Fı́sica Experimental
Revisado em
26 de fevereiro de 2010
por
Luciano Camargo Martins
Departamento de Fı́sica
Grupo de Dinâmica Não Linear e Sistemas Dinâmicos Não Lineares
UDESC-Joinville-SC, Brasil
E-mail:
[email protected]
2
Sumário
1 Introdução
5
1.1 O Método Cientı́fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Medidas e algarismos significativos
2.1 Medida de uma grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
9
9
2.1.1
Representação numérica de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.2
Operações com potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.1.3
Algarismos significativos de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.4
Precisão de um aparelho de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.5
Transformação de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.6
Notação cientı́fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.7
Múltiplos e Sub-múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2 Critérios de Arredondamento
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3 Operações com Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.1
ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.2
MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 Erros
27
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2 Classificação dos Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3 Postulados de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.3.1
Cálculo do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.2
Representação final da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4 Erro relativo percentual E% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.5 Propagação de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.6 Exercı́cios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4 Gráficos
41
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.3 Construção do Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4
SUMÁRIO
4.4
Escolha e Identificação das Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.5
O Traçado da Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.6
A Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.7
Linearização de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.8
O papel mono-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.8.1
Análise detalhada do papel mono-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
O papel di-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.10 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.9
Capı́tulo 1
Introdução
O objetivo desta apostila é apresentar, de forma concisa, os conteúdos mı́nimos necessários aos cursos de
Fı́sica Experimental oferecidos aos cursos de Engenharia da FEJ.
O Capı́tulo 1 apresenta o Método Cientı́fico de Galileu, e discute a sua relevância para as ciências experimentais.
O Capı́tulo 2 trata das medidas das grandezas fı́sicas, do processo de medição e operações com medidas
experimentais. Espera-se que, ao final deste capı́tulo, o leitor tenha uma idéia clara de que tipo de grandeza
se pode medir, das possı́veis formas de se realizar esta medida, bem como de seu significado fı́sico, dos
instrumentos de medida disponı́veis no laboratório e da sua precisão e acurácia, dos diferentes sistemas de
unidades usados e de como proceder a conversão de medidas entre estes diferentes sistemas.
O Capı́tulo 3 introduz a noção de erro, os tipos de erros que afetam as medidas experimentais, e também
apresenta o método estatı́stico de tratamento dos dados experimentais, e trata de como se estimar o erro
provável em uma média feita sobre várias medidas.
Finalmente, o Capı́tulo 4 apresenta e discute os procedimentos básicos para a construção de gráficos, os
diferentes tipos de linearizações possı́veis, e o uso dos papéis especiais para a sua construção.
1.1
O Método Cientı́fico
Coube a Galileu Galilei a fixação de bases lógicas e filosóficas para a ciência experimental através criação e organização de um método cientı́fico original e completo,
que é a base fundamental de toda a Ciência. Inicialmente proposto para o estudo
de problemas fı́sicos, o método de Galileu é utilizado atualmente no estudo de uma
enorme gama de fenômenos observados nas mais variadas áreas das ciências, como
por exemplo, na Economia, na Medicina, nas Engenharias, na Sociologia e na Psicologia.
O grande desenvolvimento observado na Ciência, desde o século XVII até a época
atual; a criação de áreas cientı́ficas inteiras e uma infinidades de sub-áreas e suas
especializações, muito se deve ao Método Cientı́fico de Galileu e também à posterior
1.1: Galileu
criação da Estatı́stica, com os seus métodos de análise, teste e inferência de hipóteses, Figura
Galilei (1564–1642).
pelo matemático e fı́sico Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
A seguir serão expostas as idéias básicas do Método Cientı́fico de Galileu.
6
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Um pesquisador, ao estudar um determinado fenômeno, executa basicamente os seguintes passos:
1. observação do fenômeno;
2. formulação de hipóteses explicativas do fenômeno;
3. teste das hipóteses através da realização de experimentos;
4. elaboração de uma teoria sobre o fenômeno estudado;
5. previsão teórica de novos fenômenos, com base na teoria proposta;
6. projeto de novos experimentos para testar as novas previsões teóricas;
7. validação da teoria inicial proposta, ou revisão e reformulação da teoria, caso os resultados dos novos
experimentos estejam em desacordo com as previsões teóricas, e neste caso, volta-se ao passo número
2.
Com base nesse esquema, a ciência evolui cada vez mais, as vezes com pequenas modificações, as vezes com
grandes revoluções, propondo teorias cada vez mais completas e mais gerais, capazes de explicar classes cada
vez mais vastas de fenômenos naturais.
Na fase da experimentação, são realizadas medidas das grandezas fı́sicas relacionadas ao fenômeno em estudo.
Estas medidas trazem consigo erros que podem ser ou não devido ao processo de medida utilizado, ou do
próprio tratamento matemático dos dados obtidos, ou seja, das operações matemáticas necessárias, que são
efetuadas com as medidas experimentais.
É evidente que todos os passos do método cientı́fico criado por Galileu são importantes, no entanto, a
realização de experimentos para a comprovação de hipóteses e posterior elaboração de uma teoria é, sem
dúvida, bastante delicada e trabalhosa. Isto ocorre porque a dependência da refutação ou não das hipóteses
assumidas está justamente vinculada aos dados colhidos na experimentação. Nesta importante etapa da
experimentação, a chamada coleta de dados, é que são executadas as medidas das grandezas fı́sicas relevantes
envolvidas no problema.
Por maior que seja o conjunto de medidas e testes experimentais feitos, nenhuma hipótese ou teoria pode
ser tida como a verdade absoluta, pois isto não existe na Ciência. A descoberta de apenas um fenômeno em
desacordo com uma teoria pré-estabelecida coloca em cheque a sua validade, e em geral, faz com que ela se
torne objeto de revisão ou reformulação. Em alguns casos há a necessidade de uma reformulação completa,
abandonando-se a teoria antiga ou ampliando-a para uma teoria mais geral, que contenha a teoria antiga e
consiga então explicar os novos fenômenos antes inexplicáveis.
Exemplo 1-1
Talvez o melhor exemplo desse mecanismo dinâmico contido na idéia da Ciência, herdada do
método de Galileu, tenha sido a observação experimental de que a velocidade da luz no vácuo
é sempre a mesma, independente do observador, conforme o resultado da famosa experiência
de Michelson-Morley, realizada em 1887 por Albert Michelson (1852–1931) e Edward Morley
(1838–1923).
Este simples fato levou ao questionamento da validade da Mecânica Clássica, a sólida teoria
criada por Isaac Newton (nascido no ano da morte de Galileu), e desenvolvida por inúmeros
7
1.1. O MÉTODO CIENTÍFICO
Mecânica Clássica
Teoria da Relatividade Restrita
Teoria da Relatividade Geral
Teoria Quântica da Gravidade (?)
Figura 1.2: Evolução da Mecânica, desde a Mecânica Clássica de Newton, até a moderna Teoria da Relatividade Geral de Einstein.
outros cientistas ao longo de mais de 200 anos, até então sem nenhuma contradição. Este simples
fato, tomado como postulado de uma teoria mais geral, foi proposto em 1905 como fundamental
dentro de uma nova teoria, a Teoria da Relatividade Restrita, de Albert Einstein (1879–1955).
Dentro desta teoria mais geral, a antiga teoria, a Mecânica Clássica, pode ser considerada um caso
particular, válida dentro do chamado limite clássico, ou seja, é válida para sistemas mecânicos
que se movem a baixas velocidades, considerando-se a velocidade da luz como referência. Alguns
anos depois, uma nova teoria mais geral foi proposta, e ampliou ainda mais o âmbito da mecânica,
com o surgimento da Teoria da Relatividade Geral em 1916, também de Einstein.
A medida que uma teoria cientı́fica evolui, pode-se observar uma estrutura hierárquica, onde cada nova teoria
acrescenta, modifica ou invalida conceitos herdados da teoria anterior, ampliando a classe de fenômenos
explicados pela teoria, ou seja, terá que explicar os fenômenos antigos e os novos, não explicados pela teoria
anterior. A Figura 1.2 ilustra graficamente este esquema evolutivo.
É notável também o fato de que a Mecânica Clássica, na sua formulação moderna, juntamente com as idéias
da Teoria Eletromagnética Clássica, unificada por James Clerk Maxell (1831-1879) no ano de 1864, tenha
levado ao desenvolvimento de uma segunda teoria totalmente diferente, a Mecânica Quântica, iniciada em
1900 e baseada inicialmente nas idéias de Max Planck (1858–1947) e posteriormente desenvolvida por vários
fı́sicos nas primeiras décadas do século XX, e que é a base atual de pesquisa na área de Fı́sica Atômica e
Molecular, Fı́sica Nuclear e Quı́mica Quântica, só para citar três.
Atualmente, fı́sicos trabalham na unificação da Teoria da Relatividade Geral com a Teoria Quântica, ou
seja, numa grande teoria unificada capaz de abordar todos os fenômenos fı́sicos observados na natureza, de
forma compacta e elegante.
Einstein, segundo seu biógrafo Abraham Pais [1], disse que a teoria fı́sica tem dois anseios: englobar o
máximo possı́vel de fenômenos e suas conexões e alcançar isso com base no menor número possı́vel de
conceitos independentes e relações arbitrariamente pressupostas.
O método cientı́fico pode ser extendido para as ciências ditas não exatas, como a Medicina, a Biologia,
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Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Arqueologia, etc. Neste caso, para maior segurança nas conclusões, toda experiência deve ser controlada.
Experiência controlada é aquela realizada com técnicas que permitem descartar as variáveis que podem
mascarar o resultado.
Nesse tipo de experiência, utiliza-se o duplo-cego, um método que utiliza:
• um grupo de teste (o grupo que será efetivamente testado);
• um grupo de controle (um grupo que não é testado, e serve apenas para comprovar que o teste é
válido);
Exemplo 1-2
Um pesquisador procura testar a eficiência de determinado medicamento na cura de certa doença.
Ele, então, usa dois grupos de doentes portadores daquela doença. A um dos grupos ele ministra
comprimidos contendo a substância ativa (grupo de teste). Aos pacientes do outro grupo (grupo
de controle), são dados comprimidos que não possuem a substância ativa, embora idênticos
no aspecto, tamanho e cor. Nenhum doente saberá se está tomando o remédio verdadeiro ou
apenas o placebo (falso remédio). Da mesma forma, a pessoa encarregada de distribuir os
comprimidos também não o saberá. Apenas, cada doente receberá um vidro enumerado, para
que o pesquisador possa, ao final, identificar quem tomou a substância ativa e quem tomou o
placebo.
A navalha de Ockham é um princı́pio atribuı́do ao lógico inglês do século XIV, William de Ockham e que
hoje em dia se enuncia:
se há várias explicações igualmente válidas para um fato, então devemos escolher a mais simples.
A navalha de Ockham tornou-se parte básica do que viria a ser conhecido como método cientı́fico. É um
guia lógico para escolher, entre várias hipóteses a serem verificadas, aquela que contém o menor número de
afirmações não demonstradas, constituindo um dos pilares do reducionismo1 em ciência.
Ao longo da história da ciência a navalha de Ockham foi usada de mais de uma forma. Uma delas é na
escolha da teoria mais simples para explicar um fenômeno, como na escolha da teoria do eletromagnetismo
de Einstein em lugar da teoria do éter luminoso.
1
Reducionismo, em filosofia, é o nome dado a teorias correlatas que afirmam, grosso modo, que objetos, fenômenos, teorias
e significados complexos pode ser sempre reduzidos, a fim de explicá-los, a suas partes constituintes mais simples. O oposto
das idéias do reducionismo constitui o holismo: a idéia de que objetos, fenômenos, teorias e significados têm propriedades como
um todo, que não são explicáveis a partir das propriedades de suas partes.
Capı́tulo 2
Medidas e algarismos significativos
2.1
Medida de uma grandeza
Medir uma grandeza G é compará-la com uma outra grandeza U, chamada unidade, que é padronizada
internacionalmente ou escolhida arbitrariamente pelo experimentador. A comparação G/U, que representa
o número de vezes que a grandeza contém a unidade, é um número chamado medida da grandeza G com a
unidade U. No processo de medir, intervém o objeto (grandeza) a ser medido, o instrumento de medição
(e seu funcionamento), a unidade padrão utilizada e o experimentador, responsável pelo cumprimento dos
critérios de operação para fazer as leituras na escala do instrumento.
Qualquer medida pode ser feita de duas maneiras, direta ou indiretamente. A medida é dita direta quando
o valor padrão respectivo é comparado diretamente com o valor desconhecido da mesma grandeza. Por
exemplo, se uma massa desconhecida MX (G) é comparada com uma massa padrão MP (U), em uma
balança de pratos, o resultado da comparação será a medida direta do valor de MX . Já uma medida indireta
é efetuada utilizando-se padrões de grandezas relacionados com a grandeza a ser medida. Por exemplo, se
no caso da massa a ser medida MX , em vez de uma balança de pratos, for usada uma balança de molas,
o resultado obtido será a medida indireta de MX . Neste caso, a comparação é feita entre as elongações
da mola: uma produzida por MX e outra produzida pela massa padrão MP . Outro exemplos de medida
indireta é a leitura de variações de temperatura em um termômetro. Neste caso, a grandeza medida é obtida
através da medida da variação da altura da coluna de mercúrio ou álcool, que é causada pela variação da
temperatura.
2.1.1
Representação numérica de uma medida
As grandezas fı́sicas podem ser classificadas em duas grandes classes, quanto ao seu tipo:
• escalares, que ficam completamente definidas por sua intensidade (ou módulo) acompanhada de uma
unidade de medida. Em alguns casos a grandeza pode ser adimensional, não possuindo portanto
unidade;
• vetoriais, que além de uma intensidade (ou módulo) acompanhada de uma unidade de medida,
necessitam de uma direção e um sentido no espaço, para ficarem completamente definidas.
Na maior parte dos casos, a representação numérica da intensidade (ou módulo, ou valor) de medidas de
grandezas não pode ser representada por números inteiros, fazendo-se necessário o uso de números reais, na
10
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
representação decimal.
Na representação decimal, um número possui uma parte inteira e uma parte decimal, ou fracionária, ambas
separadas por uma vı́rgula “,”, como por exemplo em L = 12, 35 m.
É importante se observar que em outros paı́ses, como os de lı́ngua inglesa, por exemplo, utiliza-se um ponto
“.” para a separação das casas decimais da parte inteira de uma medida, como pode ser observado na maioria
das calculadoras de bolso. No Brasil, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), recomenda o uso
exclusivo da vı́rgula como separador da parte decimal de medidas, e do ponto para separação dos milhares,
como por exemplo em 1.490, 0. Portanto, deve-se usá-la na representação de medidas reais, em pesquisas
ou mesmo em trabalhos universitários ou escolares. Veja-se vários exemplos na Tabela 2.1.5.
2.1.2
Operações com potências de 10
Sendo duas potências de 10 escritas na forma a × 10m e b × 10n , onde a e b são suas mantissas e m e n os
respectivos expoentes (potências de 10), temos:
Multiplicação
(a × 10m ) × (b × 10n ) = (ab) × 10m+n
Divisão
(a × 10m ) ÷ (b × 10n ) =
a
× 10m−n
b
Potenciação
(a × 10n )m = am × 10n×m
Radiciação
√
m
a × 10n =
√
m
a × 10n/m
Adição e subtração
Inicialmente, colocamos todos os números na mesma potência de 10 (de preferência na maior), e em seguida,
colocamos a potência de 10 em evidência e, finalmente, somamos ou subtraı́mos as partes numéricas.
Exemplo 2-1
a) (2 × 103 ) × (3 × 102 ) = 2 × 3 × 103+2 = 6 × 105
b) (6 × 104 ) ÷ (3 × 102 ) =
6
3
× 104−2 = 2 × 102
c) (3 × 104 )2 = 32 × 104×2 = 9 × 108
√
√
6
d) 2 4 × 106 = 2 4 × 10 2 = 2 × 103
e) 5, 32 × 105 + 2, 2 × 104 = 5, 54 × 105
11
2.1. MEDIDA DE UMA GRANDEZA
2.1.3
Algarismos significativos de uma medida
Todos os algarismos conhecidos com certeza, acompanhados de um último duvidoso, que expressam o valor
da medida de uma grandeza, são chamados de algarismos significativos. Repetindo, são chamados de
algarismos significativos de uma medida àqueles que se tem plena certeza, mais um do qual se duvida. Os
demais algarismos que estiverem colocados à direita do duvidoso não são significativos e, portanto, não
devem ser considerados. Quando o valor de uma medida é representado na notação decimal, chamamos de
casas decimais, os algarismos representados após (ou à direita) a vı́rgula , ou seja, na parte decimal.
