UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA-UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS I
DISCIPLINA: REFERENCIAIS TEÓRICOS METODOLÓGICOS
DO ENSINO DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
CADERNO DE TÉCNICAS OPERATÓRIAS
CONVENCIONAIS DA SUBTRAÇÃO
MATERIAL ELABORADO E / OU SELECIONADO PELA
DOCENTE Isaura Nascimento Moreira
SALVADOR
2011
ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO1
PROCESSO DE RECURSO À ORDEM SUPERIOR
A concretização da idéia de subtrair por meio de uma situação com dinheiro é a que tem conduzido aos
melhores resultados. Pode-se colocar a seguinte situação: você tem 5 notas de R$10,00 e 4 notas de
R$ 1,00 e precisa pagar R$ 38,00 a uma pessoa que não tem troco nenhum. Como fazer?
C
D
U
10
1
1
10
1
1
10
1
1
10
1
1
1
10
1
1
1
1
1
Os alunos logo percebem que devem trocar uma nota de R$10,00 por 10 notas de R$1,00, ficando com
14 notas de R$ 1,00. Assim, entregam 8 notas de R$1,00 e ainda ficam com 6 notas de R$1,00. Como
1 nota de R$10,00 já foi trocada, o aluno tem ainda 4 notas; entrega 3 e fica com 1. O resultado é,
então, R$ 16,00. Fazendo a representação no algoritmo, temos:
D
U
14
4
10
1=
5
1
4
-
3
8
1
6
Adaptado de:Didática de matemática de Marília Toledo e Mauro Toledo. Editora FTD.
999
ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO
TÉCNICA DA COMPENSAÇÃO
Há dois anos, os irmãos tinham 23 e 7 anos. A
diferença ainda era :
23 - 7 = 16
+2
+2
25 – 9 = 16
No caso da subtração 54 – 38, podemos visualizar melhor o processo de compensação
no ábaco, a partir da idéia de comparar:
C
D
U
10
10
10
1
1
1
1
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Pela regra da compensação, como R$ 4 é menor que R$ 8, devemos aumentar a primeira parcela,
somando a ela dez notas de R$ 1. No entanto, essa propriedade exige.
Que façamos o mesmo com a segunda parcela, e assim ficaremos com.
14 – 18, o que não resolve o caso.
Então, como será possível aplicar a propriedade sem modificar a quantidade de notas de R$ 1 da
segunda parcela?
Para contornar essa situação, trocamos as dez notas de R$ 1 acrescentadas.
à segunda por uma nota de r$ 10.00.
Essa nota será somada às três notas de R$ 10,00 Que já estão lá.
C
D
U
10
1
10
10
1
1
10
10
1
1
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
10
10
N
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Portanto, das notas de R$ 10,00 e catorze notas de R$ 1,00, é possível tirar quatro notas de R$ 10,00 e
oito notas de R$ 1,00 sem dificuldade. Acrescentamos 10 unidades ao minuendo e ao subtraendo, o
que mantém a mesma diferença. No entanto, transformamos, as 10 unidades acrescentadas ao
subtraendo em 1 dezena, aumentando assim a ordem das dezenas do subtraendo. A representação no
algoritmo fica assim:
1º Passo
D
U
+ +10 U
14
5
4
10U=1D
18
3
2ºPasso
D
+ 10 U
8
U
+ 10 U
10 U= 1 D
5
14
4
+1
4
-
3
1
8
6
É importante destacar, no entanto, que, muitas vezes podem aparecer soluções interessantes entre
alunos quando lhes é dado a liberdade de buscar seus próprios caminhos. Por exemplo, ao fazer a
subtração 100 – 46, um aluno decidiu tirar 1 de 100 e trabalhar com 99. A seguir,acrescentou 1, para
compensar.Assim:
99
-46
53
53 + 1 = 54
Se o professor trabalhar a invariância da diferença é provável que os alunos percebam que se tirar 1
de cada termo, a diferença não se altera.Logo, em vez de 100 – 46 = 54 , eles podem fazer:
99- 45 = 54.
É preciso que o professor dê aos seus alunos oportunidade de criarem suas próprias estratégias de
cálculos, para que eles compreendam que existem várias formas de se subtrair.
A TÉCNICA OPERATÓRIA CONVENCIONAL DA SUBTRAÇÃO USANDO O
MATERIAL DOURADO
Descrição do Material Dourado (Base 10)
O Material Dourado (Base 10) é construído em madeira e é formado por cubinhos, barras, placas e
por um cubo grande. Veja abaixo o desenho do material.
Primeiramente, o professor entregará a cada grupo de crianças algumas placas, barras e cubinhos e
deixará que elas façam construções livres com esse material. Deverá em seguida sugerir que elas descubram
quantas peças de um tipo são necessários para formar uma peça de tamanho imediatamente maior. Dessa
forma, as crianças deverão descobrir que dez cubinhos formam uma barra e dez barras formam uma placa.
Diante dessa descoberta, o professor pegará um cubinho e uma barra e perguntará em qual deles há
mais madeira (ou qual deles é maior). As crianças dirão que a barra é maior que o cubinho e o professor
perguntará: “ Quantas vezes a barra é maior que o cubinho?”. Nem sempre a resposta correta surge
rapidamente.
É bastante comum que as crianças respondam que a barra é nove vezes maior que o cubinho, porque
não conseguem considerar o cubinho como a unidade tomada como padrão para medir a barra. Para levar as
crianças à compreensão de que a barra é dez vezes maior que o cubinho, costuma ser suficiente que o
professor pergunte: “Quantas vezes é preciso pegar um cubinho para formar uma barra?” A essa pergunta, na
maioria das vezes, as crianças respondem corretamente.Então o professor poderá perguntar: “ Se a barra é
dez vezes maior que o cubinho, o que é da barra?”. Diante da constatação das relações que unem essas duas
peças o professor poderá sintetizar essa descoberta fazendo um desenho como o que se segue ao lado:
Percebendo sempre da mesma maneira o professor fará com que as crianças estabeleçam as relações
entre a barra e a placa entre a placa e o cubo grande, fazendo, também , a representação gráfica das relações
estabelecidas.
Em seguida, o professor sugerirá que as crianças descubram quantos cubinhos, formam uma placa e
novamente, comparando essas duas peças, estabelecerá as relações: o cubinho é cem vezes menor que a
placa e a placa é cem vezes maior que o cubinho.Vejamos no desenho ao lado o que foi explicado:
Quando o professor julgar conveniente poderá fazer idêntico trabalho para relacionar o cubinho e o
cubo grande e fará representação da relação “ser 1.000 vezes maior que “ ser 1.000 vezes menor que”.
O professor deverá estar atento para a possibilidade de erroneamente ao deparar com o Material
Dourado (base 10), as crianças afirmarem que o cubinho é a unidade, a barra é a dezena, a placa é a centena e
o cubo grande o milhar. Embora haja essa tendência, é necessário mostrar que o cubinho não é a unidade;
que ele apenas foi escolhido como unidade. Explicando de outra maneira: se o cubinho for à unidade
escolhida, a barra será a dezena; porém, nada impede que a barra seja tomada como unidade, e, nesse caso, a
placa- que é dez vezes maior que a barra- estará representando a dezena. Essa concepção se torna
particularmente importante se considerarmos que esse mesmo Material Dourado (base 10) poderá ser
utilizado quando da introdução do código de vírgula para a representação dos números naturais racionais, o
que será explicado neste livro.
Na página 29 a novidade é o aparecimento do numero 1000 como sucessor do 999. No exercício 2 da
página 31 e nos exercícios da página 32, fazendo o desagrupamento de conjuntos de peças do Material
Dourado. Esse trabalho tem por finalidade dar o apoio concreto para que a criança perceba quantas unidades,
dezenas, centenas e milhares têm um número.
Tomando-se, por exemplo, o seguinte conjunto de peças:
o professor perguntará:
“Se eu quiser trocar todas essas peças por cubinhos, quantos cubinhos terei de pegar?”
