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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
N.º 25178
Nome completo: Ana Beatriz Batista da Silva
Curso: Mestrado Integrado de Engenharia Química e Bioquímica
Foto:
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Mathematical modeling and Engeneering problem-solving
Exemplo 1.1:
Solução analítica para o problema do paraquedista em queda livre
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Excel:
F9: =t_0 (ou seja, o valor inicial d t)
F10: =F9+dt
v: t utilizado é o k s encontra na coluna ao lado;
eq. utilizada = v(t)
dv/dt: o v utilizado é o correspondente v da coluna ao lado (G)
eq. utilizada = dv/dt
indica a velocidade que o paraquedista possui ao longo do tempo t
v terminal: velocidade máxima que o paraquedista atinge (à medida que o
tempo passa, é para esse valor que tende o dv/dt)
g: constante gravitacional
m: massa do paraquedista
c_: constante
não se representa apenas por c, pois essa sigla no excel é referente a
colunas
dt: passo
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Modellus:
No modellus basta utilizar a equação v(t) pois ele calcula as diferentes velocidades ao longo do tempo.
No modelo matemático, tudo o que está a vermelho são consideradas constantes enquanto que tudo o que está a verde representa valores numéricos.
O passo (dt) utilizado é o mesmo que utilizado na resolução do excell (=2), e o valor máximo para t considerado é 50.
No gráfico, a linha a azul é o v_ enquanto que a linha vermelha refere-se à v_terminal.
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Exemplo 1.2
Solução numérica para o problema do paraquedista em queda livre
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Excel:
B10: =t_0 (ou seja, o valor inicial d t)
B11: =B10+dt
A velocidade aproximada é referente à solução
numérica.
C10: =v_0
C11: =v(ti+1), sendo o v(ti) o valor da célula
acima.
A velocidade analítica é a que foi desenvolvida
no Exemplo 1.1 (slide 3)
D10: =v(t), ode o valor d t utilizado é o
correspondente na coluna B.
A velocidade terminal é a velocidade máxima
que o paraquedista atinge (valor para o qual
tendem as duas soluções).
Por observação gráfica, pode-se concluir que a
solução numérica apresenta um erro
comparativamente à solução analítica.
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Modellus:
A velocidade calculada analiticamente está representada no gráfico pela linha azul e ela é calculada da mesma forma que calculada no Exemplo 1.1 (ver slide 4)
A velocidade calculada numericamente está representada no gráfico pela linha vermelha. Ela é calculada utilizando a expressão de v(t i+1) que se encontra no Excell (ver slide 6).
Contudo, aqui para representar o valor anterior de v_ faz-se last(v_).
A linha verde no gráfico corresponde à velocidade terminal, que é determinada da mesma forma que no Excell (ver slide 6).
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Exercício 1.12
Eq. 1.13
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Modellus:
Excell:
Este problema é muito semelhante ao problema dos Exemplo 1.2 (ver slide 5).
No caso do Excell, C9 corresponde apenas ao valor de c0, enquanto que as células C10 e as seguintes
abaixo correspondem à fórmula C9+(-k*C9)*dt. A coluna D corresponde aos valores obtidos no
modellus que servem assim para comparação.
No caso do Modellus, utiliza-se apenas a expressão que se utlizou no caso do Excell: c(i+1)=c(i)+(k*c(i))*dt.
Para alterar o valor de c inicial basta ir ao menu condições iniciais e por a pretendida (antes de se
carregar no botão de play).
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Exercício 1.13:
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Modellus:
Excell:
Este problema é muito semelhante ao problema dos Exemplo 1.2 (ver slide 5).
No caso do Excell, C9 corresponde apenas ao valor de y0, enquanto que as células C10 e as seguintes
abaixo correspondem à fórmula C9+(3*Q/A)*(sen(B10))^2-(Q/A)*dt. A coluna D corresponde aos
valores obtidos no modellus que servem assim para comparação.
No caso do Modellus, utiliza-se apenas a expressão que se utlizou no caso do Excell: y(i+1)= y(i)
+(3*(Q/A)*sen(t(i))^2-Q/A*dt.
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Roots of equations, bracketing methods
Exemplo 5.1
Aproximação gráfica
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Excell
Para este exemplo, considerou-se o mesmo
problema que o exemplo 1.1 (ver slide 2).
Contudo, neste exemplo, o nosso objectivo
é encontrar a raíz da função f(c), utilizando
um método gráfico.
O valor de c em B12 é dado por c_inicial,
enquanto que as seguintes células abaixo
basta representar a anterior + dc (passo).
A função f(c) é dada pela funcão v(t)-v,
representada ao lado, onde t é uma
constante.
O objectivo consiste descobrir qual o valor
na qual f(c) muda de sinal (pois isso significa
que nesse intervalo existe um zero).
