UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UFBA - EP - PPGEE, SALVADOR - BA
ANÁLISE DE DISPOSITIVOS BASEADOS EM
GUIAS NÃO CONVENCIONAIS PARA
APLICAÇÕES EM TELECOMUNICAÇÕES
Dissertação de Mestrado
Autora: Ana Júlia Rodrigues Fernandes de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia
como parte dos requisitos necessários para a obtenção do
título de Mestre em Engenharia Elétrica.
Salvador
2012
R6182
Rodrigues Fernandes de Oliveira, Ana Júlia
Análise de dispositivos baseados em guias não convencionais
para aplicações em telecomunicações / Ana Júlia
Rodrigues Fernandes de Oliveira --Salvador, BA: [s.n.], 2012.
Orientador: Vitaly Félix Rodríguez Esquerre
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da
Bahia, Escola Politécnica, 2012
1. Sistemas de comunicação óptica. 2. Óptica Integrada
3. Dispositivos fotônicos. I. Rodríguez Esquerre, Vitaly
Félix. II. Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica. III. Título.
CDD 621.382
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UFBA - EP - PPGEE, SALVADOR - BA
ANÁLISE DE DISPOSITIVOS BASEADOS EM
GUIAS NÃO CONVENCIONAIS PARA
APLICAÇÕES EM TELECOMUNICAÇÕES
Dissertação de Mestrado
Autora: Ana Júlia Rodrigues Fernandes de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre
Banca Examinadora
Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre
Universidade Federal da Bahia
Dr. Karcius Day Rosario de Assis
Universidade Federal da Bahia
Dr. Cosme Eustaquio Rubio Mercedes
Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul
Dr. Antonio Cezar de Castro Lima
Universidade Federal da Bahia
Salvador
2012
Resumo
Esta dissertação aborda a modelagem e análise de dispositivos fotônicos não convencionais, mais
especificadamente, dispositivos fotônicos que têm como elemento básico guias de ondas segmentados
ou com nanofios. Estes dispositivos analisados foram o próprio guia de onda, acopladores e crossings.
As características de propagação dos guias segmentados usando o princípio de subcomprimento
de onda são analisadas utilizando um eficiente método dos elementos finitos em 2D. O guia de onda
equivalente contínuo é obtido para várias configurações diferentes e para um largo comprimento de
banda. Uma comparação da distribuição espacial do campo elétrico é analisada e os resultados sugerem
a existência de um guia de onda equivalente continuo. Os guias segmentados foram comparados aos
seus equivalentes e se concluiu que os comportamentos são semelhantes, e assim o guia contínuo
pode ser utilizado substituindo o segmentado para economia de tempo e memória computacional.
Lembrando que esta substituição pode ser feita para efeitos de projeto, mas não para obter informações
sobre perdas por radiação ou comportamento do campo óptico ao longo da direção de propagação,
pois estas informações são perdidas durante o processo de simplificação da geometria. Os estudos de
problemas fotônicos abordaram os modos TM e TE, relações de dispersão.
Com relação aos guias de ondas com nanofios foram analisadas as mesmas características, com o
mesmo método de análise para guias de ondas formados por vários conjuntos de nanofios agrupados.
Acopladores também foram analisados a partir destes guias.
Crossings segmentados foram projetados e simulados numericamente, assim como os seus equivalentes contínuos. Uma comparação é feita, e o efeito do crosstalk é analisado também.
Palavra chave: guia de onda segmentado, subcomprimento de onda, metodo de elementos finitos,
guias de ondas periódicos segmentados, acopladores não convencionais, crossings
i
Abstract
This dissertation addresses the modeling and analysis of non conventionals photonics devices,
more, photonics devices with the basic device a segmented and nanowires waveguide. The devices
analysed were a waveguide, directional couplers and crossings.
The propagation characteristics of a subwavelength grating (SWG) waveguide are analyzed by an
efficient frequency domain finite element approach. An equivalent continuous waveguide has been
obtained for several duty cycles and for a wide bandwidth. A comparison of their electric field spatial
distribution has been performed through an overlapping integral. The obtained results suggest the
existence of an equivalent continuous waveguide used to save computational memmory and time. Just
remembering that this replacement can be used to make easier the design of devices based on SWG
waveguide, although it can’t be used to obtain information about radiation losses or the behavior of
the optical field along the direction of propagation because this information is lost during the geometry
simplification process.
Dispersion relations for TE and TM modes for several values of segment length are computed,
and then we compared the dispersion relations of TE modes with those given by the equivalent strip
waveguide. It can be observed a good agreement over a very wide bandwidth.
Characteristics of Nanowires waveguides was analysed with the same method, but for waveguide
composed of periodical array of silicon nanowires in close proximity. Directional couplers was analysed
too. Segmented crossings was numerically designed and simulated, as well as their equivalent continuous. A comparison is made, and the crostalk effect is analysed too.
Keywords: subwavelength grating waveguides, finite element method, periodical segmented waveguides,
non conventional directional couplers, crossings.
ii
Agradecimentos
Ao meu orientador, Vitaly Félix Rodriguez Esquerre, a quem admiro bastante pela inteligência,
disposição e personalidade. Agradeço a oportunidade que me deu de ter sido sua orientanda durante
estes dois anos.
Agradeço ao meu pai Juarez Fernandes de Oliveira, e aos meus irmãos Júlio César Rodrigues
Fernandes de Oliveira e Juliano Rodrigues Fernandes de Oliveira, que pela simples maneira de ser e
de estudar me incentivam diariamente.
Agradeço ao meu noivo Rodrigo, por ter tido a paciência de suportar o mal humor devido às
inúmeras atividades, e por ter perdido vários finais de semana me esperando escrever, simular e
estudar.
Agradeço principalmente a minha mãe, que apesar de não estar presente, felizmente me herdou
força e coragem que eu nem acreditava que pudesse ter e conseguir.
iii
Dedicatória
Papai, e eternamente a mamãe.
iv
Conteúdo
1 Introdução
1.1 Objetivos . . . . . . . . . .
1.2 Estado da Arte . . . . . . .
1.3 Contribuições . . . . . . . .
1.4 Organização da Dissertação
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2 Fundamentos Teóricos
2.1 Método de elementos finitos em duas dimensões . . . . .
2.1.1 Método de elementos finitos . . . . . . . . . . . .
2.2 Guias de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Análise Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 PML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Formulação para Espalhamento . . . . . . . . . .
2.6 Introdução à fabricação de guias de ondas segmentados
2.6.1 Leve troca de protons . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Fotolitografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
20
22
3 Guias de ondas não convencionais
23
3.1
3.2
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guias de ondas segmentados, ou Guias de ondas SWG . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
26
3.3
3.4
3.5
3.2.1 Principio do guia de onda segmentado
Nanofios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Guias de ondas segmentados . . . . .
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26
27
29
32
32
3.5.2 Nanofios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.6
v
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4 Acopladores
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
42
42
4.3
Teoria do Modo normal e Modo acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Redes de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Acoplador Baseado em guias de ondas não convencionais . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
46
47
4.4
4.5
4.3.1 Acoplador
4.3.2 Acoplador
Aplicações . . . .
Resultados . . . .
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48
51
52
53
Acopladores de Guias de ondas Segmentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.5.2 Acopladores de Guias de ondas com nanofios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
61
4.5.1
4.6
Baseado
Baseado
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. . . . .
em
em
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SWG . .
Nanofios
. . . . . .
. . . . . .
5 Crossings
5.1 Crossings . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Crossings segmentados . . . . . . . .
5.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Guias de ondas Segmentados
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64
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Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
6 Conclusões gerais e sugestões para trabalhos futuros
6.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
70
71
Referências
72
Publicações associadas à tese
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5.5
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vi
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Lista de Figuras
1-1 a) Guia de ondas segmentado [5] e b) Acoplador segmentado [6], [7], [8] .
1-2 a) Guia de ondas com nanofios [5] e b) Acoplador formado por guia de
nanofios [9], [10], [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-3 Cruzamento de guias de ondas segmentados . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
ondas
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2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
2-8
Elementro Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemento Triangular Quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemento triangular quadrátrico isoparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guia de onda composto de dois dielétricos com índices de refração diferentes
Polarização Elétrica, Magnétrica e Mista, respectivamente . . . . . . . . . . .
Camada limite de absorção - PML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Domínio da PML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Processo de Fabricação de um guia de ondas [22] . . . . . . . . . . . . . . . .
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8
3-9
3-10
Perfil do índice degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do índice gradual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guia de onda Segmentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guia de onda com Nanofios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Amplitude para guia segmentado com nanofios, e contínuo com índice efetivo equivalente.
Célula Unitária do Guia de Onda Segmentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Malha típica do guia de onda segmentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de dispersão para o modo TM [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de dispersão para o modo TE [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de dispersão para o guia equivalente contínuo e para o segmentado para guias
com segmentos l= (a) 30 nm, (b) 60 nm, (c) 90 nm, (d) 120 nm, (e) 150 nm,(f) 180
nm, (g) 210 nm, (h) 240 nm e (i) 270 nm. [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação do campo elétrico para o guia equivalente contínuo (esquerda) e o segmentado (direita) para guias com segmentos l= (a) 30 nm, (b) 60 nm, (c) 90 nm, (d) 120
nm, (e) 150 nm,(f) 180 nm, (g) 210 nm, (h) 240 nm e (i) 270 nm. [5] . . . . . . . . . .
Integral de Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Célula Unitária e distribuição do campo para r=40 nm e Λ =120 nm . . . . . . . . . .
Célula Unitária e distribuição do campo para r=60nm e Λ =180nm . . . . . . . . . . .
Curva de Dispersão para r=40 nm e Λ =120 nm e para r=60 nm e Λ =180 nm . . . .
3-11
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3-13
3-14
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4-1 a) Modo simétrico (par) e b) assimétrico (ímpar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-2 Acoplador de guias de ondas idênticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
2
2
3
7
8
9
11
12
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24
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4-10
4-11
4-12
Índice de refração do núcleo (n) e da casca (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Período de Bragg em um guia de onda segmentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Células unitárias de acoplador segmentado (esquerda) e com nanofios (direita) [8] . . .
Acoplador formado por guias de ondas segmentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Acoplador com guia de onda contínuo (índice de refração equivalente) . . . . . . . . .
Defasagens espaciais dos guias formando diferentes acopladores . . . . . . . . . . . . .
Acoplador formado por guias de ondas de nanofios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Acoplador formado por três guias de ondas idênticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfico de dispersão [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância de acoplamento versus comprimento de onda em um acoplador de guias segmentados com distância de 0.5[6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância de acoplamento versus comprimento de onda em um acoplador de guias segmentados com distância de 0.7[6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância de acoplamento versus comprimento de onda em um acoplador de guias segmentados com distância de 0.9[6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Domínio computacional do campo incidente no acoplador . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuição espacial do campo E ao longo do acoplador direcional. . . . . . . . . . . .
Distância de acoplamento em função do comprimento de onda para acopladores de guias
separados 500nm [9] [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância de acoplamento em função do comprimento de onda para acopladores de guias
separados 700nm [9] [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância de acoplamento em função do comprimento de onda para acopladores de guias
separados 900nm [9] [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
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49
49
50
51
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54
Modos ressonantes em um cruzamento de guias de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Crosstalk em um cruzamento de guias de ondas [40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Crosstalk em um cruzamento de guias de ondas com cavidade ressonante no meio [40]
Modelo do cruzamento de guias de ondas simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cruzamento de guias de ondas com tapers e PML’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transmissão nos guias de ondas segmentados e nos guias contínuos . . . . . . . . . . .
Propagação do campo do feixe no cruzamento de guias de ondas . . . . . . . . . . . .
Malha do cruzamento de guias de ondas segmentados simulado . . . . . . . . . . . . .
Malha do cruzamento de guias de ondas contínuos com índice de refração equivalente
ao segmentado simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5-10 Distribuição do campo em um cruzamento de guias de ondas segmentado . . . . . . .
62
63
63
65
66
66
66
67
4-13
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viii
55
55
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59
60
67
68
Capítulo 1
Introdução
O uso das comunicações ópticas é sempre sugerido como uma grande tecnologia definitivamente conquistada nas últimas duas décadas. Este interesse em comunicações ópticas surgiu, com a invenção
do laser, uma fonte óptica coerente que possibilitou o uso de uma nova porção do espectro eletromagnético de frequências. O laser permitiu o incremento de ordens de magnitude nas aplicações existentes
e abriu novos campos e novas aplicações [1] [2] [3].
A produção de fibras ópticas com baixas perdas de propagação e baixos valores de dispersão tornou
possível o uso generalizado desses sistemas de comunicação óptica. Para a capacidade de transmissão
das fibras ópticas serem aproveitadas, e por razões econômicas, é conveniente que o sinal permaneça
óptico durante a transmissão, exigindo assim dispositivos que permitam a guiagem do sinal bem como
o seu processamento, como por exemplo.
Um sistema de comunicação é uma linha de conexão entre dois pontos, através da qual fazemos
com que uma informação se desloque de um dos pontos ao outro, porém pode-se transmitir mais de
uma informação no mesmo enlace e isto exige que se identifique cada uma das mensagens a fim de
poderem ser corretamente separadas na recepção. Tal identificação é feita, também, manipulando-se
uma das propriedades físicas da onda. Este esquema de mistura de mensagens num enlace se chama
de multiplexação. O direcionamento das mensagens através do sistema de comunicação é feito por
meio de elementos do circuito como os acopladores e chaveadores, sobre os quais iremos trabalhar
neste projeto.
Em se tratando de guias e dispositivos cujas geometrias são complexas, a obtenção de soluções
analíticas torna-se inviável, desta forma, são adotadas ferramentas numéricas e métodos são utilizados
para determinar as propriedades destes guias e dispositivos, como o método de elementos finitos no
domínio da frequência em duas dimensões [4].
A óptica integrada apareceu possibilitando a integração de vários dispositivos ópticos (lasers, moduladores, comutadores, acopladores, detectores, prismas, lentes e outros elementos) em um mesmo substrato. Essa integração oferece vantagens consideráveis, tais como: estabilidade mecânica e térmica,
reprodução em massa, eventuais melhorias de desempenho e de fiabilidade, e, em princípio, redução
de custos [1].
Na construção de dispositivos ópticos integrados é possível utilizar certa diversidade de materiais
ópticos e optoeletrônicas (vidros, polímeros, cristais diversos, semicondutores na forma convencional
ou em multicamadas,...) e esses dispositivos podem ser projetados para executar uma determinada
função óptica não alterável (dispositivos passivos: acopladores, filtros, polarizadores, lentes, junções
y).
1
Fig. 1-1: a) Guia de ondas segmentado [5] e b) Acoplador segmentado [6], [7], [8]
Fig. 1-2: a) Guia de ondas com nanofios [5] e b) Acoplador formado por guia de ondas com nanofios
[9], [10], [8]
2
Fig. 1-3: Cruzamento de guias de ondas segmentados
Para simular os componentes ópticos integrados, métodos numéricos podem ser utilizados, permitindo maneiras de se explorar novas idéias para dispositivos sem a necessidade de custos com
fabricação e testes. O método de elementos finitos permite analisar estruturas de formato complexo,
compostas por materiais de todos os tipos, com perdas e com ganhos. A aplicação do método de
elementos finitos no projeto e analise de guias óticos e dispositivos ópticos têm sido apresentados por
vários autores e é uma abordagem confiável e versátil.
