VESTIBULAR UFPE – UFRPE / 2000
2ª ETAPA
NOME DO ALUNO: _______________________________________________________
ESCOLA: _______________________________________________________________
SÉRIE: ____________________
TURMA: ____________________
MATEMÁTICA - 3
01. Uma barra de chocolate na forma de um cilindro circular reto com raio da base medindo 2 e altura
10
12
14 é cortado transversalmente por um plano de forma que os pontos do corte, situados à menor e
à maior distância da base, distam 10 e 12, respectivamente, como ilustrado na figura abaixo.
Dentre os sólidos em que fica dividida a barra de chocolate, qual o inteiro mais próximo do volume
do menor?
02. A espiral da figura abaixo é obtida unindo semicircunferências cujos centros são dados abaixo:
VHPLFLUFXQIHUrQF
LD
FHQWUR
3
3
P0P1
3
P1P2
P2P3
Pn–1Pn
3
6H R GLkPHWUR
33
Q
DVVLQDOH R LQWHLUR PDLV SUy[LPR GR FRPSULPHQWR GD
HVSLUDO
P0
P2
P3
P1
03. O controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas testa 3 (escolhidas aleatoriamente) de cada
60 lâmpadas produzidas; se mais de uma lâmpada dentre as 3 selecionadas é defeituosa então as
60 lâmpadas são excluídas da produção. Supondo que 10% de cada 60 lâmpadas produzidas são
defeituosas, determine a probabilidade p de mais de uma das lâmpadas testadas ser defeituosa e
indique o inteiro mais próximo de 1000p.
04. Para determinar a altura AB do balão na ilustração abaixo, dois observadores situados em C e D
medem,
num
o
mesmo
o
instante,
os
ângulos
o
ACB = 30 , BCD =75 , CDB = 60 . Sabendo que A, C e D estão numa planície e que CD = 30,
indique o inteiro mais próximo de AB 6 .
O
60
D
B
A
O
O
30
75
C
05. O sólido convexo da figura abaixo é obtido de um cubo, construindo octógonos em suas faces e
unindo os vértices dos octógonos de forma a se obter um sólido com seis faces octogonais, oito
faces hexagonais e doze faces retangulares. Indique a soma dos dígitos do número de diagonais
do sólido.
1RWD
XPD GLDJRQDO GH XP SROLHGUR p XP VHJPHQWR XQLQGR GRLV YpUWLFHV TXH
QmR p DUHVWD QHP GLDJRQDO GD IDFH GR VyOLGR
06. Dois pontos na superfície de uma esfera de raio 200 estão a uma distância entre si de 80. Uma
formiga
preguiçosa
vai
caminhar
de
um
ponto
a
outro,
mantendo-se sobre a superfície da esfera, escolhendo uma de duas trajetórias: ela pode caminhar
sobre a circunferência de raio máximo, contendo os dois pontos ou pode seguir pela circunferência
de raio 120 que passa pelos dois pontos. Indique o inteiro mais próximo do comprimento da menor
trajetória.
Para esta questão assuma que sen(0,20) = 1/5 e sen(0,34) = 1/3, onde os ângulos são medidos
em radianos.
07. Considere as matrizes:
 0 1
 0 − 1
 1 0
, B = 
, I = 

A = 
 − 1 0
1 1 
 0 1
Analise as afirmações:
0-0) AB = BA
4
1-1) A = I
6
2-2) B = I
12
3-3) (AB)
=I
2
2
2
4-4) (A + B) = A + 2AB + B
08. Analise as afirmações a seguir na ordem em que são apresentadas:
8
4
8
4
4
2
4
2
0-0) x + x + 1 = (x + x + 1) (x – x + 1)
1-1) 100.010.001 é divisível por 10.101
4
2
2-2) x + x + 1 é produto de dois polinômios quadráticos com coeficientes inteiros.
3-3) x + x + 1 não tem raízes reais.
4
2
4
2
4-4) x + x + 1 e x – x + 1 não têm raízes em comum.
09. Júnior, Daniel, Samuel e Renato desejam atravessar um rio, usando um barco com capacidade
para transportar no máximo duas pessoas em cada viagem. Remando sozinhos Júnior, Daniel,
Samuel e Renato precisam, respectivamente, de 90, 80, 70, 65 minutos para atravessar o rio.
Quando duas pessoas estão no barco, o tempo necessário para atravessar o rio, é o maior dos
tempos que cada uma das pessoas precisaria para atravessar o rio remando sozinha (por
exemplo, Júnior e Samuel juntos no barco precisam de 90 minutos para atravessar o rio). Qual o
tempo mínimo necessário para que todas as pessoas sejam transportadas para a outra margem
do rio? (Assinale, apenas, o número de minutos que excede 5 horas).
10. Um cubo ABCDEFGH de aresta 6 é interceptado por um plano que passa pelos pontos médios
das arestas AB, BC, CG, conforme a ilustração abaixo. Qual o inteiro mais próximo do volume da
pirâmide que tem por base a interseção do cubo com o plano e por vértice, o ponto F?
H
G
F
E
D
C
A
11. As
circunferências
C1,
B
C2,
C3,
C4
são
tangentes
ao
eixo
das
abscissas.
C1 e C2 têm centros em (4,4) e (–4, 4) respectivamente; C3 é tangente externa a C1 e C2; C4 é
tangente externa a C1 e C3. Analise as afirmações:
0-0) O centro de C3 encontra-se no eixo das ordenadas
1-1) C3 tem raio 1
2-2) C4 tem centro no ponto (4/3, 4/9)
3-3) O raio de C4 é 4/9
4-4) A tangente de C4 pelo ponto de interseção desta com C3 passa pelo centro de C1
12. Um engenheiro pretende iluminar uma sala de concertos, utilizando pelo menos 30 lâmpadas
totalizando não menos que 1.500W de potência. Ele dispõe de lâmpadas de 40W e 55W que
custam respectivamente R$ 20,00 e R$ 27,00 a unidade. Quantas lâmpadas de 55W devem ser
utilizadas de forma a se minimizarem os custos?
13. O retângulo ao lado foi dividido em
nove quadrados. Se o quadrado
menor tem área 1, qual a soma dos
dígitos da área do retângulo?
V
14. Uma pirâmide tem por base um quadrado
ABCD com lado 2 e faces laterais que são
triângulos isósceles congruentes. Saindo do
vértice V, pode-se percorrer VEFGHIBA onde
E, F, G, H, I estão nas arestas VA, VB, VC, VD
e VA respectivamente e VE = EF = FG = GH =
HI = IB = 2 (veja ilustração). Indique o inteiro
mais próximo do volume da pirâmide.
'DGRV
E
WJπ VHFπ F
6XJHVWmR UHIDoD R SHUFXUVR
9()*+,%$ QR WULkQJXOR 9$% SDUD
GHWHUPLQDU R kQJXOR GR YpUWLFH
AVB G
H
D
C
I
A
B
15. Júnior gastou R$ 100,00 para comprar lápis, cadernos e canetas que custam R$ 0,50, R$ 10,00 e
R$ 3,00 a unidade, respectivamente. Se foi comprado pelo menos um objeto de cada tipo e um
total de 100 objetos, quantos foram os lápis comprados?
16. Analise as afirmações seguintes acerca da expansão binomial de
[ 0-0) Existem exatamente dois termos com coeficientes que não são divisíveis por 13.
39
1-1) A soma dos coeficientes é 2
7 8
2-2) O maior coeficiente é 3 .5 .11.13
13
3-3) O menor coeficiente é 3
4-4)
A soma dos coeficientes
38
12
é2 –2
da
potências
de
x
com
expoentes
ímpares