Sendo assim, após obter o aspecto geral da
função (colunas referentes ao gráfico),
alterando o valor de c_inicial e o passo,
pode-se obter uma aproximação razoável
do zero da função.
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Mathcad
: --> atribuir um valor a uma variável
= --> cálculo
alt gr + 2 --> gráfico
root(função, variável) --> zero da função
Ter em conta que a função tem que estar
igualada a zero.
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Exemplo 5.2
Utilização de gráficos de computadores para a localização de raízes
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Excell
Neste exemplo é aplicada o mesmo raciocínio que no
exemplo 5.1 (ver slide 12).
Neste exemplo pode-se ver como quanto maior for a
aproximação, maior será o rigor do valor da raíz da
função.
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Mathcad
Para se fazer um intervalo faz-se -->
variável:valor inicial,passo;valor final
Mais uma vez neste caso, pode-se concluir que
quanto maior for a aproximação, maior será a
precisão do valor da raíz da função.
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Exemplo 5.3
Exemplo 5.4
Bissecção
Erro estimado da bisecção
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Excell
Neste exemplo, pretende-se descobrir a
raíz da função f(c) que provém do
exemplo 5.1 (ver slide 12). Para isso,
utiliza-se o método da bissecção.
Para tal necessitamos de um valor para
o extremo inferior do intervalo (cL) e
de outro valor para o extremo superior
do intervalo (cU). Seguidamente
calcula-se o valor da função para os
respectivos extremos da função. O
valor cR corresponde à média entre o
cL e o cU ((cL+cU)/2).
Função if: =If(condição; valor se
verdade; valor se falso)
B20: =If(I19<0;B19;G19)
C20: =If(I19<0;G19;C19)
Erro =epsilon A
Módulo da função: =abs(valor)
O valor da raíz é encontrado quando
tanto cL como cU não mantêm o
mesmo valor com um erro mínimo.
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Exemplo 5.5
Localização de raízes utilizando o computador
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Mathcad
O método utilizado neste exemplo é o mesmo que o método
utilizado no exemplo 5.1 (ver slide 12).
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Exemplo 5.6
Método da falsa posição
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Excell
A resolução deste exemplo é exactamente a
mesma que a do exemplo 5.3+5.4 (ver slide
18).
A única diferença encontra-se no cálculo do cR
pois utiliza-se em vez da média, a função
cR=cU-(f(cU)*(cL-cU))/(f(cL)-f(cU)).
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Roots of equations: Open methods
Exemplo 6.1
Iteração do ponto simples fixo
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Excell:
A expressão de x(i+1)=e(-x).
Na coluna B, o valor inicial de i considerado é 0, nas restantes células
abaixo basta considerar a anterior + 1 (ex: B10=B9+1).
Na coluna C, o valor de x_i inicial considerado é 0, e nas restantes células
abaixo considera-se a expressão de x_i+1 considerada acima (ex:
C10=exp(-C9)).
Na coluna D está representado o erro absoluto do valor calculado de x_i
+1. Para tal utiliza-se a expressão de epsilon A indicada abaixo na tabela.
Há que ter em conta que quanto amior for o valor de i, menor vai ser o
erro, logo mais preciso será o valor da raíz que queremos calcular.
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Mathcad
Neste caso, o intervalo i vai de 0 a 10 com uma passo de 1 (quando, o
intervalo está sobre a forma valor inicial..valor final, então o passo
considerado vale 1).
Neste exemplo, todos os valores considerados referem-se a matrizes,
por isso em índice usa-se o índice matricial e não o outro.
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Exemplo 6.3
Método de Newton-Raphson
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Excell
No método de Newton-Raphson, é necessária a função e a sua respectiva
derivada para calcular o valor de x_(i+1) que irá se aproximar cada vez
mais do valor real da raíz.
Na coluna B o valor inicial de i é 0 e nas restantes células abaixo, basta
acrescentar uma unidade (ex. B12=B11+1).
Na coluna D, está representada a função f(x_i), considerando-se o valor
inicial de x_i=0.
Na coluna E, está represnetada a derivada da função f'(x_i).
Na coluna C está representada na célula C11 o valor de x_i=0 e nas
restantes o valor de x_i+1 é obtido através da expressão x_i+1 ao lado
representada.
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Mathcad
Neste caso, o exemplo é tratado exactamente da mesma maneira que no excell (ver slide 28).
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Exemplo 6.6
O método da secante
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Excell
No método da secante é necessário 2 valores iniciais, o x_-1 e o x_0.
A função considerada é a f(x).
Para calcular o valor da raíz basta aplicar a expressão ao lado
indicada.
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Mathcad
No mathcad, a única diferença é k o valor mínimo do índice é 0, sendo
assim, o mathcad não admite o índice como i-1, visto que se irá chegar a
valores de índices negativos. Sendo assim, este problema foi resolvido
considerande que x_i-1=x_i e x_i=x_i+1. Logo, neste caso o que
pretendemos calcular é o valor de x_i+2.
