mm
2
0
1
2
0
1
paralelas
φ 10 mm
0
0
lb
lb
2 φ 10 mm – 310 cm
1 φ 12,5 mm – 400 cm
2 φ 12,5 mm – 510 cm
Obs.:
Todas as pontas das barras estão afastadas de uma distância maior ou igual a 10 φ
do diagrama MSd, desl.
O paralelismo de ancoragem existente do lado direito é simétrico em relação ao lado
esquerdo.
2004
7-24
ufpr/tc405
l.
Detalhamento da armadura longitudinal positiva
armadura inferior
(porta-estribo) não
detalhada
85 cm
armadura superior
(negativa) não
detalhada
cnom = 3 cm
Esc.: 1:66,7
40 cm
15 cm
2 N1 - φ 10 mm - 310 cm - 2ª cam.
1 N2 - φ 12,5 mm - 400 cm
2 N3 - φ 12,5 mm - 510 cm
Para detalhamento da armadura longitudinal negativa ver Exemplo 7.6.
m. Verificações
De acordo com o item 18.3.2.4 -c da NBR 6118, pelo menos 25% da armadura
positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como duas barras (N3) chegam ao
apoio, tem-se:
π × 1,25 2
2×
4
= 47% > 25% OK
%A s,apoio =
π × 1,25 2
π × 1,02
+ 2×
3×
4
4
De acordo com item 18.3.2.4.1 da NBR 6118, as armaduras positivas provenientes
do meio do vão deverão estender-se, no mínimo, 10 φ além da face do apoio. Como a
armadura N3 está posicionada 15 cm além da face interna do apoio, o item da Norma está
verificado (10 φ corresponde a 12,5 cm).
n. Diagramas MSd,desl e MRd
MSd,desl
MRd
7.9.2 Balanços
Para os trechos de vigas em balanços, o detalhamento da ancoragem reta requer alguns
cuidados especiais. Pela Figura 7.15 pode ser observado que, pelo detalhamento apresentado em
7.9.1, parte da armadura reta ancorada ficaria situada fora da viga.
2004
7-25
ufpr/tc405
MSd,desl
lb
MRd
∆lb
Figura 7.15 – Vigas em balanço
Embora dispositivos especiais de ancoragem possam ser usados para resolver a situação
da armadura mostrada na Figura 7.15, é prática comum a dobra desta armadura para dentro da
viga. Para se evitar que trechos expressivos de ancoragem se situem na vertical é conveniente
adotar para ∆lb valores não superiores a 25% de lb, como mostrado na Figura 7.16 (∆lb contado a
partir da face final do balanço). Como as pontas de barras devem estar afastadas de 10 φ do
diagrama MSd,desl e a parte dobrada não pode ser maior que d, tem-se para ∆lb:
≤ 0,25 l b

∆l b < d
Equação 7.16
≥ 10 φ

Se as desigualdades apresentadas na Equação 7.16 não puderem ser verificadas
simultaneamente, prevalece os 10 φ, desde que inferiores a d.
∆lb ≤ 0,25 lb
φ
≥10 φ
d
Figura 7.16 – Detalhe de armadura de viga em balanço
O comprimento do trecho reto dobrado (trecho vertical), também, não deverá ser inferior a
10 φ (Figura 7.16).
Para a definição do diâmetro do pino de dobramento das barras longitudinais que chegam a
ponta do balanço deve ser usada a Tabela 7.6, apresentada em 7.13.
2004
7-26
ufpr/tc405
Exemplo 7.6: Detalhar a armadura negativa da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de
base e 50 cm de altura.
Dados:
– concreto: C20; e
– barra nervurada: CA-50.
Considerar:
– somente solicitações normais;
– viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente
tttttttapoiada nos pilares;
pilares com 20 cm de largura;
– estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4,
tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15);
al = d;
– armadura transversal (estribos): 6,3 mm;
– cobrimento nominal: 3 cm; e
– dimensão máxima do agregado: 12,5 mm.
Obs.:
– peso próprio da viga incluído na carga gk.
gk = 30 kN/m
1,5 m
5,0 m
1,5 m
Esc.: 1:0,667
Solução:
a.
O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2.
A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor
ponegativo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.2].
O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na
Figura 7.14.
Diagrama MSd
47,25 kNm
-
-
84,00 kNm
+
Esc. hor.: 1:0,667
Esc. vert.: 1:20
2004
7-27
ufpr/tc405
b.
Dados
f ck = 20 MPa
γ c = 1,40
C20
ELU - combinação normal
f ck
20
=
= 14,3 MPa = 1,43 kN/cm 2
γ c 1,4
f cd =
η1 = 2,25
barra nervurada
η2 = 0,70
situação de má aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γ
c


 0,21× 2,25 × 0,7 × 1,0  3 2
2
fbd = 
 20 = 1,74 MPa = 0,174 kN/cm
1
,
4


fyk = 500 MPa
γ s = 1,15
f yk
f yd =
lb =
γs
CA50
ELU - combinação normal
=
500
= 435 MPa = 43,5 kN/cm 2
1,15
φ f yd
⋅
4 fbd
φ 43,5
×
= 63 φ
4 0,174
b w = 15 cm
h = 50 cm
d = 50 - 6 = 44 cm (assumido)
c nom = 3 cm
φ t = 6,3 mm = 0,63 cm
dmax = 12,5 mm = 1,25 cm
lb =
A c = 15 × 50 = 750 cm 2
1,43

× 750 = 0,86 cm2
0,035 ×
≥
43,5
0,0015 × 750 = 1,13 cm2 ⇐ ⇐ ⇐
A s,min
A s,max = 0,04 × 15 × 50 = 30,0 cm2
MSd = 47,25 kNm = 4 725 kNcm
MRd1,lim = 0,272 × 15 × 44 2 × 1,43 = 11295 kNcm
MSd
{
4 725 kNcm
< MRd1,lim ⇒ não há necessidad e de armadura de compressão
123
11295 kNcm
MSd = MRd = MRd1 = 4 725 kNcm
c.
Armadura longitudinal
4 725
βc =
= 0,114 < 0,272 OK
15 × 442 × 1,43
β z = 0,928
βc = 0,114 ⇒ ⇒ 
123 β = 1,000
tabela  s
AS =
2004
> 1,13 cm2
4 725
= 2,66 cm2 
OK
2
0,928 × 44 × 1,000 × 43,5
< 30,0 cm
7-28
ufpr/tc405
π × 1,02
= 3,14 cm2 (2 camadas)
4
= 2,66 cm 2
4 φ10 = 4 ×
A S,cal
A S,ef = 3,14 cm2
d.
e.
(
2 cm
6,3 mm
)
d = 50 − (2,00 + 0,63 + 3,0 ) = 44,37 cm > 44 cm OK
d = 44,37 cm
a l = d ≈ 45 cm
f.
3 cm
Verificação de ah e av
ah
a v = 2,00 cm
15 − (2 × 3,0 + 2 × 0,63 + 2 × 1,0 )
ah =
= 5,74 cm
2 −1
2 cm ⇐

a v ≥ φl = 1,25 cm
OK
10 mm
0,5 d
=
×
=
0
,
5
1
,
25
0
,
63
cm
max

2 cm ⇐

ah ≥ φl = 1,25 cm
OK
15 cm
1,2 d
max = 1,2 × 1,25 = 1,50cm

Verificação de d
  π × 1,0 2   1,0    π × 1,0 2  
1,0 
 × 1,0 + 2,0 +
 ×    + 2 × 

