1
3. HIDRODINÂMICA
3.1 Princípios Gerais.
• A Hidrodinâmica tem por objetivo geral o estudo do movimento
dos fluidos.
• O movimento dos fluidos pode ser classificado como:
Permanente
(em um mesmo ponto
as propriedades não
variam ao longo do
tempo)
Classificação
do
Movimento
dos Fluidos
Uniforme
(as propriedades não variam ao longo do
espaço)
NãoUniforme
Acelerado
Retardado
Variado
(em um mesmo ponto as propriedades variam ao longo do tempo)
Em nossas
permanente.
aplicações,
•1
•2
Velocidade: V1
V2
Pressão:
P1
trabalharemos
com
movimento
No movime nto permanente
as propriedades são independentes
do te mpo
P2
dv1 dv2 dP1 dP2
=
=
=
=0
dt
dt
dt
dt
•
Em uma determinada seção, a vazão ou descarga representa a
quantidade de líquido que atravessa esta seção por unidade de
tempo.
•
Na hidráulica, expressamos a vazão em termos do volume de água
que atravessa uma determianda seção por unidade de tempo: litros
por minuto, metros cúbicos por segundo, metros cúbicos por hora
etc.
Volume
VAZAO =
Unidade de Tempo
Litros m3 m3
;
;
Ex :
segundo s h
2
• A seguinte relação pode ser estabelecida entre a vazão, a área de
escoamento e a velocidade média de escoamento da água na seção
considerada.
Vazao = Area ⋅ Velocidade
m3
= m2 ⋅
s
•
É importante ressaltar que a velocidade média se refere `a área da
seção de escoamento, que pode ou não ser igual à área da seção
tubo.
Área da Seção
de
Escoamento
•
m
s
<
Área da
Seção do
Tubo
Área da Seção
de
Escoamento
=
Área da
Seção do
Tubo
Nos textos de hidráulica é costume representar valores de vazão
pelas letra Q ou q.
• Exemplo 3.1.1: Na figura abaixo são indicadas a velocidade média
e a área no interior de três tubulações diferentes. Identifique a
tubulação que transporta a maior vazão.
As vazões são: (a) 12Av, (b)14Av, e (c) 12Av. Desta forma, a maior
vazão escoa através de b.
3
• Exemplo 3.1.2: Verificou-se que a velocidade econômica de uma tubulação é
1,25m/s. Determine o diâmetro da tubulação para uma vazão é de 72m3/hora.
Q = 72
m3
h
m3
= 0,02
= 20 L / s
h 3600 s
s
Q = A⋅V
( lembre que 1,0 m 3 = 1000 Litros)
A=
Q 0,02m 3 / s
=
= 0,016m 2
V
1,25m / s
Em um tubo circular:
A=
π ⋅ D2
e
4
logo : D =
4⋅A
=
π
4 ⋅ 0,016m 2
= 0,1427m
π⋅
• Exemplo 3.1.3: Considerando os
diâmetros comerciais disponíveis no
mercado, que são dados na tabela ao
lado, selecione o tamanho comercial de
tubo que resulta, para a vazão de
72m3/hora, na velocidade média de
escoamento mais próxima de 1,25m/s.
LINHA FIXA LF SOLD. PN80
NBR 14312
(lembre-se DN= diâmetro nominal, dem=
diâmetro externo, e= espessura da parede).
DN
dem (mm)
e (mm)
50
75
100
125
150
200
50,5
75,5
101,6
125,0
150,0
200,0
1,90
2,50
3,60
4,20
5,00
5,40
De acordo com os dados da tabela, os valores de diâmetro interno e velocidade média
de fluxo, para uma vazão de 72m3/hora ( 0.02m3/s), nos tubos de diâmetros nominais
de 125, 150 e 200mm são:
3
125 ⋅ mm − 2 × 4.2 ⋅ mm = 116.6 mm
4 × 0.020 ⋅
m
s
π × ( 0.1166 ⋅ m)
2
= 1.873
m
s
3
150 ⋅ mm − 2 × 5 ⋅ mm = 140 mm
4 × 0.020 ⋅
m
s
π × ( 0.140 ⋅ m)
2
= 1.2992
m
s
3
200 ⋅ mm − 2 × 5.4 ⋅ mm = 189.2 mm
m
4 × 0.020 ⋅
s
π × ( 0.1892 ⋅ m)
2
= 0.7114
m
s
Desta forma, a velocidade mais próxima de 1,25m/s é obtida com o tubo de DN=150.