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Jing
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Exemplo 6.9
Método de Newton-Raphson modificado para múltiplas raízes
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Excell
Neste método, são necessárias 3 funções para o cálculo do
valor da raíz (x_i+1): a função f(x), a 1ª derivada da função f(x)
(f'(x)) e a 2ª derivada da função f(x) (f''(x)).
Sendo assim, na coluna B, o valor inicial de i é 0 e os restantes
valores das células abaixo são obtido através da adição de uma
unidade na célula anterior.
Na coluna D encontra-se o valor da função de f(x)
considerando x0(C11)=0.
Na coluna E encontra-se o valor da 1ª derivada da função de
f(x) (f'(x)) considerando x0(C11)=0.
Na coluna F encontra-se o valor da 2ª derivada da função de
f(x) (f''(x)) considerando x0(C11)=0.
Na coluna C encontram-se os valores de x_i+1 aplicando-se a
expressão ao lado representada.
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Mathcad
Neste exemplo encontram-se algumas coisas inacabadas.
f(x) representa a função que pretendemos estudar.
g(x) trata-se da 1ª derivada da função f(x).
h(x) trata-se da 2ª derivada da função g(x).
Aqui falta também representar a tabela de valores de x_i+1.
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Exemplo 6.10
Iteração de pontos fixos para um sistema não linear
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Excell
Ambas as equações possuem duas resoluções.
A primeira resolução possui as respectivas resoluções indicadas acima.
Consideram-se como x_0 e y_0 os valores 1.5 e 3.5, respectivamente. Nas restantes células abaixo aplica-se a mesma equação mas
com os valores anteriores d x e y. Como se pode concluir, as soluções afastam-se dos valores pretendidos alcançar.
Sendo assim, utiliza-se a segunda resolução para as raízes das funções. Aplicando-se o mesmo método que na primeira resolução,
conclui-se que os valores d x e de y convergem para os valores das raízes pretendidos.
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Mathcad
No mathcad para a resolução de sistemas utiliza-se a função given.
Começa-se por escrever os valores iniciais. De seguida, então, escrevem-se o comando
Given. De seguida escrevem-se as equações que nos interessam (com boleanos, como se
fossem textos). Por fim, cria-se uma variável com as soluções do sistema que é dada por
Find(x,y)
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Exemplo 6.11
Método de Newton-Raphson para sistemas não lineares
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Excell
Coluna B: i_inicial=0;
restantes células
correspondem à anterior
+1.
Coluna E: du/dx
Coluna F: du/dy
Coluna G: dv/dx
Coluna H: dv/dy
Coluna I: função u
Coluna J: função v
Coluna K: Jacobiano
=du/dx*dv/dy-dv/
dx*du/dy
Coluna C: x_0=1.5,
C24=C23-((I23*H23J23*C23)/K23)
Coluna D: y_o=3.5;
D24=D23-((J23*F23I23*G23)/K23)
Os valores vão convergir
para a solução
pretendida
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Engeneering aplications: Roots of equations
Exemplo 8.1
A Lei dos gases ideais
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Excell
v = R_*T/p
f(v)=(p+a_/v^2)*(v-b_)-R_T f'(v)=p-a_/v^2+(2*a_*b_)/v^3 v(i+1)=v(van der waals)=v-f(v)/f'(v)
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Exercício 8.3
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Excell
Neste exemplo, para a localização da
raíz da função recorre-se ao método
da bissecção (ver slide 18).
Função a considerar:
que pode ser escrita como por
exemplo D24: f(xL)=A24/(1A24)*sqrt((2*C18)/(2+A24))-C19
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Exercício 8.4
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Excell:
Neste exemplo para a localização da
raíz recorre-se ao método de
Newton-Raphson (ver slide 27).
A função f(t) considerada é:
F(t)=c_in(1-exp(-0.04*t))
+c_0*(exp(-0.04*t))-c.
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Jing
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Exemplo 12.1
Engeneering aplications: Linear algebraic equations
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Excell:
Neste exemplo, o objectivo é determinar a
solução de um sistema de quações utilizando
matrizes.
1º Criar a matriz onde A representa os valores à
esquerda das reacções (coeficientes c1 a c5) e B
representa as soluções que pretendemos obter à
direita das equações (matriz B).
2º Matriz inversa: fazer a matriz inversa da
matriz A -- ={matriz.inversa(D42:H46)}.
3º Multiplicar a matriz inversa de A pela matriz
B para obter a solução pretendida -={matriz.mult(D48:H52;I42:I46)}
4º Verificação: Multiplicar a matriz A pela matriz
solução e verificar se dá a matriz B -={matriz.mult(D42:H46;D54:D58)}
Para fikar km a forma da matriz inicial fazer F2
+ctrl+shift+enter
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Mathcad:
Para escrever uma matriz fazer ctrl+M e especificar o número de colunas e o
número de linhas.