Esta dissertação trata-se da modelagem e análise de dispositivos fotônicos baseados em guias não
convencionais, ou seja, dipositivos fotônicos formados por guias de onda segmentados [11], ou guias
de ondas de nanofios[12], na Fig. 1-1 são apresentados os guias segmentados em a) e os acopladores
formados por estes em b), e na Fig. 1-2 são apresentados os guias com nanofios em a) e os acopladores
formados por dois guias de nanofios paralelos em b). Crossings são os cruzamentos formados pela
interseção de dois guias de ondas segmentados como os apresentados na Fig. 1-1, mas dispostos como
na Fig. 1-3. É feita uma comparação entre as características de propagação dos guias segmentados
e seus equivalentes contínuos, representados através do contraste do índice de refração, e é dado por
uma relação entre o índice de refração dos segmentos, o ciclo de trabalho e o índice de refração efetivo
equivalente[11].
1.1
Objetivos
O objetivo deste trabalho é, juntando todos os conceitos apresentados rapidamente na introdução,
realizar a análise e modelagem de guias de onda segmentados e de guias de ondas contínuos com
o índice de refração equivalente ao do segmentado. A partir desta análise, modelar o guiamento
em estruturas não convencionais que apresentam periodicidade na direção de propagação e/ou seção
transversal usando ferramentas numéricas.
3
1.2
Estado da Arte
Os guias de ondas podem ser bem eficientes se não tiverem imperfeições na borda entre o núcleo e o
substrato [1], imperfeições essas que são geradas durante o processo de fabricação do dispositivo. Para
minimizar o efeito de alto contraste de índices de refração do núcleo e do substrato, alguns estudos
foram realizados em guias com núcleos grandes [2], guias de ondas com núcleo tão pequeno que o modo
do guia de onda é deslocado para longe do limite do núcleo [3] ou até usando efeitos de interferência
inerente [4,5].
Existem diversas publicações na literatura especializada abordando guias e dispositivos baseados
em guias não convencionais [11][12], entretanto, a nossa análise foi focada no estudo detalhado de guias
segmentados e guias de nanofios, e seus respectivos acopladores direcionais. No caso dos crossings o
estudo foi feito apenas para o segmentado e o seu equivalente.
1.3
Contribuições
As principais contribuições do estudo apresentado nessa dissertação é a análise e simulação de componentes fotônicos não convencionais (segmentados e/ou com nanofios) como guias de ondas, acopladores,
e crossings. Este estudo consegue apresentar as vantagens e desvantagens destes guias, e sugerir onde
estes são aplicados com sucesso.
Nos guias de ondas segmentados e com nanofios foi feita uma análise detalhada dos modos guiados
em função do:
Comprimento de onda;
Distâncias de acoplamento;
Tamanhos dos segmentos nos núcleos .
1.4
Organização da Dissertação
Esta dissertação está organizada da seguinte forma:
O segundo capítulo é dedicado a revisão da literatura envolvendo conceitos a serem explorados
nos demais capítulos. Inicia-se contextualizando os elementos finitos em 2D e suas potencialidades
para a área que envolve eletromagnetismo. Logo após, são explorados conceitos envolvendo guias de
ondas não convencionais, como a maneira de encontrar uma célula unitária com índice de refração do
núcleo equivalente ao núcleo formado por guias de ondas segmentados, efeitos gerados por dispositivos
fotônicos, como o crosstalk, e foi introduzido também o conceito de PML que é um material utilizado
para truncar modelos computacionais.
O terceiro Capítulo trata da formulação e análise do elemento básico para qualquer tipo de dispositivo fotônico, o guia de onda. Guias de ondas com nanofios, guias de onda segmentados, e guias
de onda uniformes com índice de refração equivalente ao segmentado foram analisados e algumas variáveis como comprimento dos segementos e raios dos nanofios foram variadas para que a comparação
e análise da dispersão pudessem ser analisadas.
No quarto Capítulo, acopladores direcionais, compostos de dois guias de ondas são analisados.
Estes guias de ondas são dispostos paralelamente, e a potência da onda que entra em um guia de onda
é transferida completamente para o outro guia de onda, depois de percorrer uma distância chamada
4
distância de acoplamento. Uma comparação foi feita, tanto para acopladores formados por guias
segmentados e os seus respectivos equivalentes, como para acopladores formados por nanofios com
diferentes raios de nanofios e afastamento entre os guias que compõem os acopladores.
No quinto Capítulo um dispositivo formado pelo cruzamento de dois guias de ondas, o crossing,
foi analisado e foram realizadas comparações com seu equivalente contínuo. As simulações foram
realizadas usando o método de elementos finitos 2D apresentado em [13] , e no caso dos crossings
camadas perfeitamente casadas (Perfectly Matched Layers, PML) foram usadas para truncar o domínio
computacional.
Finalmente, as principais conclusões deste trabalho e sugestões para trabalhos futuros são apresentadas no sexto Capítulo.
5
Capítulo 2
Fundamentos Teóricos
2.1
Método de elementos finitos em duas dimensões
A simulação numérica tem um papel muito importante no projeto e na análise dos dipositivos
fotônicos, pois esta abre a possibilidade de um conhecimento prévio do comportamento destes dipositivos. Neste trabalho serão analisados dipositivos fotônicos como guias de ondas, acopladores
e crossing contínuos, segmentados e com nanofios com dimensões reduzidas (micrométricas). Serão
analisadas as características como transmissão, reflexão, dispersão e outras características ópticas, e
para isto precisa-se de um método muito preciso e flexível. O método de elementos finitos provê esta
precisão necessária, pois ele divide o domínio a ser analisado em vários pequenos elementos triangulares (2D), e assim as estruturas podem ter qualquer formato, podem ser compostas por materiais
homogêneos ou não homogeneos, serem lineares ou não lineares e terem perdas ou ganhos[14] [15] [16].
Este método trabalha com a discretização do domínio original, e o resultado são sistemas de equações
lineares que em geral são esparsos, geram matrizes esparsas, e assim podem ser resolvidos utilizando
técnicas eficientes.
Matrizes esparsas são as matrizes nas quais a maioria das posições é preenchida por zeros. Para
essas matrizes, podemos economizar um espaço significativo de memória se apenas os termos diferentes
de zero forem armazenados, o que podemos chamar de otimização dos recursos computacionais. As
operações usais sobre essas matrizes (somar, multiplicar, inverter, pivotar) também podem ser feitas
em tempo muito menor quando não armazenamos as posições que contêm os zeros. E como o método
de elementos finitos é baseado em matrizes deste tipo, o que é apenas mais uma vantagem deste
método, o esforço computacional é diminuído e o tempo de simulação é melhorado.
Nesta dissertação a simulação ocorreu no domínio da frequência com dispositivos de dimensões
bem pequenas (menos que 10 vezes o comprimentos de onda), e para esta situação específica existem
duas técnicas de análise: diferenças finitas no dominio da frequência e método de elementos finitos no
domínio da frequência, como a estrutura analisada é uma estrutura 2D, e se concentra em cálculos de
espalhamento, reflexão e coeficiente de transmissão, o método de elementos finitos foi escolhido.
2.1.1
Método de elementos finitos
O primeiro passo para a realização deste método, é a divisão do domínio em vários elementos.
Estes novos elementos, no qual o domínio é dividido, tem o formato triangular e vão se encaixando
um no outro até preencher o domínio principal. Neste preenchimento não devem existir buracos, todo
6
Fig. 2-1: Elementro Triangular
o domínio deve ser preenchido com pequenos triângulos, os elementos se conectam pelos vértices, não
pode haver conexão entre um vértice o um lado, e deve-se evitar elementos com ângulos internos
pequenos, pois o erro é inversamente proporcional ao seno dos ângulos internos.
No caso do método utilizando elementos triangulares lineares, com vértices numerados sequencialmente no sentido anti horário como na Figura 2-1, em cada um destes elementos existe uma função
desconhecida que pode ser aproximada [17] como:
( ) = + +
(2.1)
Onde e são coeficientes a serem determinados e é o elemento. Em elementos lineares tem-se
três nós, e aplicando isto em (2.1), temos:
1 ( ) = + 1 + 1
(2.2)
2 ( ) = + 2 + 2
3 ( ) = + 3 + 3
Resolvendo este sistema de três equações para os coeficientes constantes a , b e c em temos de
substituindo na Equação (2.1), iremos obter,
( ) =
3
X
( )
(2.3)
=1
Onde N ( ) representa as funções de base ou de interpolação e são dadas por:
( ) =
1
( + + )
2
(2.4)
Onde A é a área do elemento . Os demais parâmetros são dados por:
1 = 2 3 − 2 3
2 = 3 1 − 3 1
3 = 1 2 − 1 2
7
(2.5)
Fig. 2-2: Elemento Triangular Quadrático
1 = 2 − 3
(2.6)
2 = 3 − 1
3 = 1 − 2
1 = 3 − 2
2
=
1
(2.7)
− 3
3 = 2 − 1
e
¯
¯
¯ 1 ¯
1
1
¯ 1
1 ¯¯
¯
= ¯ 1 2 2 ¯ = (1 2 − 2 1 )
¯
¯ 2
2
¯ 1 ¯
3
3
(2.8)
Nas expressões anteriores, ( = 1 2 3) denotam os valores das coordenadas do j-ésimo nó no
elemento .
É facilmente demonstrado que as funções de base tem a seguinte propriedade:
( ) = =
1 =
= 1 2 3
0 =
(2.9)
E como resultado, no nó i, na equação reduz-se ao valor nodal .
Outra característica importante das funções de base ( ), é que elas desaparecem quando o
ponto de observação ( )está sobre o lado oposto ao nó j. Por esse motivo, os valores de , sobre um
lado do elemento, não estão relacionadas ao valor de sobre o nó oposto, mas sim são determinados
pelos valores nos dois nós que estão associados a esse lado. Esta importante característica garante a
continuidade da solução através dos lados dos elementos.
Já para uma formulação baseada em elementos triangulares quadráticos, o triângulo terá seis
nós. Três nos vértices e os outros três nos pontos médios entre um vértice e outro. Sendo enumerados
novamente no sentido anti horário como a Figura 2-2
Os valores de sobre os nós 1, 2 e 3 são denotados por 1 2 3 respectivamente, e a função
desconhecida, dentro de cada um dos elementos triangulares do domínio, pode ser aproximada por
( ) = + + + 2 + + 2
8
(2.10)
Fig. 2-3: Elemento triangular quadrátrico isoparamétrico
Onde e são coeficientes a serem determinados usando a equação (2.10). Para os
seis nós da equação em termos de obtém-se
( ) =
3
X
( )
(2.11)
=1
Onde N ( ) representa as funções de base ou de interpolação e são dadas por
( ) = (2 − 1) j=1,2,3
(2.12)
4 ( ) = 1 2 5 ( ) = 2 3 6 ( ) = 3 1
Onde L e dado por
( ) =
1
( + + ), j=1,2,3
2
(2.13)
Onde são definidos pelas equações (2.5), (2.6), (2.7), e (2.8).
Obviamente as funções N satisfazem:
( ) = =
1 =
= 1 2 3
0 =
(2.14)
Embora uma formulação baseada em uma grandeza escalar seja inadequada para a descrição completa dos modos híbridos presente em meios não homogeneos, tal formulação pode ser útil na análise
de uma grande variedade de problemas práticos em engenharia de microondas e de óptica integrada.
Além disto, elas necessitam de um menor consumo de tempo de processamento.
Já os elementos finitos com elementos isoparamétricos quadráticos, que foi o usado no decorrer desta
dissertação, ainda é uma versão mais avançada do elemento quadrático. Ela pode ser representada
gráficamente pela Figura 2-3
A numeração externa é relacionada com a numeração do nó, e a numeração interna é relacionada
aos pesos e coordenadas locais para integração numérica das funções do formato. O campo no
elemento e a coordenada cuvilinear pode ser expressa por
9
=
6
X
= { } {}
6
X
= { } {}
6
X
= { } {}
=1
=
=1
=
=1
Onde x são as coordenadas cartesianas do nó i=(1,2,...,6) de cada elemento.
2.2
Guias de ondas
Nesta seção, são descritas as principais características dos guias de ondas bem como suas formulações.
Algumas vezes a fibra óptica é considerada para previsão de certas características ópticas, e isto
ocorre porquê a fibra óptica pode ser considerada como um guia de onda cilíndrico feito de material
transparente, usualmente vidro, que conduz luz na região espectral do visível e do infravermelho por
longas distâncias. A estrutura de uma fibra ótica consiste em um núcleo de sílica envolvido por uma
casca de mesmo material, mas com índice de refração menor que o do núcleo, de forma a garantir que
a luz lançada no seu núcleo se propague ao longo do comprimento da fibra com pequenas perdas de
intensidade. Um guia de onda óptico pode ser definido como qualquer estrutura que tenha capacidade
para guiar um fluxo de energia radiante ao longo de um caminho paralelo ao seu eixo. A grandeza que
expressa a velocidade que a luz possui em um determinado meio de transmissão é o índice de refração
[3], e este indice é definido por
=
(2.15)
onde é a velocidade da luz no vácuo e é a velocidade da luz no meio em questão.
Porém vale levar em consideração que o índice de refração depende do comprimento de onda da luz,
o que, nas fibras e guias ópticos irá provocar a dispersão do impulso luminoso, limitando a capacidade
de transmissão de sinais.
Um guia de onda planar é formado por dois meios de índices de refração diferentes, sendo um
do núcleo com um índice de refração alto, e o outro da cobertura com um índice de refração menor.
Sendo assim, a luz é acoplada no núcleo na entrada do guia, e através de reflexões totais internas esta
luz chega a saída do guia.
Mas quando uma onda incide numa superfície de separação de dois meios de índice de refração
diferentes, com uma certa inclinação, uma parcela da energia atravessará a superfície e se propagará
através do meio de transmissão, enquanto que outra parcela refletirá na superfície, continuando no
meio incidente. Quando um raio de luz muda de um meio que tem índice de refração grande para
um meio que tem índice de refração pequeno a direção da onda transmitida afasta-se da normal
(perpendicular). A medida que aumentamos o ângulo de incidência o ângulo do raio refratado tende
a 90 , e quando isso acontece, o ângulo de incidência recebe o nome de ângulo crítico. Uma incidência
com ângulo maior do que este ângulo sofre o fenômeno da reflexão interna total, então a luz que incide
na entrada do guia reto deve ser igual ou maior ao ângulo critico.
10
Fig. 2-4: Guia de onda composto de dois dielétricos com índices de refração diferentes
Por outro lado temos a abertura numérica, que é um parâmetro básico que representa o ângulo
máximo de incidência que um raio deve ter, em relação ao eixo do guia de onda, para que ele sofra
a reflexão interna total no interior do núcleo e se propague ao longo do nucleo através de reflexões
sucessivas. Existe um ângulo de incidência limite para os raios penetrando no núcleo, acima do qual
os raios não satisfazem as condições de reflexão interna total e portanto não são transmitidos. Esse
ângulo conhecido como ângulo de aceitação do guia de onda é deduzido aplicando-se a lei de Snell, o
que resulta:
p
21 − 22
)
= (
0
(2.16)
onde 0 é o índice de refração do meio onde o guia está imerso, 1 é o índice de refração do núcleo
e 2 da cobertura como podemos ver na Figura 2-4.
