Volumes – parte 02
Isabelle Araujo
Volume da pirâmide
O princípio de Cavalieri afirma que:
Pirâmides com áreas das bases iguais e com
mesma altura têm volumes iguais.
A fórmula para determinar o volume de uma
pirâmide qualquer é:
1
área da base  altura
V   A base  h 
3
3
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2
Exemplo
Uma pirâmide de base quadrangular possui
altura medindo 2 metros e cada lado da base
com medida igual a 3 metros. Determine o
volume dessa pirâmide.
1
1
1
V   A base  h   A quadrado  h   (3m)²  2m  6m³
3
3
3
A pirâmide tem 6 m³ de volume.
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3
Exercício
(UEM-PR) Uma pirâmide de chumbo é
mergulhada num tanque cúbico de aresta 1m,
cheio de água até a borda. Se a base da
pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos
medem 0,5m e se sua altura também é de
0,5m, então o volume de água derramada foi:
1
1
1
1
1
a) m³ b) m³ c) m³ d) m³ e) m³
12
24
36
48
64
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4
Resolução
O volume de água que derramou é exatamente
o volume da pirâmide, já que o tanque está
cheio. Então, calcularemos esse volume:
1
1
1  B  ht 
V   A base  h   A triângulo  h   
  hp
3
3
3  2 
1  0,5m  0,5m 
1 1
1
V  
m³
  0,5m   m³ 
3 
2
3 16
48

1
m³.
O volume de água derramada é
48
Resposta correta: Letra d
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5
Exercício
Uma barraca piramidal é sustentada por seis
hastes metálicas cujas extremidades são o
vértice da pirâmide e os seis vértices da base.
A base é um polígono cujos lados têm todos o
mesmo comprimento, que é de 3 m. Se a altura
da barraca é de 3 m, qual é o volume de ar
nessa barraca?
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6
Resolução
Nesse caso, temos uma pirâmide onde sua
base é um hexágono regular com 3 m de lado,
e essa pirâmide tem 3 m de altura. Vamos
calcular o volume dessa barraca:
1
1
1  3² 3 
 h
V   A base  h   A hexágono  h   
3
3
3  2 
1 3(3m)² 3
3m(3m)² 3 27 3
V 
 (3m) 

m³
3
2
2
2
27 3
O volume da barraca é
m³.
2
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7
Exercício
(Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um
cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide
AMNP, em que M, N e P são os pontos médios
das arestas, como se mostra na ilustração. Se
V é o volume do cubo, o volume do poliedro
que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:
1
3
2
P
a) V
b) V
c) V
M
2
4
3
A
5
3
d) V
e) V
N
6
8
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8
Resolução
Se chamarmos de V1 o volume de cada
pirâmide que será retirada, o volume final
desse poliedro formado ao tirarmos as oito
pirâmides será V – 8V1. O próximo passo é
achar o volume de cada pirâmide.
Vamos chamar a aresta do cubo de 2a. Como
a aresta da pirâmide é a metade da aresta do
cubo, a aresta da pirâmide medirá a.
Então, vamos calcular o valor do volume de
cada pirâmide:
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9
Resolução
O volume inicial do cubo de aresta 2a, será:
V  ³  (2a)³  8a³
O volume de cada pirâmide será:
1
1
1  aa 
a³
V1   A base  h   A triângulo  h   
a 
3
3
3  2 
6
Como V = 8a³ (a³ = V/8), poderemos escrever o
volume de cada pirâmide em função do volume
inicial V da seguinte forma:
V
a³ 8
V
V1  

6 6 48
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10
Resolução
Já sabemos o volume de uma pirâmide, agora
vamos descobrir o volume das oito que serão
retiradas e subtrair do volume inicial V:
V V
Resposta correta: Letra d
8V1  8 