2 × 



2 
  4   2    4  

y cg =
= 2,00 cm
  π × 1,0 2 

4 × 

  4 
d = h − y cg + φ t + c nom
Determinação de MRd
 0,68 b w d fcd 
 βx
βs = 


A
f
s yd


 0,68 × 15 × 44,37 × 1,43 
βs = 
 × βx
3,14 × 43,5


β s = 4,738 β x
β x = 0,211β s
ycg
cnom
av
cg
φl
h
d
φt
β c = 0,131

β x = 0,211 ⇒ ⇒ β z = 0,916
123
tabela β = 1,000 OK
 s
MRd1 = βc b w d2 fcd
MRd = MRd1 = 0,131 × 15 × 44,37 2 × 1,43 = 5 532 kNcm > 4 725 kNcm
142
4 43
4
MSd
Verificação do valor de βz e MRd (Equação 7.14 e Equação 7.15)
 1 A s f yd 
z

β z = = 1 − 
⋅
⋅

d
1
,
7
b
d
f
w
cd


3,14
43,5 
 1
βz = 1− 
×
×
 = 0,916 OK
 1,7 15 × 44,37 1,43 
MRd = A s fyd β z d
MRd = 3,14 × 43,5 × 0,916 × 44,37 = 5 551kNcm ≈ 5 532 kNcm OK
2004
7-29
ufpr/tc405
Determinação dos comprimentos de ancoragem
l b,φ10mm = 63 × 10 = 630 mm = 63 cm
g.
Diagrama MSd,desl
47,25 kNm
MSd
MSd,desl
84,00 kNm
al = 45 cm
h.
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. vert.: 1:20
Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl (apoio esquerdo)
55,3 kNm
47,25 kNm
Esc. hor.: 1:33,3
Esc. vert.: 1:10
φ 10 mm
i.
Leque de ancoragem e definição de ∆lb (apoio esquerdo)
55,3 kNm
φ 10 mm
47,25 kNm
K
Esc. hor.: 1:33,3
Esc. vert.: 1:10
lb = 63 cm
2004
∆lb = 15 cm
7-30
lb = 63 cm
ufpr/tc405
j.
O ponto K corresponde ao ponto final de ancoragem (ponta de barra) das barras que
irão cobrir o momento negativo que aparece na ponta do balanço devido ao deslocamento
do diagrama MSd.
O valor de ∆lb satisfaz a todas as desigualdades da Equação 7.16, ou seja, menor
que 0,25 lb (15,75 cm), menor que d (44,37 cm) e maior que 10 φ (10 cm).
Diagramas MRd dos conjuntos de barras (apoio esquerdo)
2 φ 10 mm – 275 cm (rt.: 255 cm; db.: 20 cm)
20 cm
3 cm (cnom) da
face final do
balanço
2 φ 10 mm – 195 cm
4
4
paralelas
3
paralelas
3
2
2
≥ 10 φ
paralelas
1
1
K
0
0
Esc. hor.: 1:33,3
Esc. vert.: 1:10
lb = 63 cm
≥ 10 φ
<d
k.
lb = 63 cm
≥ 10 φ
(10 cm)
∆lb = 15 cm
(<25% de lb)
A dobra da barra N1 foi ajustada de 18 para 20 cm (15 cm correspondente a ∆lb mais
3 cm de cnom).
Detalhamento da armadura longitudinal negativa
2 N1 - φ 10 mm - 275 cm
20
255
2 N1 - φ 10 mm - 275 cm
255
20
2 N2 - φ 10 mm - 195 cm
2 N2 - φ 10 mm - 195 cm
2ª cam
2ª cam
60 cm
60 cm
cnom = 3 cm
Esc.: 1:66,7
armadura superior
(porta-estribo) não
detalhada
armadura inferior
(positiva) não
detalhada
Para detalhamento da armadura longitudinal positiva ver Exemplo 7.5.
2004
7-31
ufpr/tc405
7.9.3 Apoios extremos de vigas
Conforme visto em [6.2], a analogia da treliça de Morsh apresenta um conjunto de forças
como mostrado na Figura 7.17.
Rsd
MSd
Rsd
VSd
Figura 7.17 – Forças atuantes na treliça de
Morsh
Na Figura 7.17 tem-se:
MSd
momento fletor solicitante de cálculo;
força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido;
Rcd
Rsd
força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada;
VSd
força cortante solicitante de cálculo.
Ainda, na Figura 7.17, deve ser observado que:
−
na região do apoio, a resultante Rsd é função direta da reação de apoio VSd; e
−
em região afastada do apoio, a resultante Rsd é função direta do momento fletor MSd.
Segundo o item 18.3.2.4-b da NBR 6118, a força cortante solicitante de cálculo VSd
(“externa”) pode ser equilibrada (“internamente”) pelas forças Rcwd (força resistente atuante no
diagonal comprimida de concreto) e Rsd (força resistente atuante na armadura tracionada), como
mostrado na Figura 7.18.
VSd
Rcwd
θ
tan θ =
d
al
Rsd
Figura 7.18 – Equilíbrio de forças no apoio
Da Figura 7.18, tem-se:
a
Equação 7.17
R sd = l VSd
d
NBR 6118:
18.3.2.4 Armadura de tração nas seções de apoio
"Os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser
resistidos por armadura longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes
condições:
a)
no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do
dimensionamento da seção;
2004
7-32
ufpr/tc405
b)
em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão,
armaduras capazes de resistir a uma força de tração RSd = (al / d) Vd + Nd, onde
Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente;
c)
em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da
armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo
do tramo (Mvão), de modo que:
As,apoio ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto
Mapoio ≤ 0,5 Mvão;
As,apoio ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio > 0,5
Mvão.”
18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração nos apoios
"Quando se tratar do caso de 18.3.2.4-a), as ancoragens devem obedecer aos
critérios da figura 18.3.
Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios extremos, as barras das armaduras
devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou
superiores ao maior dos seguintes valores:
lb,nec, conforme 9.4.2.5;
(r + 5,5 φ);
60 mm.
Quando houver cobrimento da barra no trecho, medido normalmente ao plano do
gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande
freqüência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser
desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes.
Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios intermediários, o comprimento de
ancoragem pode ser igual a 10 φ, desde que não haja qualquer possibilidade da
ocorrência de momentos positivos nessa região, provocados por situações
imprevistas, particularmente por efeito de vento e eventuais recalques. Quando essa
possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio.”
As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 18.3.2.4 e 18.3.2.4.1 da
NBR 6118:
a.
A expressão que aparece em 18.3.2.4-b, ficaria melhor representada se aparecesse
como:
R Sd =
al
VSd + NSd
d
onde:
RSd representaria a força (horizontal) de tração solicitante de cálculo (“externa”)
atuante na direção da armadura que chega ao apoio;
VSd representaria a força (vertical) cortante solicitante de cálculo (“externa”) atuante
no apoio;
NSd representaria a força (horizontal) normal de tração solicitante de cálculo
(“externa”) que poderia atuar na viga;
corresponderia ao deslocamento horizontal do diagrama MSd (momento fletor
solicitante de cálculo); e
d
corresponderia a altura útil da viga.
Desta forma todos os componentes da equação seriam referidos a valores solicitantes
de cálculo (“externos”).
Observar que a Equação 7.17 corresponde ao equilíbrio de uma força vertical
solicitante (“externa”) por forças resistentes (“internas”). Daí aparecer Rsd1 (s
minúsculo) no lugar de RSd2 (s maiúsculo). Ambas representam forças atuantes na
al
1
2
R de resultante (força resistente), s (minúsculo) de aço e d de "design" (projeto/cálculo).
R (maiúsculo) de força, S (maiúsculo) de solicitação e d de "design" (projeto/cálculo).
2004
7-33
ufpr/tc405
armadura horizontal, sendo Rsd a correspondente resistência (“interna”) da força
solicitante RSd (“externa”). Pela condição de segurança, Rsd ≥ RSd (a resistente tem que
ser maior ou igual a solicitante).
A NBR 6118, ao usar RSd (s maiúsculo), procura representar a solicitação que estará
submetida a armadura na região de ancoragem.
b.
O r que aparece na expressão r + 5,5 φ, do item 18.3.2.4.1, corresponde ao raio
interno mínimo de curvatura, definidos na Tabela 7.4.
7.9.3.1 Ancoragem reta sem gancho ou barra transversal soldada
A ancoragem reta, sem gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de
concreto armado pode ser representada pela Figura 7.19.
lb,nec
RSd
hpil
hpil ≥ lb,nec + cnom
Figura 7.19 – Ancoragem reta sem
gancho
O valor de lb,nec é dado pela Equação 7.7 e vale:
φ σ
l b,nec = × s
4 fbd
Por outro lado, RSd da Figura 7.19 pode ser obtido da Equação 7.17 e vale:
R Sd =
al
VSd
d
A tesão σs que aparece na equação de lb pode ser representada por:
al
VSd
σs = d
≤ fyd
A s,ef
Introduzindo o valor de σs na expressão de lb,nec, tem-se:
l b,nec
al
VSd
φ 1
= ×
× d
4 fbd
A s,ef
ou ainda,
l b,nec =
A s,ef
φ
A s,ef
×
1
a
× l VSd
4 fbd d
Equação 7.18
a
V
≥ l × Sd
d
fyd
O item 9.4.2.5 da NBR 6118, estabelece, para lb,nec:
0,3 l b

