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SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL – 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ
A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES
AVALIAÇÃO DE TÍTULOS CONVERSÍVEIS COM OPÇÕES DE COMPRA E
VENDA
Carlos Patricio Samanez
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Giuliano Iorio
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Gustavo Santos Raposo
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Marcio Palmeira
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Resumo
Em artigo publicado em 1986 no Journal of Finance, “LYON Taming” [9], John McConnell e
Eduardo Schwartz desenvolveram um modelo para apreçamento do Liquid Yield Option Note
(LYON), título que tem como características principais a ausência de eventos geradores de fluxo de
caixa antes da data de vencimento, a existência de opções de compra (em poder do emissor) e venda
(direito do investidor) e a possibilidade de conversão dos contratos emitidos em um número
determinado de ações da empresa emissora. Tomando por base tal artigo, o presente trabalho
desenvolve um modelo alternativo para apreçamento e análise do LYON, que faz uso da teoria clássica
de derivativos, de modo a incorporar corretamente ao preço justo do título, tanto a influência das
opções presentes no contrato, quanto a questão da conversibilidade, ponto que indubitavelmente se
mostra de grande relevância, principalmente quando da tomada de decisão por parte da instituição
interessada no lançamento do título, no que tange às características que os contratos necessariamente
deverão incorporar.
Palavras chaves: títulos conversíveis, opções, contingent claim analysis
Abstract
In 1986, John McConnell and Eduardo Schwartz published an article (LYON Taming [9],
Journal of Finance) describing a new methodology to value Liquid Yield Option Notes (LYON), a
zero coupon bond with an embedded put /call option and a particular convertibility feature.
Based on that, this working paper will present an alternative approach that is not only
concerned with the valuation mechanism, but also with the correct analysis itself. Summarizing, this
research consists of determining the fair price of that kind of bond (classical theory of derivatives)
valuing properly not only the embedded options but the conversion feature, considering the synergy
that exist between them. This last item is more relevant to possible issuers, who are interested in the
properties these bonds should have in order to get some advantages of this specific financial operation.
Keywords: convertible bonds, options, contingent claim analysis
-1-
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1. Introdução
Um dos grandes problemas com que as empresas se deparam é a dificuldade de conseguir
financiamentos dentro de prazos que se adeqüem às suas necessidades ou, ainda, na própria percepção
de qual seria o prazo e o valor mais apropriado a se captar. Freqüentemente, um projeto pode requerer
um investimento inicial e, quando financeiramente rentável, exigir novos recursos após um
determinado período, o que se caracterizaria como uma opção de investimento. A existência de
incerteza quanto ao valor dessa opção de investimento no futuro, que muitas vezes se torna nulo, é
apenas um dos fatores determinantes da dificuldade em se detectar valores e prazos de um
financiamento a ser tomado.
Em geral, quanto maior o prazo médio das captações de uma empresa, melhor será a percepção
da solidez desta, porém, desconsiderando a importância da classificação de risco da empresa pelo
mercado como fator redutor das taxas de futuras captações, o ideal seria obter um “casamento” entre
os prazos das captações necessárias ao financiamento dos projetos potencialmente rentáveis e o
período de recuperação do capital investido.
Para atingir tal objetivo, uma opção seria a emissão de um título que não contemple opções ou
a possibilidade de conversão (straigh bond), no valor e prazo necessários ao atendimento do
investimento inicial do projeto. Se em um determinado momento, anterior à maturidade da opção de
investimento, esta se mostrasse valiosa, emitir-se-ia, então, um novo título para dar continuidade ao
projeto.
Conforme Mayers [8], uma alternativa interessante aos financiamentos seqüenciais de menor
escala seria a emissão de títulos conversíveis com opções implícitas no contrato, que, além de
apresentar-se como instrumento de captação mais flexível em relação a um título comum, apresenta
custos mais baixos, dentre outras coisas, devido à economia de escala e à conversibilidade.