Observe que o número de casas decimais de uma medida depende da unidade utilizada, e em geral, difere
do número de algarismos significativos da mesma, conforme será visto na subseção 2.1.5.
cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Haste A
cm
1
Haste B
Figura 2.1: Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, realizadas com uma régua centimetrada,
ou seja, com divisões a cada centı́metro da escala.
Exemplo 2-2
A Figura 2.1 representa parte de uma régua centimetrada, ou seja, com divisões em centı́metros,
com a qual são feitas as leituras (medida direta) dos comprimentos de duas hastes diferentes: A
e B.
Para a haste A, um observador poderia ler o seu comprimento (grandeza a ser medida) como:
5, 9 cm, 5, 7 cm, ou talvez 5, 8 cm. Cada uma destas medidas tem dois algarismos significativos.
O primeiro lido com certeza na escala centimetrada, e o último arbitrado com bom senso, o
chamado algarismo duvidoso, assim denominado porque é obtido de uma estimativa do valor
entre dois traços indicativos de centı́metros.
Devido ao fato de que a escala da régua (em centı́metros) só permite certeza na parte inteira da
medida (os centı́metros). Assim, o primeiro algarismo da sua parte decimal (casa dos décimos de
centı́metros) só pode ser estimado “a olho”, sendo, portanto, o dito duvidoso. Uma vez arbitrado
o algarismo duvidoso e definida a unidade de medida utilizada, a medida está completa.
Sempre que se efetua uma medida, seu valor é representado por um número (módulo ou intensidade) acompanhado de uma unidade. Esse número contém a quantidade máxima possı́vel de
algarismos significativos, sendo o último o duvidoso.
Neste caso, jamais se poderia encontrar valores tais como 5, 91 cm ou 5, 732 cm, pois se o décimo
de centı́metro (o duvidoso) lido já foi escolhido arbitrariamente, não faria sentido a escolha de
um segundo algarismo duvidoso para representar os centésimos de centı́metros da medida.
12
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Para a haste B, um observador poderia ler o seu comprimento como: 15, 2 cm, 15, 3 cm, ou talvez
15, 4 cm. Cada uma destas medidas tem três algarismos significativos. Os primeiros dois lidos
com certeza na escala centimetrada, e o último o duvidoso, obtido como explicado no caso da
haste A. Observe que para ambas as hastes, as medidas de comprimento possuem o mesmo
número de casas decimais (apenas uma), mas diferentes números de algarismos significativos
(dois e três, respectivamente).
Uma medida deve, então, ser composta por todos os algarismos de que se tem certeza acompanhados por
apenas um duvidoso. Por isso, a medida em centı́metros feita para o comprimento da haste A do Exemplo
2 deve ser expressa com uma casa decimal, e portanto, com dois algarismos significativos. Para a haste B,
mais longa, a medida apresenta três algarismos significativos, e também apenas uma casa decimal.
cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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16
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4
5
6
7
8
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15
16
Haste A
cm
1
Haste B
Figura 2.2: Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, feitas com uma régua milimetrada.
Exemplo 2-3
A Figura 2.2 representa parte de uma régua milimetrada com a qual é feita a leitura (medida
direta) do comprimento de uma haste.
Para a haste A, um observador poderia ler o comprimento da haste como: 5, 95 cm, 5, 96 cm, ou
5, 97 cm. Cada uma destas medidas tem três algarismos significativos. O último é o duvidoso,
uma vez que é uma estimativa do valor entre dois traços indicativos de milı́metros. Em conclusão,
sempre que se efetua uma medida, seu valor é representado por um número, acompanhado de
uma unidade. Esse número contém a quantidade máxima possı́vel de algarismos significativos,
sendo o último o duvidoso. Neste caso, jamais se poderia encontrar valores tais como 5, 950 cm
ou 5, 9552 cm. Isto devido ao fato de que a escala da régua (em milı́metros) só permite certeza
na primeira casa decimal (casa dos milı́metros). Assim, o algarismo da segunda casa decimal
(casa dos décimos de milı́metros) só pode ser estimado “a olho”, sendo, portanto, o duvidoso
(último algarismo significativo da medida).
É importante observar que para uma outra haste com mais de 10 cm de comprimento, e menos de
100 cm, a medida obtida com o mesma régua do Exemplo 3 teria quatro algarismos significativos,
já que teria um ordem de grandeza a mais do que a medida da régua mostrada. Por exemplo,
para a haste B, se fosse lido 15, 22 cm, terı́amos ainda duas casas decimais, porém essa medida
apresenta quatro algarismos significativos. E assim por diante, para medidas entre 100 e 1000 cm,
mais um algarismo significativo teria a medida, sendo feita com a mesma régua milimetrada, e
assim sucessivamente.
13
2.1. MEDIDA DE UMA GRANDEZA
Em alguns casos, por limitações visuais ou mesmo impossibilidade de fixação do objeto a ser medido sobre
a escala de medida (no caso da régua), não se consegue obter o número máximo de casas decimais que, em
condições ideais, poderiam se lidas no instrumento. Deve-se, neste caso, com bom senso, parar-se a leitura
dos dı́gitos sempre no primeiro algarismo duvidoso encontrado para a medida.
Exemplo 2-4
Fazendo-se incidir uma feixe laser sobre uma escala milimetrada, a leitura da medida fica limitada
pelo tamanho do “ponto” de luz observado, que é maior do que a menor divisão de escala usada,
o milı́metro. Neste caso, pode-se ler com certeza sobre a escala o dı́gito correspondente aos
centı́metros, sendo que o dı́gito correspondente aos milı́metros já é o duvidoso da medida. A
partir desse ponto, não faz mais sentido se tentar ler mais nenhum dı́gito, pois já se tem dúvida
sobre o dı́gito anterior. Veja a Fig. 2.3.
cm
1
2
3
4
u
5
6
7
8
Figura 2.3: Medida direta da posição de um feixe laser feita sobre uma escala milimetrada.
Finalmente, podemos concluir que:
A menor divisão de escala de um aparelho define o número máximo de casas decimais que
podem ser lidas, porém há casos em que este número máximo não pode ser atingido.
2.1.4
Precisão de um aparelho de medidas
Os exemplos anteriores servem para demonstrar que uma mesma grandeza medida em diferentes aparelhos
de medida, terão diferentes números de casas decimais, e portanto, serão lidas com precisões diferentes.
Definição: Podemos definir então que a precisão de uma medida direta depende da menor divisão da escala
do instrumento de medidas usado na medição, sendo da mesma ordem de grandeza desta. Assim define-se
a precisão máxima de um aparelho de medida como a sendo a metade da menor medida que
pode ser feita com certeza com este aparelho, ou seja, sua precisão é numericamente igual
à metade da sua menor divisão de escala. Por extensão, definiremos que a precisão de uma medida
direta é a precisão do aparelho de medidas de onde foi obtida. Desta forma, espera-se que o valor de uma
grandeza esteja sempre no intervalo:
medida = (valor medido) ± (metade da menor divisão de escala).
Para os exemplos da Figura 2.1 a precisão das medidas obtidas é igual a 0, 5 cm, independente do valor
medido. Nos exemplos da Figura 2.2 para a régua milimetrada, a precisão das medidas é de 0, 5 mm,
portanto dez vezes maior do que a obtida com a régua centimetrada.
14
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Esta é uma definição operacional bem prática do conceito de precisão, porém é exatamente o que precisamos
para a maioria das medidas e instrumentos usados nos laboratórios das disciplinas de Fı́sica Experimental
da FEJ.
Para obter uma medida direta do comprimento da haste com um número maior de casas decimais, ou uma
maior precisão, é necessário que a mesma seja efetuada com instrumento mais preciso (com uma escala com
mais subdivisões) que a régua lá utilizada, por exemplo, com o uso de um paquı́metro ou um micrômetro.
Outra forma de se conseguir aumentar a precisão da medida de uma grandeza, além da precisão do instrumento de medida utilizado, é baseada na repetição de medições feitas com a um dado aparelho de medidas,
e do uso correto da análise e inferência estatı́stica, conforme será estudado no Capı́tulo 3.
2.1.5
Transformação de Unidades
Suponha que seja feita uma medida de um comprimento utilizando a régua do Exemplo 1, e seja obtido
o resultado 18, 76 cm. Como expressar esta medida em mm, m e km? Veja que a grandeza medida é
a mesma, isto é, o comprimento, bem como o aparelho utilizado para obtê-la. Assim, independente da
unidade, o número de algarismos significativos deve ser mantido em quatro, então,
18, 76 cm = 187, 6 mm = 0, 1876 m = 0, 0001876 km.
Os zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo nas transformações acima, não são significativos,
servem apenas para fixar a vı́rgula. De maneira geral, todos os algarismos de uma medida são significativos,
exceto o zero quando serve apenas para localizar a posição da vı́rgula.
A regra acima é baseada no fato de que, na grande maioria dos casos, a transformação de unidades é
apenas multiplicativa, ou seja, os zeros de duas escalas diferentes da mesma grandeza coincidem em geral,
apenas sendo necessário uma correção multiplicativa (por um fator constante) para proceder a conversão
de unidades.
Exemplo 2-5
Para a conversão de uma medida de comprimento x = 10, 8 pol em centı́metros fazemos simplesmente o produto
x = 10, 8 pol = (10, 8 pol)(2, 54 cm/pol) = 27, 4 cm
Existe porém uma exceção importantı́ssima à esse regra, de uso bastante comum na Fı́sica, que ocorre nas
transformações de temperaturas entre escalas térmicas diferentes, em geral. Por exemplo, entre as escalas
mais usadas, que são as escalas Kelvin e Celsius, como os zeros das escalas não coincidem e mesmo
sendo ambas as escalas centı́gradas, há a necessidade de uma correção aditiva para proceder a conversão de
unidades.
Exemplo 2-6
Para a conversão de uma medida de temperatura TC = 27, 5 ◦ C feita na escala Celsius, para a
escala absoluta ou Kelvin, procedemos simplesmente a soma
K
+ 273, 15 K = 27, 5 K + 273, 15 K = 300, 6 K
T = TC × ◦
C
2.1. MEDIDA DE UMA GRANDEZA
15
e se observa claramente que neste caso, a regra de arredondamento a ser usada é a da soma, o
que permite que se escreva a temperatura na nova escala com quatro algarismos significativos,
apesar da medida original possuir apenas três algarismos significativos!
Outro caso interessante, onde ambos os ajustes multiplicativos e aditivos são necessários ocorre, por exemplo,
em transformações de temperaturas entre as escalas Celsius e Fahrenheit.
Exemplo 2-7
Para converter a mesma temperatura TC = 27, 5 ◦ C do exemplo anterior para a escala Fahrenheit,
fazemos
◦ 9F
TF = TC ×
+ 32 ◦ F
5◦ C
9◦
F + 32◦ F = 49, 5 ◦ F + 32◦ F = 81, 5◦ F
5
onde considerou-se os números 5, 9 e 32 como constantes exatas, por definição.
TF = 27, 5 ×
Exemplo 2-8
Na Tabela 2.1.5 estão mostradas várias grandezas fı́sicas comuns, com sua classificação,
exemplo de medidas, suas respectivas unidades.
Observações a respeito deste exemplo:
1. a eficiência é uma grandeza adimensional, e portanto, não possui nenhuma unidade
de medida;
2. o número de casas decimais de uma medida é, em geral, diferente do seu números
de algarismos significativos;
3. ângulo plano (e sólido) é, por definição uma grandeza adimensional1. Como a
grandeza pode ser medida em várias unidades arbitrárias, como graus, grados ou
mesmo em percentagem, definiu-se a unidade oficial (SI) como sendo o radiano,
cujo sı́mbolo é rad, como o sendo o ângulo compreendido pelo arco de comprimento
igual ao raio, pertencentes à mesma circunferência;
4. observe-se o uso simultâneo da vı́rgula decimal, e do ponto do milhar, nos exemplos
para energia e deslocamento.
1
A medida de um ângulo plano θ é a razão do comprimento s de um arco de uma circunferência pelo seu raio R, ou seja,
θ ≡ s/R.
16
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Grandeza
comprimento
tempo
massa
momento de inércia
vazão
velocidade
aceleração
força
pressão
temperatura
ângulo plano
ângulo sólido
energia
potência
eficiência
deslocamento
carga elétrica
Tipo
escalar
escalar
escalar
escalar
escalar
vetorial
vetorial
vetorial
escalar
escalar
escalar
escalar
escalar
escalar
escalar
vetorial
escalar
S
s
t
m
I
R
v
a
F
p
T
θ
Ω
E
P
ε
r
q
SI
m
s
kg
kg · m2
m3 /s
m/s
m/s2
N
N/m2
K
rad
srad
J
W
—
m
C
Medida
12, 5 m
119, 75 s
78, 750 kg
0, 333 kg · m2
1, 7 m3 /s
343i (m/s)
−9, 81 j (m/s2 )
8, 0 i + 11, 1 j (N)
1, 05 × 105 N/m2
273, 15 K
0, 0012 rad
1, 2 srad
2.100, 0 J
735 W
0, 31
−2.000 k (m)
1, 602 × 10− 19 C
NCD
uma
duas
três
três
uma
nenhuma
duas
uma, uma
duas
duas
quatro
uma
uma
nenhuma
duas
nenhuma
três
NAS
três
cinco
cinco
três
dois
três
três
dois, três
três
cinco
dois
dois
cinco
três
dois
quatro
quatro
Tabela 2.1: Algumas grandezas fı́sicas bastante usadas, seu tipo, seu sı́mbolo usual (S), sua unidade no
Sistema Internacional (SI), um exemplo de uma medida da grandeza com o seu número de casas decimais
(NCD) e de algarismos significativos (NAS).
2.1.6
Notação cientı́fica
Considere as seguintes expressões: 3 m; 300 cm; 3000 mm. Ainda que representem a mesma dimensão,
aparecem escritas com diferentes números de algarismos significativos, ou seja, um, dois e quatro, respectivamente. Isto como resultado de uma medição tem diferentes significados. Se é dito que algo mede 3000 mm,
está assegurada a precisão da medida até o milı́metro. Se são empregadas distintas unidades, porém, com
o mesmo número de algarismos significativos, as três expressões acima, para uma precisão de um algarismo
significativo, devem ser escritas assim: 3 m, 3 × 102 cm ou 3 × 103 mm.
Se a precisão for de quatro algarismos significativos, tem-se: 3, 000 m, 3, 000 × 102 cm ou 3, 000 × 103 mm.
No último caso, todos os números são expressos em notação cientı́fica. Esta notação consiste em utilizar
apenas um algarismo significativo (não nulo) antes da vı́rgula, multiplicado por uma potência de dez representativa da ordem de grandeza da medida, seguida pela unidade correspondente. Logo, o algarismo antes
da vı́rgula é um número inteiro entre 1 e 9, inclusive.
Regras práticas
• números maiores que 1: deslocamos a vı́rgula para a esquerda, até atingir o primeiro algarismo do
número. O número de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potência
de 10.
17
2.1. MEDIDA DE UMA GRANDEZA
• números menores do que 1: deslocamos a vı́rgula para a direita, até o primeiro algarismo diferente
de zero. O número de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potência
de 10.
Exemplo 2-9
299776 km/s
0, 0100 pol
980, 66 cm/s2
0, 0003 kg
760 mm Hg
998 kg/m3
0, 00367 K −1
1.500 rpm
=
=
=
=
=
=
=
=
2, 99776 × 105 km/s
1, 00 × 10−2 pol
9, 8066 × 102 cm/s2
3 × 10−4 kg
7, 60 × 102 mm Hg
9, 98 × 102 kg/m3
3, 67 × 10−3 K −1
1, 500 × 103 rpm
ATENÇÃO Qualquer medida fı́sica deve ser escrita com a quantidade correta de algarismos significativos
e com as devida unidade de medida.
2.1.7
Múltiplos e Sub-múltiplos
Uma forma alternativa e equivalente à notação cientı́fica explicada acima, é o uso dos prefixos para indicar
a ordem de grandeza de uma medida. O exemplos mais comuns são: i) o prefixo mili, representado pela
letra minúscula m, usado para indicar o milésimo de uma unidade, como em mm (milı́metro) ou em mg
(miligrama); ii) o prefixo kilo, representado pela letra minúscula k, usado para indicar o milhar de uma
unidade, como se usa em km (kilômetro), kg (kilograma) ou kN (kilonewton).