2.3
Modos
O conceito de modo de propagação está associado à teoria de propagação eletromagnética em
guias de onda de uma maneira geral. Os modos de propagação são determinados a partir das equações
de Maxwell, sob as condições de contorno impostas pelo tipo do guia de onda (geometria, material etc.)
e representam um conjunto de ondas eletromagnéticas que são guiadas de maneira estável pelo guia
[18]. Cada modo de propagação é caracterizado por uma configuração de campo elétrico e magnético
que se repete ao longo do guia. Os guias de ondas admitem apenas um número discreto de modos
11
Fig. 2-5: Polarização Elétrica, Magnétrica e Mista, respectivamente
propagando-se ao longo do seu comprimento.
Os diversos modos de propagação possíveis obedecem a determinadas condições de corte, isto é,
condições a partir das quais o modo cessa de existir no guia.
De uma maneira geral, os guias admitem modos de propagação do tipo transversais, onde a componente do campo elétrico (modo TE) ou do campo magnético (modo TM) [2] não existe na direção
de propagação da onda eletromagnética, mas apenas transversalmente, e modos híbridos (modo EH
e HE), que tem componentes do campo elétrico e do campo magnético na direção de propagação da
onda. Ou seja:
Modo TE (ou tipo H) ocorre quando a única componente longitudinal é a do campo magnético,
estando todo o campo elétrico no plano transversal a propagação. Supondo propagacão na direção z,
teremos neste caso 6=0 e E = 0
Modos TM (ou tipo E) tem 6= 0 e = 0.
Se em alguma situação particular, os modos e , isoladamente, não satisfazem a
condiçao de contorno, uma combinaçao linear dos mesmos dará a solução geral e completa. Esses
novos modos com 6= 0 e 6= 0 são chamados os modos hibridos denotados por ou HE (TEM)
como podemos ver na Figura 2-5.
Numa analogia com a óptica geométrica, os modos TE e TM correspondem a raios meridionais,
enquanto que os modos híbridos resultam da propagação de raios inclinados.
Se pegarmos como exemplo uma fibra óptica, a determinação dos modos de propagação depende
das características da mesma como guia de onda. Para fibras caracterizadas como um guia cilíndrico,
homogêneo e infinito, hipótese válida para fibras ópticas com perfil de índices do tipo degrau, é possível
obterem-se soluções exatas para as equações de Maxwell. Por outro lado, fibras caracterizadas por
um perfil de índice gradual exigem a aplicação de métodos numéricos aproximados na determinação
dos seus modos de propagação. Em ambos os casos, o tratamento matemático e a interpretação dos
resultados são bastante complexos. Entretanto, para este caso, onde a diferença relativa de índices de
refração é muito pequena, existem simplificações teóricas que facilitam a compreensão e a manipulação
12
dos resultados das equações de Maxwell. Felizmente, as fibras ópticas de maior interesse em sistemas
de comunicação enquadram-se perfeitamente nesta última hipótese.
2.4
Análise Modal
O método de elementos finitos tem sido aplicado para analisar estruturas fotônicas. A estrutura analisada é bidimensional, onde a janela computacional encontra-se no plano xy. A propagação acontece
= 0).
na direção paralela a este plano e não existe variação do campo na direção z, (
Modo TE (polarização H)
Partindo-se das equações de Maxwell para o campo magnético:
→ 2 −
−
→
1
∇ × ∇ × + 2 0 = 0
(2.17)
→
−
Onde é o campo magnético, é a permeabilidade magnética relativa, e é o tensor permissividade elétrica relativa, que é dado por:
⎡
⎤
0
⎢
⎥
= ⎣ 0 ⎦
0
0
(2.18)
relaciona-se com o índice de refração através da relação = 2 . Por não existir variação na
direção z, o operador ∇ é escrito como:
∇=(
Escrevendo = [ ]−1 , obtém-se:
b+
b)
⎡
⎤
⎡
0
1
⎢
⎥
⎢
= ⎣ 0 ⎦ =
⎣
−
0
0
0
0
(2.19)
⎤
0
⎥
0 ⎦
(2.20)
1
Em um meio que não é magnético temos = 1 0. Com isto, a equação (2.17) pode ser escrita
como:
→
−
→
2 −
∇ × ∇ × = − 20
(2.21)
Substituindo-se o operador ∇ e simplificando, obtém-se o seguinte conjunto de três equações, uma
para cada componente
−
µ
¶
µ
¶
2
−
= 20
(2.22)
−
µ
¶
µ
¶
2
−
= 20
(2.23)
13
−
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
2
−
+
+
= 20
(2.24)
Deste conjunto de equações, apenas (2.24) deve ser resolvida. Esta corresponde à componente do
→
−
campo magnético na direção z.
Modos TM (Polarização E)
Partindo-se das equações de Maxwell para o campo elétrico, chega-se a:
∇×
→
−
→
2 −
1
∇ × + 20 = 0
(2.25)
→
−
Onde é o campo elétrico, é a permeabilidade relativa. Em um meio não magnético = 1
resultando em:
→
−
→
2 −
∇ × ∇ × = − 20
(2.26)
Substituindo-se o operador ∇ e simplificando, obtém-se um conjunto de três equações, uma para
cada componente:
µ
¶
−
µ
¶
=
20
( + )
2
(2.27)
µ
¶
−
µ
¶
=
20
( + )
2
(2.28)
¶
(2.29)
µ
¶
−
µ
=
20
( )
2
Deste conjunto de equações, apenas (2.29) tem que ser resolvida. Esta corresponde à componente
→
−
do campo elétrico na direção z. Reescrevendo as duas equações resultantes para os modos TE e
TM, tem-se respectivamente:
µ
¶
µ
¶
−
=
−
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
−
−
+
+
=
20
( ) (2.30)
2
20
2
→ →
−
−
Os campos e são escritos da seguinte forma:
= − −
(2.31)
− −
=
Onde h e e são as envoltórias de variação lenta dos campos magnéticos e elétricos, respectivamente, e k e k são as constantes de propagação na direção x e y, respectivamente. Substituindo-as
em (2.30) obtém-se:
14
(
) + (
) + (
) + 2
) + (
) + (
) + 2
− (
) − (
) − (
) −
+ (
) − (
) − (
) −
+ (
0
= ( )2
−
−
(2.32)
0
(
)−
(
) = ( )2 ( )
(2.33)
Aplicando-se o processo convencional de Galerkin a estas equações, obtém-se as equações de autovalores para as polarizações TE e TM dada por:
[]{} =
³ ´2
[]{}
(2.34)
Aonde [A] e [B] para os modos TE são dados por:
⎡
ZZ
1 {} {}
2
ZZ
ZZ
1 {} {}
2
1 { } {}
2
+
+
+
⎢
⎢
⎢
ZZ
³
´
X⎢
⎢
{}
⎢
+
12 {}
[] =
{ } − {}
⎢
⎢
⎢ ZZ
ZZ
³
´
⎢
¡ 2
¢
{}
{}
1
1
2 { }{ }
⎣ +
+
2
{
}
−
{
}
+
2
⎤
⎡
X ZZ
⎣
[] =
{ }{ } ⎦
2.5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥ (2.35)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.36)
PML
Sempre que alguém resolve um sistema fotônico numericamente por uma discretização de volume,
têm-se que truncar a grade computacional de alguma forma, e a questão chave é como executar
esse truncamento sem introduzir artefatos significativos que possam interferir no resultado final da
simulação. Alguns problemas são naturalmente truncados, por exemplo, para estruturas periódicas
onde as condições de contorno periódicas podem ser aplicadas. No entanto, alguns dos problemas
mais difíceis para truncar envolvem equações de onda em que as soluções são oscilantes e tipicamente
o decaimento com distância r somente com 1/r(−1)2 em d dimensões.
O decaimento lento significa que simplesmente truncar a grade com condições de contorno levará
a resultados inaceitáveis de reflexões nas fronteiras. Já a oscilação significa que em um domínio finito,
estas equações irão resultar em soluções que oscilam infinitamente rápido quando chegam próximo ao
15
limite. Portanto, as equações de onda exigem algo diferente: um contorno absorvente que, de alguma
forma, absorva as ondas que o atingem, sem refleti-las, e sem a necessidade de obter uma resolução
inviável [19].
Para absorver as ondas que chegam às bordas do domínio, várias tecnicas têm sido utilizadas.
A primeira foi chamada de “radiating boundary” que vem sendo inutilizada agora, outra foi a técnica chamada de “matched layer ” que consiste em cobrir o domínio computacional com um meio
absorvente no qual a impedância casa com a do espaço livre, e uma terceira técnica aparece com a
aproximação da equação da onda inicialmente exibida por ondas acústicas de Engquist e Majda. De
qualquer forma nenhuma desses métodos de absorção para as simulações no espaço livre é perfeita,
uma onda é absorvida sem reflexão apenas em casos particulares, somente se o plano e a propagacao
são perpendiculares. Estas imperfeições proíbem o tratamento de alguns problemas e impoem alguns
limites em outras.
As primeiras tentativas para resolução desta reflexão na borda foi chamada de ABCs (Absorbing
Boundary Conditions) [20]. Neste método, dada uma solução em uma grade discreta, uma condição de
limite é uma regra para definir o valor na borda da grade. Por exemplo, uma condição de limite simples
define a solução para zero no limite da grade (o que irá refletir ondas que atingem a extremidade). O
método ABC tenta de alguma forma extrapolar a partir dos pontos dentro da grade para os pontos
na borda da grade, para assim enganar a solução e fazer a mesma "pensar" que a borda se estende
para sempre, sem limite. Acontece que isso é possível fazer perfeitamente em uma dimensão, mas as
ondas eletromagnéticas se propagam em no mínimo duas direções e como o interesse principal para
a simulação numérica encontra-se em duas ou até três dimensões, nestes casos o número de possíveis
direções de propagação vira infinito e torna o problema muito mais difícil de ser resolvido. Parece
improvável que exista algum método eficiente para absorver todas as ondas que atingem um limite em
qualquer ângulo possível. ABC ’s existentes limitam-se a absorção de ondas apenas em alguns ângulos,
e especialmente em incidência normal.
Entretanto em 1994 o problema da reflexão de ondas nos limites do domínio para equações de onda
foi transformado em um artigo de Berenger [19]. Berenger mudou a pergunta: em vez de encontrar
uma condição no limite para a absorção, ele descobriu uma camada de absorção, como representado na
Figura 2-6. Uma camada de contorno absorvente é uma camada de material absorvente artificial que
é colocado adjacente às bordas da grade, completamente independente da condição de limite. Quando
uma onda entra na camada de absorção, esta é atenuada e decai exponencialmente. Mesmo que a onda
reflita, após uma ida e volta através da camada de absorção a onda que retorna é exponencialmente
minúscula, podendo ser desconsiderada. O problema com esta abordagem é que, sempre que tem
uma transição de um material para outro, as ondas geralmente refletem e a transição da onda do
material não-absorvente para o material absorvente não é uma exceção, assim, em vez de ter reflexões
a partir da borda da grade, têm-se reflexões na borda do material absorvente, então, de qualquer
forma Berenger mostrou que uma camada absorvente pode ser construída de forma que as ondas não
reflitam na borda: com uma camada perfeitamente casada, chamada de PML que é definida de acordo
com as equações de Maxwell.
2.5.1
Formulação para Espalhamento
Para definição da PML, que neste trabalho foi utilizada para calcular os campos nos crossings, foi
considerado um guia óptico em duas dimensões, no qual o domínio computacional é no plano e não
16
Fig. 2-6: Camada limite de absorção - PML
existe variação na direção . Cobrindo a região de análise Ω pela PML, os tensores permissividade e
permeabilidade são expressos por
[] = 0 2 [Λ]
(2.37)
[] = 0 [Λ]
(2.38)
com
⎡
⎢
[Λ] = ⎣
0
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎦
(2.39)
Onde 0 e 0 são as permitividades e permeabilidades do espaço livre, respectivamente, é o índice
de refração e o parâmetro da PML S ( = ) é dado como:
= 1 − (
2
) tan
(2.40)
Aonde é a distancia do começo da PML, e é o ângulo de perda do fim da PML.
Das equações de Maxwell, obtém-se a seguinte equação básica:
Φ
(
)+
(
) + 02
Φ = 0
(2.41)
Φ = = 1 = 2
(2.42)
para o modo TE, e para o modo TM temos a equação (2.43)
Φ = =
1
= 1
2
(2.43)
Onde e são as componentes do campo elétrico e magnético, respectivamente, e 0 é o
numero de onda no espaço livre.
17
Fig. 2-7: Domínio da PML
Dividindo a região em triângulos quadráticos, o campo com cada elemento sendo aproximado por
Φ = { } {Φ}
(2.44)
Onde {} é o formato do vetor função para o elemento triangular quadrático e {Φ} é o vetor
nodal Φ para cada elemento.
Primeiro considerando a incidência no plano Γ , que é normal ao eixo z, como mostrado na Figura
(2-7), dividindo a região Ω em duas sub-regiões símbolo Ω1 Ω2 , aplicando o procedimento de Galerkin
a (2.41), integrando por partes, considerando (2.44) e Φ = 0 na saída da PML, e montando a matriz
completa para símbolo adicionando as contribuições dos elementos diferentes, então, exceto para o
plano de incidência Γ, a integral de fronteira desaparece devido à continuidade das condições dos
campos elétricos e magnéticos, e obtem-se a seguinte matriz
XZ
Φ1 Φ2
−
)
(2.45)
´
{ } (
[ ]{Φ} =
XZ Z
{ } { }
{ } {}
[ ] =
+
− 02
[
{ }{ } ]
P
Aonde a componente do vetor {Φ} são os valores de Φ em todos os pontos nodais em Ω, estende
P
sobre todos os elementos, e ´ estende sobre todos os elementos relacionados a Γ. O campo Φ na
região Ω é expresso por Φ .
Definindo o campo incidente como Φ , e o campo do espalhamante como Φ , o campo em Ω é
expresso por:
Φ = Φ + Φ
(2.46)
E a condição de continuidade do campo elétrico e magnético no plano de incidência Γ é dada por
Φ2
Φ1
=
18
(2.47)
Então (2.45) é reescrita como
[ ]{Φ} =
XZ
Φ1 Φ2
−
)
´
{ } (
(2.48)
Pode-se expressar o campo incidente Φ1 usando o alto-modos como
Φ1 =
X
() exp(− )
(2.49)
Φ2 =
X
() exp( )
(2.50)
Então (2.48) se torna
[ ]{Φ} = []{Ψ}
(2.51)
XZ
[] =
´
{ }Γ { }Γ
(2.52)
{Ψ}Γ = −2
(2.53)
X
{}Γ
Onde () são as amplitudes, funções modais do campo, e propagações constantes do
m-ésimo modo, respectivamente, e { }Γ e { }Γ são as funções do formato do vetor e do campo do
vetor de () no plano de incidência Γ, respectivamente. O campo incidente simétrico ao longo das
direções +z e —z é assumido para garantir a natureza continua dos campos elétricos e magnéticos em
Γ.