Para fazer a matriz inversa basta fazer a matriz pretendida e por o índice -1
(botão matriz inversa) e fazer =.
De resto o método é o mesmo que utilizado no excell.
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Exercício 12.6
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Excell:
Neste exemplo utiliza-se exactamente o
mesmo procedimento que no exemplo 12.1
(ver slide 51)
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Mathcad
Neste exemplo, para a
resolução do problema
recorre-se ao usa da
função lsolve(A,B) para a
resolução de um sistema
de equações.
A refere-se à matriz com
os dados iniciais e B
refere-se à matriz de
soluções.
Neste método utilizou-se exactamente
o mesmo que no exemplo 12.1 (ver
slide 51).
Neste método utiliza-se a regra de Laplace para a resolução
do sistema. Esse método consiste em, na matriz pretendida
substituir em cada coluna pela matriz B e depois calcular o
seu determinante. Esse determinante dividido pelo valor do
determinante da matriz A dará uma solução. Repetir o
mesmo processo para as restantes colunas da matriz A.
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Least-squares regression
Exemplo 17.1
Regressão linear
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Excell
Neste exemplo, o objectivo é construir
uma recta de ajuste para os pontos
considerados. Para isso, tem-se em
conta o método dos mínimos
quadrados.
Nas colunas C e D encontram-se os
valores dados. Nas colunas ao lado
encontra-se a multiplicação de C e D
(coluna E) e a coluna C ao quadrado
(coluna F).
De seguida, faz-se o somatório de cada
uma das colunas (por exemplo, C13:
=sum(C6:C12)).
É necessário também saber o número
de pontos k temos. Para isso utiliza-se
a função count (por exemplo, C15:
=count (C6:C12)).
De seguida calcula-se a1 pela formula.
Faz-se a média da coluna D e a média
da coluna C (por exemplo, C23:
=média(D6:D12)).
Por fim calcula-se a0 pela fórmula (por
exemplo C28: =C23-C21*C24).
Há que ter em conta que a1 é o
declive e a0 o valor na origem.
Para confirmar os valores obtidos pode-se utilizar a função slope(yinicial:yfinal;xinicial:xfinal) para confirmar o declive e
intercept(yinicial:ufinal;xinicial:xfinal) para confirmar o valor na origem.
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Jing
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Exemplo 17.4
Linearização de uma equação
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Excell
Neste caso o declive é
calculado através da função
slope e a ordenada na é
dada por 10^função
intercept (funções descritas
no slide 58).
log x: E5: =Log(C5;10) (o
10 indida a base do
logaritmo)
log y: F5: =log(D5;10)
O y modelo é dado por
a2*x^b2 onde a2 é o
valor da ordenada na
origem e b2 é o declive
(por exemplo, G5: =$C
$12*C5^$C$11.
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Mathcad
Para a resolução deste problema no
mathcad recorre-se a matrizes. As
funções para o cálculo do declive e
da ordenada na origem são as
mesmas que usadas no excell com a
excepção que 1º se apresentam os
valores de xx e dps os valores d yy.
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Exemplo 17.5
Regressão polinomial
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Excell
Este problema é resolvido à custa de
matrizes numa resolução semelhante ao
exemplo 12.1 (ver slide 51).
A matriz A e a matriz acima são definidas
a partir dos valores dados.
y_reg é definido através do polinómio a0
+a1*x+a2*x^2.
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Mathcad
Este exemplo é resolvido de forma semelhante ao exemplo 12.1 (ver
slide 51).
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Quantificação do erro na regressão linear
Excell:
N: número de células da coluna de x
(coluna E); Utilização da função
count.
a0: Ordenada na origem da recta;
utiliza-se a função intercept(yy;xx)
a1: declive da recta; utiliza-se a
função slope(yy;xx).
r: Utiliza-se a fórmula ao lado
representada.
r^2: valor de r ao quadrado
Syx: Utiliza-se a fórmula ao lado
representada.
Nas colunas G,H,I,J,K e L utiliza-se a
condição encontrada, por exemplo,
na célula G15:
=if(isnumber(E15);E15*F15;"").
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Derivadas e Primitivas
Regra do trapézio
Excell
No método do trapézio para o
cálculo de derivadas fixa-se um
valor para o dt (que vai ser como a
precisão).
De seguida calcula-se t,
considerando o valor de t_inicial
=0 e as células seguintes são a
anterior + dt.
Obtendo-se o valor de t, calcula-se
o valor da função para esse valor
de t.
De seguida, calcula-se a área
utilizando-se a fórmula ao lado
indicada, consideranso-se
A_inicial=0. Por exemplo F15:
=(D15-D14)*(E14+E15)/2.