Prefixo
D
k
M
G
T
Múltiplos
Nome Multiplicador
deca
102
kilo
103
mega
106
giga
109
tera
1012
Sub-Múltiplos
Prefixo Nome Multiplicador
d
deci
10−2
m
mili
10−3
µ
micro
10−6
n
nano
10−9
p
pico
10−12
Tabela 2.2: Tabela dos múltiplo e sub-múltiplos mais usados na Fı́sica, com exceção do prefixo deca (D),
de uso raro.
Para indicar-se os múltiplos de uma unidade, utilizam-se os prefixos maiúsculos (k, M, G, T , etc), com
exceção do prefixo k já que a letra K é utilizada na Fı́sica para a unidade de temperatura absoluta, o kelvin.
Para os sub-múltiplos de uma unidade, são utilizados os prefixos minúsculos (m, µ, n, p, etc). O fator de
multiplicação para os múltiplos e sub-múltiplos são os dados na Tabela 2.1.7.
Lembrando-se do fator de multiplicação definido para cada prefixo, o cálculo da multiplicação e divisão de
medidas será facilitado, podendo-se em muitos casos cancelar os prefixos, ou trocar-se por outro equivalente.
18
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Observação: Para evitar-se ambigüidades, quando duas grandezas fı́sicas aparecem multiplicadas, devese utilizar um ponto centralizado (“·”) entre elas, indicando o produto. Por exemplo, uma força pode ser
representada na unidade milinewton (mN), porém para representar-se um torque pode-se usar uma unidade
composta metro-newton (m · N), ou de forma equivalente, o newton-metro (N · m), já que o produto aqui
é comutativo. No caso dos prefixos, indicando múltiplos ou sub-múltiplos, como o próprio nome indica,
deve-se colocar o prefixo sempre antes da unidade, e sem nenhum ponto ou espaço entre eles.
2.2
Critérios de Arredondamento
Ao medir-se uma grandeza diversas vezes, as medidas obtidas, em sua maioria, são diferentes, de modo que
é necessário transformá-las em dados que expressem adequadamente o valor da grandeza medida.
Ao efetuar qualquer operação matemática com grandezas expressas com diferentes quantidades de algarismos significativos, o resultado será uma grandeza que não pode ter um número arbitrário de algarismos
significativos. É necessário que o resultado obtido seja arredondado no primeiro algarismos duvidoso. Os
critérios para tal procedimento são os que seguem.
Notação a partir deste ponto em diante, usaremos um traço sobre o dı́gito (algarismo) para indicar o
primeiro algarismo duvidoso de um resultado, que deverá ser arredondado.
1. Se os algarismos desprezados numa expressão formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, etc.,
o algarismo significativo imediatamente anterior aos desprezados deve ser AUMENTADO de uma
unidade.
Exemplo 2-10
1524, 572 cm3
12, 1254 g
204, 565 N
0, 0012152 A
0, 1372 V
6, 95
→
→
→
→
→
→
1524, 6 cm3
12, 13 g
204, 6 N
0, 00122 A
0, 14 V
7, 0
=
=
=
=
=
1, 5246 × 103 cm3
1, 213 × 101 g
2, 046 × 102 N
1, 22 × 10−3 A
1, 4 × 10−1 V
2. Se os algarismos desprezados numa expressão formarem números INFERIORES a 5, 50, 500, etc., o
algarismos significativo imediatamente anterior aos desprezados não se modifica.
Exemplo 2-11
699, 05 mm − Hg
80, 032 cal/g
27, 24 g
4, 8205 dyn/cm2
0, 5431 N/m
→
→
→
→
→
699 mm − Hg
80, 0 cal/g
27, 2 g
4, 8 dyn/cm2
0, 54 N/m
=
=
=
=
=
6, 99 × 102 mm − Hg
8, 00 × 101 cal/g
2, 72 × 101 g
4, 8 × 100 dyn/cm2
5, 4 × 10−1 N/m
2.3. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
19
3. Se os algarismos desprezados numa expressão formarem números IGUAIS a 5, 50, 500, etc., deve-se
proceder como segue:
• Se o algarismo significativo imediatamente anterior à parte desprezada (algarismo duvidoso) for
ÍMPAR, ELEVA-SE este de uma unidade;
• Se o algarismo significativo imediatamente anterior à parte desprezada (algarismo duvidoso) for
PAR, deixa-se este INALTERADO.
Esta última regra implementa um critério de desempate para os casos em questão. Observe que o
algarismo zero é considerado como sendo um número par, para uso da regra. Veja os exemplos abaixo.
Exemplo 2-12
1, 55500 W b/m2
0, 00355 cal/g
129, 500 g/s
1, 9500 dyn/cm2
0, 835 N/m
25, 165 mm − Hg
26500 m
2, 85 g
28, 500 J
0, 0004500 N.m
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1, 56 W b/m2
0, 0036 cal/g
130 g/s
2, 0 dyn/cm2
0, 84 N/m
25, 16 mm − Hg
2, 6 × 104 m
2, 8 g
28 J
0, 0004 N.m
=
=
3, 6 × 10−3 cal/g
1, 30 × 102 g/s
=
=
8, 4 × 10−1 N/m
2, 516 × 101 mm − Hg
=
=
2, 8 × 101 J
4 × 10−4 N.m
2.3
Operações com Algarismos Significativos
Com freqüência é necessário efetuar as quatro operações fundamentais com os resultados de medidas que,
em geral, são feitas com instrumentos que possuem precisão diferente. Não raro, com um mesmo aparelho
de medição, pode-se obter medidas com diferentes números de algarismos significativos. Para proceder estas
operações elementares, são válidas as normas de procedimento que seguem.
2.3.1
ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO
O resultado de uma adição (ou subtração) de duas ou mais medidas de uma mesma quantidade fı́sica
não pode ter maior número de casas decimais do que a parcela com menor número de casas decimais.
Procede-se a operação normalmente, e arredonda-se o resultado final.
Exemplo 2-13
20
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m
2 m + 22 cm + 2 mm = 2, 222 m = 2 m
14, 54 s + 408, 1 s + 0, 333 s = 422, 973 s = 423, 0 s = 4, 230 × 102 s
1, 0 g + 0, 015 g = 1, 015 g = 1, 0 g
6 + 7 = 13 = 13
138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65 m = 126, 6 m = 1, 266 × 102 m
118, 56 s − 58, 305 s = 60, 255 s = 60, 26 s = 6, 026 × 101 s
5, 00 g − 2, 016 g = 2, 984 g = 2, 98 g
122 − 115 = 7 = 7
10, 0 − 9 = 1 = 1
Observações
1. Quando as medidas a serem somadas (ou subtraı́das) estiverem em diferentes unidades, deve-se antes
da operação, fazer a conversão para uma unidade comum.
2. Na adição (subtração) de duas ou mais medidas o resultado poderá conter mais (menos) algarismos
significativos do que as parcelas, e com isso, ganha-se uma precisão maior (menor).
3. Tanto na adição, quanto na subtração, ıo arredondamento é executado após a operação, de acordo
com a medida com menor número de casas decimais.
2.3.2
MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO
O resultado de uma multiplicação (ou divisão) de duas ou mais medidas de uma mesma quantidade fı́sica
não pode ter maior número de algarismos significativos do que o fator (divisor) com menor número de
algarismos significativos. Procede-se a operação normalmente e arredonda-se o resultado.
Exemplo 2-14
1, 52834 m × 3, 38 m = 5, 1657892 m2 = 5, 17 m2
832 N/m × 0, 25 m2 = 208 J = 2, 08 × 102 J = 2, 1 × 102 J
0, 315 A × 5327 Ω = 1678, 005 V = 1, 678005 × 103 V = 1, 68 × 103 V
(8, 3 m)4 = 4745, 8321 m4 = 4, 7458321 × 103 m4 = 4, 7 × 103 m4
2 times70 = 140 = 1, 40 × 102 = 1 × 102
57, 38 cm ÷ 28, 1 s = 2, 041992882 cm/s = 2, 04 cm/s
1, 68 V ÷ 5327 Ω = 0, 000315374 A = 3, 15 × 10−4 A
8, 44 g ÷ 10, 726 cm3 = 0, 786873 g/cm3 = 7, 87 × 10−1 g/cm3
15 ÷ 2 = 7, 5 = 8
2.3. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
21
Observações
1. Nas demais operações, tais como radiciação, logaritmação, cálculo de funções trigonométricas,
potenciação, etc., efetua-se a operação normalmente e mantém-se o número de algarismos significativos da medida que está sendo operada, ou seja, utiliza-se a mesma regra da multiplicação.
2. Em operações que envolvem constantes exatas e medidas experimentais deve-se preservar o número
de algarismos significativos da medidas, considerando-se que as constantes existentes nas fórmulas
possam ser expandidas com quantos algarismos se queira. Em geral, basta que se use mais algarismos
(casas decimais) para as constantes do que se usa para o fator (parcela) mais pobre. Exemplo: nas
calculadoras de bolso, o valor de π vem pré-calculado com cerda de oito ou dez algarismos significativos,
o que em geral é maior do que a precisão da medida do diâmetro de uma esfera, o que será suficiente
para o cálculo do seu volume, ou seja, nenhum erro será acrescentado pelo valor usado para π. Veja-se
o exemplo abaixo.
Exemplo 2-15
f ) Determine o volume de uma esfera de raio r = 2, 00 cm.
4
4
4
V = π r 3 = × 3, 1416 × (2, 00 cm)3 = × 3, 1416 × 8, 00 cm3 = 33, 5104 cm3 = 33, 5cm3
3
3
3
g) Determine a área superficial da esfera do exemplo anterior.
A = 4π r 2 = 4 × 3, 1416 × (2, 00 cm)2 = 4 × 3, 1416 × 4, 00 cm2 = 50, 2626 cm2 = 50, 3cm2
h) Determine a área de um triângulo com base b = 2, 32 cm e altura h = 1, 35 cm.
A=
(2, 32 cm × 1, 35 cm)
3, 132 cm2
bh
=
=
= 1, 566 cm2 = 1, 57 cm2
2
2
2
Observações
1. Quando um cálculo com várias parcelas (fatores) utiliza sempre operações que seguem a mesma regra
de arredondamento, procede-se o cálculo e arredonda-se ao final. Isto ocorre na soma (ou subtração)
de várias parcelas ou no produto (divisão) de vários fatores, por exemplo.
2. Quando um cálculo exige o uso alternado de operações cujos resultados seguem diferentes regras de
arredondamento, segue-se o algarismo duvidoso para arredondamento ao final do cálculo, ou então
arredonda-se os resultados parciais a cada vez que a regra é alterada. Veja-se o exemplo abaixo.
Exemplo 2-16
22
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
i) Ache a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 5, 12 cm e b = 8, 5 cm.
c2 = a2 + b2 ⇒ c =
c=
√
a2 + b2 =
p
(5, 12 cm)2 + (8, 5 cm)2
p
p
26, 2144 cm2 + 72, 25 cm2 = 98, 4644 cm2 = 9, 9229 . . . cm = 9, 9 cm
j) Ache o coeficiente angular m da reta a partir dos pontos experimentais: P1 (2, 1 s; 12, 5 cm) e
P2 (12, 4 s; 64, 2 cm).
m=
y2 − y1
64, 2 cm − 12, 5 cm
51, 7 cm
=
=
= 5, 0194 . . . cm/s = 5, 02 cm/s
x2 − x1
12, 4 s − 2, 1 s
10, 3 s
k) Sendo x(t) = xm cos(ωt + φ), onde xm = 12, 35 cm, ω = 12, 5 rad/s e φ = π/4, determine
x(5, 0 s).
Sendo
(ωt + φ) = (12, 5 rad/s)(5, 0 s) + 3, 1416 . . . /4 = 62, 5 rad + 0, 7854 . . . rad = 63, 2854 rad
temos
x(5, 0 s) = (12, 35 cm)(cos(63, 2854 rad)) = (12, 35 cm)(0.89889865 cm) = 11, 10 . . . cm = 11 cm
23
2.4. EXERCÍCIOS
2.4
EXERCÍCIOS
2
0 cm1
3
4
5
6
7
f)
Faça os exercı́cios abaixo, respeitando os critérios de
arredondamento e de operação com algarismos signi- 3)Faça a leitura das temperaturas indicadas nas diferficativos.
entes escalas Celsius e converta as medidas obtidas
para a escala Kelvin:
Potências de 10
a)
1)Efetue as operações com potência de 10:
5
2
7
−3
a) 1, 2 × 10 × 3, 0 × 10
b) 2, 4 × 10 × 2, 5 × 10
w
i
−4 2
40
40
42
44
46
48
◦C
20
25
30
35
40
◦C
120
130
140
150
160
w
i
w
i
a)
g) (−2 × 10 )
√
h) 4 × 106
p
i) 4, 9 × 107
w
i
30
40
-40
-38
-36
-34
-32
◦F
300
320
340
360
380
◦F
32
34
36
38
40
w
i
5)Faça as leituras das pressões indicadas no manômetro
abaixo, sabendo-se que o fundo de escala2 do aparelho
foi ajustado para 100 P a.
Algarismos significativos
7
60
80
10
20
0
a)
0
6
40
20
10
2)Determine o comprimento de cada haste mostrada
abaixo, com o número correto de algarismos significativos:
5
20
◦F
d)
k) 5, 8 × 10−3 − 45 × 10−4
10
w
i
c)
j) 2, 30 × 103 + 4, 12 × 104
0
◦F
b)
4
30
4)Faça a leitura das temperaturas indicadas nas diferentes escalas Fahrenheit e converta as medidas obtidas para a escala Celsius:
f ) (3 × 104 )3
3
20
w
i
d)
e) (1, 5 × 10−6 ) ÷ (7, 5 × 10−2 )
2
10
◦C
c)
d) (8, 4 × 105 ) ÷ (7, 5 × 10−2)
0
◦C
b)
c) 5, 0 × 10−2 × 2, 6 × 10−4
0 cm 1
w
i
30
0
40
60
80
20
10
20
10
a)
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
b)
0
0
30
0
40
b)
60
80
20
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
20
0
c)
30
0
c)
40
60
80
20
2
3
4
5
6
7
0 cm1
2
3
4
5
6
7
20
0
d)
d)
e)
10
0
10
0 cm1
0
10
10
2
0
30
Chama-se fundo de escala de um multi-medidor a maior
medida que se pode ler na escala escolhida, o que define em
qual escala se deve realizar as medições.
24
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
40
60
a) 572.000
80
20
b) 12.520
10
20
10
0
0
e)
30
0
40
c) 50.300.000
60
80
20
d) 0, 0000512
10
20
10
e) 0, 0312
0
0
f)
30
0
40
f ) 0, 725
60
80
20
g) 0, 82 × 103
10
20
10
0
0
g)
h) 645 × 105
30
0
40
60
i) 9.150 × 10−3
80
20
j) 220 × 10−2
10
20
10
0
0
h)
30
0
40
k) 10, 2 × 103
60
80
20
l) 0, 00125 × 10−4
10
20
10
0
0
9)Faça a leitura das temperaturas indicadas nas diferentes escalas Kelvin, escreva-as em notação cientı́fica
6)Refaça o exercı́cio anterior, supondo agora que o e converta as medidas obtidas para as escalas Celsius
aparelho de medida seja um amperı́metro, com fundo e Fahrenheit, também em notação cientı́fica:
de escala ajustado para 30 mA.
w
i
a) K
0
10
20
30
40
7)Faça as leituras em cm das posições de um feixe
w
i
b) K
laser sobre as escalas milimetradas indicadas abaixo:
140
142
144
146
148
i)
30
0
cm
1
a)
cm
1
cm
v
cm
1
cm
b)
1
s
2
3
4
5
6
7
8
c)
2
3
4
5
6
7
8
d)
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
cm
1
2
3
4
5
6
7
cm
1
2
3
4
5
6
~
8
7
8
cm
1
2
3
4
5
6
7
c)
u
w
i
w
i
K
300
320
340
360
380
K
32
34
36
38
40
Operações com significativos
d)
e)
y
w
f)
g)
h)
r
|
8
Notação cientı́fica
8)Escreva os seguintes números em notação cientı́fica:
10)Efetue as operações indicadas abaixo, dando a resposta em notação cientı́fica:
a) 1, 2 × 105 × 3, 0 × 102
b) 2, 4 × 107 × 2, 5 × 10−3
c) 5, 0 × 10−2 × 2, 6 × 10−4
d) (8, 4 × 105 ) ÷ (7, 5 × 10−2 )
e) (1, 5 × 10−6 ) ÷ (7, 5 × 10−2 )
f ) (3 × 104 )3
g) (−2 × 10−4 )2
√
h) 4 × 106
p
i) 4, 9 × 107
25
2.4. EXERCÍCIOS
j) 2, 30 × 103 + 4, 12 × 104
k) 5, 8 × 10−3 − 45 × 10−4
Problemas
onde g é a aceleração da gravidade, h a altura entre
o topo e a base do plano inclinado, e t é o tempo
gasto pelo cilindro para percorrer a distância l sobre
o plano. Calcule a constante C, usando os dados
experimentais: g = 980, 66 cm/s2, h = 2, 95 cm, t =
2, 32 s, e l = 72, 43 cm.