Aqui, usando o vetor composto dos valores de Φ no ponto nodal no plano de incidência Γ {Φ}Γ e
o vetor relacionando aos nós remanescentes, {Φ}0 pode ser escrito como
"
[ ]00 [ ]0Γ
[ ]Γ0 [ ]ΓΓ
#"
{Φ}0
{Φ}Γ
#
=
"
{0}
[]{Ψ}Γ
#
(2.54)
Aonde [ ]00 [ ]Γ0 , [ ]0Γ , [ ]ΓΓ são as matrizes parciais de [ ]
2.6
Introdução à fabricação de guias de ondas segmentados
Neste trabalho não foi feita a fabricação de guias de ondas, mas para fabricar os guias de ondas
ópticos segmentados e consequentemente as estruturas formadas por estes, muitas técnicas têm sido
propostas: infusão de titânio [21], implantação de íons[22], troca de prótons [23] e suas diferentes
formas (troca de próton simples, APE, Soft Proton Exchange). Com relação às técnicas de trocas de
próton, uma muito utilizada é a Soft Proton Exchange, pois esta não perturba a estrutura cristalina
do LiNbO3 como as outras. Mais especificadamente, a inversão do domínio ferroelétrico do Niobato
de Lítio periódico continua intacta após a leve troca de prótons.O objetivo desta seção é apresentar a
possíveis técnicas que podem ser usadas pra fabricação dos guias segmentados.
19
2.6.1
Leve troca de protons
O processo leve de troca de prótons (Soft Proton Exchange) no substrato de Niobato de Lítio é
uma técnica interessante para a fabricação de dispositivos ópticos integrados [24]. A vantagem mais
importante desta técnica é o caminho mais fácil que deve-se seguir para fabricação dos dispositivos. A
técnica é baseada na difusão de íons de hidrogênio que penetram no Niobato de litio indo "prender" o
oxigênio, e assim criando uma camada fina que representa o canal de transmissão. Ao mesmo tempo,
íons de lítio saem do substrato na direção oposta deixando espaço para íons de hidrogênio. O processo
de difusão pode ser escrito usando a seguinte equação:
3 + + → 1− 3 + +
(2.55)
Onde é a concentração de prótons normalizada. A fonte de prótons usada com niobato de litio é
o acido benzoico com uma fração de benzoato de lítio. Para obter o guia de onda, é necessário ter um
substrato de Niobato de Lítio cortado ao longo de três planos possível, x, y, e z. Os parâmetros mais
importantes são o percentual de LB na mistura, o tempo no qual o substrato fica em contato com o
ácido e a temperatura a qual o processo vai ser submetido.
Para fabricar um guia de onda usando este método, usa-se uma técnica de imersão. Esta técnica
consiste em colocar a fonte de próton em contato com o cristal niobato de lítio. Para isto uma ampola
com a placa é então conectada a uma bomba de vácuo que cria uma despressurização necessária para
prendê-la. Depois que a ampola é fechada , coloca-se em uma mangueira de ferro para proteger
o ambiente em caso de explosão e prover uma inercia térmica. Esta mangueira é colocada em um
ambiente com temperatura de 300 . A temperatura de fusão do acido benzoico é de 160 e para o
niobato de lítio é maior que 300 , mas felizmente o niobato de lítio pode ser dissolvido com o acido
benzoico e estes formam uma mistura líquida com temperatura de fusão menor que 300 . Quando
a temperatura é estabilizada, é necessário apenas mover a mangueira de forma a colocar a amostra e
a fonte de prótons em contato. Neste momento a troca de íons começa. Depois de 72 horas o sistema
é desligado, e após o resfriamento a amostra pode ser recolhida [22].
2.6.2
Fotolitografia
Para fabricar os guias de ondas segmentados, é necessário controlar o processo de difusão. Isto pode ser
feito mascarando a superfície de Niobato de Litio durante a fotolitografia. Fotolitografia é o processo
no qual o 3 pode ser moldado usando uma luz. A ausência de poeira é uma condição essencial
para obter resultados desta técnica, e por esta razão todos os passos devem ser feitos em uma sala
limpa como esquematizado na Figura 2-8.
Antes do material fotoresistivo ser aplicado ao substrato, a superfície deve estar limpa e qualquer traço de contaminação deve ser retirado Figura 2-8.a . Uma camada fina (700) do material
fotoresistivo é aplicada na superfície usando uma máquina chamada de spin coating, Figura 2-8.b.
Este dispositivo segura a placa do semicondutor usando uma bomba à vácuo, e rotaciona com alta
velocidade fazendo com que a camada seja depositada igualmente e sem excesso em toda superfície da
placa. Depois disto, este processo é concluído por um cozimento, aonde a placa é aquecida para fixar
o material fotoresistivo.
Uma máscara contendo o formato do dispositivo óptico é criado no processo de fotolitografia e
desenvolvido em um substrato de quartzo. A máquina de fotolitografia usa um padrão de alinhamento
20
para atingir a precisão, pois o alinhamento entre a placa e a máscara fotônica é muito importante, e
deve ser conseguido nas direções x e y.
Durante o processo de exposição à luz ultravioleta, o material fotoresistivo é submetido a reações
químicas Figura 2-8.c. Dependendo da composição do material fotoresistivo, queando a luz atinge
a superfície ele pode reagir de duas formas copletamente diferentes. A ação da luz no material fotoresistivo positivo o faz ser polimerizado aonde foi exposto à luz ultravioleta, já a ação no material
fotoresistivo negativo causa o efeito contrário, causa a decomposição do mesmo, e por esta razão o material fotoresistivo negativo é utilizado. Testes têm demonstrado que usando um material fotoresistivo
negativo todas as dimensões da estrutura se reduzem a 1 com relação à máscara.
Depois do processo de desenvolvimento a amostra está pronta para receber uma camada de 200nm
de 2 sobre toda a superfície da placa Figura 2-8.d. A máscara final de 2 é obtida com um
processo que remove a resina através de reação química Figura 2-8.e. Depois da troca de prótons, a
amostra é retirada da ampola e limpada com acetona e álcool para eliminar qualquer resto de ácido.
A máscara de 2 depositada é eliminada imergindo a amostra em um ácido Figura 2-8.f.
Para finalizar as amostras são fixadas entre dois pedaços de vidro e são cuidadosamente polidas
para que as imperfeições não interfiram na hora de acoplar o laser no guia de onda. Normalmente
um suporte metálico é montado em uma máquina para aplicar pressão uniforme durante o polimento.
A máquina é então colocada em uma superfície rotativa e sua posição é controlada por um braço
mecânico. Produtos abrasivos devem ser colocados na superfície rotativa para que a superfície seja
polida. O caso mais utilizado é grãos de alumínio com água. O procedimento usado começa então
usando placas rotativas com grãos de alumínio grandes até chegar a pequenos grãos de alumínio e a
superfície ficar com as bordas praticamente perfeitas. Esta última etapa é feita para que quando laser
for acoplar no guia, não tenha perdas de espalhamento devido a imperfeições do mesmo.
Fig. 2-8: Processo de Fabricação de um guia de ondas [22]
21
2.7
Conclusões
Neste capítulo foram apresentados os conceitos teóricos que serão utilizados ao decorrer desta dissertação com o objetivo de apresentar os fundamentos do guiamento e das simulações numéricas.
22
Capítulo 3
Guias de ondas não convencionais
3.1
Introdução
Dispositivos fotônicos utilizam o processo de confinamento da luz através da reflexão interna
total, para transmitir a informação [1][2][3]. Um dos dispositivos mais simples a utilizar esse processo,
chama-se Guia de Onda Dielétrico, ou simplesmente, Guia de Onda Planar. O mesmo é um elemento
básico empregado na fotônica integrada podendo ser classificado pelo número de dimensões envolvidas
no confinamento luminoso. Por exemplo, os dispositivos que utilizam apenas uma dimensão (1),
são chamados de Guias de Onda Planares. Os dispositivos que utilizam duas dimensões (2), tem
como exemplo o Guia de Onda de Canal e as Fibras Ópticas, são largamente empregados na construção de outros dispositivos com funções diferenciadas, tais como Acopladores Ópticos e Crossings.
Os dispositivos que fazem uso de três dimensões (3), possuem geometrias mais complexas e não
necessariamente utilizam reflexão interna total para guiar a luz, são comumente chamados de Cristais
Fotônicos sendo bastante empregados na miniaturização de circuitos fotônicos.
A depender de como o índice de refração é distribuido na estrutura do guia de onda planar, por
exemplo, existem duas classificações para os perfis comumente chamados de índice degrau e índice
gradual. Estruturas que possuem perfil de índice degrau, geralmente são muito simples, como é o
caso do guia de onda planar. Nesse perfil a estrutura é composta por materiais de índices de refração
diferentes, porém constantes. Na Figura 3-1, temos um guia de índice degrau onde o índice da região
central é 1 , o que possui maior valor e a região mais externa 2 que cobre o núcleo tem valor de
índice menor para garantir o confinamento da luz. Em estruturas que possuem mais de dois materiais
diferentes o perfil para o índice recebe o nome de assimétrico, o caso apresentado na Figura 3-1 é para
um perfil simétrico.
As estruturas que possuem variação no índice de refração ao longo do eixo x são chamadas de
índice gradual, onde o valor máximo desse encontra-se no topo da superfície da estrutura e decresce
até se igualar ao do substrato. Na Figura 3-2, apresenta-se este perfil de guia de índice gradual.
O índice efetivo do modo fundamental de uma guia pode ser obtido resolvendo a equação transcendental dada por:
µ
¶
µ
¶
1
3
−1
1
+ tan
2
(3.1)
2 = tan
2
2
¡
¢05
¡
¢05
¡
¢05
= 0 22 − 2
, 1 = 0 2 − 21
, 3 = 0 2 − 23
,
−1
onde d é largura do guia, 2
23
Fig. 3-1: Perfil do índice degrau
Fig. 3-2: Perfil do índice gradual
24
0 = 2 é o número de onda no espaço livre, é o comprimento de onda de operação, 1 ,2 e 3
são os índices de refração do Polímero, Silício e Sílica, respectivamente, os índices de refração possuem
dependência com a temperatura e os parâmetros 1 e 2 definirão qual será o modo. Para o modo
2
2
os valores de 1 e 2 são iguais a 1, para o modo 1 = 22 e 2 = 22 .
1
3
Os guias estudados nesse trabalho são assimétricos e simétricos. No mais simples deles, o substrato
é a sílica e a região central onde a luz será confinada (chamada de núcleo) é composta de silício. Estes
são os guias de ondas convencionais que baseiam-se no conceito de alto contraste de índice de refração
entre o núcleo e o material que o cobre de forma que a luz possa ser confinada, porém a grande
diferença de índices entre o núcleo e o substrato resulta em um grande espalhamento na borda devido
a imperfeições geradas na fabricação. Vários tipos de guias de ondas vêm sendo estudados afim de se
obter o melhor modelo para uso em aplicações específicas. Guias de ondas com alto contraste entre
os índices, minimizam o espalhamento nas bordas mas, para isto, devem ter um núcleo grande. Para
guias de ondas de canais, o efeito do espalhamento pode ser reduzido utilizando guias de ondas com
a área do núcleo pequena o suficiente para deslocar o modo, de forma que a intensidade do campo na
borda é diminuída.
Guias de ondas de Silício possuem alta dependência de perda por propagação devido a geometria
do mesmo, ao comprimento de onda e da polarização. Algumas dessas perdas são significantes para
uso em microfotônica. Os reticulados fotônicos periódicos têm sido investigado para guiar a onda,
mas os esforços se concentram exclusivamente em cristais fotônicos [25] com ˜(2 ), pois
estes têm um bandgap no intervalo da frequência operacional. Nessas estruturas, o guia de onda é
criado inserindo um defeito na linha do reticulado periódico que, consequentemente, cria um defeito
localizado dentro do bandgap fotônico do reticulado. Tais estruturas têm perdas de propagação no
intervalo de 8 dB/cm até 4.1dB/cm[26], mas exibem grande dependência do comprimento de onda e da
polarização. Em resumo, a aplicação das mesmas é dificultada por causa das perdas por espalhamento
e imperfeições nas bordas dos guia[26].
Afim de se reduzir as dificuldades encontradas nos guias convencionais surgiram os guias de ondas segmentados, ou guias de ondas SWG (subwavelenght waveguides grating), que lançam um novo
princípio baseado na formação de subcomprimento de onda no núcleo do guia. Diferentemente dos
guias de ondas baseados em defeitos de linha, a luz é confinada no núcleo (revestido de um material
de baixo índice) de um guia SWG, como nas estruturas convencionais de guias de ondas. O núcleo
de tal estrutura é composto de um meio formado por entrelaçamentos de segmentos de silício com um
material de baixo índice de refração. Esse, possui índice de refração mais elevado do que o substrato, e
assim, ao ser injetada luz neste núcleo, devido ao fenômeno de reflexão total interna, esta se propaga.
Conforme foi proposto em [11], existem guias que operam similarmente, mas a forma do guia de onda
SWG tem vantagens quando comparada a estes outros de guias de ondas.
A única estrutura que suporta um modo sem perdas modificando o período, comprimento ou
duty cycle do segmento, é o guia de ondas segmentado. Esta técnica permite ajustar o índice efetivo
equivalente, o perfil do modo e a dispersão para o que se desejar em cada aplicação.
Outra estrutura que também é objeto de estudo e que vem sendo amplamente utilizada é o guia de
ondas com nanofios. Estes guias consistem de arranjos de nanofios de silício dipostos em proximidade.
O diferencial de tal elemento é que o mesmo permite o confinamento óptico para estruturas com
diâmetros menores que 100.
25
3.2
Guias de ondas segmentados, ou Guias de ondas SWG
As principais características dos guias de ondas SWG são não apresentar comportamento óptico ressonante, possuir um índice de grupo quase constante perto da banda C de telecomunicações, e ter uma
das mais baixas perdas de propagação entre os guias de ondas microfotônicos. Embora estes tipo de
guias apresentem rugosidade nas paredes verticais, devido ao seu processo de fabricação semelhante
aos guias de onda convencionais, estas não contribuem para as perdas devido ao deslocamento do modo
[11]. Vale salientar também que nesses dispositivos a perda por comprimento de onda e dependência
da polarização são muito pequenas.
Como dito anteriormente, esse tipo de guia é composto de regiões alternadas, com índices de
refração diferentes e a região com o índice de refração inferior é composta pelo mesmo material do
substrato. Eles têm sido propostos numericamente e experimentalmente, sendo geralmente propostos
com um periodo dos segmentos menor que a metade do comprimento de onda efetivo do modo do guia
de onda = 2 , onde é o comprimento de onda no vácuo, e é o indice efetivo.