Por fim, a primitiva F(t) é dada
pela soma das áreas.
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Mathcad
Neste caso, aplica-se directamente o integral da função f(t), sendo a sua
primitiva representada por F(t).
O valor inicial é obtido substituindo na função F(t), o t por 0
P(t) representa a expressão de F(t).
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Cálculo de integrais
Modellus
No modellus, a função f corresponde à função na qual pretendemos estudar o seu integral (representada no gráfico pela fução vermelha) e a
função I corresponde ao seu integral (função azul).
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Reacção: A <=> B
Reacções:
O reagente A é representado no gráfico
pela linha azul e nos indicadores pelo
indicador azul vertical.
O produto B é representado no gráfico
pela linha vermelha enquanto que nos
indicadores é representado pelo
indicador vermelho vertical.
Os inidcadores horizontais
correspondem às constantes de
velocidade k1 e k2.
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Mathcad
Integração (método de Simpson 1/3)
Para o cálculo desste integral utiliza-se a fórmula ao lado indicada.
72
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Ponto de equilíbrio de uma titulação
Neste exemplo, o objectovo é calcular o ponto de equilíbrio de uma titulação recorrendo a derivadas.
Os valores das colunas A e B são fornecidos.
Os valores da coluna C, são obtidos através de, por exemplo C4: =(B4-B3)/(A4-A3).
Da mesma forma, os valores da coluna D são dados por, por exemplo, D5: =(C5-C4)/(A5-A3).
Por fim, os valores da coluna E são dados pela fórmula ao lado indicada, por exemplo E4: =(B5-2*B4+B3)/((A4-A3)^2.
No gráfico a verde está representado o pH em função do volume.
No gráfico laranja está representado o volume em função da 1a derivada (dpH/dv).
73
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
No gráfico verde está representado o volume em função da 2a derivada (d2pH/d2v) (coluna D), assim como no gráfico a rosa só que nesse
gráfico está representada a coluna E.
Por outro lado, no gráfico laranja está represnetado o zero da função da segunda derivada da coluna D (gráfico verde), enquanto que no gráfico
azul está representado o zero da função da segunda derivada da coluna E (gráfico rosa).
74
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Reacção de 1ª ordem:
Numa reacção deste tipo, é necessário fornecer o valor da concentração de A inicial. Da mesma maneira, existe apenas uma constante de
velocidade.
O valor de As é dado de acordo com a equação para reacções de 1ª ordem.
75
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Reacção de 2ª ordem
Este exemplo, é exactamente o mesmo que o do slide anterior (slide 74), contudo muda apenas a expressão de As pois esta reacção trata-se
de uma de 2ª ordem.
Há ter em atenção que no gráfico, os valores de A e As são coincidentes.
76
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Reacção reversível:
Este exemplo é exactamente o mesmo que tratado no slide 70. Contudo, em vez de os valores das consentrações (As e Bs) serem dados pelos
indicadores de barras (como no slide 70), estes são dados pela função xt e os seus valores de concentrações iniciais correspondentes (A0 e B0).
77
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Resolução de equações diferenciáveis ordinárias:
Equação de 1ª Ordem
Mathcad
No mathcad, para a resolução de equações diferenciais ordinárias utiliza-se a função odesolve.
Para u uso dessa função é necessário:
1º Given
2º Escrever a expressão que se pretende calcular (utilizando booleanos, não iguais para cálculo
ou para definição de valores);
3º Escrever o valor inicial da função;
4º Função Odesolve(variável independente,limite superior do integral,passo(opcional)).
Há que ter em conta que para esta função, pode-se qualquer valor para o valor inicial (quer
esteja no domínio ou não).
A função odesolve não permite resolver sistemas de equações.
78
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Equação de 2ª Ordem
Modellus
No modellus, para fazer uma segunda derivada tem-se que se fazer uma 1ª derivada normal, e de seguida ao fazer-se uma derivada da 1ª derivada
obtém-se então a 2ª derivada pretendida.
Para que a equaçõ possa ser resolvida, tem que se dar valores aos parâmetros no ponto inicial (neste caso x0 e v0).
79
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Equação de 1ª Ordem
Mathcad
Tanto a resolução como o raciocínio para a resolução desta equação é semelhante à que
se encontra no slide 77.
80
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Modellus
Para a resolução de equações
diferenciais no modellus, basta
escrever normalmente a equação
e fornecer o valor inicial para a
nossa variável na derivada (neste
caso, A0).
81
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Excell
Para a resolução desta equação utilizou-se o método de euler (ver slide
88).
A coluna A é obtida fazendo-se A10=0 (t_inicial), de seguida, os
restantes valores são obtido somando-se anterior dt. Por exemplo
A11=A10+dt.