l b,nec ≥ 10 φ
100 mm

2004
7-34
Equação 7.19
ufpr/tc405
Por outro lado, o item 18.3.2.4.1 da NBR 6118 define que os comprimentos de ancoragem,
em apoios extremos, devem ser iguais ou superiores a r + 5,5 φ ou 60 mm. Como o limite de
60 cm é inferior a 100 mm e o maior diâmetro apresentado na Tabela 7.4 corresponde a 8 φ (raio
4 φ, r + 5,5 φ = 9,5 φ), a verificação da Equação 7.19 atende, por inteiro, ao estabelecido em
18.3.2.4.1 da NBR 6118.
Lembrando que:
φ f yd
lb = ⋅
4 fbd
tem-se:
l b,nec
  φ fyd 

0,3  ×
bd 
 1442f4
3

lb

≥
10 φ


100 mm

Equação 7.20
Valores mínimos para lb,nec podem, então, serem tabelados, como mostrado a seguir.
lb,nec
CA-50
γc = 1,40
(boa aderência)
barras nervuradas
concreto
10 mm 12,5 mm 16 mm 20 mm 22 mm
C20
13 cm
16 cm
21 cm
26 cm
29 cm
C25
11 cm
14 cm
18 cm
23 cm
25 cm
C30
10 cm
13 cm
16 cm
20 cm
22 cm
C35
10 cm
13 cm
16 cm
20 cm
22 cm
C40
10 cm
13 cm
16 cm
20 cm
22 cm
C45
10 cm
13 cm
16 cm
20 cm
22 cm
C50
10 cm
13 cm
16 cm
20 cm
22 cm
γs = 1,15
25 mm
33 cm
28 cm
25 cm
25 cm
25 cm
25 cm
25 cm
32 mm
42 cm
36 cm
32 cm
32 cm
32 cm
32 cm
32 cm
Tabela 7.5 – Valores mínimos de lb,nec para ancoragem de apoio extremo
Somando-se aos valores apresentados na Tabela 7.5, o cobrimento nominal (cnom), têm-se
os valores mínimos para a dimensão do pilar (hpil).
A junção da Equação 7.18 com a Equação 7.20, permite:
  φ fyd 

0,3  ×
4
f
bd
 1424
3

lb
1
a
φ

l b,nec =
×
× l VSd ≥ 
A s,ef 4 fbd d
10 φ
Equação 7.21


100 mm

A s,ef ≥
2004
a l VSd
×
d fyd
7-35
ufpr/tc405
Exemplo 7.7: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 20 cm de
base e 60 cm de altura.
Dados:
– concreto: C25; e
– barra nervurada: CA-50.
Considerar:
– somente solicitações normais;
– viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente
tttttttapoiada nos pilares;
pilares com 20 cm de largura;
– estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4,
tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15);
– armadura transversal (estribos): 6,3 mm;
– cobrimento nominal: 3 cm; e
– dimensão máxima do agregado: 19 mm.
Obs.:
– peso próprio da viga incluído na carga gk.
gk = 20 kN/m
6,0 m
Esc.: 1:0,667
Solução:
a.
O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2.
A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor
positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1].
A determinação de al é feita de modo análogo ao do Exemplo [6.7].
Para a verificação da ancoragem de apoio extremo usar a Equação 7.21.
O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado no
Exemplo 7.5.
Diagramas MSd e VSd
126 kNm
+
Esc. hor.: 1:0,667
Esc. ver.: 1:20
2004
7-36
ufpr/tc405
84 kN
Esc. hor.: 1:0,667
Esc. ver.: 1:40
b.
Dados
fck = 25 MPa
C25
fck
f ck em MPa
250
25
α v2 = 1 −
= 0,9
250
γ c = 1,40 ELU - combinação normal
α v2 = 1 −
f cd =
f ck
25
=
= 17,9 MPa = 1,79 kN/cm 2
γ c 1,4
η1 = 2,25
barra nervurada
η 2 = 1,00
situação de boa aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γ
c