O fato é que, quer pelas particularidades inerentes, quer pelos benefícios oriundos da lei
tributária, títulos conversíveis como o LYON têm se transformado em um importante meio de
captação de recursos no mercado internacional, sendo interessante tanto para instituições emissoras
quanto para os investidores de maneira geral, fato que conduz à excepcional liquidez obtida por estes
ativos.
O presente artigo está dividido em cinco seções. A primeira apresenta uma breve introdução ao
trabalho. Já a segunda, está focada em detalhar aspectos gerais inerentes ao título, descrevendo seu
funcionamento, suas características e particularidades. Na terceira seção, são apresentados em detalhes
a metodologia e os passos a serem seguidos quando da definição do modelo teórico de apreçamento do
LYON. A quarta seção consiste na aplicação do modelo e na comparação dos resultados obtidos com
aqueles apresentados por McConnell e Schwartz [9]. A última é dedicada aos comentários e
conclusões finais.
2. Detalhamento do título
Lançados em 1985, os LYON’s vêm despertando a atenção de grande parte dos investidores
internacionais, os quais se mostram atraídos pelas peculiaridades destes contratos de investimentos.
Dentre as principais características destes ativos, pode-se destacar:
•
Sem pagamento de cupom - No caso de não haver a conversibilidade ou o exercício das
opções, só haverá ocorrência de fluxo de caixa na data de vencimento;
•
Conversível em um número específico de ações - De acordo com a taxa de conversão
definida no contrato, o LYON pode ser convertido, a qualquer instante de tempo, em um
determinado número de ações da empresa emissora.
•
Maturidade - Geralmente de 15 a 20 anos;
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•
Opção de venda - São previstas em contrato datas nas quais os investidores poderão se
desfazer de suas posições originais por um determinado preço de exercício;
•
Opção de compra - O emissor tem o direito de “chamada” sobre o ativo emitido, a
qualquer instante de tempo e não somente nas datas em que os preços de exercício estão
previstos no contrato. Esta opção mostra-se interessante para o emissor, uma vez que
confere maior flexibilidade em relação ao passivo adquirido quando do lançamento dos
títulos, tornando possível a adequação da dívida em relação a novas condições de
mercado;
•
Proteção à opção de compra (call protection) – Quando suave (soft call protection),
estabelece que a opção de compra só poderá ser exercida após um certo período de tempo
ou até que o preço da ação, referenciada neste como “ativo-base”, ultrapasse determinado
patamar. Alguns contratos consideram apenas o período em que a opção de compra não
poderá ser exercida, não importando o nível no qual esteja cotado o ativo-base - proteção
rígida (hard call protection).
•
Prêmio sobre o valor de conversão - Representa a diferença percentual entre o valor atual
do título conversível e o valor de conversão corrente (mede o ganho obtido pela utilização
do LYON como ferramenta de captação, em detrimento do lançamento/emissão de ações).
Respondendo por uma parcela razoável do mercado americano de títulos conversíveis, os
LYON’s apresentam inúmeras vantagens em relação às ferramentas usuais de captação - por exemplo,
a emissão de ações e títulos que não contemplem a possibilidade de conversão. Dentre elas, merecem
destaque:
•
O valor obtido quando da emissão de um LYON seria superior àquele correspondente ao
lançamento de um título de características semelhantes, mas que não possua opções e a
possibilidade de conversão;
•
Acesso a uma nova base de investidores, podendo uma eventual captação atingir quantias
consideráveis;
•
Benefícios fiscais auferidos por parte das empresas emissoras;
•
Inexistência de desembolsos antes do vencimento do título (exceto no exercício da opção de venda
ou conversão por parte do investidor);
•
Exercício da opção de venda: o emissor teria captado recursos a uma taxa consideravelmente
inferior à de um straight bond de mesmas características;
•
Conversão: do ponto de vista do emissor, a situação é análoga ao lançamento de novas ações no
mercado, negociadas acrescidas de um prêmio;
•
Passivo de longo prazo: vida útil destes ativos varia de 15 a 20 anos.