48 6
V 5V
Vpoliedro  V  8V1  Vpoliedro  V - 
6
6
O volume do poliedro formado pela
retirada das oito pirâmides em função
5V
do volume inicial V do cubo, será
.
6
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11
Exercício
(Mackenzie-SP) Uma pirâmide cuja base é um
quadrado de lado 2a tem o mesmo volume de
um prisma cuja base é um quadrado de lado a.
A razão entre as alturas da pirâmide e do
prisma, nessa ordem, é:
a) 3/4
b) 3/2
c) 1/4
d) a/3
e) 3a
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12
Resolução
Temos a seguinte situação:
Vpirâmide  Vprisma
h1
2a
h1
?
h2
2a
h2
a a
1
4a²
4
 (2a)²  h1  a².h 2 
.h1  a².h 2  .h1  h 2
3
3
3
h1 3
3
 Resposta correta: Letra a
h1  h 2 
h2 4
4
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13
Volume do cilindro
Mais uma vez é a partir do princípio de
Cavalieri que chegamos à formula para
calcular o volume de um sólido. O volume do
cilindro é calculado com a seguinte fórmula:
Vcilindro  área da base altura
r
área da base  π  r²
altura  h
V cilindro  πr²h
r
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14
Exemplo
Qual a capacidade de uma lata que tem a
forma cilíndrica, com 7 cm de diâmetro e 14 cm
Realidade Modelo matemático
de altura?
r
h
Como o diâmetro é 7cm, o raio será 3,5 cm.
V  πr²h  π(3,5cm)²(14cm)  171,5π cm³
A capacidadeda lata é 171,5π cm³.
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15
Exercício
O reservatório de tinta de uma caneta
esferográfica tem uma forma cilíndrica. Seu
diâmetro é de 2 mm e o seu comprimento é de
12 cm. Quantos mililitros de tinta podem ser
acondicionados nesse reservatório?
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16
Resolução
Ele pede a resposta em mililitros, e nós
sabemos que 1 mililitro é igual a 1 cm³.
Portanto, vamos converter as medidas para
deixá-las todas em centímetros, assim,
facilitando os nossos cálculos.
d = 2 mm
d = 0,2 cm
r = 0,1 cm
h = 12 cm
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17
Resolução
Agora já temos a medida do raio e da altura em
centímetros, aplicaremos a fórmula e já
acharemos o volume em cm³, ou seja, em
mililitros:
Vcilindro  πr²h  π(0,1cm)²(12cm)  0,12π cm³
Como 1cm³ = 1mililitro, 0,12 cm³ equivale a
0,12 mililitros:
O volume desse reservatório é 0,12 mililitros.
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Exercício
Um galão de vinho de forma cilíndrica tem o
raio da base igual a 2,5m e sua altura é de 2m.
Se apenas 40% do seu volume está ocupado,
qual é a quantidade de vinho existente no
galão? E qual a altura do vinho nesse galão?
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Resolução
Vamos calcular o volume total desse galão e
depois vamos ver qual o volume relativo à
porcentagem de 40%.
V  πr²h  π(2,5m)²(2m)  12,5π m³
12,5π m³
x

 x  (0,125π m³) 40  5π m³
100%
40%
No galão, existem 5 m³ de vinho.
Para esse volume, vamos ver a altura do vinho:
5
5
πr²h  5π  h  
 0,8 m A altura do vinho
r² 6,25
nesse galão é de
0,8 m.
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20
Exercício
Em tubulações, é muito comum a utilização de
canos. Um cano de plástico (figura abaixo) tem
70 cm de comprimento. O raio maior tem 10 cm
e o raio menor tem 6 cm. Qual o volume de
plástico usado para fazer esse cano?
r1
r2
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21
Resolução
A interpretação correta é fundamental para
resolvermos essa questão. Veja que o volume
do plástico utilizado para fazer esse cano será
o volume total do cilindro maior (10 cm de raio
e 70 cm de altura) subtraído do volume do
cilindro menor (6 cm de raio e 70 cm de altura).
Portanto, acharemos os valores dos volumes
desses dois cilindros e subtrairemos esses
valores para achar o volume de plástico utilizado.
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22
Resolução
Vcilindromaior  πr²h  π(10 cm)²(70 cm)  7000π cm³
Vcilindromenor  πr²h  π(6 cm)²(70 cm)  2520π cm³
Como o volume de plástico utilizado é o volume
do cilindro maior subtraído do volume do
cilindro menor, temos:
Vplástico  Vcilindromaior - Vcilindromenor
Vplástico  7000π cm³ - 2520π cm³  4480π cm³
Foram gastos 4480 cm³ de
plástico para fazer esse cano.
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23
Exercício
Uma ponte de concreto tem a forma da figura
abaixo. Suas dimensões estão assinaladas na
figura, qual é o volume aproximado de concreto
usado para construir essa ponte?
30 m
Use  = 3.
5m
8m
8m
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24
Resolução
Mais uma vez, veja como é importante você ter
a interpretação correta da questão. O segredo
para resolver esse exercício é ter a noção de
que o volume de concreto usado será o volume
desse bloco inteiro (30 m x 5 m x 8 m) subtraído
do volume da metade do cilindro que tem 8 m
de diâmetro e 8 m de altura.
Então, agora, vamos calcular o volume desse
bloco e da metade do cilindro que será
subtraído.
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Resolução
Vbloco  Abase  h  (30m 8m)5m  1200m³
Vcilindro πr²h (3)(4m)²(5m)