( 1315) “ Se eu quiser trocar todas essas peças por placas, quantas todas essas peças por barrinhas,
quantas terei de pegar? “ (131); “Se eu quiser trocar todas essas peças por placas, quantas terei de pegar?”
(13). Em seguida, o professor mostrará que em 1315 há:
1315 cubinhos ou 1315 unidades;
131 barras ou 131 dezenas;
13 placas ou 13 centenas
1 cubo grande ou 1 unidade de milhar.
Com esse preparo, é possível que as crianças resolvam com facilidade os exercícios da página 35,
pois, nesses exercícios o Material Dourado foi substituído por notas do nosso sistema monetário.
Nas páginas 36 e 37 fazemos a relação entre as peças do Material dourado, rever as relações entre as
peças do Material Dourado e os termos década (período de10 anos), século ( período de 100 anos) e milênio
( período de 1000 anos).
Na página 43 as crianças terão a oportunidade de manuseando o Material dourado, rever as relações
entre as peças do material e trabalhar com a idéia de desagrupar unidades. Com esse recurso, poderemos dar
o apoio concreto necessário para a compreensão de que em 4.863 unidades há 48 centenas e 483 dezenas.
Vejam as respostas dos exercícios dessa página:
a) Existem 1 barras no conjunto e o número 157 tem 15 dezenas
b) Existem 123 barras no conjunto e o número 1234 tem 123 dezenas
c) Existem 13 placas no conjunto e o número 1320 tem 13 centenas
d) Existem 12 placas no conjunto e o numero tem 12 centenas
Idêntico procedimento utilizando o sistema monetário brasileiro permitira que as crianças descubram
quantas notas de 100 e de 10 poderão ser obtidas com as quantias apresentadas nos exercícios 2 e 3.
ATIVIDADE N 45 “VAMOS USAR O ÁBACO DE PAPEL?”
OBJETIVO: Aplicar o algoritmo da adição quando a soma dos algarismos, de cada ordem, não ultrapassa
nove.
MATERIAL NECESSÁRIO: Ábaco de papel; fichas utilizadas na Atividade n 21.
DESENVOLVIMENTO: Inicie a atividade solicitando aos alunos que representem no ábaco de papel com as
fichas, o número 35 e depois o número 13.
Terminado o trabalho no ábaco, represente no quadro negro as escritas numéricas que correspondem
às ações executadas, sempre solicitando a participação dos alunos.
Em seguida, apresente uma série de adições para os alunos efetuarem do mesmo modo isto é
trabalhando com as fichas no ábaco e depois, com as escritas:
12+17;
74+25;
134+235;
347+532;
370+209
etc.
PARA O PROFESSOR
TEMA: Adição
META: Aplicar o algoritmo da adição, compreendendo seu funcionamento.
COMENTÁRIOS: O algoritmo da adição, já introduzido na 1 serie é retomado nesta atividade.
Uma outra forma d explicar seu funcionamento é a seguinte:
É interessante utilizar as fichas ate certificar-se de que todos os alunos compreenderam o
funcionamento desse algoritmo.Caso exista material dourado na escola, ela poderá substituir as fichas
indicadas no material.
ATIVIDADE N 46: “ REAGRUPANDO E TROCANDO UNIDADES”
OBJETIVO: Aplicar o algoritmo da adição quando a soma dos algarismos das unidades ultrapassa nove.
MATERIAL NECESSÁRIO: O mesmo utilizado na atividade anterior.
DESENVOLVIMENTO: Oriente esta atividade da mesma forma que a atividade anterior, solicitando aos
alunos que representem no ábaco o número 16 e depois o número 38.
Em seguida peça que eles
juntem as fichas de mesmo tamanho e representem, no caderno, o que foi feito no ábaco.
Enquanto os alunos trabalham, percorra a classe observando se todos perceberam que existem mais
de dez fichas pequenas e que, portanto, deverá ser feita uma troca de dez fichas pequenas por uma ficha
média.
No ábaco:
No caderno:
Em seguida, apresente várias adições, do mesmo tipo para os alunos calcularem de forma
semelhante:
34+29;
68+27;
123+38;
174+119
etc.
PARA O PROFESSOR
TEMA: Adição
META: Aplicar o algoritmo da adição, compreendendo o seu funcionamento.
“““ COMENTÁRIOS: Nesta atividade, o algoritmo da adição é apresentado com a dificuldade do “transporte
de unidade para a dezena” –” vai um”. Nesta fase, é importante que os alunos afetem diariamente, algumas
adições, de modo a garantir a compreensão, sistematização e automatização do seu algoritmo.
Durante a atividade, poderão surgir outras formas de representação, para obter os resultados. Tais
procedimentos deverão ser aceitos e valorizados.
Entretanto, é aconselhável mostrar que o algoritmo torna mais simples o calculo de adições com
várias parcelas.
ATIVIDADE N 47: “REAGRUPANDO E TROCANDO DEZENAS”
OBJETIVO: Aplicar o algoritmo da adição quando a soma dos algarismos das dezenas ultrapassa nove.
MATERIAL NECESSÁRIO: O mesmo utilizado na atividade anterior.
DESENVOLVIMENTO: A mesma atividade será realizada, agora, com números cuja soma dos algarismos
das dezenas ultrapassa nove. Por exemplo: 83 e 42.
Após os alunos terem representado, em seus cadernos, as escritas numéricas correspondentes às
ações executadas, faça a correção no quadro negro sempre solicitando a participação da classe. Enquanto os
alunos trabalham, percorra a classe, observando se todos perceberam que há mais de 10 fichas medias e que,
portanto, devera haver uma troca de dez fichas médias por uma ficha grande.
Terminando o trabalho, registre no quadro negro tudo o que foi feito lendo em voz alta:
Centena dezena unidade
8
3
centena dezena unidade
8
centena dezena unidade
3
4
1
2+
8
3
4
1
12
2 +
5
Em seguida, apresente várias adições do mesmo tipo para os alunos calcularem de forma semelhante:
91+28;
9+51; 243-395; 164+285; 23+175; 2+175; 22+497; 23+281 etc.
PARA O PROFESSOR
TEMA: Adição
META: Aplicar do algoritmo da adição, compreendendo o seu funcionamento.
COMENTÁRIOS: Outras representações
Se neste momento for possível, efetue, no quadro negro, uma adição em que tanto a soma dos algarismos das
unidades quanto a soma dos algarismos das dezenas ultrapasse 9.
Por exemplo: 93+108.
ATIVIDADE N º 3 DESCOBRINDO NÚMEROS OCULTOS 1ª
OBJETIVO: Descobrir elementos desconhecidos numa adição quer nas parcelas ou na soma.
MATERIAL NECESSÁRIO: Uma folha tipo III para cada aluno.
DESENVOLVIMENTO:
•
Entregue a cada aluno uma folha tipo III
•
Explique que nas adições contidas nessa folha alguns números foram ocultados e eles devem
descobri-los.
•
Dê um tempo para a realização da tarefa.
•
Feita a atividade peça a alguns alunos qe apresentem suas soluções à classe. Peça, em seguida, aos
alunos que tiverem soluções diferentes das apresentadas, que exponham essas soluções a seus
colegas.
PARA O PROFESSOR
TEMA: Adição
META: Relacionar as noções de adição e subtração.
Comentários: Na apresentação das soluções aparecerão casos em que os alunos usaram uma adição para
encontrar a resposta e outros em que foi usada uma subtração. Aproveite para discutir essas soluções, pois é
importante que seja valorizada essa possibilidade de usar várias estratégias para se chegar a uma solução
escolhendo em seguida o que foi melhor.
FOLHA TIPO III
ATIVIDADE Nº 103 FAZENDO TROCAS PARA SUBTRAIR
OBJETIVO: Efetuar pela técnica do recurso à unidade de ordem superior a subtração de dois números
quaisquer menores que mil.