4
• Exemplo 3.1.4 : A figura abaixo indica a direção e o valor da
vazão (em m3/h) escoando em quase todos os segmentos.
Assumindo uma condição de fluxo permanente em todos os
segmentos, determine a direção e o valor da vazão no segmento
sem indicação.
Iniciando nocanto superior esquerdo no sentido horário, a vazão que entra no sistema
é 5+ 4+8 + 4 =21 m3/h .Seguindo a mesma ordem, a vazão de saída é 2 + 6 =8 m3/h .
Desta forma, se não existem outras perdas, a vazão no trecho sem identificação corre
no sentido da saida e tem valor de 13 m3/h.
•
Em um sistema com vazão constante, o princípio da conservação
de massa resulta na seguinte igualdade:
Q=A1 ⋅ V1 =A2 ⋅ V2 =A3 ⋅ V3
• Exemplo 3.1.5: Em uma pessoa normal em repouso, a area A0 da
aorta na saída do coração tem um valor médio de 3 cm2 e a
velocidade média do sangue v0 nesta seção e de 30 cm/s. Estime o
número médio de capilares no corpo de uma pessoa considerando
que cada capilar tem uma área média A de 3x10-7 cm2 e que no
interior dos capilares o sangue escoa a uma velocidade v é de 0,05
cm/s.
2
3cm ⋅ 20
cm
s
3
3
= 60.0
cm
s
60⋅
n :=
−7
3⋅ 10
cm
s
2
⋅ cm ⋅ 0.05⋅
cm
9
n = 4 × 10
s
A Linhas de corrente são linhas que são desenhadas no fluxo de forma
a auxiliar a visualizar a movimentação das partículas de fluído. As
5
linhas de corrente são desenhadas de forma a serem tangentes a
direção do vetor velocidade
Linha de corrente
Partícula de
Fluido
•
No fluxo permamente, a forma de cada linha de corrente não se
altera ao longo do tempo .
t=0
t = t+∆ t
Fluxo
FluxoPermanente
Permanente
Fluxo Variado
Fluxo
Variado
•
Em um dado instante, as linhas de corrente não podem cortar-se,
pois, em caso positivo, a partícula que se encontra no ponto de
intersecção das linhas de corrente teria velocidades diferentes ao
mesmo instante, o que não é possível.
6
3.2 A Equação de Euler (1)
•
De uma maneira geral, quando uma partícula de fluído se desloca de A
para B, as variação de velocidade (v) da particula são devido a mudanças
no tempo (t) e na posição (s):
∂v ·δt
δv = ∂v
·δs
+
∂t
∂s
No limite em que δt → 0,
a = aceleração=
No limite em que δt→ 0,
a = aceleração =
•
⇒
δv = ∂v δs + ∂v
δt
∂s · δt ∂t
δv → dv
dt
δt
= a = aceleração
dv = ∂v δs + ∂v
dt
∂t
∂s · δt
δs
δt
v = velocidade
dv = ∂v ·v + ∂v
∂t
∂s
dt
No fluxo permanente, não existe variação da velocidade no tempo:
∂v
= ∂v ·v + ∂t
a = aceleração = dv
∂s
dt
= ∂v ·v
a = aceleração = dv
∂s
dt
7
3.2 A Equação de Euler (2)
•
•
Considere um volume elementar de água que se desloca na direção s
com velocidade v e aceleração a.
Se apenas as forças devido a pressão (p) e a gravidade (g) forem
consideradas, o seguinte diagrama pode ser estabelecido:
Onde:
p = pressão
A = área
g= aceleração da gravidade
(p+δp)· δA
δs
+
a,v
p·δA
g·δm
z
θ
+
direção s
a) a massa deste volume elementar c ) na direção s, a
(δ m) é calculada pelo produto de
seu volume pela sua massa
específica (ρ) :
componente do peso
Ws é dada por:
g·δm
θ WS
δm= δA ·δs·ρ
b) A razão entre a projeção de
δs no eixo vertical (δ z) e δs é o
cosseno de teta:
δz
θ
cos(θ)= δz
δs
δs
g·δm·cos(θ)=Ws
g·δm· δz =Ws
δs
g·δA·δs·ρ· δz =W
s
δs
8
3.2 A Equação de Euler (3)
•
Ao aplicar F=ma ( Newton) neste volume elementar, a reseltante na
direção s é:
δz
p·δA – (p+ ∂p)·δA - g·δA·δs·ρ· δs =δm·a
- ∂p·δA – g·δA·δs·ρ· δz = (δA·δs·ρ)·a
δs
- ∂p – g·δs·ρ· δz= δs·ρ·a
δs
Dividindo a expressão acima pelo produto δs·ρ
•
∂z
1 · ∂p
+
g·
ρ δs
δs + a = 0
•
Considerando agora o valor da aceleraçãono regime
permamemte, a equação acima fica:
= ∂v ·v
a = aceleração = dv
∂s
dt
+
z
1 ∂p
∂z
∂v ·v
·
+
g·
+
=0
ρ
∂s
δs
δs
+
θ
direção s
(p+δp)· δA
δs
a,v
p·δA
•
Esta é a equação de Euler
aplicada ao fluxo
permanente. Lembre-se que
na sua dedução só foram
considerados os esforços
devido a pressão e ao peso
do fluido. As forças devido
à viscosidade não foram
consideradas.