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3. O modelo
3.1 Metodologia
O modelo desenvolvido para apreçamento e análise do LYON faz uso da teoria de opções,
desenvolvida por Black and Sholes [1] e complementada por Merton [10], definindo a equação
diferencial que descreve o comportamento do preço do ativo como função das variáveis que regem seu
comportamento. No presente trabalho foram realizadas algumas simplificações, no tocante à não
adoção de modelo estocástico para representar o comportamento futuro da taxa de juros, sendo a
mesma definida como parâmetro determinístico à modelagem. Vale lembrar que tal simplificação não
torna inválidos os resultados obtidos; pelo contrário, alguns trabalhos desenvolvidos nesta área
mostram que o trade-off entre a praticabilidade e o ganho na acurácia dos resultados torna questionável
a utilização de um modelo mais sofisticado [9].
Obtida a equação diferencial que determina o comportamento do título, mas que não apresenta
solução analítica conhecida, torna-se necessário o emprego de procedimentos numéricos. Diversas
metodologias desenvolvidas atualmente para apreçamento de derivativos poderiam ser utilizadas,
dentre as quais destacamos o Método das Diferenças Finitas Explícito (MDFE) e o Método das
Diferenças Finitas Implícito (MDFI). Apesar de conceitualmente mais simples e de fácil
implementação, o MDFE apresenta sérios problemas de convergência, o que no entendimento dos
autores desaconselharia seu uso. Desta forma, escolhemos o MDFI para o desenvolvimento do
algoritmo utilizado para solucionar o problema em questão.
Para valorar um título conversível, a premissa básica a ser adotada diz que o valor de
equilíbrio do mesmo é aquele que impossibilita ganhos com arbitragem, tanto por parte do emissor
quanto do investidor, uma vez que o primeiro possui estratégia ótima em relação à conversão e à
venda, e o segundo, em relação à compra do título. Ao analisar o ativo em questão, observa-se que os
investidores e os emissores do ativo possuem direitos que, quando exercidos, automaticamente
eliminam os demais antes existentes*. Por esta razão, para determinar o valor justo do título, as
estratégias ótimas de conversão, venda e compra devem ser avaliadas mediante uma análise conjunta
da atitude ótima das partes para cada uma das situações possíveis. Sob este aspecto, ao derivar a
estratégia de conversão (ou de compra ou de venda) é necessário adotar premissas sobre a
contrapartida da mesma. Seguindo o utilizado por Brennan e Schwartz [2] e por McConnell e
Schwartz [9] no presente modelo, cada parte possui uma dada estratégia ótima (descrita a seguir) e
espera que a contraparte faça o mesmo:
-
os emissores seguem a estratégia de compra que minimiza o valor do título em cada instante;
-
os investidores seguem as estratégias de venda e conversão que maximizam o valor do título
em cada instante.
3.2 Estratégias
Estratégia de conversão - A conversibilidade é um direito do investidor que, no objetivo de maximizar
o valor do título a cada instante, jamais irá permitir que o valor deste seja inferior ao valor de
conversão.
consequência: em nenhum instante o valor do título poderá ser menor que o valor de conversão.
Estratégia de compra - A opção de compra é um direito do emissor que, no objetivo de minimizar o
valor do título a cada instante, jamais irá permitir que o valor deste exceda o preço de exercício da
*
p.e. o direito de converter o título em uma data futura T*, somente poderá possuir valor neste instante no caso
de as opções de compra (por parte do emissor) e venda (por parte do investidor) não tiverem sido exercidas em
nenhuma data anterior a T*.
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opção de compra. Vale lembrar que o exercício da opção de compra pode ocorrer fora das datas
previstas no contrato, sendo o preço de exercício ajustado à taxa de juros implícita entre as datas dos
preços de exercício.
consequência: em nenhum instante o valor do título pode exceder o maior entre o preço de exercício
da opção de compra e o valor de conversão.