MATERIAL NECESSÁRIO: O mesmo da atividade 81.
DESENVOLVIMENTO: Peça aos alunos que utilizem suas fichas para calcularem no ábaco de papel quanto
é 325-157.
Deixe que as crianças trabalhem sozinhas. As ações descritas abaixo servem para orientá-las apenas se for
necessário.
1ª ação: Colocar no ábaco as fichas que representem o número 325 e fazer o registro na folha de papel.
2ª ação: Trocar uma ficha média (dezena) por 10 fichas pequenas (unidades).
3ª ação: Trocar uma ficha grande (centena) por 10 fichas médias (dezenas).
4ª ação: Retirar do ábaco as fichas correspondem ao número 157 e verificar que numero representam as
fichas que restaram.
Em seguida, faça a leitura:
 “De 15 tiro 7, restam “8” ou “15” menos 7 é igual a 8”
 De 11 tiro 5, restam “6” ou “ 11 menos 5 é igual a 6”
 De 2 tiro 1, resta 1 “ ou “2 menos 1 é igual a 1”.
PARA O PROFESSOR
TEMA: Subtração
META: Desenvolver a técnica operatória da subtração denominada “do recurso à unidade de ordem
superior”.
COMENTÁRIOS: A atividade ilustra a explicação da técnica operatória da subtração conhecida como “ do
recurso à unidade de ordem superior”, para dois números quaisquer. O processo é sempre o mesmo se numa
determinada ordem, o algarismo do 1° termo da subtração for menor do que o algarismo do 2° termo,
recorre-se à ordem imediatamente superior para se obter uma nova decomposição do 1° termo, de
tal forma que o impasse existente seja removido.
No nosso exemplo, para que fosse possível efetuar a subtração em cada ordem, o número 325 foi
sucessivamente decomposto em.
300+20+5
300+10+15
200+110+15
Novamente, voltamos a insistir que os seis exercícios apresentados não garantem a fixação da técnica
operatória apresentada. E preciso multiplicar as situações.
ATIVIDADE N º 93 “ DECOMPONDO A DEZENA PARA SUBTRAIR”
OBJETIVO: Efetuar pela técnica do recurso à unidade de ordem superior a subtração de dois números que
1000 em que o valor do algarismo de primeira ordem do 1º termo é menor do que o valor do algarismo de
mesma ordem do 2º termo.
MATERIAL NECESSÁRIO: O mesmo da Atividade nº 80
DESENVOLVIMENTO: Escreva no quadro-negro: 395-176
Peça que utilizem o ábaco de papel e as fichas para descobrirem o resultado.
Uma vez percebido que existe uma dificuldade interrompa o trabalho e peça que contem o que descobriram:
de 5 não dá para tirar 6!
1ª ação: Solicite aos alunos que representem o número 395 no ábaco de papel utilizando as fichas.
2ª ação: A seguir pergunte se não é possível trocar algumas das fichas que estão no ábaco de maneira que a
quantidade resultante de fichas pequenas permita tirar 6.
Discuta com eles por que a solução é trocar uma ficha média (1 dezena) por dez fichas pequenas (10
unidades).
3ª ação: Em seguida pergunte o que devem fazer para mostrar que 4estão tirando 176 de 395.
Discuta por que tiraram 1 ficha grande, 7 médias e 6 pequenas.
4ª ação: Peça que leiam quanto restou no ábaco escrevendo o número em questão.
Terminando o trabalho com o ábaco represente no quadro-negro as escritas numéricas que correspondem as
ações executadas.
No ábaco:
No quadro-negro
8 15
Peça que copiem no caderno
3
9
5
-
1 7
6
2
9
1
Fazendo a leitura em voz alta:
 15 tiro 6, restam “9” ou “15” menos 6 é igual a 9”

8 tiro 7, resta “1” ou “ 9 menos 7 é igual a 1”
 3 tiro 1, restam “2’ “ ou “3 menos 1 é igual a 2”.
A seguir , peça que calculem:
a) 251- 127
b) 124-127
c)370-214
e) 84-57
d) 251- 47
f) 243- 101
PARA O PROFESSOR
TEMA: Subtração
META: Desenvolve a técnica operatória da subtração denominada “do recurso à unidade de ordem superior”.
COMENTARIOS: Comumente essa técnica à chamada de “emprestar”. Porém, essa linguagem não é
correta, uma vez que não há empréstimo ( um empréstimo supõe devolução...) Na verdade, fazemos uma
decomposição diferente no 1° termo. No nosso exemplo, para que fosse possível efetuar a subtração, em cada
ordem, o número 395 foi inicialmente decomposto em 300+90+5 e, a seguir, em 300+80+15.
Os seis exercícios apresentados não são evidentemente suficientes para garantir a fixação do processo ora
desenvolvido. É necessário multiplicá-los.
ATIVIDADE Nº 80 “ QUANTOS RESTOU”
OBJETIVO: Efetuar a subtração de dois números menores que 1000 para os quais o valor de cada algarismo
do primeiro termo.
MATERIAL NECESSÁRIO: Um ábaco de papel e as fichas da Atividade nº 21, para cada aluno.
DESENVOLVIMENTO: Coloque no quadro-negro o seguinte problema:
“João levou para a festa junina 368 cruzeiros e gastou 123 cruzeiros. Com quantos cruzeiros João ficou
depois que a festa acabou?”
Peça que copiem o problema no caderno. Depois de executarem a tarefa, coloque no quadro-negro as
escritas:
368+123
123+368
368-123
123-368
e pergunte qual delas responde ao problema.
Após a discussão coletiva pela qual se estabeleça a certeza de que 368-123 corresponde à situação
proposta informe aos seus alunos que eles vão aprender um outro modo de achar esse resultado.
Distribua a cada aluno um ábaco de papel e as fichas da Atividade n º21.
1ª ação: Solicite aos alunos que representem o número 368 no ábaco de papel, utilizando as fichas, a
fim de indicar o dinheiro que João tinha.
2ª ação: Em seguida, pergunte o que devem fazer para mostrar que João gastou 123 cruzeiros.
Discuta com eles por que tiraram uma ficha grande, duas médias e três pequenas.
3ª ação: Peça que leiam quanto restou no ábaco, escrevendo o número em questão.
Terminado o trabalho no ábaco, represente no quadro-negro as escritas numéricas que correspondem
às ações executadas sempre solicitando a participação dos alunos.
Peça que copiem no caderno:
C
D
U
3
6
8
_
1
2
3
2
4
5
Fazendo antes a leitura em voz alta:
“8 menos 3 é igual a 5”, ou de 8 tiro 3, fico com 5”
“6 menos 2 é igual a 4, ou de 6 tiro 2, fico com 4”
“3 menos 1 é igual a 2, ou de 3 tiro 1, fico com 2”
Repita esta atividade com as subtrações:
a) 763 - 530
b) 570 - 130
Pedindo em cada caso que os alunos inventem um problema.
PARA O PROFESSOR
TEMA: Subtração.
META: Introduzir a técnica operatória da subtração denominada “técnica do recurso à unidade de ordem
superior”.
COMENTÁRIOS: No lugar do ábaco de papel poderão ser usados cartazes de pregas individuais ou as
“caixinhas de numeração” sugeridas no “Atividade Matemáticas 1”.
É importante chamarmos sua atenção para o seguinte fato: as atividades 80, 93 e 104 desenvolvem a
técnica operatória da subtração chamada “técnica do recurso à unidade de ordem superior” conhecida como
“técnica de emprestar” e as atividades 80, 93 e 104 desenvolvem a técnica operatória da subtração chamada
“técnica da compensação”. As duas técnicas são precisas de rápida execução e generalizáveis. Há
professores que trabalham com as duas técnicas de modo a permitir que o aluno escolha aquela com a qual se
sentem mais à vontade. Essa é uma situação ideal de aprendizagem. Caso isso não seja possível, cabe ao
professor escolher em comum acordo com os demais colegas que trabalham na escola, uma delas para
trabalhar com os alunos.