g·δm
δm= δA ·δs·ρ
9
3.3 A Equação de Bernoulli
• A equação de Euler pode ser integrada, reseultando na chamanda
Equação de Bernoulli
i
1 ∂p
∂ z ∂v
⋅
+ g⋅
+
⋅v = 0
ρ ∂s
∂ s ∂s
1
∂p + g∫ ∂z + ∫ v ⋅ ∂v = 0 ∫ ds
ρ∫
1
V2
⋅p + g⋅ z +
= Cons tan te
2
ρ
• Multiplicando todos os termos da equação acima por 1/g, obtemos
a Equação de Bernoulli em termos de carga hidráulica (Energia por
unidade de peso da água).
1
g
V2
⋅p + ⋅ z +
= Cons tan te
2⋅g
g⋅ρ
g
como
1
1
= onde γ ' representa o peso especifico
g⋅ ρ γ
P
V2
+z+
= Cons tan te
2⋅g
γ
10
• 3.4 Energia da Água e a Equação de Bernoulli
Na Hidrodinâmica
consideramos que a
energia total da água
tem três componentes.
Energia Cinética
(devido à velocidade)
Energia Potencial
(devido ao posicionamento)
Energia de Pressão
(devido à pressão)
Energia = capacidade de realizar trabalho
Trabalho = produto da força pelo deslocamento
unidade de trabalho =Newton metro = Joule
• Como a água escoa na forma de um corpo continuo, expressamos
valores de energia da água em termos de energia por unidade de
peso de água. Desta forma, podemos fazer um paralelo com os
valores de energia utilizados no estudo da dinâmica de um corpo de
massa “m”:
Componente da Energia
Total
Potencial (Ep)
Enegia potencial de um
copo de massa m
posicionado a um altura Z
acima do referencial.
Cinética (Ec)
Enegia Cinética de um
copo de massa m dotado
de velocidade V.
Pressão (Ep)
Cálculo na Dinâmica
Ep = m g Z
1
EC = ⋅ m ⋅ V 2
2
No corpo de massa “m”
não é
considerada
Cálculo em termos de
Energia por unidade de
peso
Ep =
mgZ
=Z
mg
1
⋅m⋅V2
V2
2
=
EC =
m⋅g
2⋅g
Ep =
P
γ
11
3.5 Teorema de Bernoulli para um Líquido Ideal
(Conservação da Energia)
• No caso do líquido perfeito, ou ideal, não existe viscosidade, não
havendo dissipação de energia durante o seu movimento. Na
hipótese de não dissipação de energia, a soma das três
componentes da energia é constante:
P1
γ
+
V12
P
V2
+ z1 = 2 + 2 + z 2 = cons tan te
γ 2⋅ g
2⋅ g
• Reprersentação gráfica
•
Plano de carga efetivo
Linha de energia
V12
2⋅ g
Linha
Pie zométrica
V32
2⋅ g
V22
2⋅ g
P3
P1
γ
γ
P2
γ
•1
•2
Z1
•3
Z2
Plano de
Referência
Z3
• Exemplo de aplicação: velocidade de um jato de água.