 0,21× 2,25 × 1,0 × 1,0  3
fbd = 
 25 2 = 2,89 MPa = 0,289 kN/cm 2
1
,
4


f ctd =
fctd =
2
0,213 f ck
γc
f ck em MPa
0,213 25 2
= 1,28 MPa = 0,128 kN / cm2
1,4
fyk = 500 MPa
γ s = 1,15
f yk
CA50
ELU - combinação normal
500
= 435 MPa = 43,5 kN/cm 2
γ s 1,15
b w = 20 cm
h = 60 cm
d = 60 - 6 = 54 cm (assumido)
c nom = 3 cm
φ t = 6,3 mm = 0,63 cm
dmax = 19 mm = 1,9 cm
f yd =
c.
=
Verificação de VRd2
VRd2 = 0,27 α v 2 fcd b w d
VRd2 = 0,27 × 0,9 × 1,79 × 20 × 54 = 470 kN
VSd ≤ VRd2
2004
7-37
ufpr/tc405
VSd,max = 84 kN (o correto seria o VSd,face que é menor que VSd,eixo)
V ,max < VRd2
1Sd2
3 {
470 kN
84 kN
d.
OK (verificado para VSd,eixo, fica verificado VSd,face)
Valor de al
Será admitido Modelo I, estribos verticais
Vc = 0,6 fctd bw d
Vc = 0,6 × 0,128× 20× 54 = 83kN
al =
≥ 0,5 d
VSd,max
d 

(o correto seria VSd,face)

2  (VSd,max − Vc ) ≤ d
VSd,max = 84 kN
al =

54 
84
 = 2 268 cm

2  (84 − 83 ) 
≥ 0,5 d = 0,5 × 54 = 27 cm
al 
≤ d = 54 cm ⇐
a l = d = 54 cm
e.
Determinação de lb
φ f yd
lb = ⋅
4 fbd
φ 43,5
lb = ⋅
= 38 φ
4 0,289
f.
Armadura longitudinal
A c = 20 × 60 = 1200 cm2
1,79

× 1200 = 1,73 cm2
0,035 ×
≥
43,5
0,0015 × 1200 = 1,80 cm2 ⇐ ⇐ ⇐
A s,min
A s,max = 0,04 × 20 × 60 = 48,0 cm2
MSd = 126 kNm = 12 600 kNcm
MRd1,lim = 0,272 × 20 × 54 2 × 1,79 = 28 395 kNcm
M Sd
{
12 600 kNcm
< MRd1,lim ⇒ não há necessidad e de armadura de compressão
123
28 395 kNcm
MSd = MRd = MRd1 = 12 600 kNcm
12 600
βc =
= 0,121 < 0,272 OK
20 × 54 2 × 1,79
β z = 0,923
β c = 0,121 ⇒ ⇒ 
123 β = 1,000
tabela  s
AS =
> 1,80 cm 2
12 600
= 5,81cm 2 
OK
2
0,923 × 54 × 1,000 × 43,5
< 38,0 cm
π × 1,25 2
= 6,14 cm 2 (2 camadas)
4
= 5,81cm 2
5 φ12,5 = 5 ×
A S,cal
A S,ef = 6,14 cm 2
2004
7-38
ufpr/tc405
g.
h.
Verificação de ah e av
15 cm
a v = 2,00 cm
20 − (2 × 3,0 + 2 × 0,63 + 3 × 1,25 )
= 4,5 cm
ah =
3 −1
12,5 mm
2 cm ⇐

a v ≥ φ l = 1,25 cm
OK
0,5 d
max = 0,5 × 1,9 = 0,95cm

2 cm

a h ≥ φ l = 1,25 cm
OK
1,2 d
max = 1,2 × 1,9 = 2,3 cm ⇐

ah
Verificação de d
  π × 1,25 2   1,25    π × 1,25 2  
1,25 
 × 1,25 + 2,0 +
×

 + 2 × 
3 × 


4
4
2 
 
 
  2   

y cg =
  π × 1,25 2    π × 1,25 2 

  + 2 × 
3 × 



4
4

  
 
1,25   
1,25 

3 ×
 + 2 × 1,25 + 2,0 +

2   
2 

y cg =
= 1,93 cm
(3 + 2)
d = h − y cg + φ t + c nom
(
h
3 cm
φl
)
Determinação de MRd
 0,68 b w d fcd 
 βx
βs = 


A
f
s
yd


 0,68 × 20 × 54,44 × 1,79 
βs = 
 × βx
6,14 × 43,5


β s = 4,962 β x
β x = 0,202 β s
2 cm
d
av
d = 60 − (1,93 + 0,63 + 3,0 ) = 54,44 cm > 54 cm OK
d = 54,44 cm
i.
6,3 mm
cg
ycg
cnom
φt
β c = 0,126

β x = 0,202 ⇒ ⇒ β z = 0,919
123
tabela β = 1,000 OK
 s
MRd1 = βc b w d2 fcd
MRd = MRd1 = 0,126 × 20 × 54,44 2 × 1,79 = 13 369 kNcm > 12 600 kNcm
14
4244
3
MSd
MRd = 134 kNm
Verificação do valor de βz e MRd (Equação 7.14 e Equação 7.15)
 1 A s f yd 
z

β z = = 1 − 
⋅
⋅

d
 1,7 b w d f cd 
6,14
43,5 
 1
βz = 1− 
×
×
 = 0,919 OK
 1,7 20 × 54,44 1,79 
MRd = A s fyd β z d
MRd = 6,14 × 43,5 × 0,919 × 54,44 = 13 363 kNcm ≈ 13 369 kNcm OK
Determinação dos comprimentos de ancoragem
l b,φ12,5mm = 38 × 12,5 = 475 mm = 48 cm
2004
7-39
ufpr/tc405
j.
Ancoragem de apoio extremo
hpil = 20 cm
c nom = 3 cm
l b,nec ≤ 20 − 3 = 17 cm
l b,nec =
A s,ef ≥
φ
A s,ef
×
1
a
× l VSd
4 fbd d
  φ fyd 