Trabalhos anteriores [27] têm demonstrado que guias de ondas periódicos podem também ser
aproximaados por uma guia de onda contínuo, e o contraste do índice de refração é dado por:
∇´= ∇
(3.2)
onde é o ciclo de trabalho dado por = Λ , é a largura do segmento, Λ é o período de segmentação, e
∇ e ∇0 são os contrastes dos índices de refracão do guia de ondas e do guia de ondas contínuo,
respectivamente. Esse modelo pode ser utilizado para facilitar a concepção de dispositivos baseados
em guias de ondas segmentados, embora não possa ser usado para obter informação sobre as perdas
por irradiação nem o comportamento do campo óptico ao longo da direção de propagação, visto que
essa informação é perdida durante o processo de simplificação da geometria.
A relação de dispersão, o perfil de modo, e o índice efetivo de um pode ser projetado através
de modificações na largura e periodicidade do segmento ou no ciclo da grade. Nessa etapa do trabalho,
foi estudada a dependência das características de propagação sobre o ciclo de trabalho do , para
os modos e . Além disso, a precisão do modelo do guia contínuo equivalente também foi
testada. Para a análise computacional, uma abordagem de elementos finitos no domínio da frequência
que leva em conta a periodicidade do problema também foi utilizada [28].
3.2.1
Principio do guia de onda segmentado
Para criar um meio artificial que pode ser ajustado na escala microscópica e conseguir o comportamento
desejado macroscopicamente, os guias de ondas segmentandos são utilizados. Para o (Si
), um guia de onda segmentado pode ser criado pela combinação do cristal de silicio
com silica ou outro material de baixo indice de refração, como o polímero − 8. Estas estruturas
periódicas frustram a difração e se comporta como um meio homogêneo (metamaterial) desde que a
periodicidade não satisfaça a condição de Bragg para acoplamento de outro modo radiativo.
Em um guia de onda segmentado com o núcleo consistindo de arranjos periódicos de silício e silica,
a luz excita o modo de bloqueio, e assim a luz se propaga através do guia de onda segmentado, teoricamente sem perdas causadas por difração nos modos radiativos e do substrato. Um guia segmentado
26
Fig. 3-3: Guia de onda Segmentado
é mostrado na Fig.3-3 (e o seu equivalente com o índice de refração do núcleo ajustado para ter um
índice de refração equivalente).
Em um guia de onda segmentado, o período e tamanho dos segmentos, assim como o ciclo de
trabalho, são escolhidos para permitir a formação de ondas estacionárias devido ao espalhamento de
Bragg e a abertura do bandgap perto do comprimento de onda igual a 1550. De acodo com este
critério e usando elementos finitos, os seguintes parâmetros estruturais sao escolhidos para o estudo:
largura do guia de onda w = 300 ao longo da direcção y, período de segmentação Λ= 300 , e
o comprimento é o nosso segmento que varia entre 30 e 270nm. Note que o período de segmentação
é menor que metade do comprimento de onda efetivo.
Para estes parâmetros, o deslocamento do modo do núcleo permite um intensidade de campo
reduzida na borda do guia fazendo assim reduzir perdas de espalhamento por causa das imperfeições
da parede. O deslocamento do modo é também evidente quando se compara o aumento de tamanho
do modo efetivo, por exemplo, a um guia de onda convencional com o mesmo comprimento.
3.3
Nanofios
Outro tipo de guia que foi estudado nesta etapa do trabalho foi um guia consistindo de conjunto de
nanofios de silício próximos um do outro como apresentado na figura 3-4. Estas estruturas podem
guiar um modo óptico quando têm o campo elétrico polarizado perpendicular ao comprimento dos
nanofios. O guiamento pode acontecer mesmo se os nanofios são organizados aleatoriamente com uma
alta perda por espalhamento [12].
Na direção lateral, se os nanofios são colocado bem juntos, o modo óptico irá ver uma média do
índice de refração, que é maior do que o índice ao seu redor, e assim, pelo contraste dos índices a luz é
guiada. Esta estrutura pode ser comparada a estrutura PBG (photonic band gap), porém não existe
bandgap como no PBG, e o os pontos de espalhamento no guia de onda de nanofios são bem menores
do que os usados no PBG.
27
Fig. 3-4: Guia de onda com Nanofios
Para obter uma estrutura efetiva com baixas perdas por radiação, um único nano fio não deve
difratar a luz. Isto pode ser observado se a frente de fase de uma onda óptica passada entre eles não
é distorcida. Entao é necessário observar como uma onda óptica interage com um único nano fio, se
a condição é atingida e a fase não é modificada pelo SiNW.
Um estudo foi feito por [12] para entender como o SiNW altera a frente de fase e a amplitude
de uma onda incidente ao longo do plano perpendicular-transversal do SiNW. Este tipo de interação
pode ser tratada como um problema de dispersão por causa do pequeno diâmetro do nanofio em
comparação com o comprimento de onda utilizado para a análise que é de 1550. Tal problema
pode ser resolvido pelo método de separação de variáveis e a solução é dependente da polarização do
campo elétrico de entrada.
Com o comprimento de onda da luz incidente de 1550 (de acordo com o regime de telecomunicações), para os nanofios maiores, uma parte do campo elétrico é dispersa e outra parte é acoplado
ao nanofio. Esta parte acoplada se transmite através do SiNW e novamente no limite do SiNW e o
ar dispersa a transmissão. A parte associada tem um efeito de interferência multimodo para dar uma
distribuição espacial interferométrica. Se o diâmetro nanofio for muito grande, outros modos podem
ser observados[12].
Como a fase é alterada fora dos nanofios, se os diâmetros maiores são colocados juntos, uma
interferência construtiva ou destrutiva pode acontecer. No entanto, o quadro muda curiosamente
quando o diâmetro dos nanofios é bem pequeno. Isto é observado tanto para amplitude como para
fase. A mudança do campo elétrico dentro e ao redor de SiNW é pequena. Além disso, a fase de frente
não é modificada pelo nanofio. De fato, para diâmetro menores, há distorções desprezíveis na fase do
campo elétrico.
Com relação ao índice efetivo para a região dos nanofios, por [12] podemos assumir que o campo
elétrico é constante em uma célula unitária composta de nanofios com um meio ao redor.
=
s
2Si ∗ Si + 2 ∗
Si +
Aonde nSi e n é o índice refrativo do silício e do material que cobre os nanofios respecti28
Fig. 3-5: Amplitude para guia segmentado com nanofios, e contínuo com índice efetivo equivalente.
vamente, e é o índice de refração calculado pelo método de média dos índices. Simulações foram
feitas para comparar os guias equivalente com os guias com nanofios, e podemos concluir a partir do
gráfico 3-5 que a aproximação é considerada eficiente.
3.4
Formulação
Afim de estudar o comportamento dos guias de ondas não convencionais, usamos um guia segmentado
para formular o modo e . Foi considerado o comprimento de onda bem maior que os segmentos,
isto implica que não existe variação ao longo do eixo , e consequentemente o nosso problema 3D tornase um problema 2D. Com auxílio do software GID [29] foi analisada a célula unitária da Figura 3-6
impondo as condições de contorno apropriadas, e usando o método de elementos finitos no domínio
da freqüência 2D [30], [4], e[31]. O domínio computacional de dados discretos pode ser visto na figura
3-6 .
A análise FEM da célula unitária pode ser tratada separadamente para os modos TM e modos
TE. Em ambos os casos, começa-se da equação de onda de segunda ordem dada por
−
Φ
Φ
(
)−
(
) = ( )2 Φ
(3.3)
onde, = 1, = 1 e Φ = para modos TE e = 1, = e Φ = para os modos de TM.
Aqui, é o índice de refração. Como vimos, considerando a propagação de ondas ao longo do eixo ,
os campos e podem ser escritos como
= − −
(3.4)
= − −
(3.5)
onde, e e h são envelopes dos campos espaciais e k é a constante de propagação na direção x.
Substituindo (3.4) e (3.5) em (3.3), aplicando o método de Galerkin convencional [30] e discretização
29
Fig. 3-6: Célula Unitária do Guia de Onda Segmentado
do domínio computacional utilizando elementos triangulares isoparamétricos 6-nó segunda ordem [30]
obtemos um problema de autovalor dado por
[]{} = ( )2 []{}
onde o vetor {} é o campo Ez ou Hz. Para os modos TE, as matrizes [A] e [B] são dadas por
⎡
ZZ
ZZ
1 {} {}
2
1 {} { }
2
ZZ
1 { } {}
2
+
+
+
⎢
⎢
⎢ ZZ
ZZ
³
´
³
´
X⎢
⎢
{}
{}
{ }
1
1
− { } {}
⎢
{
}
−
{
}
{
}
+
2
2
[] =
⎢
⎢
⎢
ZZ
⎢
¡
¢
1
⎣
2 + 2 { }{ }
+
2
⎡
⎤
X ZZ
⎣
[] =
{ }{ } ⎦
Para modos TM, as matrizes [A] e [B] são dadas por
⎡
X⎢
⎢
⎢
[] =
ZZ
⎢
⎣ 2
ZZ
{} { }
+
ZZ
{} {}
+
⎤
⎥
⎥
⎥
ZZ
ZZ
⎥
{}
{}
⎦
2
{
}
+
2
{
}
+
{
}{
}
30
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎤
X ZZ
⎣
[] =
2 { }{ } ⎦
[A] e [B] são matrizes esparsas simétricas. A matriz [B] é real positiva definida, {} é o campo
H ou e e ( ) é o autovalor. Finalmente, são impostas as condições de contorno periódicas, para os
arranjos quadrados e para os arranjos triangulares. Com estas condições, apenas deve-se discretizar
uma célula unitária. Este sistema de autovalores é resolvido através de um processo iterativo com o
auxilio do programa Matlab (função eigs), que se aproveita da esparsidade das matrizes.
A qualidade da malha é medida através do fator de qualidade que é definido na equação (3.6).
A qualidade típica das malhas utilizadas nas simulações é:
√
4 3
= 2
1 + 22 + 32
(3.6)
Em que é a área do triângulo,2 é o comprimento de cada lado do triângulo. Para triângulos
eqüiláteros tem-se = 1 00.
Por último, deve-se observar uma propriedade importante das equações de Maxwell em geral,
e em particular das equações (2.17) e (2.21): elas são independentes da escala. Se todas as dimensões
do sistema são multiplicadas por 10, a solução é exatamente a mesma, com a exceção das freqüências,
que ficam divididas por 10. Isto significa que podemos resolver as equações de Maxwell apenas uma
vez e aplicar os mesmos resultados a problemas em todas as escalas das dimensões e da freqüência.
Devido à invariância da escala, é conveniente utilizar unidades adimensionais para distância e tempo.
Assume-se alguma escala de comprimento natural do sistema, usualmente a periodicidade de , e
se expressa todas as distâncias como múltiplos de e todas as freqüência angulares como múltiplos
de2. Isto equivale a escrever as freqüências como , onde é o comprimento de onda no vácuo.
Devido à periodicidade do guia de onda nós só precisamos discretizar uma única célula unitária
e as condições de contorno periódicas são aplicadas fazendo os campos iguais nos lados esquerdo e
direito da célula unitária. Os valores de k são restritos à primeira região de Brillouin na direcção x,Γ
(0,0) / a - X (1,0) / a.
Aplica-se a equação (3.2) para se obter um guia de onda contínuo equivalente ao guia de ondas
SWG para diferentes ciclos de funcionamento, e, em seguida, foi utilizado o método FEM descrito no
equivalente (como pode ser considerado como um SWG com ciclo de trabalho 100%). De acordo com
a equação (3.2), os diferentes ciclos de funcionamento resultam em índices de refração diferentes do
núcleo do guia de ondas contínuo, enquanto o substrato permanece a mesma no equivalente.
Quando existia a compatibilidade entre a relação de dispersão dos guias SWG e contínuos, os seus
perfis de modo foram calculados e comparadas por superposição, por meio da relação:
¯
¯R
¯ 1 2 ¯2
ç̃ = R
R
|1 |2 |2 |2
(3.7)
onde 1 representa a amplitude do campo elétrico do modo para o guia de onda SWG, e 2
representa a amplitude do campo elétrico para o modelo equivalente. A está relacionado com a célula
unitária definida ao longo da região x ×y = 0,3 m×2 m.
31
Fig. 3-7: Malha típica do guia de onda segmentado
3.5
3.5.1
Resultados
Guias de ondas segmentados
Para os resultados experimentais, simulações utilizando o método de elementos finitos foi realizada com
um guia de ondas composto de vários segmentos [5]. O núcleo de silício tem índice de refração Si =
3 476, e o substrato (sílica) tem um índice de refração Si 2 = 1 444 As simulações foram feitas para
um intervalo de comprimento de onda ao redor do comprimento de onda operacional de = 1 55.
A célula unitária tem largura = 300 ao longo da direção , pitch Λ = 300, e o comprimento
é o nosso segmento variável. As simulações foram feitas considerando um domínio computacional
x ×y = 0,3 m×2 m,.resultando em uma malha de cerca de 6000 nós e 3000 elementos apresentada
na Figura 3-7. O aumento do número de nós não afeta a convergência dos nossos resultados.
Foram calculadas e as relações de dispersão para os modos como pode ser visto na Figura 3-9 e
na Figura 3-8 para vários valores de comprimento de segmento como podemos ver na Figura 3-10,
e em seguida, foram comparadas as relações de dispersão de modos com aqueles obtidos pelo guia
de ondas equivalente apresentados na Figura 3-10. Pode-se observar uma boa concordância em uma
largura de banda muito grande com relação a dispersão das curvas correspondentes para os guias de
ondas equivalentes e segmentados, porém pode-se observar também que para altas frequências, como
comprimento de onda fica muito pequeno, este é comparável às dimensões dos segmentos e assim não
é possível fazer a aproximação.
Foi calculada também a distribuição espacial do campo elétrico dos guias de onda SWG e do seu
guia de ondas contínuo equivalente também no comprimento de onda operacional = 1 55 na
32
Fig. 3-8: Curvas de dispersão para o modo TM [5]
33
Fig. 3-9: Curvas de dispersão para o modo TE [5]
34
Fig. 3-10: Curvas de dispersão para o guia equivalente contínuo e para o segmentado para guias com
segmentos l= (a) 30 nm, (b) 60 nm, (c) 90 nm, (d) 120 nm, (e) 150 nm,(f) 180 nm, (g) 210 nm, (h)
240 nm e (i) 270 nm. [5]
35
Figura 3-11. Pode-se observar uma boa aproximação entre a distribuição espacial do campo elétrico
para guias de onda segmentados e para o seu guia de onda equivalente contínuo. A integral superposição destes campos foram calculadas e são mostradas na Figura 3-12, onde os valores perto de uma
unidade podem ser observado para comprimentos de segmento no intervalo de 30 — 240, o que
significa que são bem semelhantes.
3.5.2
Nanofios
Para os guias de ondas com nanofios foi simulada a propagação para guias com raios diferentes
dos nanofios, entre 40 60, usando o método de elementos finitos. Foi mostrado também
que a região dos nanofios pode ser aproximada por um índice de refração equivalente obtido pelo
mesmo método simplificado usado para os guias de ondas segmentados e apresentado nos fundamentos
teóricos. A aproximação permite desenhar e otimizar as estruturas ópticas usando a metodologia de
óptica integrada resultando em economias significantes em tempo e recursos.