11)Um aluno obteve as notas {6, 4, 8, 5} nas provas
realizadas em um certo curso. Determine a média 16)Utilizando-se um calorı́metro para obter o calor
latente de fusão LF do gelo, pode-se usar a expressão
aritmética simples das notas obtidas pelo aluno.
12)Um carro com massa m = 835 kg se move com
velocidade de 75 km/h. Sendo que o módulo do momento linear p e a energia cinética K do carro dados,
respectivamente, por p = mv e K = mv 2 /2, determine numericamente e escreva em notação cientı́fica
utilizando as unidades do Sistema Internacional (SI):
a) o momento p e
b) a energia cinética K do carro.
LF =
(mC cC + mA cA )(Ti − Tf )
− cA Tf
mG
onde mC e cC são a massa e o calor especı́fico do
calorı́metro, mA e cA , são a massa e o calor especı́fico
da água, mG é a massa de gelo, Ti e Tf são, respectivamente, as temperaturas inicial e final do calorı́metro.
Dados mC = 115, 0 g, cC = 0, 214 cal/g · ◦ C, mA =
500, 0 g, cA = 1, 000 cal/g · ◦ C, mG = 125, 0 g, Ti =
31, 0 ◦C e Tf = 15, 0 ◦C, calcule o calor latente de
fusão do gelo.
13)Mediu-se o comprimento e o perı́odo de oscilação
de um pêndulo simples obtendo-se l = 69, 20 cm e 17)Num experimento de dilatação térmica, o cálculo
T = 1, 65 s. Sendo a relação entre eles é dada por
do coeficiente de dilatação linear de um tubo metálico
p
é dado por
T = 2π l/g
πdθ
α=
L0 ∆T 360◦
determine g.
onde d é o diâmetro de um certo eixo, θ é o ângulo (em
14)Numa mola de constante elástica k = 1, 428 × graus) de giro de um ponteiro solidário a este eixo, L0
104 dyn/cm, suspendeu-se uma massa m = 124, 93 g. é o comprimento inicial do tubo e ∆T é a diferença de
Se a massa oscila com pequena amplitude, o seu perı́odotemperatura na qual se observa a dilatação. Dados:
d = 3, 00 mm, θ = 37, 3◦, L0 = 84, 50 cm e ∆T =
é dado pela equação
78, 5 ◦C, calcule o coeficiente de dilatação linear α do
p
T = 2π m/k
material do tubo.
calcule:
a) o perı́odo T desse oscilador.
b) a freqüência f do oscilador.
18)A relação entre a altura h atingida por um lı́quido
em um tubo capilar vertical, e o raio r do tubo utilizado é dada por:
h=
2σ
µgr
15)O momento de inércia de um cilindro, em relação
ao seu eixo de simetria, pode ser escrito na forma
onde σ é a tensão superficial do lı́quido, µ sua massa
I = CmR2 , onde m é a massa do cilindro, R seu raio
especı́fica, e g a aceleração da gravidade. Determine
e C é uma constante adimensional. Para um cilindro
a altura atingida pelo álcool em um capilar de raio
que rola sobre um plano inclinado, sabe-se que
igual a 0, 040 cm, dado que σ = 22, 3 dyn/cm, µ =
0, 7894 g/cm3 e g = 979, 85 cm/s2.
C = (ght2 /2l2 ) − 1
26
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Capı́tulo 3
Erros
3.1
Introdução
O objetivo da grande maioria dos experimentos que são executados, é fazer um estudo quantitativo de certas
propriedades do sistema observado. Este estudo é realizado através de inúmeras medições das grandezas
fı́sicas de interesse do experimentador. Para tal, são utilizados aparelhos de medida adequados e, posteriormente, os dados obtidos são tratados e manipulados. Os instrumentos de medidas podem ter diferentes
graus de precisão mas, por mais preciso que qualquer instrumento seja, os dados experimentais sempre
contém erros.
Considerar simplesmente um número como medida (direta ou indireta) de uma grandeza, sem aquilatar o
erro de que foi afetada esta medida, não tem significado ou valor cientı́fico. É necessário, portanto, avaliar
o erro que certamente existe, associado ao resultado da medição. A tarefa de determinação do erro em uma
grandeza medida não é simples. A grande dificuldade é devida ao fato de que o ato de medir é acompanhado
da interferência dos mais diversos fatores. Estes fatores influenciam com maior ou menor intensidade o
resultado da medida. Sejam quais forem as espécies dos experimentos, na sua grande maioria, é impossı́vel
analisar ou indicar todos os fatores que tem influência no resultado da medida. Isto faz com que o valor real
do erro na grandeza medida permaneça desconhecido. Devido a isso, a teoria de erros limita-se a estimar
o erro máximo de que a medida pode ser acometida. O grau de certeza desta estimativa do erro depende,
entre outras coisas, da quantidade de fatores que se levam em conta, e que têm influência no resultado das
medidas.
Atualmente, qualquer experimentador que faça medições não pode deixar de aplicar os métodos matemáticos
de tratamento dos dados experimentais.
Com o objetivo voltado para uma padronização, as normas que a seguir são apresentadas, apesar de não
serem únicas, deverão ser seguidas nas disciplinas de Fı́sica Experimental.
3.2
Classificação dos Erros
Não existem, e nem poderiam existir, instrumentos que permitam medir sem erro algum uma grandeza
fı́sica. Além desse erro, que é inerente ao aparelho, quando se realiza uma medida, comete-se outros tipos de
erros. Não se deve, no entanto, confundir erro com engano, também chamado erro grosseiro. Este aparece
devido a falta de habilidade do experimentador, e é perfeitamente evitável. Deve-se interpretar o termo
28
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
ERROS, então, como representativo daqueles erros que são inevitáveis.
Existem várias classificações de erros na literatura, sendo que a nomenclatura também é variada, por isto,
classificam-se os diversos tipos de erros em três categorias:
1. Erros de Escala: são os erros cometidos pelo experimentador, devido ao limite de precisão do
instrumento de medida utilizado e das condições em que as medidas são executadas;
2. Erros Sistemáticos: são aqueles que, sem praticamente variar durante as medidas, perturbam de
igual modo cada resultado dessas medidas. Isto faz com que os valores obtidos para estas medidas se
afastem do valor real em um sentido definido, para mais ou para menos. Os erros sistemáticos são
aqueles que aparecem seguindo alguma regra definida. É possı́vel descobrir sua origem e eliminá-los,
em geral;
3. Erros Acidentais: São aqueles que ocorrem aleatoriamente (ao acaso), portanto, sem qualquer
sentido. Este tipo de erro é resultado da soma de pequenas pertubações estatisticamente imprevisı́veis.
Os erros acidentais não seguem nenhuma regra definida, diferentemente dos sistemáticos. Devido a
isso, é impossı́vel evitá-los. É o único tipo de erro ao qual se podem aplicar os postulados de Gauss,
que serão vistos na seqüência.
Exemplo 3-1
Um exemplo simples que ilustra as diferenças entre erros sistemáticos e acidentais está representado na Figura 3.1.
Pouca Precisão
Pouca Acurácia
·
··· ···· ·
·· ·
· ······································ ·
·
·
······· ···
·· ·································'$
······· ·······
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· ········· · ·················
····i·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·· ······················· ·· ·
· · ·· ···········
···
··· ··
· ·· ············ ···&%
· · ··
A
Boa Precisão
Pouca Acurácia
·······'$
··········
···· ······································ ···············
· ················· i
&%
B
Pouca Precisão
Boa Acurácia
·
··· ···· ·
······ ······················· ·
·· ·'$
······················ ·
·· ····················
···················· · ···
·· ····························i
·············
···························· ···· ··
·······
······
···· ·················· ··
·&%
·
·
········ ·· ·
·
·
· · ··· · · ··
C
Boa Precisão
Boa Acurácia
'$
···············
··········
············
················
·
·
·················i
·
·
··
·
· ···············
&%
D
Figura 3.1: Quatro atiradores disparam 400 projéteis cada um, contra um alvo fixo. Podemos ver que o atirador A
possui tem pouca precisão (não consegue concentrar os disparos numa área pequena) e possui pouca acurácia (pois o
centro dos seus tiros está longe do centro do alvo, seu objetivo); o atirador B possui boa precisão e pouca acurácia;
o C possui pouca precisão e boa acurácia; e finalmente, o atirador D combina boa precisão e boa acurácia.
A Fig. 3.1 apresenta quatro alvos em situações diferentes. Os pontos indicam as posições de impacto dos
tiros. Na situação A, todos os impactos encontram-se concentrados numa determinada região distante da
”mosca”, e com grande espalhamento em torno de um centro comum. As causas deste deslocamento em
relação ao centro do alvo podem ser a mira desregulada, o vento constante, entre outras. O espalhamento
3.3. POSTULADOS DE GAUSS
29
dos pontos deve-se, provavelmente, à falta de habilidade do atirador. Uma vez que o desvio atuou do mesmo
modo em todos os disparos, fica caracterizado um erro do tipo sistemático, como fica claro no caso B.
Uma vez identificada as reais causas do desvio, estas poderiam ser eliminadas ou, pelo menos, compensadas
de alguma forma. já nas situações C e D, os impactos estão distribuı́dos aleatoriamente em torno do centro
do alvo, não ficando, portanto, caracterizado erro do tipo sistemático, mas sim apenas do tipo acidental. A
diferença entre as situações C e D é que em C o erro acidental é maior, denunciando a falta de habilidade
do atirador. Note ainda que, em média, os impactos em A e B estão afastados da ”mosca”, enquanto que
em C e D não estão.
Dois conceitos fundamentais para a Fı́sica Experimental são ilustrados no exemplo acima: precisão e
acurácia.
Dizemos que um conjunto de medidas tem boa precisão quando os valores obtidos tem um pequeno espalhamento em torno de um valor (médio), ou seja, se podemos esperar que qualquer medida subseqüente fique
próxima desde ponto central ou médio. Como ocorre com o atirador do casos B e D do exemplo acima, que
tem boa precisão nos seus tiros.
Um conjunto de medidas é dito possuir boa acurácia quando o seu valor médio está próximo do valor
(esperado) da medida, ou seja, quando se consegue reduzir os efeitos dos erros sistemáticos, como nos casos
dos atiradores C e D do último exemplo.
Finalmente, o erro máximo na medida, também chamado desvio da medida, representado por Emax , é a
soma de todos os erros, tomados em módulo para que não se anulem, o que no pior caso possı́vel é dado por
Emax = |Eescala | + |Esistematico | + |Eacidental |
(3.1)
e uma medida experimental de qualquer grandeza será sempre escrita na forma final
Medida = V alor ± Emax
3.3
(3.2)
Postulados de Gauss
Como dito anteriormente, os erros sistemáticos podem ser eliminados ou compensados, desde que as suas
causas seja conhecidas e detectadas, o que não acontece com os erros acidentais dada a sua natureza aleatória.
Para tratar de erros deste tipo, foi desenvolvida toda uma teoria estatı́stica, iniciada por Gauss, cujos
postulados básicos são:
1. A probabilidade de que aconteça um desvio ∆x, por excesso ou por falta, em uma medida, é a mesma.
2. A probabilidade de que o erro cometido numa medida esteja compreendido entre −∞ e +∞ é igual a
100%. Isto quer dizer que o erro cometido numa medida é real, existe.
3. O valor mais provável de uma grandeza medida é a média aritmética das diversas medidas efetuadas.
Assim,
N
1 X
x1 + x2 + · · · + xN
xi
=
x=
N
N i=1
(3.3)
onde x é o valor mais provável, xi são as medidas individuais realizadas e N é o número total de
medidas.
30
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Desde que o número de medidas seja muito grande (tendendo ao infinito), este é o valor adotado como
verdadeiro (exato) para a medida da grandeza, o chamado valor esperado. Para um número infinito de
medidas ocorre a anulação do erro acidental, pois a sua natureza aleatória faz com que o desvio seja ora
para mais, ora para menos.
Em tese, se fosse possı́vel se fazer um número infinito de medidas, o valor médio dessas medidas seria o valor
esperado, ou valor real da medida, e o erro acidental associado à medida seria nulo. Na prática, se utiliza um
conjunto de medidas e a Estatı́stica prevê uma maneira de se representar a medida obtida e de se estimar a
faixa de erro associada, faixa esta que pode ser obtida de várias maneiras. A seguir são apresentadas duas
delas, uma através do desvio médio e a outra através do desvio padrão.
3.3.1
Cálculo do erro
Define-se o desvio de uma medida (∆xi ) é a diferença entre o valor obtido na i-ésima medida e o valor mais
provável da grandeza, isto é,
∆xi ≡ xi − x
(3.4)
O desvio médio (∆x) é a média aritmética dos desvios de todas as medidas, em relação ao valor médio x,
ou seja,
∆x =
N
N
1 X
1 X
|xi − x| =
|∆xi |
N i=1
N i=1
(3.5)
O desvio padrão (σ) é definido como a raiz quadrada da razão entre a soma dos quadrados dos desvios de
cada medida e o número de medidas efetuadas,
p
p
σ = (∆xi )2 /N = (xi − x)2 /N.
(3.6)
Para a determinação do erro acidental provável EP na medida, utilizam-se qualquer uma das relações
∆x
EP = ±0, 8453 √
N
(3.7)
σ
EP = ±0, 6745 √
N
(3.8)
ou
onde os coeficientes numéricos foram ajustados para um nı́vel de confiabilidade de 50%, ou seja, qualquer
medida tem probabilidade de 50% de ser obtida no intervalo x ± EP , o que em geral é suficiente para os
nossos propósitos. Veja-se a Fig. 3.2.
É fundamental observar que o erro provável EP depende do número N de medidas, e que no limite N → ∞
o erro converge para zero, porém a convergência é lenta. Sendo assim, portanto, podemos reduzı́-lo até
qualquer valor pequeno de interesse, desde que sejam feitas muitas medidas. Simbolicamente:
Se
N −→ ∞
então
EP −→ 0
O procedimento usual para a determinação do erro provável na medida de uma grandeza é o que segue:
1. Efetuadas as medidas (coleta de dados), calcula-se a média aritmética;
31
3.3. POSTULADOS DE GAUSS
0.5
P(x)
0.4
0.3
0.2
50%
0.1
-0.6745
0.6745
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Figura 3.2: A curva normal de Gauss dá a probabilidade de se encontrar valores de uma medida em torno
do valor médio (zero, nesse caso). A Área marcada sob a curva, delimita a região provável, ou seja, a região
onde devem estar 50% das medidas efetuadas.
2. Calculam-se os desvios de cada medida em relação à média;
3. Calcula-se o desvio médio;
4. Calculam-se os quadrados dos desvios de cada medida;
5. Calcula-se o desvio padrão;
6. Calcula-se o erro provável através da relação com o desvio padrão, ou com o desvio médio.
Quando estamos medindo uma grandeza fı́sica já conhecida ou pré-definida por um fabricante que já fez
a calibração da medida, a fim de procedermos sua aferição, definimos e calculamos o desvio percentual da
nossa medida x com o valor calibrado (ou tabelado) xtab , definindo:
x − xtab × 100%
(3.9)
∆% ≡ xtab A medida do desvio percentual, nos dá idéia de quanto o nosso resultado x se afasta do valor pré-definido
pelo fabricante xtab .
Exemplo 3-2
Na aferição do comprimento L do braço de uma biela calibrado pelo fabricante com o valor
nominal de 41, 0 mm, a medição direta do feita com o auxı́lio de uma régua milimetrada forneceu
as seguintes medidas:
32
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
L(mm)
41,1 41,3 41,2 41,4 41,1 41,1 41,9 40,8 41,0 41,2
a) Primeiramente, para facilitar os cálculos vamos construir a seguinte tabela de medidas,
desvios e desvios ao quadrado:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P10
i=1
Li (mm) |∆Li | (mm)
41,1
0,0
41,3
0,2
41,2
0,1
41,4
0,3
41,1
0,0
41,1
0,0
40,9
0,2
40,8
0,3
41,0
0,1
41,2
0,1
411,1
1,3
(∆Li )2 (mm2 )
0,0
0,04
0,01
0,09
0,0
0,0
0,04
0,09
0,01
0,01
0,29
b) cálculo do valor mais provável, ou valor médio da amostra de medidas:
N
1
1 X
× 411, 1 mm = 41, 11 mm
Li =
L=
N i=1
10
c) cálculo do desvio médio das medidas de L:
N
1
1 X
|∆Li | =
× 1, 3 mm = 0, 13 mm
∆L =
10 i=1
10
Lembre-se Na adição o resultado, na sua parte decimal, não pode ter maior número de algarismos significativos do que a parcela mais pobre. Na divisão, considera-se que N é uma constante
P
exata, e o número de algarismos significativos do resultado da soma i xi é mantido.
d) cálculo do desvio padrão sigma dos valores medidos para L:
v
r
u 10
uX
1
× 0, 29 mm2 = 0, 17 mm.