Todavia, havendo alunos que encontrem dificuldades para dominar a técnica adotada é conveniente
ensinar-lhes a outra técnica, pois eles poderão eventualmente adaptar-se melhor. Existem outras técnicas de
subtração denominadas “técnicas do numero intermediário” “técnicas aditiva” etc. No decorrer das
atividades descrevemos essas técnicas apenas como exercício com o objetivo de informar aos que se
interessam pelo assunto da diversidade de procedimentos de cálculos existentes proporcionando aos alunos
outros recursos de cálculo.
Na atividade n º 17 “ Comparando as tarefas”, já nos referimos às três idéias associadas a subtração:
a idéia de subtrair a de comparar e a de completar. Embora “para a aprendizagem da “técnica do recurso à
unidade superior” e da técnica da compensação” tenhamos partido de idéias diferentes (de subtrair e de
comprar respectivamente) na verdade esse fato é irrelevante . Ele desempenha apenas um papel na
motivação. Qualquer que seja a técnica aprendida ela pode ser utilizada em qualquer problema que retrate
qualquer uma das três idéias. Por outro lado, a disponibilidade do conceito de subtração existirá, apenas,
quando o aluno é capaz de em face de um problema que envolve umas das três idéias realmente tem lugar. É
necessário multiplicar, ao longo do ano letivo, situações referentes a cada idéia.
Material Dourado ou de Base Dez2
Quantos tipos de peças há no material?
De quantos
Quantas
De quantos
você precisa para montar
?
são necessárias para formar
você precisa para montar
?
?
Observe os desenhos e diga que quantidades você acha que as peças mostram:
2
Extraído do livro “Educação Dever de Todos”, Projeto de Aceleração da Aprendizagem, Módulo 1, Secretaria
Municipal de Educação e Cultura de Salvador
Jogando o Nunca Dez(3)
Este é um jogo para quatro jogadores:
Para jogar vão precisar de dois dados e do material de base dez.
Como jogar:
Cada aluno do grupo, na sua vez de jogar, lança os dados, conta quantos
pontos fez e retira para si a quantidade de
correspondente aos pontos
conseguidos nos dados. O número que sair nos dados dá direito a retirar do
material de base dez apenas .
Toda vez que um jogador juntar 10 , deve trocá-los por
e tem o direito de jogar novamente.
O jogador que conseguir 10
, troca-as por um
Nesse caso ele é o vencedor e o jogo acaba.
. JOGO DOS CARTÕES
Objetivos: compreender o mecanismo do "vai um" nas adições; estimular o
cálculo mental.
O professor coloca no centro do grupo alguns cartões virados para baixo.
Nestes cartões estão escritos números entre 50 e 70.
1º sorteio: Um alunos do grupo sorteia um cartão. Os demais devem pegar as
peças correspondentes ao número sorteado. Em seguida, um representante
do grupo vai à lousa e registra em uma tabela os números correspondentes
às quantidades de peças.
2º sorteio: Um outro aluno sorteia um segundo cartão. Os demais devem
pegar as peças correspondentes a esse segundo número sorteado. Em
seguida, o representante do grupo vai à tabela registrar a nova quantidade.
Nesse ponto, juntam-se as duas quantidades de peças, fazem-se as trocas e
novamente completa-se a tabela.
Ela pode ficar assim:
Isto encerra uma rodada e vence o grupo que tiver conseguido maior total.
Depois são feitas mais algumas rodadas e o vencedor do dia é o grupo que
mais rodadas venceu.
Os números dos cartões podem ser outros. Por exemplo, números entre 10 e
30, na primeira série; entre 145 e 165, na segunda série.
Depois que os alunos estiverem realizando as trocas e os registros com
desenvoltura, o professor pode apresentar a técnica do "vai um" a partir de
uma adição como, por exemplo, 15 + 16.
Observe que somar 15 com 16 corresponde a juntar estes conjuntos de
peças.
Fazendo as trocas necessárias.
Compare, agora, a operação:
com o material
com os números
Ao aplicar o "vai um", o professor pode concretizar cada passagem do
cálculo usando o material ou desenhos do material, como os que mostramos.
O "vai um" também pode indicar a troca de 10 dezenas por uma centena, ou
10 centenas por 1 milhar, etc.
Veja um exemplo:
No exemplo que acabamos de ver, o "vai um" indicou a troca de 10 dezenas
por uma centena.
É importante que a criança perceba a relação entre sua ação com o material
e os passos efetuados na operação.
TRABALHANDO COM ÁBACOS
A palavra ábaco é de origem grega “abax” , deriva do grego abax ou abacon e
significa quadro, superfície plana ou tábua. Teve vários nomes como soroban
no Japão ou China.
Soroban
Os povos antigos utilizavam os ábacos para fazer cálculos. Existem pessoas
de culturas avançadas (asiáticos) e que ainda hoje se utilizam dos ábacos para
fazer seus cálculos mesmo conhecendo calculadores e computadores.
Conta a lenda que o primeiro ábaco foi inventado lá pelos idos de 2.000 anos
a.C., por um mandarim chinês, para tornar mais fácil para o povo, fazer contas
e pagar-lhe, em mercadorias, os impostos que lhe deviam. Diz-se também que
essa “generosidade” custou-lhe a vida, porque o povo acabou ficando esperto
demais para suportar os abusos do mandarim.
A seguir, apresentamos dois modelos de ábacos:
Modelo 1
Modelo 2
O modelo 2 é mais fácil de ser construído e manuseado. Incentiva os alunos a
construírem seus ábacos.
O ábaco do modelo 1 funciona do seguinte forma:
Iniciaremos com todas as bolinhas à esquerda. Para cada objeto que
formos contar, deslocamos uma bolinha da primeire fileira para a direita
Quando as dez bolinhas da primeira fila estiverem à direita, deslocamos
uma bolinha da segunda fila para a direita e as da primeira fila voltam para a
esquerda.
Na figura abaixo, uma bolinha da primeira fila representa um objeto que
contamos, mas uma da segunda fila representa um grupo de dez objetos
O ábaco do modelo 2 funciona do seguinte forma:
• existe uma ordem para as varetas. A ordem é da direita para a esquerda,
considerando que o ábaco está em frente à pessoa que está manuseando.
• na 10 vareta, cada conta representa um elemento.
1
0
• na 2 vareta, cada conta representa um grupo de dez elemento.
11
• na 30 vareta, cada conta representa um grupo de cem elemento, e assim por
diante.
111
• na 40 vareta, cada conta representa um grupo de cem elemento, e assim por
diante.
1111
1- Qual o número que está representado em cada ábaco abaixo:
2- Represente no ábaco os seguintes números:
trinta e Sete
cinqüenta
cento e trinta
quatrocentos
3- Diga quantos grupos de dez (dezenas) e quantas unidades tem cada um
dos números do exercício anterior.
4- Represente os números do exercícios 2, usando algarismos.
Obs: Se voçê não apresentou dificuldade com a escrita dos números acima,
faça os exercícios abaixo:
1- Represente no, ábaco os números:
dois mil e trezentos e vinte
um mil e quatro
dois mil e duzentos e trinta e
dois
2- Determine o sucessor dos números abaixo utilizando o ábaco:
999
329
1459
206
3
3
Secreteria Municipal de Educação de Salvador, Caderno de Atividade PEB-Módulo I
4
4
Secreteria Municipal de Educação de Salvador, Caderno de Atividade PEB-Módulo II
zar o recurso de transformar uma bolinha da segunda vareta em 10 bolinhas para a
primeira vareta, isto é:
CRIANÇAS, ALGORITMOS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
Clélia Maria Ignatius Nogueira – PCM5-UEM6 - clé[email protected]
Marcela Boccoli Signorini – PCM- UEM - [email protected]
Introdução
O problema de pesquisa da investigação que originou este artigo surgiu da
inquietação das autoras acerca do ensino da aritmética com ênfase nos procedimentos
algorítmicos durante os dois primeiros ciclos do ensino fundamental. Embora a
inquietação fosse comum, as razões que as desencadearam foram distintas. Para uma
das autoras, ela teve origem numa pergunta corriqueira, de mãe para filho. Indagando
seu filho, então no segundo ano do ensino fundamental, no momento em que este
retornava da escola, sobre o que ele havia aprendido em matemática, recebeu como
resposta apenas “arme e efetue”. E mesmo quando especificou mais a indagação,
tentando descobrir qual era a operação que estava sendo trabalhada, a resposta se
repetiu: “Não sei, só fiz arme e efetue hoje!” Surgiu dessa situação a apreensão da
primeira pesquisadora com a estratégia do “arme e efetue”. Afinal, a criança aprendeu
os procedimentos, mas não se lembrava à que operação se referiam!