0,3  ×
bd 
 1442f4
3

lb

≥
10 φ


100 mm

a l VSd
×
d fyd
A Tabela 7.5 mostra que somente barras de 10 mm e 12,5 mm podem ser usadas
como ancoragem de apoio extremo (lb,nec ≤ 17 cm). A escolha de barras de 12,5 mm para o
máximo momento fletor positivo se mostrou correta.
d 84
A s,ef ≥ ×
= 1,93 cm 2 (mínimo de 2 barras de 12,5 chegando ao apoio ⇒ 2,45 cm2)
d 43,5
1,25
1
d
17 ≥
×
× × 84 ⇒ A s,ef ≥ 5,34 cm 2 (5 barras de 12,5 mm igual a 6,14 cm2)
A s,ef 4 × 0,289 d
Pelos cálculos referentes à ancoragem de apoio extremo, são necessárias 5 barras
de 12,5 mm além da face do apoio da viga. Isto significa que todas as barras (5) definidas
para o máximo momento fletor positivo deverão ser estendidas até os apoios.
l b,nec
k.
Verificações:
1,25
1
d
=
×
× × 84 = 14,8 cm < 17 cm OK
6,14 4 × 0,289 d
 0,3 φ f yd 0,3 × 1,25 43,5
×
=
×
= 14,1cm

fbd
4
0,289
 4

l b,nec ≥ 
OK
10 φ = 10 × 1,25 = 12,5 cm


100 mm = 10 cm
Diagrama MSd,desl
face interna
do pilar
126 kNm
MSd
MSd,desl
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. ver.: 1:20
al = 54 cm
2004
7-40
ufpr/tc405
l.
Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl
134 kNm
φ 12,5 mm
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. ver.: 1:20
m. Leque de ancoragem
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
φ 12,5 mm
0
lb = 48 cm
2004
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. ver.: 1:20
7-41
0
lb = 48 cm
ufpr/tc405
n.
Diagrama MRd do conjunto de barras
17 cm
face interna
do pilar
face interna
do pilar
17 cm
5
5
4
4
3
3
paralelas
paralelas
2
1
2
φ 12,5 mm
1
0
lb = 48 cm
Esc. hor.: 1:66,7
Esc. ver.: 1:20
0
lb = 48 cm
5 φ 12,5 mm – 614 cm
o.
Detalhamento da armadura longitudinal positiva
armadura superior
(porta-estribo) não
detalhada
cnom = 3 cm
5 N1 - φ 12,5 mm - 614 cm
Esc.: 1:66,7
p.
2004
Verificações
De acordo com o item 18.3.2.4-c da NBR 6118, pelo menos 33% da armadura
positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como todas as barras chegam ao
apoio, o item da Norma está verificado.
De acordo com item 18.3.2.4.1 da NBR 6118, as armaduras positivas provenientes
do meio do vão deverão estender-se, no mínimo, 10 φ além da face do apoio. Como a
armadura N1 está posicionada 17 cm além da face interna do apoio, o item da Norma está
verificado (10 φ corresponde a 12,5 cm).
7-42
ufpr/tc405
q.
Diagramas MSd,desl e MRd
MSd
MSd,desl
MRd
7.9.3.2 Ancoragem reta com gancho ou barra transversal soldada
A ancoragem reta, com gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de
concreto armado pode ser representada pela Figura 7.20.
lb,nec
RSd
hpil
hpil ≥ lb,nec + cnom
Figura 7.20 – Ancoragem reta com
gancho
De acordo com o item 9.4.2.5 da NBR 6118, o uso do gancho ou da barra transversal
soldada, permite uma redução de 30% no comprimento de ancoragem. Se o gancho e a barra
transversal soldada forem usados simultaneamente, a redução passa a ser de 50%. Desta forma
a Equação 7.21 pode ser escrita como:
 0,3 φ f yd
×

fbd
 4
 φ


a
1
l b,nec = α 
×
× l VSd  ≥ 
 A s,ef 4 fbd d
 10 φ
Equação 7.22


100 mm
A s,ef ≥
a l VSd
×
d
f yd
sendo:
2004
α=
0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do
gancho ≥ 3φ;
α=
0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2;
7-43
ufpr/tc405
α=
0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com
cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ;
Os valores mínimos para lb,nec permanecem os mesmos da Equação 7.21, ou seja, os
valores da Tabela 7.5 independem da existência de ganchos ou barras transversais soldadas.
7.10 Armadura transversal na ancoragem
Embora as equações de ancoragem tenham sido estabelecidas em função da simplificação
apresentada na Figura 7.3, onde é admitido que as tensões (forças) tangenciais são paralelas ao
eixo da barra, a verdadeira distribuição de forças (tensões) na interface concreto-aço tem um
aspecto mais próximo do apresentado na Figura 7.21. Nesta interface, as forças (tensões)
diagonais de compressão (Fb,diag) atuantes no concreto são acompanhadas por forças (tensões)
transversais de tração (Fb,traç) para o estabelecimento do equilíbrio do elemento ∆x.
30 cm
Fb,traç
Fs
Fb,diag
Fb,tang = ∆ Fs
Fs +∆ Fs
∆x
forças aplicadas no concreto
forças aplicadas na barra
Figura 7.21 - Região de ancoragem - equilíbrio de forças
As forças (tensões) de tração (Fb,traç) são responsáveis pela criação de uma região
microfissurada no entorno das barras de aço, conforme mostrado na Figura 7.22.
lb
σb,traç
Figura 7.22 - Microfissuras na região de ancoragem
Nas regiões de ancoragem, microfissuradas como mostrado na Figura 7.22, podem ocorrer
rupturas, como mostrado na Figura 7.23. Estas rupturas se configuram:
−
pela separação ("split") do concreto no plano horizontal que contem as barras
(Figura 7.23a);
−
pela separação do concreto no plano horizontal que contem as barras, acompanhada
de fendilhamentos em planos perpendiculares ao de ruptura (Figura 7.23b); e
−
pela separação do concreto, em forma de cunhas ("notch") individuais (Figura 7.23c).
2004
7-44
ufpr/tc405
a)
b)
c)
Figura 7.23 - Tipos de ruptura em regiões de ancoragem
Mostra, ainda, a Figura 7.23, que as rupturas em regiões de ancoragem são devidas,
principalmente:
−
a posição relativas entre as armaduras; e
−
a posição das barras dentro da massa de concreto.
As providências a serem tomadas para evitar rupturas nas regiões de ancoragem consistem
na adoção de:
−
cobrimento adequado (≥ 3φ) das armaduras de tal forma que a região microfissurada
fique interna ao concreto e afastada das bordas (Figura 7.24a);
−
espaçamento adequado (≥ 3φ) entre as armaduras evitando ao máximo a
sobreposição de regiões microfissuras (Figura 7.24b); e
−
armaduras (estribos) que costurem os planos de ruptura ou fendilhamento
(Figura 7.24c).
≥3φ
≥3φ
φ
φ
≥3φ
a)
b)
c)
Figura 7.24 - Providências para evitar rupturas em regiões de
ancoragem
NBR 6118, item 9.4.1.1:
"À exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência
devem ser confinadas por armaduras transversais (ver 9.4.2.6) ou pelo próprio
concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for
maior ou igual a 3φ e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3φ.”
7.10.1 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro menor
que 32 mm
NBR 6118, item 9.4.2.6.1:
"Ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista armadura transversal
capaz de resistir a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a
ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a de maior
diâmetro.”
A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, normalmente é
colocada sob a forma de estribos fechados (Asw,b), como mostrado na Figura 7.25.
2004
7-45
ufpr/tc405
Asw,b
sb
As
Fs = As x fyd
lb
Figura 7.25 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong < 32 mm
Segundo o item 9.4.2.6.1 da NBR 6118, a equivalência de forças resulta:
1
Fsw,b = Fs
4
ou ainda
1
n (A sw,b × f ywd,b ) = (A s × f yd )
4
com:
l
n= b
sb
Desta forma, tem-se:
f yd
A sw,b
A
= s ×
sb
4 l b f yws,b
Equação 7.23
No caso em que as barras longitudinais e transversais forem constituídas de mesmo
material (fyd = fywd,b), tem-se:
A sw,b
A
= s
Equação 7.24
sb
4lb
O espaçamento entre as armaduras transversais (estribos) deve seguir as mesmas
limitações estabelecidas para armadura de cisalhamento (NBR 6118, item 18.3.3.2).
Exemplo 7.8: Determinar a armadura transversal necessária para a ancoragem de barras de
16 mm.
Considerar:
– concreto: C20;
– barra nervurada: CA-50;
– situação de má aderência;
– cobrimento e espaçamento entre barras menor que 3φ;
– altura útil da viga igual a 50 cm;
– combinação normal de carregamento - ELU; e
– σs = fyd (máximo aproveitamento das barras).
Solução:
2004
O valor de lb deverá ser determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela
Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra
nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de
má aderência; para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de
7-46
ufpr/tc405
a.
diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde
a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor
1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. A armadura
transversal necessária para ancoragem deverá ser definida pela Equação 7.24.
Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
f ck = 20 MPa = 2,0 kN/cm 2 C20
f yk = 500 MPa = 50,0 kN/cm 2
η1 = 2,25
η 2 = 0,7
barra nervurada
situação de má aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
γ c = 1,40
ELU - combinação normal
γ s = 1,15
ELU - combinação normal
φ = 16 mm = 1,6 cm
d = 50 cm
f yd
diâmetro da barra
altura útil da viga
π × 1,6 2
πφ
=
= 2,01cm 2 área da seção transversa l de uma barra ancorada
4
4
f yk
500
=
=
= 435 MPa = 43,5 kN/cm 2
γ s 1,15
As =
b.
CA50
2
fbd
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γ
c