P1
NA=cte
γ
γ
V22
2⋅ g
h
H1 =H2
Z1
Note que
P2
1
Z2
Plano de Referência
2
• V1 é zero ou V1 2 <<< V2 2
•P1 = P2 ( pressão atmosférica)
P1
γ
+ z1 =
z1 − z 2 =
P2
γ
+
V 22
+ z2
2⋅ g
V22
2⋅ g
V2 = 2 ⋅ g ⋅ h
Note que h=Z1-Z2
12
• Exemplo de Cálculo sob a hipótese de Líquido Ideal
Considerando que um líquido ideal escoa na tubulação esquematizada
abaixo, calcule: (a) a velocidade da água imediatamente após passar pelo
bocal localizado no final da tubulação (ponto 4); (b) a vazão (m3/s) ao
longo da tubulação; (c) a altura ou carga de velocidade no ponto 2; (d) a
altura ou carga de pressão no ponto 3
1
Linha
Piezométrica
Plano de
carga efetivo
•
•
V32
2⋅ g
V22
2⋅ g
Direção do
fluxo
4
•
Z2 =5m
A2= 36cm2
Jato Livre
γ
P2
γ
2
V42
2 ⋅⋅gg
P3
•
Z1=59m
Linha de energia
••
Z4 =5m
Z3 =5m
3
A3= 60cm2
Plano de
Referência
A4= 6 cm2
( a) Velocidade da água no ponto 4 : de acordo com o princípio da conservaçã o
Princípio da conservaçã o da energia :
P1 V12
P
V2
+
+ Z1 = 4 + 4 + Z 4
γ 2⋅g
γ 2⋅g
P1 P4
=
= 0 (o valor referente à pressão atmosférica na escala relativa é zero)
γ
γ
como A1, a superfície de reservatór io, é bem maior que A4, em 1 temos V1 = 0
como
0 + 0 + 59m = 0 +
V42
+ 5m
2⋅g
V4 = 2 ⋅ 9,81m / s 2 ⋅ ( 59 − 5)m
V4 = 32,55m / s
6m 2
⋅ 32,55m/s = 0,0195m 3 /s
10000
6cm 2
(c) Carga de velocidade no ponto 2 : Q = A 2 ⋅ V2 = A 4 ⋅ V4 V2 =
⋅ 32,55m / s
36cm 2
( b ) Vazão na tubulação : Q = A 1 ⋅ V1 = A 4 ⋅ V4
Q=
V22
(5,425 ⋅ m/s) = 1,50m
=
2⋅g
2 ⋅ 9,81m/s 2
2
V2 = 5,425m / s
( d ) C arg a de pressão no ponto 3 : Q = A 3 ⋅ V3 = A 4 ⋅ V4
P3 (3,255 ⋅ m/s)
+
+ 5m = Z 1
γ
2 ⋅ 9,81m/s 2
2
V3 = 3, 255m / s
V3 =
6cm 2
⋅ 32,55m / s
60cm 2
P3
= 59m - 5m - 0,54m = 53,46m
γ
13
3.6 Teorema de Bernoulli para Líquidos Reais
(Conservação da Energia)
• No caso de um líquido real, que apresenta uma certa viscosidade,
existe dissipação de energia durante o movimento. Devido à
dissipação da energia (perda de carga), a soma das três componentes
da energia total não é constante:
P1
γ
+
V12
P
V2
+ z 1 = 2 + 2 + z 2 + hf 1− 2
γ
2⋅ g
2⋅ g
onde hf 1-2 é a perda de carga entre os dois pontos considerados
• Reprersentação gráfica:
Plano de carga efetivo
Linha de energia
V12
2⋅ g
Linha Piezométrica
P1
γ
hf1 -2
V22
2⋅ g
P2
γ
Z1
Z2
Direção do Fluxo:
Maior energia
Menor Ene rgia
• Exemplo de aplicação: determinação da perda de carga admissível
em uma adutora por gravidade.
Plano de carga absoluto
Linha de
Ene rgia A
bs oluta
P1
γ
P3
γ
Reservatório 1
Z1
Z3
Reservatório 2
14
3.7 Utilização do Teorema de Bernoulli em problemas
envolvendo máquinas hidráulicas.