A vantagem do guia de onda formado por conjunto de nanofios proposto é que ele permite um
aumento do confinamento óptico. A análise apresentada nesta seção é feita nos guias de ondas de
silício para o comprimento de onda de 1200 até 1800, mas pode ser estendida para vários
comprimentos de onda.
Um critério importante dos nanofios para aplicações em dispositivos optoeletrônicos é a orientação
da luz através destes. Foi demonstrado que os nanofios semicondutores podem funcionar com lasers
em nanoescala [12], onde o contraste de índice de refração nos nanofios em relação ao resto do guia é
alto e assim fornece uma cavidade óptica de laser. No entanto o aumento de propriedades metalicas
no só são observados para diâmetros menores, por isto neste trabalho foram usados raios de
nanofios entre 40 e 100.
Tem existido um trabalho para aumentar o confinamento da luz em dispositivos fabricados em
nanoescala, e os guias de onda plasmônicos compostos de nanopartículas de metal têm sido considerados como guias de onda ópticos. Em princípio, as nanopartículas de metal podem ser anexadas
à superfície dos nanofios para aumentar o fator de confinamento, no entanto, alguns guias de ondas
ópticos sofrem de perda óptica. Por exemplo, as perdas de transmissão através de nanopartículas
devido ao aquecimento resistivo é de cerca de 6 , e este guia ainda continua a ter problemas
de alinhamento. Além disso, as interações ópticas têm sido observadas quando o campo elétrico é
polarizado ao longo do comprimento dos nanofios. Isto sugere que um guia de onda com único nanofio
não será capaz de tirar proveito dos efeitos pois o componente do campo elétrico precisa ser transversal
à direção de propagação, e no guia de onda com único nanofio este é ao longo do comprimento do
nanofio.
Neste trabalho, foram estudados e simulados guias de onda ópticos consistindo de conjuntos compactos de SiNWs em um substrato de silício Silicon-on-Insulator (SOI). Foi feita a simulação de guias
de ondas com índice de refração fixado, sendo o os nanofios de silício com índice de refração 3 476 e
o restante do guia composto de sílica (Si ), com índice de refração de 1 444. As variáveis que serão
manipuladas são o raio do nanofio (), e a distância centro a centro destes(Λ). Foi possível verificar que
os espectros de onda através do guia possuem o mesmo comportamento, mesmo com essas alterações.
A faixa de comprimento de onda utilizada foi de 1 2, à 1 8 e os raios e distância centro a centro
36
Fig. 3-11: Comparação do campo elétrico para o guia equivalente contínuo (esquerda) e o segmentado
(direita) para guias com segmentos l= (a) 30 nm, (b) 60 nm, (c) 90 nm, (d) 120 nm, (e) 150 nm,(f)
180 nm, (g) 210 nm, (h) 240 nm e (i) 270 nm. [5]
37
Fig. 3-12: Integral de Superposição
utilizadas foram : r=40nm e Λ =120nm e r=60nm e Λ =180nm, todos com =1500 nm que têm a sua
distruibuição espacial do campo e a célula unitária na Figura 3-13 e na Figura 3-14 respectivamente.
As curvas de dispersão representadas na Figura. 3-15 para r=40 e Λ =120 , e r=60 e
Λ =180 respectivamente
38
Fig. 3-13: Célula Unitária e distribuição do campo para r=40 nm e Λ =120 nm
Fig. 3-14: Célula Unitária e distribuição do campo para r=60nm e Λ =180nm
39
Fig. 3-15: Curva de Dispersão para r=40 nm e Λ =120 nm e para r=60 nm e Λ =180 nm
40
3.6
Conclusão
Estudando e analisando numericamente os guias de ondas segmentados e com nanofios, podemos
ver que estes têm a vantagem de trabalhar com subcomprimento de onda, o que permite o deslocamento
do modo, e evita perdas por dispersão devido a imperfeições geradas na fabricação. Podemos ver
também que é possível projetar um guia de onda contínuo com índice de refração equivalente ao do
guia de onda segmentado, e obter o mesmo comportamento óptico, o que facilita o estudo dos mesmos
minimizando esforços computacionais e tempo de simulação.
41
Capítulo 4
Acopladores
4.1
Introdução
Os acopladores ópticos podem ser considerados como dispositivos com mais de uma porta que permitem combinar ou separar sinais luminosos [1]. As duas funções básicas comumente atribuídas aos
acopladores são:
• Separar ou dividir um sinal luminoso, normalmente chamado de divisor ou separador;
• Combinar ou misturar sinais luminosos, conhecido como misturador.
Os acopladores ópticos têm várias funções em um sistema óptico, entre estas, as principais são
quando este tem a função de acoplamento direcional, acoplamento distributivo, multiplexação e demultiplexação, misturando e dividindo os sinais luminosos. Em redes de distribuição óptica o acoplador é
um equipamento muito utilizado, podemos dizer básico, pois estes elementos possibilitam o surgimento
de sistemas bidirecionais (sinais em um único guia com sentidos opostos, presentes simultaneamente),
e a distribuição da informação para vários terminais do sistema óptico. Normalmente eles são construídos de forma simétrica tal que as perdas características possuem valores que independem da porta
tomada como entrada.
A função que iremos abordar no estudo deste capítulo é acoplamento direcional, este é composto
de dois guias paralelos, e um feixe de luz é inserido em um dos guias. Este consegue transferir
toda a potência para o outro guia de onda depois do feixe ter percorrido uma determinada distância,
chamada de distância de acoplamento. Para esta etapa do estudo foram simulados acopladores ópticos
formados por dois guias de ondas segmentados e com nanofios, seus equivalentes (com índice efetivo do
núcleo equivalente), e foi estudado e pesquisado teoricamente um acoplador com três guias de ondas,
observando suas vantagens e desvantagens com relação ao comum, com apenas dois guias de ondas.
4.2
Teoria do Modo normal e Modo acoplado
Duas teorias têm sido empregadas nos estudos dos acopladores: a teoria do modo normal e a teoria
do modo acoplado [2][3]. A teoria do modo normal considera o acoplador como um guia de onda
bimodal que suporta dois modos normais: o modo par com uma distribuição de campo simétrica como
mostra a Figura 4-1.a, e o modo ímpar com sua distribuição de campo assimétrica como mostra a
Figura 4-1.b. Ou seja, o acoplador é considerado um dispositivo de um único elemento que suporta
42
Fig. 4-1: a) Modo simétrico (par) e b) assimétrico (ímpar)
dois modos (conhecidos como supermodos). A transferência de potência óptica entre os dois núcleos
é então descrita através da diferença de fase relativa entre os dois supermodos adquirida durante a
propagação.
A teoria do modo acoplado considera o acoplador como um dispositivo de elemento duplo,
com cada um de seus elementos suportando um modo. Os dois elementos são os dois guias monomodo
e o modo que suporta cada um desles é a distribuição de campo propagante efetivo, em contraste com
os supermodos, cuja combinação linear representa a distribuição do campo efetivo e não os próprios
supermodos. A transferência de potência óptica entre os dois núcleos é explicada como acoplamento
de campo evanescente entre os modos dos núcleos individuais do acoplador.
Supondo um acoplador como na Figura 4-2, no qual tem-se dois guias de ondas iguais. Os índices
de refração do núcleo e da casca pode ser definido como n e n veja Figura 4-3. O guia de onda
tem um comprimendo d e a separação entre eles é s. Os dois guias de ondas são idênticos e suportam
apenas o modo fundamental, então o modo par e o o modo ímpar pode ser representado pela Figura
4-2.
Os modos, par e ímpar, são definidos pela Equação (4.1)
43
Fig. 4-2: Acoplador de guias de ondas idênticos
Fig. 4-3: Índice de refração do núcleo (n) e da casca (c)
1
√ [1 + 2 ]
2
1
√ [1 − 2 ]
2
Ψ =
Ψ =
(4.1)
onde o campo () é campo do enésimo guia de onda e é normalizado por
Z
2 = 1
(4.2)
Então os campos dos modos normalizados são
Z
Ψ2
=
Z
Ψ20 = 1
(4.3)
Na teoria dos supermodos, a operação do acoplador é completamente caracterizada pelos modos
normais da estrutura e pelas condições de excitação. Um acoplador direcional constituido por guias
monomodo iguais é uma estrutura com dois modos guiados.
Numa primeira aproximação, o campo de entrada concentrado no guia 1 pode ser expresso como a
soma (ou a diferença) dos modos guiados pela estrutura composta (modos compostos ou supermodos),
desprezando os modos de radiação. Contudo a sobreposição dos dois modos próprios guiados da
estrutura não representa, de forma exata, o campo de entrada usado para excitar um dos guias. Para
se representar rigorosamente o campo de entrada é necessário incluir os modos de radiação. Quando
um dos guias é excitado, parte da energia de excitação é radiada.
A fase relativa dos modos da estrutura (que têm constantes de propagação e ) altera-se
ao longo da propagação no acoplador direcional [32]. Assumindo que os campos associados a ele estão
em fase em = 0 , após uma distância de propagação dada por
44
= =
−
(4.4)
os campos estão em oposição de fase. Se, em = 0 o campo no acoplador é a soma (diferença)
dos modos compostos, em (4.4) é a diferença (soma). A potência que inicialmente estava concentrada
na região do guia 1 transfere-se para a região do guia 2, após propagação na distância , chamada
comprimento de acoplamento (ou comprimento de transferência máxima de potência). O campo
numa seção transversal do acoplador, z = L , é o resultado da interferência dos modos compostos.
Se o acoplador é formado por guias planares de índice em degrau, dispostos em multicamadas,
podemos obter a solução exata do problema modal usando o método da matriz de transferência [33].
Contudo, a maioria dos acopladores com interesse prático recorre a guias planares de perfil de índice
gradual, e as respectivas soluções analíticas exatas ou aproximadas ou não existem, ou são difíceis
de encontrar, então nos casos mais complicados, os próprios modos da estrutura são determinados,
aproximadamente, em termos dos modos próprios dos guias individuais. A sua solução por métodos
numéricos aproximados geralmente não é satisfatória, pois a quantidade de interesse, − é a
diferença de dois números quase iguais, o que pode torná-la bastante imprecisa. Contudo, conhecidos
os modos dos dois guias isolados e a geometria do acoplador, é possível calcular − , muitas
vezes com melhor precisão, aplicando a teoria do modo acoplado de um acoplador direcional.
Supondo que um campo incidente E1 no guia de onda 1 é igualmente dividido em dois modos
normais e transferido para 2 após viajar , 1 é representado como
1 = Ψ + Ψ
(4.5)
onde e são os coeficientes relacionados ao acoplamento em cada modo normal.
Desde que o guia de onda 1 e o guia de onda 2 são iguais, 2 pode ser representado considerando
a simetria e a anti simetria de Ψ e Ψ
2 = Ψ − Ψ
(4.6)
Mas, na realidade 1 não é dividido igualmente em dois modos normais, e sim em dois modos
sutilmente diferentes devido a superposição dos dois campos locais. O que torna o campo 2 um
pouco diferente. Da equação (4.2) , nós temos
Z
2 = 2 + 2 = 1
(4.7)
Definindo a superposição dos campos 1 e 2 como , temos:
=
Z
1 2 = 2 − 2
das equações e 4.8) , nós temos:
(2 =
2 =
1
(1 + )
2
1
(1 − )
2
45
(4.8)
O campo óptico incidente no guia de onda 1 se torna depois de viajar
= exp(− )Ψ + exp(− )Ψ
(4.9)
É esperado que o campo incidente tenha a forma de E2 em L=L , mas como ainda tem um pouco
de potencia no guia de onda 1, o valor final se torna um indicador da performance do acoplador, que
é definido como Crosstalk.
¯
¯R
¯ 1 ¯2 ¯
¯2
= ¯R
¯2 = ¯2 exp(− )Ψ + 2 exp(− )Ψ ¯
¯ 2 ¯
1
(4.10)
fazendo = , o crosstalk se torna
4.2.1
¯2
1 ¯¯
(1 + 2 ) exp(− ) + (1 − ) exp(− )¯
4
¯2
1 ¯¯
(1 + ) exp(−( − ) ) + (1 − )¯
=
4
= 2
=
(4.11)
Redes de Bragg
As redes de Bragg são estruturas periódicas formadas pela exposição do núcleo do guia de onda a um
padrão de interferência óptico intenso, e apresentam como característica principal a reflexão de parte
da potência óptica propagando-se pela núcleo do guia. Essa reflexão é baseada na difração do feixe
luminoso pela estrutura de modulação do índice de refração, acoplando uma parte do espectro em
um modo de núcleo contra-propagante. O acoplamento mais forte ocorre no comprimento de onda de
Bragg ( ) dado por:
= 2 Λ
(4.12)
onde é o índice de refração efetivo do modo de propagação da luz e Λ é o período espacial da
modulação do índice de refração [34]. Se a condição de Bragg não for satisfeita, a luz refletida em cada
plano subseqüente se torna progressivamente fora de fase e pode eventualmente cancelar-se. Quando
a condição de Bragg é satisfeita, as contribuições da luz refletida em cada plano da rede contribuem
construtivamente na direção contra-propagante formando um pico de reflexão com o comprimento de
onda definido pelos parâmetros da rede. Qualquer mudança nas propriedades dos guias, tais como
tensão longitudinal ou temperatura, que varie o índice de refração ou o período da rede, mudará o
comprimento de onda de Bragg e, portanto o comprimento de onda refletido.
A condição de Bragg requer que sejam satisfeitas tanto a lei da conservação de energia quanto
a lei da conservação de momento. A conservação de energia (h =h ) requer que a freqüência da
radiação incidente e da radiação refletida sejam as mesmas. A conservação de momento requer que o
−
→
→
−
→
−
vetor da onda incidente, k , mais o vetor da rede, K , sejam iguais ao vetor da radiação difratada, k .
− −
→
→
→ −
k + K = k
(4.13)
→
−
onde o vetor de onda da rede, K , tem a direção normal aos planos da rede e tem magnitude 2Λ
( Λ é o período da rede mostrado na Figura 4-4 ).
46
Fig. 4-4: Período de Bragg em um guia de onda segmentado
O vetor de onda difratado é igual em magnitude e direção ao vetor de onda incidente, porém com
sentido contrário. Logo, a condição de conservação de momento torna-se:
2
2
2
=
Λ
(4.14)
A Equação (4.14) pode ser simplificada para a condição de primeira ordem de Bragg, dada pela
Equação (4.12).
4.3
Acoplador Baseado em guias de ondas não convencionais
Como dito anteriormente, acopladores direcionais são úteis para diversas aplicações diferentes nos
circuitos fotônicos, eles são compostos de dois guias de ondas paralelos onde a enegia eletromagnética se
transfere de um guia para o outro depois de percorrer uma distancia chamada distância de acoplamento
[1]. A geometrias dos guias de ondas podem ser diferentes, por exemplo canais de guias de ondas, fibras
óticas, guia de onda de cristal fotônico, etc. Outros dois modelos de guias que formam os acopladores
direcionais, são os guias de ondas segmentados e os guias de ondas formados por nanofios. Esses
têm sido considerado neste estudo para criar um acoplador direcional, e suas propriedades têm sido
analisadas pelo método de elementos finitos no domínio da frequência. A vantagem de usar esses dois
tipos de guias de ondas sãos as baixas perdas devido ao deslocamento do campo eletromagnético para
dentro do substrato e sua habilidade para manipular o índice de refração efetivo mudando apenas
o tamanho da geometrias dos segmentos que formam os guias de ondas. O mecanismo para guiar
ondas em ambos tipos é a reflexão total interna, e por causa do sub comprimento de onda ao longo
da propagação de direção, não existe difração de Bragg.