σ = t (∆Li )2 /10 =
10
i=1
e) cálculo do erro acidental provável EP :
pelo desvio médio temos
EP = ±0, 8453 × 0, 13 mm = ±0, 109889 mm = ±0, 11mm
ou, pelo desvio padrão
EP = ±0, 6745 × 0, 17 mm = ±0, 110075 mm = ±0, 11mm
3.4. ERRO RELATIVO PERCENTUAL E%
33
o mesmo que o valor obtido no caso anterior.
f ) finalmente, podemos escrever a nossa medida para a grandeza L como
L = 41, 11 mm ± 0, 11 mm = (41, 11 ± 0, 11) mm
e o desvio percental em relação ao valor nominal será
L − Ltab 41, 11 mm − 41, 0 mm × 100% = × 100%
∆% = Ltab 41, 0 mm
0, 11 mm × 100% = 0, 1 × 100% = 0, 25% = 0, 2%
∆% = 40, 0 mm 40, 0
Observe que o cálculo do desvio percentual também segue as regras de arredondamento estudadas, e mesmo os erros estimados por resultados indiretos de nossas medidas experimentais,
possuem erro. Cabe agora ao experimentador interpretar os resultados obtidos e decidir se a
margem de erro de 0, 2% é razoável ou não, e também discutir e analisar quais as possı́veis causas
de erro ocorridas no experimento.
3.3.2
Representação final da medida
Caso o erro provável EP não tenha o mesmo número de casas decimais do valor médio, ambos tendo a mesma
unidade de medida, deve-se arredondar coerentemente o valor com maior número de casas, usando-se a regra
da SOMA.
Exemplo 3-3
g) L = (12, 5 ± 0, 32) cm = (12, 5 ± 0, 3) cm
h) i = (2, 15 ± 0, 2) mA = (2, 2 ± 0, 2) mA
i) F = (8, 123 ± 1) N = (8 ± 1) N
j) µ = (127, 44 ± 0, 92) g/cm3 = (127, 44 ± 0, 92) g/cm3
k) g = (9, 8 ± 0, 21) m/s2 = (9, 8 ± 0, 2) m/s2
3.4
Erro relativo percentual E%
O erro provável EP não caracteriza, por si só, a confiabilidade da medida, pois define apenas uma faixa de
valores possı́vel em torno do valor médio X que representa a medida de uma grandeza X.
34
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Para sabermos se a faixa de erro EP é grande ou pequena, temos que compará-la com a grandeza medida,
ou seja, com o valor médio X. Para isto, define-se o erro relativo percentual E% como
EP × 100%
E% = (3.10)
X
Através do erro relativo percentual podemos comparar diferentes medidas e saber qual tem maior ou menor
erro, e deste modo podemos saber qual tem maior ou menor precisão. Através dessa definição, vemos que
qprecisão da medida é inversamente proporcional ao erro relativo percentual E% . Para tornar isto claro,
veja o seguinte exemplo simples.
Exemplo 3-4
Um experimentador consiste em medir a espessura de uma folha de papel, utilizando uma régua
milimetrada. Feita uma série medidas, obtém-se para valor mais provável de espessura 0, 1 mm.
O valor “tabelado”é de 0, 01 mm. O desvio, ou erro absoluto é , portanto, igual a 0, 09 mm.
Agora, com a mesma régua, mede-se o comprimento da folha. Feita uma série de medidas, o
valor encontrado como mais provável é 298, 5 mm, sendo o valor tabelado 298, 0 mm. Neste caso,
como é evidente, o desvio ou erro absoluto vale, em módulo, 0, 5 mm. Fazendo a comparação
entre os dois desvios, observa-se que aquele obtido na medida do comprimento da folha é maior
do que o obtido na medida da espessura. No entanto, esta comparação não faz sentido, uma vez
que as ordens de grandeza das medidas são diferentes.
Como fazer, então, a comparação de forma correta? Reduzindo as ordens de grandeza das
medidas a uma só, é a resposta. Para tal, define-se o erro percentual como a percentagem de
desvio que existe em cada medida com relação à média, que é dado por
E% =
|x − x|
|∆x|
× 100 % =
× 100 %
x
x
Para o caso em pauta, tem-se para a espessura:
E% =
|0, 09|
× 100 % = 9 × 102 %
0, 01
e para o comprimento:
E% =
|0, 5|
× 100 % = 0, 2 %
298, 0
Vê-se, então, ao contrário do que parecia a princı́pio, que a melhor medida é a do comprimento
da folha, pois tem erro percentual bem menor do que o da medida da espessura.
Além da forma apresentada na Eq. 3.2, um medida fı́sica pode então ser expressa na forma
Medida = V alor ± E%
e uma forma pode ser convertida na outra.
Exemplo 3-5
(3.11)
35
3.5. PROPAGAÇÃO DE ERROS
Uma medida da velocidade da luz usando lasers, feita pelo Bureau Nacional de Padrões dos
Estados Unidos, em 1983, obteve como resultado o valor 299.792, 4586 km/s, com incerteza de
mais ou menos 0, 0003 km/s.
Podemos então escrever a medida da velocidade da luz c como
c = (299.792, 4586 ± 0, 0003) km/s
ou, através do erro relativo percentual da medida
E% =
0, 0003 km/s
× 100% = 0, 0000001%
299.792, 4586 km/s
e como podemos ver, o erro relativo percentual é muito pequeno, indicando que a medida da
velocidade da luz possui grande precisão.
A partir do ano de 1983, por decisão dos órgãos cientı́ficos internacionais, a velocidade da luz
passou a ser considerada uma constante universal com valor bem determinado, exatamente igual
299.792.458 m/s, por definição um valor exato.
3.5
Propagação de erros
Como visto anteriormente, uma grandeza fı́sica pode ser medida de maneira direta ou indireta. A medida
indireta é efetuada através de uma série de medidas diretas de outras grandezas relacionadas com a grandeza
de interesse. Estas medidas diretas, por sua vez, contém erros.
A propagação de Erros é o campo de estudo que trata da influência dos erros individuais das medidas diretas
no resultado das operações matemáticas que fornecem o valor da grandeza medida de forma indireta.
Considere uma grandeza f que depende de outras grandezas x, y, z, . . .. Em termos matemáticos, dizemos
que f é uma função das variáveis {x, y, z, . . .}, ou simbolicamente:
f = f (x, y, z, . . .)
(3.12)
Se as variáveis {x, y, z, . . .} sofrem pequenas variações (infinitesimais) {dx, dy, dz, . . .}, a variação da função
f é dada pela sua diferencial exata:
df =
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz + . . .
∂x
∂y
∂z
(3.13)
Se imaginarmos que f é uma grandeza que depende outras grandezas {x, y, z, . . .}, e que f pode ser medida
indiretamente através da medição destas variáveis e de seus respectivos erros prováveis {Ex , Ey , Ez , . . .},
então podemos obter por aproximação diferencial, através da Eq. 3.13, uma estimativa para o erro provável
máximo Ef associado à medida indireta de f :
∂f
∂f
∂f
Ex + Ey + Ez + . . .
(3.14)
Ef ≈ ∂x
∂y
∂z
onde as diferenciais infinitesimais foram substituı́das pelos erros associados. Como tanto as derivadas parciais
da função f como os incrementos infinitesimais de suas variáveis podem ter qualquer sinal, os termos da sua
36
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
diferencial total são somados em módulo para a determinação do erro provável máximo, ou seja, considera-se
a situação em que todos os erros atuam no mesmo sentido, superestimando-se o desvio total da função f .
Esta última equação obtida acima, a Eq. 3.14, é a chamada equação do erro indeterminado de Gauss.
Exemplo 3-6
Determinar a área da superfı́cie lateral de um cilindro, dadas as medidas do comprimento l e do
diâmetro d. (Observe que a área lateral S é uma medida indireta feita através de duas medidas
diretas, l e l.) Dados: l = l ± ∆l = (5, 00 ± 0, 02) cm e d = d ± ∆d = (2, 00 ± 0, 01) cm.
A área da superfı́cie lateral do cilindro é dada por: S = πdl, então,
S = π(d ± ∆d) × (l ± ∆l) = πdl ± (πd∆l + πl∆d) ± π∆l∆d
onde a última parcela (π∆l∆d) pode ser desprezada por ser muito pequena, comparada com as
outras, sendo menor até mesmo do que o erro (∆S). Assim, a área lateral do cilindro pode ser
escrita como
S = πdl ± (πd∆l + πl∆d) = S ± ∆S
Assim, a área lateral do cilindro será
S = S ± ∆S,
onde S = πdl é o valor esperado da área lateral do cilindro e ∆S = πd∆l + πl∆ é o erro na
medida indireta desta grandeza.
Numericamente temos
S = πdl = (3, 1416)(2, 00 cm)(5, 00 cm) = 31, 416 cm2 = 31, 4 cm2
e
∆S = π(d∆l + l∆d = (3, 1416)[(2, 00 cm)(0, 02 cm) + (5, 00 cm)(0, 01 cm)]
∆S = (3, 1416)(0, 04 cm2 + 0, 05 cm2) = (3, 1416)(0, 09 cm2) = 0, 282744 cm2 = 0, 3 cm2
Finalmente, usando-se ∆S como uma estimativa indireta para o erro provável associado à área
S, podemos escrever
S = (31, 4 ± 0, 3) cm2
Observação Observe que ∆S (erro na medida indireta da área) pode ser facilmente calculado
neste caso, contudo, em operações mais complexas como, por exemplo, radiciação, este cálculo
torna-se extremamente trabalhoso, de maneira que deve-se usar a equação do erro indeterminado
para determinar o erro na medida indireta.
De acordo com a equação do erro indeterminado, o erro na medida indireta da área S = S(l, d)
é
∂S ∂S
∆S = ∆l + ∆d = |πd ∆l| + |πl ∆d| = π(d∆l + l∆d)
∂l
∂d
como no cálculo acima.
37
3.6. EXERCÍCIOS:
Do exemplo acima pode-se perceber a necessidade de empregar-se as operações básicas da matemática na
determinação de medidas de grandezas de forma indireta. Através da equação do erro indeterminado é
possı́vel a obtenção das equações do erro propagado em cada caso, de modo simples.
Considere as seguintes medidas diretas de duas grandezas: X = X ± ∆X e Y = Y ± ∆Y
Tem-se, como o estudante pode verificar através de equação do erro indeterminado,
(f ± ∆X) + (Y ± ∆Y ) = (X + Y ) ± (∆X + ∆Y )
(3.15)
(f ± ∆X) − (Y ± ∆Y ) = (X − Y ) ± (∆X + ∆Y )
(3.16)
(f ± ∆X) ÷ (Y ± ∆Y ) = (X ÷ Y ) ± (X∆Y + Y ∆X) ÷ Y 2
(3.18)
(f ± ∆X)1/n = X 1/n ± X (1−n)/n /n × ∆X
(3.20)
log(X ± ∆X) = log X ± log(e)∆X/X, log(e) = 0, 4343
(3.22)
(f ± ∆X) × (Y ± ∆Y ) = (X × Y ) ± (X∆Y + Y ∆X)
3.6
(3.17)
(f ± ∆X)n = X n ± nX n−1 × ∆x
(3.19)
ln(X ± ∆X) = ln X ± ∆X/X
(3.21)
Exercı́cios:
Faça os exercı́cios abaixo, respeitando os critérios de arredondamento e de operação com algarismos significativos.
1)As medidas seguintes referem-se às medidas do comprimento de uma folha de papel.
L(cm)
3,71
3,72 3,70 3,69 3,73 3,74 3,72 3,73 3,72 3,73 3,74
Calcule:
a) o valor médio da grandeza medida,
b) o desvio médio,
c) o desvio padrão,
d) o erro acidental provável,
e) o erro relativo percentual.
2)Num experimento foram obtidas as seguintes medidas para o perı́odo de oscilação de um pêndulo.
T (s) 1,15
1,17 1,19 1,11 1,13 1,15 1,14 1,16 1,18 1,19
Calcular como no exercı́cio anterior.
3)Num experimento sobre equilı́brio térmico, obteve-se para a temperatura de equilı́brio, os seguintes valores:
T (◦ C) 61,8 61,5 61,9 61,4 61,2 61,8
61,6 61,1 61,7
38
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Calcular como nos exercı́cios anteriores.
4)Determine a expressão do erro indeterminado para as seguintes grandezas, medidas indiretamente:
a) da área S(b, h) de um triângulo de base b e altura h;
b) da área S(a, b) de um retângulo de lados a e b;
c) do volume V (d, l) de um cilindro de diâmetro d e comprimento l;
d) do volume V (d) de uma esfera de diâmetro d;
e) da área S(d) de um cı́rculo de diâmetro d,
f ) do volume V (p, T ) de um gás, sabendo que V = nRT /p, onde n e R são constantes, e p é a pressão do
gás.
g) da energia cinética K(m, v) de uma partı́cula de massa m e velocidade de módulo v.
5)Com base nas xpressões determinadas no exercı́cio anterior, calcule com o respectivo erro provável:
a) a área do triângulo: b = (1, 00 ± 0, 01) mm e h = (1, 24 ± 0, 02) mm.
b) a área do retângulo: a = (7, 48 ± 0, 04) km e b = (1, 34 ± 0, 08) km.
c) o volume do cilindro: d = (2, 31 ± 0, 01) cm e l = (7, 50 ± 0, 02) cm.
d) o volume da esfera: d = (9, 10 ± 0, 01) cm.
e) a área do cı́rculo: d = (6, 18 ± 0, 02) cm.
f ) o volume do gás: n = 2, 15 mol, R = 8, 314 J/molK̇, T = (310 ± 1) K e p = (1, 45 ± 0, 02) × 105 N/m2 .
g) a energia cinética de um carro: m = (1.190 ± 25) kg e v = (62, 5 ± 0, 9)km/h.
6)Determine a expressão do erro indeterminado para a aceleração da gravidade g(l, T ) calculada a partir de
um experimento com a oscilação de um pêndulo simples, dado que
s
l
T = 2π
g
sendo l o comprimento e T o perı́odo do pêndulo.
7)As medidas do comprimento l e do perı́odo T de um pêndulo simples estão tabeladas abaixo:
T (s) 1,87 1,84 1,83 1,89 1,91 1,84 1,85 1,82
l (cm) 87,15 86,91 86,90 87,22 87,31 86,90 86,95 86,88
Calcular, com os respectivos erros prováveis:
a) o perı́odo do pêndulo,
b) o comprimento do pêndulo,
c) a aceleração da gravidade.
8)Na tabela abaixo estão várias medidas da massa m e do raio r para um certo disco.
39
3.6. EXERCÍCIOS:
m (kg) 0,435 0,438 0,436 0,435 0,432 0,431 0,432 0,435 0,432 0,433
r (m)
0,201 0,202 0,204 0,198 0,201 0,197 0,195 0,196 0,205 0,204
Sabendo que principal momento de inércia I de um disco de massa m e raio r é dado por
I = mr 2 /2
calcule, com os respectivos desvios:
a) a massa,
b) o raio e
c) o momento de inércia.
9)Uma empresa vende lajotas quadradas de cerâmica com tamanho nominal de 40 cm × 40 cm, e garante
que em nenhuma lajota estas medidas possuem um erro percentual máximo de 2%.
a) Qual a maior e a menor lajota que se espera encontrar em um lote grande desse produto?
b) Qual o erro percentual máximo na área de uma lajota?
40
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Capı́tulo 4
Gráficos
4.1
Introdução
O uso de gráficos na Fı́sica é quase tão importante quanto o conceito de função na matemática. Sua utilização
na representação de fenômenos permite ilustrar propriedades importantes. Um gráfico serve, entre outras
coisas, para mostrar a conexão entre duas variáveis, sendo uma representação diagramática do modo como
uma varia em relação à outra. Na atualidade, é difı́cil imaginar alguma área da ciência ou tecnologia onde o
estudo de gráficos não seja necessário, ou utilizado. Nas disciplinas de Fı́sica experimental será indispensável
o conhecimento e domı́nio do conteúdo deste texto.