Refletindo acerca dessa situação, a primeira pesquisadora considerou natural a
reação de seu filho, pois, a estratégia do “arme e efetue”, bastante incorporada ao fazer
pedagógico do professor, consiste em resolver exercícios envolvendo cálculos
matemáticos que não exigem dos alunos sequer a leitura de enunciados, pois basta
operar usando técnicas, em atividades desvinculadas de qualquer contexto.
A inquietação da segunda pesquisadora em relação ao ensino centrado nos
algoritmos tem origem na sua própria prática pedagógica, pois a mesma participa, desde
2003, do projeto denominado Sala de Apoio à Aprendizagem implantado, nas escolas
públicas do estado do Paraná, naquele ano. A atuação da segunda pesquisadora se
realiza, em período contra-turno, junto a alunos de 5ª série do Ensino Fundamental. As
crianças selecionadas para compor a Sala de Apoio são alunos que, segundo diagnóstico
do professor regente da turma, apresentam defasagem no aprendizado dos “conteúdos”
de matemática das séries anteriores (1ª a 4ª série), isto é, não dominam as técnicas
operatórias, e poucos manifestam outras estratégias de resolução. Assim, a maior parte
5
6
PCM - Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática
UEM – Universidade Estadual de Maringá - PR
do tempo de estudos na sala de apoio era empregada na cansativa tarefa de resolver
“contas”.
O trabalho é desgastante tanto a professora quanto os alunos, que, depois de
algum tempo, acabam perdendo o interesse em participar das aulas de apoio, pois lhes é
cansativo ficar repetindo “contas” que, segundo a professora, carecem de sentido.
As duas pesquisadoras foram reunidas num programa de mestrado, como
orientadora e orientada e, de suas inquietações comuns, emergiu o problema de
pesquisa.
Uma primeira indagação foi: para que seria importante o domínio do algoritmo
das operações aritméticas elementares, uma vez que calculadoras acessíveis a todos,
executam, com maior rapidez e precisão os cálculos necessários? Se as crianças, sequer
se lembram de que operações trataram, ao resolverem os exercícios de arme e efetue,
qual seria o conhecimento construído? E mais, se tantas crianças, na quinta série, após
anos de trabalho com os algoritmos ainda apresentavam dificuldades em resolvê-los,
então a ênfase nesses procedimentos sequer atendia seu objetivo primeiro, o de dominar
as técnicas algorítmicas? Será que aprender a resolver os algoritmos das operações
aritméticas elementares contribui para o desenvolvimento do raciocínio?
Certamente essas questões já estão praticamente respondidas, uma vez que
seguir e respeitar regras contribui apenas para manter o aluno passivo frente ao
aprendizado e dependente da aprovação de outros, isto é, não o incentiva a ser
questionador e muito menos educa para autonomia. Como as calculadoras resolvem
muito bem (e no dia a dia são sempre solicitadas para isso) as necessidades em caso de
contas nas quais a precisão é necessária e o cálculo mental e estimativas é que são
usados, na maior parte do tempo, para a solução de nossos problemas cotidianos, por
que tanto trabalho com os algoritmos?
Uma possível resposta a esta última questão poderia ser que a importância
do trabalho com os algoritmos deveria estar na própria construção do conhecimento
matemático. Mas, para a construção de qual “conceito” especificamente, a árdua tarefa
de desenvolver os algoritmos poderia contribuir? Com a compreensão dos significados
das operações ou aplicações no mundo real, seguramente não, pois nada nos algoritmos
se relaciona diretamente com as operações e as calculadoras resolvem as necessidades
cotidianas.
Diante dessa reflexão e do fato de que os algoritmos são procedimentos
fundamentados nos princípios e nas propriedades do Sistema de Numeração Decimal
era legítimo indagar se o objetivo implícito neste intenso trabalho estaria na
consolidação ou mesmo na compreensão desse sistema pelas crianças.
Foi estabelecido então, o problema da pesquisa: Há construção do conhecimento
matemático, particularmente do Sistema de Numeração Decimal, o SND, a partir do
ensino da aritmética, com ênfase nos procedimentos algorítmicos?
Para a consecução deste objetivo foram estabelecidos dois outros, mais
específicos: investigar se a utilização dos algoritmos, na resolução das operações de
adição e subtração, permite a flexibilidade de pensamento da criança, ou seja, se além
de empregar os procedimentos convencionais ela também utiliza outras estratégias,
como, por exemplo, o cálculo mental, na resolução das operações de adição e
subtração; e investigar se a criança, ao resolver os algoritmos de adição ou subtração,
percebe os princípios e as propriedades do Sistema de Numeração Decimal implícitos
nesse procedimento.
Os procedimentos metodológicos foram: 1) levantamento dos postulados
teóricos do Método Clínico Crítico; 2) levantamento dos postulados teóricos do Sistema
de Numeração Decimal; 3) estabelecimento das estratégias de investigação; 4) seleção
dos 20 sujeitos que participaram de nosso estudo e do local; 5) análise do livro didático
adotado pela escola e 6) aplicação das provas matemáticas.
O método
A opção pelo Método Clínico Crítico de Jean Piaget como orientação teórica e
metodológica à investigação se deu em função dele permitir ir além das informações
contidas em um instrumento de coleta de dados, possibilitando a livre conversação entre
as pesquisadoras e a criança entrevistada, dito de outra forma, pela necessidade de
englobar a idéia do subjetivo, considerando “não apenas o que é verbalizado pelo
entrevistado, mas também, a narrativa que permaneceram silenciadas” (D’
AMBROSIO, 2004).
Os sujeitos colaboradores
Fizeram parte desta pesquisa vinte crianças (N=20) de uma escola pública
estadual do município de Maringá-Paraná, sendo que, dez pertenciam à terceira série do
ciclo básico e dez cursavam a quinta série do Ensino Fundamental. Estes dois grupos
foram subdivididos ainda em outros dois grupos menores composto por cinco crianças
que, segundo suas professoras, apresentavam bom desempenho de aprendizagem em
Matemática e cinco que apresentavam desempenho tido com insuficiente.
A escolha de crianças nestas séries específicas foi feita em função dos estudos de
Kamii (1995b) para quem: “o sistema decimal aparece pela primeira vez na segunda
série, e que a proporção de crianças nessa categoria aumenta daí para frente”, ou seja, a
construção do sistema de dezenas ocorre gradativamente durante o período que
compreende a segunda à quinta série.
A intenção foi comparar as argumentações utilizadas pelas crianças de terceira
série, que segundo Kamii (1995b) estavam no início da construção do SND, com
aquelas que já se encontravam em fase de consolidação, para tentar inferir o papel
desempenhado pelo ensino algorítmico.
A escola foi escolhida a partir de indicação do Núcleo Regional de Educação da
Secretaria de Educação do Estado do Paraná, que a considera como a escola de melhor
desempenho nas avaliações institucionais.