A análise das características de acoplamento foi feita pelo método de elementos finitos em 2D com
47
Fig. 4-5: Células unitárias de acoplador segmentado (esquerda) e com nanofios (direita) [8]
condições de contorno periódicas na direção de propagação. A abordagem 2D é adotada aqui para
reduzir o esforço computacional e estes recursos podem dar um boa aproximação do comportamento
do dispositivo. De acordo com essas configurações, as celulas unitárias para o acoplador com guias de
ondas segmentado e para o acoplador com nanofios podem ser vistas respectivamente na Figura 4-5
4.3.1
Acoplador Baseado em SWG
Como vimos nos capítulos anteriores, guias de onda periódico segmentados (SWG) têm sido propostos
[5] e fabricado em silício [11]. Nessa estapa do trabalho propomos analisar numericamente um novo
tipo de acoplador direcional, com base em SWG [7], [8]. Os acopladores direcionais consistem de um
conjunto periódico de guias segmentados em grande proximidade; ver Figura 4-6. Os seus principais
parâmetros são o comprimento dos segmentos , a periodicidade na direção de propagação e a largura
do guia de onda na direção , denotado por Λ e , respectivamente. Os elementos finitos no domínio
da frequência 2D, descritos em [28] e [35] , foram aplicados para a análise das características de
acoplamento destes acopladores direcionais formados por guias de ondas segmentados, e também para
os guias formados com guias de ondas contínuos com o índice efetivo equivalente ao dos segmentados
representado na Figura 4-7.
Devido à natureza das distâncias entre os segmentos do guia de onda segmentado, nem PBG nem
condição de Bragg estão presentes [11] [25]. O mecanismo de propagação sobre os guias de onda são
as reflexões internas totais porque a região do guia de ondas pode ser considerada como um meio
com maior índice de refração [11] .Na Figura 4-8, a geometria 2D da célula unitária é mostrada em
conjunto com quatro configurações possíveis chamadas de Tipo A até tipo D. Foi considerado no
48
Fig. 4-6: Acoplador formado por guias de ondas segmentados
Fig. 4-7: Acoplador com guia de onda contínuo (índice de refração equivalente)
49
Fig. 4-8: Defasagens espaciais dos guias formando diferentes acopladores
estudo do acoplador que a altura dos segmentos são maiores que o comprimento de onda de operação,
assim não existe variação ao longo do eixo , consequentemente o problema que antes era em três
dimensões (3), agora simplifica-se em um problema em apenas duas dimensões (2).
Considerando-se a geometria completa composta pelos dois guias de onda segmentados, a teoria dos
supermodos foi adotada para a análise das características de acoplamento dos acopladores direcionais
propostos. Consequentemente, a distância de acoplamento para guias contínuos pode ser obtida por
[36] [37],
=
=
=
=
2
( ́ − )
0 ( − )
2( − )
(4.15)
onde, é o comprimento de acoplamento, é o comprimento de batimento, e ́ são
as constantes de propagação dos supermodos pares e ímpares, respectivamente, obtidas pela resolução
do problema de autovalores por meio da método elemento finito no domínio da frequência , 0 é o
número de onda espaço livre, e são os índices de refração efetivos dos supermodos
pares e ímpares, respectivamente, e é o comprimento de onda no espaço livre.
50
Fig. 4-9: Acoplador formado por guias de ondas de nanofios
4.3.2
Acoplador Baseado em Nanofios
Os acopladores de nanofios de silício são formados por guias de ondas de nanofios [10] [8] veja Figura
4-9 [12], e consistem de dois guias paralelos formados por conjuntos periódicos de nanofios de silício
bem próximos um ao outro. Nesta etapa do trabalho, o método de elementos finitos no domínio
da frequência 2D com elementos isoparamétricos de segunda ordem, descritos em [38] foi aplicado
para análise das características de propagação de dois guias de onda com nanofios de silício (SiNW)
formando um acoplador, e também para cálculo do comprimento de acoplamento destes acopladores
direcionais (DCs) baseados em . A geometria do acoplador direcional é mostrada na Figura
4-9. Essa é composta de dois guias de ondas com nanofios próximos um do outro. Seus principais
parametros são o raio do nanofio , a distância centro a centro entre os nanofios , a distância entre os
guias de nanofios , e a largura do guia Λ . Por causa da natureza de sub comprimento de onda das
distâncias entre os nanofios, nem a condição de PBG nem a condição de Bragg estão presente [12] [11]
[25]. O mecanismo de propagação é dado por reflexões totais internas pelo simples motivo do índice
de refração ser maior na região do nanofio de silício [12] [25].
Considerando-se a geometria completa, composta pelos dois guias de onda segmentados, a formulação supermodo foi adotada para a análise das características de acoplamento dos acopladores
direcionais propostos Por conseguinte, o comprimento de acoplamento pode ser obtido por (4.15).
51
Fig. 4-10: Acoplador formado por três guias de ondas idênticos
4.4
Aplicações
Como citado anteriormente, os acopladores podem ser usados para compor diversos dispositivos
fotônicos básicos. Outra aplicação que vem sendo bastante citada e estudada na literatura é um
acoplador formado por três guias de ondas como ilustrado na Figura 4-10. Assumindo que cada guia
de onda é igual e suporta somente o modo fundamental, nós podemos expressar os três modos normais
como:
Ψ =
Ψ =
Ψ =
1 1
√ [ √ 1 + 2 +
2 2
1
√ [1 − 3 ]
2
1 1
√ [ √ 1 − 2 +
2 2
1
√ 3 ]
2
(4.16)
1
√ 3 ]
2
Onde (i=1,2,3) é o campo do modo local do i-ésimo guia de onda. Assim como no acoplador
com dois guias, os campos locais são normalizados como 4.17
Z
E2 = 1
(4.17)
Quando o guia 1 é alimentado o comprimento de acoplamento para ter o feixe completamente
acoplado no guia de onda 3, é duas vezes maior do que quando o guia central é alimentado, o crosstalk
obtido é [39]
=
¯2
¯
√
¯
(1 + 2+
1 ¯¯
¯
√
(4.18)
¯
¯
16 ¯ 2[exp(( − )1 )][exp(− 2 (2 − − )1 )] + (1 − 2) exp(( − )1 )] ¯
= cos2 (
−
)
−
Já quando o guia central (guia 2) é alimentado, o comprimento de acoplamento continua sendo
2 =
( − )
e o crosstalk
52
(4.19)
=
¯2
√
√
1 ¯¯
¯
¯(1 + 2) exp(−( − )2 ) + (1 − 2)¯ = 22
4
(4.20)
Assim, podemos concluir que quando varia a separação, o acoplador de dois guias de ondas tem um
crosstalk menor em comparação com qualquer acoplador de três guias, quando varia o comprimento
de acoplamento o acoplador de três guias com o guia superior (guia 1) sendo alimentado tem um
desempenho inferior, enquanto que o que é alimentado com o guia do meio (guia 2) é competitivo com
o de dois guias, sendo assim, o acoplador de dois guias ainda é superior do que o acoplador de três
guias.
Os acopladores propostos também são candidatos para fazer parte de aplicações como sensores
de fluido ou de gás devido a facilidade de interação com esses que pode mudar as propriedades de
acoplamento do acoplador.
4.5
4.5.1
Resultados
Acopladores de Guias de ondas Segmentados
Para os acopladores formados por guias de ondas segmentados[6] [7] [8], temos dois guias de ondas
compostos por segmentos de silício (Si = 3 476) em 2 (Si 2 = 1 444), com período de 300 nm
e o comprimento de cada segmento foi de: = 120 nm = 150 nm e = 180 nm. Também foram
considerados três valores diferentes para d: = 05 m, = 07 m e = 09 m.
As simulações foram realizadas usando uma célula unitária onde as condições de contorno na
direção de propagação foram impostas. Considerou-se um domínio computacional x ×y = 0,3 m×2
m, resultando em uma malha de cerca de 6000 nós e 3000 elementos. Como dito anteriormente, o
aumento do número de nós não afeta a convergência dos nossos resultados. As curvas de dispersão
para = 05 m e = 150 nm são mostrados na Figura 4-11. Foram consideradas diferentes defasagens
espaciais entre os guias segmentados (Tipo A — Tipo D) da Figura 4-8, e outra propriedade que pode
ser verificada é que a defasagem entre os guias não influenciam os resultados. A polarização foi
considerada nos cálculos.
Os resultados das simulações para várias distâncias de separação entre os guias estão separadas
pelo tamanho do comprimento dos nanofios. Podemos ver o gráfico para distância de acoplamento
em função do comprimento de onda para um guia de onda com separação de = 05 m na Figura
4-12, de = 07 m na Figura 4-13 e de = 09 m na Figura 4-14. Como esperado, a distância de
acoplamento aumenta para pequenos comprimentos de onda porque o campo está mais confinado no
guia de onda, reduzindo a interação do campo com outro guia de onda. O mesmo comportamento
pode ser visto quando a distância de separação dos guias aumentam. A distância de acoplamento
foi calculada para comprimentos de onda no intervalo de [1 35 m 1 8 m]. Foi possível perceber
que em todos os gráficos, curvas exponenciais semelhantes convergem para um mesmo resultado em
diferentes escalas.
Foi simulada também a propagação da onda ao longo de um acoplador direcional usando o FEM
2D reportado em [35] cuja formulação está na seção 2.5.1. O comprimento de onda de funcionamento
53
Fig. 4-11: Gráfico de dispersão [6]
54
Fig. 4-12: Distância de acoplamento versus comprimento de onda em um acoplador de guias segmentados com distância de 0.5[6]
Fig. 4-13: Distância de acoplamento versus comprimento de onda em um acoplador de guias segmentados com distância de 0.7[6]
55
Fig. 4-14: Distância de acoplamento versus comprimento de onda em um acoplador de guias segmentados com distância de 0.9[6]
utilizado para a simulação foi de = 1 5 m, o período dos segmentos e a largura do mesmo são
300 nm, o comprimento do segmento é de 150 nm e a separação dos guias de onda é de 0 5 m. O
domínio computacional pode ser visto na Figura 4-15, o campo de entrada correspondente ao modo
do guia superior está localizado em = 0675 m as camadas mais externas na direção de propagação
são camadas perfeitamente casadas para evitar reflexões.
Os resultados correspondentes à distribuição espacial do campo elétrico estão apresentados na
Figura 4-16 . Pode ser visto que a transferência da potência que estava no guia superior para o guia
inferior acontece em = 10675 m, ver a Figura 4-16. O resultado obtido está de acordo com o
calculado usando a teoria dos supermodos em que a distância de acoplamento é de 10 m.
Fig. 4-15: Domínio computacional do campo incidente no acoplador
56
Lc ˜ 10 µm
Fig. 4-16: Distribuição espacial do campo E ao longo do acoplador direcional.
Portanto podemos concluir que o método de elementos finitos no domínio da frequência foi aplicado
com sucesso na modelagem de acopladores direcionais baseados em guias periódicos segmentados.
.
4.5.2
Acopladores de Guias de ondas com nanofios
O trabalho com acopladores formados por nanofios foi semelhante ao feito com guias de nanofios [8]
[9] [10], porém agora se trata de dois guias separados por uma distância. Esta distância foi adicionada
ao estudo como uma nova variável chamada de separação entre os guias de nanofios . Simulações
foram realizadas com as mesmas variações de e Λ, e fazendo variações nesta nova distância nos
valores de : 500 nm 600 nm 700 nm 800 nm 900 nm. A intenção das simulações neste caso
era de descobrir a distância de acoplamento para cada uma dessas alterações. Foi possível perceber
em todos os gráficos, comportamentos semelhantes que convergiam para um mesmo resultado em
diferentes escalas, apesar de ser notável que com o aumento da distância entre os grupos de cilindro
havia também um considerável aumento na distância de acoplamento.
Foram feitas as simulações de acopladores, que possuíam 6 cilindros, divididos em dois grupos, cada
um possuindo três separados por uma distância determinada. As simulações foram feitas, fixando a distância entre os grupos de cilindro e variando os raios(r), e a distância centro a centro dos cilindros(Λ).
O objetivo das simulações foi o de fazer o estudo da variação na distância de acoplamento, com relação
a mudança nas variáveis de estudo . Variando os raios dos nanofios, foram gerados gráficos para distância entre os conjuntos de nanofios fixas em 500nm na Figura 4-17, 700nm na Figura 4-18, e 900nm
na Figura 4-19.
57
Fig. 4-17: Distância de acoplamento em função do comprimento de onda para acopladores de guias
separados 500nm [9] [10]
58
Fig. 4-18: Distância de acoplamento em função do comprimento de onda para acopladores de guias
separados 700nm [9] [10]
59
Fig. 4-19: Distância de acoplamento em função do comprimento de onda para acopladores de guias
separados 900nm [9] [10]
60
4.6
Conclusões
O acoplador segmentado baseado em um Subwavelenght Waveguide Grating foi analisado pelo
método de elementos finitos, obtendo resultados satisfatórios, tanto para a o segmentado como para
o seu equivalente. O seu equivalente foi encontrado e foi verificado que o mesmo consegue representar
o segmentado para simplificação do projeto. Para o acoplador com nanofios, o método de elementos
finitos também foi aplicado, e a modelagem destes foi realizada com sucesso. O ínfice efetivo do
supermodo par e ímpar de dois guias de ondas paralelos foi calculado e assim foi possível obter a
distância de acoplamento do acoplador direcional para várias configurações de nanofios.
61
Capítulo 5
Crossings
Na construção de circuitos ópticos integrados, o desafio do espaço e o desejo por construir sistemas
cada vez mais complexos envolvem circuitos com diversos guias de ondas. Devido a essa quantidade
de guias de ondas, ocorre que em alguns pontos alguns guias se cruzam. Neste cruzamento existem
alguns efeitos indesejados que dem ser evitados. Exatamente desta necessidade de evitar estes efeitos,
surgiu a idéia de dispositivos chamados de crossings (cruzamentos em português), são justamente
esssas áreas que ocorrem os cruzamentos dos guias de ondas, e esses dispositivos tentam otimizar
evitando efeitos indesejáveis. Nesta seção analisam-se cruzamentos usando guias segmentados.
5.1
Crossings
A situação descrita na introdução se reduz a um tunador ressonante de uma dimensão, no qual
não existe o crosstalk [40]. Esta situação pode ser conseguida por uma simples simetria nos guias de
ondas nos modos ressonantes, como mostra na Fig. 5-1
Na Fig. 5-1 , a linha contínua representa os modos do guia de onda, e esses apenas acoplam
com a linha sólida dos modos da cavidade ressonante. A mesma coisa para as linhas tracejadas.