4.2
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Seja uma grandeza y que é função de uma grandeza x. Isto é representado analiticamente por
y = f (x) .
(4.1)
Conhecida de forma explı́cita a função y = f (x), pode-se representá-la graficamente num sistema de coordenadas cartesianas, que consiste de duas retas perpendiculares; o eixo x, chamado de eixo das abscissas, e o
eixo y, denominado eixo das ordenadas. A cada par de valores (xi , yi ) corresponde um ponto Pi de abscissa
xi e ordenada yi . O conjunto dos vários pontos Pi é denominado de curva da função y = f (x). Convém
salientar que os valores representados nos eixos podem ter sinal negativo ou positivo, arbitrado conforme a
conveniência, ou seja, conforme a função que se queira representar. Ver Fig. 4.1.
4.3
Construção do Gráfico
A escala representada nos eixos pode ser arbitrada, geralmente é milimétrica ou logarı́tmica, de modo que o
papel em que é construı́do o gráfico pode ser milimetrado (ambos os eixos nesta escala), mono-log (abscissa
milimetrada e ordenada logarı́tmica). ou di-log ( ambos os eixos em escala logarı́tmica). Dependendo do
problema, é conveniente escolher o papel adequado, que facilite a retirada de informações da curva, como
será visto com detalhes na seqüência.
Após selecionado o papel no qual irá ser construı́do o gráfico, algumas regras devem ser observadas para
otimizar o trabalho:
42
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Y
2o. Quadrante
1o. Quadrante
x<0 e y>0
x>0 e y>0
Y
P(x,y)
y
O
X
x
3o. Quadrante
4o. Quadrante
x<0 e y<0
x>0 e y<0
O
X
b)
a)
Figura 4.1: a) O plano cartesiano e o sistema de eixos XY , com seus quatro quadrantes mostrados e b) um
conjunto de pontos experimentais representados no plano cartesiano e sua tendência (indicada pela linha
tracejada).
1. No eixo horizontal, o eixo das abscissas, é lançada a variável independente, ou seja, a variável cujos
valores são escolhidos pelo experimentador. No eixo vertical, o eixo das ordenadas, é lançada a variável
dependente.
2. Deve-se espalhar convenientemente os pontos experimentais mediante a escolha de uma divisão adequada do papel, a fim de se utilizar quase toda a área do papel para gráfico. Ver Fig. 4.5 e Fig. 4.6.
3. O papel pode ser usado com a folha em pé (vertical) ou deitada (horizontal), sempre com a origem dos
eixos no canto inferior esquerdo da folha, ou seja, deve-se utilizar sempre o 1o. quadrante do plano
cartesiano. Ver Fig. 4.1(a).
4. A escala deve ser simples, devendo conter apenas as divisões principais, suas respectivas marcações
numéricas e uma identificação da grandeza associada à essa escala, com suas unidades entre parêteses.
Para as marcações numéricas da escala, adotam-se valores múltiplos ou sub-múltiplos de números
inteiros.
5. Os eixos são independentes, ou seja, a escala adotada num deles não necessita ser igual à adotada no
outro. Em geral, estas escalas serão totalmente diferentes.
6. Cada ponto experimental deve ser identificado por um sinal que não deixe dúvidas sobre sua localização
e natureza. Este sinal pode ser qualquer um dos representados abaixo, ou outro qualquer, mantendo-se
sempre o mesmo sı́mbolo para todos os pontos do mesmo gráfico.
△, ▽, +, ×, ⊗, , Figura 4.2: Diferentes sı́mbolos usados para marcar os pontos experimentais nos gráficos.
7. Uma vez colocados os pontos experimentais no gráfico, deve-se observar e traçar uma curva suave e
contı́nua, indicando a tendência dos pontos. Tratando-se de um gráfico linearizado, traça-se a melhor
43
4.4. ESCOLHA E IDENTIFICAÇÃO DAS ESCALAS
reta visual com uma régua transparente, tentando-se compensar (minimizar) os pequenos desvios dos
pontos experimentais que ficam acima e abaixo desta reta. IMPORTANTE: a curva deve ser estendida
sobre todo o papel, até sair da área máxima utilizável, se for o caso, extrapolando-se o intervalo das
medidas experimentais. Ver Fig. 4.1(b).
Cuidado: conectar os pontos experimentais adjacentes com traços retos significa assumir que a relação
entre as grandezas tem forma descontı́nua, e isto épouco provável de ocorrer. Unir o primeiro e o
último ponto com uma reta, num gráfico linearizado também não é uma boa estratégia em geral.
8. Quando se trabalha com números muito grandes ou muito pequenos, a escala deve ser simplificada
utilizando-se uma potência de dez (múltiplo ou submúltiplo comum), que será indicada juntamente
com as unidade da variável.
Exemplo 4-1
Num experimento que envolva uma pequena corrente elétrica, da ordem de micro-ampères, podese utilizar a indicação I(µA) ou I(10−6 A), para a identificação (rótulo) do eixo da corrente.
4.4
Escolha e Identificação das Escalas
Entende-se por escala, qualquer trecho de uma curva marcado por pequenos traços transversais que indicam
os valores ordenados de uma grandeza. São exemplos de escalas, o mostrador de um relógio, um mostrador
de combustı́vel, um amperı́metro, uma régua, e até mesmo os eixos de um gráfico. Como já foi colocado,
são duas as variáveis consideradas, a dependente e a independente. Isto torna-se claro através do exemplo
abaixo.
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
l
m
00
11
11
00
00
11
00
11
Figura 4.3: Representação esquemática de um pêndulo simples. Ajusta-se o tamanho l (variável independente) e mede-se o perı́odo T (variável dependente).
Exemplo 4-2
Seja uma massa m suspensa por um fio preso ao teto. Este conjunto constitui um pêndulo
simples (Fig. 4.4). Afastando-se lateralmente a massa m da posição de equilı́brio e soltando-a, o
sistema passa a oscilar. Observa-se que o perı́odo das oscilações depende da distância l entre o
44
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
ponto de suspensão do fio e o centro de massa do corpo suspenso. Devido a essa dependência, o
perı́odo T é chamado de variável dependente e l de variável independente, isto é, T = f (l)
Como já foi dito, as variáveis dependentes são representadas no eixo y e as independentes no
eixo x. Daı́, deduz-se que a maneira correta de representar graficamente a relação T = f (l) é
a mostrada na Fig.4.4(a) e não a mostrada em Fig.4.4(b). Veja e compare as representações
gráficas.
T versus l
l(cm)
T(s)
l versus T
T(s)
l(cm)
(a)
(b)
Figura 4.4: Representações gráficas possı́veis: (a) T × l e (b) l × T .
De qualquer forma, sempre que se pede um gráfico de T versus l ou indica-se T × l, quer-se
um gráfico com a variável T no eixo vertical e l no eixo horizontal. Esta é uma convenção usada
mundialmente.
A escolha da escala deve ser feita de tal maneira que qualquer bloco de divisões do eixo assuma valores do
tipo 1, 2, 5, ou 10 unidades (ocasionalmente 4). Não se usa para um bloco de divisões, os valores 3, 7, 9,
etc. Veja a Fig. 4.5.
Quando os blocos forem colocados sobre o papel milimetrado, tente usar blocos de 20, 40 ou 50 mm, para
cada bloco de divisão da escala! Veja o exemplo abaixo.
A escala escolhida deve, ainda, espalhar os pontos experimentais, de modo que não fiquem confinados a uma
área restrita do papel, isto é, deve-se utilizar o máximo do papel disponı́vel, sem comprometer a legibilidade
das esalas, é claro. Veja as Figs. 4.5 e 4.6.
Observações importantes:
• As variáveis representadas ao longo de cada um dos eixos coordenados devem ser perfeitamente identificadas pela grandeza respectiva, acompanhada da sua unidade de medida (entre parênteses).
• Os pontos experimentais não devem ter seus valores assinalados sobre a escala.
45
4.4. ESCOLHA E IDENTIFICAÇÃO DAS ESCALAS
(a)
(b)
30
28
correto
incorreto
25
21
v(m/s)
v(m/s)
20
15
14
10
7
5
0
0
0
1
2
3
0
1
2
t(s)
3
4
5
6
t(s)
Figura 4.5: A escolha da escala horizontal no gráfico (a) faz corresponder a cada bloco de divisões os valores
10 na vertical e 1 na horizontal, uma boa escolha. No gráfico (b) faz corresponder o valor 7 na vertical, uma
péssima escolha.
(a)
(b)
50
80
correto
60
50
0
T( C)
30
0
T( C)
incorreto
70
40
20
40
30
20
10
10
0
0
0
5
10
t(min)
15
20
0
5
10
15
20
t(min)
Figura 4.6: A escolha da escala vertical no gráfico (a) está correta, pois utiliza a maior parte do papel no
sentido vertical. No gráfico (b), utiliza-se menos da metade do papel, o que é ERRADO.
46
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Exemplo 4-3
As escalas abaixo foram construı́das em papel milimetrado, em escala real, para exemplificar o
uso do papel milimetrado. Oberve as escalas e depois leia os comentários abaixo.
Escalas Corretas
0
50
100
150
c)
0
2
4
6
t(s)
8
0
50
100
150
0
10
20
30
0
50
100
150
d)
F (N)
e)
2
7
12
0
17
22
50
27
100
x(cm)
32
150
f)
10
14
18
22
26
m(kg)
Escalas Incorretas
0
50
100
150
g)
0
2
4
6
8
t(s)
10
0
50
100
150
0
8
16
24
0
50
100
150
h)
F (N)
i)
2
6
10
0
14
18
50
22
100
x(cm)
26
150
j)
10
13
16
19
22
m(kg)
Comentários
Observe que nas escalas CORRETAS (de a) a d)) os blocos de unidades da grandeza representada
é múltiplo ou sub-múltiplo do número de milı́metros utilizados no papel milimetrado, o que
facilita a leitura das menores divisões de escala (os milı́metros) e torna a escala legı́vel até o
primeiro duvidoso. Por exemplo, na escala a), cada 20 mm de papel corresponde 1 unidade da
grandeza t(s), ou seja, 1 s. Portanto para cada 1 mm de papel temo 1/20 s = 0, 05 s, isto permite
4.5. O TRAÇADO DA CURVA
47
a leitura do primeiro traço logo após a marca de 2 s, por exemplo, como sendo 2, 05 s, e portanto
o valor exato lido na marca principal deve ser 2, 00 s. Essa análise vale para qualquer escala
milimetrada, e serve para se saber quantas casas decimais podem e devem ser lidas na nova
escala criada no papel. A escala criada define a precisão com que se podem ler pontos no gráfico,
e nas escalas lineares, essa precisão é uniforme, ou seja, igual para toda a extensão da escala.
Nas escalas c) e d), deslocou-se o zero para melhor aproveitamento do papel, provavelmente,
porém isto não afeta a legibilidade de qualquer valor sobre a escala.
Nos contra-exemplos das escalas INCORRETAS (de e) a h)) foram usados blocos de unidades
não-divisı́veis pelo número de milı́metros de cada marcação principal, o que torna as escalas
ilegı́veis. Nas escala e), por exemplo, 2 unidades da grandeza foram associadas a cada bloco
de 30 mm, e como 2/30 = 0, 0666 . . . é uma dı́zima periódica, os valores associados às menores
divisões da escala, a cada milı́metro, não serão legı́veis. Neste caso a escala é inútil, pois não se
pode ler todos os pontos marcados sobre ela: por isso ela é incorreta. Deve-se evitar esse tipo
de divisão que leva à dı́zimas periódicas, pois fatalmente a escala ficará sem utilidade se isto
ocorrer.
Em Resumo
i) nenhuma escala pode ser considerada CORRETA se as suas menores divisões não puderem
ser LIDAS DIRETAMENTE.
ii) jamais use a calculadora para tentar descobrir quanto vale a leitura de um ponto sobre uma
dada escala, pois se não for possı́vel ler o valor diretamente não existe uma ESCALA.
iii) se tudo deu certo na sua escala, o MENOR e o MAIOR valores experimentais associdos à
escala deverão cair no PRIMEIRO e no ÚLTIMO blocos de divisões da escala, respectivamente.
4.5
O Traçado da Curva
Com todos os pontos experimentais marcados sobre o papel, resta traçar a curva. Não é demais lembrar de
duas regras básicas:
1. Não unir os pontos próximos por uma linha reta. Analisar a tendência geral dos pontos como um todo
e traçar a curva que mais se adapte a esta tendência.
2. Não é necessário que a curva passe por todos os pontos. Ele deve seguir a tendência geral dos membros.
Ver. Fig. 4.5.
No gráfico deve constar apenas a curva traçada e as grandezas explicitadas nos eixos, nada mais deve ser
escrito.
4.6
A Equação da Reta
Da geometria analı́tica, sabe-se que a equação da reta na sua forma reduzida é:
y(x) = ax + b
(4.2)
48
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
(b)
(a)
30
25
correto
incorreto
25
20
T( C)
15
15
0
0
T( C)
20
10
10
5
5
0
0
0
2
4
6
8
10
0
2
t(min)
4
6
8
10
t(min)
Figura 4.7: No gráfico (a) está a forma correta de traçar a melhor reta sobre os pontos experimentais,
respeitando a tendência geral dos pontos, e no gráfico (b) está a forma incorreta, que simplesmente liga os
pontos experimentais.
onde a é o coeficiente angular da reta e b é o coeficiente linear. Na grande maioria das vezes será preciso
determinar um destes coeficientes, ou ambos.
Pode-se mostrar que o coeficiente angular é dado por:
a=
y2 − y1
∆y
=
∆x
x2 − x1
(4.3)
onde P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) são dois pontos quaisquer, pertencentes à reta. IMPORTANTE: na prática,
deve-se escolher dois pontos bem afastados sobre a reta traçada num gráfico linearizado, aumentando-se a
direrença entre os valores de ambas as variáveis x e y, e evitando-se uma perda desnecessária na precisão do
cálculo de a, pois a diferença de números próximos acarreta, em geral, a perda de algarismos significativos.
Exemplo 4-4
Se escolhermos os pontos P1 e P2 de forma que x1 = 1, 5 e x2 = 8, 2 teremos ∆x = 6, 7, com
dois algarismos significativos, e o coeficiente a, pela regra da divisão, não poderá ter mais de
dois algarismos sgnificativos. Se fosse possı́vel, por exemplo, afastarmos mais os pontos sobre
o gráfico, onde tivéssemos x1 = 1, 0 e x2 = 12, 5, terı́amos ∆x = 11, 5, com três algarismos
significativos, o que não limitaria mais o arredondamento de a para dois algarismos signficativos,
como antes. Daı́ a importância do uso correto do papel para gráfico.
Para determinar o coeficiente linear b de uma reta, há duas maneiras:
1. Escolhe-se um ponto qualquer da reta, por exemplo, P3 = (x3 , y3). Substituindo-se estes valores na
equação da reta, juntamente com o valor de a (já calculado), determina-se b;
2. Quando possı́vel, prolonga-se a reta até cortar o eixo dos y (este procedimento é chamado de extrapolação), ou seja, até encontrar x = 0, neste ponto, y(0) = b.
49
4.6. A EQUAÇÃO DA RETA
Exemplo 4-5
Considere os pontos da tabela abaixo, obtidos para a posição x de um móvel que se desloca, em
função do tempo t, os quais permitiram a construção do gráfico da Fig. 4.8.
x(m)
t(s)
9,0 14,0 19,2 22,6 25,3
2,0 3,2 4,5 5,3 6,0
Observe que o gráfico dá uma reta como curva, assim, x(t) = at + b é a equação desta reta. O
passo seguinte é determinar a e b.
k) Determinação dos pontos afastados P1 (t1 , x1 ) e P2 (t2 , x2 ) para o cálculo de a, e P3 (t3 , x3 )
para o cálculo de b
Do gráfico, temos os pontos: P1 (6, 50 s; 27, 45 m), P2 (0, 50 s; 3, 00 m) e P3 (4, 00 s; 17, 25 m).
l) Cálculo de a
a=
∆S
x2 − x1
27, 45 m − 3, 00 m
24, 45 m
=
=
=
= 4, 075m/s = 4, 08 m/s
∆t
t2 − t1
6, 50 s − 0, 50 s
6, 00 s
Observe que os pontos P1 e P2 foram retirados da curva traçada e não dos pontos experimentais
tabelados.
m) Cálculo de b
Extrapolando a reta até encontrar t = 0, 00 s, temos diretamente do gráfico o valor b = 1, 00 m.