 120 m³
2
2
2
Como o volume de concreto usado é o volume
do bloco subtraído da metade do volume do
cilindro, temos:
Vcilindro
Vconcreto  Vbloco 
 1200m³ - 120m³  1080m³
2
Foram usados, aproximadamente,
1080 m³ de concreto.
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26
Definição do cone
Considere um plano α, uma região circular R
nesse plano e um ponto P não pertencente a a.
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27
Definição do cone
A região de todos os seguimentos que ligam
cada ponto de R ao ponto P é um sólido
chamado cone circular.
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28
Definição do cone
A superfície do cone é formada por uma parte
plana, que é a região circular da base, e uma
parte não plana que é a superfície lateral.
Vértice
Sup. lateral
Base
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Volume do cone
Considere um cone de altura H e base de área A
contida em um plano horizontal α. Considere
também uma pirâmide de altura H, base de área
A, também contida em α.
Se um plano horizontal β com distância h dos
vértices secciona os dois sólidos, determinando
regiões planas de áreas A1 e A2 podemos fazer
algumas considerações, vejamos a seguir:
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30
Volume do cone
A1 h²
A2 h²


e
A H²
A H²
A2 A1


A A
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 A1  A2
31
Volume do cone
Pelo princípio de Cavalieri podemos afirmar que o
cone e a pirâmide iniciais tem o mesmo volume.
Como já sabemos o volume da pirâmide, temos:
(área da base) (altura)
Vcone 
3
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32
Volume do tronco de cone reto
Considere o seguinte tronco de conte reto:
V
h1
3
(r ²1  r1r 2  r ²2)
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33
Exemplo
Qual o volume de um cone de raio 7cm e altura
de 12cm?
1
1
V  r ² h   7² 12  196  615,44cm³
3
3
O volume do
aproximadamente.
cone
é
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de
615,44cm³,
34
Exemplo
Qual a capacidade de uma casquinha de
sorvete de forma cônica cujo diâmetro é de
6cm e cuja altura é de 10cm?
Modelo matemático
Modelo real
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35
Exemplo
Continuação:
d = 6cm; raio = 3cm; h = 10cm
1
1
V  r ² h   3² 10  30  94,20cm ³
3
3
Como 1cm³ = 1ml, a capacidade do copinho é
de 94,20 ml, aproximadamente.
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36
Exercício
Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone.
Suas dimensões estão indicadas na figura. Qual é
o volume máximo de água que a vasilha pode
conter, em litros? Use π = 3,14.
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37
Resolução
r1= 40cm; r2 = 20cm; h1 = 30cm
h1
V
(r ²1  r1  r 2  r ²2)
3
30
V
(40²  40  20  20²)
3
V  10 (2800)  87920cm³  87,920dm³
Como 1dm³ - 1litro o volume máximo de água
que a vasilha pode conter é de 87,92 litros.
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38
Volume da esfera
Considere um ponto C e um número real positivo
R qualquer. A esfera de centro C e raio de medida
R é o conjunto de todos os pontos do espaço que
estão a uma distância menor do que ou igual a R
do ponto C.
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39
Volume da esfera
O volume de uma esfera de raio R é igual a:
4
V  (R ³)
3
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40
Exemplo
Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na
vasilha abaixo.
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41
Exemplo
O volume do cilindro no qual r = 2,5cm e h = 8cm
V  r ²h   (2,5)²  8  50cm³
O volume da esfera na qual R = 7cm
4
4
1372
V  R³   (7)³  8 
cm ³
3
3
3
O volume da vasilha:
1372 1522
V  50 

 1593cm ³
3
3
Como 1cm³=1ml. O volume da vasilha é de,
aproximadamente, 1593ml
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Exercício
Um reservatório de forma esférica tem 9m de raio.
Para encher totalmente esse reservatório são
necessárias 20 horas. Nessas condições, o
reservatório recebe água na razão de quantos
m³/h? Considere π = 3,14.
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Resolução
Como o raio r é 9m. E o tempo necessário para
encher é t = 20h. A vazão Q é entendida como o
volume de água pela quantidade de horas. Assim
calculamos o volume e dividimos pela quantidade
de horas:
4
4
V  R³   (9)³  3053,62cm ³
3
3
Assim, calculamos a vazão:
3053,62
Q
 152,68m³ / h
20
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Referências Bibliográficas
DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora Ática. 2009.
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