Estratégia de venda - A opção de venda é um direito do investidor que, no objetivo de maximizar o
valor do título a cada instante, jamais irá permitir que o valor deste seja inferior ao preço de exercício
da opção de venda.
consequência: em qualquer data de opção de venda prevista, o valor do título não pode ser menor que
o preço de exercício desta.
3.3 Modelo matemático
Sendo o comportamento do preço do ativo-base descrito pelo seguinte processo (movimento
geométrico browniano)
dS = µSdt + σSdZ
onde, dZ segue um processo de Wiener dZ = ε dt
pela aplicação do Lema de Itô, tem-se:
∂L
∂L
1 2 2 ∂2L
σ S
+ (r − q )
S+
− rL = 0
2
∂S
∂t
2
∂S
(1)
onde, L, S, q, r e t representam, respectivamente, o derivativo em questão, o preço do ativobase (no caso, o preço da ação do emissor), a taxa de dividendos, a taxa de juros sem risco e o tempo.
Assumindo o pagamento de dividendos como sendo:
D( S , t ) = d y S + de g (t −t 0 )
onde, dy é a taxa (percentual) de pagamento de dividendos; d é o valor (em dinheiro) do
pagamento do dividendo; g é a taxa constante de crescimento do dividendo; e t0 é a data de emissão do
título,
obtem-se a equação que descreve o comportamento do valor do título:
(
)
∂L ∂ L
1 2 2 ∂2L
+ rS − d y S − de g ( t − t 0 )
+
σ S
− rL = 0
2
∂S ∂t
2
∂S
(2)
Desta forma, tem-se o resultado final do apreçamento, mediante a resolução da equação (2) de
acordo com as condições de contorno a serem definidas, as quais derivam das estratégias ótimas de
conversão, venda e compra, bem como das condições de maturidade especificadas no contrato.
3.4 Condições de contorno
1) Condições de maturidade (maturity condition) – Na data de vencimento, o valor do título será o
maior entre o valor de conversão e o valor de face do contrato.
L( S , T ) = Max(CrS , F )
onde:
L (S,T) é o valor do LYON para um determinado S no vencimento do ativo, T
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Cr é a taxa de conversão (conversion ratio)
S é o valor do ativo-base (ação)
F é o valor de face
2) Condição de conversão (conversion condition) - Em qualquer instante, o valor do título deve ser
maior ou igual ao valor de conversão.
L( S , t ) ≥ CrS
onde:
L (S,T) é o valor do LYON para um determinado S em um instante de tempo qualquer, t
Cr é a taxa de conversão (conversion ratio)
S é o valor do ativo base (ação)
3) Condições de venda (put condition) - Nas datas de exercício da opção de venda, o valor do título
deverá ser maior ou igual aos preços de exercício.
L( S , t p ) ≥ P(t p )
onde:
L (S,tp) é o valor do LYON para um determinado S em um instante de tempo tp
tp é um instante de tempo em que há opção de venda
S é o valor do ativo base (ação)
P(tp) é o preço de exercício da opção de venda no instante tp
4) Condição de compra (call condition) – Conforme já dito, quando o emissor exerce a opção de
compra, o investidor pode escolher entre receber o preço de exercício ou o valor de conversão.
Assim, em qualquer instante, o valor do título deve ser menor ou igual ao maior entre o preço de
exercício da opção de compra e o valor de conversão.
L( S , t ) ≤ Max{C (t ), CrS}
onde:
L (S,t) é o valor do LYON para um determinado S em um instante de tempo em que há opção de
compra, ou seja, em um instante fora do período de proteção à opção de compra (call protection)
Cr é a taxa de conversão (conversion ratio)
S é o valor do ativo-base (ação)
C(t) é o preço de exercício da opção de compra no instante t
4. Resolução numérica
Resolvendo a equação diferencial (2), sujeita às quatro condições de contorno citadas
anteriormente, tem-se o valor do título, dadas as premissas até aqui adotadas. Conforme já
mencionado, o MDFI é o método mais indicado, já que não existe uma solução analítica para a
equação. Na aplicação do método, a equação diferencial é convertida em um conjunto de equações de
diferença, que, então, são resolvidas interativamente.
