DIDATIKA
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Nota: _________
Um esquimó, de massa m, parte do repouso, do alto do seu iglu que tem formato semiesférico (raio R), numa região do
planeta na qual a aceleração gravitacional é g. Ao escorregar, em direção ao solo, sobre a superfície lisa do iglu, o
esquimó perde contato após descer um desnível h, medido verticalmente, em relação ao ponto de partida. Entre esse
ponto e a posição inicial, o esquimó descreve um ângulo θ, cujo centro está sobre a linha vertical, perpendicular ao
solo, que passa pela posição inicial, conforme ilustra a figura.
m
h
R
θ
a) Determine, em função de R, o valor de h. (1 ponto)
b) Calcule a velocidade, em função de g e R, do esquimó no ponto em que ele perde o contato com a superfície.
(1 ponto)
c) Obtenha o valor do cos θ. (1 ponto)
d) Qual a aceleração tangencial, em função de g, do esquimó no ponto em que ele perde o contato com a superfície do
iglu? (1 ponto)
e) O esquimó perde contato com a superfície do iglu antes ou depois de atingir metade da velocidade máxima?
Explique sua resposta. (1 ponto)
RESOLUÇÃO ESPERADA
Para respondermos às questões feitas, precisamos, inicialmente, considerar alguns aspectos sobre o problema:
I.
Durante a descida é válida a conservação da energia mecânica. Assim, entre a posição inicial e a que o esquimó
perde contato com o iglu, temos:
mv 2
= mgh ⇒ v 2 = 2gh (equação 1)
2
II.
Na posição em que o esquimó perde contato com o iglu, a componente normal da força de contato é nula.
Assim, a força gravitacional (peso) se decompõe na direção tangencial (Psenθ) e perpendicular à superfície (Pcosθ):
P sen θ = maT ⇒ aT = g sen θ (equação 2)
P cos θ = ma c ⇒ a c =
v2
= g cos θ ⇒ v 2 = Rg cos θ
R
(equação 3)
COMENTÁRIO:
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III.
No triângulo retângulo, o ângulo θ tem hipotenusa R e cateto adjacente R – h:
cos θ =
a)
R−h
R
(equação 4)
Substituindo (equação 4) em (equação 3) e fazendo (equação 3) = (equação 1), temos:
v 2 = 2gh = Rg cos θ = Rg ⋅
b)
1
R⇒v=
3
2gR
3
Substituindo o resultado do item a em (equação 4):
R−h
cos θ =
=
R
d)
1
R −h
⇒h= R
3
R
Substituindo o resultado do item a em (equação 1), temos:
v 2 = 2gh = 2g ⋅
c)
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1
R
3 =2
R
3
R−
A partir da relação fundamental da trigonometria, é possível determinar o sen θ e substituí-lo em (equação 2):
senθ = 1 − cos 2 θ = 1 −
a T = gsenθ =
4
5
=
9
3
5
g
3
e)
A metade da velocidade máxima é obtida pela conservação da energia mecânica da posição inicial até o esquimó chegar ao solo:
2
mv MÁX
= mgR ⇒ VMÁX = 2gR
2
1
1
V = VMÁX =
2gR
2
2
Essa velocidade acontece a uma altura h’ do solo. Aplicando a conservação da energia mecânica entre a posição
inicial e essa posição, temos:
2
2

1
1 
m  V
m
2gR 
2
2
 + mgh’ = mgR ⇒ h’ = 3 R
 + mgh’ = mgR ⇒ 

2
2
4
Como o esquimó perde contato a uma altura, em relação ao chão, de 2/3 do raio R e a metade da velocidade máxima
é atingida quando o esquimó está a uma altura, em relação ao chão, de 3/4 do raio R, o esquimó perde contato com o
iglu após atingir a metade da velocidade máxima.