A coluna B (representado a área da função no tempo dt). Resulta das
somas do dA (coluna C). À célula B10=B0. As restantes células são
obtidas através da soma da célula da área com a respectiva variação,
por exemplo B11=B10+C10.
Por fim, a coluna C representa a variação da área ao longo do tempo
dt e é obtida através da expressão da equação (depende de equação
para equação). Por exemplo, C10=k*B10*(L-B10)*dt. Da mesma
forma, C11=k*B11*(L-B11)*dt e assim, por adiante.
82
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Equação ODE logística
Mathcad
Uma equação logística é uma equação onde à partida já se sabe
qual é a sua solução.
Para a resolução destas equações no mathcad, primeiro passo é
separar a derivada, ou seja, todos os elementos ligados a A ficam
no lado do dA e todos os elementos ligados a t ficam no lado
oposto da equação. A equação ao lado, é um exemplo de uma
equação que cumpre esses requesitos.
De seguida, calcula-se o integral em ambos os membros da
equação obtida e resolve-se a equação obtida em ordem a 1 dos
parãmetros (neste caso, resolveu-se em ordem a A utilizando-se o
solve (por o cursor na variável segundo a qual se deseja resolver a
equação e fazer solve)).
Por fim, basta definir as constantes e o intervalo onde se deseja
calcular a função A.
83
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Modellus
No modellus, para o cálculo de uma equação ODE logística, determinaram-se 2 tipos de soluções.
A solução A provém do cálculo directo da derivada da função f (está representada no gráfico pela linha azul).
A solução As provém da solução analítica da função f (cuja expressão foi dada) (está representada no gráfico pela linha amarela.
Por fim, a solução A_euler foi obtida através do método de euler (ver slide 88), no qual a expressão consiste na nossa função f, contudo
considerande como A, a solução A_euler anterior (está representada no gráfico pela linha vermelha). Nesta solução é necessário definir que o
A_euler inicial, neste caso, corresponde à A inicial.
Embora pareça que no gráfico todas as 3 linhas se subrepõem, com um zoom considerável, pode-se concluir que apenas a linha azul e a linha
amarela se sobrepõem, enquanto que a vermelha está apenas próxima. Ou seja, o método de euler é uma boa aproximação para o cálculo de
derivadas mas não fornece o valor exacto.
84
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Equação ODE logística
Mathcad
Esta exemplo é resolvido exactamente da mesma maneira que o exemplo
resolvido no slide 82 contudo, a única diferença neste é a equação
considerada.
85
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Modellus
Nesta equação, o método utilizado para a sua resolução é idêntico ao do slide 83. Contudo, o que difere é na determinação da solução As (cuja
exprexão é diferente mas, contudo, é novamente dada).
Da mesma forma como no slide 83, as soluções A_euler e As não se sobrepõem no gráfico, nesta resolução acontece o mesmo. Logo, A_euler
aqui corresponde também a uma boa aproximação da derivada da função.
86
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Método de Runge-Kutta de 4ª ordem:
Mathcad
Neste exemplo pretende-se resolver a equação
diferencial da/dt=-0.2*a*t.
Para tal, utilizando o método de runge-kutta de 4a
ordem é necessário:
1º Fornecer os valores d t0 e a0 (pois vai-se estudar
diferentes pares de pontos à que tratá-los como
vectores)
2º Fornecer o intervalo de i:valor
inical,passo(opcional);valor final
3º Fornecer o passo dt
4º Calcular as constantes k1, k2, k3, k4 (com as
expressões calculadas ao lado);
5º Cálculo de ai+1 através da expressão de yi+1.
6º Gráfico de ai em função de ti.
87
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Mathcad
Para a resolução desta equação diferencial, o método utilizado
é exactamente o mesmo do slide anterior (ver slide 86).
Contudo, há que ter em conta que os parâmetros cin, V e Q
são constantes.
Ao ter-se uma equação diferencial, deve-se deixar do lado
esquerdo da equação apenas a derivada, tudo o resto deverá
ir para o membro direito da equação.
88
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Método de Euler
Mathcad
O método de Euler é utilizado também para a resolução de equações
diferenciais.
Para a resolução desta euqação diferencial, utilizando este método,
basta fazer uma matriz, na qual a primeira linha está ligada à variação
do tempo (o intervalo de tempo e o passo é por nós determinado) e a
segunda linha está então a derivada pretendita.
A derivada prentendida é obtida fazendo-se Ai (variável segundo a
qual se faz a derivada) + função * dt.
Ao lado encontra-se o gráfico de Ai em função de ti.
89
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Mathcad
Este exemplo, é exactamente igual ao que esta no slide anterior, contudo,
este mostra apenas que para a resolução da equação diferencial não é
necessário que as funções se apresentem sobre a forma de matriz.
Há que também ter em atenção que neste caso, ti+1 é dado por i*dt.