Assim, a equação diferencial que determina o comportamento do LYON assume a forma:
ai , j Li , j −1 + bi , j Li , j + ci , j Li , j +1 = L
onde:
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(3)
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1
1
1
1
ai , j = − σ 2 j 2 ∆t + rj∆t − d y j∆t −
de g (i∆t −t0 )
2
2
2
2∆S
2 2
bi , j = σ j ∆t + 1 + r∆t
1
1
1
1
ci , j = − σ 2 j 2 ∆t − rj∆t + d y j∆t +
de g (i∆t −t0 )
2
2
2
2∆S
t 0 = diferença entre a data da emissão e a data de avaliação do título
Processa-se a discretização dos valores que delimitam as possibilidades futuras para o nível do
preço do ativo-base e do instante de tempo compreendido entre a emissão do contrato (ou data-base –
instante de análise) e a data de vencimento do título. Aproximando-se, desta forma, um espaço de
infinitas possibilidades (espaço contínuo) por um conjunto finito de pontos e, conseqüentemente, a
equação diferencial, por equações de diferença. Dessa forma, o modelo apresentará melhor ajuste
quanto menor os passos utilizados na discretização proposta.
O valor do LYON no vencimento (t=T) pode ser expresso como: máx [Cr j ∆S; F]; onde Cr é
o número de ações em que cada título pode ser convertido (taxa de conversão) e F é o valor de face do
contrato:
L N , j = máx[C r j∆S , F ]
Se S=Smáx, o título será convertido
Li , M = C r M∆S
j = 0,1,2,3...M
i = 0,1,2,3...N
onde M∆S=Smáx
Se S = 0, tem-se a falência (default) do emissor, logo: Li ,0 = 0
Gráfico I
t=0
S=0
∆t
2∆t
3∆t
T
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i = 0,1,2,3...N
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Definidas as condições de contorno, resta utilizar recursivamente a equação (3) de forma a
determinar o valor do ativo para cada um dos pontos que descrevem o espaço discreto, comparando os
valores obtidos em cada caso com a estratégia ótima a ser adotada. Abordando primeiramente os
pontos correspondentes ao instante T-∆t, ou seja, com i = N - 1:
(4)
Assim, tem-se:
...
a N −1, M −1 L N −1, M − 2 + bN −1, M −1 L N −1, M −1 + c N −1, M −1 L N −1, M = L N , M −1
5. Aplicação do modelo
Para que se possa avaliar os resultados obtidos pelo modelo desenvolvido, torna-se necessário
um parâmetro de comparação. Assim, na presente seção, o trabalho propõe a análise da emissão
-8-
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Além do apreçamento propriamente dito, o modelo desenvolvido permite que se realizem análises
de sensibilidade do valor do título frente a mudanças nos valores usados no chamado “cenário-base”,
permitindo melhor visualização dos riscos envolvidos no contrato, causados tanto por uma mudança
repentina destes parâmetros quanto pela má estimativa dos mesmos.
A seguir são apresentados os resultados das análises, as quais tomaram por base a volatilidade do
preço da ação e a taxa de juros empregadas no modelo de apreçamento.
-
Sensibilidade em relação a mudanças na volatilidade
Tabela II
Tabela III
As tabela II e III ilustram a sensibilidade do valor do LYON na emissão frente a mudanças na
volatilidade do preço da ação (underlying). A tabela II exibe os novos preços, enquanto que a tabela
III, a variação percentual. O valor do LYON aumenta monotonicamente com aumentos no preço da
ação, bem como na volatilidade deste.
Assim, ao considerar no modelo uma volatilidade menor do que a observada no mercado, o
modelo fornecerá um valor para o LYON sobreavaliado frente ao que, teoricamente, o mercado estaria
disposto a pagar. Se, por outro lado, ao considerar na modelagem volatilidade superior àquela
praticada, o modelo superavaliará o valor do título.