Em conclusão a equação x(t) do movimento em estudo é x(t) = (4, 00 m/s)t + (1, 00 m). Como
se aprendeu na Fı́sica, esta é a equação horária de um MRU, que tem a forma geral x(t) =
x0 + vt, e neste caso, comparando-se as equações, temos que v = 4, 08 m/s e x0 = 1, 00 m são,
respectivamente, a velocidade e a posição iniciais do movimento.
Quando não é possı́vel a leitura direta de b do gráfico, substituimos as coordenadas de P3 na
equação da reta, para a determinação de b:
x3 = a t3 + b
então temos analiticamente
17, 25 m = (4, 08 m/s)(4, 00 s) + b = 16, 32 m + b
donde temos
b = 17, 25 m − 16, 3 m = 0, 95 m = 1, 0 m
E neste caso, devido à diferença dos números muito próximos, perdemos um algarismo significativo e o coeficiente linear b ficou menos preciso do que o valor lido diretamente na escala.
50
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
x(m)
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
J
J
J
J
J
0,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
Figura 4.8: Gráfico de x × t para os dados do Exemplo 4-5.
t(s)
51
4.7. LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
4.7
Linearização de Gráficos
Geralmente, os pontos experimentais não estão alinhados de forma retilı́nea, o que indica a não linearidade
do fenômeno, ou seja, os pontos não obedecem à equação da reta. Veja alguns exemplos na Fig. 4.7.
y
y
y
x
x
(a)
(b)
x
(c)
Figura 4.9: Exemplos gráficos de fenômenos indicando não-linearidade.
Como proceder para, por exemplo, determinar os parâmetros g e h da curva da Fig. 4.7(c)?
Deve-se fazer uso de um método chamado linearização de gráficos, que consiste na construção de um novo
gráfico, onde uma conveniente troca de variáveis nos eixos faz com que a curva seja uma reta. No caso (c)
da Fig.4.7, a equação que rege o fenômeno é
y(x) = g/x + h
(4.4)
Comparando-a com a equação da reta: y ′(x′ ) = a′ x′ + b′ , onde as constantes e variáveis da reta são representadas por “linhas” para evitar confusões, tem-se:
y(x) = y’(x’); g = a’; 1/x = x’; h= b’.
(4.5)
Uma vez que a curva y ′ versus x′ é uma reta, pode-se afirmar das equações acima que, para linearizar o
gráfico da Fig. 4.7(c), deve-se traçar um gráfico de “ y versus 1/x ”. Ver Fig. 4.7.
Para determinação das constantes g e h, observe que g é o coeficiente angular da reta “y × 1/x”, enquanto
que h é o seu coeficiente linear.
Como exercı́cio, descubra quais as convenientes trocas de variáveis que linearizam as curvas (a) e (b) da
Fig. 4.7.
Exemplo 4-6
Foram obtidos experimentalmente os dados tabelados abaixo, que fornecem o gráfico da Fig. 4.11.
x(m)
t(s)
4,0
1,0
30,5 100,0 158,5 201,0
4,0 7,5
9,0
10,0
Observe que a curva obtida é do mesmo tipo daquela que aparece na Fig. 4.7(a) e, obedece a
uma equação geral do tipo:
x(t) = ct2 + d
52
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
y
y
x
(a)
1/x
(b)
Figura 4.10: No gráfico (a) está o gráfico de y × x, cuja equação é Y (x) = g/x + h. Em (b) o gráfico y × 1/x,
onde a nova variável x′ = 1/x, o torna linear.
Comparando (4.7) com a equação da reta y ′ (x′ ) = a′ x′ + b′ , tem-se
x(t) = y ′(x′ ) c = a′ t2 = x′ d = b′
Então, o gráfico em que a curva aparece linearizada (reta) é dado por x(t) versus t2 . Assim, a partir dos dados experimentais tabelados acima, faz-se uma nova tabela, respeitando os
algarismos significativos, e traça-se o gráfico correspondente, conforme se observa na Fig. 4.12.
x(m)
t2 (s2 )
4,0 30,5 100,0 185,5 201,0
1,0 16
56
81
100
Para calcular a constante c, basta verificar que ela nada mais é do que oi coeficiente angular da
reta x versus t2 . Isto é,
x2 − x1
y ′ − y1′
= 2
c = a′ = ′2
′
x2 − x1
t2 − t21
onde (t21 , x1 ) e (t22 , x2 ) são dois pontos pertencentes à reta e não à tabela, claro. Obtemos então,
para os pontos P1 (10, 00 s2; 20, 00 m) e P2 (140, 00 s2; 250, 00 m)
c=
270, 00 m − 20, 00 m
250, 00 m
=
= 1, 923076 m/s2 = 1, 9231 m/s2
2
2
2
(140, 00 s − 10, 00 s
130, 00 s
O coeficiente linear, por sua vez, pode ser lido diretamente do gráfico, será o ponto onde a reta
corta o eixo vertical (dos x). É o valor de x para t2 = 0, 00 s2, ou seja, d = b′ = 0, 50 m.
Para um terceiro ponto P3 (100, 00 s2; 193, 00 m) temos que
d = x3 − ct23 = 193, 00 m − (1, 9231 m/s2)(100, 00 s2) = 193, 00 m − 192, 31 m = 0, 69 m
53
4.7. LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
x(m)
250
J
200
J
150
J
100
50
J
0
0
J
5
10
15
Figura 4.11: Gráfico não linear x × t para os dados do Exemplo 4-6.
t(s)
54
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
x(m)
250
200
150
100
50
0
J J
J
J
J
0
50
100
150
Figura 4.12: Gráfico linearizado de x × t2 para os dados do Exemplo 4-6.
t2 (s2 )
55
4.8. O PAPEL MONO-LOG
4.8
O papel mono-log
O papel mono-log, ou também chamado de papel semi-log, é utilizado para a linearização de funções exponenciais do tipo
y(x) = Ceαx
(4.6)
onde A, C, e e α são constantes.
Se aplicarmos o logaritmo natural na expressão acima, obteremos a expressão
ln y(x) = ln C + αx
(4.7)
que pode ser imediatamente comparada com a equação da reta, e portanto, linearizada com a identificação:
y ′ = ln y(x); x′ = x a′ = α b′ = ln C
(4.8)
Para ilustrar essa nova forma de linearização, e o uso do papel mono-log, leia-se o seguinte exemplo.
Exemplo 4-7
Num experimento onde se mediu a diferença de potencial V nos terminais de um capacitor em
processo de carga, como função de tempo t, obteve-se a tabela de dados que segue.
V (volt) 2,6
t(s)
2,0
4,4 5,3 7,8 16,0 25,0 57,8
11,0 13,0 19,0 30,0 37,0 50,0
Sabe-se teoricamente que:
V (t) = A eBt
onde A e B são constantes. Para determinar o valor destas constantes, deve-se proceder à
linearização desta função (que é exponencial). Para tal, aplica-se logaritmo neperiano a ambos
os lados da equação:
ln V (t) = ln(A ebt ) = ln A + ln ebt = ln A + Bt
Comparando com a equação da reta y ′(x′ ) = a′ x′ + b′ , temos
ln V (t) = y ′ t = x′ B = a′
ln A = b′
Vê-se, então que “ln V (t) versus ; t” é, neste caso, o gráfico linear e, portanto, é necessário fazer
nova tabela de dados, isto é:
ln V (volt) 0,96 1,5 1,7 2,1 2,77
t(s)
2,0 11,0 13,0 19,0 30,0
3,22 4,06
37,0 50,0
A partir desta tabela constrói-se o gráfico da Fig. 4.14. As constantes A e B são obtidas como
já foi explicado, uma vez que este gráfico foi construı́do em papel milimetrado. A baixo estão os
resultados, ficando por conta do estudante os detalhes. Assim, A = 2, 3 volt e B = 6, 5 ×10−2 s−1
com a equação que rege o fenômeno sendo dado por:
V (t) = (2, 3 volt) e(0,065/s)t
56
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
É claro que essa linearização é trabalhosa, pois precisa-se calcular numa nova tabela de valores e, a partir
dela, construir o gráfico que fornece uma reta. Para evitar todo este trabalho existe o papel mono-log, que
consiste de um papel quadriculado, onde um eixo é linear (abscissas), dividido em milı́metros, e o outro é
logarı́tmico (ordenadas) com base 10, com as divisões sendo proporcionais aos logaritmos. Neste eixo estão
representados em escala, não os números, mais sim os seus logaritmos.
4.8.1
Análise detalhada do papel mono-log
O papel mono-log é dividido em décadas ou regiões. Entre o inı́cio de uma década e o de outra subseqüente,
há uma diferença de um fator de dez. Isto significa que, se a primeira linha de uma década vale 1 (100 ),
a primeira linha da década seguinte, valerá 10 (101), a primeira linha da década seguinte valerá 100 (102 ),
e assim sucessivamente. Não existe o valor zero no eixo logarı́tmico, uma vez que a função logaritmo não
está definida para este ponto. A escala pode ser iniciada de um valor qualquer em potência de dez, e nunca
marcará o VALOR ZERO. Deve-se marcar pelo menos 3 décadas com as potências de 10, a fim de evitar-se
confusões. Veja a Fig. 4.13.
2
100
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
101
7
8
9
102
Figura 4.13: Uma tira do papel mono-log, para análise das suas divisões.
A escala em papel mostrada na Fig. 4.13 está em escala real (1:1), e apresenta duas décadas inteiras. A
primeira década inicia em 100 = 1 e termina em 101 = 10, a segunda inicia neste valor e termina em
102 = 100. Com esta marcação de exemplo, qualquer valor no intervalo [1, 100] pode ser marcada (ou lida)
nesta escala. Os pequenos números 2, 3, . . . , 9 servem para auxiliarea leitura dos valores das ordenadas dos
pontos em notação cientı́fica diretamente. Observe: exatamente sobre o primeiro número 2, logo à direita da
marca 100 (na primeira década), o traço marca o valor 2, 00 × 100 . Na segunda década, o traço marcado pelo
número 7 define seria lido como 7, 0 × 101 . Observe que na escala logarı́tmica as divisões não são regulares:
até a marca 5, divide-se os blocos em 10 partes, como numa régua milimetrada, e portanto o duvidoso da
leitura cairá na casa dos centésimos; e de 5 a 9, por falta de espaço, divide-se os blocoe em 5 partes, o que
torna duvidoso o algarismo da cas dos décimos. Isto ocorre em todas as décadas do papel logarı́tmico, não
importa quantas se utilizem.
Se no exemplo gráfico anterior, optar-se pela utilização do papel mono-log, não é mais necessário calcular
todos os logaritmos dos valores tabelados, como foi feito. Basta se fazer diretamente “V (t) versus t” no
papel mono-log.
O gráfico assim obtido no papel mono-log, será equivalente da Fig. 4.14 e está representado na Fig. ??.
Veja agora, como determinar as constantes A e B. Lembre-se, inicialmente, de que o coeficiente angular da
reta é dado por:
a′ =
y2′ − y1′
∆y ′
=
∆x′
x′2 − x′1
É preciso, no entanto, estar atento para o seguinte fato: a escala vertical é LOGARÍTMICA.
(4.9)
57
4.8. O PAPEL MONO-LOG
ln V (volt)
5
4
3
2
1
J
J
J
J
J
J
J
0
0
20
40
60
t(s)
Figura 4.14: Gráfico linear ln V × t em papel milimetrado, para o Exemplo 4-7.
58
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
V (volt)
103
9
9
8
7
6
5
4
3
2
102
9
8
7
6
5
4
3
2
101
9
8
7
6
5
4
3
2
8
J
J
J
J
J
J
J
7
6
5
4
3
2
9
8
7
6
5
4
3
2
9
8
7
6
5
4
3
2
100
0
25
50
75
Figura 4.15: Gráfico linear V × t em papel mono-log, do Exemplo 4-7.
t(s)
59
4.9. O PAPEL DI-LOG
Exemplo 4-8
Para o cálculo da constante B do exemplo anterior deve-se proceder como segue:
B=
∆(ln V )
ln V2 − ln V1
ln(V2 /V1 )
=
=
∆t
t2 − t1
t2 − t1
Escolhendo dois pontos quaisquer da reta traçada no gráfico da Fig. 4.15 (o estudante deve
identificá-los), pode-se escrever:
B=
ln 94
4, 54
ln(2, 9 × 102 /3, 1 × 100 )
=
=
= 6, 48 × 10−2 s−1 = 6, 5 × 10−2 s−1
(75, 0 − 5, 0) s
70, 0 s
70, 0 s
A constante A, por sua vez, pode ser lida diretamente no gráfico. Seu valor corresponde ao ponto
onde a reta corta o eixo vertical, ou seja, A é o valor de V para t = 0, 0 s, V (t = 0, 0 s) = A.
No caso, A = V /ebt . O estudante pode verificar que escolhendo o ponto P3 (15, 0 s; 6, 0) obtém-se
A = 2, 3 volt.
Observe que os valores obtidos para as constantes, a partir do gráfico em papel mono-log, concordam com aqueles obtidos através do gráfico em papel milimetrado. Como já foi dito ambos
são equivalentes.
Em resumo, sempre que a equação para um fenômeno fı́sico for do tipo: Y (x) = Aebx o gráfico y(x) versus x
em papel mono-log será uma reta, e as constantes A e B serão determinadas como no Exemplo 4-8,
B=
ln y2 − ln y1
ln(y2 /y1 )
∆(ln y)
=
=
∆x
x2 − x1
x2 − x1
(4.10)
com A sendo lido diretamente no gráfico, ou calculado a partir de um terceiro ponto da reta, uma vez
conhecido B.
4.9
O papel di-log
Muitos modelos matemáticos usados na descrição de fenômenos fı́sicos tem a forma de uma lei de potência,
ou seja, são do tipo
y(x) = kxn ,
(4.11)
onde k e n são constantes. Para linearizar esta equação, existem duas possibilidades:
1. Se n for conhecido, faz-se uma mudança de variáveis, substituindo xn → x′ e y(x) = y ′(x′ ), e traça-se
o gráfico “ y ′(x′ ) × x′ ” ( na verdade “y(x) × xn ”) em papel milimetrado. No entanto, em geral, o valor
de n é desconhecido;
2. Se n for desconhecido, toma-se o logaritmo decimal dos dois lados da equação (4.11), e obtém-se,
log y(x) = log(kxn ) = log k + n log x .
(4.12)
Comparando-se com a equação da reta: y ′ (x′ ) = a′ x′ + b′ , vem log y = y ′ ; n = a′ ; log x = x′ ; log k = b′ .
60
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Assim, observa-se que, para traçar um gráfico linear em papel milimetrado, é necessário calcular os logaritmos
decimais de todos os valores tabelados de x e de y(x) (lembre-se que, no Ex. 17, foi necessário calcular os
logaritmos apenas dos valores de y), plotando depois os respectivos pontos. Portanto, o gráfico linear em
papel milimetrado, neste caso, será log y(x) × log x.
Este trabalho todo pode ser evitado se, em vez do papel milimetrado, for usado o papel di-log, que é um papel
quadriculado, onde as duas escalas são proporcionais aos logaritmos decimais dos números representados.
Os dois eixos desse papel são análogos ao eixo vertical do papel mono-log já estudado. Pode-se concluir,
então, que o gráfico linear no papel di-log será obtido traçando-se o gráfico y(x) × x, simplesmente, o que
será equivalente ao gráfico log y(x) × log x, em papel milimetrado.
Exemplo 4-9
Num experimento em que se estudou a corrente em função da tensão aplicada ao filamento de
uma lâmpada, foram obtidos os dados tabelados abaixo.
I(mA) 22,0
E(V)
0,6
52,2 91,0 176,0 330,0 524,0
2,1 4,0 11,6 26,0 49,0
Sabe-se teoricamente que I = C E w , onde C e w são constantes que devem ser determinadas a
partir de um gráfico I × E, traçado em papel di-log (Fig. ??). Aplicando logaritmo a ambos os
lados da equação, tem-se:
log E(V ) = log(C E w ) = log C + w log E
Comparando com a equação da reta: y ′(x′ ) = a′ x′ +b′ , vem, log E(V ) = y ′ (x′ ); w = a′ ; log E = x′ ;
log C = b′ .
Assim, vê-se que o coeficiente angular da reta que aparece na Fig. 4.16 é w, o qual pode ser
calculado como segue,
w = a′ =
∆y ′
log(I2 /I1 )
∆(log I)
log I2 − log I1
=
=
=
′
∆x
∆(log E)
log E2 − log E1
log(E2 /E1 )
Deixa-se para o estudante que verifique o aparecimento do logaritmo no denominador e no
numerador da expressão acima, lembre-se do papel mono-log, onde o logaritmo aparece apenas
no numerador.