90
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Mathcad
Para a resolução desta equação diferencial utilizou-se a função odesolve (ver
slide 77).
91
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Mathcad
Resolução de sistemas de equações - função rkfixed:
A função rkfixed pode ser utilizada para a resolução de sistemas de equações mas
também se aplica a apenas uma equação.
Neste exemplo pretende-se resolver um sistema químico.
Para tal, definimos as constantes k1 e k2 (pois não se alteram ao longo de todo o
problema).
De seguida é necessário fornecer as concentrações de A e de B sob a forma de matriz
(pois a resolução do problema baseia-se no método de runge-kutta de 4ª ordem (ver
slide 86).
Depois define-se a matriz D (que varia ao londo do tempo e dos valores das
concentrações) e na qual se define o sistema de equações que se pretende calcular.
Por fim utiliza-se a função rkfixed (a variável que a define tem que estar em
maiúsculas). Os parâmetros desta função são: rkfixed(matriz com os valores
iniciais,valor inicial de t, valor final de t, número total de pontos, matriz com o
sistema de equações que se pretende resolver).
De seguida, como solução é apresentada uma matriz, na qual a primeira coluna (0)
representa os valores de t, na segunda coluna (1) estão representados os valores da
concentração de A e na terceira coluna (2) estão representados os valores da
concentração de B.
Embora na matriz apresentada só se encontram os 7 primeiros pontos, clicando em
cima da matriz podem-se ver os 100 pontos pretendidos.
92
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Mathcad
O método utilizado neste exemplo é exactamento o mesmo que no
slide anterior, o que muda é a reacção considerada.
Na matriz obtida, a primeira coluna (0) representa o tempo
considerado, na segunda coluna (1) estão representadas as
concentrações de A, na terceira coluna (2) estão representadas as
concentrações de B, na quarta coluna (3) estão representadas as
concentrações de C e, por fim, na quinta coluna (4) estão
representadas as concentrações de D.
93
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Exercícios Fogler
Mathcad
Neste exemplo, para a sua resolução utilizou-se a
função rkfixed (ver slide 91).
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Mathcad
Neste exemplo, recorre-se à função rkfixed para a resolução do
sistema de equações (ver slide 91).
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Excel
Para a resolução desta equação diferencial utilizou-se o método de runge-kutta de 4ª ordem (ver slide 86). No excel calculouse nas colunas D,E,F e G
os valores de k1, k2, k3 e k4 (respectivamente) pelas fórmulas ao lado apresentadas.
Por exemplo, k1 = D13: =0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535+90,45*C13))))*(1-C13); k2 = E13:=0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535
+90,45*(C13+0,5*D13*dt)))))*(1-(C13+0,5*D13*dt)); k3 = F13:=0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535+90,45*(C13+0,5*E13*dt)))))*(1-(C13
+0,5*E13*dt)) e, por fim, k4 = G13:=0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535+90,45*(C13+F13*dt)))))*(1-(C13+F13*dt)).
Na coluna C, na célula C13= x0 enquanto que as restantes são dadas de forma semelhante a C14:=C13+(1/6)*(D13+2*E13+2*F13+G13)*dt.
Na coluna B, na célula B13=t0=0 enquanto que as restantes são dadas pela anterior +dt. O valor máximo de t considerado foi 1500.
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Modellus
Este exemplo é exactamente o mesmo que no slide anterior mas resolvido em modellus. Como se pode concluir, é muito mais simples pois basta
definir a equação que se pretende calcular.
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Excel
Neste exemplo, pretende-se resolver um sistema de equações utilizando o excell e o método de
runge-kutta de 4ª ordem.
Coluna A: A16=t0=0; A17=A16+dt; As células prolongam-se até t=50
Coluna B: B16=A0=C7; B17=B16+(1/6)*(C16+2*D16+2*E16+F16)*dt;
Coluna C: C16=-k_1*$B16+k_2*$G16*$L16
Coluna D: D16=-k_1*($B16+0,5*C16*dt)+k_2*($G16+0,5*H16*dt)*($L16+0,5*M16*dt)
Coluna E: E16=-k_1*($B16+0,5*D16*dt)+k_2*($G16+0,5*I16*dt)*($L16+0,5*N16*dt)
Coluna F: F16=-k_1*($B16+E16*dt)+k_2*($G16+J16*dt)*($L16+O16*dt)
As restantes colunas são dadas da mesma forma mas aplicando-se às equações dB/dt e dC/dt
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Modellus
Este sistema de equações é exactamente o mesmo do slode anterior, mas resolvido em modellus.
Mais uma vez se conclui que este método é o mais eficaz pois basta colocar-se as equações e as condições iniciais e tem-se a equação diferencial
resolvida.
No gráfico, a linha azul corresponde à concentração de A enquanto que a linha roxa corresponde às concentrações de B e de C (ao fazer-se zoom
conclui-se que estas não se encontram sobrepostas).