Basicamente existem três requerimentos que devem ser atendidos para se ter um crossing:
•
Os guias de ondas devem ter simetria nos eixos e eles devem ser monomodos no intervalo de
frequência de interesse (este modo será par ou impar)
Fig. 5-1: Modos ressonantes em um cruzamento de guias de ondas
62
Fig. 5-2: Crosstalk em um cruzamento de guias de ondas [40]
Fig. 5-3: Crosstalk em um cruzamento de guias de ondas com cavidade ressonante no meio [40]
•
A cavidade ressonante no centro da interseção, que conduz o acoplamento entre os guias de
ondas, deve respeitar o espelho plano de ambos os guias de ondas
•
No intervalo de frequência de interesse, os modos ressonantes devem ser par com relação a
um guia de onda, e ímpar com relação ao outro guia de onda.
Todas essas três condições são facilmente conseguidas e assim o perfil resultante transmitido será
um espectro ressonante centrado na frequência de ressonância. A largura de banda da ressonância é
inversamente propocional a qualidade do modo ressonante.
Para compreender melhor, primeiro será analisada uma interseção de dois guias de ondas em um
cristal fotônico afim de demonstrar o comportamento deste componente. O cristal fotônico é o caminho
ideal pra fazer um crossing porque ele previne a possibilidade de qualquer perda por radiação apenas
fazendo uma cavidade ressonante na frequência desejada e tunando por simetria o raio de uma única
cavidade [40].
Podemos simplesmente cruzar dois guias de ondas (formado através da remoção de uma linha ou
coluna), mas isto resultará em um crosstalk significante como mostrado em 5-2. Tanto a transmissão
como o efeito de crosstalk estão no intervalo de 30-40%. Na Fig. 5-2 podemos ver a componente do
campo elétrico para uma onda incidente na esquerda do guia de onda horizontal. Valores positivos
e negativos estão em azul e vermelho respectivamente. Os contornos do dielétrico são mostrados em
preto. Note que existe uma reflexão significante no centro da interseção.
A mesma interseção é ilustrada na Fig. 5-3, porém com uma cavidade ressonante no centro
(suportando um par de modos do dipolo), o que reduz bastante o crosstalk, para apenas 0.04%. A
Fig. 5-3 mostra a luz passando nessa interseção no pico da frequência de transmissão.
Como dito anteriormente, estes exemplos foram feitos considerando guias de ondas de cristais
fotônicos, mas este princípio pode ser aplicado para guias de ondas convencionais (que utiliza o prín-
63
cipio de contraste dos índices) apenas colocando uma cavidade ressonante no centro da interseção e
tendo os modos apropriados.
5.2
Crossings segmentados
Crossings em guias de ondas que resultam em pequeno crosstalk e baixa perda por polarização já
foi demonstrado na [11]. Essas estruturas são baseadas em guias segmentados e foram simuladas
utilizando o domínio do tempo finito. O projeto de crossings segmentados explora o princípio ,
que afirma que materiais diferentes, combinados em escalas de subcomprimentos de ondas, podem
ser aproximados por um material eficaz homogêneo. Dentro desta aproximação, um meio pode ser
caracterizado por um índice de refração efetivo definido por uma série de potência do parâmetro de
homogeneização (5.1) [13].
=
Λ
(5.1)
aonde é o comprimento de onda de operação da luz, e Λ é o períododos segmentos (lembrando que
para eliminar os efeitos de difração e trabalhar em escala de subcomprimento de onda Λ deve ser
menor que a primeira ordem do período de Bragg sendo Λ = 2 ).
Uma mudança gradual na separação e no comprimento dos segmentos ao longo da direção de
propagação resulta em uma mudança do índice de refração efetivo correspondente do meio. Um
crossing segmentado e um contínuo foram construídos com base neste princípio e simulado com elementos finitos em duas dimensões em [13]. A contrário do método , a propagação das ondas
através de estruturas com subcomprimento de onda no método é tratado como um problema de
dispersão na qual as reflexões são levadas em consideração. O domínio computacional é truncado com
camadas perfeitamente casadas (PMLs) para evitar a reflexões indesejadas, e seus resultados foram
comparados.
Na Fig.5-4 a estrutura que foi estudada nesta etapa é ilustrada. Podemos ver que ela consiste de
dois guias de ondas formados por dois dielétricos com índices de refração 1 = 3 476 para
os segmentos de guias de ondas centrais e 2 = 1 444 para o revestimento dos segmentos.
Os guias são cobertos pelas PML’s 1, 2, 3, e 4 que foram projetadas de acordo com o procedimento
descrito nos fundamentos teóricos. Considerando a largura dos segmentos como e comprimento como
, o segmento central é um quadrado de área igual a ∗ afim de garantir uma geometria idêntica e
um índice de refração constante para os segmentos adjacentes.
5.3
Aplicações
Um crossing encontrado na literatura, estudado e simulado foi um crossing composto por tapers e guias
de ondas segmentados [13] simulado com elementos finitos bidimensional (2 ) no domínio da
frequência. Este crossing é composto por guias de ondas com índices de refração = 3 476 para os
segmentos de guias de ondas centrais e 2 = 1 444 para o revestimento dos segmentos. A estrutura
para simulação deste crossing foi no domínio de 12 0 m 12 0 m e a PML externa de 2 0 m em
ambas direções dos eixos. O domínio foi dividido em aproximadamente 47 mil elementos triangulares
64
Fig. 5-4: Modelo do cruzamento de guias de ondas simulado
quadráticos, e 97 mil nós. A perda por incompatibilidade do modo é calculada através da verificação
da potência acoplada no modo fundamental do guia de ondas de saída, enquanto que o crosstalk foi
calculado como a potência acoplada ao modo fundamental do guia de ondas da interseção.
Doze segmentos começando com largura de 200 nm e aumentando gradualmente até 300 nm
foram considerados para reduzir a perda por incompatibilidade de modo do guia de ondas contínuo.
O comprimento dos segmentos é 150 nm e o acoplador foi feito usando um taper de = 450 nm até
= 300 nm. A seção do taper é formada por um de oito segmentos com um período constante
de 300 nm e um comprimento de 300 nm. O segmento central é um quadrado de área igual a ∗
que garante uma geometria idêntica e um índice de refração constante para os segmentos adjacentes.
Para fazer uma comparação, este crossing foi simulado duas vezes. Primeiro ele foi formado por
guias contínuos e depois por guias segmentado. Na Fig. 5-6 a linha azul demonstra a performance
de transmissão do guia segmentado e a linha vermelha demonstra a performance do guia contínuo.
Podemos observar que existe um pico do crossing com guias sementados, que pode estar associado à
ressonância no cruzamento dos guias de ondas.
O campo de propagação ao longo do crossing para = 1 55 m é mostrado na Fig. 5-7 . A
transmissão calculada foi de 90% com um crosstalk de −33 dB, e 82% com um crosstalk de −15 dB
para o crossing com guias de ondas segmentados e para guias de ondas contínuos, respectivamente.
Então conclui-se que o crossing formado por guias de ondas segmentados têm uma transmissão muito
maior e mais eficiente do que a do guia de onda contínuo.
5.4
5.4.1
Resultados
Guias de ondas Segmentados
65
Fig. 5-5: Cruzamento de guias de ondas com tapers e PML’s
0,9
Transmission
0,8
0,7
SWG
CWG
0,6
0,5
1,40
1,44
1,48
1,52
1,56
[m]
Fig. 5-6: Transmissão nos guias de ondas segmentados e nos guias contínuos
2
y [m]
1
0
-1
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
z [m]
Fig. 5-7: Propagação do campo do feixe no cruzamento de guias de ondas
66
Fig. 5-8: Malha do cruzamento de guias de ondas segmentados simulado
Fig. 5-9: Malha do cruzamento de guias de ondas contínuos com índice de refração equivalente ao
segmentado simulado
A estrutura que foi estudada nesta etapa é ilustrada nas figuras 5-8 e 5-9. Podemos ver que ela consiste
de dois guias de ondas formados por dois dielétricos com índices de refração 1 = 3 476 para
os segmentos de guias de ondas centrais e 2 = 1 444 para o revestimento dos segmentos, e
os guias são encerrados pelas PML’s. As malha geradas a partir do método de elementos finitos com
elementros triangulares quadrático isoparamétricos foi de aproximadamente trinta e sete mil elementos
triangulares e setenta e cinco mil nós para o crossing com guias de ondas segmentados como na Fig.
5-8, e aproximadamente quarenta mil elementos triangulares com 82 mil nós para o crossing formado
por guia de onda contínuo equivalente como é apresentado na Fig.5-9.
Foi simulado um guia segmentado com distâncias entre os segmentos de 120 m A distribuição
de campo 3 do guia equivalente contínuo e do guia segmentado pode ser vista respectivamente na
Fig. 5-10.a e 5-10.b .
Observando estes gráficos, podemos concluir que o crossing formado por guias de ondas segmentados tem um crosstalk menos significante, e assim consegue ter na porta de saída uma potência
67
Fig. 5-10: Distribuição do campo em um cruzamento de guias de ondas segmentado
68
bem maior da luz que entrou neste mesmo guia e foi cruzado por outro do que o seu crossing contínuo
com índice de refração equivalente ao segmentado.
5.5
Conclusões
Como visto anteriormente, na óptica integrada, uma extensa pesquisa sobre dispositivos formados
por guias de ondas está permitindo novas aplicações promissoras como sensores [41][42][43][44]. Estes
dispositivos têm a vantagem de serem fabricados em silício, o que permite a compatibilidade com
microeletrônica para fabricação em grande escala. Para explorar o máximo esta plataforma, novos
circuitos fotônicos requerem vários guias de ondas, consequentemente estes guias se cruzam e daí
surgem os crossings, os cruzamentos de guias de ondas que devem ser projetados com mínimo crosstalk
e mínima dispersão possível. Os guias de ondas segmentados utilizam o princípio de subcomprimento
de onda, e nesse capítulo foi demonstrado que esses, além de proporcionar um pequeno crosstalk
e baixa dispersão, tornam possível ser projetados usando um guia de onda contínuo com índice de
refração equivalente apesar de perder um pouco de eficiência sendo mais sensível ao crosstalk.
69
Capítulo 6
Conclusões gerais e sugestões para
trabalhos futuros
6.1
Conclusões
Ao longo desta dissertação utilizou-se o método de elementos finitos em duas dimensões para simulação dos dispositivos fotônicos não convencionais, ou seja, guias segmentados e guias com nanofios,
desde o guia de onda, passando pelo acoplador, até os crossings. Os principais objetivos traçados,
desde o início e durante o desenvolvimento desta dissertação, foram alcançados.
O objetivo principal consistiu no uso de uma célula unitária para simulação em elementos finitos 2D
para prever as características fotônicas como propagação, dispersão e crosstalk. Para isso, utilizou-se
o critério que a propagação acontece na direção paralela ao plano e não existe variação do campo na
direção , e que os guias de ondas periódicos podem também ser representados por uma guia de onda
contínuo, aonde o contraste do índice de refração é dado por uma relação entre o índice de refração
dos segmentos, o ciclo de trabalho e o índice de refração efetivo equivalente.
As conclusões deste trabalho são resumidas por capítulo, a seguir:
No Capítulo 2 foi realizada uma revisão bibliográfica e uma análise dos modos, da propagação, do
método de elementos finitos e conceitos que seriam tratados em outras etapas da dissertação, como
PML e crosstalk.
No Capítulo 3 foi analisado um guia de onda planar, que é um dispositivos básico em óptica integrada. Um guia equivalente contínuo foi obtido para cada um dos guias segmentados (com diferentes
comprimentos dos segmentos) e comparado, já para os guias de ondas com nanofios, foi estudada a
propagação e a dispersão para variados valores de raios. Foi concluido que os guias segmentados e com
nanofios obtém uma dispersão bem menor do que os contínuos equivalentes, o que sugere a utilização
dos mesmos para se obter um desempenho melhor.
No Capítulo 4 foram analisados acopladores direcionais planares segmentados e com nanofios.
Para os segmentados, um equivalente contínuo foi obtido, e foram feitas diversas análises para diferentes tipos de configurações, fazendo variar parâmetros como afastamento e largura dos segmentos.
Para os acopladores com nanofios, foram analisadas várias configurações, modificando afastamento,
comprimento dos sementos, etc.
No Capítulo 5 foi apresentado o dispositivo fotônico que é formado no cruzamento de guias de
ondas, seja ele segmentado ou contínuo. Este cruzamento de guia de onda é chamado de crossing e o
70
principal objetivo no projeto destes cruzamentos é evitar os efeitos de crosstalk e de dispersão.
6.2
Sugestões para trabalhos futuros
Como trabalhos futuros, sugere-se que um uso maior do método de elementos finitos pode ser
utilizado em dispositvos mais complexos, por exemplo, modelagem e análise de dispositvos em 3,
análise de efeitos não lineares e cálculo de perdas nos mesmos, e uma comparação mais detalhada com
outros guias.
71
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[10] L. Uzeda-Souza, A. J. R. F. Oliveira, V. F. Rodriguez-Esquerre , “Coupling Properties of Novel
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72
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Publicações associadas à Dissertação
1. Matheus S. Costa, Ana J. R. F. Oliveira, and Vitaly F. Rodriguez-Esquerre, "Propagation
Characteristics Analysis of Subwavelength Grating Waveguides," In: IMOC 2011 - International
Microwave and Optoeletronics Conference, 2011, Natal. Proceedings of 2011 SBMO/IEEE MTTS International Microwave & Optoeletroncis Conference, 2011.
2. Ana J. R. F. Oliveira, Matheus S. Costa, C. E. Rubio-Mercedes and Vitaly F. RodriguezEsquerre, "Características de acoplamento em Guias Periódicos Segmentados," Anais do Momag 2012 - 15 Simpósio Brasileiro de Micro-ondas e Optoeletrônica e 10 CBMag Congresso
Brasileiro de Eletromagnetismo, Julho 2012.
3. Lucas Uzeda Souza, Ana J. R. F. Oliveira, and Vitaly F. Rodriguez-Esquerre, "Características de
acoplamento em Guias de Nanofios de Silício," Anais do Momag 2012 - 15 Simpósio Brasileiro
de Micro-ondas e Optoeletrônica e 10 CBMag Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Julho
2012.
4. Ana J. R. F. Oliveira, "Fabricação e Otimização de Velocímetro Laser Doppler," Anais do
Momag 2012 - 15 Simpósio Brasileiro de Micro-ondas e Optoeletrônica e 10 CBMag Congresso
Brasileiro de Eletromagnetismo, Julho 2012.
5. L. Uzeda-Souza, A. J. R. F. Oliveira, V. F. Rodriguez-Esquerre , “Coupling Properties of Novel
Directional Couplers Composed of Silicon Nanowires Waveguides,” Proceedings of Latin America
Optics and Photonics Conference, Novembro 2012.
6. A. J. R. F. Oliveira; M. S. Costa, V. F. Rodriguez-Esquerre, e C. E. Rubio-Mercedes “ Numerical
Analysis of Periodic Segmented Waveguides Directional Couplers,” Proceedings of Latin America
Optics and Photonics Conference, Novembro 2012.
7. V. F. Rodriguez-Esquerre, A. J. R. F. Oliveira; M. S. Costa e L. U. Souza, "Coupling Properties of
Directional Couplers Based on Special Waveguides," Microwave and Optical Technology Letters,
EUA, 2013.
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