 0,21× 2,25 × 0,7 × 1,0  3
fbd = 
 20 2 = 1,74 MPa = 0,174 kN/cm 2
1
,
4


c.
lb
φ f yd
⋅
4 fbd
φ 43,5
lb = ⋅
= 63 φ
4 0,174
l b = 63 φ = 63 × 16 = 1008 mm ≈ 100 cm
lb =
d.
2004
Asw,b/sb
A sw,b
A
= s
sb
4lb
A sw,b
2,01
=
= 0,005 cm 2 /cm = 0,5 cm 2 /m
sb
4 × 100
considerando armadura transversal constituída por barras de 5 mm, tem-se:
πφ 2 π × 0,5 2
A sw,b =
=
= 0,2 cm 2
4
4
0,20
= 0,005 ⇒ s b = 40 cm
sb
como o valor de sb deve ficar limitado a 60% da altura útil da viga ou a 30 cm, tem-se:
0,6 × 50 = 30 cm ⇐

sb ≤ 
30 cm

7-47
ufpr/tc405
e.
Solução
armadura transversal: 1 φ de 5 mm a cada 30 cm.
7.10.2 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro maior ou
igual a 32 mm
NBR 6118, item 9.4.2.6.2:
“Deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras
ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de
fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5φ
(onde φ o diâmetro da barra ancorada).
Quando se tratar de barras compromidas, pelo menos uma das barras constituintes da
armadura transversal deve estar situada a uma distância igual a quatro diâmetros (da
barra ancorada) além da excentricidade da barra.”
A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, pode ser feita,
como mostrado na Figura 7.26.
∑Aswy,b – Armadura de
costura do plano X e
paralelos
∑Aswx,b – Armadura de
costura do plano Y e
paralelos
barra passante
5
1
2
3
4
barra ancorada
6
Plano de
fendilhamento X
(barras 1, 2 ,3 e 4)
Plano de
fendilhamento Y
(barras 5 e 6)
Figura 7.26 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong ≥ 32 mm
Para as barras verticais (Axwy,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta:
(∑ A swy,b × f ywd,b ) = 41 (∑ A s × f yd )
Equação 7.25
onde:
−
Aswy,b corresponde a área da seção transversal de uma barra vertical e sua somatória
abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem lb (na
Figura 7.26 são mostradas apenas quatro destas barras); e
−
As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua
somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento X (barras
1, 2, 3 e 4 da Figura 7.26).
Para as barras verticais (Axwx,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta:
(∑ A swx,b × f ywd,b ) = 41 (∑ A s × f yd )
Equação 7.26
2004
7-48
ufpr/tc405
onde:
−
−
Aswx,b corresponde a área da seção transversal de uma barra horizontal e sua
somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem
lb (na Figura 7.26 são mostradas apenas duas destas barras); e
As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua
somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento Y (barras
5 e 6 da Figura 7.26).
7.11 Ancoragem de barras comprimidas
Não deve haver distinção entre comprimentos de ancoragem de barras tracionadas ou
comprimidas. A única exigência feita pela NBR 6118, item 9.4.2.1 é que as barras comprimidas
devem ser ancoradas sem gancho em suas extremidades.
No caso específico de sapatas e blocos sobre estacas (Figura 7.27), onde nascem pilares, a
aplicação direta da Equação 7.10, para ancoragem de barras dentro destas estruturas, não deve
ser feita. É recomendado que o limite mínimo 0,3 lb seja aumentado para 0,8 lb, de tal forma que:
l b,nec =
φ fyd A s,cal
× ×
4 fbd A s,ef
  φ fyd 