Estabelecimento das estratégias de investigação
Para atender aos objetivos propostos foram estabelecidas cinco estratégias de
investigação, a saber:
 a primeira denominada “da direita para a esquerda”, investigou se as crianças
compreendem a importância da organização espacial do algoritmo, isto é, para
operar corretamente, as unidades devem estar “embaixo” das unidades, as
dezenas na coluna das dezenas, etc.;
 a segunda estratégia, “para além do algoritmo” questionou se há outras maneiras
de fazer as “contas” de adição e subtração sem lançar mão dos algoritmos
convencionais, com a intenção de investigar se as crianças utilizam outras táticas
de resolução, bem como quais são elas;
 terceira, a técnica do “vai um”, consistiu em investigar se as crianças ao
desenvolverem o procedimento algorítmico da adição, percebem que aí estão
implícitos os princípios e as propriedades do Sistema de Numeração Decimal,
mais especificamente, se elas compreendem o valor posicional do algarismo;
 a quarta estratégia, técnica do “empresta um”, permitiu observar se as crianças
entendem que, na subtração com reserva, elas devem, antes de iniciar a “conta”,
decompor uma dezena em dez unidades, somente então poderá subtrair. Esta
estratégia também permitiu investigar se a criança percebe, no algoritmo da
subtração, o sistema de numeração decimal.

na última estratégia, “prova real”, o objetivo foi investigar se as crianças
entendem as operações de adição e subtração como operações inversas, podendo
utilizar uma para confirmar o resultado da outra.
As estratégias mencionadas foram embasadas nos princípios e propriedades do
SND, particularmente no princípio posicional e nas recomendações para o trabalho
pedagógico com o cálculo, que priorizam o trabalho simultâneo entre o cálculo escrito e
o mental, constantes nos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Procedimentos para a aplicação da prova matemática
Cada criança participou de um único encontro com uma das pesquisadoras,
durante o qual lhe foi proposto que resolvesse algumas “contas”, sendo duas de adição e
quatro de subtração, com graus de complexidades diferentes. Essas se encontravam
dispostas na forma de sentença matemática, em uma folha de sulfite branca, conforme a
disposição abaixo:
a) 135 + 99 =
b) 1035 + 999 =
c) 63 – 54 =
d) 3058 – 2379 =
e) 2014 – 1989 =
f) 100 – 24 =
Em todas elas a criança necessitava lançar mão do uso de recursos
(decomposição ou reagrupamento) para a sua resolução. Foram escolhidas, na maioria,
contas contendo no mínimo três dígitos no minuendo (no caso das subtrações), com o
intuito de se ter um grau de dificuldade maior. Para resolver as contas propostas,
seguindo os procedimentos algorítmicos convencionais, as crianças deveriam seguir
algumas “exigências” tais como:
•
Na conta 135 + 99, o aluno necessita “transformar” dez unidades em uma
dezena, somando-a com as dezenas já existentes e dez dezenas em uma centena,
somando-a com as centenas existentes.
•
Na conta 1053 + 999, o aluno necessita “transformar” dez unidades em uma
dezena, somando-a com as dezenas já existentes, e dez dezenas em uma centena,
somando-a com as centenas existentes, sendo que na primeira parcela existe um
“zero” na “casa” das centenas, depois, transformar dez centenas em um milhar e
somar ao milhar já existente.
•
Na conta 63 – 54 a criança deverá decompor uma dezena em dez unidades,
somando-a com as unidades já existentes para poder efetuar a conta.
•
Na conta 3058 – 2379, o aluno deverá decompor uma dezena em dez unidades,
adicionando-a às unidades existentes para depois subtrair, em seguida, como na
“casa” da centena do minuendo existe um zero, deverá decompor uma unidade
de milhar em dez centenas, para depois decompor uma centena em dez dezenas e
continuar a subtração.
•
Na conta 2014 – 1989, a criança procederá da mesma forma que na subtração
anterior. Deverá decompor uma dezena em dez unidades, adicionando-a às
unidades existentes, para depois subtrair; em seguida, como na “casa” da
centena do minuendo existe um zero, deverá decompor uma unidade de milhar
em dez centenas, para depois decompor uma centena em dez dezenas e continuar
a subtração.
•
Na conta 100 – 24, como a “casa” da dezena é “zero” o aluno necessitará
primeiro decompor uma centena em dez dezenas, para depois decompor uma
dezena em dez unidades e realizar o cálculo.
A conversa com as crianças foi orientada por um roteiro semi-estruturado,
contendo algumas questões pré-definidas que contemplavam o propósito da
investigação. Enquanto as crianças desenvolviam os cálculos, foram feitas intervenções
com a finalidade de direcionar as explicações para os objetivos da pesquisa. As questões
que nortearam a entrevista foram: Porque tem que organizar a “conta” dessa forma?
Como você ensinaria uma criança do 1º ano a fazer esta conta? O que é “vai um”? O
que é “emprestar” um? “Um” o quê? Será que está é realmente a resposta correta?Como
você mostraria para um amigo que esta conta esta certa? Se eu não tivesse lápis e papel
daria para resolver uma conta de mais ou de menos? Será que tem outro jeito de fazer
essa conta sem ser o jeito que a gente aprende na escola?
Esse roteiro teve a finalidade de orientar a entrevista, porém, a conversa seguia
sempre a diretriz determinada pelas crianças sem que, todavia, os objetivos fossem
perdidos de vista. O recurso técnico empregado para gravar as entrevistas com as 20
crianças foi a utilização de um gravador cassete. Cada entrevista durou 30 minutos e,
em seu decorrer, quando se fez necessário, a pesquisadora fez registros em um caderno
de anotações. As entrevistas eram iniciadas com a explicação para a criança da
necessidade do uso do gravador para o registro de nossas conversas.
A análise
Inicialmente, foram feitas as transcrições das entrevistas e uma leitura minuciosa
dessas transcrições, em conjunto com os protocolos de cada criança, tendo em vista as
estratégias de investigação adotadas: da direita para a esquerda, para além do algoritmo,
a técnica do “vai um”, a técnica do “empresta um”, e a prova real.
Da direita para a esquerda
Para investigar se as crianças colaboradoras da pesquisa entendem a organização
espacial do algoritmo, durante a entrevista, eram indagadas quais as razões pelas quais é
necessário organizar os números da maneira como o fazemos (da direita para a
esquerda) para poder efetuar a conta. As “contas” de apoio para situar esse
questionamento foram as duas operações de adição propostas.
Todas as crianças entrevistadas sabiam que para chegar ao resultado adequado
da operação proposta era necessária a correta organização espacial do algoritmo, em
outras palavras, elas estavam convictas de que devemos organizar os números de forma
que as unidades sejam adicionadas às unidades, as dezenas adicionadas às dezenas, as
centenas adicionadas às centenas e assim sucessivamente. No entanto, quando eram
indagadas sobre o motivo por que essa organização deveria ser mantida, elas recorriam
à própria organização espacial do algoritmo como único argumento para justificar sua
ação, como atestou a fala de C8: “A unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de
dezena, centena embaixo de centena. A da unidade não pode deixar vazia. A casinha”.
Ou a de A1: “Unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de dezena e centena
embaixo de centena”.
Analisando essas frases que as crianças repetiram de maneira automática, a
impressão é a de que estão “copiando” de algum lugar, porém, não entendem realmente
o que isso significa. Este fato evidencia que o importante não é a repetição das regras de
um procedimento sem a devida compreensão, e sim, propiciar situações de
aprendizagem que permitam às crianças descobrirem as razões que fundamentam o
algoritmo convencional, como, por exemplo, a formulação de perguntas acerca da
pertinência ou não da utilização do algoritmo formal, a fim de levar a própria criança a
indagar se é possível obter o mesmo resultado para uma determinada operação,
procedendo da direita para a esquerda ou vice-versa (LERNER, 1995).
Para além do algoritmo
Para investigar se as crianças utilizavam outras técnicas operatórias, por
exemplo, o cálculo mental, algumas das “contas” a elas apresentadas foram
contextualizadas durante as entrevistas e lhes era indagado se seria possível resolver a
questão sem o uso de lápis e papel. Para essa estratégia foi selecionada, uma “conta” de
subtração (100–24) e duas de adição (135+99 e 1035+999) que foram utilizadas
aleatoriamente, conforme andamento da entrevista. A seleção das duas operações de
adição deve-se ao fato de ser possível fazer em cada uma delas, o arredondamento de
uma das parcelas (99 ou 999), facilitando assim o cálculo mental.