-
Sensibilidade em relação a mudanças na taxa de juros
Uma das características presentes no LYON é a possibilidade do investidor exercer a opção de
compra de acordo com as datas e preços de exercício relacionadas no contrato. A opção de venda será
especialmente valiosa para o investidor se a taxa de juros aumentar de forma acentuada (e inesperada)
durante a vida útil do título. Neste caso, o investidor exerceria a opção de venda e aplicaria o valor
recebido à nova taxa. Por outro lado, a opção de compra se mostrará especialmente valiosa se a taxa de
juros cair de forma abrupta em algum momento anterior ao vencimento do título. Neste caso, o
emissor exerceria a opção de compra e emitiria um novo título a um custo mais baixo.
Assim, percebe-se que as variações na taxa de juros podem produzir diversos efeitos sobre o
preço do título, tornando imprescindível a análise de sensibilidade do mesmo frente a este parâmetro.
A seguir são apresentadas tabelas comparativas.
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Tabela IV
Tabela V
A tabela IV ilustra a sensibilidade do valor do LYON frente a mudanças na taxa de juros.
Observa-se que o valor do LYON cai à medida que a taxa de juros sobe. Observando as variações no
valor do LYON em termos percentuais - tabela V, percebe-se o quão sensível o modelo se mostra a
oscilações neste parâmetro, evidenciando a importância de uma estimativa acurada da taxa de juros.
-
Sensibilidade em relação a mudanças nas opções de compra e venda
Além das análises apresentadas, o modelo proposto possibilita avaliar a sensibilidade do valor
do LYON frente a mudanças nas datas e/ou preços de exercício das opções de compra e venda. Como
existem infinitas possibilidades de mudanças nas opções, a tabela VI procura ilustrar esse efeito
mediante comparação entre o valor do LYON, que possui opção de compra e venda, com o de um
título hipotético que possua somente opção de venda (noncallable redeemable bond), um outro que
apresente apenas a opção de compra (callable nonredeemable bond) e um terceiro, que não contemple
nenhuma das opções possíveis (noncallable nonredeemable bond).
Tabela VI
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Como era de se esperar, ao retirar-se a opção de compra do título seu valor aumenta, pois este
estaria sendo negociado com um benefício a menos para o emissor. Já ao excluir-se a opção de venda,
seu valor diminui, pois neste caso o investidor não teria a proteção que a opção de venda proporciona.
A última coluna apresenta o valor do LYON quando se retira as duas opções. Observando esta
coluna evidencia-se um fato importante: o valor encontrado não é o simples somatório dos valores das
opções individualmente, pois além da presença da conversibilidade, existe a sinergia entre as opções
embutidas no contrato.
6. Conclusões
O LYON é um título que envolve uma certa complexidade, dentre outras coisas devido à
existência das opções. O uso da metodologia de contingent claim para apreçamento de ativos vem
sendo aplicado freqüentemente, e a presença de derivativos no ativo em questão levou também ao uso
desta metodologia.
Para definição do modelo fez-se uso de procedimentos numéricos, tornando a resolução do
problema de certa maneira sofisticada, porém não trazendo prejuízos em termos de praticabilidade, já
que o software desenvolvido mostrou-se extremamente eficiente, tanto em termos de acurácia nos
resultados como no tempo de processamento.
Além da valoração do título, o modelo permite também avaliar o comportamento do valor
deste frente a mudanças nos parâmetros do contrato e nas variáveis de mercado, fato interessante para
o emissor, já que devido a suas particularidades, muitos emissores em potencial perdem a
oportunidade de emiti-lo por não possuirem o entendimento adequado.
Em relação ao modelo de McConnell e Schwartz [9] utilizado como parâmetro de comparação,
os resultados aqui encontrados mostraram-se mais precisos, reafirmando a idéia de que a utilização da
taxa de juros como determinística não traz nenhum tipo de problema que justifique o desenvolvimento
de um modelo mais sofisticado.
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