0,8  ×
4 fbd 
4
 1
243

lb

≥
10 φ


100 mm

Equação 7.27
d ≥ lb,nec
h
h0
h
d ≥ lb,nec
Figura 7.27 – Sapatas e blocos sobre estacas
2004
7-49
ufpr/tc405
Exemplo 7.9: Um pilar de seção transversal 25 cm x 50 cm nasce de um bloco de fundação
que tem 70 cm de altura útil e será construído com concreto classe C15.
Sabendo-se que o pilar necessita 18,05 cm2 de área de armadura de aço CA-50
(barras nervuradas) para resistir às solicitações normais de compressão (ELU),
determinar o número de barras de 32 mm necessárias para compor a armadura
longitudinal deste pilar. Ao final dos cálculos, apresentar o diagrama Rsd da barra.
70 cm
Solução:
a.
A solução deste problema consiste em se determinar, para as barras do pilar, um
comprimento de ancoragem igual ou inferior a 70 cm (altura útil do bloco de
fundação). Os cálculos mostrarão que é impossível ancorar barras de 32 mm
neste bloco.
O valor de lb,nec deverá ser determinado pela Equação 7.27, com fbd definido pela
Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra
nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de
boa aderência (Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde
a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que
corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser
usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento ELU.
O diagramas Rsd será estabelecido em função da tensão atuante nas barras
(Equação 7.11).
Deve ser lembrado que o concreto C15, aqui usado, é permitido pela NBR 6118
apenas em obras de fundações.
Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
fck = 15 MPa = 1,5 kN/cm 2 C15
f yk = 500 MPa = 50,0 kN/cm 2
η1 = 2,25
η 2 = 1,0
CA50
barra nervurada
situação de boa aderência
η 3 = 1,00
φ < 40 mm
γ c = 1,40
ELU - combinação normal
γ s = 1,15
ELU - combinação normal
d = 45 cm
altura útil do bloco de fundação
φ = 32 mm = 3,2 cm
diâmetro da barra
πφ 2 π × 3,2 2
=
= 8,04 cm 2 área da seção transversal da barra de 32 mm
4
4
A c = 25 × 50 = 1250 cm 2 área da seção transversal do pilar
As =
2004
7-50
ufpr/tc405
f yd =
f yk
γs
=
500
= 435 MPa = 43,5 kN/cm 2
1,15
A s,cal = 18,05 cm 2
α = 1,0
área de armadura cálculada
armadura comprimida não pode terminar em gancho
l b,nec ≤ 70 cm
b.
resistência de cálulo do aço
compriment o de ancoragem limitado à altura útil do bloco
fbd
 0,21η1 η 2 η 3  3 2
 f ck
fbd = 
f ck em MPa

γc


 0,21× 2,25 × 1,0 × 1,0  3 2
fbd = 
 15 = 2,05 MPa = 0,205 kN/cm 2
1,4


c.
lb
φ f yd
⋅
4 fbd
φ 43,5
lb = ⋅
= 53 φ
4 0,205
l b = 53 φ = 53 × 32 = 1696 mm ≈ 170 cm
lb =
d.
e.
Valor mínimo de comprimento de ancoragem (Equação 7.27)
0,8 l b = 0,8 × 170 = 136 cm > 70 cm ⇐

l b,nec ≥ 10 φ = 10 × 3,2 = 32 cm
10 cm

Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de
fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 32 mm neste bloco.
Verificação da possibilidade de ancorar barras de 25 mm
l b = 53 φ = 53 × 25 = 1325 mm ≈ 133 cm
l b,nec
f.
Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de
fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 25 mm neste bloco.
Verificação da possibilidade de ancorar barras de 20 mm
l b = 53 φ = 53 × 20 = 1060 mm ≈ 106 cm
l b,nec
g.
h.
2004
0,8 l b = 0,8 × 133 = 106 cm > 70 cm OK

≥ 10 φ = 10 × 2,5 = 25 cm
10 cm

0,8 l b = 0,8 × 106 = 85 cm > 70 cm OK

≥ 10 φ = 10 × 2,0 = 20 cm
10 cm

Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de
fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 20 mm neste bloco.
Verificação da possibilidade de ancorar barras de 16 mm
l b = 53 φ = 53 × 16 = 848 mm ≈ 85 cm
0,8 l b = 0,8 × 85 = 68 cm < 70 cm OK

l b,nec ≥ 10 φ = 10 × 1,6 = 16 cm
10 cm

Como o valor mínimo para lb,nec resultou menor que 70 cm (altura útil do bloco de
fundação), torna-se possível a ancoragem de barras de 16 mm neste bloco.
Determinação do número de barras de 16 mm
φ = 16 mm = 1,6 cm
7-51
ufpr/tc405
As =
A s,ef
πφ 2 π × 1,6 2
=
= 2,01cm 2
4
4
= n A s = n × 2,01 cm 2 n = número par de barras de 16 mm
A s,cal
18,05
≤ 70 cm
A s,ef
n × 2,01
n ≥ 10,90 ⇒ n = 12 barras
Com o valor de n definido, chega-se:
A s,ef = 12 × 2,01 = 24,12 cm 2
l b,nec = l b ×
= 85 ×
24,12 − 18,05
= 34%
18,05
A s,ef
24,12
ρ=
=
= 1,93%
Ac
1250
∆s =
l b,nec
acréscimo de armadura do pilar
taxa de armadura do pilar
Os valores de lb,nec e σs, para esta solução, resultam:
1,6 43,5

0,8 × 4 × 0,205 = 68 cm

1,6 43,5 18,05

=
×
×
= 56 cm ≥ 
10 φ = 10 × 1,6 = 10 cm
4 0,205 24,12



100 mm = 10 cm
l b,nec = 68 cm ≈ 70 cm (altura útil da sapata )
σs =
i.
A s,cal
A s,ef
× f yd =
18,05
× 43,5 = 32,6 kN / cm 2
24,12
Diagrama Rsd
R sd = A s × σ s = 2,01× 32,6 = 65,5 kN (ver Figura 7.11)
65,5 kN
56 cm
70 cm
7.12 Barras lisas e barras com alternância de solicitação
Segundo o item 9.4.2.1 da NBR 6118, é obrigatório o uso de ganchos nas ancoragens de
barras lisas tracionadas. Por outro lado, as barras que tenham alternância de solicitação, tração e
compressão, não devem ser ancoradas com ganchos em suas extremidades.
7.13 Ancoragem de estribos
Segundo o item 9.4.6 da NBR 6118, a ancoragem dos estribos deve necessariamente ser
garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas. Os ganchos dos estribos podem
ser (Figura 7.28);
2004
7-52
ufpr/tc405
a.
semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a
5 φt, porém não inferior a 5 cm; e
b.
em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 φt, porém não
inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos)
b
a
a
φt
φt
φt
5 φ t