Em problemas envolvendo bombas e turbinas, o teorema de Bernoulli,
aplicado entre um ponto localizado na entrada da máquina (ponto E) e
um ponto localizado na saida da máquina (ponto S), resulta em
Vs2 p s
VE2 pE
+
+ z E + Hbomba − Hturbina − hfE − S =
+
+ zs
2g
2g
γ
γ
Onde Hbomba representa a enegia que a bomba tranfere ao líquido que
passa por ela. Ex: Hbomba=20 mca significa que cada Newton de água que
passa através bomba tem a sua energia total aumentada de 20 Nm;
Hturbina representa a enegia que o líquido transfere à tubina ao passar por
ela. Ex: Hturbina=20 mca significa que cada Newton de água que passa
através da turbina tem sua energia diimuida em 20 Nm;
A aplicação da equação de Bernoulli na bomba esquematizada abaixo
resulta em:
Ps
PE
i
iiE
iB s
A
Bomba
ZE
ZS


VE2  pE
Vs2  p S
+ 
+ iE  + z E + Hbomba − hfE − S =
+ 
+ is  + z s
2g  γ
2g  γ


Vs2 − VE2 p S − pE
Hbomba =
+ (Z S + iS ) − (Z E + iE ) + hfE − S
+
2g
γ
15
Considerando que o trabalho efetuado por uma bomba é expresso pela da
quantidade de energia (N x m = Joule) que deve ser transferida a cada
unidade de peso (N) do líquido que por ela passa, a potência (trabalho por
unidade de tempo N x m/s = Watt) é obtida pela seguinte expressão:
Pot H = Hbomba ⋅ (Q ⋅ γ )
Onde PotH= Potência hidráulica da bomba (Watt=Nm/s);
Hbomba= Energia total cedida pela bomba (mca= Nm / N de água);
Q = vazão atrávés da bomba (m3/s);
γ = Peso específico da água (N/m3).
Obs: Hbomba, a energia cedida pela bomba por unidade de peso do líquido
que por ela passa, é normalmente referida nos catálogos comerciais da
bombas como HMT = altura manométrica total da bomba.
Exemplo 3.7.1 : Calcule a potência hidráulica (em W) de uma bomba
com vazão de 72m3/h de água (γ = 9806,65N/m3) e altura manométrica
total de 50mca.
Pot H = 72
m3
1⋅ h
kgf
⋅
⋅ 9806,65 3 ⋅ 50 ⋅ m = 9806,65 W
h 3600 ⋅ s
m
ou 9,807 kW
Exemplo 3.7.2 : Calcule a potência hidráulica (em CV) de uma bomba
com vazão de 72m3/h de água (γ =1000kgf/m3) e altura manométrica total
de 50mca.
Lembrando que 1 CV= 75kgf m/s
Pot H = 72
m3
1⋅ h
kgf
1⋅ cv
⋅
⋅ 1000
⋅ 50 ⋅ m ⋅
= 13,33cv
h 3600 ⋅ s
s
75 ⋅ kgf ⋅ m / s
Da mesma forma, utilizando o resultado anterior (exercício 3.7.1)e
lembrando que 1kgf equivale a 9,80665N:
Pot H = 9806,65
N⋅m
1⋅ kgf
1⋅ cv
⋅
⋅
= 13,33cv
s 9,80665 ⋅ N 75 ⋅ kgf ⋅ m / s
16
Exemplo 3.7.3 : Calcule a potência hidráulica (em HP) de uma bomba
com vazão de 72m3/h de água (γ =9806,65 N/m3) e altura manométrica
total de 50mca.
Lembrando que 1 HP= 550librasforça pés/s
1libra força (lbf) é o peso de uma massa de uma libra:
lbf = 0,45359237 * ⋅ kg ⋅ 9,80665 * ⋅ m / s 2 =4,44822....N
1pé = 12 polegadas = 12 ⋅ 0,0254 ⋅ m = 0,3048 * ⋅ m
Pot H = 9806,65
N⋅m
Lbf
1pé
1Hp
⋅
⋅
⋅
(0,45359237 ⋅ 9,80665 ) ⋅ N 0,3048m 550 ⋅ Lbf ⋅ pé / s
s
Pot H = 13,151 ⋅ HP
Exemplo 3.7.4 : Calcule a energia cedida (Hbomba) e a potência
hidráulica (em CV) da bomba esquematizada abaixo considerando um
líquido ideal (hfA-B=0) de peso específico(γ) de 1000kgf/m3, com vazão
(Q) de 400m3/h, leitura em um manômetro na entrada da bomba (PA) de
0,7kfg/cm2, leitura de um manômetro na saida da bomba (PB) de
3,0kgf/cm2e que o diâmetro da tubulação na entrada da bomba é de
300mm e que o diâmetro na saida da bomba é de 150mm.
Ps
PE
i
iiE
iB s
A
Bomba
ZS
ZE
Note que neste exercício :
VS2 − VE2 p S − pE
+
+ (Z s + iS ) − (Z E + iE ) + hfE− s
Hbomba =
2g
γ
hfE−S = 0 (Líquido ideal)
(Z S + iB ) − (Z E + i A ) = 0
(os manômetros estão no mesmo nível)
Hbomba
VS2 − VE2 p S − pE
=
+
2g
γ
Resposta = Hbomba =24,9 m e PotH= 36,9CV