A aplicação dessa prova deixou evidente a insegurança das crianças no momento
de emitir uma resposta totalmente sua, sem o amparo ou aprovação de outros, indício de
carência de autonomia na aprendizagem. Também ficou patente a ausência de uma
reorganização pessoal do conhecimento, suscitando indagações, cujas respostas nossa
pesquisa foi insuficiente para responder, tais como: a ausência de reorganização pessoal
do conhecimento deve-se ao fato de que o seu desenvolvimento cognitivo não lhe
permite, no momento, aprender determinado tema ou o processo de ensino a que foi
submetida, que não lhe possibilitou a construção desse conhecimento.
A impossibilidade da quase totalidade das crianças entrevistadas de realizarem
cálculos mentais despertou atenção para outro aspecto fundamental: a educação para a
cidadania. Não existe conteúdo específico de Matemática para a cidadania, todavia,
quando a criança é capaz de efetuar cálculos mentais e ter confiança nos resultados
obtidos, ela está exercendo sua cidadania “matemática”. É com discussões e troca de
idéias que a criança vai desenvolvendo sua autoconfiança, fator indispensável para que
ela se aventure em experiências matemáticas fora do contexto escolar:
O cálculo mental é uma via de acesso à compreensão e à construção do
algoritmo convencional, ao mesmo tempo em que funciona como ferramenta de
controle do mesmo. Contudo, para que isso seja possível é necessário que o cálculo
mental se torne automático, liberando a criança para a construção de um novo
conhecimento matemático (PARRA, 1996).
A técnica do “vai um”
A investigação da compreensão das crianças acerca do fato de que a técnica do
“vai um” se fundamenta no Valor Posicional e utiliza as propriedades do Sistema de
Numeração Decimal, foi feita a partir da resolução de duas contas de adição: 135 + 99 e
1035 + 999. Entre as cinco crianças de terceira série, com bom desempenho escolar,
quatro chegaram corretamente ao resultado. A única que não obteve o resultado correto
efetuou as duas operações como sendo de subtração (o que pode ser atribuído à falta de
atenção).
A análise dos resultados obtidos a partir dessa estratégia aponta: problemas de
compreensão dos conceitos de número e algarismo, o que pode ser confirmado em
vários momentos do relato das crianças, tanto nas de quinta quanto nas de terceira, com
bom desempenho ou com desempenho insuficiente na aprendizagem Matemática. O que
muda é apenas a maneira de se expressar, particular de cada criança, por exemplo, “é o
1 desse 14”, “é, o 1 é 1 e o 4 é 4”, “o número 1 que subiu”.
Outro fato importante é a falta de conexão entre conceito e procedimento,
nenhuma criança entrevistada conseguiu explicar que para operar corretamente o
algoritmo da adição é necessário ficar atentos às regras que são necessárias seguir.
Apesar de saber fazê-las, sua ação não é consciente a ponto de entender que tais regras
estão fundamentadas no Sistema de Numeração Decimal. Comprova essa afirmação os
fatos de elas não terem emitido resposta adequada quando indagamos o que era o “um”
que “subia”.
Foi possível perceber também, ao longo das entrevistas, que elas manifestavam
muita insegurança e falta de autonomia, o que pode ser confirmado na afirmação de C7:
“a professora ensinou tudo assim”, e na ausência de argumentação das crianças
entrevistadas, é fácil concordar com Kamii (1995a-b) quanto à necessidade de propiciar
à criança tempo suficiente para a construção do sistema de unidades, para que não fique
prejudicada a construção do sistema de dezenas, mas para isso a criança precisa ser
autônoma em sua educação, pois a construção das relações hierárquicas depende da sua
própria ação mental.
A investigação realizada confirma os resultados de Lerner (1995), pois mostra
que as crianças têm dificuldades em entender que o mesmo algarismo serve para
escrever vários números, dito de outra maneira, o 1 colocado na ordem das unidades é 1
unidade, no entanto, quando colocado na ordem das dezenas, passa a ser 1 dezena, ou
seja, 10 unidades. Ainda segundo Lerner (1995) um sistema de numeração tão
complexo quanto o SND deve ser apresentado para as crianças de diversas formas, na
tentativa de proporcionar a elas a compreensão dos seus princípios e propriedades.
Tanto Kamii (1995 a-b) quanto Lerner (1995) apontam que o ensino dos
algoritmos convencionais das operações elementares não deve ser feito desvinculado do
SND. As autoras diferem, todavia, num ponto. Kamii (1995ª-b) opõe-se radicalmente a
este ensino nas séries iniciais, considerando-o, inclusive, prejudicial, enquanto que
Lerner (1995) enxerga possibilidades de colaboração entre o trabalho pedagógico com
os algoritmos e a construção e consolidação do SND.
A técnica do “empresta um”
Na investigação de como as crianças compreendem a subtração com reserva que,
como a estratégia anterior, fundamenta-se no Valor Posicional, foram propostas três
contas: 63 – 54; 3058 – 2379 e 2014 – 1989. Pela análise da explicação de C1 fica
visível que a regra para a resolução do algoritmo foi memorizada (o que pode ser
constatado no primeiro parágrafo da transcrição) e que essa criança tem uma
compressão parcial do procedimento utilizado, pois consegue perceber o “um” que
emprestou como uma dezena:
C1 – 63 começa de cima e pela unidade. 3 não dá pra tirar da 4
,então, vai pegar emprestado do 6. Então fica 13.
P – Quanto que pega emprestado do 6?
C1 – Pega só 1, que aumenta uma dezena.
A análise dos resultados aponta que as crianças entrevistadas, apesar de
utilizarem o algoritmo da subtração, não têm conhecimento do conceito necessário para
entender o mecanismo que utilizam. As explicações das crianças de terceira e quinta
séries não diferem de maneira significativa, apesar de mencionarem a necessidade de
pegar uma dezena emprestada para poder operar (como afirmou C1). Não conseguiam
finalizar a explicação de forma adequada. O algarismo era percebido desvinculado da
quantidade que ele representa em cada ordem.
Novamente aqui, os resultados da investigação realizada confirmam os
resultados de Lerner (1995) e apontam para a necessidade de mudar o enfoque que a
escola tem dado para o trabalho com as operações, visando propiciar às crianças, uma
prática pedagógica que possibilite a (real) construção dos conhecimentos matemáticos.
Como Kamii (1995 a-b) comprovou em suas pesquisas, o SND requer um longo
período de tempo para ser sedimentado. É indispensável proporcionar às crianças
condições para essa construção visando à compreensão de conceitos que são
indispensáveis ao entendimento do valor do “um” que se pede emprestado, por
exemplo.
A prova real
Durante a entrevista com as crianças colaboradoras, foi indagado se seria
possível conferir o resultado da “conta” e, se a resposta fosse afirmativa, como deveria
ser feita essa confirmação. Ao analisar os protocolos das crianças de terceira série que
apresentavam desempenho satisfatório em Matemática, observou-se que elas se
confundem ao tentar mostrar como fazer a prova real. C1 só conseguiu definir o que
deveria ser feito após a verificação das duas hipóteses por ela apresentadas, indício de
que o conceito do Princípio Fundamental da subtração ainda não estava devidamente
compreendido por ele.
P – Se chegasse um amiguinho lá da sua sala e falasse assim:
essa continha está certa mesmo? Você saberia responder se ela
está certa?
C1 – Aí, eu não ia ter certeza, mas eu acho que tá certa.
P – E tem um jeito de fazer para comprovar, para ter certeza?
C1 – Fazendo a prova real.
P – Como faz a prova real?