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Coluna B: B24=t0; Restantes: anterior + dt (por exemplo, B25=B24+dt).
Erro: Por exemplo, I25=((H25-G25)/H25)*100.
Coluna C: função f(t), Por exemplo C24=0,8*exp(-0,2*B24)
O mesmo raciocínio aplica-se aos restantes
Coluna D, E e F: substituir na função f(t), pelo valor indicado.
métodos.
Coluna G: Cálculo a partir do valor real do integral (por exemplo, G24=-4*exp(-0,2*C24)
Netse exemplo, utilizaram-se em todas as células
Coluna H: Regra do trapézio, por exemplo H25=H24+(B25-B24)*(C25+C24)/2. H24=0
as funções if e isnumber. Por exemplo,
Coluna J: Simpson (1/3), por exemplo, J25=J24+(B25-B24)*(C24+4*D24+C25)/6; J24=0
C24=If(isnumber,0,8*exp(-0,2*B24),"")
Coluna L: Simpson (3/8), por exemplo L25=L24+(B25-B24)*(C24+3*D24+3*E24+F24)/8; L24=0
100
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame
Índice
-->Engeneering aplications: Roots of equations (43-50)
-->Mathematical modeling and engeneering
->Lei dos gases ideiais (43-44)
-->Reacções
problem-solving (2-11)
->A<=>B (70)
44 - Excel
->Solução analítica (2-5)
70 - Modellus
3 - Excel / 4 - Modellus
->Exercício 8.3 (45-47)
->Ponto de equilíbrio de uma titulação
->Solução numérica (5-7)
(72-73)
46 - Excel / 47 - Jing
6 - Excell / 7 - Modellus
72+73 - Excel
->Exercício
8.4
(48-50)
->Exercícios (8-11)
->Reacções de 1ª ordem (74)
49 - Excel / 50 - Jing
74 - Modellus
9 - Ex. 1.12 Excel + Modellus /
->Reacções de 2ª ordem (75)
11 - Ex. 1.13 Excel+Modellus
-->Engeneering aplications: Linear algebraic
75 - Modellus
-->Roots of equations (12-23)
equations (51-56)
->Reacção reversível (76)
->Aproximação gráfica (12-17)
76 - Modellus
->Exemplo 12.1 (51-53)
13 - Ex. 5.1 Excel / 14 - Ex. 5.1 Modellus
-->Resolução de equações diferenciáveis
/ 16 - Ex. 5.2 Excel / 17 - Ex. 5.2 Modellus
52 - Excel / 53 - Mathcad
ordinárias (77-92)
->Método da bissecção + Erro estimado (18-19)
->Equações de 1ª ordem (77, 79, 80, 90)
->Exercício 12.6 (54-56)
19 - Excel
77+79+90 - Mathcad / 80 - Modellus
55
Excel
/
56
Mathcad
->Equações de 2ª ordem (78)
->Localização de raízes (20-21)
78 - Modellus
-->Last-square regression (57-65)
21 - Mathcad
->Equações ODE logística (82-85)
->Método da falsa posição (22-23)
->Regressão linear (57-59)
82+84 - Mathcad / 83+85 - Modellus
23 - Excel
->Método Runge-Kutta 4ª ordem (86-87)
58 - Excel / 59 - Jing
-->Roots of equations: Open methods (24-42)
86+87 - Mathcad
->Linearização de uma equação (60-62)
-> Iteração de um ponto fixo (24-26)
->Método de Euler (81, 88-89)
25 - Excel / 26 - Mathcad
81 - Excel / 88+89 - Mathcad
61 - Excel / 62 - Mathcad
->Método de Newton-Raphson (27-30)
->Sistema de equações - rkfixed (91-92)
->Regressão polinomial (63-65)
91+92 - Mathcad
28 - Excel / 29 - Mathcad / 30 - Jing
64 - Excel / 65 - Mathcad
-->Exercícios Fogler (93-98)
->Método da secante (31-34)
->93 - Mathcad
32 - Excel / 33-Mathcad / 34 - Jing
-->Derivadas e Primitivas
->94 - Mathcad
->Método de Newton-Raphson para múltiplas
->Regra do trapézio (67-68, 99)
->95 - Excel / 96 - Modellus
raízes (35-37)
->97 - Excel / 98 - Modellus
67
Excel
/
68
Mathcad
/
99
-Excel
36 - Excel / 37 - Mathcad
->Cálculo de integrais (69)
->Iteração de pontos fixos para um sistema
não linear (38-40)
69 - Modellus
39 - Excel / 40 - Mathcad
->Método de SImpson 1/3 (71, 99)
->Método de Newton-Raphson para sistesmas
71 - Mathcad / 99 - Excel
não lineares (41-42)
42 - Excel
->Método de Simpson 3/8 (99)
99 - Excel