a≥
5 cm

10 φ t

b≥
7 cm

Figura 7.28 – Ancoragem de estribos
O diâmetro interno da curvatura dos estribos (Figura 7.28) deve ser, no mínimo, igual ao
indicado na Tabela 7.6.
Bitola (mm)
φt ≤ 10
10 < φt <20
φt ≥20
CA-25
3φt
4φt
5φt
Tipo de Aço
CA-50
3φt
5φt
8φt
CA-60
3φt
-
Tabela 7.6 – Diâmetro dos pinos de dobramento
para estribos
7.14 Simbologia específica
bw
c
d
fyk
h
largura da viga
comprimento
altura útil
distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da
armadura tracionada
resistência de aderência de cálculo
resistência à compressão do concreto de cálculo
resistência à compressão do concreto característica
resistência à compressão do concreto característica aos j dias
resistência à tração do concreto de cálculo
resistência à tração do concreto característica
resistência à tração do concreto média
resistência ao escoamento do aço da armadura transversal que atua na região de
ancoragem de barras
resistência ao escoamento do aço característica
altura da viga
lb
comprimento de ancoragem básico
fbd
fcd
fck
fckj
fctd
fctk
fct,m
fyd
2004
7-53
ufpr/tc405
lb,nec
n
sb
u
x
y
z
As
As,cal
As,ef
Asw,b
ELU
Fb
Fs
Fsw,b
MRd
MSd
N1
Rcd
Rsd
α
2004
comprimento de ancoragem necessário
número de barras
espaçamento da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras
perímetro
abscissa
altura do retângulo de tensões σc
braço de alavanca
área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada
área da seção transversal da armadura longitudinal calculada
área da seção transversal da armadura longitudinal efetiva
área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de
ancoragem de barras
estado limite último
força normal de tração devida à ancoragem
força normal atuante na barra
força normal atuante na armadura transversal que atua na região de ancoragem de
barras
momento fletor resistente de cálculo
momento fletor solicitante de cálculo
caracterização de barra
força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido
força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada
βz
coeficiente de minoração para barras ancoradas com gancho na extremidade ou
com armadura transversal soldada
valor adimensional que define o braço de alavanca
εc
deformação específica do concreto
εs
εyd
deformação específica do aço à tração
deformação específica de escoamento do aço
φ
φt
diâmetro das barras da armadura
diâmetro das barras da armadura transversal
γc
γs
coeficiente de ponderação da resistência do concreto
coeficiente de ponderação da resistência do aço
η
coeficiente de conformação superficial
η1
coeficiente para cálculo da tensão de aderência da armadura
coeficiente correspondente à conformação superficial das barras na determinação
de fbd
η2
coeficiente que representa as condições de boa e má aderência na determinação
de fbd
η3
coeficiente que representa a bitola das barras na determinação de fbd
γs
ρ
coeficiente de ponderação da resistência do aço
taxa de armadura longitudinal
σb
tensão normal de tração devida à ancoragem
σc
σs
tensão à compressão no concreto
tensão à tração na armadura
τb,x
tensão tangencial de aderência
7-54
ufpr/tc405
7.15 Exercícios
Ex. 7.1: Complete o quadro abaixo considerando ELU. Forneça os valores de lb na forma
nφ, sendo n um número inteiro e φ o diâmetro da barra a ser ancorada.
Aço
CA-25
CA-25
CA-50
CA-50
CA-60
CA-60
Concreto
C15
C20
C25
C30
C35
C40
fbd (MPa)
lb(boa ader.) lb(má ader.)
Ex. 7.2: Determinar os comprimentos das barras necessárias para resistir o momento fletor
solicitante de cálculo (negativo) do apoio B da viga abaixo representada. Detalhar a armadura
usando barras de 16 mm.
Dados:
−
concreto: C20; e
−
barras nervuradas: CA-50.
Considerar:
−
somente solicitações normais;
−
viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares;
−
estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4
e γs = 1,15);
−
d = 60 cm;
−
bw = 18 cm; e
−
al = d.
16 mm
B
110 kNm
diagrama de
momentos MSd
-
1,8 m
2,1 m
Ex. 7.3: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada.
Dados:
−
concreto: C20; e
−
barra nervurada: CA-50.
2004
7-55
ufpr/tc405
Considerar:
−
somente solicitações normais;
−
viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares;
−
estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4
e γs = 1,15);
−
bw = 20 cm;
−
armadura transversal (estribos): 6,3 mm;
−
cobrimento nominal: 3 cm; e
−
dimensão máxima do agregado: 19 mm.
Obs.:
−
peso próprio da viga desprezível.
Gk = 60 kN
50 cm
290 cm
290 cm
90 cm
20 cm
20 cm
Ex. 7.4: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada.
Dados:
−
concreto: C25; e
−
barra nervurada: CA-50.
Considerar:
−
somente solicitações normais;
−
viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares;
−
estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4
e γs = 1,15);
−
bw = 20 cm;
−
armadura transversal (estribos): 6,3 mm;
−
cobrimento nominal: 3 cm; e
−
dimensão máxima do agregado: 19 mm.
Obs.:
−
peso próprio da viga desprezível.
G1k = 60 kN
G2k = 30 kN
50 cm
A
90 cm
B
160 cm
170 cm
160 cm
20 cm
2004
90 cm
20 cm
7-56
ufpr/tc405
Ex. 7.5: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada.
Dados:
−
concreto: C25; e
−
barra nervurada: CA-50.
Considerar:
−
somente solicitações normais;
−
viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares;
−
pilares com 30 cm de largura;
−
estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4
e γs = 1,15);
−
bw = 20 cm;
−
h = 65 cm;
−
armadura transversal (estribos): 6,3 mm;
−
cobrimento nominal: 3 cm; e
−
dimensão máxima do agregado: 19 mm.
Obs.:
−
peso próprio da viga incluído na carga gk.
Gk = 90 kN
gk = 30 kN/m
4m
2m
Ex. 7.6: Determinar a altura mínima h do bloco de fundação abaixo indicado. A armadura de
compressão necessária para a segurança do pilar (armadura calculada) resultou em 6,0 cm2,
porém serão usadas 6 barras de 16 mm.
Considerar:
−
concreto: C15;
−
barra nervurada: CA-50; e
−
combinação normal de carregamento – ELU.
h
10 cm
2004
7-57
ufpr/tc405
Ex. 7.7: Um pilar de seção transversal 25 cm x 45 cm, suportado por um bloco de fundação,
necessita de 17,42 cm2 de área de armadura longitudinal para suportar a força normal solicitante
de cálculo (compressão) que nele poderá atuar. Determinar o número total de barras de 25 mm
que o pilar deverá possuir, sabendo-se que o bloco de fundação terá 75 cm de altura útil.
Considerar:
−
concreto: C15;
−
barra nervurada: CA-50; e
−
combinação normal de carregamento – ELU.
NSd
85 cm
10 cm
Ex. 7.8: O pilar abaixo representado, cujo cálculo da armadura longitudinal de compressão
resultou em uma área de aço (As,cal) igual a 14,40 cm2, deverá ser suportado por uma sapata cuja
altura não poderá ultrapassar 65 cm. Observadas as regras de ancoragem reta estabelecidas pela
NBR 6118, definir a menor altura possível para a sapata de tal forma que a seção transversal do
pilar apresente a menor quantidade de barras (número par).
Considerar:
−
concreto: C15;
−
barra nervurada: CA-50;
−
altura útil da sapata: d = h – 5 cm; e
−
combinação normal de carregamento – ELU.
NSd
pilar
sapata
d=?
5 cm
Ex. 7.9: Determinar a menor largura possível para o pilar abaixo representado, de tal forma
que as armaduras negativas da viga possam nele se ancorar. A armadura da viga, necessária
para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo, atuante na região próxima do pilar, resultou
em 2,12 cm2, tendo sido optado pelo uso de 3 barras de 16 mm.
2004
7-58
ufpr/tc405
Considerar:
−
concreto: C20;
−
barra nervurada: CA-50;
−
cobrimento da armadura: 3 cm; e
−
combinação normal de carregamento – ELU.
início da ancoragem
3 φ 16
50 cm
MSd
?
2004
7-59
ufpr/tc405