C1 – Aqui, tem o 9, então, vai ter que fazer 9 mais 54 ou 9 mais
63. Se for 9 mais 63, dá 54, tá certa, se for 9 mais 54, dá 63, tá
certo.
P – Vamos fazer uma vez pra gente ver?
C1 – Assim, faz 9 mais 63. 9 mais 3, 12 sobe “um”. 1 mais 6, 7.
72, tá errado.
P – A outra criança que eu entrevistei me falou que faz com o
54.
C1 – Talvez. Tá certo. 54 mais. 9 mais 4, 13. 1 mais.5. 63, tá
certo.
A análise das explicações de C1 evidencia que a compreensão da relação inversa
entre adição e subtração ainda se constitui em um obstáculo a ser transposto pelas
crianças, que necessitavam de reflexão acerca das ações para que percebessem a
reversibilidade existente entre as operações. Em outras palavras, elas precisavam
perceber que retornas ao ponto de saída ao inverter a ordem do caminho percorrido.
Considerações Finais
Muitos autores como Lerner (1995), Kamii (1995a-b), Carraher, Carraher e
Schliemann (1983), Bariccatti (2003), Golbert (2002), Brizuela (2006) entre outros se
dedicaram a investigar as dificuldades no ensino e aprendizagem da aritmética nas
séries iniciais e, dentre os diversos resultados obtidos, alguns evidenciaram que o
Sistema de Numeração Decimal não é um conhecimento estritamente social, o que
significa, em outras palavras, que o mesmo é construído, e mais, mostraram, também,
que esta construção se inicia pelo sistema de unidades, depois pelo sistema de dezenas,
culminando com o Sistema de Numeração Decimal, com todas suas classes e ordens.
Ainda segundo algumas das pesquisas mencionadas, a construção do sistema de dezenas
acontece dos 8 aos 12 anos de idade aproximadamente, isto é, durante o período que
compreende a 2ª à 5ª série, razão pela qual a presente pesquisa, que investigou se o
ensino da aritmética, com ênfase nos algoritmos convencionais, contribui para a
construção do Sistema de Numeração Decimal entrevistou crianças de 3ª série do
Ensino Fundamental, fase em que elas já iniciaram a construção do sistema de dezenas,
e crianças de 5ª série do Ensino Fundamental, momento de fechamento e consolidação
dessa construção.
Pais (2006) afirma que o algoritmo é um dispositivo utilizado na resolução de
situações-problema com a intenção de simplificar o cálculo, porém, para que haja real
compreensão dos fundamentos desse procedimento convencional é necessário que se
tenha um amplo conhecimento matemático. A inserção incorreta dos procedimentos
convencionais, no ensino da aritmética, tem contribuído para a não compreensão desse
dispositivo como, por exemplo, a concepção equivocada de que a repetição das ações
nele prevista pode levar ao seu entendimento, ou seja, a percepção do conhecimento
matemático que o sustenta, o Sistema de Numeração Decimal.
Lerner (1995) considera que a falta de compreensão do processo de resolução
dos algoritmos se deve ao tratamento desse procedimento desvinculado do Sistema de
Numeração Decimal, que é de natureza posicional. Para os adultos, que já passaram
pelo processo de construção e reconstrução dos princípios do sistema de numeração
decimal, é fácil trabalhar com um sistema de base dez, mas as crianças em fase de
aprendizado percorrem, em um curto espaço de tempo, toda construção que a
humanidade levou séculos para aprimorar.
Os resultados da investigação realizada apontam que não houve diferença
significativa nas respostas das crianças de 3ª e 5ª séries, pois as mesmas dificuldades de
argumentação encontradas pelo primeiro grupo também foram observadas nas respostas
do segundo. Mesmo quando conseguem resolver as “contas” de adição e de subtração
com reserva, as crianças parecem apenas ter memorizado as regras mecanicamente, sem
entender que os princípios e as propriedades do Sistema de Numeração Decimal estão
na base das técnicas operatórias dessas operações. A atuação das crianças indica que o
Sistema de Numeração Decimal não está consolidado, e assim, podemos constatar que o
ensino da aritmética centrado nos algoritmos não possibilitou avanços significativos no
que se refere à efetiva construção deste sistema.
Por outro lado, constatou-se também que, apesar de haverem cursado no mínimo
quatro anos do Ensino Fundamental, quando chegam à quinta série, algumas crianças
apresentam dificuldades, ou mesmo não sabem como utilizar as técnicas operatórias de
resolução das operações aritméticas de adição e de subtração, indicio de que o objetivo
da aprendizagem dos procedimentos algorítmicos não foi atingido.
Enfim, se pesquisas anteriores demonstraram que o ensino, com ênfase nos
algoritmos, não contribui para o desenvolvimento da autonomia do educando e nem
promove o desenvolvimento da capacidade de argumentação, esta pesquisa aponta que
esta ênfase não colabora sequer com a construção do conhecimento matemático,
particularmente o que se refere ao Sistema de Numeração Decimal.
Existe um distanciamento quase que total entre a aprendizagem dos algoritmos
convencionais e os princípios e propriedades do SND, o que é, certamente, uma
conclusão preocupante considerando-se que a conexão entre essas duas habilidades não
se desenvolve espontaneamente, ou seja, a criança que opera adequadamente os
algoritmos convencionais da adição e da subtração pode não perceber a sua relação com
o Sistema de Numeração Decimal.
Não se recomenda, aqui, que o estudo dos algoritmos convencionais seja
abandonado, afinal, eles são muito úteis para simplificar as operações matemáticas.
Porém, o ensino não deve priorizar a memorização inexpressiva dos procedimentos, em
detrimento da compreensão dos princípios e propriedades que possibilitam seu
funcionamento lógico-matemático.
Promover conexão entre procedimento e conceito deve ser um dos principais
objetivos da Educação Matemática, entretanto, para que ele seja alcançado, devem-se
dispensar atenção especial às variáveis envolvidas nesse processo educativo, como:
Qual metodologia deve ser utilizada para promover essa conexão? O livro didático, por
ser um instrumento muito utilizado pelo professor, não deveria contemplar as
orientações dos PCNS e das atuais pesquisas? O professor, como mediador do
conhecimento, não deveria ser munido de subsídios indispensáveis a uma prática
escolar que vise à autonomia do conhecimento?
É evidente que essas questões já foram discutidas por outros pesquisadores e
muitas propostas já foram feitas, porém, ao se confirmar que as crianças não percebem a
relação existente entre o algoritmo convencional e os princípios e propriedades do
Sistema de Numeração Decimal, o que se infere é que essas propostas não foram
incorporadas pelo processo educativo. Frente a essa realidade, é pertinente indagar o
que ainda é necessário fazer para levá-las ao interior das escolas, para que se tornem
efetivamente úteis. Esta é uma questão importante, que este estudo não dá conta de
responder, porém, pode subsidiar outras pesquisas.
Apesar das limitações desta pesquisa, em virtude da abrangência do tema
abordado, a esperança é que ela possa juntar-se às várias outras, relacionadas à mesma
temática, com o intuito de fornecer subsídios que fomentem as discussões em torno das
questões aqui levantadas, despertando o interesse pelo estudo do tema, principalmente
no que se refere ao dispositivo convencional e sua utilização de forma consciente e com
compreensão.
Referência
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qualitativa em educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. p. 11-23.
KAMII, C.; JOSEPH, L. L. Aritmética: Novas Perspectivas [-] implicações da teoria de
Piaget. 4. ed. Campinas, SP: Papirus, 1995b.
KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de
Piaget. Campinas, SP: Papirus, 1995a.
LERNER, D. de Z. A matemática na escola: aqui e agora; Trad. Juan Acuña Llorens.
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PAIS, L. C. Ensinar e aprender Matemática. Belo Horizonte: Autentica, 2006.
PARRA, C. Cálculo Mental na escola primaria. In: PARRA, C.; SAIS, I. (Orgs).
Didática da Matemática [:] Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas,
1996. p. 186-235.