Para o cálculo explı́cito de w, deve-se escolher dois pontos pertencentes à reta, e bem afastados
(os quais o estudante pode identificar na Fig. 4.16),
w=
log(275/32, 0)
= 0, 718 . . . = 0, 72
log(20, 0/1, 0)
A constante C pode ser lida diretamente no gráfico, uma vez que é o valor de I quando E =
∞, ′ ⊑≀l⊔, isto é, C = I(E = 1, 0). Assim,
C = 32, 0 mA
61
4.9. O PAPEL DI-LOG
e a equação ajustada aos dados é dada por:
I = 32, 0
E
volt
0,72
(mA)
Quando não for possı́vel determinar-se a Constante C, lendo diretamente no gráfico, deve-se
proceder, alternativamente, como segue.
Determinada a constante w, escolhe-se um ponto qualquer pertencente à reta (E3 , I3 ). O parâmetro
C será, então, calculado diretamente, a partir da equação I = E w , isto é, C = I3 /E/⊑≀l⊔w
3 , por
exemplo, para E3 = 7, 0 volt e I3 = 130 mA, obtém-se, C = 32 mA.
Resumindo, sempre que a equação para um fenômeno for do tipo: y(x) = Kxn , sendo k e n constantes, o
gráfico “y(x) × x” um papel di-log será uma reta. O expoente n será calculado por
n=
log y2 − log y1
log(y2 /y1)
∆(log y)
=
=
,
∆(log x)
log x2 − log x1
log(x2 /x1 )
(4.13)
enquanto que a constante k poderá ser lida diretamente no gráfico, no ponto onde a reta corta o eixo dos
y(x = 1, 0), ou calculada a partir de um ponto da reta, se n for conhecido.
62
9
8
7
6
5
4
3
2
101
9
8
7
6
5
4
3
2
100
9
8
7
6
5
4
3
2
10−1
101
2
3
4
5
6
7
8
9
102
2
3
4
5
Figura 4.16: Gráfico I × E em papel di-log, para o Exemplo 4-9.
E(V )
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
7
6
6
7
9
8
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
S
S
S
S
S
S
S
⊗
S
S
S
S
S
S
⊗
S
S
S
S
S
S
S
S⊗
S
S
S
S
S
S
S
S
S
⊗S
S
S
S
S
S
S⊗
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
⊗
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
2
I(mA)
103
8
9
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
63
4.10. EXERCÍCIOS
4.10
Exercı́cios
1)Dadas as medidas tabeladas abaixo, use o papel milimetrado e construa uma escala CORRETA para cada
grandeza, marque os pontos experimentais (apenas as abscissas) sobre a escala construı́da. Como não existe
ordenada, use a linha central (5 mm) para a altura vertical dos pontos.
a) L(cm)
1,5 3,5
8,0 9,5 12,0 14,5
0
50
b) t(ms)
21 43 68 95
0
100
150
100
150
100
150
100
150
100
150
100
150
100
150
150 180
50
c) m(kg) 0,021 0,083 0,128 0,256 0,350 0,480
0
50
d) P(mW )
0
50
e) E(V ) 1,0
0
g) n
0
4,0 8,0 13,0 19,0 26,0
50
f ) F (N)
0
12 83 228 556 860 980
400 700 900 1.300 1.700 1.750
50
1,412 1,415 1,418 1,424 1,429 1,435
50
64
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
2)Dadas as medidas tabeladas abaixo, use o papel logarı́tmico e construa uma escala CORRETA para cada
grandeza, marque os pontos experimentais (apenas as abscissas) sobre a escala construı́da. Como não existe
ordenada, use a linha central (5 mm) para a altura vertical dos pontos.
a) ρ(g/cm3 ) 2,5 9,5
2
28,0 49,5 80,0 94,5
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
9
2
3
4
5
6
7
8
9
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
9
2
3
4
5
6
7
8
9
b) I(µA) 4,2 9,1 23,0 45,0 69,0 90,0
2
3
4
5
6
7
c) F (kgf ) 0,054 0,085 0,12 0,25 0,37 0,48
2
d) N (103) 9,5
3
7,0 9,0
2
f ) λ(nm)
6
7
8
3
4
5
6
7
18,0 28,0 59,0 66,0
3
4
5
6
7
350 640 830 920 1210 1800
2
g) p(atm)
5
22,3 67,8 79,0 86,5 98,0
2
e) x(mm)
4
3
4
5
6
7
0,21 0,41 0,98 1,44 1,929 3,4
2
3
4
5
6
7
8
65
4.10. EXERCÍCIOS
Faça os exercı́cios abaixo, respeitando os critérios de 6)Um dos métodos para medir a constante elástica
arredondamento e de operação com algarismos signi- de uma mola é o método dinâmico, que consiste em
pendurar massas diferentes na extremidade de uma
ficativos.
mola e fazê-la oscilar verticalmente, medindo para
3)A posição x de um bloco foi medida em vários in- cada massa o perı́odo de oscilação. A equação que
stantes de tempo t, forneceu os seguintes dados:
relaciona as duas variáveis (perı́odo T e massa m) é
x(m)
t(s)
8,0 61,0 200,0 317,0 402,0
2,0 8,0 15,0 18,0 20,0
T (m) = 2π
p
m/k
onde k é a constante elástica da mola.
a) Trace o gráfico x(t) × t em papel milimetrado. Os valores tabelados foram medidos experimentalObserve o tipo de curva obtida.
mente:
b) O gráfico não é linear. Trace, então, a curva
“x(t) × t2 ” ou “X 1/2 (t) × versust” para linearizá-lo.
T (s)
0,703 1,062 1,251 1,472 1,640
m(kg) 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250
c) Determine os coeficientes angular e linear da reta
obtida.
Determine, através de um gráfico linear em papel
d) Escreva a equação para x(t), ajustada aos dados. milimetrado a constante elástica k da mola.
4)Os dados tabelados estão relacionados por uma 7)Num experimento em que o vapor de água tem a
sua pressão p medida para várias temperaturas absoequação do tipo y(x) = axn :
lutas T , foram obtidos os seguintes resultados:
y(m) 3,21 5,31 8,23 15,00 26,10 53,80
x(m) 1,69 4,93 10,97 28,47 88,83 288,00
p(mm Hg) 2,14 4,57 14,53 50,21 149,3 355,2
a) Trace um gráfico “y(x) × x ” em papel milime- T (K)
263 273 293
313
333
353
trado. Observe que a curva obtida não é linear.
−λ/RT
, onde R = 8, 314 J/mol·
b) Para lineariza-la, trace “y(x) × x ” em papel di- Sabe-se que p(T ) = p0 e
K.
log.
c) Determine, então, a partir da curva linearizada,
as constantes a e n.
a) linearize a expressão acima para p(T );
b) escolhendo o papel adequado, trace um gráfico
linearizado para os pontos experimentais da tabela
5)Os dados tabelados estão relacionados por uma acima;
equação do tipo q(t) = q0 ebt :
c) a partir do gráfico linearizado, calcule as constantes p0 e λ, com suas respectivas unidades.
q(mC) 2410 826 419 348 104 22
t(s)
1,37
3,39 4,57 4,71 7,02 9,48
8)Num experimento para determinar taxa em relação
a) Trace um gráfico “q(t)×t ” em papel milimetrado. ao tempo, por unidade de área, com que a energia de
uma onda eletromagnética é irradiada (a chamada
Note que não é linear.
intensidade da onda) em função do módulo E do seu
b) Para lineariza-lo, trace “y(x)×x” em papel monocampo elétrico médio, foram colhidos os dados:
log.
c) A partir deste gráfico, determine as constantes q0
e b.
S(W/m2 ) 18
E(V /m)
80
35 65 110 150
120 160 200 240
66
Sabendo-se teoricamente que devemos ter que S(E) =
AE B :
a) linearize a expressão para S(E);
b) escolha o papel adequado para linearização, e
trace um gráfico linearizado;
c) determine as constantes A e B, com suas respectivas unidades.
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Apêndices
Alfabeto grego
Letra
alfa
beta
gama
delta
epsilon
zeta
eta
teta
iota
kapa
lambda
mu
Minúscula
α
β
γ
δ
ǫ
ζ
η
θ
ι
κ
λ
µ
Maiúscula
Γ
∆
Θ
Λ
Letra
nu
csi
o
pi
ro
sigma
tau
upsilon
phi
chi
psi
omega
Minúscula
ν
ξ
o
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
Maiúscula
Ξ
Π
Σ
Υ
Φ
Ψ
Ω
Logarı́tmos
Definição
Se ap = N onde a 6= 0 ou 1 então p = loga N é chamado de logarı́tmo de N na base a.
Exemplo:
Sendo 32 = 9 temos que log3 9 = 2.
Propriedades
loga MN = loga M + loga N
M
loga
= loga M − loga N
N
loga M p = p loga M
(14)
loga N = logb N/ logb a
(17)
loge N = ln N
(18)
log10 N = log N
(19)
e = 2, 7182818 . . .
(15)
(16)
(20)
68
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
i
1
2
3
4
5
6
PN
i=1
/N
xi
yi
xi yi
1,0
1,1
1,1
2,1
5,9
12
4,3
10,7
46
5,9
12,9
76
7,8
17,5 1, 4 × 102
10,5
24,3 2, 6 × 102
5,267 12,067
87,877
x2
1,0
4,4
18
35
61
1, 1 × 102
38,300
Tabela 1: Dados numéricos para a regressão linear com o método dos mı́nimos quadardos.
Método dos mı́nimos quadrados
Após a linearização de uma expressão ou lei fı́sica, e do ajuste dos pontos experimentais sobre um gráfico
que se sabe, de antemão, deve ser uma linha reta do tipo
y(x) = ax + b
nos deparamos com uma tarefa nem sempre trivial: achar a melhor reta que pode ser ajustada aos pontos
experimentais.
Como os pontos colocados no gráfico linearizado inevitavelmente possuem erro experimental, em geral não
haverá uma reta sobre o gráfico que contenha todos os pontos. A dúvida que surge então é a seguinte:
Qual a melhor reta que pode ser traçada sobre os pontos dos gráfico linearizado?
Se pensarmos num critério para selecionar essa “melhor reta” baseado na idéia de minizarmos a soma dos
desvios quadráticos1 (ao quadrado) dos pontos experimentais até a dita melhor reta, então poderemos achar
analiticamente quais seriam os seus coeficientes angular a e linear b.
Essa técnica de ajuste de pontos experimentais sobre uma reta chama-se regressão linear, já que se busca
uma melhor reta. O método dos mı́nimos quadrados (MMQ) aplicado ao problema da regressão linear mostra
que a melhor reta, ou seja, a reta que minimiza os desvios quadráticos possui o coeficiente angular
a=
xy − x · y
x2 − x2
e o coeficiente linear
b=
x2 · y − x · xy
x2 − x2
onde a barra indica o valor médio sobre todas os N pontos experimentais (xi , yi ), com i = 1 . . . N.
Exemplo 0-10
Para os pontos experimentais do gráfico da Fig. 4.7(a), onde a melhor reta obtida pelo MMQ
está pontilhada, utilizou-se os 6 pontos seguintes:
1
Se poderia utilizar também os desvios em módulo, como um critério alternativo.
69
4.10. EXERCÍCIOS
25
20
y
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
x
Figura 17: Traçado da melhor reta para os dados da Tabela 1.
O denominador dos coeficientes é então
x2 − x2 = 38, 300 − (5, 267)2 = 10, 6
e finalmente
a=
e
b=
87, 877 − (5, 267)(12, 067)
= 2, 29
10, 6
(38, 300)(12, 067) − (5, 267)(87, 876
= −0, 064
10, 6
Assim, a melhor reta será dada pela equação y(x) = 2, 29x − 0, 064.
Note que no cálculo do exemplo acima, não levamos em conta as regras de arredondamento, pois assumimos
que as coordenadas dos pontos são exatas, até o último algarismo apresentado, já que cada medida foi feita
apenas uma vez.
Em experimentos mais sofisticados, que exigem maior precisão, para cada valor da variável independente
(abscissa) faz-se uma série de medidas para a variável dependente (ordenada), tendo-se já um valor médio e
um erro provável para cada ordenada. Neste caso, é possı́vel se fazer um gráfico incluindo as barras de erro
para cada ponto experimental, e a regressão linear permite o cálculo dos erros associados aos coeficientes a
e b da melhor reta que se ajusta sobre o gráfico.
70
Fı́sica Experimental UDESC-Joinville-SC
Referências Bibliográficas
[1] PAIS, Abraham. Einstein viveu aqui. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
[2] http://www.mat.puc-rio.br/ hjbortol/cdfvv/livro/CabriJava/mmq3.html
72
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Lista de Figuras
1.1 Galileu Galilei (1564–1642). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Evolução da Mecânica, desde a Mecânica Clássica de Newton, até a moderna Teoria da
Relatividade Geral de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1 Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, realizadas com uma régua centimetrada,
ou seja, com divisões a cada centı́metro da escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2 Medida direta do comprimento de duas hastes A e B, feitas com uma régua milimetrada. . .
12
2.3 Medida direta da posição de um feixe laser feita sobre uma escala milimetrada. . . . . . . . .
13
3.1 Quatro atiradores disparam 400 projéteis cada um, contra um alvo fixo. Podemos ver que o atirador
A possui tem pouca precisão (não consegue concentrar os disparos numa área pequena) e possui
pouca acurácia (pois o centro dos seus tiros está longe do centro do alvo, seu objetivo); o atirador
B possui boa precisão e pouca acurácia; o C possui pouca precisão e boa acurácia; e finalmente, o
atirador D combina boa precisão e boa acurácia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2 A curva normal de Gauss dá a probabilidade de se encontrar valores de uma medida em torno
do valor médio (zero, nesse caso). A Área marcada sob a curva, delimita a região provável,
ou seja, a região onde devem estar 50% das medidas efetuadas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.1 a) O plano cartesiano e o sistema de eixos XY , com seus quatro quadrantes mostrados e
b) um conjunto de pontos experimentais representados no plano cartesiano e sua tendência
(indicada pela linha tracejada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2 Diferentes sı́mbolos usados para marcar os pontos experimentais nos gráficos. . . . . . . . . .
42
4.3 Representação esquemática de um pêndulo simples. Ajusta-se o tamanho l (variável independente) e mede-se o perı́odo T (variável dependente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.4 Representações gráficas possı́veis: (a) T × l e (b) l × T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.5 A escolha da escala horizontal no gráfico (a) faz corresponder a cada bloco de divisões os
valores 10 na vertical e 1 na horizontal, uma boa escolha. No gráfico (b) faz corresponder o
valor 7 na vertical, uma péssima escolha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.6 A escolha da escala vertical no gráfico (a) está correta, pois utiliza a maior parte do papel no
sentido vertical. No gráfico (b), utiliza-se menos da metade do papel, o que é ERRADO. . .
45
4.7 No gráfico (a) está a forma correta de traçar a melhor reta sobre os pontos experimentais,
respeitando a tendência geral dos pontos, e no gráfico (b) está a forma incorreta, que simplesmente liga os pontos experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.8 Gráfico de x × t para os dados do Exemplo 4-5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
74
LISTA DE FIGURAS
4.9
Exemplos gráficos de fenômenos indicando não-linearidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.10 No gráfico (a) está o gráfico de y × x, cuja equação é Y (x) = g/x + h. Em (b) o gráfico
y × 1/x, onde a nova variável x′ = 1/x, o torna linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.12 Gráfico linearizado de x × t2 para os dados do Exemplo 4-6. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.11 Gráfico não linear x × t para os dados do Exemplo 4-6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Uma tira do papel mono-log, para análise das suas divisões.
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.14 Gráfico linear ln V × t em papel milimetrado, para o Exemplo 4-7. . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.15 Gráfico linear V × t em papel mono-log, do Exemplo 4-7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 Gráfico I × E em papel di-log, para o Exemplo 4-9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Traçado da melhor reta para os dados da Tabela 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
62
69
Lista de Tabelas
2.1 Algumas grandezas fı́sicas bastante usadas, seu tipo, seu sı́mbolo usual (S), sua unidade no
Sistema Internacional (SI), um exemplo de uma medida da grandeza com o seu número de
casas decimais (NCD) e de algarismos significativos (NAS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2 Tabela dos múltiplo e sub-múltiplos mais usados na Fı́sica, com exceção do prefixo deca (D),
de uso raro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1
68
Dados numéricos para a regressão linear com o método dos mı́nimos quadardos. . . . . . . . .